Ipari statisztika, 9. hét Feloldóképesség (resolution) III: a fıhatások egymással nem keverednek (nem aliasai egymásnak), de kétfaktoros kölcsönhatásokkal már igen IV: a fıhatások egymással és a kétfaktoros kölcsönhatásokkal nem keverednek, de háromfaktoros kölcsönhatásokkal már igen. A kétfaktoros kölcsönhatások egymással keverednek. V: a fıhatások egymással, két-és háromfaktoros kölcsönhatásokkal nem keverednek. A kétfaktoros kölcsönhatások csak háromfaktorosakkal keverednek. Plackett-Burman kísérlettev A Plackett-Burman kísérlettev III felbontású részleges faktoriális kísérletterv a fıhatások elemzésére. Például 4 fıhatás elemzésére: Kísérlet Blokk A B C D 1 1 + + - + 2 1 + - + + 3 1 - + + - 4 1 - + - - 5 1 + + - + 6 1 - - - - 7 1 - - + + 8 1 - - - + 9 1 - + + + 10 1 + + + - 11 1 + - + - 12 1 + - - - A válaszfüggvény A csúcsokban kapott válaszokat a fıhatások és a kölcsönhatások függvényének tekintjük, és ezt a függvényt interpoláljuk a négyzet vagy (hiper)kocka belsejébe. Az így kapott függvény a válaszfüggvény. A válaszfüggvény lehetıséget ad a hatások becslésére a köztes (belsı pontnak megfelelı) kísérletbeállítások esetén is. Így akár egy esetleges célérték is közel pontosan elérhetı. Nemlineáris hatás jelenléte esetén a közelítés hibája nagy lehet! Válaszfüggvény egy faktor esetén hatás alacsony szint válasz közép szint magas szint átlag fıhatás faktor Hogyan interpoláljunk? Egyetlen faktor esetén könnyő a dolgunk, az átlagból és a fıhatásból a kódolással a válasz: átlag + fıhatás * kód A képlet az egyenes megfelelı pontját meghatározza egy köztes helyen is. Ez lesz az interpolációval kapott válaszfüggvény. Kettı vagy több faktor esetén a kölcsönhatások bonyolítják a dolgot, nem egy egyszerő lineáris függvényt kapunk. A válaszfüggvény két faktor esetén Az átlag, M, nyilván nem elegendı, hiszen nem adja a mért választ. Nézzük most az elsı faktor hatásának átlagos értékét, ennek az összes kísérlet átlagától való eltérését tekintsük az elsı faktor, A, fıhatásának, FA-nak. Így a válaszfüggvény elsı közelítése: azaz átlag + 1.fıhatás*1.kód 1.kód M + FA*AF Természetesen ez sem állítja be a csúcsokban a megfelelı választ, hozzá kell vennünk a 2.faktor hatását is. 1
Átlagos hatás Elsı faktor átlagos hatás 2.2 3.9 Második faktor 3.625 5.4 3.0 3.8 3.45 Elsı faktor Az elsı faktor fıhatása Teljesen hasonlóan, nézzük a második faktor hatásának átlagos értékét, és ennek az összes kísérlet átlagától való eltérését tekintsük a második faktor, B fıhatásának, FB- nek. Így a válaszfüggvény második közelítése: azaz átlag + 1.fıhatás*1.kód 1.kód + 2.fıhatás*2.kód 2.kód M + FA*A F + FB*BF Azonban még ez sem állítja be a csúcsokban a megfelelı választ. Ez nem túlzottan meglepı, mivel három változóval nem lehet négy pontban tetszılegesen adott értéket beállítani. Figyelembe kell még vennünk a két faktor kölcsönhatását is. Második faktor átlagos hatás A második faktor fıhatása 2.2 3.9 3.05 Második faktor 3.625 5.4 3.0 Elsı faktor 4.2 2
A kölcsönhatás két szintje az együtt ill. ellentétes állás pont az átlókban jelenik meg. Így vehetjük a kölcsönhatás átlagos értékét, és most ennek az összes kísérlet átlagától való eltérését tekintjük a kölcsönhatás, A*B fıhatásának, FAB-nek. Így a válaszfüggvény végsı közelítése: azaz átlag + 1.fıhatás*1.kód 1.kód + 2.fıhatás*2.kód 2.kód + + fı-kölcsönhatás kölcsönhatás*1.kód*2.kód R(A,B) = M + FA*A F + FB*B F + FAB F *A*B A válaszfüggvény, R(A,B) már nem lineáris függvény,, de mind a négy pontban elıállítja a kísérletben kapott választ. Átlagos kölcsönhatás 3.225 2.875 2.2 3.9 Második faktor 4.375 3.625 5.4 3.0 4.025 +1.025 Elsı faktor -1.025 A faktorok kölcsönhatása Válaszfüggvény három faktorra