A NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM SAVARIA EGYETEMI KÖZPONT TUDOMÁNYOS KÖZLEMÉNYEI XIX. TERMÉSZETTUDOMÁNYOK 14. PROCEEDINGS OF UNIVERSITY OF WEST HUNGARY SAVARIA CAMPUS NATURAL SCIENCES Szerkesztette: Dr. habil. Péntek Kálmán Ph.D. Dr. Tóth Gábor Ph.D. Felelős kiadó: Prof. Dr. Neményi Miklós Tudományos és külügyi rektorhelyettes SZOMBATHELY 2012.
A folyóirat 1988 és 2006 között A Berzsenyi Dániel (Tanárképző) Főiskola Tudományos Közleményei Természettudományok címen jelent meg. A kötet megjelentetését a Műszaki- és Természettudományi Kultúráért Egyesület és a Societas Scientiarium Savariensis (Szombathelyi Tudományos Társaság) anyagi támogatása tette lehetővé. HU ISSN 2061-8336 ISSN 0864-7127 Kiadja a NYME Kiadó A nyomdai munkákat a Balogh és Társa Kft. végezte Szombathelyen. Technikai szerkesztő: Dr. Tóth Gábor Ph.D.
TARTALOMJEGYZÉK SÁFÁR, ZOLTÁN: Double Fourier series, generalized Lipschitz and Zygmund classes 5 GUETH KRISZTIÁN: Keresési és színezési problémák speciális gráfokon 19 PÉNTEK KÁLMÁN: Az ortografikus meridionális vetületi rendszeren alapuló csillagászati készülék: a Nap évi mozgását bemutató forgatható korong 37 PUSKÁS JÁNOS NOWINSZKY LÁSZLÓ: A földmágneses térerő fénycsapdás rovargyűjtést módosító hatásának változása a különböző holdfázisokban 65 BARANYAI, OLGA BARANYAI, GÁBOR CSAPÓ, TAMÁS BALOGH, ANDRÁS: Development opportunities in Őrség National Park 71 RÉDEI MÁRIA: Népesség prognózis, előreszámítás módszertani kérdései 77 LENNER TIBOR CSAPÓ TAMÁS: Kaposvár történeti földrajza 91 CSAPÓ, TAMÁS LENNER, TIBOR: Settlement morphology of Zalaegerszeg city 109 BALOGH ANDRÁS: A külterületek településföldrajzi vonatkozásai 127 VÁLICZKÓ ÉVA KOVÁCS MÓNIKA NAGY TATJÁNA ALEKSZA MAGDOLNA: Autoantitestek kimutatása fókuszban az anti-mitokondriális antitest 139 KOVÁCS GÁBOR SZINETÁR CSABA: Adatok az ezüstös zugpók (Malthonica nemorosa [SIMON, 1916]) biológiájához. (Araneae, Agelenidae). 151 KOVÁCS PÉTER SZINETÁR CSABA SZŰTS TAMÁS: A Nyugat-magyarországi peremvidék (Győr-Moson-Sopron, Vas és Zala-megyék) pókfaunája 165 TÓTH GÁBOR: Késő rézkori temető Tolna Mözs (Kenderföldek-dűlő) lelőhelyről 231 NÉMETHNÉ TÖMŐ, ZSUZSANNA KELEMEN, ZITA: Familiarity and usage of marketing information systems within the timber and furniture SME sector in Hungary 241
PÁPAI ERZSÉBET: Az eurozóna válsága 249 KOVÁCS ZSUZSANNA: Vajon a Z generáció is ugyanebben a cipőben fog járni 2050-ben? 259 RÁDI SZELMAN VARGA IMRE: A továbbtanuló diákok motivációinak vizsgálata 267 FARKAS ANDRÁS: A digitális írástudás helyzete a hallgatói vizsgálatok tükrében 275
MATEMATIKA A NYME SAVARIA EGYETEMI KÖZPONT TUDOMÁNYOS KÖZLEMÉNYEI XIX. TERMÉSZETTUDOMÁNYOK 14. Szombathely, 2012. pp. 5-17. SÁFÁR, ZOLTÁN 1 DOUBLE FOURIER SERIES, GENERALIZED LIPSCHITZ AND ZYGMUND CLASSES Abstract: Our goal is the generalization of the results Ferenc Móricz(2008-2010). The paper research examined three main categories of problems. The first area is the term-by-term differentiability one-variable Fourier series, and thus obtained a series of Lipschitz class covers the debt. In the next section we investigated the relationship between the two-varialbe Fourier series coefficients of the appropriate scale and function of generalized Lipschitz and Zygmund classes debt. Finally, we give a necessary and sufficient condition that a Fourier transform of bivariate functions comply with a classical Lipschitz and Zygmund condition. The following four publications of the author's thesis are based on F. Móricz and Z. Sáfár(2010), Gawin Brown, F. Móricz and Z. Sáfár(2009), Vanda Fülöp, F. Móricz and Z. Sáfár(2011) and Z. Safar(2009). 