SZAKDOLGOZAT. Pallagi János

SZAKDOLGOZAT Kövezések és elhelyezések S 2 R és H 2 R geometriákban Pallagi János Témavezető: Szirmai Jenő docens BME Matematika Intézet, Geometria Tanszék BME 2011

Szakdolgozat-kiírás Témavezető: Szirmai Jenő, egyetemi docens Téma: Kövezések és elhelyezések S 2 R és H 2 R geometriákban A 8 maximális homogén Riemann geometriák közül tekintsük az S 2 R és H 2 R geometriákat. Mindkét geometria direkt szorzatként állítható elő, az előbbit a gömbfelület és a valós számegyenes, utóbbit a hiperbolikus sík és a valós számegyenes direkt szorzataként adhatjuk meg. Ezen terekben vizsgáljuk adott tércsoporthoz tartozóan a poliéderkitöltéseket és a hozzájuk tartozó gömbkitöltéseket. Mindezeket a Wolfram Mathematica program segítségével vizualizáljuk is. 2

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 2. A projektív gömb modellje a három dimenziós euklideszi térben 6 2.1. A modell 2-dimenziós bemutatása..................... 6 2.2. Egyenes-pont polaritás, egyenesek merőlegessége............. 9 2.3. 3-dimenzióban............................... 12 3. Az S 2 R geometria 14 3.1. Geodetikusok S 2 R-ben.......................... 14 3.2. Az ekvidisztáns felület S 2 R geometriában................ 17 3.2.1. S 2 R néhány izometriájának vizsgálata............. 17 3.2.2. Ekvidisztáns felület......................... 18 3.2.3. Egyszerűsítések euklideszi értelemben............... 21 4. Analógiák és eltérések: H 2 R geometria 24 4.1. A modell és a geodetikusok......................... 24 4.2. H 2 R ekvidisztáns felületei........................ 26 4.2.1. Izometriák............................. 26 4.2.2. A felület egyenlete, speciális esetek................ 27 5. Tércsoportok és Dirichlet-Voronoi cellák 29 5.1. S 2 R és H 2 R tércsoportjairól...................... 29 5.2. Dirichlet-Voronoi cellák az S 2 R térben................. 30 6. Összefoglalás 32 3

1. fejezet Bevezetés W. P. THURSTON vizsgálataiból ismert, hogy nyolc maximális egyszeresen összefüggő homogén Riemann tér (Thurston geometria) létezik: Legyen (X, G) háromdimenziós homogén geometria, ahol X egyszeresen összefüggő Riemann tér G maximális egybevágóságcsoporttal, amely tranzitívan hat X-en kompakt pontstabilizátorokkal. 1.0.1. Tétel (Thurston). Bármely, az előbbi feltételekkel rendelkező (X, G) háromdimenziós homogén geometria ekvivalens az alábbi (X, G = Isom(X)) geometriák valamelyikével (lásd [11]): E 3, H 3, S 3, SL 2 R, Sol, Nil, S 2 R, H 2 R. Az n-dimenziós (n 2) euklideszi, hiperbolikus és szférikus geometriák, amelyeket állandó görbületű geometriáknak is nevezünk, még ma is igen intenzíven vizsgált, kutatott területei a matematikának és számos más tudományág felhasznája az itt elért eredményeket. Azonban még itt is sok nyitott kérdéssel találkozhatunk, viszont a többi 5 korábban felsorolt geometriában néha még az alapfogalmak pontos megfogalmazása sem történt meg. Ezen kérdéseket intenzíven vizsgáljuk, lásd [10], [3],[7],[8],[2]. A Thurston geometriák konstruktív vizsgálatát MOLNÁR EMIL tette lehetővé azzal, hogy [4] cikkében megmutatta: a nyolc geometria mindegyike beágyazható a projektív térbe és így a terek az euklideszi világunkban is szemléltethetővé váltak. Ezt felhasználva lehetőség nyílik a fogalmak euklideszi analógia a alapján történő definiálására és a tér vizualizálására. Ebben a dolgozatban két hasonló szerkezetű térrel foglalkozunk, először az S 2 R geometriát vizsgáljuk majd az itt levezetett eredményeket alkalmazzuk az analógiát felhasználva a H 2 R terre is. A két geometria sok helyen hasonlít, az egyik helyen tett megfigyelések többnyire analóg módon átvihetők a másik térre, de a későbbiekben rámutatunk jelentős különbségekre is. 4

A dolgozat első részében bevezetjük a projektív modellt, megismerjük alapfogalmait és számolási technikáit, majd a két geometria projektív beágyazását írjuk le. A leírás kétdimenzióban szemléletesebb, ezért a projektív sík modelljét részletesebben tárgyaljuk, majd ezt terjesztjük ki háromdimenzióra. A következő fejezetben az S 2 R geometria geodetikusainak számításával bevezetjük a távolság fogalmát, és ennek segítségével definiáljuk a további alakzatainkat: geodetikus gömböt, ekvidisztáns felületet és a Dirichlet-Voronoi-cellát. Az ekvidisztáns felület az euklideszi szakaszfelező merőleges sík fogalmának általánosítása és fontosságát a Dirichlet-Voronoi cellák S 2 R térben történő bevezetésénél láthatjuk, ezért a részletesen tárgyaljuk a hozzá kapcsolódó számításainkat. Hasonló gondolatmenetet alkalmazuk a H 2 R tér vizsgálatánál is. A következő fejezetben egy rövid áttekintést adunk a két tér kristálycsoportjairól, majd egy példán az adott tércsoporthoz tartozó Dirichlet-Voronoi-cellákat és a gömbkitöltést vizualizáljuk. Ezzel egyben előrevetítjük az egyik tervezett kutatási irányunkat, amelyben célul tűzzük ki az S 2 R tér Dirichket-Voronoi celláinak vizsgálatát illetve osztályozását. A dolgozatomban látható ábrák nagy része Wolfram Mathematica programmal készült, valamint a számítások elvégzésében is segítségünkre volt. 5

2. fejezet A projektív gömb modellje a három dimenziós euklideszi térben A fenti geometriák mindegyike modellezhető a PS 3 projektív szférikus térben, ami beágyazható az euklideszi 4-dimenziós térbe. Az általunk használt modellt Molnár Emil fejlesztette ki [4]-ben. A fő eszközünk a 4-dimenziós vektortér V 4 lesz a valós számok felett. Legyen ennek bázisa {e 0, e 1, e 2, e 3 } (nem tesszük fel, hogy ortonormált a bázis). Célunk az lesz, hogy további alkalmas struktúrákat vezessünk be V 4 -en és duálisán V 4 -en. 2.1. A modell 2-dimenziós bemutatása A módszert először 2-dimenzióban mutatjuk be és illusztráljuk, ahol V 3 a beágyazó valós vektortér az affin képével: A 3 (O, V 3, V 3 ). Legyen (O; e 1, e 2, e 3 ) egy koordinátarendszer A 3 = E 3 -ban, O origóval és {e 1, e 2, e 3 } bázissal V 3 -ban, ahol az affin modellsíkunk A 2 = E 2 P 2 = A 2 (i) az E 0 (e 0 ) végpontba van helyezve x 0 = 1 egyenlettel. Itt minden nem nulla x = x 0 e 0 + x 1 e 1 + x 2 e 2 =: x i e i vektor (Einstein index konvekcióját használva) reprezentál egy X(x) pontot A 2 -ben, akárcsak egy pontot a PS 2 projektív gömbön, a következő ekvivalenciával. Minden nem nullvektorra: x cx, ahol 0 < c R ugyanazt a pontot jelenti: X = (x cx) PS 2 ; z 0e 0 + z 1 e 1 + z 2 e 2 lesz egy ideális pont (z) PS 2 -ben A 2 -höz. (2.1) A (z) (i) jelölést használjuk, ahol az (i) az A 2 ideális egyenese (köre), kiterjesztve az A 2 affin síkot a PS 2 projektív gömbre. A (z) és ( z), illetve általánosságban (x) és ( x) ellentétes pontok PS 2 -n. A PS 2 ellentétes pontjainak megfeleltetésével kapjuk a P 2 projektív síkot. Így a következő beágyazás írható fel: A 2 = E 2 P 2 PS 2. 6

