Nanotudomány 2017 Dióhéjban a kvantummechanikáról Reichardt András September 11, 2017
1 Előzmények Planck-féle sugárzási törvény Fényelektromos jelenség Atomos gázok színképe De Broglie - anyaghullámok 2 Anyaghullámok elemi tulajdonságai Interferencia kísérletek - Szuperpozíció Hullámcsomag - csoportsebesség 3 Schrödinger egyenlet egy részecskére 4 A Schrödinger-egyenlet megoldásának tulajdonságai 5 SE egyszerű megoldásai Végtelen potenciálgödör ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 2 / 30
Előzmények Planck-féle sugárzási törvény 1 Előzmények Planck-féle sugárzási törvény Fényelektromos jelenség Atomos gázok színképe De Broglie - anyaghullámok 2 Anyaghullámok elemi tulajdonságai Interferencia kísérletek - Szuperpozíció Hullámcsomag - csoportsebesség 3 Schrödinger egyenlet egy részecskére 4 A Schrödinger-egyenlet megoldásának tulajdonságai 5 SE egyszerű megoldásai Végtelen potenciálgödör ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 2 / 30
Előzmények Planck-féle sugárzási törvény Emisszió, abszorpció 19. század végére a ma klasszikus fizikának nevezett épület kiteljesedett Faraday és Maxwell elektrodinamika (benne az elektromágneses hullámok kisugárzásának és terjedésének elméletével, amelyet Hertz kísérletei támasztották alá); nyilvánvalóvá vált, hogy a fény és hősugárzás is ezeknek a hullámoknak a családjába tartozik termodinamika és statisztikus fizika (amely az anyag mikroszkópikus szerkezetének feltárása felé haladt); Dalton és Avogadró kémiai felfedezései ebbe az irányba mutattak Emisszió - abszorpció sokféle anyag hősugárzásának spektrális szerkezete ismert (Bunsen és mások) - vagyis a T abszolút hőmérsékleten tartott anyagok által, egy adott ν frekvencia körüli dν frekvenciaintervallumba kisugárzott e(ν, T )dν energiaáram, amelyből az anyagra jellemző e(ν, T ) emissziós spektrum számítható az anyagok a rájuk eső sugárzásból minden dν frekvenciaintervallumban a jelenlévő u(ν, T )dν sugárzási energiával arányos a(ν, T )u(ν, T )dν sebességgel nyelik el az energiát, ahol a(ν, T ) az abszorpciós spektrum (anyagra jellemző) ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 3 / 30
Előzmények Planck-féle sugárzási törvény Emisszió, abszorpció (cont.) Emisszió és abszorpció összekapcsolása az emissziós és abszorpciós spektrum nem látszik egymástól függetlennek; amilyen színben egy adott T hőmérsékleten egy anyag erősen sugároz, ugyanazat a színt az anyag erősen el is nyeli Kirchhoff : ez nem véletlen egybeesés, hanem annak szükséges feltétele, hogy egy T hőmérsékletű falakkal körbezárt, ugyanilyen hőmérsékletű testeket tartalmazó üregben a hősugárzás termikus egyensúlyb juthasson a sugárzó-elnyelő testekkel (ha az emisszió és abszorpció aránya anyagról-anyagra változna, akkor a sugárzó energia folyamatosan áramlana az erősebben emittáló anyagok felől az erősebben abszorbeáló anyagok felé, ami stacionárius állapot lenne, de nem termikus egyensúly) e(ν, T ) = u(ν, T )univerzális függvény a(ν, T ) ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 4 / 30