1. Differentiation of Fourier series and function classes This theorems generalizes the corresponding theorems proved by BOAS (1967) and NÉMETH (1990). We assume that C absolutely convergent series, then the trigonometric series converges uniformly, and consequently it is the Fourier series of its sum f(x). In Theorem 1 we give necessary and sufficient conditions for the magnitude of Fourier coefficients of the function f in order that the function f is r 1 times differentiable in x T. Furthermore, we also show that the uniform convergence of rth formal derivative series of the Fourier series is equivalent to the continuity of the function on the torus. In Theorems 2 and 3 we give sufficient conditions of the magnitude of the Fourier coefficients in order that the function belongs to one of the classes Lip(α), Zyg(1) and lip(α) or zyg(1) (where 0 < α < 1). Finally, in Theorems 4 and 5 we show that the above condition is not only sufficient but also necessary in the case 0 or k 0. So, these conditions are best possible. 1 NYME, Savaria Egyetemi Központ, Természettudományi Kar, Matematika és Fizikai Intézet. 9700 Szombathely, Károlyi G. tér 4. E-mail: safar.zoltan@ttk.nyme.hu 5
(1.1) Let C be a sequence such that Then the trigonometric series (1.2) converges uniformly on the torus and it is the Fourier series of its sum f. Definition 1 (Lipschitz classes). Lip(α) consists of all functions f for which where C is a constant depending on f, but not on x and h. The little Lipschitz class lip(α) consists of all functions f for which Definition 2 (Zygmund classes). Zyg(α) consists of all continuous functions f for which The little Zygmund class zyg(α) consists of all continuous functions f for which Theorem 1. If for some r 1, 6
then the r times formally differentiated Fourier series in (1.2) converges at a particular point x T if and only if f is r times differentiable at x, and in this case we have (1.3) Furthermore, the rth derivative is continuous on T if and only if the series in (1.3) converges uniformly on T. Theorem 2. If for some r 1 and 0 < α 1, (1.4) then f is r times differentiable on T, Zyg(1) in case α = 1. Theorem 3. If for some r 1 and 0 < α 1, (1.5) Lip( ) in case 0 < α < 1, and then f is r times differentiable on T, lip( ) in case 0 < α < 1, and zyg(1) case α = 1. Theorem 4. Suppose that either k 0 for all k or 0 for all k, and that f is r times differentiable on T. If Lip( ) for some 0 < α < 1, then (1.4) holds with this α; while if Zyg(1), then (1.4) holds with α =1. Theorem 5. Both statements in Theorem 4 remain valid if Lip(α) and Zyg(1) are replaced by lip(α) and zyg(1), respectively, and (1.4) is replaced by (1.5). Corollary 1. (i) If for some r 1, (1.6) then f is r times differentiable on T and Lip( ). (ii) Suppose that 0 for all k and that f is r times differentiable on T, where r 1. If Lip( ), then (1.6) holds. 7
2. Double Fourier series and function classes In this section we generalized the single valued theorems of Ferenc Móricz(2008-2010) and we enlarged the theorems of two variables. We assume that the C absolute converges, so we can examine the function In Theorem 6 we give a sufficient condition of the magnitude of Fourier coefficients of a function f to belong to the class Lip( ), where 0 < α, β 1. This condition is also necessary in some particular cases (see Theorems 6-8 below). The claim of Theorem 7 relates to the class Zyg( ). We give a sufficient condition for the Fourier coefficients of f function to ensure that f to belong to an extended Zygmund class, where 0 < α, β 2. Throughout this chapter, by { : (k,l) } we denote a sequence of complex numbers with the property (2.1) The double trigonometric series (2.2) converges uniformly. Consequently, the series in (2.2) is the Fourier series of its sum f, which is continuous on the two-dimensional torus. We recall that a positive valued, measurable function L defined in [a, ) (a > 0 arbitrary), is said to be slowly varying (in Karamata's sense) if for every > 0, Let L be a two-variable function such that 8