+ ( u) ( x) 8 U( u) ( z) E 0 8 ( e ) 0 X A 2 ( i ) = P 2 ( u) A 3 =( O; V; V ) (-z) O PS 2 E 2 e 2 8 ( ) E 1 8 ( e1) ( z) I ( i) Point at infinity (- x) (- u ) + = ( u) - 2.1. ábra. A 2 dimenziós eset, a PS 2 projektív gömb beágyazva a V 3 valós vektortérbe PS 2 -t a 2.1 ábrán szerint egy egységsugarú gömbként látjuk. Az egyenlítő reprezentálja A 2 ideális pontjait. A felső félgömb írja le A 2 = E 2 -t. Látható az is, ahogy a "kettős affin sík" az ideális pontokkal együtt egyszeresen lefedik a gömböt. A V 3 vektortér duális (forma) tere V 3 úgy van definiálva, mint a V 3 valós lineáris funkcionáljainak (formáinak) a tere. Ez azt jelenti, hogy a következő feltételek érvényesek minden u V 3 -ra: u : V 3 x xu R és (ax + by)u = a(xu) + b(yu) minden x, y V 3 és minden a, b R-re. (2.2) 2.1.1. Megjegyzés. Jelölés: A vektoregyütthatókat balról írjuk, a lineáris formák jobbról hatnak a vektorokon. A természetesen adódott lineáris struktúra lehetővé teszi számunkra, hogy definiáljuk két u, v forma u + v összegét, illetve egy c R valós számmal való uc szorzatát. Mindkét 7

művelet V 3 -beli lineáris formát ad eredményül. Továbbá minden V 3 -beli {e i } bázisra definiálhatjuk a V 3 -beli {e j } duális bázist (δ a Kronecker-szimbólumot jelöli): e i e j = δ j i = { 1 ha i = j 0 ha i j i, j = 0, 1, 2 (2.3) Továbbá láthatjuk, hogy egy általános lineáris forma u := e 0 u 0 + e 1 u 1 + e 2 u 2 := e i u i a x := x 0 e 0 + x 1 e 1 + x 2 e 2 := x j e j vektoron a következő valós értéket veszi fel: (x j e j )(e i u i ) = x j (e j e i )u i = x j δ i ju i = x i u i (2.4) Így egy u V 3 lineáris forma egy 2-dimenziós alteret ír le, egy origón áthaladó síkot V 3 -ban. Továbbá: u uk ahol 0 < k R ugyanazt az irányított síkot írja le V 3 -ban. Amennyiben az: 0 = xu = x i u i = x 0 u 0 + x 1 u 1 + x 2 u 2 egyenlet teljesül (2.5) azt mondjuk, hogy az X pont ráesik az u egyenesre PS 2 -ben, azaz XIu. A 2.1 ábra szerint az (u) formák pozitív ekvivalenciaosztálya megad egy (u) + nyílt félteret V 3 -ban, azaz azokat az (x) vektorosztályokat, amikre (u) + : {(x) : xu > 0} (2.6) PS 2 -n ezek a vektorok egy megfelelő félgömböt jelölnek ki és így egy hozzá tartozó A 2 félsíkot is. Tekintsünk egy T bijektív lineáris leképezést V 3 -ból önmagára, azaz T : V 3 x xt =: y V 3 a következő feltételekkel: x i e i ( ) x i e i T = x i (e i T) = x i t j i e j =: y j e j, det(t j i ) 0. (2.7) Tegyük fel, hogy T-nek a fenti (t j i ) a mátrixa az {e i} V 3 bázisban (i, j = 0, 1, 2). Ekkor T egy olyan τ(t) projektív pont-transzformációt definiál PS 2 -ről önmagába, mely megtartja V 3 altereinek az illeszkedéseit, azaz PS 2 pontjainak és egyeneseinek az illeszkedését. Egy (t j i ) mátrix és pozitív többszörösei (ctj i ) = (tj i c), ahol 0 < c R (és csak ezek a leképezések), ugyanazt a τ(t Tc) transzformációt definiálják PS 2 -n, a fenti feltételekkel. 8

A szokásos módon defnináljuk a kompozícióját vagy szorzatát két T és W transzformációnak a V 3 vektortéren TW : V 3 x (xt)w = yw = z =: x(tw) (2.8) a (t j i ) és (wk j ) mátrixokkal a {e i } bázisban az index konvenció segítségével: e i (TW) = (e i T)W = (t j i e j)w = (t j i )(wk j e k ) = (t j i wk j )e k. (2.9) Továbbá V 3 lineáris transzformációcsoportját a szokásos módon kapjuk, és így a projektív transzformációcsoportot is PS 2 -ben. Megjegyezzük, hogy a fenti (t j i ) inverz mátrix osztálya, melyet (T j k ) 1(T k c j )-vel jelölünk, melyre (t j i )(T j k ) = δi k, indukálja a megfelelő T lineáris transzformációt a duális V 3 térből (azaz az egyenesekről) magára, illetve az inverzét T 1, lépésenként: T : V 3 v Tv =: u V 3, úgy hogy yv = (xt)v = x(tv) = xu, speciálisan: 0 = xu = (xt)(t 1 u) = yv, így 0 = yv = (yt 1 )(Tv) = xu (2.10) X I u Y := (X τ) I v := τu igaz a pontok és egyenesek τ-képeire. Látható, hogy az indukált hatás a duális V 3 -on balról való hatás, akárcsak a PS 2 egyenesein. 2.2. Egyenes-pont polaritás, egyenesek merőlegessége Eddig nem foglalkoztunk a modellsík metrikus kérdéseivel PS 2 -ben. Ahogy ezt látni fogjuk ez összefügg a V 3 vektortér és duálisa V 3 struktúrájával. Ebben az interpretációban a ( ) polaritást érdemes egy szimmetrikus lineáris leképezésként értelmezni a V 3 duális térből a V 3 vektortérbe. Ezért bármely u(u) (poláris) egyeneshez hozzárendeljük a U(u) (pólus) pontját PS 2 -nek a következőképpen: ( ) : V 3 u u =: u V 3 (2.11) a (π ij ) mátrix segítségével az {e i }, {e j }, e j e i = δ i j (i, j = 0, 1, 2) duális bázis pár felhasználásával: 9

e i e i =: e i = π ij e j szimmetria feltétellel: π ij = π ji, így u = e i u i (e i u i ) = u i e i = u i π ij e j =: u j e j. (2.12) Ugyanakkor be tudunk vezetni egy szimmetrikus bilineáris skalár szorzatot ennek a polaritásnak a segítségével (és ekvivalensen visszafele is):, : V 3 V 3 R, u, v = (u )v = uv R u, v = e i u i, e j v j = (u i e i )(e j v j ) = (u i π ir e r )(e j v j ) = u i π ir δ j rv j = u i π i jv j. (2.13) is. Ebből látszanak a szokásos számítási szabályok, illetve a u, v = v, u szimmetria 2.2.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy egy u(u) egyenes merőleges v. ortogonális a v(v) egyenesre, ha a pólusa (u) = (u) = U illeszkedik a v(v) egyenesre. Ekkor 0 = u v = u, v = v, u = v u, vagyis a v(v) egyenes V (v) pólusa is illeszkedik az u(u) egyenesre, tehát a fogalom szimmetrikus. Ezek után definiálhatjuk a klasszikus E 2, S 2, H 2 síkgeometriákat a PS 2 "modellsíkunkon", a 2.1 ábra szerint. Először geometrizáljuk az {e i }, {e j } duális bázis párt, melyekre e i e j = δ j i, bevezetve a koordináta háromszöget (általában szimplexet) a következő csúcsokkal: és oldalakkal: E 0 (e 0 ), E 1 (e 1 ), E 2 (e 2 ) (2.14) e 0 (e 0 ) = E 1 E 2, e 1 (e 1 ) = E 2 E 0, e 2 (e 2 ) = E 0 E 1. (2.15) A pozitív ekvivalencia miatt bevezetjük az ún. egységpontot E(e e 0 + e 1 + e 2 ), és egységvonalat e(e e 0 + e 1 + e 2 ), hogy rögzítjük a reprezentatív bázis vektorokat {e i }, és bázis formákat {e j } egy közös pozitív szorzó erejéig, legyen ez c az {e i }, és 1 az c {e j }-höz. Ez a projektív szabadsági fok a későbbiekben hasznossá válik majd. A (π ij ) mátrix szimmetriája miatt létezik (π i j ) diagonális alakja egy megfelelő {e i }, {e j } duális bázispárral. Ez azt jelenti, hogy e j e j és e i e i = π i j e j, ahol π i j = 0, ha i j, és π i i {0, 1, 1}. (2.16) 10