Előzmények Planck-féle sugárzási törvény Emisszió, abszorpció (cont.) Elméleti jóslat - Rayleigh-Jeans törvény A szóbajöhető hullámhosszaknál sokkal nagyobb kiterjedésű, V térfogatú üregben c fénysebességgel terjedő elektromágneses sugárzásnak egy dν intervallumban V (8π/c 3 )ν 2 dν független módusa (határozott ν frekvenciájú, az üreg határának megfelelő határfeltételeket kielégítő rezgési formája) van. Ezek mindegyike egy harmonikus oszcillátornak felel meg, amelyekre az ekvipartíció tétel szerint egyenként k BT energia jut, ahol k B = 1,38 10 23 J/K a Boltzmann-állandó ( ) 8π térfogatra vonatkoztatott energiasűrűség : u(ν, T ) = k Bν 2 T c 3 probléma, hogy a teljes frekvenciatartományra integrálva végtelen sugárzási energiát kapunk ("ibolyántúli katasztrófa", a nagyfrekvenciák járuléka miatt) ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 5 / 30
Előzmények Planck-féle sugárzási törvény Emisszió, abszorpció (cont.) Megoldás - Planck megoldás a Wien-törvény (a maximum helye T növelésével arányosan eltolódik) alapján : az u(ν, T ) függvény levág egy ν max = B T frekvencia fölött > sugárzási energia véges lesz : U(T ) V (AB/3)T 4, a Stefan-Boltzmann törvénnnyel összhangban (a T 4 függés a fénynyomás tulajdonságainak általános termodinamikai következménye B együttható fizikai jelentése, minden harmonikus oszcillátor, így egy elektromágneses sugárzási módus is, csak a nu frekvenciájával arányos hnu adagokban (kvantumokban) tud energiát felvenni h = 6, 6 10 34 J s, a Planck állandó amelyik módus frekvenciája olyan nagy, hogy az ekvipartíció törvényének megfelelő kbt energia nem éri el a hnu energiakvantumot, az a módus nem vesz fel energiát. T hőmérsékleten, csak hν < hν max = k BT frekvenciájú hullámmódusok vesznek részt a termikus gerjesztésben, amiből B k B/h. ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 6 / 30
Előzmények Planck-féle sugárzási törvény - Emisszió, abszorpció (cont.) - Pontos eredmény, amely a Rayleigh-Jeans formula helyére lép u(ν) = 8π c 3 h ν 3 exp ( hν k B T ) 1 ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 7 / 30
Előzmények Fényelektromos jelenség 1 Előzmények Planck-féle sugárzási törvény Fényelektromos jelenség Atomos gázok színképe De Broglie - anyaghullámok 2 Anyaghullámok elemi tulajdonságai Interferencia kísérletek - Szuperpozíció Hullámcsomag - csoportsebesség 3 Schrödinger egyenlet egy részecskére 4 A Schrödinger-egyenlet megoldásának tulajdonságai 5 SE egyszerű megoldásai Végtelen potenciálgödör ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 7 / 30
Előzmények Fényelektromos jelenség Lénárd Fülöp - Einstein vákuumban repülő elektronok által szállított elektromos áram egyik elágazása : egy fémelektródból többek között megvilágítással is lehet elektronokat kiszabadítani kiszabadított elektronok energiáját (E foto,el ) megmérve [Lénárd Fülöp] rájött, hogy az a beeső fény intenzitásától nem függ, csak a színétől (frekvenciájától) Einstein (frekvenciát használva) E foto,el = hν W ahol W a kilépési munka, amely a megvilágított elektród anyagára jellemző. A beeső fény hν energiájú "energiakvantumokból" (fotonokból) áll, egy elektron emissziójához pontosan egy foron energiája használódik el, amelyből W fordítódik a fémből való kiszakításra, a fennmaradó energia a kilépő elektron kinetikus energiája, ezt mérjük a Lénárd-féle kísérletben. Másféle magyarázat : az elektron átmenete két olyan állapot között, amelyek energiájának különbsége E értékkel különbözik ν = E/h frekvenciájú töltésoszcillációval jár : ezzel rezonál a beeső fény oszcilláló elektromos térerőssége ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 8 / 30