(2.3) Definition 3 (Multiplicative Lipschitz classes). Let α, β > 0 arbitrary and (2.4) + (, ). The class Lip(α, β) consists of all continuous functions f(x,y) for which for all x,y T; > 0. The class lip(α, β) consists of all continuous functions f(x,y) for which Definition 4 (Multiplicative Zygmund classes). Given α, β > 0 and The class Zyg(α, β) consists of all continuous functions f for which for all x,y T; > 0. The class zyg(α, β) consists of all continuous functions f(x,y) for which We will use the special series (2.5) 0 for all k,l 1, and 9
(2.6) = = =, k, l 1. Definition 5 (Generalized Lipschitz classes). Given α, β > 0 and a function L(x,y) satisfying condition (2.3), a continuous function f is said to belong to the generalized multiplicative Lipschitz class Lip(α, β; L) if for the double difference operator in (2.4) for all x,y T; > 0. Given α, β 0 and function L satisfying condition (2.3), the function f is said to belong to Lip(α, β; 1/L) if for all x,y T; > 0. Given α, β 0, we denote by the class of all functions : [0,1] [0,1] which are nondecreasing in each variable and possess the following properties: (2.7) = 0 for all (2.8) (2.9), for all α' > α and 0 < 1; 10
(2.10), for all β' > β and 0 < 1. We will define the modulus of continuity and the modulus of smoothness by ω(f;, ):= and ω 2 (f;, ):=, where j=1,2 and. denotes the usual maximum norm. Remark. Bary és Stečkin(1956) introduced another classes of moduli of continuity which are defined by means of a function φ(t) Φ, 0 t π with the following four properties: (i) φ is continuous on the interval [0,π], however this was not used in the proofs of Bary, (ii) φ is non-decreasing, (iii) φ 0 for every 0 < t π, (iv) φ 0 as t 0. Definition 6 (Enlarged Lipschitz classes). Let for some α, β 0. We define the Lip( ) of continuous functions as follows: Lip( ) := {f: ω(f;, ) = O( (, ))}. Definition 7 (Enlarged Zygmund classes). Zyg( ) := {f: ω 2 (f;, ) = O( (, ))}. 3. Fourier series and enlarged Lipschitz and Zygmund classes of functions Our new results are summarized in the following three theorems. Theorem 6. Let. (i) If C is such that for some 0 < α, β 1 we have 11
(3.1) then (2.1) is satisfied and f Lip( ), where f is defined in (2.2). (ii) Conversely, suppose that } R is such that conditions (2.1), (2.5) and (2.6) satisfied. If f Lip( ) for some 0 α, β 1, then condition (3.1) is satisfied. Theorem 7. Let. (i) If C is such that for some 0 < α, β 2 we have (3.2) then (2.1) is satisfied and f Zyg( ), where f is defined in (2.2). (ii) Conversely, suppose that } R is such that condition (2.1) is satisfied and (3.3) 0 for all k, l 1. If f Zyg( ) for some 0 α, β 2, then condition (3.2) is satisfied. Theorem 8.. Let. (i) If C is such that for some 0 α, β < 1 we have (3.4) then f Lip( ), where f is defined in (2.2). (ii) Conversely, suppose that } R is such that conditions (2.1) and (3.3) are satisfied. If f Zyg( ) for some 0 α, β 2, then condition (3.4) is satisfied. Remark. In the case 0 < α, β < 1, Part (i) in Theorems 6 and 8 are equivalent. In the case 0 < α, β < 2, Part (ii) in Theorems 7 and 8 are equivalent. Part (ii) in Theorems 6 and 8 are not comparable. Remark. We note that it seems to be likely that our Theorems 6-8 in the cases 0 < α, β < 1 can also be obtained using the theorems of Bary and 12
Stečkin. The proofs of the theorems in MÓRICZ and SAFAR (2010) we estimate the moduli of continuity or smothness directly in terms of the function in question. We investigate the classes Lip( ) and Zyg( ) for 0 α, β 1 and 0 α, β 2, respectively. Further difference is that in the following lemmas {a kl } is an arbitrary series, while the function φ Φ is non-decreasing. The exponent γ and δ may be arbitrary real number for which γ > α 0 and δ > β 0. Finally, the key fact in the proofs of our theorems is that Part (i) and Part (ii) are equivalent whenever γ > α > 0 and δ > β > 0. The following three Lemmas will be of vital importance in the proofs of Theorem 6, 7 and 8. Lemma 1. Let {a kl : k,l = 1,2, } and. (i) If for some γ α > 0 and δ β > 0, (3.5) then a kl < and (3.6) (ii) Conversely, if (3.6) is satisfied for some γ > α 0 and δ > β 0, then (3.5) is also satisfied. Lemma 2. Let {a kl : k,l = 1,2, } and. (i) If (3.5) is satisfied for some δ β > 0, while γ, α are arbitrary, then (3.7) (ii) If (3.6) is satisfied for some δ > β 0, while γ, α are arbitrary, then (3.7) is also satisfied. Lemma 3. Let {a kl and. (i) If (3.5) is satisfied for some γ α > 0, while δ, β are arbitrary, then 13
