Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. (: 27-317 - 077 (/fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör Geometriai feladatok 2016/2017. 4. feladatsor 5.-6. évfolyam A geometria ponthalmazok vizsgálatával foglalkozik, ugyanis minden geometriai alakzat (egyenes, szög, háromszög, téglalap, kocka, stb) pontokból áll. Itt darabolási, területszámítási, térfogatszámítási feladatokkal foglalkozunk. Jó munkát, sok sikert hozzájuk! Mintapéldák 1. Darabolj föl egy négyzetet 6 négyzetre! Íme a megoldás: 2. Az ábrán látható nagy négyzet oldala 3cm. Az oldalait 3-3 egyenlő részre osztottuk és a rmegfelelő osztópontokat összekötöttük. Mekkora az így kapott négyzet területe? A nagy négyzet területéből hagyjuk el a felesleges részek területét. A nagy négyzet területe 3 3 = 9 cm². A négy derékszögű háromszög két olyan téglalapot alkot, melynek méretei 2cm és 1cm. A két téglalap együttes területe 2 2 1 = 4 cm². Így a kisebb négyzet területe 9-4 = 5cm². 3. Darabolj fel egy szabályos háromszöget 8 (nem feltétlenül egyforma) szabályos háromszögre! Íme a megoldás: 4. Egy 3cm élű kocka mindegyik lapját 9 egybevágó kis négyzetre osztottuk. Mindegyik lapon kiválasztjuk a középső kis négyzetlapot és erre merőlegesen a szemközti lapig egy négyzetes oszlopot kifúrunk a kockából. Mennyi lesz az így kapott lyukas test felszíne és térfogata? Az üreges kocka mindegyik lapjának a befelé tartó alagúttal együtt 8 + 4 = 12 cm² a területe. A test felszíne 6 12 = 72 cm². A lyukak fúrásával a kockából 6 + 1 = 7 egységkockát vettek ki. A kocka térfogata 3 3 3 = 27 cm³, a lyukas testé 27 7 = 20 cm³. Összeállította: Merényi Imre
Gyakorló feladatok 1. Darabolj föl egy négyzetet 8 négyzetre! 2. A pontok a négyzet oldalait 3-3 egyenlő részre osztják. Hányad része a szürkített háromszög területe a négyzet területének? 3. Daraboljátok fel az összes lehetséges módon 1x2-es téglalapokra a mellékelt 4x4-es négyzetlapot! (Az egymásba forgatással vagy tükrözéssel átvihető megoldásokat nem tekintjük különbözőnek.) 4. Az asztalra letettünk néhány egyforma méretű kockát. Ha ezeket elölről, illetve oldalról nézzük, akkor az ábrán látható képeket látjuk. Legkevesebb hány kocka lehet az asztalon? Kitűzött feladatok 1. Darabolj föl egy négyzetet 7 négyzetre! 2. A szürkített rész hányad része a négyzet területének, ha az oldalakon felezőpontokat vettünk fel? 3. Rajzold le a kocka hálóját az innen hiányzó hatodik négyzettel együtt! Keresd meg az összes lehetőséget! 4. Egy adott kockát mindegyik lapjára tükrözünk. Az így kapott test (az eredeti kockával együtt) térfogata hányszorosa a kocka térfogatának? És a felszíne hányszorosa a kocka felszínének? Beküldési határidő: 2017.03.24. Postai cím: Észak-Pest Megyei Matematikai Tehetségfejlesztő Központ 2600 Vác, Németh L. u. 4-6. Összeállította: Merényi Imre
Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2016/2017. 4. feladatsor 7.-8. évfolyam A hamis feltételezések módszere A hamis feltételezések módszerét gyakran hamis hipotézisek módszere vagy egyszerűen feltételezések módszere néven emlegetik. A módszer az aritmetikának egy sajátos feladatmegoldási módszere, amelyet két- vagy három ismeretlenes feladatok esetében alkalmazhatunk, de akár még több ismeretlenes feladatokat is oldhatunk meg vele. Elméletileg minden olyan feladat megoldható vele, amelynek mennyiségei arányosak, tehát általában a lineáris egyenletrendszerekre visszavezethető feladatok hatékony megoldási módszere. Hátrány viszont, hogy a megoldás kivitelezése bizonyos esetekben erőltetett. A módszer lényege, hogy a feladat ismeretlen mennyiségeire nézve valamilyen feltételt (feltételeket) állítunk és összehasonlítjuk a valódi helyzetet (a feladat adatait) a hipotézisek által létrehozott helyzettel. Az eltérés figyelembevételével egyszerű számolások segítségével könnyen következtethetünk arra, hogy mennyiben tér el a hamis feltételezés a helyes megoldástól. Ki kell hangsúlyozni, hogy a feltételezések módszere különbözik az egyszerű próbálgatásoktól és nem a "megoldás eltalálása" a fő célkitűzés. A legfőbb különbséget az jelenti, hogy a hipotézisek felállítása után megpróbálunk következtetni arra, hogy milyen irányban és mennyivel változtassuk meg a feladat ismeretlen mennyiségeit ahhoz, hogy a jó megoldást megtaláljuk. Mintapéldák 1. Ha egy teremben a tanulókat négyesével ültetjük a padokhoz, akkor 18 tanulónak nem jut hely. Ezért ötösével ültetjük őket, és így 4 pad üresen marad. Hány tanuló és hány pad van a teremben? Első feltételezés: feltételezzük, hogy 20 pad van a teremben. Ekkor: az első ültetési rend szerint 4 20 18 98 tanuló lenne, a második ültetési rend szerint 5 20 4 80 tanuló lenne. Tehát a tanulók száma a két ültetési rend szerint nem ugyanaz (pedig ugyanarról a tanulócsapatról van szó), vagyis létezik egy 98 80 18-as eltérés, tehát a feltételezés hibája 18. Második feltételezés: feltételezzük, hogy 21 pad van a teremben. Ekkor: az első ültetési rend szerint 4 21 18 102 tanuló lenne, a második ültetési rend szerint 5 21 4 85 tanuló lenne. Tehát a tanulók száma között most 102 85 17 az eltérés, vagyis a feltételezés hibája 17. Következtetés: A padok számát eggyel növelve a feltételezés hibája 1 -gyel csökken. Mivel az első feltételezésnél a hiba 18 volt, ezért a padok számát (az első feltételezéshez képest) 18-cal kell növelni.
Megoldás: A padok száma helyesen 20 18 38. Ellenőrzés: az első ültetési rend szerint 4 38 18 170 tanuló, a második ültetési rend szerint 5 38 4 170 tanuló. Tehát a tanulók száma mindkét ültetési rend szerint ugyanaz, ezért az eredmény helyes, a padok száma 38, míg a tanulók száma 170. Próbálkozásainkat táblázatba foglaljuk: Padok száma első ültetés második ültetés különbség hiba 1. felt. 20 4 20 18 98 2. felt. 21 4 21 18 102 Megoldás 38 4 38 18 170 5 20 4 80 5 21 4 85 5 38 4 170 98 80 18 18 102 85 17 17 170 170 0 0 2. Egy raktárból 10 szenet adnak el. Ezután a raktárba annyi szén érkezik, mint amennyi az eladás után maradt. Most megint eladnak 30 szenet. Ezután háromszor annyi szén érkezik a raktárba, mint amennyi a második eladás után maradt. Eladnak még 360 tonnát, és így ugyanannyi szén marad a raktárban, mint amennyi eredetileg volt. Hány szén volt eredetileg a raktárban? Első feltételezés: Tegyük fel, hogy 200 szén volt a raktárban, majd hajtsuk végre a feladatban szereplő műveleteket: 200 10 190 190 190 380 380 30 350 350 3 350 1400 1400 360 1040 Tehát 1040 szén maradt, viszont ennek egyenlőnek kellene lennie a kezdeti mennyiséggel (a feladat szerint), viszont létezik egy 1040 200 840 eltérés, tehát a hiba 840. Második feltételezés: Tegyük fel, hogy 199 szén volt a raktárban, majd hajtsuk végre a feladatban szereplő műveleteket: 199 10 189 189 189 378 378 30 348 348 3 348 1392 1392 360 1032 Tehát 1032 szén maradt, tehát létezik egy 1032 199 833 eltérés, vagyis a hiba 833. Következtetés: A kezdeti mennyiséget 1-gyel csökkentve a hiba 7-tel csökken. Mivel az első feltételezésnél a hiba 840 volt, ezért a kezdeti mennyiséget (az első feltételezéshez képest) 840 : 7 120-szal kell csökkenteni. Megoldás: 200 120 80 szén volt eredetileg a raktárban.
