araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl: Nincs ilyen valós szám Tehát az egyenlôtlenségrendszernek nincs megoldása 0 b) Az elsô egyenlôtlenségbôl < n < A második egyenlôtlenségbôl: Minden valós számmegoldás Tehát az egyenlôtlenségrendszer megoldása: < n < 0 6 a) < m < vagy m > ; b) < n < vagy n > ; c) m< -- vagy- + < m< ; d) n > 6 a) < - vagy > ; b) q< -, q! - 6, q> 6; c) < r <, vagy r > ; d) -< s < 6- vagy < s < 6+ araméteres és összetett egyenlôtlenségek 66 a)ha m =, akkor minden valós szám megoldás, ha x!- Ha m<, akkor x< -- -m vagy x> -+ - m, ha m >, akkor minden valós szám megfelel - + m + + m b)ha m> -, akkor < x< Ha m # -, akkor nincs valós megoldás c)ha m # - vagy m $, akkor minden valós szám megoldás Ha - < m<, akkor x# -- -m + 6m+ 8, vagy x$ -+ + - m + 6m+ 8 d)ha m $, akkor -- -m < x< - + - m, ha m <, akkor nincs valós megoldás
80 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 67Ha m = 0, akkor az elsôfokú egyenlet megoldásai: x < Ha m < 0 és D= + 0m# 0, azaz m # - 7,, akkor 6 x! R, x! 6 Ha m > 0 és D # 0, azaz m $ - 7,, akkor nincs valós megoldás -6-6+ m Ha m > 0, akkor a diszkrimináns ozitív, így < x < m - 6+ 6+ m < m 68Ha m =-, akkor elsôfokú az egyenlôtlenség, végtelen sok megoldás van Ha m < -, akkor mindig van megoldás, mivel a bal oldal függvénye konkáv arabola Ha m > -, akkor D < 0 esetén nem lenne valós megoldás 7 D= + 6 _ m+ i < 0, ha m < - Ez ellentmondásra vezet, így az 6 egyenlôtlenségnek mindig van valós megoldása 69Az állítás akkor igaz minden x-re, ha a bal oldal diszkriminánsa negatív D= _ m+ i -_ 9m- i= _ m-i_ m-6i< 0 teljesül ha < m < 6 70A bal oldal diszkriminánsa: D= _ m+ i - _ 8m+ i= m_ m-8i Ha D < 0 azaz 0< m< 8, akkor minden x! R megoldás Ha D = 0 azaz m = 0, m = 8, akkor 6 x! R, de x!-; - -m-- m_ m-8i Ha D > 0, azaz m < 0 vagy m > 8 akkor x < vagy -m- + m_ m-8i x > 7 A bal oldal diszkriminánsa D=-8m - 8m+ 6 Ha m =-, akkor x - 6< 0, azaz x < Ha m > -, akkor az egyenlôtlenség teljesüléséhez D > 0 szükséges Ez - < m <, de m > - miatt: -< m < esetén igaz, ekkor m-- -m - m+ m- + -m - m+ x < vagy x < m + m + Ha m < -, akkor az egyenlôtlenség minden valós x számra teljesül, feltéve ha a diszkrimináns negatív D < 0, azaz: m < -, vagy m >, összevetve a feltétellel m < - 7 Vizsgáljuk a bal oldal diszkriminánsát! D=- 8m - 6m+ 6 (a) D = 0, ha m = vagy m - 8 (b) D < 0, ha m < - 8 vagy m > (c) D > 0, ha - 8< m <
araméteres és összetett egyenlôtlenségek 8 I Ha m + m- = 0, akkor az egyenlôtlenség elsôfokú Ez teljesül, ha m=, ekkor x <, illetve ha m =-, ekkor x > - 8 II A fôegyüttható ozitív ha m < -, vagy m > () Ha D < 0, akkor 6 x! R esetén teljesül az egyenlôtlenség m < - 8 vagy m > () Ha D = 0, akkor összevetve a feltétellel m =-8 esetén 6 x! R megoldás m+ - -8m - 6m+ 6 () Ha D> 0, akkor -8< m< - esetén x <, `m + m-j m+ + -8m - 6m+ 6 vagy x > `m + m-j III Ha a fôegyüttható negatív, azaz - < m <, akkor: m+ - -8m - 6m+ 6 `m + m-j m+ + -8m - 6m+ 6 < x < `m + m-j 7 A téglala oldalai: a; b k = 0 cm, b= 0 - a Maximális a terület, ha a( 0 - a) maximális Teljes négyzetté alakítás után: a = 0 cm Ekkor a négyszög négyzet, területe 00 cm a( 0 - a)> 0 egyenlôtlenség megoldása: 0 - < a < 0 + Ennek alaján b értéke egyértelmûen meghatározható minden adott a esetén 7 k ( 000) = 7 000 Ft, b ( 000) = 9 6 0 Ft, k ( 000) = 00 000 Ft b ( 000) = 9 6 0 Ft Akkor lesz nyereséges a termék gyártása, ha a bx ()> kx, () azaz x - 00x- 70 > 67 x + 0 000; megoldása x< - 0 x> 0 A termék gyártása nyereséget hoz, ha 0 db-nál többet gyártanak 7 A kétjegyû szám tízes helyiértékén x, egyes helyiértékén x + szám van x! N Így a kétjegyû szám: x + 6 < x + < 9 & x =, A kétjegyû szám tehát a 6, illetve a 7 76 A hajó által megtett út: sh = 0 + t a N A motorcsónak által megtett út: sm = t s t = K segítségével O sm> sh, t > 0 + t megoldása: t > s, A motorcsónak elindulása után, s elteltével a motorcsónak által megtett út több, mint a hajó által megtett út
