. Feladatok a termodinamika tárgyköréből Hővezetés, hőterjedés sugárzással.. Feladat: (HN 9A-5) Egy épület téglafalának mérete: 4 m 0 m és, a fal 5 cm vastag. A hővezetési együtthatója λ = 0,8 W/m K. Mennyi hő áramlik át a falon óra alatt, ha az átlagos belső hőmérséklet 0 0 C, a külső pedig 5 0 C? Megoldás: Jelölések: a fal felülete A = 4 m 0 m = 40 m ; a falvastagság d = 5 cm; az eltelt idő t = óra = 400 s; = 0 0 C és T = 5 0 C. A hőáram (a belső energia árama, itt most a fal teljes felületére vett teljesítmény) a Fouriertörvény szerint A óra alatt átáramlott hő I = P = λ T A. (..) d Q = λ T At =,8 0 8 J. (..) d.. Feladat: (HN 9B-) Egy cm élhosszúságú alumínium kockát lámpakorommal vontak be és így ideális hősugárzó lett. A kockát vákuumkamrába tették, amelynek falait 7 0 C-on tartották. Milyen teljesítményű legyen az a fűtőtest, amely annyi energiát ad a kockának, hogy hőmérséklete állandóan 90 0 C maradjon? Megoldás: Jelölések, adatok: a = cm; T 0 = 7 0 C = 00 K; = 90 0 C = 6 K és σ = 5,67 0 8 W/(m K 4 ). A stacionárius (időben állandó) állapot beálltakor a fűtőtest teljesítménye ahol a kocka felszíne A = 6a. Az adatok behelyettesítése után P = σ(t 4 T 4 0 )A (..) P =,86W. (..) 05. december 8.
Ideális gázok állapotegyenlete.. Feladat: (HN 0B-6) Egy tó fenekén, ahol a hőmérséklet 4 0 C, egy 0, cm átmérőjű légbuborék képződött. Ez 5 m-t emelkedik a felszínig, ahol a víz hőmérséklete 4 0 C. Határozzuk meg a gömb alakú buborék méretét, amint éppen eléri a víz felszínét, feltételezve, hogy a buborék belsejében lévő levegő mindig felveszi a környező víz hőmérsékletét! A légköri nyomás 0 5 Pa. Megoldás: Jelölések: = 4 0 C = 77 K; d = 0, cm; h = 5 m; T = 4 0 C = 97 K; a külső légnyomás p k = 0 5 Pa; a víz sűrűsége ϱ = 000 kg/m. Az egyesített gáztörvény szerint (p k + ϱgh) 4 ( d ) π ahonnan behelyettesítés után a buborék átmérője = p 4 k ( d ) π, (..) T d = 0,cm. (..).4. Feladat: (HN 0B-6) Milyen hőmérsékleten egyenlő az oxigén atomok négyzetes középsebessége a Föld felszínéről való szökési sebességgel? Megoldás: Adatok: A Föld sugara R F = 670 km, tömege M F = 6 0 4 kg; gravitációs állandó γ = 6,67 0 Nm /kg ; egyetmes gázállandó R = 8, J/(mol K); az oxigén móltömege M = 6 g/mol. A v sz szökési sebesség v sz = γmf R F, (.4.) a v nks négyzetes középsebesség RT v nks = M. (.4.) A kettő egyenlőségéből a fenti adatokkal a kérdéses hőmérséklet T = 8064K. (.4.) 05. december 8. 4
Körfolyamatok ideális gázzal.5. Feladat: (HN C-) Kezdeti p, V, állapotjelzőkkel jellemzett egyatomos ideális gázzal a következő, három lépésből álló körfolyamatot végezzük: izotermikus expanzió V térfogatig, izobár kompresszió az eredeti térfogatig és izochor melegítés a kezdeti nyomás és hőmérséklet visszaállítására. (a) Ábrázoljuk a körfolyamatot a p V síkon! (b) Határozzuk meg a gáz mólszámát a megadott paraméterekkel, a gázállandóval és c v -vel kifejezve. (c) Határozzuk meg a T hőmérsékletet az izobár kompresszió végén a b) feladat eredményét felhasználva! (d) Írjuk fel mindhárom folyamatra a hőmérséklet változását a megfelelő változók függvényében. Megoldás: (a) (ábra) (b) Az ideális gáz pv = nrt (.5.) állapotegyenletéből és a mólhőre érvényes c v = R (.5.) összefüggéssel az n mólszám n = p V c v = p V c v = p V c v T. (.5.) (c) A fenti egyenletből a T hőmérséklet T = V V. (.5.4) (d) Az első folyamatban T = 0; a másodikban T = T = ( V V ) ; míg a harmadikban T = T = ( V V ). 05. december 8. 5