Továbbá, bár a bázistranszformáció nincs egyértelműen meghatározva, az ún. szignatúra a diagonális elemek permutációjának erejéig egyértelmű. Akövetkező lehetősségeket kapjuk: S 2 (1, 1, 1), E 2 (0, 1, 1), H 2 ( 1, 1, 1), M 2 (0, 1, 1), G 2 (0, 0, 1) (2.17) amelyeknek rendre a szférikus, euklideszi, hiperbolikus, Minkowski és Galilei geometriák felelnek meg. Két egyenes u(u) és v(v) szögét, illetve az (U, V ) szakasz távolságát az U(u) és V (v) pólusok közt a következőképpen definiáljuk (r a gömb sugarát jelöli): cos(u, v) = u, v u, u v, v. (2.18) cos 1 r (U, V ) = u, v u, u v, v (2.19) Itt célszerű kiemelni a Bolyai-Lobacsevszkij-féle H 2 hiperbolikus síkot, ez a számunkra fontos lesz, amikor a H 2 R geometria felépítéséről lesz szó a 4 elején. H 2 -n a polaritást a következő mátrix definiálja: ( e 0 e 1 e 2 ) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 e 0 e 1 e 2 (2.20) Miután bevezettük a polaritást és a skalárszorzatot PS 2 -n, így kapva a fenti metrikus geometriákat, definiálhatjuk a transzformációcsoportjaikat, először uniforman, mint hasonlóságok. Ezek speciális lineáris transzformációk, melyeket a (V 3, V 3 )-beli (T, T 1 ) (2.10) szerinti transzformációk indukálják ekvivalencia erejéig, megőrizve a polaritást, ahogy a következő ábra mutatja: x(x) X(x) V 3 T 1 T V 3 (2.21) y(y) Y (y) 11

2.3. 3-dimenzióban Az előző fejezetben bemutatott apparátus alkalmas arra, hogy a 3-dimenziós tereket ezen a módon ágyazzuk be, így modellezve azokat a PS 3 (V 4, V 4 )-en. Analógiák és index konvenció segítségével minden könnyen láthatóan öröklődik, azonban ezt már nehéz szemléletessé tenni. Vezessük be a pozitív ekvivalenciát V 4 nem-nulla vektorai között az előzőhöz hasonlóan: x cx,ahol 0 < c R definiálja a X(x) pontot PS 3 -ban; (2.22) aminek a koordinátái x = x i e i a {e i } (i = 0, 1, 2, 3) bázisban. Ez a következő mátrixos alakban írható fel: x = (x 0, x 1, x 2, x 3 ) e 0 e 1 e 2 e 3. Egy u = (e0, e 1, e 2, e 3 ) u 0 u 1 u 2 u 3 forma (2.23) a V 4 duális térben megint pozitív ekvivalencia erejéig egy irányított síkot (2-gömböt) ír le PS 3 -ban a {e i }, e i e i = δ j i duális bázissal. A következő 0 = (x i e i )(e j u j ) = x i (e i e j )u j = x i δ j i u j = x i u i (2.24) egyenlősség fejezi ki az XIu tartalmazást. A 2.24 formula írja le egy fix u(u) síkon fekvő X(x) pontokat, akárcsak egy fix X(x) pontot tartalmazó összes u(u) síkot. A τ(t, T 1 ) projektív transzformáció - (2.10) formulákhoz hasonlóan - leírható mátrixos alakban. Ez pontokra: (x 0, x 1, x 2, x 3 ) t 0 0 t 1 0 t 2 0 t 3 0 t 0 1 t 1 1 t 2 1 t 3 1 t 0 2 t 1 2 t 2 2 t 3 2 t 0 3 t 1 3 t 2 3 t 3 3 e 0 e 1 e 2 e 3 (y0, y 1, y 2, y 3 ) e 0 e 1 e 2 e 3 (2.25) illetve síkokra (e 0, e 1, e 2, e 3 ) T0 0 T0 1 T0 2 T0 3 T1 0 T1 1 T1 2 T1 3 T2 0 T2 1 T2 2 T2 3 u 0 u 1 u 2 (e0, e 1, e 2, e 3 ) v 0 v 1 v 2. (2.26) T 0 3 T 1 3 T 2 3 T 3 3 u 3 v 3 12

Ez a τ(t, T 1 ) transzformáció megtartja az illeszkedést: 0 = (xu) = (yv). Ezek, megint, pozitív ekvivalencia erejéig kapcsolódnak az E 0 E 1 E 2 E 3 koordináta szimplexhez, E(e = e 0 +e 1 +e 2 +e 3 ) egységponttal, továbbá e 0 e 1 e 2 e 3 -höz az egységsíkkal e = e 0 + e 1 + e 2 + e 3, ahol e i = (E j E k E l ), stb. Az euklideszi, illetve hiperbolikus esetben a következők a (π ij ) mátrixok: E 3 : 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ; H3 : 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1. (2.27) A következő két fejezetben az általános három dimenziós modellt illetve beágyazási eljárást alkalmazzuk az S 2 R és H 2 R geometriák szemléltetésére. A többi Thurston geometriáról gyors áttekintést ad a [4] cikkbeli táblázat, melyben a transzformációcsoportokról is található információ. 13

3. fejezet Az S 2 R geometria Az S 2 R tér a kétdimenziós gömbfelület (S 2 ) és a valós egyenes (R) direkt szorzatával kapható meg. A pontokat a (P, p) kettős jellemzi, ahol P S 2 és p R. S 2 R izometriacsoportja Isom(S 2 R) előáll a szférikus sík izometriacsoportjának Isom(S 2 ) és a valós számegyenes izometriacsoportjának Isom(R) direkt szorzataként. Isom(S 2 R) := Isom(S 2 ) Isom(R); Isom(S 2 ) := {A O(3) : S 2 S 2 : (P, p) (P A, p)} bármely rögzített p-re. Isom(R) := {ρ : (P, p) (P, ±p + r)}, bármely rögzített P -re. Itt a "-" jel a pont pont-tükrözését eredményezi r 2 R-re, a "+" jellel pedig R eltolásait kapjuk meg. (3.1) A Γ Isom(S 2 R) izometriacsoport felépítése a következőképpen alakul: Γ := {(A 1 ρ 1 ),... (A n ρ n )}, ahol A i ρ i := A i (R i, r i ) := (g i, r i ), (i {1, 2,... n} and A i Isom(S 2 ), R i lehet az identikus leképezése R-nek (1 R ) vagy a pontra való tükrözés 1 R. g i := A i R i -t a (A i ρ i ) transzformáció lineáris részének nevezzük, r i pedig az eltolás (vagy transzlációs) része. Érdemes a transzformációk szorzási szabályát is leírnunk: (A 1 R 1, r 1 ) (A 2 R 2, r 2 ) = ((A 1 A 2 R 1 R 2, r 1 R 2 + r 2 ). (3.2) 3.1. Geodetikusok S 2 R-ben Mindezek ismeretében rátérhetünk arra, hogy hogyan alkalmazzuk ezt a modellt az S 2 R tér megjelenítésére ([12]). MOLNÁR EMIL [4] cikkében megmutatta, hogy mind a nyolc homogén maximális geometria beágyazható a projektív szférikus térbe, PS 3 (V 4, V 4, R)- be. Most ezt az általa levezetett modellt fogjuk használni. Ehhez az első lépés az infinitezimális ívhossznégyzet (ívelemnégyzet) meghatározása, ami az S 2 R esetében: 14

