Bemenet modellezése II.

Bemenet modellezése II. Vidács Attila 2005. november 3. Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 1 Kiszolgálási id k modellezése Feladat: Egy bemeneti modell felállítása egy egy kiszolgálós sorbanállási rendszer kiszolgálási idejének leírására DES-ben. rendelkezésre álló mérések: n = 23 mért érték a kiszolgálás id tartamáról: 105.84, 28.92, 98.64, 55.56, 128.04, 45.60, 67.80, 105.12, 48.48, 51.84, 173.40, 51.96, 54.12, 68.64, 93.12, 68.88, 84.12, 68.64, 41.52, 127.92, 42.12, 17.88, 33.00. Els lépés: Annak eldöntése, hogy a meggyelések függetlenek és azonos eloszlásúak-e (iid) vagy nem. Fontos, hogy az adatok a mérés sorrendjében álljanak rendelkezésünkre! Példák, amikor a függetlenség feltételezése nem helytálló: Egy új munkatárs els 23 ügyfelének kiszolgálási ideje. (Várhatóan csökken a kiszolgálási id ahogyan az illet belejön a munkába.) Egy nehéz zikai munka utolsó 23 munkadarabjának elkészítési ideje a munkaid végéhez közeledve.

Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 2 Kiszolgálási id k modellezése Tegyük fel, hogy okunk van feltételezni, hogy a kiszolgálási id az id vel csökken. Lineáris modell: Y = β 0 + β 1 X + ɛ, ahol X a meggyelés sorszáma, Y a kiszolgálási id, β 0 a tengelymetszet, β 1 a meredekség, ɛ pedig a hibatag. Hipotézis teszt: H 0 : β 1 = 0, H 1 : β 1 < 0. Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 3 Kiszolgálási id k vs. meggyelés sorszáma

Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 4 Kiszolgálási id k modellezése A hipotézis-teszthez tartozó p-érték a konkrét esetben 0.14, ami nem elég bizonyíték arra, hogy statisztikailag szignikáns lineáris trend van a mérésben. Több más grakus és statisztikai módszer is létezik a függetlenség vizsgálatára, pl: A minta autokorrelációs függvényének vizsgálata. scatter plot a szomszédos meggyelésekre,... Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 5 Minta autokorrelációs függvény

Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 6 Kiszolgálási id k modellezése Következ lépés: Hisztogramm rajzolása és statisztikák számítása. Hisztogramm (ld. köv. fólia) Az adathalmaz kicsi ugyan, de egy ferde (skewed) harangforma azért meggyelhet. A legnagyobb meggyelés nagyon a jobb szélen helyezkedik el. Minta statisztikák Mintaátlag x = 72.22 Tapasztalati szórás: s = 37.49 Variációs együttható: s/x = 0.52 Ferdeség (skewness): 1 n n ( ) 3 xi x = 0.88 s Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 7 Hisztogramm

Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 8 Kiszolgálási id k modellezése Példák a minta statisztikák értelmezésére: Ha az s/x variációs együttható 1-hez közeli, aza hisztogramm alakját is gyelembe véveaz exponenciális eloszlást mint lehetséges választást mutatja. Ha a minta ferdeség 0-hoz közeli, az szimmetrikus eloszlást jelez (pl. normális vagy egyenletes eloszlás). A következ lépés: Parametrikus vagy nemparametrikus modellt válasszunk? Pl. Egy nemparaméteres lehetséges modell az, ha a mért értékekb l választunk egyet véletlenszer en 1/23-ad valószín séggel. Az adathalmaz kis mérete, a 68.64 érték kétszeres el fordulása, valamint a kiugró 173.40 másodperces minta inkább paraméteres modell választását sugallja. Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 9 Paraméteres modellezés Az adatok alapján id független, egyváltozós, folytonos modellt választunk. A hisztogramm alapján szóba jöhet eloszlások: gamma, inverz-normális, log-normális, Weibull. Weibull eloszlás illesztése A Weibull eloszlás s r ségfüggvénye: f(x) = λ κ κx κ 1 e (λx)κ, x 0 ahol λ az ún. skála (scale) paraméter, κ pedig az alak (shape) paraméter. Az eloszlás paramétereinek becslésére szolgáló módszerek: Legkisebb négyzetek (least squares) módszere, momentum módszer, maximum likelihood módszer.

Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 10 Maximum likelihood módszer Legyenek x 1, x 2,..., x n a mintapontok. A maximum likelihood függvény: L(λ, κ) = [ n n ] κ 1 f(x i ) = λ nκ κ n x i A log-likelihood függvény: log L(λ, κ) = n log κ + κn log λ + (κ + 1) A log-likelihood függvény parciális deriváltjai: log L(λ, κ) κ log L(λ, κ) λ e n (λx i) κ n log x i λ κ = κn λ n κλκ 1 x κ i, = n n κ + n log λ + log x i n x κ i. n (λx i ) κ log λx i. Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 11 Maximum likelihood módszer (folyt.) A parciális deriváltakat 0-val egyenl vé téve a paraméterek megkaphatók. Az adott esetben nincs zárt alakú megoldás a ˆλ és ˆκ MLE becsl kre. A becsl k iteratív módon számolhatók.... A kapott paraméter értékek: Standard errors:. ˆλ = 0.0122, ˆκ = 2.1 ˆσˆλ = 0.00128, ˆσˆκ = 0.329 Az aszimptotikus 95% -os kondencia-intervallum κ-ra: 2.10 1.96 0.329 < κ < 2.10 + 1.96 0.329 1.46 < κ < 2.74

Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 12 Az illesztett Weibull eloszlás Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 13 Kiszolgálási id k modellezése A következ feladat: A modell érvényesítése Illeszkedésvizsgálati (goodness-of-t tests) módszerek Chi-square teszt, Kolmogorov-Smirnov teszt, Anderson-Darlling teszt, Vizuális tesztek (pl. Q-Q plot),... A Kolmogorov-Smirnov teszt: Maximális vertikális eltérés az illesztett és az empirikus (tapasztalati) eloszlásfüggvény között. Az adott példában a 0.15-ös p-érték a Weibull eloszlás jó illeszkedését mutatja. Q-Q plot (vagy P-P plot)

Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 14 P-P (probability-probability) Plot Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 15 Példa: Vendégek érkezése egy menzán. Érkezési folyamat modellezése Mérés: Három napon rögzítettük az érkezéseket 11:00-t l 15:30-ig. Összesen n = 150 érkezést gyeltünk meg: n 1 = 56, n 2 = 42 és n 3 = 52 a k = 3 napon. Deniálva a (0, 4.5] id intervallumot (órákban mérve) a folyamat három realizációja: 0.2152 0.3494 0.3943... 4.175 4.248, 0.3927 0.6211 0.7504... 4.044 4.374, 0.4499 0.5495 0.6921... 3.643 4.357. Els kérdés: A három realizáció egyazon sokaságból származik? A küls hatásoknak (pl. id járás, a hét melyik napja, hirdetések,...) azonosnak kell lenniük. A meggyeléseinket úgy tekintjük, mint reprezentáns független mintákat.

Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 16 Érkezési folyamat modellezése Következ feladat: A megfelel modelltípus kiválasztása A választás: folytonos idej, diszkrét állapotú sztochasztikus folyamat. Következ kérdés: Tekinthet -e a folyamat stacionáriusnak? Ha az érkezési folyamat nemstacionáriusnak mutatkozik, egy inhomogén Poisson folyamat megfelel választás lehet. A választás: Modellezzük a folyamatot egy inhomogén Poisson folyamattal, és vizsgáljuk meg az intenzitás-paraméter id függését. Következ lépés: Modellillesztés Inhomogén Poisson folyamat intenzitásfüggvénye: λ(t) (Pl. λ(2) = 10 esetén az beérkezési intenzitás 10 vendég óránként t = 2 id ben.) A kumulatív intenzitásfüggvény Λ(t) = t 0 λ(τ) dτ Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 17 Érkezési folyamat modellezése Feladat: A Λ(t) kumulatív intenzitásfüggvény becslése k realizációból, nemparametrikus eljárással. Legyen: (0, S] a becsléshez használt id intervallum, n i, i = 1, 2,..., k az i-edik realizációban meggyelt érkezések száma, n = k n i, t (1), t (2),..., t (n) a k realizáció szuperpozíciójának rendezett mintája (azaz t (i) t (i+1) ), t (0) = 0, t (n+1) = S, A kumulatív intenzitásfüggvény szakaszonként lineáris becsl je az érkezési id pontok között: ˆΛ(t) = in (n + 1)k + n(t t (i) ) (n + 1)k(t (i+1) t (i) ), t (i) < t t (i+1), i = 0, 1, 2,..., n

Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 18 Kumulatív intenzitásfüggvény Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 19 Érkezési folyamat modellezése Ha ˆΛ(t) lineáris, akkor a stacionárius modell megfelel. A vizsgált példában a függvény nemlineáris (12:00 és 13:00 között nagyobb intenzitással érkeznek a vendégek), azaz az inhomogén Poisson folyamat a megfelel modell. A következ kérdés: Paraméteres vagy nemparaméteres modellt használjunk? Az ábra szerint a λ(t) intenzitásfüggvény kezdetben növekszik, aztán nagyjából konstans marad egy-másfél óráig, majd csökken. Ezt a viselkedést nehéz lenne paraméteres modellel leírni. A példában a nemparaméteres modell (ˆΛ(t) használatával) t nik a legalkalmasabbnak. Ha mégis paraméteres modellel próbálkozunk: Több lehetséges paraméteres modell létezik nemstacionárius érkezési folyamatokra. Pl: hatvány (power law) folyamatok.

Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 20 Hatványfüggvény folyamat illesztése Feladat: Hatványfüggvény (power law) folyamat illesztése az érkezési folyamatra. Az intezitásfüggvény: λ(t) = λ κ κt κ 1, t > 0 A likelihood-függvény k realizáció esetén: A log-likelihood függvény: L(λ, κ) = k n λ nκ κ n e k(λs)κ n t κ 1 i. log L(λ, κ) = n log(kκ) nκ log λ k(λs) κ + (κ 1) n log t i. Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 21 Hatványfüggvény folyamat illesztése A log-likelihood függvény parciális deriváltjai: log L(λ, κ) κ log L(λ, κ) λ = κn λ ksκ κλ κ 1, = n log λ + n n κ + log t i k(λs) κ log(λs). a parciális deriváltakat nullával egyenl vé téve a kapott ML becsl k: ˆκ = n n log S 1 ( n ) 1/κ n log t, ˆλ =. i S k a konkrét példánkban: ˆλ = 4.86, ˆκ = 1.27. A kumulatív intenzitásfüggvény: Λ(t) = (λt) κ, t > 0

Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 22 Empirikus és illesztett kumulatív intenzitásfüggvény Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 23 Érkezési folyamat modellezése Példák egyéb lehetséges paraméteres nemstacionárius modellekre: Log-logistic process (Lawless 1982): λ(t) = λκ(λt)κ 1 1 + (λt) κ, t > 0 EPTM exponential-polynomial-trigonometric function with multiple periodicies model (Crawford 1991): [ m λ(t) = exp α i t i + i=0 ] p γ k sin(ω k t + φ k ), t > 0 k=1

Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 24 Modellválasztás A modellezés kedvez esetben leegyszer södik a megfelel eloszlás kiválasztásának feladatára. A helyzet kedvez, ha az alábbi egyszer sít feltevéseink helytállóak: A vizsgált folyamat független, azonos (közös) eloszlású (iid) valószín ségi változók sorozata. A közös eloszlás a szokásos eloszláscsaládok egyike, amelyek elérhet k szinte minden szimulációs programcsomagban: pl. béta, Erlang, exponenciális, gamma, lognormális, normális, Poisson, egyenletes, Weibull. Rendelkezésünkre állnak mérési eredmények, amelyre illeszthetjük az eloszlást valamilyen módszerrel, mint például: maximmum likelihood vagy momentum módszer. A választott eloszlás jól illeszkedik az adatokra, amit valamely vizuális vizsgálattal vagy illeszkedésvizsgálattal ellen rizhetünk. Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 25 Modellválasztás A helyzet néha nem kedvez az alábbi okok miatt: A szokásos eloszláscsaládok nem eléggé rugalmasak ahhoz, hogy a meggyelt adatok sajátos jellegét leírják. A folyamat elemei nem függetlenek. (Vagy az id sor elemei valahogyan összefügg ek, vagy a folyamat korrelált a rendszer más bemenetével.) A folyamat paraméterei az id ben változnak (nemstacionaritás). Nem áll rendelkezésünkre mérés, amire az illesztést elvégezhetnénk. A továbbiakban néhány példát és megoldást adunk a fenti esetekre.

Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 26 Egyváltozós modellek Feladat: Olyan modellezési esetekben, amikor a változósorozat független, azonos eloszlású (iid), amikor az eloszlásnak valamilyen szokványostól eltér jellege van (pl. egynél több módus), vagy nincs mért adat amire illeszteni szeretnénk, hanem az eloszlás bizonyos jellemz it adjuk meg (pl. momentumok, percentilis). Modellek Johnson eloszláscsalád Inverz eloszlás polinomiális sz r vel (Bézier eloszlások) Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 27 Johnson eloszláscsalád Az eloszlások egy rugalmasabb családja el állítható a következ (Johnson) transzformációval: F (x) = Φ {γ + δg[(x ξ)/λ]}, < x <, ahol Φ a standard normális eloszlásfüggvény, γ és δ az alak (shape) paraméterek, ξ a helyzet (location) paraméter, λ a skála (scale) paraméter, g pedig a következ transzformációk egyike: log(x) sinh 1 (x) g(x) = log[x/(1 x)] x a lognormális családnál, a nem korlátos családnál, a korlátos családnál, a normális családnál. A megfelel transzformáció kiválasztható egy véletlen minta ferdeségének és lapultságának becslésével, és ezek illesztésével.

Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 28 Johnson eloszláscsalád (2) A véletlen változók generálása egy Z standard normális eloszlású v.v. transzformációjával: X = ξ + λg 1 [(Z γ)/δ], ahol e a a lognormális családnál, g 1 (e a e a )/2 a nem korlátos családnál, (a) = 1/(1 + e a ) a korlátos családnál, a a normális családnál. Megjegyzés: Ha nem állnak rendelkezésre mért adatok, az eloszlás szubjektív információkra is illeszthet (DeBrota et al., 1989). Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 29 Inverz eloszlás polinomiális sz r vel Inverse Distribution with Polinomial Filter (IDPF) Ha a választott referencia-eloszlás illesztése után kiderül, hogy az illeszkedés nem kielégít, akkor használható az IDPF módszer. Ismeretlen, folytonos eloszlású v.v.-k generálásához gyakran használjuk az illesztett F X tapasztalati eloszlásfüggvény inverzét: ahol U U(0, 1). X = F 1 X (U), Ötlet: Az illeszkedést javíthatjuk a következ módosított transzformációval: ahol q az U egy polinomja. X = F 1 X (q(u)),

Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 30 Inverz eloszlás polinomiális sz r vel (2) Legyen q(u) egy r-edrend polinom: q(u) = b 1 U + b 2 U 2 + + b r U r. A {b i ; i = 1, 2,..., r} együtthatókat úgy kell megválasztanunk, hogy F 1 X legitim inverz-eloszlásfüggvény maradjon, azaz (q(u)) q(u) szigorúan növekv U-n, q(0) = 0 és q(1) = 1. A b i együtthatók becslése a legkisebb négyzetek módszerével megoldható: ê 2 = min b 1,...,b r n { X (i) F 1 X [ q ( )]} 2 i 0.5. n Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 31 Többváltozós modellek Ha több véletlen változóról van szó, ezek lehetnek összefügg ek (vektorok vagy id sorok). Általánosan használt modellek: Többváltozós normál eloszlás véletlen vektorokhoz, p-edrend Gauss-i autoregresszív (AR(p)) modellek id sorokhoz. (Id sorok modellezését ld. kés bb.) Adott eloszlású véletlen vektorok el állításához használatos módszerek: (Johnson eloszláscsalád többváltozós kiterjesztése) (Kétváltozós Bézier eloszlások) NORTA NORmal To anything

Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 32 NORTA NORTA NORmal To Anything (Normálist bármivé) Ötlet: Transzformáljunk egy standard (többváltozós) normális eloszlású véletlen vektort a kívánt eloszlásúra. Egy Z (k 1) véletlen vektor standard normális eloszlású µ = (0, 0,..., 0) várható érték vektorral és 1 ρ 12 ρ 1k ρ 21 1 ρ 2k Σ =...... ρ k1 ρ k2 1 korrelációs mátrixszal, ahol az i-edik Z i elem N(0, 1) eloszlású, és ρ ij = Corr{Z i, Z j }. A Σ és µ paraméterek egyértelm en meghatározzák az eloszlást. Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 33 Legyen NORTA (2) X = F 1 X 1 [Φ(Z 1 )] F 1 X 2 [Φ(Z 2 )]. F 1 X k [Φ(Z k )] ahol Z = (Z 1, Z 2,..., Z k ) egy standard normális eloszlású vektor Σ korrelációs mátrixszal, és F X1, F X2,..., F Xk a kívánt határeloszlások. A feladat: Megtalálni azt a Σ mátrixot, ami X kívánt korrelációs mátrixszát eredményezi. Ez nem túl bonyolult numerikus probléma (Cairo és Nelson, 1997). Habár az illesztés id igényes lehet, ezt modellenként csak egyszer kell végrehajtani.,