Előzmények Atomos gázok színképe 1 Előzmények Planck-féle sugárzási törvény Fényelektromos jelenség Atomos gázok színképe De Broglie - anyaghullámok 2 Anyaghullámok elemi tulajdonságai Interferencia kísérletek - Szuperpozíció Hullámcsomag - csoportsebesség 3 Schrödinger egyenlet egy részecskére 4 A Schrödinger-egyenlet megoldásának tulajdonságai 5 SE egyszerű megoldásai Végtelen potenciálgödör ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 8 / 30
Előzmények Atomos gázok színképe Rutherford modelltől a Bohr-modellig Rutherford-féle atommodell Rutherford kísérlete (nagyenergiájú, pozitív töltésú alpha-részecskék szóródását figyelte meg elektromosan semleges anyagról (1911) körülöttünk lévő anyagok tömegének döntő része a pozitív töltésű, kicsiny kiterjedésű atommagokban tömörül, amelyek között helyezkednek el a könnyű, negatí töltésű elektronok. Miért nem zuhannak be? Mert a Coulomb-vonzással a centrifugális erő tart egyensúlyt. (Rutherford-féle atommodell) Probléma : A rendszer egy forgó elektromos dipólust alkot, amely elektromágneses hullámokat sugározva el kellene veszítse forgási energiáját, az elektronoknak spirálpályán az atommagba kellene zuhannia. ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 9 / 30
Előzmények Atomos gázok színképe Rutherford modelltől a Bohr-modellig (cont.) Egyatomos hidrogéngáz színképe mérések alapján az atomos gázok színképe éles vonalakból áll, amelyek frekvenciáinak sokasága leegyszerűsödik, ha ν m,n = A m A n alakban írjuk fel őket (Rydberg-Ritz kombinációs elvek) ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 10 / 30
Előzmények De Broglie - anyaghullámok 1 Előzmények Planck-féle sugárzási törvény Fényelektromos jelenség Atomos gázok színképe De Broglie - anyaghullámok 2 Anyaghullámok elemi tulajdonságai Interferencia kísérletek - Szuperpozíció Hullámcsomag - csoportsebesség 3 Schrödinger egyenlet egy részecskére 4 A Schrödinger-egyenlet megoldásának tulajdonságai 5 SE egyszerű megoldásai Végtelen potenciálgödör ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 10 / 30
Előzmények De Broglie - anyaghullámok Bohr-formula értelmezése anyaghullámokkal Már Einstein megjegyezte, hogy mivel az elektromágneses hullámok E energiájához E/c impulzus tartozik, a hν energiájú fotonnak is van p = hν/c = h/λ impulzusa. Einstein szemében ez lényeges lépés volt, hogy a foton teljes jogú elemi részecskének tekinthessük. Louis de Broglie (1924) - ha a p = M e v impulzussal rendelkező elektronhoz is hozzárendelhető valamiféle anyaghullám mozgása, és ha erre is teljesül az Einstein-féle összefüggés (λ = h/p) akkor ez tüneményes egyszerűséggel megmagyarázza a Bohr-féle kvantumfeltételt. 2πr = n h p = nλ akkor az n egész szám volta azt jelenti, hogy a körbefutó hullám önmagába záródva, határozott (azaz egyértékű) fázissal, bármeddig folytathatja stacionárius hullámmozgását. Ez választja ki a Bohr-féle stacionárius körpályákat. A hullámként mozgó elektron hullámhosszát összekapcsolja a repülő golyóként mozgó elektron impulzusával, a kvantummechanika egyik alapvető összefüggése. Ez minden kvantumos mozgásra igaz. Az impulzus nem-skalár voltát a hullám(szám)vektor bevezetésével küszöböljük ki. Amelynek nagysága k = 2π/λ és iránya merőleges a hullámfront irányára. ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 11 / 30
Anyaghullámok elemi tulajdonságai Interferencia kísérletek - Szuperpozíció 1 Előzmények Planck-féle sugárzási törvény Fényelektromos jelenség Atomos gázok színképe De Broglie - anyaghullámok 2 Anyaghullámok elemi tulajdonságai Interferencia kísérletek - Szuperpozíció Hullámcsomag - csoportsebesség 3 Schrödinger egyenlet egy részecskére 4 A Schrödinger-egyenlet megoldásának tulajdonságai 5 SE egyszerű megoldásai Végtelen potenciálgödör ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 11 / 30