(ds) 2 = (dx)2 + (dy) 2 + (dz) 2 x 2 + y 2 + z 2. (3.3) Áttérünk gömbi polárkoordinátákra: (φ, θ), ( π < φ π, π θ π ), t R pedig 2 2 a fibrum paraméter. A modellünk pontjait ekkor az alábbi egyenletek írják le: x 0 = 1, x 1 = e t cos φ cos θ, x 2 = e t sin φ cos θ, x 3 = e t sin θ. (3.4) A homogén koordináták helyett áttérünk a x = x1 = x 1, y = x2 = x 2, z = x3 = x 3 x 0 x 0 x 0 megszokott Descartes-koordinátázásra. A [4] cikkből kiderül az is, hogy az ívhossz paraméterezésű infinitezimális ívhossznégyzet S 2 R bármely pontjában az alábbiak szerint alakul: (ds) 2 = (dt) 2 + (dφ) 2 cos 2 θ + (dθ) 2. (3.5) Komponensenként kiszámolható a nagyon fontos szimmetrikus metrikus tenzor g ij : 1 0 0 g ij := 0 cos 2 θ 0, (3.6) 0 0 1 S 2 R geodetikusait úgy definiáljuk, hogy bármely két elég közeli pont között a legrövidebb távolságot vegye fel. A modellbeli g(r(τ), φ(τ), θ(τ)) geodetikus paraméteres egyenletrendszerének meghatározásához Riemann geometriai számolást alkalmazunk. Feltehető, hogy a geodetikusok kezdőpontja (1, 1, 0, 0), mivel bármelyik másik pontból transzformálhatjuk úgy a görbét, hogy ebben a pontban legyen a kezdőpontja, valamint az általánosság megsértése nélkül feltehető, hogy az érintővektorok egységhosszúak. φ(0) = θ(0) = r(0) = 0; φ(0) = cos u cos v, θ(0) = sin u cos v, ṙ(0) = sin v; π < u π, π 2 v π 2. (3.7) Ebből kapjuk az S 2 R tér geodetikusait leíró másodrendű differenciálegyenlet-rendszert: φ 2 tan θ φ θ = 0; θ + sin θ cos θ φ 2 = 0; r = 0, (3.8) és ezt megoldva a geodetikus paraméteres egyenletrendszerét kapjuk, amellyel leírhatjuk és E 3 -ban ábrázolhatjuk (3.1 ábra) az S 2 R teret: 15

2 1 0 1 2 2 1 0 0 1 1 1 2 3 2 3.1. ábra. Geodetikusok változó u, v paraméterekkel és az alapgömbbel együtt ("a pók"). x(τ) = e τ sin v cos (τ cos v), y(τ) = e τ sin v sin (τ cos v) cos u, z(τ) = e τ sin v sin (τ cos v) sin u, (3.9) π < u π, π 2 v π 2. 3.1.1. Megjegyzés. A modell paramétereit úgy választjuk meg, hogy a (3.9) egyenletszendszer által leírt geodetikusok t = 0 paraméterértéke az (1, 1, 0, 0) pontban legyen, valamint az alapgömb sugara legyen ρ = 1. (3.1 ábra) 3.1.2. Definíció. P 1 és P 2 pontok d(p 1, P 2 ) távolságát a két pont közt húzható geodetikus görbe ívhossza - τ paramétere - definiálja. 3.1.3. Definíció. S 2 R-ben C középpontú, r sugarú geodetikus gömbnek nevezzük azon P pontok halmazát, amelyre d(c, P ) = r. Euklideszi analógiára a gömbtest azon pontok halmaza, amelyre 0 d(c, P ) r. Mindkét esetben megköveteljük, hogy a gömb egyszeresen összefüggő legyen, önátmetszés nélkül. (3.2 ábra) 3.1.4. Állítás. Geodetikus gömb akkor és csak akkor létezik S 2 R-ben, ha r (0, π). 16

3.2. ábra. Geodetikus félgömb és gömb ρ = 2 sugárral. 3.2. Az ekvidisztáns felület S 2 R geometriában Ebben a fejezetben a korábban tárgyalt egybevágóságok közül emelünk ki néhányat, amelyek szükségesek lesznek az ekvidisztáns felületek pontjainak meghatározásához. A második alfejezetben pedig eljutunk az ekvidisztáns felület egyenletének kiszámításához, egyszerűsítéséhez, valamint speciális esetek felderítéséhez, és az ábrázoláshoz. 3.2.1. S 2 R néhány izometriájának vizsgálata Ahogy a fejezet elején említettük, a tér izometriái előállnak S 2 izometriák és R izometriák direkt szorzatából. A gömbfelület egybevágósági transzformációi forgatások, amiket például a gömbi polárkoordinátázás szerint két, koordinátatengely körüli forgatás kompozíciójaként előállíthatunk, és mátrixokkal leírhatunk. R két izometriája közül az egyikre lesz szükségünk, ami egy origón átmenő egyenes mentén történő radiális irányú eltolás, ez a modellünkben egy megfelelő arányú középpontos hasonlóságnak felel meg és két koncentrikus gömbre történő inverzióval generálható (lásd 3.3 ábra). A másik az alapgömbre történő inverzió, amit egyfajta tükrözésnek tekinthetünk. Célunk egy olyan izometria megadása, ami egy tetszőleges P (1, x, y, z) pontot az (1, 1, 0, 0) kezdőpontba transzformál. Elsőként a T = (Id., T ) izometriát alkalmazzuk: P (1, x, y, z) P T (1, x, y, z ). Ez egy eltolást valósít meg, az alapgömbre húzza vissza a P pontot. (3.3 ábra) 17

3.3. ábra. Az eltolás transzformáció S 2 R-ben. 1 0 0 0 1 0 0 0 x T = 2 +y 2 +z 2 1 0 0 0, (3.10) x 2 +y 2 +z 2 1 0 0 0 x 2 +y 2 +z 2 Az alapgömbön lévő pontot két tengely körüli forgatás egymás utáni alkalmazásával transzformáljuk (1, 1, 0, 0)-ba. R z = (R z, 0) a z tengely körüli forgatást ír le: P T (1, x, y, z ) P T Rz (1, x, 0, z ). 1 0 0 0 0 x y 0 R z = x 2 +y x 2 2 +y 2 y 0 x 0, (3.11) x 2 +y x 2 2 +y 2 0 0 0 1 R y = (R y, 0) pedig y tengelyűt: P T Rz (1, x, 0, z ) P T RzRy (1, 1, 0, 0). 1 0 0 0 0 x 0 z R y = x 2 +z 2 x 2 +z 2 0 0 1 0. (3.12) z 0 x 2 +z 2 0 x 2 x 2 +z 2 Ezekkel az egybevágósági transzformációkkal bármely pontot az (1, 1, 0, 0)-ba vihetünk és így lehetőségünk nyílik az ekvidisztáns felületek meghatározására. 3.2.2. Ekvidisztáns felület 3.2.1. Definíció. P 1, P 2 pontokhoz tartozó ekvidisztáns (szakaszfelező) felületen azt a S P1 P 2 ponthalmazt értjük, amelyre minden X S 2 R-re d(p 1, X) = d(x, P 2 ) egyenlőség teljesül, és S 2 R-ben önátmetszés nélküli, egyszeresen összefüggő a felület. 18

