Halmazelmélet
A matematikai halmazelmélet megalapítója Georg Cantor (1845 1918) matematikus. Cantor Oroszországban született, de életét Németországban töltötte. Egy halmazt elemei megadásával tekintünk ismertnek. Az elemeket felsorolással,vagy ha lehet a rájuk jellemző közös tulajdonság megadásával adunk meg. A halmazok jelölésére latin nagy betűket használunk, elemeit pedig kis betűvel jelöljük. Pl: A:={a;b;c;d}, ahol aєa, vagyis a eleme az A halmaznak. B: = { páros számok} A halmazokat gyakran jelenítik meg ún. Venn diagramm segítségével Pl.
11-k-11. (2008. október 2 pont) Adja meg a 24 egyjegyű pozitív osztóinak halmazát! 11-k-5.. (2006. október 2 pont) Sorolja fel a H halmaz elemeit, ha H = {kétjegyű négyzetszámok}. Melyik halmaz?miért? A={ barátságos emberek} B={páros természetes számok} CS:Mi lehet a következő halmazokban a közös tulajdonság? D={132,84,60,7524,720,1080} E={135,45,2505,1080, 60,720} F={320,1080,6020,60, 940,720}
Műveletek halmazokkal Két halmaz metszete(közös része): Azok az elemek, amelyek mind a két halmaznak elemei. Jelölése: B A Venn-diagrammal: 11-k-3. (2006. május 2 pont) Az A halmaz elemei a 10-nél nem kisebb és a 20-nál nem nagyobb páros számok, a B halmaz elemei a néggyel osztható pozitív számok. Adja meg az A B halmaz elemeit!
Részhalmaz: Az A halmaz akkor részhalmaza B halmaznak, ha A minden eleme B-nek is eleme. Jelölés: A B (A részhalmaza B- nek) Komplementer halmaz: Azok az elemek, amelyek nem elemei A- nak. Jel: A 11-k-14. (2009. május 2 pont) Írja fel az A ={3; 6;15; 28} halmaz minden olyan részhalmazát, amelynek csak páros számok az elemei! Adjunk meg részhalmazait a 11-k-3 feladatban szereplő számhalmaznak.
Két halmaz különbsége: A és B halmaz különbségén azokat az elemeket értjük, amelyek elemei A halmaznak, de nem elemei B halmaznak. Jele: A\B Venn diagrammal: Két halmaz uniója(egyesítése): azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek a két halmaz közül legalább az egyiknek elemei. Jele: A B Venn diagrammal:
Feladat 11-k-18. (2011. május 2 pont) Tekintsük a következő két halmazt: A={36 pozitív osztói}; B={16-nak azon osztói, amelyek négyzetszámok}. Elemeik felsorolásával adja meg a következő halmazokat: A; B; A B ; A \ B. 11-k-4. (2006. május 3 pont) Egy 10 tagú csoportban mindenki beszéli az angol és a német nyelv valamelyikét. Hatan beszélnek közülük németül, nyolcan angolul. Hányan beszélik mindkét nyelvet? Válaszát indokolja számítással, vagy szemléltesse Venn-diagrammal! 11-k-15. (2009. május 3 pont) A H halmaz elemei legyenek a KATALINKA szó betűi, a G halmaz elemei pedig a BICEBÓCA szó betűi. Írja fel a H U G halmaz elemeit! Hány elem van ebben a halmazban? http://www.mozaweb.hu/lecke-matematika-matematika_9-feladatok-100901
Ismétlés Halmaz, jelölés Halmazműveletek Részhalmaz Metszet Únió Komplementer, Részhalmaz Különbség Fa:AUB={a,b,c,d,e,f} A\B={c,f} A B={d}. Adja meg A és B elemeit
Halmaz számossága: Az A halmaz elemeinek számát A számosságának nevezzük. Jelölés: IAI 11-k-12. (2008. október 2 pont) Sorolja fel az A ={1;10;100} halmaz összes kételemű részhalmazát! 11-k-6. (2006. október 2 pont) Egy iskola teljes tanulói létszáma 518 fő. Ők alkotják az A halmazt. Az iskola 12. c osztályának 27 tanulója alkotja a B halmazt. Mennyi az A B és A \ B halmaz számossága? 11-k-4. (2006. május 3 pont) Egy 10 tagú csoportban mindenki beszéli az angol és a német nyelv valamelyikét. Hatan beszélnek közülük németül, nyolcan angolul. Hányan beszélik mindkét nyelvet? Válaszát indokolja számítással, vagy szemléltesse Venn-diagrammal!
S={-3; 2/5; 0,25; -3/4; 2,121231234 ; -61; 8; - 3,3333 ; 10/3; -1/4, -117; 49; -3,141592653 ; 0} Ábrázoljuk S elemeit számegyenesen. Nevezetes halmazok: Speciális halmaz az üres halmaz: az a halmaz, aminek nincs eleme. Jel:B:={} B:=Ø Természetes számok halmaza N:={0;1;2;3;4;5;...} Egész számok halmaza Z:={...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...} Racionális számok halmaza Q:={a/b a; b; b 0} (törtek) Irracionális számok halmaza: azon a számok halmaza, amelyek nem írható fel a/b alakban. Jele: Q* Valós számok halmaza: racionális és irracionális számok összessége. Jele: R
Intervallumok: A valós számok részhalmazai, amelyet számegyenesen jelölünk. Pl. a x b jelölése: [a;b] Ábrázolja a 3 x 5 zárt intervallumot, Ábrázolja a -2<x<2nyílt intervallumot, és az x -1, x>0 intervallumokat számegyenesen. Adjuk meg és szemléltessük a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát, ha az alaphalmaz A) a természetes számok; B) az egész számok; C) a nemnegatív valós számok halmaza! a) x < 10; b) x > 5; c) 2x < 0. Írjuk fel az ábrával adott intervallumokat:
11-k-20. (2011. október 3 pont) Jelölje N a természetes számok halmazát, Z az egész számok halmazát és az üres halmazt! Adja meg az alábbi halmazműveletek eredményét! a) N Z; b) Z ; c) \ N. 11-k-9. (2008. május 4 pont) Egy fordítóiroda angol és német fordítást vállal. Az irodában 50 fordító dolgozik, akiknek 70%-a angol nyelven, 50%-a német nyelven fordít. Hány fordító dolgozik mindkét nyelven? Válaszát indokolja!