. ábra..6. Feladat: (HN C-6) Két mól egyatomos gázzal a. ábrán látható abca körfolyamatot végezzük. A p V síkon mindhárom folyamat ábrája egyenes. Az a pontban a paraméterek: p0, V0, T0. Az alábbi feladatokat oldjuk meg RT0 függvényében. (a) Határozzuk meg egy teljes ciklus alatt végzett munkát. (b) Határozzuk meg a b c folyamat során történo ho cserét! A rendszer által felvett vagy leadott ho mennyiségro l van-e szó? (c) Mekkora a belso energia teljes megváltozása egy ciklus során? Megoldás: Az egyesített gáztörvény alkalmazásával az egyes pontokban az állapothatározók: a: (p0,v0, T0 ) b: (p0,v0, T0 ) c: (p0, V0, T0 ) (a) A körfolyamatban végzett munka W = (p0 p0 )(V0 V0 ) = p0v0 = nrt0. (.6.) (b) A b c folyamat kezdo és végállapotában a ho mérséklet egyaránt T, de etto l a folyamat maga nem izotermikus. Ugyanakkor a belso energia megváltozása zérus. A gáz által végzett munka Wb c = (p0 + p0 )(V0 V0 ) = p0v0 = nrt0, (.6.) s ennek megfelelo en a felvett ho Qb c = nrt0. (.6.) Megjegyzés: E folyamat további diszkusszióra érdemes! (c) A körfolyamat egy teljes ciklusában a belso energia megváltozása zérus. 05. december 8. 6
.7. Feladat: (HN A-5) Egy hőerőgép, amelynek a Carnot-hatásfoka 0%, a 400 K hőmérsékletű hőtartályból vesz fel hőt. Határozzuk meg a hidegebb hőtartály hőmérsékletét! Megoldás: A Carnot-körfolyamat hatásfoka ahol a felső, T az alsó hőtartály hőmérséklete. Innen η = T, (.7.) T = ( η) = 80K. (.7.).8. Feladat: Tekintsünk n = mólnyi egyatomos ideális gázt: p = 0 5 Pa, = 7 K. A gázzal Q = 6806 J hőt közlünk, állandó térfogat mellett, majd izoterm módon tágulni engedjük úgy, hogy a végső térfogat háromszorosa legyen a kiindulási térfogatnak. (a) Ábrázolja a folyamatot állapotdiagramon! (b) Mennyi lesz a hőközlés utáni hőmérséklet? (c) Mekkora lesz a nyomás a folyamat végén? (d) Mekkora az entrópia-változás a két folyamatban? Megoldás: (a) Az állapotdiagram a. ábrán látható. p V. ábra. (b) A közölt hő és a hőmérséklet változás közötti összefüggés ahol c v = nr. Innen a hőközlés utáni hőmérséklet T = Q c v n = Q = c v n T, (.8.) Q = 7K. (.8.) nr 05. december 8. 7
Így az állandó nyomású hőközlés utáni hőmérséklet T = 546K. (.8.) (c) Az állandó térfogaton végzett hőközlés során kialakuló p nyomás a összefüggésből p = p T (.8.4) p = T p = 0 5 Pa. (.8.5) A térfogatváltozás miatti nyomás figyelembe véve, hogy V = V és V = V a Boyle-Mariotte törvény szerint a p V = p V (.8.6) összefüggésből p = V V p = 0,667 0 5 Pa. (.8.7) (d) Az izochor ( ) folyamatbeli S entrópiaváltozás a S = T dq T T = c v ndt T = nrlnt = 7,8J/K. (.8.8) Az izoterm ( ) folyamatban a gáz belsőenergia változása, a felvett hő a tágulási munkára fordítódik. Így a felvett hő Q = V V p(v )dv = V V nrt V dv = nrt ln V V = 9969,4J. (.8.9) Az izoterm S entrópiaváltozás S = Q T = 8,6J/K. (.8.0) Az össz entrópiaváltozás: 5,54 J/K. 05. december 8. 8