A tér homogenítása miatt feltehetjük, hogy P 1 = (1, 1, 0, 0). Később láthatjuk, hogy ez a feltétel elhagyható, és két általános pontra is meghatározzuk a keresett felület egyenletét. A P 2 pontot (1, a, b, c) homogén koordinátákkal jelöljük. Nézzük meg, milyen problémákba ütközünk, ha szeretnénk ezt a felületet például megrajzolni. A definícióban szereplő egyenlőség jobb oldalára nézve az alábbi kérdés merül fel: hogyan mondjuk meg két tetszőleges pont távolságát? Még érdekesebb és alapvetőbb kérdés merül fel, ha a bal oldalra nézünk rá: hogyan húzunk adott P 2 pontba geodetikust a P 1 pontból? Utóbbi kérdés megválaszolása olyannyira nem egyértelmű, hogy más geometriákban ennek a számolása nem algebrai egyenletrendszerhez vezet, emiatt már két tetszőleges helyzetű pont távolságának meghatározása is csak közelítéssel lehetséges. Fogalmazzuk át az utóbbi kérdést! Adott a G P1 P 2 geodetikus, keressük ennek a τ, u, v paramétereit. Az első lépés egy egyszerű, de annál fontosabb megfigyelés (3.9) alapján: a 2 +b 2 +c 2 = = (e τ sin v cos (τ cos v)) 2 +(e τ sin v sin (τ cos v) cos u) 2 +(e τ sin v sin (τ cos v) sin u) 2 = = e 2τ sin v (cos 2 (τ cos v)+sin 2 (τ cos v)(cos 2 u+sin 2 u))=e τ sin v. (3.13) Ezt visszaírva x(τ)-ba: a2 + b 2 + c 2 cos (τ cos v) = a és felhasználva azt, hogy ( ) a τ cos v = arccos a2 + b 2 + c 2 (3.14) kapunk egy egyenletet a v paraméterre: log a 2 + b 2 + c 2 = τ sin v, (3.15) tan v = log a 2 + b 2 + c ( 2 ) v = arctan log a 2 + b 2 + c ( 2 ), (3.16) a arccos a arccos a 2 +b 2 +c 2 a 2 +b 2 +c 2 Ha v-t meghatároztuk, akkor τ számolható (3.15) alapján átrendezéssel: τ = log a 2 + b 2 + c 2. (3.17) sin v Végül az u közvetlenül megkapható (3.9) alapján z és y koordinátákból: tan u = z(τ) y(τ) = c ( c ) b u = arctan. (3.18) b Adósak maradtunk a speciális esetekkel, ezeket is tisztáznunk kell. 19

3.4. ábra. X S P1 P 2 akkor és csak akkor, ha d(p 1, X) = d(p 1, P T RzRy 2 ) teljesül. 3.2.2. Megjegyzés. Ha a 0, és b = 0, c = 0 - azaz P 2 egy x tengelyen lévő pont, akkor v nem számolható (3.16) alapján. Ekkor v = π és u = 0. Ebben az esetben a geodetikus 2 euklideszi értelemben vett szakasz lesz P 1 és P 2 között. Ha v = 0, akkor τ nem számolható (3.17) alapján. Ebben az esetben ( ) a ( c τ = arccos = arccos(a) és u = arctan. a2 + b 2 + c b) 2 Ekkor az a speciális eset fordul elő, hogy az alapgömbön van a P 2 pont is, a geodetikusok főkörívek, ívhosszukra is azt kaptuk, amit szférikus geometriában ismerünk. A (3.2.1) definícióban használt jelöléseket használva szeretnénk leírni azon X S 2 R pontok halmazát, melyre igaz, hogy rögzített P 1 és P 2 pontoktól egyenlő távolságra vannak, azaz d(p 1, X) = d(x, P 2 ). Transzformációink segítségével a d(x, P 2 ) távolság meghatározását a d(p 1, P T RzRy 2 ) meghatározásával helyettesíthetjük, ahol P T RzRy 2 a P 2 - re alkalmazott transzformációk együttese, ami X-et (1, 1, 0, 0)-ba viszi, ahogy ez a 3.4 ábrán is látható. Modellünkben az ezzel a módszerrel konstruált felület számítógéppel számolt implicit egyenlete a következőre egyszerűsödött: ( ) 4 arccos 2 ax + by + cz a2 + b 2 + c 2 x 2 + y 2 + z 2 + log 2 ( a 2 + b 2 + c 2 x 2 + y 2 + z 2 ) = ( ) = 4arccos 2 x + log 2 (x 2 + y 2 + z 2 ). x2 + y 2 + z 2 (3.19) (3.19) esetében a számolás egyszerűsítésének kedvéért feltettük, hogy P 1 (1, 1, 0, 0). Ezt most elhagyhatjuk. Jelölések ezek után így alakulnak: P 1 (1, a, b, c), P 2 (1, d, e, f), 20

3.5. ábra. Egy ekvidisztáns felület S P1 P 2, jobbra pedig megfigyelhetjük, hogy az ekvidisztáns felület hogyan változik, ha P 2 -t az (1, 4, 0, 0) és az (1, 1, 3, 0) pontok közé 2 2 húzható geodetikus mentén változtatjuk rögzített P 1 (1, 1, 0, 0) mellett. X(1, x, y, z). Ekkor kapjuk a felület implicit egyenletének végleges, szimmetrikus formáját, és ezt a Wolfram Mathematica szoftver segítségével ábrázoltuk is (3.5 ábra): ( ) 4 arccos 2 ax + by + cz a2 + b 2 + c 2 x 2 + y 2 + z 2 ( ) = 4 arccos 2 dx + ey + fz d2 + e 2 + f 2 x 2 + y 2 + z 2 + log 2 ( a 2 + b 2 + c 2 x 2 + y 2 + z 2 ) = + log 2 ( d 2 + e 2 + f 2 x 2 + y 2 + z 2 ). (3.20) 3.2.3. Egyszerűsítések euklideszi értelemben Speciális euklideszi helyvektorok bevezetésével tovább egyszerüsíthetjük ezt az egyenletet, hiszen amit látunk, azok vektorok euklideszi értelemben vett skalárszorzataiként, előállnak. Legyen a = OP 1, b = OP 2 és x = OX, valamint legyen minden v vektorra a szokásos módon v = v, v. ( ) a, x ( a 4 arccos 2 + log 2 2 ) ( ) x, b ( b = 4 arccos 2 + log 2 2 ). (3.21) a x x 2 x b x 2 Ebből a felírásból könnyebben látszik pár speciális eset. Először vegyük észre, hogy mindkét oldalon megjelenik két vektor által bezárt euklideszi szög. Ezeket jelöljök ɛ-nal és δ-val, azaz cos(ɛ) = a,x a x x,b és cos(δ) =. Ekkor euklideszi értelemben ɛ és δ rendre x b 21

3.6. ábra. A 3.5 ábra két szélső esete: P 2 (1, 4, 0, 0) és P 2 (1, 1, 3, 0), melyek az alfejezetben tárgyalt speciális eseteket 2 2 adják. a (a, x) és (x, b) (0 ɛ, δ π) szögeknek felelnek meg, és (3.21) egyenletünk az alábbi formát ölti: 4ɛ 2 + log 2 ( a, a x, x 1 ) = 4δ 2 + log 2 ( b, b x, x 1 ) (3.22) Elsőként vegyük azt a speciális esetet, amikor P 2 = c P 1, ahol c 0, ±1 és P 1 (1, 0, 0, 0), azaz a két pont egy origón átmenő egyenesen helyezkedik el. Ekkor nyilván minden X pontra (a, x) = (x, b), azaz ɛ = δ. A (3.22) egyenletből ezeket mindkét oldalról kivonva: log 2 ( a, a x, x 1 ) = log 2 ( b, b x, x 1 ) (3.23) Ha itt most a négyzetre emelést és a logaritmust is kiegyszerűsítjük, akkor semmi érdemi információt nem nyerünk az egyenletből. Használjuk fel azt a tényt, hogy log 2 (v 1 ) = ( log(v)) 2 = log 2 (v), és a (3.23) jobb oldalán cseréljük ki a log 2 () hasát a reciprokára. log 2 ( a, a x, x 1 ) = log 2 ( b, b 1 x, x ) a, a x, x 1 = b, b 1 x, x x, x = 4 a, a b, b = const. (3.24) Ezt úgy is írhatjuk, hogy x = a b, azaz az ekvidisztáns felület pontjai origótól azonos távolságra lévő pontok halmaza, ami pontosan egy euklideszi gömbfelületet ad (3.6 ábra), melynek sugara ρ = a b (geometriai közép). A másik fontos speciális eset, amikor a két pont ugyanazon az origó középpontú gömbön helyezkedik el. Ekkor nyilván a, a = b, b, ezt (3.23)-ba írva azonnal adódik az 22