R(A,B) = M + FA*A F + FB*B F + FC*A F + +FAB *A*B +FBC+F BC*B*C + FCAF *C*A + FABCF *A*B*C Három faktor esetén a nyolc mérésbıl a nyolc együttható pont meghatározható. Általában a kölcsönhatások száma n faktor esetén n n n = 2 k k= 0 Tehát az összes 2 n kísérletbıl a 2 n kölcsönhatás együtthatója pont meghatározható Hatások vizsgálata Szórásanalízis (ANOVA) Y Regresszió X Kölcsönhatások elhanyagolása A többszörös kölcsönhatások általában elhanyagolhatóak. Errıl általában t-próba segítségével tudunk meggyızıdni, úgy, hogy teszteljük az adott kölcsönhatás együtthatójának szignifikáns különbözıségét nullától.. A felıl döntünk, hogy a kísérletben szereplı válaszok igazából egy a kölcsönhatást nem (nulla együtthatóval) tartalmazó válaszfüggvénybıl származnak véletlen hibák eredményeként megváltoztatva azt, vagy pedig az valószínősíthetı, hogy a kölcsönhatás megléte térítette el ettıl a válaszfüggvénytıl a kísérleti eredményeket.. A statisztika nyelvén ez azt jelenti, hogy az együttható várható értéke 0 vagy sem, ez pedig normális eloszlás és ismeretlen szórás esetén t-próbával dönthetı el. 3
Túlhatározottság Ha akad elhanyagolható kölcsönhatás, akkor ezeket elhagyva több megfigyelésünk lesz mint együtthatónk.. A rendszer túlhatározottá válik, nem lehet olyan válaszfügg- vényt illeszteni, amely a csúcsokban a megfigyelt értékeket adná. Ekkor úgy képzeljük, hogy a csúcsokban az eltérést a zaj faktorokból származó véletlen hibák okozzák. Az együtthatókat úgy határozzuk meg, hogy a maradék hiba szórása a minimális legyen. Ez a feladat a szórásanalízis témakörébe tartozik. Ismételt kísérletek Hasonlóan járunk el, ha nem egyetlen kísérletet végeztünk egy adott beállítás mellett. Az eredmény tehát a hipotetikus válaszfüggvény együtthatóinak statisztikai próbával (F-próbával próbával) történı ellenırzése és az ebbıl adódó szignifikancia szint lesz. A reziduálisok A válaszfüggvény (predikció) és az elvégzett kísérletek eredménye közötti különbség a kocka csúcsaiban: : a reziduálisok. A reziduálisok elemzése: Trendvizsgálat Outlierek Normalitásvizsgálat (vonalkód kevésre, hisztogramm sokra,, P-P P plot,, Q-Q Q plot) predikció - reziduális scatterdiagramm (szórásra!) Kétszintő kísérletek elemzése Adatellenırzés (outlierek) A válaszfüggvény meghatározása és elemzése A reziduálisok elemzése Táblázatok, grafikonok a hatásokról Az elfogadható beállítások meghatározása Igazoló kísérletek A Kvadratikus hatás Különbözı az eljárás attól függıen, hogy elıre tudjuk, hogy van kvadratikus hatás a rendszerben, vagy a kétszintő kísérlet középpontjának rossz illeszkedése vezet erre a felismerésre. A második esetben célszerő a kétszintő kísérlet kiegészítése, javítása. Ez történhet újabb beállítások és így kiegészítı kísérletek hozzávételével. Egy lehetıség az u.n. Central Composite Design, CCD. (Box - Wilson 1951) Az elsı esetben célszerőbb eleve másként tervezni a kísérletet.. A háromszintő kísérletek jönnek szóba,, a teljes terv azonban 3 vagy több faktorra már pazarló. Ekkor a Box - Behnken kísérlettterv alkalmazható. CCD További, u.n. csillagpontokat vezetünk be (ábra). A csillagpontok a tengelyeken helyezkednek el, számuk 2n, távolságuk az origótól: (2 n ) 1/4. Így 3 vagy több faktorra már nem a gömbön lesz! A középpontban további ismétlésekre van szükség. Így az összes kísérletek száma: 2 n + 2n + m + l A CCD-vel becsülhetı válaszfüggvény: R(A,B) = M + FA*A F + FB*B F + + FA2F A2*A 2 + FB2F B2*B 2 + FAB F *A*B 4