(3.8) (ii) If (3.6) is satisfied for some γ > α 0, while δ, β are arbitrary, then (3.8) is also satisfied. 4. Fourier series and generalized Lipschitz classes The following two theorems are special cases of Theorem 6-8. Theorem 9. Assume C with (2.1), f is defined in (2.2) and L satisfies condition (2.3). (i) If for some 0 < α, β 1, (4.1) then f Lip(α, β; L). (ii) Conversely, let R be a sequence such that conditions (2.5) and (2.6) hold. If f Lip(α, β; L) for some 0 < α, β 1, then (4.1) holds. Theorem 10. Assume C, with (2.1), f is defined in (2.2) and L satisfies condition (2.3). (i) If for some 0 α, β < 1, (4.2) then f Lip(α, β; 1/L). (ii) Conversely, let be a sequence such that conditions (2.5) and (2.6) hold. If f Lip(α, β; 1/L) for some 0 < α, β < 1, then (4.2) holds. Problem. It is an open problem whether the claim in Theorem 10 (ii) remains valid if 0 < α, β < 1 is replaced by 0 α, β < 1. Remark. Theorem 6 is generalization of Theorem 9, which is ( ) : = arises easy choice. Similarly, Theorem 8 is generalization of Theorem 10 of the Lip( ) Zyg( ) and the relation of ( ) : = selection. 14
5. Double Fourier transforms and function classes In this section we consider complex-valued functions f ( ) and prove sufficient conditions under which the double Fourier transform belongs to one of the multiplicative Lipschitz classes Lip(α, β) for some 0 α, β 1, or to one of the multiplicative Zygmund classes Zyg(α, β) for some 0 α, β 2. In Theorem 11 we give sufficient conditions under which belongs to the class Lip(α, β), where 0 < α, β 1. This condition is also necessary in the case when xy f(x,y) 0 for almost every x,y R. In Theorem 12 we prove an analogous result in the case of Zygmund classes Zyg(α, β), where 0 < α, β 2. Theorem 11. (i) Suppose f: C is such that f ( ) and there exist some > 0 such that (5.1) f ({(x,y) : either x > and y <, or x < and y > }). If for some 0 < α, β 1, (5.2), s,t > 0, then f ( ) and Lip(α, β). (ii) Conversely, suppose f ( ) is such that for almost all (x,y) we have (5.3) f(x,y) = -f(-x,y) = -f(x,-y) = f(-x,-y) 0; in particular, if f(x,y) is odd in each variable. If Lip(α, β) for some 0 < α, β 1, then (5.2) is satisfied. Remark. The condition (5.2) is equvalent to the condition (5.4) f ({(x,y) : x > s és y > t}), s,t > 0. Due to the assumption that f ( ), in order to conclude f ( ) in statement (i) above, we need the fulfillment of condition (5.1). If there exist some constants > 0 and such that (5.5), s > 0, 15
then we also have f ({(x,y) : x > s és y < }). Analogously, if there exist some constants >0 and such that (5.6) then we also have f ({(x,y) : x < és y > t})., t > 0, In particular, conditions (5.5) and (5.6) imply the fulfillment of condition (5.1). Theorem 12. (i) Suppose f: C is such that f ( ) and there exist some > 0 such that condition (5.1) is satisfied. If for some 0 < α, β 2, (5.7), s,t > 0, then f ( ) and Zyg(α, β). (ii) Conversely, suppose f ( ) is such that f(x,y) 0 for almost all (x,y). If Zyg(α, β) for some 0 < α, β 2, then condition (5.7) holds. Remark. Again, condition (5.7) implies only the fulfillment of (5.4). Due the assumption that f ( ), in order to conclude f ( ) in statement (i) above, we need the fulfillment of condition (5.1). If there exist some constants > 0 and such that (5.8) then we also have f ({(x,y) : x > s és y < })., s > 0, (5.9) Analogously, if there exist some constants >0 and such that, t > 0, 16