ɛ = δ összefüggés. Ekkor azon pontok halmaza, amelyekbe mutató euklideszi helyvektorok egyenlő szöget zárnak be a és b vektorokkal, pontosan az a sík, amire a-t tükrözve b-t kapjuk. Tehát itt az ekvidisztáns felületünk egy origón átmenő euklideszi sík kivéve az origót (3.6 ábra). 3.2.3. Megjegyzés. Érdekes - és eddig nem tisztázott - kérdés, hogy az ekvidisztáns felület hogyan viselkedik az origó környezetében, hiszen projektív modellünkben az egy végtelen távoli pontot jelöl. Mivel képesek vagyunk bármely két ponthoz tartozó ekvidisztáns felületet felírni, ábrázolni, így nincs akadálya annak, hogy az 5. fejezetben egy adott pontrendszerhez tartozó Dirichlet-Voronoi cellát ábrázoljunk. A következő fejezet a H 2 R geometriát mutatja be röviden, rámutatva hasonlóságokra és különbségekre S 2 R-hez képest. 23

4. fejezet Analógiák és eltérések: H 2 R geometria A H 2 R geometria is direkt szorzatként származtatható, itt az első komponens nem a szférikus sík, hanem a H 2 hiperbolikus sík. Bemutatjuk a használt modellt, majd az előző fejezetben az ekvidisztáns felület konstruálására leírt procedúrát ebben a geometriában is végigkövetjük. 4.1. A modell és a geodetikusok A modell teljesen hasonlóan épül fel, mint az S 2 R tér esetében, azzal a különbséggel, hogy a H 2 R tér skalárszorzatának szignatúrája (0,, +, +). Ez a mi esetünkben kihat a modellpontok értelmezési tartományára. Ahogy (3.3)-nél látjuk, ott minden (dx, dy, dz) esetében pozitív ívhossznégyzetet kapunk. Ez most máshogy alakul: (ds) 2 = 1 x 2 + y 2 + z 2 (x2 + y 2 + z 2 )(dx) 2 + 2dxdy( 2xy) + 2dxdz( 2xz)+ +(x 2 + y 2 z 2 )(dy) 2 + 2dydz(2yz)(x 2 y 2 + z 2 )(dz) 2. (4.1) Itt is átkoordinátázással tudunk egyszerűsíteni, de itt kicsit máshogy alakul az áttérés: legyenek az új koordináták (t, r, α), ahol t fibrum paraméter, π < α π és r 0. Az alábbi egyenletrendszer írja le a pontokat a most bevezetett koordinátákkal: x 0 = 1, x 1 = e t cosh r, x 2 = e t sinh r cos α, x 3 = e t sinh r sin α. (4.2) Descartes-koordinátázást használunk majd ebben az esetben is. Szükségünk van az ívhossznégyzetre (t, r, α) koordinátákkal, amiből a g ij szimmetrikus metrikus tenzort megkaphatjuk. 24

4.1. ábra. Balra: az érvényes pontok tartományának határát jelölő kúp, az alaphiperboloid, valamint geodetikusok változó u, v paraméterekkel. Jobbra: szintén a modell pontjait meghatározó kúpfelület, valamint egy geodetikus gömb ρ = 2 3 sugárral. (ds) 2 = (dt) 2 + (dr) 2 + sinh 2 r(dα) 2. (4.3) 1 0 0 g ij := 0 1 0, (4.4) 0 0 sinh 2 r Teljesen analóg módon származtatjuk a másodrendű differenciálegyenlet-rendszert, amit megoldva megkapjuk a H 2 R geodetikusait (τ, u, v) paraméterekkel leíró egyenletrendszerét: x(τ) = e τ sin v cosh (τ cos v), y(τ) = e τ sin v sinh (τ cos v) cos u, z(τ) = e τ sin v sinh (τ cos v) sin u, (4.5) π < u π, π 2 v π 2. 4.1.1. Megjegyzés. A geodetikusok kezdőpontjának itt is az (1, 1, 0, 0)-át választottuk. 4.1.2. Megjegyzés. A háromdimenziós affin térbe történő beágyazás során (esetünkben E 3 ) a modellben csak olyan pontok reprezentálják az eredeti tér pontjait, amelyre x 2 y 2 z 2 > 0, ezeket a tér valódi pontjainak nevezzük (4.1 ábra). 25

Azok a pontok, amelyekre x 2 y 2 z 2 = 0, a modell határpontjait adják. Ezt összevetve azzal, hogy x(t) > 0, azt látjuk, hogy a modell egy origó középpontú, x forgástengelyű, pozitív x irányba nyíló, 45 -os félnyílásszögű kúpon belül helyezkedik el. A t = 0 paraméterértékre kiszámolt ponthalmaz hasonló objektumot definiál, mint S 2 Rben, itt nevezzük ezt alap-hiperboloidnak, mivel ez egy (1, 1, 0, 0) csúcspontú, x forgástengelyű, kétköpenyű hiperboloidfelület pozitív fele (4.1 ábra). Ezen a hiperboloidon a hiperbolikus sík modelljét kapjuk meg. 4.1.3. Definíció. P 1 és P 2 pontok (P 1, P 2 H 2 R) d(p 1, P 2 ) távolságát a két pont közt húzható geodetikus görbe ívhossza - τ paramétere - definiálja. 4.1.4. Definíció. H 2 R C középpontú, ρ sugarú geodetikus gömbje azon P pontok halmaza, melyre d(c, P ) = ρ. Abban az esetben, ha ez a gömbfelület (vagy gömbtest) nem egyszeresen összefüggő, vagy önátmetszést tartalmaz, nem tekintjük gömbnek. (4.1 ábra) 4.1.5. Megjegyzés. Lehetséges definiálni olyan geodetikus gömböket is, amelynek a középpontja az értelmezési tartomány (kúp) határán, vagy azon kívül van, ebben a dolgozatban csak az "érvényes" középpontú gömböket tárgyaljuk. 4.2. H 2 R ekvidisztáns felületei Kiemelve a különbségeket, röviden áttekintjük az ekvidisztáns felület egyenletének előállításához szükséges lépéseket, kezdve az izometriákkal. 4.2.1. Izometriák A tér teljes izometriacsoportja - Isom(H 2 R) - szétbomlik a komponensek direkt szorzatára, Isom(H 2 )-re és Isom(R)-re. Az érdekes rész itt is H 2 izometriáinak tárgyalása, és azoknak a transzformációknak a legyártása, amik majd szükségesek lesznek az ekvidisztáns felület számításához. Ezeket nem részletezzük ismét, azonban két különbségre felhívjuk a figyelmet: Az az elvárás, hogy az eltolás T transzformáció az alap-hiperboloid felületére vetítse az általános helyzetű pontot. Erre tekintsünk úgy, mintha a pontba mutató euklideszi helyvektor hosszát normálnánk. A vektor hossza a skalárszorzatból származik, amit a tér szignatúrája befolyásol. Ezért itt a normálási faktor P (1, x, y, z) pont esetén (x 2 y 2 z 2 ) 1/2, azaz ezt írjuk a mátrix főátlójába. A forgatások (R x és R z ) hiperbolikus síkon történő forgatások, tehát hiperbolikus szögfüggvények és inverzeik jelennek meg, viszont ezek mátrixos felírásban hasonlóan kiegyszerűsödnek, mint a normál szögfüggvények esetében. 26

