Síklapú testek Gúlák, hasábok áthatása Az előadás átdolgozott részleteket tartalmaz a következőkből: Gubis Katalin: Ábrázoló geometria
Áthatás Két test áthatásának nevezzük a testek közös pontjainak összességéből adódó térbeli sokszögvonalat. A sokszög csúcspontjait azok a döféspontok képezik, ahol az egyik test éle döfi a másik lapját és viszont. Bemetsző áthatás: az áthatás vonala egy térbeli sokszögből áll. Széteső áthatás: az áthatás vonala két térbeli sokszögből áll. Példa bemetsző áthatásra:
K N L M G" Ötszög alapú gúla és téglalap alapú hasáb áthatása. Mindkét test alaplapja a K 1 -re illeszkedik. A E B D D C E 1. lépés: A hasáb oldallapjai vetítősíkok, így az 1. képen láthatók azok a pontok, ahol a gúla élei elmetszik azokat. (1, 2, 3, 4, ) A pontok második képeit rendezőkkel határozzuk meg. N M A K G 2 L C B
K N L M G" Ötszög alapú gúla és téglalap alapú hasáb áthatása. Mindkét test alaplapja a K 1 -re illeszkedik. 7 A E B D D C E N M 2. lépés: A K és N pontokból induló függőleges hasáboldalélek metszik a gúla oldallapjait. Ezeket a metszéspontokat az 1. képen látjuk, a 2. képhez a két él síkjával metszetet készítünk a gúlából. Ebben a síkban benne van a gúla metszete és a hasáb két függőleges éle, a közös pontok kijelölhetők. Így kaptuk a és 7 pontokat. A K G L C B
K N L M G" Ötszög alapú gúla és téglalap alapú hasáb áthatása. Mindkét test alaplapja a K 1 -re illeszkedik. 7 8 9 A E B D D C E N M 3. lépés: Az M és L pontokból induló függőleges hasáboldalélek metszik a gúla oldallapjait. Ezeket a metszéspontokat az 1. képen látjuk, a 2. képhez a két él síkjával metszetet készítünk a gúlából. Ebben a síkban benne van a gúla metszete és a hasáb két függőleges éle, a közös pontok kijelölhetők. Így kaptuk a 8 és 9 pontokat. A K G L C B
K N L M G" Ötszög alapú gúla és téglalap alapú hasáb áthatása. Mindkét test alaplapja a K 1 -re illeszkedik. 7 8 9 A E B D D C E N M G A C K L 4. lépés: Az összekötés sorrendje: A testek körüljárását figyelembe véve csak azok a pontok köthetők össze, melyek mindkét testnek ugyanazok lapjain vannak. 1 2 8 3 9 4 7 1 Széteső áthatás, ugyanis az alaplapok metszésvonala a hasáb alapja lesz, és ezzel két sokszög alkotja az áthatás vonalát. B
K N L M G" Ötszög alapú gúla és téglalap alapú hasáb áthatása. Mindkét test alaplapja a K 1 -re illeszkedik. 7 8 9 A E B D D C E N M A láthatóságot aszerint jelöljük, ahogy a mindkét teste megmara metszés után, és összeolvadnak egyetlen testté. A kapott pontokat összekötve egy térbeli sokszöget kapunk. A sokszögnek csak azok az oldalai látszanak, melyek mindkét test látható lapjainak összemetszéséből keletkeztek. 2 8 3 A K G L C B
K N L M G" Ötszög alapú gúla és téglalap alapú hasáb áthatása. Mindkét test alaplapja a K 1 -re illeszkedik. Látható lapok jelölése színezéssel 7 8 9 A E B D D C E N M A K G L C B
K N L M Ötszög alapú gúla és téglalap alapú hasáb áthatása. Mindkét test alaplapja a K 1 -re illeszkedik. A két test uniója, élekkel jelölve. 7 8 9 A E B D D C E N M A K L C B
Ötszög alapú gúla és téglalap alapú hasáb áthatása. Mindkét test alaplapja a K 1 -re illeszkedik. A gúla maradéka a hasáb eltávolítása után. 7 8 9 A E B D D C E N M A K G L C B
1. lépés: G" a b a d b c A hasáb lapjai 2. vetítősíkok, így a 2. képen jól láthatók, hogy a gúla élei hol metszik azokat. Ezek a metszéspontok:1, 2, 3, 4. A pontok összekötési sorrendjéhez egy segédábrát készítünk, amelyben a vízszintes vonalak a gúla, a függőleges vonalak a hasáb oldaléleit jelölik. Két szomszédos vonal között mindig egy lapot jelenítünk meg. 1: a élen, a b között 2: a élen, között 3: a élen, b c között 4: a élen, c d között Az összekötést segítő ábra: 3 4 1 2
2. lépés: G" a = b 7 =8 a d b c A hasáb élei metszik a gúla lapjait, és minden élen ezzel két újabb áthatási pont keletkezik. (a = = és b =7 =8 ) A szerkesztés egyszerűsítése végett az a és b élek síkjával egy ferde metszetet készítünk a gúlából. Ebben a síkban az élek és a metszet közös pontjai kijelölhetők. : a élen, és között : a élen, és között 7: b élen, és között 8: b élen, és között 7 3 4 8 1 2
3. lépés: a G" 1=1 b 1 1 a d b c 9 =10 10 A hasáb élei metszik a gúla lapjait, és minden élen ezzel két újabb áthatási pont keletkezik. (=9 =10 és =1=1) A szerkesztés egyszerűsítése végett az a és b élek síkjával egy ferde metszetet készítünk a gúlából. Ebben a síkban az élek és a metszet közös pontjai kijelölhetők. 9: c élen, és között 10: c élen, és között 11: d élen, és között 12: d élen, és között 1 7 8 3 9 10 11 4 12 2
Széteső áthatás a G" 1=12 9 =10 Minden pontot megszerkesztettünk. 4. lépés: Összekötés = b 7 =8 1 1 a d b c 10 Csak azok a pontok köthetők össze, melyek ugyanannak a kis négyzetnek az oldalain vannak. Két poligont kapunk: 2 12 10 8 1 11 4 9 3 7 1 7 8 3 9 10 11 4 12 2
a = G" 1=12 9 =10 b 7 =8 Az áthatás vonala 12 szakaszból áll, de csak azok látszanak az 1. képen, melyek mindkét test látható lapjainak összemetszésével keletkeztek. 2 12 10 11 4 9 1 1 a d b c 10 1 7 8 3 9 10 11 4 12 2
a G" 1=12 9 =10 A teljes szerkesztés egy ábrában. = b 7 =8 1 1 a d b c 10 1 7 8 3 9 10 11 4 12 2
G" 1=12 9 =10 a = b 7 =8 A két test uniója az 1. képen színezéssel jelölve 1 1 a d b c 10 1 7 8 3 9 10 11 4 12 2
G" 1=12 9 =10 a = b 7 =8 A gúla maradéka a hasáb eltávolítása után. 1 1 10 1 7 8 3 9 10 11 4 12 2
G" 1. lépés: a b A hasáb oldallapjai vetítősíkok, így a 2. képen láthatók azok a pontok, ahol a gúla élei elmetszik azokat. (1, 2, 3, 4) 1: a élen, b c között 2: a élen, c d között 3: a élen, a d között 4: a élen, c d között Az összekötést segítő ábra: 1 2 4 3 a =d b =c
G" 2. lépés: a b = 7 =8 a =d b =c A hasáb élei metszik a gúla lapjait, és minden élen ezzel két újabb áthatási pont keletkezik. (a = = és b =7 =8 ) A szerkesztés egyszerűsítése végett az a és b élek síkjával egy vízszintes metszetet készítünk a gúlából. Ebben a síkban az élek és a metszet közös pontjai kijelölhetők. : a élen, és között : a élen, és között 7: b élen, és között 8: b élen, és között 7 1 2 8 4 3
G" 3. lépés: 1=1 9 =10 a b A" D" B" C" 1 10 1 A hasáb élei metszik a gúla lapjait, és minden élen ezzel két újabb áthatási pont keletkezik. (=9 =10 és =1=1) A szerkesztés egyszerűsítése végett az a és b élek síkjával egy ferde metszetet készítünk a gúlából. Ebben a síkban az élek és a metszet közös pontjai kijelölhetők. 9: c élen, és között 10: c élen, és között 11: d élen, és között 12: d élen, és között 7 11 1 2 9 8 10 4 3 12 a =d b =c
Széteső áthatás G" 1=1 9 =10 Minden pontot megszerkesztettünk. 4. lépés: Összekötés a b = 7 =8 1 10 1 a =d b =c Csak azok a pontok köthetők össze, melyek ugyanannak a kis négyzetnek az oldalain vannak. Két poligont kapunk: 8 10 4 12 3 7 1 9 2 11 7 11 1 2 9 8 10 4 3 12
G" 1=1 9 =10 a b = 7 =8 Az áthatás vonala 12 szakaszból áll, de csak azok látszanak az 1. képen, melyek mindkét test látható lapjainak összemetszésével keletkeztek. 10 4 12 11 2 9 a =d 1 1 10 b =c 7 11 1 2 9 8 10 4 3 12
G" 1=1 9 =10 A teljes szerkesztés egy ábrában. a b = 7 =8 a =d 1 1 10 b =c 7 11 1 2 9 8 10 4 3 12
G" 1=1 9 =10 a b A két test uniója az 1. képen színezéssel jelölve = 7 =8 a =d 1 1 10 b =c 7 11 1 2 9 8 10 4 3 12
G" 1=1 9 =10 a b A gúla maradéka a hasáb eltávolítása után = 7 =8 1 1 10 7 11 1 2 9 8 10 4 3 12