then we also have f ({(x,y) : x < és y > t}). In particular, conditions (5.8) and (5.9) imply the fulfillment of condition (5.1). IRODALOM BARY, N. K. STEČKIN, S. B. (1956): Best approximation and differential properties of two conjugate functions. Trudy Moskov. Mat. Obšč. 5: 483-522 (in Russian). BOAS, R. P. Jr. (1967): Fourier series with positive coefficients. J. Math. Anal. Appl. 17: 463-483. FÜLÖP, V. MÓRICZ, F. SÁFÁR, Z. (2011): Double Fourier transforms, Lipschitz and Zygmund classes of functions on the plane. East J. Approx. 17: 111-124. BROWN, G. MÓRICZ, F. SÁFÁR, Z. (2009) Formal differentiation of absolutely convergent Fourier series and classical function classes. Acta. Sci. Math. 75: 161-173. MÓRICZ, F. (2008): Absolutely convergent Fourier series, classical function classes and Paley's theorem. Analysis Math. 34: 261-276. MÓRICZ, F. (2008): Absolutely convergent Fourier series and generalized Lipschitz classes of functions. Colloq. Math. 113: 105-117. MÓRICZ, F. (2008): Absolutely convergent multiple Fourier series and multiplicative Lipschitz classes of functions. Acta Math. Hungar. 121: 1-19. MÓRICZ, F. (2009): Absolutely convergent Fourier series, enlarged Lipschitz and Zygmund classes of functions. East J. Approx. 15: 71-85. MÓRICZ, F. (2010): Best possible sufficient conditions for the Fourier transform to satisfy the Lipschitz or Zygmund condition. Studia Math. 199: 199-205. MÓRICZ, F. SÁFÁR, Z. (2010): Absolutely convergent double Fourier series, enlarged Lipschitz and Zygmund classes of functions of two variables. East J. Approx. 16: 1-24. NÉMETH, J. (1990): Fourier series with positive coefficients and generalized Lipschitz classes. Acta Sci. Math. 54: 291-304. SÁFÁR, Z. (2009): Absolutely convergent double Fourier series and generalized multiplicative Lipschitz classes of functions. Acta. Sci. Math. 75: 617-633. 17
18
MATEMATIKA A NYME SAVARIA EGYETEMI KÖZPONT TUDOMÁNYOS KÖZLEMÉNYEI XIX. TERMÉSZETTUDOMÁNYOK 14. Szombathely, 2012. pp. 19-36. GUETH KRISZTIÁN 1 KERESÉSI ÉS SZÍNEZÉSI PROBLÉMÁK SPECIÁLIS GRÁFOKON Abstract: Some easy problems are NP-hard on general graphs. For example the coloring problem, finding the maximal click or the maximal independent set can't be solved efficiently. But if the graph is special, we can solve this problems in linear or quadratial time. In this essay we are talking about chordal graphs (in which every circles with length at least 4, contains some chords), comparibility graphs, co-comparibility graphs (which or its complement represents a partial ordering) and permutation graphs (which represents a permutation). We are giving polinomial time algorithms on the coloring and on the maximal click/independent set searching problem. In some cases the greedy algorithm is optimal. 1. Bevezetés Ismert, hogy általános gráfokban néhány egyszerűnek tűnő probléma is NP-teljes. Ilyen például a maximális méretű klikk (azaz teljes részgráf) megkeresése, vagy éppen a maximális független halmaz keresése, de ilyen a kromatikus szám meghatározása is, azaz hogy minimálisan hány szín szükséges a gráf megszínezéséhez, ha a szomszédos pontok nem kaphatják ugyanazt a színt. Ha egy problémáról az derül ki, hogy NP-teljes, akkor ne várjunk rá hatékony algoritmust. Több mint valószínű, hogy az ilyen problémákra csak olyan algoritmus adható, melynek lépésszáma az input méretének exponenciális függvénye, vagy akár a faktoriálisával arányos, ami viszonylag kis méretű inputra is embertelenül hosszú futásidőt eredményez, legyen bármilyen szuperszámítógépünk. Ha viszont a gráfunk valamilyen speciális osztályba tartozik, a fent említett problémák akár meglepően rövid idő alatt is megoldhatók. Ezen dolgozatban néhány ilyen speciális gráfosztályt tárgyalunk. Először kimondunk rájuk vonatkozó állításokat, összefüggéseket a gráfosztályok között, majd megnézzük, hogyan oldhatók meg a fenti problémák ezeken a gráfokon. 1 NYME, Savaria Egyetemi Központ, Természettudományi Kar, Matematika és Fizikai Intézet. 9700 Szombathely, Károlyi G. tér 4. E-mail: guethk@citromail.hu 19