Anyaghullámok elemi tulajdonságai Interferencia kísérletek - Szuperpozíció Interferencia kísérletek - Szuperpozíció Mi szükséges az interferencia megfigyeléséhez hullámforrás valamilyen forrás, amely geometriailag lehatárolt ("leblendézett"), hogy jól meghatározott útkülönbségek megjelenjenek fény - lámpa, lézer anyaghullámok - valami forró anyag (izzószál + gyorsító elektródból álló elektronágyú, atomokat vagy molekulákat elpárologtató kályha, neutronokat kibocsátó reaktor, nyalábosztó elegendő hely nyalábegyesítő hasonló a nyalábosztóhoz detektor vagy detektorok rendszere interferenciakép észlelésére ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 12 / 30
Anyaghullámok elemi tulajdonságai Interferencia kísérletek - Szuperpozíció Interferencia kísérletek - Szuperpozíció (cont.) Mikor sikerült interferenciaképet észlelni? fény - kétszáz éve először, a XX.század a fénykvantumot tette hozzá elektron - Davisson-Germer kísérlet (1927 - Nobel díjat ért) Manapság az elektronmikroszkóp széria tartozéka. (átkapcsolhatunk a tárgy képéről a tárgy mint optikai rács által létrehozott interferenciaképre) neutronok - 1970-es években vált nem könnyű, de rutinszerűen művelhető kísérleti technikává, (az egész interferométert, amely féligáteresztő neutrontükrökre épül, egyetlen szilíciumkristályként kell növeszteni; a kristály atomsíkjain tükrözödik oda-vissza a bejövő neutronhullám) atomok és molekulák - a forrás készítése és a detektálás is nehéz feladat, molekuláknál a molekula rezgéseinek és forgásainak az interferencia elmosása; 1999 - Zeilinger-Arndt (Bécs) C 60 majd C 70 fullerén molekulával illetve hasonló méretű szerves molekulával végzett sikeres interferencia kísérletek ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 13 / 30
Anyaghullámok elemi tulajdonságai Interferencia kísérletek - Szuperpozíció Interferencia kísérletek - Szuperpozíció (cont.) anyaghullám amplitúdója : ψ( r, t) - Schrödinger-nyomán interferenciajelenségeknél - részhullámok amplitúdói összeadódnak, ami az eredő hullámnak hol erősödését, hol gyengülését jelenti interferenciacsíkok (térbeli interferencia) illetve lebegés (időbeli interferencia) detektorok a hullám intenzitását érzékelik, ami tipikusan az amplitúdó abszolút értékének négyzete feltételezve anyaghullámokra (megengedve a komplex ψ-t ) αψ 1( r, t)+βψ 2( r, t) 2 = α 2 ψ 1( r, t) 2 + β 2 ψ 2( r, t) 2 +α βψ 1( r, t)ψ 2( r, t)+αβ ψ 1( r, az interferenciát a két második tag (vegyesszorzatok) jelzi, amelyek negatív számot eredményeznek ott és akkor, ahol és amikor a két részhullám ellentétes fázisban rezeg (destruktív, "romboló" interferencia), és pozitív számot (konstruktív, "építő" interferencia) ha éppen azonos fázisban rezegnek az α és β (a két részhullám különböző mértékben vehet részt) általában komplex számok, a maguk komplex fázisával eltolhatják az interferenciaképet ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 14 / 30
Anyaghullámok elemi tulajdonságai Interferencia kísérletek - Szuperpozíció Interferencia kísérletek - Szuperpozíció (cont.) a két részhullámot lineárisan öszekombinálva, az időbeli fejlődés során az eredő hullám ugyanolyan arányú lineáris kombinációja marad annak, amivé a két részhullám külön-külön fejlődne, vákuumban terjedő EM hullámokra nagy pontosságal kimérték, azonban anyagban már többé-kevésbé eltér nemlineáris optika; (vízhullámokra a lineáris kombináció csak durva közelítésként használható!) ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 15 / 30
Anyaghullámok elemi tulajdonságai Interferencia kísérletek - Szuperpozíció Hullámcsomag - csoportsebesség A hullámmozgás képes magát repülő részecske mozgásának mutatni. A különböző hullámhosszú hullámok szuperpozíciójából hullámcsomag alakulki; ez mozog részecskére emlékeztető módon. Különböző hullámhosszú hullámok egy véletlenszerűen összerakott szuperpozícióban a legtöbb helyen kioltják egymást, a hullámcsomag csak olyan helyen alakulhat ki, ahol a részhullámok fázisai egybeesnek. Mivel a részhullámok más-más fázissebességgel haladnak, a hullámcsomag helye is elmozdul, ennek az elmozdulásnak a sebességét hívjuk csoportsebességnek. Egyetlen, x-irány mentén haladó, k = 2π/λ síkhullám Ψ k (x, t) = sin(ϕ k (x, t)) = sin(kx ωt) amely alapján a fázissebesség v fazis = ω/k Szuperponáljunk különböző, folytonosan változó k hullámszámú síkhullámokat, amelyek frekvenciája ω = ω(k) módon függ a hullámszámtól. Az eredő hullámamplitúdó (c(k) valós súlyok) Ψ(x, t) = c(k) sin(kx ω(k)t)dt ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 16 / 30
Anyaghullámok elemi tulajdonságai Interferencia kísérletek - Szuperpozíció Hullámcsomag - csoportsebesség (cont.) Akkor nem interferálódik ki nullává, ha a szinusz nem oszcillál, ahol és amikor a fázis k szerinti deriváltja eltűnik. ω(k) [kx ω(k)t] = x k k t = 0 amiből látszik, hogy ezek az időtől függő kitüntettt helyek sebességgel mozognak. v csop = ω(k) k Az x-tengely irányába történő mozgástól megszabadulunk : egy síkhullám bármilyen k hullámvektor irányába terjedhet, ekkor a ω( k) diszperziós függvénynek megfelelő csoportsebesség v csop = ω( k) k ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 17 / 30
Anyaghullámok elemi tulajdonságai Interferencia kísérletek - Szuperpozíció Hullámcsomag - csoportsebesség (cont.) Hullám-részecske Bohr-de Broglie szabályai ( ω = E, k = p) alapján v csop = E( p, r) p = p ( p 2 2m + V ( r) ) = p m Az energia helyett a Hamilton-függvény kerül. Azonban nem minden esetben egyezik meg a kettő egymással, pl. egy töltött részecske mozgása mágneses térben. Ilyenkor a p = k összefüggésben is a kanonikus impulzus jelenik meg, és p m v. A hullámcsomag-kép korlátai : a mikrovilágban egy hullámcsomag tiszavirág-életű alakzat, keletkezik és szétfolyik. Kivételes körülmények között (pl. harmonikus rezgőmozgás) létrejöhetnek szét nem folyó, stabilan hintázó hullámcsomagok is [ezek a koherens állapotok] ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 18 / 30
Schrödinger egyenlet egy részecskére Schrödinger-egyenlet "levezetése" síkhullám esetében p = k illetve E = ω, ezért a síkhullám amplitúdóját (Schrödinger után hullámfüggvény) ψ( r, t) = e i( k r ωt) = e i ( p r E t) erőmentes térben lévő részecskére levezetve (megkeressük azt az operátort, amelynek segítségével az adott mennyiséget kiolvashatjuk a síkhullámból) kapjuk a szabad (erőmentes) mozgás Schrödinger-egyenletét i t ψ = 2 2m ψ az időszerinti derivált azt jelzi, hogy mozgásegyenlet adódott, amely a hullámfüggvény pillanatnyi mintázatából meghatározza a következő időfejlődést csak időben elsőrendű derivált jelenik meg az egyenletben : ψ( r, 0) teljesen meghatározza a kezdeti feltételt (lényeges az eltérés a newtoni mechanikától, itt a helyfüggésbe van kódolva a kezdeti sebesség) helyfüggő potenciál : E = p2 + V ( r) + H( p, r) ahol jobb oldalon a 2m Hamilton-függvény áll ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 19 / 30