B 1.41 +1 0-1 -1.41 CCD -1.41-1 0 +1 1.41 A Box - Behnken terv A teljes háromszintő tervezés nagyon sok kísérletet követel meg, ezért intenzív kutatás folyt a hatásos háromszintő tervek megtalálására. BB terv 3 faktorra: Egy faktort rögzítünk a középpontban Erre kétszintő részterv A három faktor három résztervet ad A középpontban ismételt kísérletekkel kiegészítve összeáll az egész. B-B. kísérletelrendezés Az általános BB terv: Két faktor kivételével mindet a középpontban rögzítjük Minden lehetséges módon kiválasztva a két faktort kétszintő részterveket készítünk A középpontban ismételt kísérletekkel kiegészítve kapjuk a teljes kísérlettervet. A becsülhetı válaszfüggvény R(A,B,C) = M + FA*A F + FB*B F + FC*C F + +FA2 A2*A 2 + FB2F B2*B 2 + FC2F C2*C 2 + +FAB *A*B + +FBC *B*C +FCA *C*A BB vs. teljes B-B. kísérletelrendezés A BB tervvel tehát nem vehetıek figyelembe nemlineáris kölcsönhatások A BB terv takarékossága a teljes tervvel szemben: Faktor Teljes terv BB terv 3 27 15 4 81 27 5 243 46 5
B-B. kísérletelrendezés B-B. kísérletelrendezés Taguchi filozófia A minıség nem specifikációs szinteken belül maradást jelent, hanem a célérték elérését. Minden eltérés a célértéktıl minıségveszteség más oldalról nézve költség. Gazdasági szükségszerőség, hogy a rendszer minıségét elıre tervezzük. Az egyszerő inspekció, utólagos ellenırzés, gazdaságilag nem indokolt, mert nem javítja a minıséget. Veszteségfüggvény Vezessünk be egy veszteségfüggvényt, ami méri a célértéktıl való eltérés veszteségét. Lehetne az eltérés de ez nem jó mert elıjeles Lehetne az abszolút eltérés, de a célérték közelében 1% eltérésnövekedést kevésbé szeretnénk büntetni (veszteségesnek nyilvánítani), mint mondjuk a specifikációs határ közelében, ahol ez a +1% akár a termék selejtessé válását is jelentheti, így azt ki kell dobni, tehát a veszteség jóval nagyobb Ennek a kívánalomnak a négyzetes eltérés a legegyszerőbb megfelelı függvény. Kétlépcsıs optimalizálás A négyzetes eltérésbıl adódó centrum a várható érték. Ha a várható érték épp a célérték, akkor veszteség mérıszámaként használt négyzetes hiba a szórásnégyzetet adja. Ezért, ha vannak u.n. beállító faktoraink, amelyek az ingadozásra nem hatnak, akkor két lépcsıben is optimalizálhatunk Két részre bontjuk a faktorainkat Elıször megkeressük a csak az ingadozásra ható változók azon a beállítását, amely mellett a variancia a legkisebb, majd az adjustment változókkal beállítjuk a célértéket Jel-zaj viszony A variancia gyakran függ a várható értéktıl is (Az elefántok testsúlyingadozása jóval nagyobb mint a bolháké). A variancia helyett a P=σ 2 /µ 2 arányt célszerő tekinteni, és ezt minimalizálni. Ez u.az mint az u.n. jel-zaj viszony (signal to noise ratio) maximalizálása, ami: SN= µ/σ, avagy decibel skálán: SN=-10lg(σ 2 /µ 2 ) Ennek maximalizálása a logaritmált szórás: Var(lnY) vagy lnvar(lny) minimalizálásával egyenértékő. Ismételt kísérletek esetén a MINITAB megadja ezeket a logaritmált szórásokat. Egyszerően a logaritmált szórásokra mint válaszra vonatkoztatva a kísérlettervet u.úgy értékeljük. 6
Taguchi féle ortogonális elrendezések A Taguchi féle ortogonális elrendezések kísérlettervek melyek általában a teljes faktoriális tervek töredékének elvégzését követelik csupán. Több közülük faktoriális vagy Plackett- Burman designként is elérhetı. Az elrendezések célja, hogy annyi faktort kezeljen amennyit csak lehet adott kísérletszám mellett. Az elrendezések oszlopai kiegyensúlyozottak és ortogonálisak. Tehát minden oszloppárban minden faktorkombináció ugyanannyiszor van megismételve, és a fıhatások egymástól függetlenül becsülhetıek. Ezek szakácskönyv -szerően meghatározott tervek, a MINITAB is adja ezeket. Jelölésük pl.l 8 (2**5) jelentése 8 kísérlet, 5 faktorral, 2 szinttel A szórás forrásai: a zajok A Taguchi féle cél Különbözı környezeti feltételek között jól mőködı a használat során kevésbé romló egyedenként kevéssé ingadozó minıségő termék gyártása. A zaj faktorok 3 csoportja külsı belsı egyedenkénti Zajok tervezett figyelembevétele A zajokat is terv szerint generáljuk, szorzatterv pl.l 8 L 4 szerint. A belsı terv a kézbentartható faktorokat tartalmazza. A külsı terv a zajfaktorokat tartalmazza A külsı terv minden egyes eleme esetén egy teljes belsı tervet futtatunk le Ellenırzı kísérletek Redukált tervek - különbözı feltételezésekkel élünk - ezek nem biztosan teljesülnek Ezért a kapott optimálisnak tőnı beállítást ellenırizni kell Kétféle ellenırzı kísérlet lehet Az elképzelt optimális beállítással a kívánt eredményt kapjuk-e Az adott beállítás mellett néhány ismételt kísérletet végzünk Kiváltképp indokolt, ha az optimum helyén nem végeztünk eddig méréseket Ha nem csak egy beállítás kombinációt ellenırzünk, hanem, hogy a válaszfelület megfelelı-e (ez szükséges lehet további mőszakigazdaságossági számításokhoz) akkor a lényegesnek talált faktorokkal újabb kísérlettervet kell elıírni. Ez lényegesen kisebb lehet az eredetinél Jó minıségő termelés Célérték meghatározása a fogyasztó igénye a termelés lehetıségei alapján A termék jellemzıi átlagban a célértéket adják A változékonyság, szóródás legyen minimális Robusztus tervezés - az ingadozás ne legyen vagy lehetıleg legkevésbé legyen érzékeny a külsı körülmények (külsı v, látens faktorok) megváltozására Lehetıség szerint minimális kísérlettel = költséggel érjük el ezeket a célokat Ellenırizzük a javasolt beállítást A Shainin tervezés A cél a leglényegesebb, a lényeges, és a valamelyest hatásos faktorok megtalálása Ennek eszközei: Sokváltozós diagramm Komponens (alkatrész) keresés Páronkénti összehasonlítás Változók keresése Teljes faktoros tervek Kétváltozós ábrázolás 7
Sokváltozós diagrammok Többször néhany (3-5) elemő mintát kell venni a gyártási folyamatból, mindaddig, amíg az instabilitást jelentı változások kb. 80%-át már megfigyeltük. Ezeket ábrázoljuk, hely, idı szerint ciklikusságukat vizsgáljuk. Csak olyan faktorok lehetnek érdekesek amelyek maguk is ilyen függéseket mutatnak. Komponens keresés Akkor alkalmazzuk, ha vannak jó és rossz termékpéldányok Szétszedjük és változatlanul összeszereljük a termékeket Újra szétszedjük és a legfontosabbnak tartott komponenst felcserélve a két termék között összeszereljük. Ha nincs változás, a komponens nem fontos a hiba szempontjából Ha valamelyes változás van, a komponens lényeges vagy valamelyest hatásos kategóriába tartozik Ha megcserélıdik a hibás jó viszony, megtaláltuk a hiba okát Páronkénti összehasonlítás Ha nem lehet a termékeket szétszedni és újból összerakni Véletlenszerően választunk egy jó és rossz termékpárt Megvizsgáljuk és feljegyezzük az összes észlelhetı eltérést Újabb termékpárt választunk és újra feljegyezzük az eltéréseket Mindaddig további párokat veszünk, amíg jellegzetesnek és reprodukálhatónak nem tarjuk a változásokat. Változó keresés Cél: a vizsgálandó változók közül kevesebb lényeges kiválasztása A megvalósítás módja az alkatrészkereséssel analóg A faktorok feltételezhetıen jobbik és rosszabbik beállítását alkalmazzuk, egyszerre csak egyet változtatva Az eredmény itt is a leglényegesebb, a lényeges, és a valamelyest hatásos csoportba tartozó faktorok listája Ha már ismerjük a lényegesnek bizonyult hatásokat és kölcsönhatásokat, akkor a fontosak szintjét a jobbnak bizonyult szinten stabilizáljuk a nem lényegesre viszont szélesebb tőrési tartományt engedünk meg Teljes faktoros kisérlettervek A lényegesnek talált faktorokat teljes faktoriális tervvel elemezzük Kétváltozós diagramm A választ a faktor függvényében ábrázoljuk Ha a görbe menti (reziduális) ingadozás nagy, a faktor a kevésbé lényegesek közé tartozik 8