P (1, x, y, z) P T (1, x, y, z ): 1 0 0 0 1 0 0 0 x T = (Id., T ) = 2 y 2 z 2 1 0 0 0 x 2 y 2 z 2 1 0 0 0 x 2 y 2 z 2, (4.6) Ezt követően az alap-hiperboloidra képzett pontot egy x tengely körüli forgatással az [x, y] síkba visszük, majd z tengely körüli hiperbolikus forgatással az (1, 1, 0, 0)-ba kerül a pontunk. P T (1, x, y, z ) P T Rx (1, x, y, 0). 1 0 0 0 0 1 0 0 R x = (R x, 0) = 0 0 y z y 2 +z 2 0 0 z y 2 +z 2 y y 2 +z 2 y 2 +z 2, (4.7) P T Rx (1, x, y, 0) P T RxRz (1, 1, 0, 0). 1 0 0 0 0 x y 2 0 R z = (R z, 0) = x 2 y x 2 2 y 2 0 y 2 x 0. (4.8) x 2 y x 2 2 y 2 0 0 0 1 4.2.2. A felület egyenlete, speciális esetek Ismét feltehetjük azt a kérdést, hogy hogyan számoljuk vissza egy adott pontba futó geodetikus paramétereit. Erre hasonló a válasz, kis módosítással: a 2 b 2 c 2 = = (e τ sin v cosh (τ cos v)) 2 (e τ sin v sinh (τ cos v) cos u) 2 (e τ sin v sinh (τ cos v) sin u) 2 = = e 2τ sin v (cosh 2 (τ cos v) sinh 2 (τ cos v)(cos 2 u+sin 2 u))=e τ sin v. (4.9) Ez az azonosság szépen egybevág a szignatúrával, skalárszorzattal, és a hiperbolikus szögfüggvényekre felírható összefüggésekkel. Innentől a (τ, u, v) paraméterek számolása - és látni fogjuk, hogy az ekvidisztáns felület számolása is - teljesen analóg a korábban látottakkal, a behelyettesítéseknél (4.9)-t kell alkalmazni. A transzformációkat és a paraméterek visszaszámolását felhasználva kiszámoltuk a H 2 R tér két tetszőleges P 1 (1, a, b, c) és P 2 (1, d, e, f) pontja közötti ekvidisztáns felület egyenletét (4.2 ábra): 27

4.2. ábra. Balra: S P1 P 2 általános helyzetű ekvidisztáns felület P 1 (1, 1, 0, 0) és P 2 (1, 2, 1, 1) pontokkal. Jobbra: P 1 (1, 1, 0, 0), P 2 (1, 2, 1, 2) egy hiperboloidon lévő pontok, ezért S P1 P 2 ekvidisztáns felület egy euklideszi síkbeli felület. P 1 (1, 1, 0, 0), P 3 (1, 2, 0, 0) pontok egy fibrumon helyezkednek el, ezért S P1 P 3 egy hiperboloid pozitív fele. ( ) 4 arcosh 2 ax by cz a2 b 2 c 2 x 2 y 2 z 2 ( ) = 4 arcosh 2 dx ey fz d2 e 2 f 2 x 2 y 2 z 2 + log 2 ( a 2 b 2 c 2 x 2 y 2 z 2 ) = + log 2 ( d 2 e 2 f 2 x 2 y 2 z 2 ). (4.10) Látható, hogy az egyenlet analóg a (3.20)-ben látottnál, itt a megfelelő skalárszorzat és szög jelenik meg ( a hiperbolikus síkbeli szögmérésben cosh függvény szerepel). Bevezetve az ɛ és δ szögeket, valamint a H 2 R-beli skalárszorzatot, pontosan (3.22) alakra változik ez az egyenlet is. Innen már nem meglepő, hogy a két speciális eset is pontosan ugyanabban az esetben jön elő, és a skalárszorzatos felírásból ugyanúgy megmutatható. Tehát ha a két pont egy radiális (origón átmenő) egyenesen - fibrumon - helyezkedik el, akkor az ekvidiszáns felületük egy kétköpenyű hiperboloid pozitív fele. Másik speciális esetben a két pontba mutató helyvektor hossza megegyezik, azaz a mindkét pont az alap-hiperboloid valamely eltoltján van rajta. Ekkor kapjuk az euklideszi sík értelmezési tartományba eső részét, mint ekvidisztáns felületet (4.2 ábra jobb oldalán mindkét eset látható). 28

5. fejezet Tércsoportok és Dirichlet-Voronoi cellák Szinte minden készen áll ahhoz, hogy bevezessük a Dirichlet-Voronoi cella fogalmát, és láthassuk az S 2 R és H 2 R terek felépítésében és megismerésében fontos szerepet játszó egyik fontos objektumot. Mivel egy Dirichlet-Voronoi cella (vagy cellarendszer, kövezés) egy adott pontrendszerhez tartozik, ezért célszerű speciális helyzetű pontrendszereket vizsgálni. Ehhez kapcsolódóan röviden megismerkedünk a tércsoportokkal, és a dolgozat zárásaként egy példát mutatunk az ábrázolt cellára. 5.1. S 2 R és H 2 R tércsoportjairól A tércsoport tulajdonképpen izometriák speciális halmaza. Azt láttuk (3.1)-ben, hogy a két tér izometriacsoportjait az S 2 illetve H 2 izometriák határozzák meg. Itt jelentős a különbség S 2 R és H 2 R között, ezért külön definíció szükséges a tércsoportokra a két geometriában. 5.1.1. Definíció. S 2 R-ben: Izometriák egy Γ Isom(S 2 R) csoportját tércsoportnak hívunk, ha Γ lineáris része egy véges, Γ 0 -al jelölt csoportot, úgynevezett pontcsoportot alkot, és ennek a pontcsoportnak az egységeleméhez tartozó transzlációs rész egydimenziós rácsot (L Γ ) alkot R-en. 5.1.2. Definíció. H 2 R-ben: Izometriák egy Γ Isom(H 2 R) csoportját tércsoportnak hívunk, ha Γ lineáris része egy kokompakt, Γ 0 -al jelölt pontcsoportot alkot, és ennek a pontcsoportnak az egységeleméhez tartozó transzlációs rész egydimenziós rácsot (L Γ ) alkot R-en. 5.1.3. Megjegyzés. Mindkét esetben belátható, hogy a Γ tércsoport diszkrétsége (kokompaktsága) ekvivalens azzal, hogy létezik F Γ kompakt alaptartomány. 29

5.1. ábra. A képen a 12.I.3 tércsoport P alappontját (fekete), P i képpontokat (piros), valamint a P -hez tartozó Dirichlet-Voronoi cella. Sárga színnel a számítógéppel számolt test, feketével a drótváz. Ha Γ 0 pontcsoport g i generátorai tükrözések, transzlációs részük pedig τ i = 0, akkor általánosított Coxeter csoportokról beszélünk. Ezek alaptartományait prizmának hívjuk. A prizmát két "párhuzamos sík" határozza meg, oldal élei pedig fibrum-irányúak. Erről bővebben a [7] cikkben olvashatunk. Ennél eggyel általánosabb, ha megengedünk eltolásokat is. Ezek az úgynevezett csúsztatva tükrözés transzformációt is meg tudják valósítani. A tükrözések és eltolások által generált csoportot csúsztatva tükrözéses tércsoportnak 1 hívjuk (lásd [13]). 5.2. Dirichlet-Voronoi cellák az S 2 R térben 5.2.1. Definíció. Egy D(K) ponthalmazt pontosan akkor nevezünk Γ tércsoport K ponthoz tartozó Dirichlet-Voronoi cellájának, ha az alábbi feltételek teljesülnek: K Π R (Π itt S 2 vagy H 2 ) D(K) = {X Π R : d(k, X) d(k g, X) g Γ} (5.1) A definícióban szereplő d(k, X) d(k g, X) egyenlőtlenségből világosan látszik, hogy bármely Dirichlet-Voronoi cella határoló lapjai a korábban definiált ekvidisztáns felületek lesznek, és a K alappontja az ezek által határolt kompakt tartományon belül helyezkedik el. 5.2.2. Megjegyzés. A tércsoportokról és osztályozásukról részletes leírást adnak az [1], [13], [8], [7] cikkek. 1 glide reflection group 30

5.2. ábra. A Dirichlet-Voronoi cella drótváza geodetikusokkal, valamint beleírt geodetikus gömbje. Ennél a tércsoportnál ebben a helyzetben kapjuk a tér legsűrűbb gömbkitöltését, a jobb oldali ábrán láthatóak a szomszédos gömbök is, amik a cella minden lapján érintik az alappont gömbjét. Nézzük most S 2 R egyik tércsoportját, [13]-ban Γ = 12.I.3-al jelöltet. A tércsoport generátorelemeit egy P pontra hattatva 7 képpontot (P i ) kapunk. Tehát a Γ tércsoport P -hez tartozó Dirichlet-Voronoi celláját azok az X pontok alkotják, melyre d(p, X) d(p i, X), i {1, 2,..., 7}. Az elkészített ábrákon (5.1, 5.2) a Γ tércsoporthoz tartozó optimális gömbkitöltés helyére transzformált helyzetben van a pontrendszer. A dolgozat végső célja a Dirichlet- Voronoi cellák mellett a gömbkitöltések ábrázolása is, ezekről a Thurston geometriákban elért eredményekről bővebben a [10], [6], [9], [7], [8] cikkek szólnak. A 5.1 ábrán a kapott pontrendszer és az alapponthoz tartozó Dirichlet-Voronoi cella látható. A sárga színnel rajzolt test a számítógép közelítése a cellára. A hiba a pontok numerikus számításából és a test pontjainak iteratív számolásából adódik. A csúcspontokat numerikusan kiszámolva, és geodetikusokkal összekötve megkapjuk a Dirichlet-Voronoi cella éleit. Ez egyelőre nem bizonyított tény, de többek között ezt is célul tűzzük ki, hogy belássuk a sejtést valamilyen formában: bármely (ekvidisztáns felületekből konstruált) Dirichlet-Voronoi cella élei transzlációs görbék (itt ezek egybeesnek a geodetikusokkal). H 2 R-ben hasonlóan működik a Dirichlet-Voronoi cella vizualizálása, de ebben a térben még a tércsoportok vizsgálata is folyamatban van, ezért itt még nem készültek tércsoport által generált pontrendszerhez ábrák. 31

6. fejezet Összefoglalás A dolgozat első fejezetében összefoglaltuk annak az univerzális modellnek a felépítését, tulajdonságait, melyet megfelelően specifikálva alkalmas a nyolc Thurston geometria megjelenítésére, így végül lehetőségünk nyílt E 3 -ban látni ezeket a tereket. Két dimenzióban volt célszerű szemléltetnünk a módszert, mivel az a három dimenziós projektív szférikus és projektív tereket érintette. Vizsgáltuk a távolság-, és szögmérést, egyenes-pont polaritást, majd követve az analógiákat, három dimenzióban is alkalmaztuk az apparátust. Ezután következik a dolgozat egyik fő fejezete, melyben megismerkedtünk az S 2 R geometriával. Ez a fejezet főként a [12] cikket dolgozza fel. Levezettük a geodetikusok paraméteres egyenletrendszerét, említést tettünk a tér hasznos izometriáiról. Ezt a két dolgot felhasználva képesek voltunk távolságot mérni, és transzformációk segítségével ezeket össze is tudtuk hasonlítani. Definiáltuk az ekvidisztáns felületet euklideszi analógiára, a felező merőleges sík általánosításaként. Eljutottunk az ekvidisztáns felület implicit egyenletéhez, melyet egyszerűsítettünk, és euklideszi geometriában ismert apparátus segítségével megkerestük a főbb speciális eseteket. A H 2 R térről szóló fejezet alapvetően az előzőhöz történő összehasonlításon alapult, rámutattunk analógiákra, átültethető ötletekre, ugyanakkor felhívtuk a figyelmet jelentős különbségekre is. Hasonló módszerrel itt is eljutottunk a tér ekvidisztáns felületeinek megjelenítéséig, speciális esetekkel együtt. Ezekkel tulajdonképpen előkészítettük az utolsó - talán legfontosabb - fejezetben bemutatott Dirichlet-Voronoi cellát. Az S 2 R geometria egy tércsoportja által generált pontrendszerhez tartozó optimális gömbkitöltés helyzetében vizualizáltuk a Dirichlet-Voronoi cella tartományát és magát a gömbkitöltést, valamint sejtésként megfogalmaztunk és ábrázoltunk egy általánosabb állítást. Köszönettel tartozom témavezetőmnek, Szirmai Jenőnek a szakmai segítségnyújtásért és a lehetőséget, hogy a témával kapcsolatos friss kutatásokba betekintést nyerhettem, valamint Schultz Benedeknek a szakmai és a L A TEX nyelvbeli tanácsokért. 32

Irodalomjegyzék [1] J.Z. FARKAS, The classification of S 2 R space groups. Beiträge zur Algebra und Geometrie (Contributions to Algebra and Geometry), 42 (2001) 235 250. [2] BLAŽENKA DIVJAK, ZLATKO ERJAVEC, BARNABÁS SZABOLCS, BRIGITTA SZI- LÁGYI Geodesics and geodesic spheres in SL(2, R) geometry Mathematical Communications, Vol.14 No.2 413-424. [3] E. MOLNÁR, On projective models of Thurston geometries, some relevant notes on Nil orbifolds and manifolds. Siberian Electronic Mathematical Reports, http:// semr.math.nsc.ru (to appear) [4] E. MOLNÁR, The projective interpretation of the eight 3-dimensional homogeneous geometries. Beiträge zur Algebra und Geometrie (Contributions to Algebra and Geometry), 38 No. 2 (1997), 261-288. [5] E. MOLNÁR- J. SZIRMAI, Symmetries in the 8 homogeneous 3-geometries, Symmetry: Culture and Science, Vol. 21 No. 1-3 (2010), 87-117. [6] J. SZIRMAI, Lattice-like translation ball packing in Nil space, Manuscript to Publicationes Math. Debrecen. [7] J. SZIRMAI, Geodesic ball packings in S 2 R space for generalized Coxeter space groups. Beiträge zur Algebra und Geometrie (Contributions to Algebra and Geometry) (2011). [8] J. SZIRMAI, Geodesic ball packings in H 2 R space for generalized Coxeter space groups. Manuscript to Math. Communications (2010) [9] J. SZIRMAI, The densest geodesic ball packing by a type of Nil lattices, Beiträge zur Algebra und Geometrie (Contributions to Algebra and Geometry). 48 No. 2 (2007), 383-397. 33

[10] J. SZIRMAI, The densest translation ball packing by fundamental lattices in Sol space, Beiträge zur Algebra und Geometrie (Contributions to Algebra and Geometry) to appear. [11] THURSTON, W. P. (and Levy, S. editor) (1997) Three-Dimensional Geometry and Topology, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, Vol 1. [12] J. PALLAGI, B. SCHULTZ, J. SZIRMAI, Visualization of geodesic curves, spheres and equidistant surfaces in S 2 R space, KoG (2010). [13] J. SZIRMAI, Simply transitive geodesic ball packings to glide reflections generated S 2 R space groups, (Manuscript) (submitted 2011). 34