Schrödinger egyenlet egy részecskére Kvantumállapot és Hamilton operátor részecske pillanatnyi kvatumállapotát a ψ( r, t) komplex függvénnyel tudjuk leírni az időbeli fejlődést leíró egyenlet másképpen : t ψ = i Ĥψ ahol Ĥ a Hamilton-operátor, jelen esetben Ĥ = 2 2m + V ( r) impulzust helyettesítjük az impulzusoperátorral : p ˆ p = i hely operátora a helyvektorral való szorzás Amikor a Hamilton-függvény nem egyezik az energiával (pl. töltött részecske mozgása mágneses térben) a Lagrange-függvényből kell kiindulnunk Amikor az impulzust operátorával helyettesítjük, nem mindegy a sorrend. ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 20 / 30
Schrödinger egyenlet egy részecskére Hely és impulzus felcserélési relációja Ha két operátor egymás után hat egy függvényre, az eredmény szempontjából nem mindegy milyen sorrendben hatnak: az operátorok általában felcserélhetetlenek. A hely és impulzus operátorára nézve : x( / x)f(x) = xf (x); ( / x)xf(x) = f(x) + xf (x). A kettő különbsége f(x). Két operátor kommutátora : Â, ˆB, [ Â, ˆB] = Â ˆB ˆBÂ ˆp x = i ( / x), ˆx = x alapján [ˆp x, ˆx] = i ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 21 / 30
Schrödinger egyenlet egy részecskére Stacionárius állapotok és az időtől független SE stacionárius állapotok - olyan állapotok, amelyekben az idő- és helyfüggás szorzatalakban szétválik, és az időfüggés egy meghatározott frekvenciának (energiának) felel meg ψ( r, t) = e iωt φ( r) = e i Et φ( r) ezen alakú megoldások esetében (visszahelyettesítés után) Ĥφ = Eφ időtől független Schrödinger-egyenlet vagy energiasajátérték-egyenlet. A stacionárius állapotok energia-sajátállapotok ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 22 / 30
A Schrödinger-egyenlet megoldásának tulajdonságai Normálás Born szabály szerint ψ( r, t) 2 d 3 r annak valószínűsége, hogy a ψ( r, t) állapotban lévő részecskét a t pillanatban az r hely d 3 r környezetében találja a detektor Ha a részecske egyáltalán létezik, akkor az ideális detektorok valahol meg is találják : ψ( r, t) 2 d 3 r = 1 ha ez az integrál véges, akkor a hullámfüggvény normálható, ezzel lehet az E energiaértékek kontinuumából azokat a diszkrét sajátértékeket kiválasztani, amelyek fizikai valóságot írnak le Vannak nem normálható hullámfüggvények, pl. végtelen kiterjedésű síkhullám (ami az impulzusoperátorának sajátértéke), illetve a Dirac-féle deltafüggvény is, amely a helyvektor operátor sajátértéke Ha megmaradó részecskét írunk le, akkor elég a normálást a kezdeti pillanatban kikötni, az integrál az idő múlásával nem változik. ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 23 / 30
A Schrödinger-egyenlet megoldásának tulajdonságai Határfeltételek és a spektrum A Schrödinger-féle energiasajátérték-egyenlet az alábbi differenciálegyenletre vezet : 2 φ( r) = (E V ( r)φ( r) 2m ahol a V ( r) helyfüggő potenciális energia bemenő adat; meghatározandóak az E energiasajátértékek és a hozzájuk tartozó φ( r) energiasajátfüggvények az egyenletnek bármilyen E értékekre van megoldása, választani azon az alapon tudunk, hogy φ( r) kielégítse a fizika által kirótt határfeltételeket A határfeltételek által