A tanulmány elkészítése során JEREMY P. SPINRAD gráfok reprezentációjáról írt könyvéből (2003) dolgoztam (pontos megjelölés a dolgozat végén található). Az általam kidolgozott tételek és algoritmusok nagy része a hivatkozott műben bizonyítás nélkül kimondva (algoritmusok esetében az optimalitás igazolása nélkül), illetve feladatként szerepel. Köszönet Hujter Mihálynak, a BME docensének, aki eljuttatta számomra ezt a könyvet, és ráirányította figyelmemet erre az érdekes témára. 2. Néhány nevezetes gráfosztály Első gráfosztályunkba olyan gráfok tartoznak, melyben minden körben vannak húrok is. Definíció: Egy G gráfot merevkörűnek nevezünk, ha nem tartalmaz legalább 4 hosszúságú átlómentes kört. Az elnevezés abból jött, hogy a gráfot rúd-csukló szerkezetnek tekintve ilyenkor nem tudjuk a síkban mozgatni éleit egymáshoz képest. Egy 4 vagy több pontú átló nélküli kört lehet hajlítgatni. Egy gráfban a v csúcsot szimpliciálisnak nevezzük, ha v szomszédai egy klikket, azaz teljes részgráfot alkotnak. Azaz v bármely két szomszédja között vezet él. Mivel természetesen v-ből a szomszédjaihoz vezet él, úgy is fogalmazhatunk, hogy v a szomszédjaival együtt klikket formáz. Az úgynevezett perfekt eliminációs séma megadja a G gráf csúcsainak egy szimpliciális sorrendjét, azaz olyan módon rendezi sorba a csúcsokat ( v 1,v2,... v n ), hogy minden i-re v i szimpliciális a v i,vi+ 1,... vn által feszített részgráfban, már ha ilyen sorrend létezik. Azaz olyan sorrendet ad meg, melyben minden csúcs nála nagyobb indexű szomszédai klikket alkotnak. Ismert, hogy egy G gráf csúcsai akkor és csak akkor rendezhetők szimpliciális sorrendbe, ha G merevkörű. Az az irány, hogy ha van ilyen sorrend, akkor nem tartalmazhat a gráf átlómentes kört, könnyen látszik. Ugyanis tegyük fel, hogy van ilyen kör (mely definíció szerint legalább 4 hosszúságú), és tekintsük a szimpliciális sorrend szerint legalacsonyabb indexű tagját, jelöljük ezt x-szel. A sorrend tulajdonsága miatt x nála nagyobb indexű szomszédai közül bármelyik kettő össze kéne hogy legyen kötve, de ezen szomszédok között ott van az a két pont, melyek x szomszédai a körön, és mivel ez egy legalább 4 pontú átlómentes kör, a szóban forgó két szomszéd mégsem lehet összekötve. Az ellentmondás bizonyítja, hogy a gráfunk merevkörű. 20
Most egy általánosabb gráfosztály következik, melynek, mint látni fogjuk, a tárgyalt gráfosztályok mind részei. Definíció: A G gráfot perfektnek nevezzük, ha minden G' feszített részgráfjára Χ(G') = ω(g'). Itt Χ(G') a G' gráf kromatikus számát, ω(g') pedig a G'-ben lévő maximális méretű klikk elemszámát jelenti. Egy tetszőleges gráf csúcsait nyilván nem lehet kevesebb színnel színezni, mint a maximális klikkméret, hiszen a klikkben szereplő csúcsokat mind különbözőre kell színezni. A perfekt gráf kritériuma azt jelenti, hogy ki is lehet ennyivel színezni, de nem csak az egész gráfot, hanem minden feszített részgráfját is. A továbbiakban a gráfokat nem valódi színekkel, hanem az 1, 2, 3, számokkal fogjuk színezni. Állítás: Ha a G gráf merevkörű, akkor G perfekt is. Bizonyítás: Látható, hogy merevkörű gráf minden feszített részgráfja is merevkörű. Ugyanis ha G-ben nincs átlómentes kör, akkor semelyik feszített részgráfjában sem lehet, mert utóbbi minden olyan élet tartalmaz, ami a csúcsai között vezet, és az eredeti gráfban is szerepelt. Tehát elég belátni, hogy merevkörű gráf kiszínezhető maxklikk számú színnel. Tekintsük G csúcsainak egy szimpliciális sorrendjét ( v 1,v2,... vn ), és jobbról balra haladva (azaz indexek szerint csökkenő sorrendben) színezzünk minden csúcsot a legkisebb olyan színre, amilyen színű már megszínezett szomszédja még nincs. Ezt nevezzük mohó színezésnek. Állítjuk, hogy ez az eljárás nem használ ω(g)-nél több színt (kevesebbet meg nyilván nem használhat). Egy szimpliciális sorrendben minden maximális klikk előáll úgy, hogy valamelyik csúcs és a nála nagyobb indexű szomszédai. Vegyük az egyik maxklikk (jelöljük K-val) legalacsonyabb indexű pontját (legyen ez x), x minden, tőle jobbra eső szomszéda benne kell legyen K-ban, mert ellenkező esetben vagy ellentmondásban lennénk a szimpliciális sorrenddel, vagy pedig találnánk K-nál nagyobb klikket. Ha most a mohó algoritmus ω-nál több színt használna, akkor lenne olyan y csúcs, melyet az ω+1-edik színre színezne. Ez csak úgy volna lehetséges, hogy y-nak lennének olyan már megszínezett (azaz tőle jobbra álló) szomszédai, melyek az 1, 2, ω színeket kapták. Mivel a sorrend szimpliciális, ezek a csúcsok mind szomszédosak egymással, de az előbbiek miatt y-nal is, és így kaptunk egy ω+1 csúcsú klikket G-ben, ami ellentmond ω definíciójának. Ezzel a bizonyítást befejeztük. Következő gráftípusaink egy rendezési relációt írnak le. 21
Definíció: A G gráfot összehasonlítás-gráfnak nevezzük, ha éleit meg tudjuk úgy irányítani, hogy egy tranzitív G' digráfot kapjunk. Ez azt jelenti, hogy amennyiben G'-ben van x y él és y z él is, akkor az eredeti gráfban van x és z között is él, melyet aztán z felé irányítunk. G' tranzitivitása megfelel egy rendezési relációnak: x y azt jelenti, hogy y nagyobb x-nél. A feltétel összhangban van a < reláció tranzitivitásával. G-ről tegyük fel, hogy egyszerű gráf, azaz nincsenek benne párhuzamos élek, sem hurokélek, így G'-ben egyik elem sem lesz nagyobb önmagánál, és nem fordulhat elő, hogy két elem mindegyike nagyobb a másiknál. Azonban G'-ben nincs feltétlenül bármely két elem között valamilyen irányú él, vagyis nem minden elempár összehasonlítható. G-re vonatkoztatva ez azt jelenti, hogy ott pontosan akkor megy két elem közt él, ha azok összehasonlíthatóak. Ezért hívjuk G-t összehasonlítás-gráfnak. Az ilyen gráfok (ha az éleit megirányítottuk) egy részben rendezett halmazt reprezentálnak. Állítás: Ha G összehasonlítás-gráf, akkor G perfekt is. Biz.: Látható, hogy összehasonlítás-gráf minden feszített részgráfja is az: a részben rendezett halmaz egy részhalmazát reprezentálja. Tehát itt is elég belátni, hogy G kiszínezhető ω(g) darab színnel. Nézzük meg, mit jelent egy klikk a részben rendezett halmazra nézve! A tranzitivitásból következik, hogy a klikkben szereplő elemek közt van legnagyobb, van legkisebb, és egyértelműen sorbarendezhető ez a részhalmaz: minden elem kisebb a tőle jobbra levőknél és nagyobb a többinél. Az ilyen részhalmazt láncnak nevezzük. A maximális klikkméret tehát a részben rendezett halmazban lévő leghosszabb lánc hosszát jelenti. Ha kiszínezünk egy összehasonlítás-gráfot, akkor csak olyan pontok kerülhetnek egy színosztályba, melyek közül egyik sem szomszédos semelyik másikkal, azaz a neki megfelelő elemek közül semelyik kettő sem összehasonlítható. Az ilyen részhalmazokat antiláncoknak nevezzük. A színezés tehát azt jelenti, hogy a részben rendezett halmaz elemeit antiláncokkal lefedjük. Dilworth tétele azt mondja ki, hogy minden részben rendezett halmazban a maximális lánc hossza egyenlő a halmaz elemeit lefedő antiláncok minimális számával. Ez pontosan azt jelenti, hogy összehasonlítás-gráfra Χ(G) = ω(g). 22
X 1 v 1 X 2 v 2 X 3 v 3 X k v k 1. ábra: A maximális lánc, és a belőle képzett halmazok Fig 1: Maximal chain, and from it created sets Most bebizonyítjuk a Dilworth-tételt. A max. lánc hosszánál kevesebb antilánccal nyilván nem lehet lefedni a halmaz elemeit, mert minden antilánc legfeljebb egyet tartalmazhat a lánc elemei közül. Legyen v 1 > v2 >... > vk egy maximális lánc. Megadunk egy lefedést k db antilánccal. Álljon az X 1 halmaz a v 1 -ből, és a vele nem összehasonlítható elemek közül a legnagyobbakból (azaz amelyeknél nincs nagyobb elem a halmazban). X 1 elemeit ezután el is hagyhatjuk. X 2 álljon a v2 -ből és a maradék halmaz v2 -vel nem összehasonlítható elemei közül a maximálisakból (a maradék halmazban nézve), és így tovább. Az X 1,X 2,... X k halmazok mindegyike antilánc, mert egy adott halmaz legnagyobb elemei között nem lehet két összehasonlítható. Kell még, hogy ezek az antiláncok lefedik az egész halmazt. Tegyük fel, hogy van olyan y elem, mely egyik X i -ben sincs benne. Tegyük fel először azt is, hogy y a v 1,v2,... vk mindegyikével összehasonlítható, ezért nem került bele egyik halmazba sem. Ha y > v1, akkor mivel v 1 a lánc összes többi eleménél nagyobb, ezért a tranzitivitás miatt y is nagyobb a lánc minden eleménél, tehát a lánc az y elemmel bővíthető. Legyen ezután y < v1, de y nem kisebb a lánc összes eleménél. Legyen i a legkisebb olyan index, 23
melyre y > vi teljesül. Ha j tetszőleges, i-nél nagyobb index, akkor v i > v j, és a tranzitivitás miatt y > v j. Az i index definíciójával együtt ez azt jelenti, hogy y beszúrható a láncba a v i 1 és a v i közé. Ha pedig y minden elemnél kisebb, akkor pedig a lánc másik végére szúrható be. v 1 v i 1 y v i v k 2. ábra: Az y pont beszúrása a láncba Fig 2: Insertion of vertex y into the chain Tehát mindhárom esetben azt kaptuk, hogy a lánc bővíthető a kimaradt elemmel, tehát ha van ilyen, akkor a lánc nem volt maximális. Nézzük most azt az esetet, amikor y nem összehasonlítható pl. a v i -vel, de mégsem került bele X i -be! Ez csak úgy lehetséges, hogy y a vizsgált halmazban nem volt maximális, azaz létezik olyan z elem, mely nem összehasonlítható v -vel, de nagyobb y-nál, és így belekerült X -be i (lehetnek z és y közé eső elemek is, de a tranzitivitás miatt z > y mindenképpen fennáll). Mi lehet az oka annak, hogy z az X i -be került és nem az X i 1 -be? Egyik ok az lehet, hogy z összehasonlítható vi 1 -gyel. Ekkor z > v i 1 nem teljesülhet, mert vi 1 > vi és a tranzitivitás miatt z > vi is fennállna, holott feltettük, hogy nem összehasonlíthatóak. Tehát ha z és v i 1 összehasonlíthatóak, akkor utóbbi a nagyobb. Így y < z <vi 1 <vi 2 <... < v1 egy i+1 hosszú lánc. Most nézzük, hogy mi van akkor, ha z azért nem került X i 1 -be, mert ugyan nem összehasonlítható vi 1 -gyel, de van olyan nála nagyobb elem, i 24
mely szintén nem összehasonlítható vi 1 -gyel, és belekerült X i 1 -be. Ekkor erre az elemre végezzük el ugyanazt a gondolatmenetet, mint az előbb z-re, és így tovább. v v 1 1 X v i 1 i 1 v i z X i v i+1 y v k 1 X k 1 X i+1 v k u X k v k y 3. ábra: y nem összehasonlítható -vel, de nem került -be 4. ábra: y-ból -be vezet egy k+1 hosszú lánc Fig 3: y isn't comparable with, but y isn't in Fig 4: There is a chain from y to of length k+1 Az eddigiekből az következik, hogy ha y nem került X i -be, noha nem összehasonlítható vi -vel, akkor y-ból el tudunk jutni egy i+1 elemű láncon az X 1 halmaz valamely elemébe (ha a gondolatmenetben valahol az első eset áll fenn, akkor ott rálépünk a v-kből álló láncra, és azon megyünk v 1 -be, ha pedig mindig a 2. eset áll fenn, akkor végig a kezdeti lánctól diszjunkt láncon haladunk). Most vizsgáljuk meg, mi lehet a helyzet az X i -től lefelé! Az y pontról azt tettük fel, hogy egyik X halmazba sem került bele, tehát az X i+ 1 -be sem. Tegyük fel először, hogy ez azért történt, mert összehasonlítható vi+ 1 -gyel. Ekkor kizárhatjuk azt, hogy kettejük közül v i+ 1 a nagyobb, mert ekkor v i > v i+1 miatt v i > y is fennállna, pedig ők nem összehasonlíthatók. Tehát y > v i+1 teljesülhet csak. Ekkor azonban a bizonyítás első részében kapott, y-ból X 1 -be vezető láncot kibővíthetjük az v k < vk 1 <... <vi+ 1 < y lánccal, amely viszont k+1 elemű (minden X halmazból tartalmaz egy-egy elemet, meg még y-t is). Ez ellentmond annak, hogy a maximális lánc hossza k. 25