Ellenőrzés: 80 10 70 70 70 140 140 30 110 110 3 110 440 440 360 80 Végül 80 szén maradt a raktárban, pontosan annyi, amennyi kezdetben volt, tehát az eredmény helyes. 3. Zsugori Úr pénztárcájában 5, 10 és 50 eurós bankjegyek vannak, összesen 1500 euró. A 10 eurósok száma fele az 5 eurósok számának. Az 50 eurósok száma kétötöde az 5 eurósok számának. Hány bankjegy van mindegyikből? A könnyebb átláthatóság céljából feltételezéseinket táblázatba foglaljuk: 5 eurósok 10 eurósok 50 eurósok összeg hiba 1. felt. 10 5 4 300 1500 300 1200 2. felt. 20 10 8 600 1500 600 900 Megoldás 50 25 20 1500 1500 1500 0 Megjegyzés: A feltételezés alapjául az 5 eurósok számát választottuk, mivel a feladat a többi bankjegyet is ehhez viszonyítja. Értelemszerűen olyan számadatokat választottunk a feltételezéshez, amelyeknek a fele, illetve kétötöde egész szám. Végül észrevettük, hogy az 5 eurósok számát 10-zel növelve, a hiba 300-zal csökken, innen már könnyen adódott a megoldás. 4. Egy erdőben 18-szor annyi róka van, mint farkas. Még jött az erdőbe 546 róka és 57 farkas, így a rókák száma a farkasok számának a 14-szerese lett. Hány róka és hány farkas volt eredetileg az erdőben? farkas róka (kezdet) farkas róka (végül) hiba (kezdet) (végül) 1. felt. 10 18 10 180 10 57 67 180 546 726 67 14 726 212 2. felt. 11 18 11 198 11 57 68 198 546 744 68 14 744 208 Megoldás 63 18 63 1134 63 57 120 1134 546 1680 120 14 1680 0 Megjegyzés: A hiba kiszámításánál a végső helyzetből indultunk ki. A hiba kiszámításánál a farkasok számának a 14-szereséből vontuk ki a rókák számát. Látható, hogy a farkasok kezdeti számát eggyel növelve a hiba 4 gyel csökken. Tehát a farkasok számát (az első feltételezéshez képest) 212 : 4 53 -mal kellett növelni.
Gyakorló feladatok 1. Egy erőmű építéséhez zsákokban cementet szállítottak. Ha egy autó kivételével a kocsik 45 zsákot vittek volna, és az az egy pedig 36 zsákot, akkor 7 autó rakomány nélkül maradt volna. Ha pedig mindegyik autó 40 zsákot szállított volna, 486 zsákot nem szállítottak volna el. Számítsuk ki, hogy hány zsák cementet kellett szállítani és hány teherautó volt? 2. Egy tánccsoportban négyszer annyi fiú van, mint leány. Előadásra utazik négy pár (4 fiú és 4 lány), és így hétszer több fiú marad otthon, mint lány. Hány tagja van a csoportnak? 3. Egy csirkekeltető gépben 10, 12, 15 és 18 napos csibék vannak, összesen 163 csibe. Az életkoruk összege 2100 nap. A 10 napos csibék száma 3-mal kevesebb, mint a 12 napos csibék számának a kétszerese. A 15 napos csibék száma 9-cel több a 10 napos csibék számánál. Hány csibe van az egyes fajtákból? 4. Két szám összege 200. Az első szám nyolcadának és a második szám negyedének az összege 38. Melyik ez a két szám? Kitűzött feladatok 1. Sára születésnapján süteményekkel kínálta barátait. Ha minden barátja 5 süteményt kapna, 2- nek nem jutna sütemény. Ezért mindenki 4 süteményt kapott, és így megmaradt 17 sütemény. Hány süteménye volt Sárának? 2. Julcsi néni kosarában 5-ször több szilva van, mint alma. Ha beletesz még 2 almát és kivesz 14 szilvát, a kosárban 3-szor több szilva lesz, mint alma. Hány szilva és hány alma volt eredetileg a kosárban? 3. Az étkezdében 4, 7 és 8 literes edények vannak. A 170 darab edénybe összesen 1215 liter víz fér. A 7 literes edények száma 5-tel több a 4 literes edények számának a háromszorosánál. Hány edény van az egyes fajtákból? 4. Egy 7800 kg-os farakásban 80 fenyőgerenda és 120 tölgyfagerenda van. Hány kg egy fenyőgerenda és mennyi egy tölgyfagerenda tömege, ha a fenyőgerenda tömegének háromszorosa a tölgyfagerendák tömegének kétszeresével egyenlő? Beküldési határidő: 2017.03.24. Postai cím: Észak-Pest Megyei Matematikai Tehetségfejlesztő Központ 2600 Vác, Németh L. u. 4-6.