8 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 77 Mivel mindkét kifejezés diszkriminánsa negatív, ezért minden egész szám megoldás Az elsô tényezô minden valós x-re ozitív, a második x = -re nulla, különben ozitív Így a megoldás: x = 78 A kettôs egyenlôtlenség mindhárom tagja ozitív, így elég megmutatni a négyzetre emeléssel adódó egyenlôtlenségek helyes voltát itagorasz tételét is felhasználva az elsô egyenlôtlenség jobb és bal oldalának négyzetének különbsége: y N K y x + xy+ O- ` x + y j = _ x y > - K i O 0, mivel x> y Hasonlóan a második egyenlôtlenségbôl: 6 y N ` x + y j - K x + xy+ O= < z + 6 _ x-yi F > 0, így a második rész is 8 K O 8 igaz 79 Tegyük fel, hogy létezik a feltételt kielégítô szám és x, y számokra teljesül az egyenlôtlenség Ekkor y helyére _ - xi-et írva: x - _ + i x+ ` + + j # 0 egyenlôtlenségnek van megoldása x-re Ebbôl a diszkriminánst vizsgálva -re: - + + $ 0, azaz - # # + A -re kaott egyenlôtlenséget kielégítô bármely valós szám esetén van olyan x szám, melyre igaz a araméteres, x-ben másodfokú egyenlôtlenség Egy ilyen x és számár viszont eleget tesz az eredeti egyenlôtlenségnek is Tehát a feladat feltételeit kielégítô számok és csak ezek az - # # + 80 ()-nek két különbözô gyöke van, ha diszkriminánsa ozitív, azaz ha _ t + i > 0, másrészt a Viète-formulák alaján, lévén a gyökök szorzata, így a gyökök összegének ozitívnak kell lenniük, azaz _ t + i < 0 A feltételekbôl kajuk, hogy t < - A () állításban szerelô egyenlôtlenséget írjuk más alakban: _ x- i + _ t+ i x$ 0 Ez teljesül, ha t $ - Összegezve: t < - esetén () igaz, () hamis - # t #- esetén () hamis, () hamis t $ - esetén () hamis () igaz Így a keresett t értékek azok, amelyekre: t < - vagy t $ - 8 Egy rögzített érték esetén a) vagy b) feltétel csak akkor teljesülhet minden x-re, ha K minden x-re értelmezhetô, és értéke sehol sem nulla Ez edig akkor következik be, ha K-nak sem a számlálója, sem a nevezôje nem nulla, vagyis a számláló és a nevezô és ezzel együtt K is állandó elôjelû Ezért mindkét kifejezés diszkriminánsának negatívnak kell lennie Tehát:
araméteres és összetett egyenlôtlenségek 8 D = _ + 6i `00 - j < 0; sz Dn= _ -6i `00 - j < 0 A két feltételt összesítve:! 6 és > Ha tehát a -re kaott feltételek teljesülnek, akkor és csak akkor, K értéke vagy ozitív minden x-re, vagy negatív Azt, hogy a -re kaott értékek közül melyekre lesz K értéke ozitív, illetve negatív, úgy állaíthatjuk meg, hogy megnézzük K elôjelét egy tetszôleges x helyen egyen éldául x = 0, ekkor _ + i_ + 6i K = K elôjelét összevetve lehetséges értékeivel kajuk, hogy _ - 6i_ + i a) K ontosan akkor ozitív minden x-re, ha > 6 b) K ontosan akkor negatív minden x-re, ha < < 6 8 Az f(x) függvény grafikonja egy lefelé nyitott arabola íve, a teljes arabola, zérushelyei: x = 0, x = Tengelyontja T, N K O ont Az értelmezési tartományon a arabola egy ívét kajuk, melynek végontjai: _ 0; 0i, illetve - 8 N a K ; O ontok Két esetet különböztetünk meg: K O eset: ha a vizsgált ív tartalmazza a tengelyontot Ekkor f(x) legnagyobb értéke nyilván Ez akkor áll fenn, ha 0< # Ebben az esetben f(x) nem vehet fel -nél nagyobb értéket eset: ha f(x) grafikonja a arabola tengelyontját nem tartalmazza, akkor az f(x) függvény növekvô, ezért x = -nél veszi fel