By Gökhan Bilhan 1 Limit ve Süreklilik Kalkülüs I Tanm(Limit) E er x c reel saysna çok yakn AMA E T DE L KEN f(x)'in de eri tek bir L reel saysna yakla³rsa, lim x c f(x) = L dir. Uyarlar (1) x, c'ye soldan ve sa dan yakla³maldr. (2) c'nin tanm kümesinde olma zorunlulu u yoktur. (3) Her zaman x c dir. Örnek lim x 0 sinx x nedir? Önce gra ine bakalm. imdi de ³u tabloyu inceleyelim.
By Gökhan Bilhan 2 Örnek lim x 0 sin π x nedir? Ama bu do ru de ildir!
By Gökhan Bilhan 3 Örnek Heaviside Fonksiyonu. Bu fonksiyon adn elektrik mühendisi Oliver Heaviside'dan alm³tr. { 0, t < 0 H(t) = 1, t 0 Tanm (Tek yönlü Limitler) E er x c'ye soldan yakla³r iken limit var olursa, lim x c f(x) = K yazar ve "Sol Limit" deriz (Veya soldan limit). Bu durumda x < c dir. E er x c'ye sa dan yakla³r iken limit var olursa, lim x c +f(x) = K yazar ve "Sa Limit" deriz (Veya sa dan limit). Bu durumda x > c dir. Teorem(Limitin Varl ) lim x c f(x) = A dr, ancak ve ancak lim x c +f(x) = lim x c f(x) = A. Örnek Bir g fonksiyonu a³a da verilmi³tir. Buna göre, a³a daki limitlerin de erlerini (var ise) bulunuz.
By Gökhan Bilhan 4 1 Örnek lim x 0 limitini (varsa) bulunuz. x2 Teorem (Limitlerin Özellikleri) f ve g verilmi³ fonksiyonlar olsun ve lim x c f(x) = L ve lim x c g(x) = M var olsun. Bu durumda 1-) lim x c k = k herhangi bir k sabiti için. 2-) lim x c x = c. 3-) lim x c (f(x) + g(x)) = lim x c f(x) + lim x c g(x) = L + M. 4-) lim x c (f(x) g(x)) = lim x c f(x) lim x c g(x) = L M. 5-) lim x c (f(x).g(x)) = lim x c f(x).lim x c g(x) = L.M. 6-) lim x c kf(x) = klim x c f(x) = kl. f(x) 7-) lim x c g(x) = lim x cf(x) lim x c g(x) = L M, M 0. 8-) lim n x c f(x) = n lim x c f(x) = n L E er n çift ise L 0 dir. Örnek 1 lim x 1 2x2 + 3 =? lim x 1 2x3 + 1 =?
By Gökhan Bilhan 5
By Gökhan Bilhan 6 Örnek lim x 1 x 2 1 x 1 =? Bu iki grak srasyla ve y = f(x) = x2 1 x 1 aittir. ve y = g(x) = x + 1 fonksiyonlarna
By Gökhan Bilhan 7 3-) f(x) = { x 2 + 1, if x < 2 x 1, if x > 2 (a) lim x 2 f(x) =? (b) lim x 2 +f(x) =? (c) lim x 2 f(x) =? (d) f(2) =?
By Gökhan Bilhan 8
By Gökhan Bilhan 9
By Gökhan Bilhan 10
By Gökhan Bilhan 11 Al³trmalar 1. f(x) = 3x2 + 2x 1 x 2 + 3x + 2 olsun, a³a daki limitleri bulunuz. a) lim x 3 f(x) =? b) lim x 1 f(x) =? c) lim x 2 f(x) =?
By Gökhan Bilhan 12 2. BÖLÜM Tanm(Süreklilik) f fonksiyonunun a saysndaki süreklili i lim x a f(x) = f(c) sa lamasdr. a noktasnda sürekli olmayan bir f fonksiyonuna a noktasnda süreksizdir, denir. Not. E er a³a daki özelliklerin biri bile sa lanmazsa, f fonksiyonu a noktasnda sürekli olamaz. 1. lim x a f(x) limiti vardr. 2. a says f in tanm kümesindedir. (Yani f(a) bir saydr.) 3. Bir numaradaki limitin sonucu, iki numaradaki f(a) ya e³it olmaldr. Tanm E er bir f fonksiyonu (a, b) aral ndaki her noktada sürekli ise, o fonksiyona (a, b) de süreklidir denir. Örnek A³a da gra i verilen fonksiyonun sürekli olmad noktalar bulup açklaynz. Not E er bir bölgede elimizi kaldrmadan gra i çizebiliyorsak fonksiyon burada süreklidir.
By Gökhan Bilhan 13
By Gökhan Bilhan 14 Örnek lim x 1 arcsin( 1 x ) limitini bulunuz. 1 x Örnek 4x 3 6x 2 + 3x 2 = 0 denkleminin 1 ve 2 arasnda bir kökü oldu unu gösteriniz.
By Gökhan Bilhan 15 Sonsuzluk çeren Limitler Sonsuz Limitler u fonksiyonlarn graklerini çizelim. y = 1 x ve y = 1 x 2 lim x 0 + 1 x = lim 1 x 0 x = lim 1 x 0 x = lim x 0 + 1 x = lim 1 2 x 0 x = 2 lim x 0 1 x = 2 lim x 1 x = lim 1 x x = Örnek lim x 3x 2 x 2 5x 2 + 4x + 1
By Gökhan Bilhan 16 Soru, y = e x 'in limitleri neler olur? Örnek lim x 0 e 1 x limitini bulunuz. Soru, y = lnx'in limitleri ne olur?
By Gökhan Bilhan 17 Örnek lim x x2 + 1 x =? Örnek lim x sinx =? Kitabnzda sayfa 139 daki örnek 9 ve örnek 10 a baknz.
By Gökhan Bilhan 18 Al³trmalar { 2, e er x bir tam say ise 1. f(x) = 1, if x bir tamsay de il ise fonksiyonu için, (a) f'i çiziniz (b) lim x 2 f(x) =? (c) f(2) =? (d) f, x = 2 de sürekli midir? f 'in süreksizlik noktalar nelerdir? 2. Süreksizlik noktalarn bulunuz. f(x) = { 1 + x, if x < 1 5 x, if x 1
By Gökhan Bilhan 19 x, if x < 0 3. Süreksizlik noktalarn bulunuz. f(x) = 1, if x = 0 x, if x > 0 4. g(x) = (a) g'yi çiziniz { 1, e er x bir çift tamsay ise 1, e er x bir çift tamsay de il ise (b) lim x 1 g(x) =? (c) g(1)=? (d) g, x = 1 de sürekli midir? (e) g nerede süreksizdir?
By Gökhan Bilhan 20 5. lim x x 2 + 2x 3 x 2 4x + 3 =? 6. lim x x 2 x = 7. lim x x 2 + x 3 x = 8. lim x 3 x 5 x 3 x + 5 x = pucu: t = x 1/15 koyarak deneyiniz.
By Gökhan Bilhan 21 x 2 9. lim x 3 + x + 3 =? 10. lim x 2 2x + 2 (x + 2) 2 =? x 1 11. lim x 1 + x + 1 =? lim x 1 x 1 x + 1 =? lim x 1 x 1 x + 1 12. lim x 1 1 x 1 =? 13. lim x 1 1 (x 1) 2 =?
By Gökhan Bilhan 22 x 2 + 20 14. lim x 2 5x 2 20 =? Not. Mutlak de er içeren limitlerde, e er x in gitti i reel say yerine kondu unda mutlak de erin içi 0 oluyorsa, sa -sol limit baklr. Aksi halde buna gerek yoktur. 15. lim x 1 x x + 1 x + 1 =? 16. lim x 1,00000000001 x x + 1 x + 1 =?
By Gökhan Bilhan 23 17. lim x 1,000001 x x =? 18. If f(x) = x, ise ³unu bulunuz. lim h 0 f(2 + h) f(2) h =? x2 = x 19. lim x 2 x 2 x =? lim x 0 x 2 x =? 20. lim x 2 x 2 x =? lim x 2 x 0 x =? 21. lim x 0 x x =? lim x 2 x x =?