Egy felszínszámítási feladat a tompaélű fagerendák témaköréből

Hasonló dokumentumok
Ismét a fahengeres keresztmetszetű gerenda témájáról. 1. ábra forrása: [ 1 ]

Ellipszis átszelése. 1. ábra

Szabályos fahengeres keresztmetszet geometriai jellemzőinek meghatározása számítással

Végein függesztett rúd egyensúlyi helyzete. Az interneten találtuk az [ 1 ] munkát, benne az alábbi érdekes feladatot 1. ábra. Most erről lesz szó.

Az elforgatott ellipszisbe írható legnagyobb területű téglalapról

Az elliptikus hengerre írt csavarvonalról

Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről

Egy kérdés: merre folyik le az esővíz az úttestről? Ezt a kérdést az után tettük fel magunknak, hogy megláttuk az 1. ábrát.

Egy újabb térmértani feladat. Az [ 1 ] könyvben az interneten találtuk az alábbi érdekes feladatot is 1. ábra.

Néhány véges trigonometriai összegről. Határozzuk meg az alábbi véges összegek értékét!, ( 1 ) ( 2 )

A gúla ~ projekthez 2. rész

Fiók ferde betolása. A hűtőszekrényünk ajtajának és kihúzott fiókjának érintkezése ihlette az alábbi feladatot. Ehhez tekintsük az 1. ábrát!

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása

Egy kötélstatikai alapfeladat megoldása másként

Egy gyakorlati szélsőérték - feladat. 1. ábra forrása: [ 1 ]

Egy érdekes statikai feladat. Az interneten találtuk az [ 1 ] művet, benne az alábbi feladattal.

Rugalmas láncgörbe alapvető összefüggések és tudnivalók I. rész

Poncelet egy tételéről

Ellipszis vezérgörbéjű ferde kúp felszínének meghatározásához

Egy mozgástani feladat

Egy érdekes statikai - geometriai feladat

Egy forgáskúp metszéséről. Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta - rendszerben.

A főtengelyproblémához

A merőleges axonometria néhány régi - új összefüggéséről

Lövés csúzlival. Egy csúzli k merevségű gumival készült. Adjuk meg az ebből kilőtt m tömegű lövedék sebességét, ha a csúzlit L - re húztuk ki!

Függőleges koncentrált erőkkel csuklóin terhelt csuklós rúdlánc számításához

A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez

Érdekes geometriai számítások 10.

Egy ismerős fizika - feladatról. Az interneten találtuk az [ 1 ] könyvet, benne egy ismerős fizika - feladattal 1. ábra.

Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1.

Henger és kúp metsződő tengelyekkel

w u R. x 2 x w w u 2 u y y l ; x d y r ; x 2 x d d y r ; l 2 r 2 2 x w 2 x d w 2 u 2 d 2 2 u y ; x w u y l ; l r 2 x w 2 x d R d 2 u y ;

Két naszád legkisebb távolsága. Az [ 1 ] gyűjteményben találtuk az alábbi feladatot és egy megoldását: 1. ábra.

Az ötszög keresztmetszetű élszarufa keresztmetszeti jellemzőiről

Egy kinematikai feladathoz

Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) 1. ábra

Az eltérő hajlású szarufák és a taréjszelemen kapcsolatáról 1. rész. Eltérő keresztmetszet - magasságú szarufák esete

Fa rudak forgatása II.

A hordófelület síkmetszeteiről

Keresztezett pálcák II.

A magától becsukódó ajtó működéséről

Felső végükön egymásra támaszkodó szarugerendák egyensúlya

A kettősbelű fatörzs keresztmetszeti rajzolatáról

Az R forgató mátrix [ 1 ] - beli képleteinek levezetése: I. rész

Aszimmetrikus nyeregtető ~ feladat 2.

A csavarvonal axonometrikus képéről

Fénypont a falon Feladat

Egy kinematikai feladat

Profilmetsződésekről, avagy tórusz és körhenger áthatásáról

A gúla ~ projekthez 1. rész

A Cassini - görbékről

Teletöltött álló hordó abroncs - feszültségeiről

A tűzfalakkal lezárt nyeregtető feladatához

Csúcsívek rajzolása. Kezdjük egy általános csúcsív rajzolásával! Ehhez tekintsük az 1. ábrát!

További adalékok a merőleges axonometriához

Ellipszis perspektivikus képe 2. rész

A konfokális és a nem - konfokális ellipszis - seregekről és ortogonális trajektóriáikról

Egy általánosabb súrlódásos alapfeladat

Egy érdekes nyeregtetőről

A rektellipszis csavarmozgása során keletkező felületről

Egy geometriai szélsőérték - feladat

A loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra.

Egy kétszeresen aszimmetrikus kontytető főbb geometriai adatainak meghatározásáról

Egy háromlábú állvány feladata. 1. ábra forrása:

Egy újabb látószög - feladat

A fák növekedésének egy modelljéről

Egy másik érdekes feladat. A feladat

A középponti és a kerületi szögek összefüggéséről szaktanároknak

A ferde tartó megoszló terheléseiről

A kötélsúrlódás képletének egy általánosításáról

t, u v. u v t A kúpra írt csavarvonalról I. rész

Érdekes geometriai számítások Téma: A kardáncsukló kinematikai alapegyenletének levezetése gömbháromszögtani alapon

Az éjszakai rovarok repüléséről

A Kepler - problémáról. Megint az interneten találtunk egy szép animációt 1. ábra, amin elgondolkoztunk: Ezt hogyan oldanánk meg? Most erről lesz szó.

Kiegészítés a három erő egyensúlyához

Egy általános helyzetű lekerekített sarkú téglalap paraméteres egyenletrendszere. Az egyenletek felírása

Vonatablakon át. A szabadvezeték alakjának leírása. 1. ábra

Befordulás sarkon bútorral

Egy nyíllövéses feladat

Síkbeli csuklós rúdnégyszög egyensúlya

Ellipszissel kapcsolatos képletekről

Vontatás III. A feladat

Egy érdekes mechanikai feladat

1. ábra forrása: [ 1 ]

A térbeli mozgás leírásához

Rönk kiemelése a vízből

A Lenz - vektorról. Ha jól emlékszem, először [ 1 ] - ben találkoztam a címbeli fogalommal 1. ábra.

Kecskerágás már megint

Egy másik alapfeladat fűrészelt, illetve faragott gerendákra. 1. ábra

Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel

A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról

Az ötszög keresztmetszetű élszarufa kis elmozdulásainak számításáról

A tetők ferde összekötési feladatainak megoldása

Kerekes kút 2.: A zuhanó vödör mozgásáról

A fűrészáru száradása miatt fellépő méret - és alakváltozása meghatározásának egy újabb módszeréről

T s 2 képezve a. cos q s 0; 2. Kötélstatika I. A síkbeli kötelek egyensúlyi egyenleteiről és azok néhány alkalmazásáról

A felcsapódó kavicsról. Az interneten találtuk az alábbi, a hajítás témakörébe tartozó érdekes feladatot 1. ábra.

A közönséges csavarvonal érintőjének képeiről

Forgatónyomaték mérése I.

Egy sajátos ábrázolási feladatról

Átírás:

1 Egy felszínszámítási feladat a tompaélű fagerendák témaköréből Előző dolgozatunkban melynek címe: Ismét a fahengeres keresztmetszetű gerenda témájáról már sok min - dent előkészítettünk az itteni címbeli feladat megoldásához, így az ottaniakat ismétlés nélkül vesszük át. Először tekintsük az 1. ábrát! A feladat: 1. ábra Az S 1 S 2 körív, valamint az S 1 S 3 és S 2 S 3 hiperbolaívek által határolt felületdarab A felszí - nének a meghatározása. A megoldás: A felületelem kifejezése: ( 1 ) A csonkakúp hossza mentén változó sugara az előző dolgozat ( E2 ) és ( E3 ) képletével:

2 ( 2 ) A szöghatárok képletei az előző dolgozat 2. ábrája és az itteni 1. ábra szerint, valamint az előző dolgozat ( E10 ) képletével: innen: így: ámde: ( 3 ) Hasonlóan: ámde: így: innen: ( 4 ) Most ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ) - gyel is: ( 5 ) Úgy látjuk, hogy ( 5 ) zárt alakban ki is számítható. Meglehet, a végképlet bonyolult. De ha nem is az, akkor is könnyen eltéveszthető a hosszadalmas átalakítások során. Ezért a numerikus integrálás tűnik az egyszerűbb megoldási módnak. A felmerülő nehézségek áthidalhatók lehetnek az alábbi közelítő számítással. Az 1. ábrán berajzoltuk az S 1 S 2 S 3 háromszöget is. Közelítő számításunk alapja: A továbbiakhoz tekintsük a 2. ábrát is! ( 6 )

3 2. ábra Eszerint: ( 7 ) Most Pitagorász tételével:. ( 8 ) Majd szinusz szögfüggvénnyel: ( 9 ) Ezután ( 8 ) és ( 9 ) - cel: ( 10 ) Most megint Pitagorász tételével: ( 11 ) majd ( 10 ) és ( 11 ) szerint: ( 12 ) Ezután ( 7 ), ( 8 ) és ( 12 ) - vel: tehát:

4 ( 13 ) Most ( 6 ) és ( 13 ) - mal: ( 14 ) ahol az előző dolgozat szerint: ( E9 ) ( E8 ) ( E7 ) SZÁMPÉLDA Az előző dolgozatbeli adatokkal dolgozunk. Az ( 5 ) integrált numerikusan határozzuk meg, a Graph szoftver szolgáltatásával 3. ábra. 3. ábra

5 Eszerint: Majd a ( 13 ) képlettel dolgozva: ( a ) ( b ) A kétféle eredmény százalékos eltérése: ( c ) Ez elég nagy érték, ha az 5 % - ot meghaladó eltérést már nagynak vesszük. Az eredmény jellege, vagyis hogy, hihető az 1. ábra szemlélete alapján Annál is inkább az, ha vetünk egy pillantást a 4. ábrára. 4. ábra Itt a kék görbe az ( 5 ) képlet integrálandó függvénye, a bordó egyenes pedig az S 1 S 2 S 3 háromszög területének integrálással való meghatározásához felírható lineáris függvény képe. Ennek képlete: ezzel:

6 egyezésben ( 7 ) - tel. Jól látható, hogy a példabeli adatokkal az egyenes túlnyomórészt a görbe fölött halad, így a görbe alatti területekre valóban várható, hogy teljesül a reláció. A bordó egyenes alatti terület nagysága a Graph szerint: ( b1 ) ami csak elhanyagolható mértékben tér el a ( b ) eredménytől. Miután már tudjuk, hogy mi a számpélda helyes eredménye, lássunk neki az ( 5 ) határozott integrál zárt alakú képlete felírásának! A részleteket az FI. Függelékben közöljük. A számítás végeredménye ( F37 ): ( 15 ) Behelyettesítve az adatokat ezt kapjuk: ami gyakorlatilag pontosan megegyezik az ( a ) eredménnyel. ( d ) A ( 15 ) képlet egy kényelmes értelmezését ld. az FII., a német szabványok erre vonatko - zó rendelkezéseit pedig ld. az FIII. Függelékben! Megjegyzések: M1. A ( 3 ) és ( 4 ) képletekben szereplő x*( z ) és y*( z ) kifejezések az 1. ábrán kékkel kihúzott hiperbolák egyenletei. M2. A ( 13 ) képlet így is írható: ( 13 / 1 )

7 Ez emlékeztet a térbeli Pitagorász - tételre. Más szavakkal [ 1 ] : egy háromszög területének a négyzete a koordinátasíkokon levő merőleges vetületei területének a négyzetösszegével egyenlő. M3. Az S S 1 S 2 S 3 derékszögű tetraéder térfogata [ 1 ] : ( 16 ) Ezt tekinthetjük az épélűség térfogati hiányának is, ha eltekintünk a pontos integrál - képletek használatától. M4. Eredményeinket áttekintve láthatjuk, hogy feladatunk bemenő alapadatai: d 0, D, B, H, L. Ezek megadása után képleteink közvetlenül alkalmazhatóak. M5. A pontos képletek kifejezés természetesen csak az alkalmazott modell érvényességi körén belül értelmes. Miután a fatest alakjára tett feltevés miszerint egyenes csonkakúp - nak tekintjük azt szintén csak közelítés, valóban kevés érvünk maradna a bonyolult kife - jezések erőltetése mellett. Ehhez képest meglepően sok ilyen pontos képlet található a szakkönyvekben, melyek legtöbbször nem magyar nyelvűek. M6. Furcsa, de ezzel a témával sem találkoztunk még a szakirodalomban. Ez megint csak a tájékozatlanságunk bizonyítéka lehet FI. Függelék Meghatározandó az ( F1 ) határozott integrál zárt alakú képlete! Az jelöléssel ( F1 ) - et átírva: ( F2 ) ( F3 )

8 Ezt kettéválasztva: ahol: ( F4 ) ( F5 ) ( F6 ) Most átalakítjuk ( F5 ) - öt: ( F7 ) új változót vezetünk be: ( F8 ) majd ( F7 ) és ( F8 ) - cal: ( F9 ) az új integrálási határok ( F2 ) és ( F8 ) - ból: ( F10 ) ( F11 ) Továbbá az inverz függvény deriválási szabálya szerint: ( F12 ) valamint ( F2 ) és ( F8 ) - cal is: tehát:

9 ( F13 ) majd ( F12 ) és ( F13 ) - mal: ( F14 ) Ezután ( F9 ) és ( F14 ) - gyel: ( F15 ) Teljesen hasonló módon: ( F16 ) ahol: ( F17 ) ( F18 ) Most ( F4 ), ( F15 ) és ( F16 ) szerint:, tehát: ( F19 ) Az ( F19 ) - ben szereplő integrálok primitív függvényei [ 2 ] : ( F20) ( F21 ) Majd ( F19 ), ( F20 ) és ( F21 ) szerint: ( F22 ) Részletezve:

10 ( F23 ) és hasonlóan: ( F24 ) Most ( F22 ), ( F23 ) és ( F24 ) - gyel: tehát: ( F25 ) Behelyettesítve a határokat ( 25 ) - be ( F10 ), ( F11 ), ( F17 ), ( F18 ) - ból: ( F26 ) Átalakítva: Tovább alakítva:

11 ( F27 ) Figyelembe véve, hogy ( F28 / 1 ) ( F28 / 2 ) innen: ( F29 ) ( F30 ) Most ( F27 ), ( F28 ), ( F29 ) és ( F30 ) - cal: ( F31 ) Elvégezve a beszorzást: Tovább rendezve: ( F32 ) ( F33 ) figyelembe véve, hogy 0, ( F34 )

12 így ( F33 ) és ( F34 ) szerint: Kiemeléssel: ( F35 ) ( F36 ) Most ( 2 ) és ( F36 ) - tal: ( F37 ) ( F37 ) a keresett felszín - nagyság pontos, zárt alakú képlete. Látjuk, hogy ez a számítás valóban sok helyen eltéveszthető, menet közben. Ha nem sikerülne zárt alakú képletet ki - hozni, vagy ha az nagyon bonyolult, akkor marad a numerikus integrálás. Persze, ha van rá mód. Nekünk a Graph ingyenes szoftver segíti az ilyen típusú munkánkat is, már évek óta. Az ( F37 ) képlet talán még nem nagyon bonyolult, zsebszámológéppel is használható. Megjegyezzük, hogy a megoldás alapját képező ( F20 ) és ( F21 ) határozatlan integrálok vélhetőleg azért nincsenek benne a gyakran használt integráltáblázatokban, mert parciális integrálással nyerhetők, a táblázatokban szereplő primitív függvények felhasználásával. Az 5. ábrán mutatjuk meg az interneten is megtalálható műből vett formulákat. 5. ábra forrása: [ 2 ] FII. Függelék Átírjuk az ( F37 ) képletet, melyhez tekintsük a 6. ábrát is! Ez alapján: ( F38 ) ( F39 )

13 továbbá: ( F40 ) majd: ( F41 ) 6. ábra Ezután: ( F42 ) majd ( F40 ), ( F41 ) és ( F42 ) - vel: ( F43 ) Most ( F43 ) - mal is: ( F44 ) Majd az ( F37 ), ( F38 ), ( F39 ) és ( F44 ) képletekkel: ( F45 ) Ezután:

14 ( F46 ) ( F47 ) most ( F45 ), ( F46 ), ( F47 ) - tel: tehát: ( F48 ) Ha az ívhossz csak keveset tér el a húrhossztól, akkor írhatjuk, hogy ( F49 ) majd ( F48 ) és ( F49 ) - cel: ( F50 ) Az ( F50 ) - ben szereplő adatok viszonylag könnyen lemérhetők, így A jó közelítő értéke egyszerűen meghatározható. FIII. Függelék A szélezetlenség német szabvány szerinti megítélését a 7. ábrán tanulmányozhatjuk. Eszerint képezik a mi jelöléseinkkel a arányszámokat, melyek értékétől függ, hogy a fűrészárut milyen minőségi osztályba sorolják. Például az S10 osztályba sorolás feltétele, hogy legyen ; ez [ 3 ] szerint átlagos teherbírású besorolást jelent. A K b, illeteve K h értékek közül a kedvezőtlenebb K a mértékadó. Érdekes, hogy a mondott szabvány is az ( F50 ) képletben szereplő viszonyszámokat tekinti mértékadónak a fűrészáru / építőfa teherbírás szerinti osztályokba sorolásánál. Ez vélhető - leg azzal függ össze, hogy az ép élű keresztmetszethez képest mennyivel kisebb a fahen - geres keresztmetszetű gerenda keresztmetszeti területe, vagyis mennyivel gyengébb az. A gyengítés mértéke pedig összefügg a fentebb számított A értékkel.

15 7. ábra forrása: http://www.bischoffschaefer.de/fileadmin/editor/pdf/de/datenbl%c3%a4tter/erlae uterungen_zur_din_4074_1.pdf

16 A 7. ábra kapcsán megemlítjük, hogy a fahengeresség gyakran aszimmetrikus megjele - nésű; eredményeink ekkor is alkalmazhatóak, értelemszerűen. Irodalomjegyzék: [ 1 ] Reiman István: A geometria és határterületei Gondolat, Budapest, 1986. [ 2 ] A. P. Prudnyikov ~ Ju. A. Brücskov ~ O. I. Maricsev: Integralü i rjadü Moszkva, Nauka, 1981. [ 3 ] Batran ~ Blaesi ~ Frey ~ Hühn ~ Köhler ~ Kraus ~ Rothacher ~ Sonntag: Építőipari technológiák B+V Lap - és Könyvkiadó Kft., Budapest, 1999. Sződliget, 2016. 07. 22. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár