1 Egy felszínszámítási feladat a tompaélű fagerendák témaköréből Előző dolgozatunkban melynek címe: Ismét a fahengeres keresztmetszetű gerenda témájáról már sok min - dent előkészítettünk az itteni címbeli feladat megoldásához, így az ottaniakat ismétlés nélkül vesszük át. Először tekintsük az 1. ábrát! A feladat: 1. ábra Az S 1 S 2 körív, valamint az S 1 S 3 és S 2 S 3 hiperbolaívek által határolt felületdarab A felszí - nének a meghatározása. A megoldás: A felületelem kifejezése: ( 1 ) A csonkakúp hossza mentén változó sugara az előző dolgozat ( E2 ) és ( E3 ) képletével:
2 ( 2 ) A szöghatárok képletei az előző dolgozat 2. ábrája és az itteni 1. ábra szerint, valamint az előző dolgozat ( E10 ) képletével: innen: így: ámde: ( 3 ) Hasonlóan: ámde: így: innen: ( 4 ) Most ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ) - gyel is: ( 5 ) Úgy látjuk, hogy ( 5 ) zárt alakban ki is számítható. Meglehet, a végképlet bonyolult. De ha nem is az, akkor is könnyen eltéveszthető a hosszadalmas átalakítások során. Ezért a numerikus integrálás tűnik az egyszerűbb megoldási módnak. A felmerülő nehézségek áthidalhatók lehetnek az alábbi közelítő számítással. Az 1. ábrán berajzoltuk az S 1 S 2 S 3 háromszöget is. Közelítő számításunk alapja: A továbbiakhoz tekintsük a 2. ábrát is! ( 6 )
3 2. ábra Eszerint: ( 7 ) Most Pitagorász tételével:. ( 8 ) Majd szinusz szögfüggvénnyel: ( 9 ) Ezután ( 8 ) és ( 9 ) - cel: ( 10 ) Most megint Pitagorász tételével: ( 11 ) majd ( 10 ) és ( 11 ) szerint: ( 12 ) Ezután ( 7 ), ( 8 ) és ( 12 ) - vel: tehát:
4 ( 13 ) Most ( 6 ) és ( 13 ) - mal: ( 14 ) ahol az előző dolgozat szerint: ( E9 ) ( E8 ) ( E7 ) SZÁMPÉLDA Az előző dolgozatbeli adatokkal dolgozunk. Az ( 5 ) integrált numerikusan határozzuk meg, a Graph szoftver szolgáltatásával 3. ábra. 3. ábra
5 Eszerint: Majd a ( 13 ) képlettel dolgozva: ( a ) ( b ) A kétféle eredmény százalékos eltérése: ( c ) Ez elég nagy érték, ha az 5 % - ot meghaladó eltérést már nagynak vesszük. Az eredmény jellege, vagyis hogy, hihető az 1. ábra szemlélete alapján Annál is inkább az, ha vetünk egy pillantást a 4. ábrára. 4. ábra Itt a kék görbe az ( 5 ) képlet integrálandó függvénye, a bordó egyenes pedig az S 1 S 2 S 3 háromszög területének integrálással való meghatározásához felírható lineáris függvény képe. Ennek képlete: ezzel:
6 egyezésben ( 7 ) - tel. Jól látható, hogy a példabeli adatokkal az egyenes túlnyomórészt a görbe fölött halad, így a görbe alatti területekre valóban várható, hogy teljesül a reláció. A bordó egyenes alatti terület nagysága a Graph szerint: ( b1 ) ami csak elhanyagolható mértékben tér el a ( b ) eredménytől. Miután már tudjuk, hogy mi a számpélda helyes eredménye, lássunk neki az ( 5 ) határozott integrál zárt alakú képlete felírásának! A részleteket az FI. Függelékben közöljük. A számítás végeredménye ( F37 ): ( 15 ) Behelyettesítve az adatokat ezt kapjuk: ami gyakorlatilag pontosan megegyezik az ( a ) eredménnyel. ( d ) A ( 15 ) képlet egy kényelmes értelmezését ld. az FII., a német szabványok erre vonatko - zó rendelkezéseit pedig ld. az FIII. Függelékben! Megjegyzések: M1. A ( 3 ) és ( 4 ) képletekben szereplő x*( z ) és y*( z ) kifejezések az 1. ábrán kékkel kihúzott hiperbolák egyenletei. M2. A ( 13 ) képlet így is írható: ( 13 / 1 )
