1 ELEKTROMOS TÖLTÉSEK Alapjelenségek 1. Elektromos töltések és kölcsönhatásaik Thalész meggyelése: gyapjúval dörzsölt borostyánk magához vonz, illetve eltaszít apró, könny tárgyakat. Elektromos töltés: fenti viselkedésért felel s tulajdonság.
1 ELEKTROMOS TÖLTÉSEK Elektromosan töltött testek vonzzák vagy taszítják egymást: jelölje A B azt, hogy A és B vonzza, míg A B azt, hogy taszítja egymást. A B and B C A C A B and B C A C A B and B C A C Nincs 3 vonzó párt tartalmazó elrendzés!
1 ELEKTROMOS TÖLTÉSEK Kétféle elektromos töltés ('pozitív' és 'negatív'): azonos el jel töltések taszítják, különböz el jel ek vonzzák egymást. 1. ábra. Thalész meggyeléseinek magyarázata. Különböz el jel töltések vonzása törekvés a makroszkopikus testekben található töltések kiegyenlít désére. Miért nincs teljes semlegesség?
1 ELEKTROMOS TÖLTÉSEK Mikroszkopikus magyarázat: 1. atomokat alkotó elemi részecskék (elektronok, protonok, stb.) elektromos töltése kvantált, mindig az elemi töltés egész számú többszöröse (kivéve a kvarkokat, ahol annak 1 /3 része); 2. atommagok (protonok) tömege négy nagyságrenddel nagyobb, mint elektronoké pozitív töltés atommagok sokkal kisebb térfogatban lokalizálódnak a határozatlansági reláció miatt, mint a negatív töltést adó elektronok ('elektron-felh '). pozitív és negatív töltések szétválása mikroszkopikus szinten.
1 ELEKTROMOS TÖLTÉSEK Megjegyzés: tömegek különböz sége fontos, lásd pozitronium (elektronpozitron kötött állapot) annihilációja. Mikroszkopikus töltésszétvállás miatt a makroszkopikus töltött testek leírhatók ponttöltések (elhanyagolható méret, elektromosan töltött testek) folytonos eloszlásaként, melyet a töltéss r ség, az egységnyi térfogatban (vagy felületen) található elektromos töltés mennyisége jellemez. Egy töltésrendszer elektromos hatása (az elektromos mez ) jellemezhet különböz próbatöltésekre (olyan töltött testek, amelyek elektromos befolyása elhanyagolható a vizsgált töltésrendszeréhez képest) kifejtett er k révén elektromos er tér.
1 ELEKTROMOS TÖLTÉSEK Tapasztalat: elektromosan töltött testek rendszere által a tér egyazon pontjába elhelyezett két különböz próbatöltésre egyazon id ben kifejtett er k párhuzamosak, és nagyságuk aránya csak a próbatöltésekt l függ, de független magától a töltésrendszert l. Következmény: az r helyvektorú pontba elhelyezett próbatöltésre a t id ben ható er kifejezhet F( r, t) = q E( r, t) alakban, ahol q a próbatöltést jellemz skalár annak elektromos töltése, míg E( r, t) a töltésrendszer elektromos mezejét jellemz vektor, az elektromos térer sség vektora.
1 ELEKTROMOS TÖLTÉSEK Bár az elektromos hatások forrásai az elektromos töltések, de a térer sség nem csak a mez t létrehozó töltésekt l függ, hanem a teret kitölt közeg tulajdonságaitól is. Magyarázat: a közeget alkotó atomok/molekulák mikroszkopikus töltéseloszlása (amelyet befolyásol az elektromos mez ) kicsiny, de nem elt n járulékot ad a térer sséghez. Mivel egy makroszkopikus térfogatban 6 10 23 nagyságrend molekulát találunk (Avogadro-szám), és ezek elektromos hatásai felösszegz dnek, így jelent sen (több nagyságrendel) különbözhet egyazon töltésrendszer mezejének térer ssége eltér tulajdonságú közegekben.
2 TÖLTÖTT TESTEKRE HATÓ ERŽ ÉS FORGATÓNYOMATÉK 2 2. Töltött testekre ható er és forgatónyomaték Osszuk fel a test által kitöltött V térrészt kicsiny, V i térfogatú és r i középpontú V i térrészekre. Ha ρ( r) jelöli a térfogati töltéss r séget, akkor a V i térrész elektromos töltése q i =ρ( r i ) Vi, így a rá ható er és az ennek megfelel (origóra vonatkoztatott) forgatónyomaték F i = q i E( ri ) = ρ( r i ) Vi E( ri ) illetve N i = r i F i = ρ( r i ) Vi { r i E( r } i )
2 TÖLTÖTT TESTEKRE HATÓ ERŽ ÉS FORGATÓNYOMATÉK 2 A teljes F er t és N forgatónyomatékot ezen tagok felösszegzésével kapjuk, amennyiben a felosztást minden határon túl nomítjuk, azaz F i = ρ( r) E( r) d 3 r F = lim i V és N = lim i N i = ρ( r) { r E( r) } d 3 r V Homogén (helyt l független) mez ben F=Q E és N= p E, ahol Q = ρ( r) d 3 r a test össztöltése, míg p = ρ( r) r d 3 r a dipólmomentumvektora. V V
2 TÖLTÖTT TESTEKRE HATÓ ERŽ ÉS FORGATÓNYOMATÉK 2 Elektromos dipólus: két azonos nagyságú, de ellentétes el jel ponttöltésb l álló, elektromosan semleges rendszer (a töltések közötti elektrosztatikus vonzást valamilyen más er hatás kompenzálja). A dipólus pontszer, ha a töltések közötti távolság elhanyagolható a meggyelési távolsághoz képest. Sok molekula töltéseloszlása aszimmetrikus (poláros molekulák, pl. H 2 O, NH 3, HCl) makroszkopikus skálán pontszer dipólusként viselkednek.
2 TÖLTÖTT TESTEKRE HATÓ ERŽ ÉS FORGATÓNYOMATÉK 2 A dipólusra ható er és (középpontra vonatkoztatott) forgatónyomaték az egyes töltésekre ható er k és forgatónyomatékok összege: F = qe + qe { = q E+ E } N = d 2 q E + d 2 ( q) E = q d 2 { E+ + E } ahol d a negatív ponttöltést a pozitívval összeköt vektor.
2 TÖLTÖTT TESTEKRE HATÓ ERŽ ÉS FORGATÓNYOMATÉK 2 Homogén elektromos mez ben nem hat er a dipólusra, de N = p E( r) forgatónyomaték mindig hat, ahol p=q d annak dipólmomentuma. N akkor t nik el, ha a dipólus momentuma párhuzamos a térer sséggel. Az elektromos mez addig forgatja a dipólusokat, amíg azok momentumai nem válnak párhuzamossá a térer sség irányával. Pontszer dipólust teljes mértékben jellemez a dipólmomentum-vektor.
3 VEZETŽK ÉS SZIGETELŽK 3. Vezet k és szigetel k Elektromos töltések áramlása jellemezhet a J árams r ség-vektorral, melynek iránya az áramlás irányával párhuzamos, míg nagysága megadja az áramlás irányára mer leges egységnyi felületen egységnyi id alatt átáramló töltés mennyiségét. Konvektív töltésáramlás (makroszkopikus tömegárammal együtt járó, pl. elektromosan töltött makroszkopikus testek mozgásából származó) és konduktív (makroszkopikus tömegárammal együtt nem járó, mikroszkopikus töltéshordozók mozgásából származó, pl. elektromos hálózatokban) elektromos áramok.
3 VEZETŽK ÉS SZIGETELŽK Egy v( r) sebességeloszlású és ρ( r) térfogati töltéss r séggel jellemzett folytonos töltéseloszlás konvektív árams r sége Jkonv = ρ v Anyagi közegek felosztása: szigetel k (nincsenek konduktív áramok) és vezet k. Egy közeg vezet voltának feltétele könnyen elmozdítható mikroszkopikus töltéshordozók jelenléte (ilyenek például a fémes kristályok delokalizált elektronjai, illetve az elektrolitok ionjai). Ideális szigetel a vákuum, míg ideális vezet k a szupravezet k, ahol kvantum-eektusok következményeként küls elektromos mez nélkül is felléphetnek konduktív áramok.
3 VEZETŽK ÉS SZIGETELŽK Mivel a szupravezet k kivételével egy vezet közegben fellép konduktív töltésáramlást a küls elektromos mez által a mikroszkopikus töltéshordozókra kifejtett er hatás tartja fenn, ezért jó közelítéssel (lineáris válasz, nem túl er s terek esetén) a vezet ben fellép konduktív árams r ség arányos az elektromos térer sséggel Jkond = σ E általánosított Ohm-törvény ahol σ a közeget jellemz mennyiség (vezet képesség), amely izotrop esetben skalár, míg anizotrop esetben tenzor.
4 TÖLTÉSMEGMARADÁS 4. Töltésmegmaradás Zárt rendszer elektromos töltése nem változik az id múlásával. Lokális megmaradási törvény: bármely térrész elektromos töltése csak annyival változhat meg, amennyi töltés átáramlik annak határfelületén. Matematikai megfogalmazás: ρ t + div J = 0 kontinuitási egyenlet Egyik legalapvet bb természeti törvény.
5 ELEKTROMOS MEGOSZTÁS 5. Elektromos megosztás Elektromos megosztás (elektrosztatikus indukció, Wilcke és Aepinus): eredetileg töltetlen vezet testet küls elektromos mez ben két részre osztva, a két rész közt vonzóer lép fel. 2. ábra. Elektromos megosztás
5 ELEKTROMOS MEGOSZTÁS Mikroszkopikus magyarázat: küls elektromos mez hatására (töltésük el jelének megfelel irányba) elmozdulnak a vezet ben található mikroszkopikus töltéshordozók, és a vezet test valamely részén felgyülemlenek, ezáltal töltésfelesleget hozva létre, míg a test másik felén azonos nagyságú, de ellentétes el jel töltésfelesleg lép fel. Tapasztalat: amennyiben a vezet t két részre osztó elválasztó felület elég kicsiny, akkor a megosztás során létrejöv töltések nagyságát a Q = D s skaláris szorzat adja, ahol s az elválasztó felület normálisának irányába mutató, annak területével megegyez nagyságú vektor, míg a D eltolási vektor az elektromos mez megosztó képességét jellemz mennyiség.
5 ELEKTROMOS MEGOSZTÁS Tetsz leges F elválasztó felület esetén a megosztási töltés nagyságát a Q = F D( r) d s skaláris felületi integrál adja. Az E elektromos térer sség és a D eltolási vektor együttesen jellemzik teljes mértékben az elektromos mez hatását. Megjegyzés: vákuumban D = E (elhanyagolva a vákuumpolarizációs kvantum-eektusokat), de általában a két vektor különbözik egymástól.
6 MÁGNESES INDUKCIÓ ÉS TÉRERŽSSÉG 6. Mágneses indukció és térer sség Thalész (i.e. 600 körül): mágneses ásványok közötti er hatások. Shen Kuo (1088): mágneses testekre ható forgatónyomaték irányt. Gilbert (1600): földmágnesesség.
6 MÁGNESES INDUKCIÓ ÉS TÉRERŽSSÉG Tapasztalat: mágneses mez ben mozgó elektromos töltésekre er hat (Lorentz-er ), amely mer leges mozgásuk irányára, és amelynek F = q v sin θ B c nagysága arányos q töltésükkel és v sebességükkel: itt c=299,792 km /s a fény vákuumbeli sebességét jelöli (határsebesség), a θ szög függ a mozgás irányától, míg B a mágneses mez t jellemz mennyiség. Következmény: a mágneses mez jellemezhet egy B vektormennyiséggel (mágneses indukció), amelynek nagysága B, míg iránya mer leges az F er re, és θ szöget zár be a test v sebességével F = q c v B
6 MÁGNESES INDUKCIÓ ÉS TÉRERŽSSÉG 1820: Oersted (elektromos áram által átjárt vezeték közelébe helyezett mágnest a vezetékre mer leges irányba áll be) & Biot-Savart (áram által átjárt vezetékek er hatást fejtenek ki egymásra) elektromos töltésáramlás mágneses mez t kelt. Ampère, 1822: a mágnesesség okozói molekuláris elektromos áramok.
7 MOZGÁS HOMOGÉN MÁGNESES TÉRBEN 7. Mozgás homogén mágneses térben Tekintsünk egy B indukcióvektorú homogén mágneses mez ben v sebességgel mozgó, q töltés és m tömeg pontszer testet. Newton második axiómája szerint m d v dt = q c v B v mer leges a v B vektoriális szorzatra 1 2 d ( m v 2) dt = m v d v dt = q v ( v B c ) = 0 vagyis 1 2 m v2 (a test kinetikus energiája) id ben állandó: a mágneses mez nem végez mechanikai munkát a töltéseken!
7 MOZGÁS HOMOGÉN MÁGNESES TÉRBEN Lorentzer mer leges a mágneses indukcióvektorra, ezért d( B v) dt = B q mc ( v B) = 0 vagyis a B v skalárszorzat nem változik az id során. a sebesség longitudinális komponense állandó! Olyan Descarteskoordinátákat választva, melyek z-tengelye párhuzamos B-vel (azaz B=B e z ), a mozgásegyenlet megoldása v(t) = v cos(ωt+δ) e x + v sin(ωt+δ) e y + v z e z ahol ω = qb mc (girációs frekvencia) és v = v 2 v 2 z a transzverzális sebesség.
7 MOZGÁS HOMOGÉN MÁGNESES TÉRBEN A mozgás egy longitudinális ( B-vel párhuzamos irányú), v z állandó sebesség egyenletes haladó mozgás és egy T = 2π ω = 2π mc q B periódusidej transzverzális forgómozgás szuperpozíciója. A trajektória egy R = mc q B v sugarú és v z T állandó emelkedés csavarvonal (hélix), melynek tengelye párhuzamos a mágneses mez irányával.
7 MOZGÁS HOMOGÉN MÁGNESES TÉRBEN A T periódusid arányos mind B-vel, mind a q m fajlagos töltéssel, de független a v sebességt l ( tömegspektroszkópia, ciklotron). Amennyiben a mágneses mez mindenhol azonos irányú, de nagysága lassan növekszik, akkor a csavarmenetek sugara és a köztük lév távolság az indukció értékével fordítva arányosan csökken. A Föld mágneses mezeje a küls forrásból (napszél, kozmikus sugárzás) származó nagy energiájú töltött részecskéket a fentihez hasonló mechanizmus segítségével csapdázza a sugárzási övekbe (van Allenövek).
8 MÁGNESES MONOPÓLUSOK 8. Mágneses monopólusok Tapasztalat: mágneses testeknek mindig két mágneses pólusuk van (északi és déli), feldarabolásuk sosem vezet izolált mágneses töltésekre. Nincsenek mágneses monopólusok! Dirac (1931): mágneses monopólusok létezése nem mond ellent alapvet zikai törvényeknek. Modern részecskezikai elméletek (nagy egyesítések, húrelmélet, stb.) mágneses monopólusként értelmezhet objektumok létezését jósolják korai Univerzumban keletkezett mágneses monopólusok ritkaságát magyarázni kell a kozmológiai modellekben (inációs Univerzum).
8 MÁGNESES MONOPÓLUSOK Töltéskvantálás: minden ismert elemi részecske elektromos töltése az elemi töltés (proton töltése) egyharmadának egész számú többszöröse. Valójában minden meggyelt elemi részecske elektromos töltése az elemi töltés egész számú többszöröse: az egy- és kétharmad töltés kvarkok csak kötött állapotban, az er sen kölcsönható részecskék (hadronok) összetev iként fordulnak el. Dirac: egyetlen mágneses monopólus létezése az Univerzumban már megmagyarázná a töltéskvantálást.
9 MÉRTÉKEGYSÉGEK ÉS MÉRTÉKRENDSZEREK 9. Mértékegységek és mértékrendszerek Mérés: vizsgált mennyiség összehasonlítása valamely viszonyítási alappal ('etalon', mértékegység). Mérési folyamat eredménye: numerikus érték + mértékegység. Egyazon zikai mennyiségnek több mértékegysége lehetséges, közöttük egyértelm konverziós szabállyal: pl. 1 km=10 3 m=10 5 cm. Egy zikai mennyiség dimenziója az egymásba konvertálható mértékegységeinek összessége. Homogenitás elve: csak azonos dimenziójú mennyiségeket lehet összehasonlítani, összeadni vagy kivonni egymásból (megfelel konverziók után).
9 MÉRTÉKEGYSÉGEK ÉS MÉRTÉKRENDSZEREK Multiplikativitás: szorzat dimenziója = dimenziók szorzata. Fizikai törvények és multiplikativitás lehet vé teszik legtöbb mértékegység visszavezetését néhány alapegységre (pl. hossz, tömeg, id, stb.) egységrendszerek: elektrosztatikus, Heaviside-féle SI, Gauss, stb. Legtöbb gyakorlati alkalmazásban SI rendszer (törvényes): alapegyenletek formája egyszer bb, anyagi összefüggések bonyolultabbak. Elméleti megfontolásokhoz (pl. Nagy Károly: Elektrodinamika) használatosabb a Gauss-féle egységrendszer: π és c típusú numerikus faktorok az alapegyenletekben, anyagi összefüggések egyszer bb alakban. Észrevétel. Azonos dimenziójú mennyiségek hányadosa dimenziótlan, ezért numerikus értéke abszolút jelentéssel bír.
10 TENZORI JELLEG 10. Tenzori jelleg Tenzori jelleg: zikai mennyiség fontos tulajdonsága - a dimenzión túlmen en -, amely numerikus jellemzésének a vonatkoztatási rendszert l való függését írja le; skalár, vektor, tenzor, spinor, stb. Skalár: egyetlen számadattal (+mértékegység) jellemezhet mennyiség (pl. tömeg, hossz, id, h mérséklet, energia, nyomás, stb.). Vektor: jellemzéséhez szükséges egy numerikus érték (+mértékegység) - a vektor nagysága - és egy irány megadása (pl. sebesség, er, impulzus, elmozdulás, stb.).
10 TENZORI JELLEG Tenzor: jellemezhet négy, azonos dimenziójú vektormennyiséggel, amelyek közül három egymásra ortogonális (kölcsönösen mer leges irányokba mutat), pl. mechanikai feszültség, deformáció, tehetetlenségi nyomaték, energia-impulzus, kinetikus együtthatók,... Általában anizotróp szituációk, azaz olyan helyzetek leírására szolgálnak, ahol egyes irányok kitüntetett szerepet játszanak (pl. kristályos anyagok tulajdonságai). Kovariancia elve: csak azonos tenzori jelleg mennyiségeket lehet összehasonlítani és összeadni egymással, illetve kivonni egymásból.