megengedett E energiasajátértékek összességét nevezzük a Hamilton-operátor spektrumának. Határfeltételek a hullámfüggvényre hullámfüggvény legyen folytonos, és első deriváltjai is legyenek folytonosak; a potenciál szinguláris helyein a hullámfüggvény pontosabb vizsgálatával kell meghatározni a határfeltételt A leírásra használt koordinátáknak legyen egyértékű függvénye Ha kötött (potenciálgödörbe lokalizált) állapotot ír le, legyen normálható. spektrumnak lehetnek diszkrét és folytonos részei ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 24 / 30
A Schrödinger-egyenlet megoldásának tulajdonságai Határfeltételek és a spektrum (cont.) Diszkrét energiasajátértékek tipikusan egy potenciálgödörben kötött, abból az energiamegmaradás miatt ki nem szabaduló, állóhullámszerű vagy körbefutó energiasajátállapotnak (pl. atomban kötöt elektron) felel meg. ( Nem minden potenciálgödörben alakulhat ki kötött állapot.) Egy diszkrét sajátértékhez több különböző sajátfüggvény is tartozhat: elfajult (degenerált) sajátérték; sokszor valamilyen szimmetria okozza illetve egy külső adat (paraméter) függvényében változó sajátértékek valahol keresztezik egymást. Szabadon terjedő hullámokhoz folytonos energiasajátértékek tartoznak; ilyenkor az időfüggetlen SE megoldásai a hullámterjedés részleteiről adnak nélkülözhetetlen információt : hullámok szóródásáról, esetleg véges ideig tartó csapdázásáról ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 25 / 30
A Schrödinger-egyenlet megoldásának tulajdonságai Anyagmegmaradás és komplex hullámfüggvény valószínűségsűrűség : ψ( r, t) 2 = ψ( r, t)ψ ( r, t) t(ψψ ) = ψ tψ + ψ ψ = i 2m (ψ ψ ψ ψ ) szorzat deriválása alapján (Green-tétel) t(ψψ ) = j ahol j = i 2m (ψ ψ ψ ψ ) a valószínűségi áram sűrűsége. Ez az oka annak, hogy az időtől függő Schrödinger-egyenlet megoldására elég a kezdeti feltételben teljesíteni a normálást, akkor az már később is teljesül. ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 26 / 30
SE egyszerű megoldásai Általános meggondolások a megoldáshoz Egyszerű (időfüggetlen SE egyenlet megoldásai) problémák esetében is célszerű azokat a tulajdonságokat keresni, amelyek majd bonyolultabb esetekben is segítenek az eligazodásban : valószínűségi áram szerkezetét, határfeltételek működését a sajátérték-problémák meghatározásában, szimmetriák megoldását a feladat egyszerűsítésére. Terjedő anyaghullámra (mozgó részecske kvantummechanikai megfelelője) különféle erők hatnak. Ha a részecske energiája megmaradó mennyiség, az erőhatást általában egy V ( r) potenciállal (1D-ben : V (x)) lehet leírni. Ha egy intervallumban V (x) = V állandó, és az E energia megmarad, akkor a sajátenergia-egyenlet megoldását közvetlenül fel lehet írni. Ha E > V, akkor két lineárisan független megoldás φ(x) = e ikx (jobbra haladó hullám), és φ(x) = e ikx (balra haladó hullám). Általában célszerű az állóhullámnak megfelelő sin(kx) és cos(kx) valós kombinációkból kiindulni, amelyek közül a határfeltételek választják ki a megfelelőt. A k hullámnszámot az E energiasajátértékkel az energia megmaradása kapcsolja össze: k = 2m(E V )/. Kötött állapotok esetén k (ezen keresztül E) lehetséges értékeit a határfeltételek szabják meg; szabad mozgásnál E a távolból bejövő részecske energiája. ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 27 / 30