7 Ez emlékeztet a térbeli Pitagorász - tételre. Más szavakkal [ 1 ] : egy háromszög területének a négyzete a koordinátasíkokon levő merőleges vetületei területének a négyzetösszegével egyenlő. M3. Az S S 1 S 2 S 3 derékszögű tetraéder térfogata [ 1 ] : ( 16 ) Ezt tekinthetjük az épélűség térfogati hiányának is, ha eltekintünk a pontos integrál - képletek használatától. M4. Eredményeinket áttekintve láthatjuk, hogy feladatunk bemenő alapadatai: d 0, D, B, H, L. Ezek megadása után képleteink közvetlenül alkalmazhatóak. M5. A pontos képletek kifejezés természetesen csak az alkalmazott modell érvényességi körén belül értelmes. Miután a fatest alakjára tett feltevés miszerint egyenes csonkakúp - nak tekintjük azt szintén csak közelítés, valóban kevés érvünk maradna a bonyolult kife - jezések erőltetése mellett. Ehhez képest meglepően sok ilyen pontos képlet található a szakkönyvekben, melyek legtöbbször nem magyar nyelvűek. M6. Furcsa, de ezzel a témával sem találkoztunk még a szakirodalomban. Ez megint csak a tájékozatlanságunk bizonyítéka lehet FI. Függelék Meghatározandó az ( F1 ) határozott integrál zárt alakú képlete! Az jelöléssel ( F1 ) - et átírva: ( F2 ) ( F3 )
8 Ezt kettéválasztva: ahol: ( F4 ) ( F5 ) ( F6 ) Most átalakítjuk ( F5 ) - öt: ( F7 ) új változót vezetünk be: ( F8 ) majd ( F7 ) és ( F8 ) - cal: ( F9 ) az új integrálási határok ( F2 ) és ( F8 ) - ból: ( F10 ) ( F11 ) Továbbá az inverz függvény deriválási szabálya szerint: ( F12 ) valamint ( F2 ) és ( F8 ) - cal is: tehát:
9 ( F13 ) majd ( F12 ) és ( F13 ) - mal: ( F14 ) Ezután ( F9 ) és ( F14 ) - gyel: ( F15 ) Teljesen hasonló módon: ( F16 ) ahol: ( F17 ) ( F18 ) Most ( F4 ), ( F15 ) és ( F16 ) szerint:, tehát: ( F19 ) Az ( F19 ) - ben szereplő integrálok primitív függvényei [ 2 ] : ( F20) ( F21 ) Majd ( F19 ), ( F20 ) és ( F21 ) szerint: ( F22 ) Részletezve:
10 ( F23 ) és hasonlóan: ( F24 ) Most ( F22 ), ( F23 ) és ( F24 ) - gyel: tehát: ( F25 ) Behelyettesítve a határokat ( 25 ) - be ( F10 ), ( F11 ), ( F17 ), ( F18 ) - ból: ( F26 ) Átalakítva: Tovább alakítva:
11 ( F27 ) Figyelembe véve, hogy ( F28 / 1 ) ( F28 / 2 ) innen: ( F29 ) ( F30 ) Most ( F27 ), ( F28 ), ( F29 ) és ( F30 ) - cal: ( F31 ) Elvégezve a beszorzást: Tovább rendezve: ( F32 ) ( F33 ) figyelembe véve, hogy 0, ( F34 )
12 így ( F33 ) és ( F34 ) szerint: Kiemeléssel: ( F35 ) ( F36 ) Most ( 2 ) és ( F36 ) - tal: ( F37 ) ( F37 ) a keresett felszín - nagyság pontos, zárt alakú képlete. Látjuk, hogy ez a számítás valóban sok helyen eltéveszthető, menet közben. Ha nem sikerülne zárt alakú képletet ki - hozni, vagy ha az nagyon bonyolult, akkor marad a numerikus integrálás. Persze, ha van rá mód. Nekünk a Graph ingyenes szoftver segíti az ilyen típusú munkánkat is, már évek óta. Az ( F37 ) képlet talán még nem nagyon bonyolult, zsebszámológéppel is használható. Megjegyezzük, hogy a megoldás alapját képező ( F20 ) és ( F21 ) határozatlan integrálok vélhetőleg azért nincsenek benne a gyakran használt integráltáblázatokban, mert parciális integrálással nyerhetők, a táblázatokban szereplő primitív függvények felhasználásával. Az 5. ábrán mutatjuk meg az interneten is megtalálható műből vett formulákat. 5. ábra forrása: [ 2 ] FII. Függelék Átírjuk az ( F37 ) képletet, melyhez tekintsük a 6. ábrát is! Ez alapján: ( F38 ) ( F39 )
13 továbbá: ( F40 ) majd: ( F41 ) 6. ábra Ezután: ( F42 ) majd ( F40 ), ( F41 ) és ( F42 ) - vel: ( F43 ) Most ( F43 ) - mal is: ( F44 ) Majd az ( F37 ), ( F38 ), ( F39 ) és ( F44 ) képletekkel: ( F45 ) Ezután:
14 ( F46 ) ( F47 ) most ( F45 ), ( F46 ), ( F47 ) - tel: tehát: ( F48 ) Ha az ívhossz csak keveset tér el a húrhossztól, akkor írhatjuk, hogy ( F49 ) majd ( F48 ) és ( F49 ) - cel: ( F50 ) Az ( F50 ) - ben szereplő adatok viszonylag könnyen lemérhetők, így A jó közelítő értéke egyszerűen meghatározható. FIII. Függelék A szélezetlenség német szabvány szerinti megítélését a 7. ábrán tanulmányozhatjuk. Eszerint képezik a mi jelöléseinkkel a arányszámokat, melyek értékétől függ, hogy a fűrészárut milyen minőségi osztályba sorolják. Például az S10 osztályba sorolás feltétele, hogy legyen ; ez [ 3 ] szerint átlagos teherbírású besorolást jelent. A K b, illeteve K h értékek közül a kedvezőtlenebb K a mértékadó. Érdekes, hogy a mondott szabvány is az ( F50 ) képletben szereplő viszonyszámokat tekinti mértékadónak a fűrészáru / építőfa teherbírás szerinti osztályokba sorolásánál. Ez vélhető - leg azzal függ össze, hogy az ép élű keresztmetszethez képest mennyivel kisebb a fahen - geres keresztmetszetű gerenda keresztmetszeti területe, vagyis mennyivel gyengébb az. A gyengítés mértéke pedig összefügg a fentebb számított A értékkel.
15 7. ábra forrása: http://www.bischoffschaefer.de/fileadmin/editor/pdf/de/datenbl%c3%a4tter/erlae uterungen_zur_din_4074_1.pdf
16 A 7. ábra kapcsán megemlítjük, hogy a fahengeresség gyakran aszimmetrikus megjele - nésű; eredményeink ekkor is alkalmazhatóak, értelemszerűen. Irodalomjegyzék: [ 1 ] Reiman István: A geometria és határterületei Gondolat, Budapest, 1986. [ 2 ] A. P. Prudnyikov ~ Ju. A. Brücskov ~ O. I. Maricsev: Integralü i rjadü Moszkva, Nauka, 1981. [ 3 ] Batran ~ Blaesi ~ Frey ~ Hühn ~ Köhler ~ Kraus ~ Rothacher ~ Sonntag: Építőipari technológiák B+V Lap - és Könyvkiadó Kft., Budapest, 1999. Sződliget, 2016. 07. 22. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár