3D zámítógées Gemeta II. 6. Göbék és eüetek esztése kénszeekke tt://g.t.bme.u/ta/3ge tts://www.vk.bme.u/kezes/tagak/viiiv6 D. Váa amás D. av Péte ME Vamsménök és Inmatka Ka Iánítástenka és Inmatka anszék
atam I. ész II. ész mtváó éák távság métékek a kénszeek egenetenszee és numekus megása segéeemek akamazása távságű közeítés és atékn eezentáó kénszeek autmatkus esmeése és kezeése gbás kénszeek egjbb knátaenszeek eeena ásk szmmeta síkk kénszeek szabamájú göbék és eüetek esetén
katészek tökéetesítése ménök kénszeek Dgtás aakzat eknstukó nut: szegmentát és kasszkát ntamazk göbék és eüetek esztése küön-küön baásk zajs aatk ntatan szegmentáás numekus agtmusk D akamazásk - tökéetes meeke van szükség ménök kénszeek több göbe és eüete egüttes esztése Kénszeek: meőeges áuzams éntőeges knentkus keekített éték ásntba enezett... 3
D-s éa Hám satakzó köív - kénszeek a. - közös végnt b. 3 közös végnt a. közös éntő b. 3 közös éntő 3a. = k * 3b. = k * 3. 3 = k 3 * 4
D-s éa Numekus anaízs 5
3D-s éa Ptenás bémák a eüetek nem eszkenek eg temészetes eékszögű knátaenszebe sík eüetek - nem áuzamsak és nem meőegesek a vízszntes engeeüetek tengee nem azns az etáss eüetek ja és az etás ána küönbözk a átsó egmásba ágaztt engeek nem knentkusak és nem meőegesek az aasíka a sugáétékek nem egész számk a me nem szmmetkus stb. 6
7 ávság métékek Legksebb négzetes sq távság mnmazás: üggvén: mt ageba: aametkus: eukesz: Knuás vaamen göbeeezentáó smeeten göbeaaméteek mn ; mn ; } { M P mn ; F F mn ; } ;{ P t M t t mn ; P t } { ; b a b a } { ; e b a e b a F } { ; t t ]} } [{ { ; M t t
8 Kö esztés - távságk kö mt egenete: atntk: Mnmazáanó: geba távságüggvén: Eukesz távság: zükséges eg nmazáás etéte a eüet közeében jó közeít az eukesz távságt: Vag eg atenatív távságű eníó: R R R F n... F F ~ F R R R R R R R ˆ R 6.9 / ˆ! 36 5 34 ~ F
Kö távságté Ps: Gaens nmazáás Fekete: eukesz távság Ps: geba távság Ps: távságű közeítés
Kö távságté Iesztés aatk Eeet kö ekete: =..5 R =. Összba: 7.4 Ft ageba távságga kék: =.33.74 R =.76 Összba: 8.97 Ft eukesz távságga s: =..535 R =.974 Összba: 6.977
Mnmazáás Egenes sík esztés tt ntk: Egenes egenete: Mnmazáanó: Mósíttt eaat súnt kekó: Nmazáás kénsze - egségvekt: Megás: } {......... n. mn n n s s. ] [ ] [ sds sms ] [ s
Mnmazáás kénszeekke Megatázanó aaméteek: Egüttató mát: Kénsze mát: Mnmazáanó:. Lagange mutkát: n+ smeeten nemneás egenetensze. ajátéték sajátvekt: megás: kaaktesztkus nm vag teatív sajátétéke sajátvekta: sds sms s a a a H s n mn. H s sms sds mn. H s mn mn H Ms Ds D Ms s * s s s s Is I s a a P et I * etéve g D nvetáató Mnmazáás
Iesztés kénszeekke zegmentát tatmánk az -ek tatmán ntja : az -ek eüet: z átaáns esztés eaat: úzó ténező: Paamétevekt a eüetek összes aamétee: Kénsze egenetek: Pbéma: ; n { } j... j n ea... több kénsze mnt szaba aaméte; ezek eentmnatnak tás sen: a egntsabb k a egkevésbé nts k j j... n Kénszeek - egenetensze 3
4 Két egenes éa Iesszünk két egmása meőeges egenest } { } { n n k k k Kénsze egenetek 3: : :
5 Kénszeek - egenetensze Iesztés kénszeekke Meganó: Mósíttt Newtn teáó Jeeneg aaméte vekt: új éték: + baejtés: Jeöések: Mátaakban: n j j... } { } { ~. mn ~ ~ n ~ ] [ n n mn
6 Két egenes éa -ek éés 6 5 4 3 ávság kejezés...6; } { ]... [ P k P P k k n n k k k
7 Két egenes éa 3 Közeítő kénsze egenetek 5 3 4 3 3 3 3 5 4 3 5 4 5 4... Mát aakban... ~ 6 5 4 3 3 3 3 3 3
Iesztés kénszeekke 3 Függeten vátzók vekta: * Keesünk eg M smeeten mátt amee: ~ M * és M Ha M smet kénsze nékü mnmazáás: Közönséges neás egenet ensze: * * ~ M M * * * mn M megatázása -bő Gauss emnáó-szeű éések eüő eeé mnen éésben kktatunk eg -t nn n a kénsze egenetek nem üggetenek a eg sban - az összes egüttató nua tvább éünk met nem eet emnán - a sak a knstans tag nem nua tvább éünk met eentmnás van Kénszeek - egenetensze 8
9 Kénszeek - egenetensze Iesztés kénszeekke 4 ~ M k M n n n n Emnáós éések - a mát eső sáva nuunk és azt a -et ejezzük k ameknek a egnagbb abszút étékű tagja van: z M mát kküszöbö eg vátzót és ezáta eg övebb vekta eukája -t ~
Kénszeek - bémák tt két sík: és ; bezát szög: aa Két smeeten egenes eés e; tatamazzák P-t REDUNDÁN kénszeamaz: aa=9; e ; e ; e e!!; ELLENMONDÓ kénszeamaz: aa=9; e ; e ; e e!!;
Eentmnó kénszeek Péa - eg négzet - 34 egenesek és ám kö 3: K: a köök sugaa megegezk K: a köök közéntja eg egenesen eezkek e K3: ez az egenes vízszntes K4: a közéntk esztják a négzet széességét és egmástó 3 egsége vannak K5: a négzet assza egség Knuó áat K5 kmaa: assz <> Eentmnó kénszeek
Ujjgakat - eentmnáss kénszeek eása* Péa - eg négzet - 34 egenesek és ám kö 3: K: a köök sugaa megegezk K: a köök közéntja eg egenesen eezkek e K3: ez az egenes vízszntes K4: a közéntk esztják a négzet széességét és egmástó 3 egsége vannak K5: a négzet assza egség K4 kmaa: távságk <> 3 K3 kmaa: nem vízszntes K kmaa: nem kneás
Ujjgakat - eentmnáss kénszeek eása Péa - eg négzet - 34 egenesek és ám kö 3: K: a köök sugaa megegezk K: a köök közéntja eg egenesen eezkek e K3: ez az egenes vízszntes K4: a közéntk esztják a négzet széességét és egmástó 3 egsége vannak K5: a négzet assza egség K4 kmaa: távságk <> 3 K3 kmaa: nem vízszntes K kmaa: nem kneás 3
Ujjgakat - eentmnáss kénszeek eása Péa - eg négzet - 34 egenesek és ám kö 3: K: a köök sugaa megegezk K: a köök közéntja eg egenesen eezkek e K3: ez az egenes vízszntes K4: a közéntk esztják a négzet széességét és egmástó 3 egsége vannak K5: a négzet assza egség K4 kmaa: távságk <> 3 K3 kmaa: nem vízszntes K kmaa: nem kneás 4
Ujjgakat - eentmnáss kénszeek eása Péa - eg négzet - 34 egenesek és ám kö 3: K: a köök sugaa megegezk K: a köök közéntja eg egenesen eezkek e K3: ez az egenes vízszntes K4: a közéntk esztják a négzet széességét és egmástó 3 egsége vannak K5: a négzet assza egség K4 kmaa: távságk <> 3 K3 kmaa: nem vízszntes K kmaa: nem kneás 5
Köök esztése Kö egenete: F Gaens egségn a köön nmazáás etéte: F F z egenet baaábó evnt tag 4F íg a kénszeegenet: -ek szegmentát kö; smeeten aaméteek att ntk : Mnmazáanó: j n j D { D } { P j... n } j j j j j 4D. j j j D Köök esztése 6
7 Köök esztése Köök esztése Hám nmazáás egenet a ám köe Két tangenás egenet. Péa:. és. kö: z tagk kesnek maa Ha = egenes 4 ; F F 3 4 D D D F " " D D
egéeemek több vátzó több egenet e egszeűbb egenetensze Egszeű segéeemek: n ntk nt + nmá vekt ák ánvektk gástengeek Knuó áat I. Kénszeek: ént -et meőeges -e átmeg közéntján ={n n } II. Mósíttt kénszeek : =; =; = n n; n n; = ={n n n} egéeemek 8
egéeemek - anmáó egéeemek 9
3 ávságű közeítés ávságű közeítés eüetaaméteek: ntk: mnmazáanó: ageba távság nagn tzít: eukesz távság - átaában sak teatív ejáássa; távságű közeítés atu amatn Legen ekk znítás: mn m k k mn m k k F g ~ g g g ~ ; ~ q q q q g ~ ~ ;... } { n m k k... } {
3 Köök esztése Hatékn eezentáó é: az teáó számításgénének tmazáása Ieás esetben a távságüggvén aakja: mnmazáanó kejezés: Q mát sak az aatntktó ügg: Átaáns esetben: Ha P P P P P P Q Q Q Q 3 Q Q
3 Köesztés Köesztés - éa kö: eukesz távság: távságű közeítés : a atékn eezentáó aamétevekta: tvábbegszeűsített eezentáó 4 vátzó!: evátak számítása egszeűsök a: }; { ~ / / / / P * * * * * * / 4 *