SE egyszerű megoldásai Általános meggondolások a megoldáshoz (cont.) Ha E < V, akkor a két lineárisan független megoldás φ(x) = e κx és φ(x) = e κx, ahol κ = 2m(V E)/. Állandó potenciálú tartományok határain, ahol a potenciál ugrik, határfeltételül kell kiszabni, hogy a φ(x) és deriváltja φ (x) folytonosan menjen át. Stacionárius állapotban az áram is stacionárius, ami divergenciamentes a kontinuitási egyenlet miatt. Szabad mozgásnál az áram végtelenből jön és végtelenbe tart, ami idealizáció. Igazából hullámcsomagok jönnek és mennek, de ha kiterjedésük jóval nagyobb, mint a minket érdeklő térrész, akkor jogos a végtelen kiterjedés feltételezése. Feladatainkban a hullámra ott nézünk rá, ahol valami történik vele. Potenciálgödörbe zárt stacionárius mozgáshoz is divergenciamentes áram tartozik. Ettől még lehet álló vagy haladó hullám. Gödöbe zárt haladó hullám csak körbe járhat, amihez legalább két dimenzió szükséges. Egydimenziós kötött mozgás csak úgy tud stacionárius lenni, ha állóhullámot formáz. ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 28 / 30
SE egyszerű megoldásai Végtelen potenciálgödör 1 Előzmények Planck-féle sugárzási törvény Fényelektromos jelenség Atomos gázok színképe De Broglie - anyaghullámok 2 Anyaghullámok elemi tulajdonságai Interferencia kísérletek - Szuperpozíció Hullámcsomag - csoportsebesség 3 Schrödinger egyenlet egy részecskére 4 A Schrödinger-egyenlet megoldásának tulajdonságai 5 SE egyszerű megoldásai Végtelen potenciálgödör ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 28 / 30
SE egyszerű megoldásai Végtelen potenciálgödör egydimenziós mozgás : { 2 0 ha x < a 2m φ (x) = (E V (x))φ(x), ahol V (x) = ha x a külső tartományokban (ahol végtelen a potenciál) φ(x) = 0, a falon a derivált határozatlan (azaz bármi lehet) x < a esetében φ = k 2 φ; k 2 = 2mE 2 ; φ(±a) = 0 megoldások sin(kx) vagy cos(kx) alakúak ekkor k = n π/a illetve k = (n + 1 ) π 2 a értékre teljesülnek a határfeltételek, amelyek egyesítve k = n π, n = 0, 1, 2,..., 2a ezáltal az energia sajátértékek E n = n 2 π 2 ; n = 0, 1, 2,... 8ma2 a "jó" hullámfüggvény vagy páros, vagy páratlan, mert a potenciál páros, azaz az x x tükrözési műveletben változatlan marad a Hamilton-operátor ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 29 / 30
SE egyszerű megoldásai Végtelen potenciálgödör Tükrözési szimmetria, páros és páratlan megoldások d 2 /dx 2 operátor szimmetrikus az x x tükrözésre, ha a V (x) potenciál is tükrözésszimmetrikus, akkor a Hamilton-operátor is az, (Ĥ( x) = Ĥ(x)), ekkor Ĥ(x)φ(x) = Eφ(x) és teljesül, hogy Ĥ( x)φ(x) = Eφ(x); ugyanazon E-re és az energiasajátértékhez tartozó sajátfüggvény is tükrözésszimmetrikus. Mi adódik ebből φ(x) és φ( x) kapcsolatára? Ha E sajátérték nem elfajult (csak egy sajátfüggvény tartozik hozzá) akkor a φ(x) és φ( x) lineárisan összefüggőek, vagyis φ(x) páros vagy páratlan. Ha E elfajult, azaz több, lineárisan független sajátfüggvényhez tartozik ez a közös sajátérték, akkor ezek bármilyen lineáris kombinációja is sajátfüggvény. Ekkor φ(x) és φ( x) helyett választhatjuk páros illetve páratlan lineáris kombinációjukat : φ ps = φ(x) + φ( x) és φ ptl = φ(x) φ( x) Általánosan, a fentieknél a ˆP paritásoperátor : ˆP f(x) = f( x), amelynél ˆP 2 = 1, azaz ˆP 1 = ˆP. ˆP sajátértékei +1 és -1. Mivel ˆP Ĥ = Ĥ ˆP, ezért felcserélhetőek, ezáltal van közös sajátfüggvényrendszere, azaz az energia-sajátfüggvényeket v álaszthatjuk a páros és páratlan függvények közül. ra (hvt) Nano2017 <Dióhéjban a kvantummechanikáról> 2017.09.11 30 / 30