a legnagyobb értékét, amely - 8-8 Mindez > esetén következik be ehet-e ekkor >, azaz - + 8< 0, vagyis _ -i` --j < 0 Az egyenlôtlenség ontosan akkor teljesül, ha - < < + Összevetve a > feltétellel tehát f(x) akkor és csak akkor vehet fel -nél nagyobb értéket, ha < < + n 8 Mivel x és y n-jegyû számok, ezért: 0 - n n # x < 0 és 0 - n # y < 0 n A másik feltételbôl: 0 - n n- n ` j # y = x < `0 j, azaz 0 < 0, akkor és csak akkor, ha n < Az x= y= n= triviális megoldástól különbözôt kahatunk, ha n =, vagy n = és x $, y $ A számelmélet alatétele értelmében, ha y $ és y négyzetszám, akkor y törzstényezôs felbontásában minden törzstényezô áros számszor fordul elô, 6 tehát y négyzetszám Ekkor: x = y = v, v! Z, v$ Mivel x= v < 0 <, így # v #
8 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek Ha v =, akkor x =, y = Ha v =, akkor y csak egyjegyû, ez nem felel meg Ha v =, akkor x =, y = Tehát a triviális megoldással együtt összesen három megoldás van 8 egyen a készített szendvicsek száma: sajtosból x db, szalámisból y db Készleteink miatt: x+ y# 00, (kenyér), x+ y# 0, (vaj) x # 60, (sajt) y # 0, (szalámi) Rendezve az egyenlôtlenségeket: x, y! Z; x+ y# 0; x+ y# 0 egyenletrendszerhez jutunk 0 # x # 0; 0 # y # 0 A minden feltételt kielégítô (x; y) ontok a koordináta-rendszerben az alábbi egyenesekkel határolt területen lévô ontok: y= 0 - x; y=- x+ 0; x = 0; x = 0; y = 0; y = 0 Mivel a maximális darabszám 0, keressük a egyenesek által meghatározott hatszög y= 0 -x egyenesének közös rácsontjait Ennek alaján 6 megoldást kaunk: Sajtosból (x) 0 db 9 db 8 db 7 db 6 db db Szalámisból (y) 0 db db db db db db Az elkészítés ideje: T= x+ y erc A T értékeihez tartozó egyenesek árhuzamosak az x+ y= 0 egyenessel Ezért T minimuma ha x = 0 és y = 0, ekkor Tmin = 0 erc 8 Az x + y $ egyenlôtlenséget a (0; 0) ont kivételével a sík minden egész koordinátájú ontja kielégíti Az x + y -6x# 0 egyenlôtlenséget az ( x- ) + y # 9 egyenletû kör belsô, egész koordinátájú ontjai elégíti ki Ez 9 db ont Mindkét egyenlôtlenséget 8 db ont koordinátái elégítik ki: (; 0), (; 0), (; 0), (; 0), (; 0), (6; 0), (; ), (; ), (; ), (; ), (; ), (; ), (; ), (; ), (; ), (; ), (; ), (; ), (; ), (; ), (; ), (; ), (; ), (; ), (; ), (; ), (; ), ( ; )
araméteres és összetett egyenlôtlenségek 8 86 x + y # x, ( x-, ) + y =, egyenlôtlenséget a K (,; 0) közéontú r =, egység sugarú körvonal és a kör belsô ontjainak koordinátái elégítik ki Az y# x- egyenlôtlenséget az y= x- egyenletû egyenes és az egyenes alatti ontok koordinátái elégítik ki A megoldást a két síkrész közös részében lévô ontok koordinátái és a határvonal ontjainak koordinátái adják Ezek elégítik ki a két egyenlôtlenséget egyszerre 87 Egyenletünk _ b- ci x= c-b alakban írható Az x csak akkor ozitív, ha b- c és c- b azonos elôjelûek Ez kétfélekéen lehetséges: II c- b> 0 és b- c> 0, vagy II c- b< 0 és b- c< 0 Az elsô eset ellentmondásra vezet: c> c, mivel c ozitív szám A második eset akkor és csak akkor teljesülhet, ha c< b< c Ez csak három esetben fordulhat elô a megadott alahalmazon: c = ; b= ; x=, vagy c= ; b= ; x=, vagy c= ; b= 6; x= 88 elöljük az xi - 00 különbséget y i -vel ( # i # n+ ) Az y, f + számokra: () y = y y n n+ ; () 00yi$ 0yi+ ; () y+ y+ f + yn$ 0 teljesül Ha az y i -k között volna negatív, akkor az annál nagyobb indexûek () miatt mind negatívak volnának és () miatt y is negatív volna Ebbôl () miatt következne, hogy mind negatívak, ez viszont ellentmond ()-nak Tehát az y i -k nem negatívak, így () miatt: yi$ yi + ( i= f,,, n) Tehát az _ y- yi + _ y- yi+ f + _ yn- yn + i összegeknek minden tagja nem negatív Azonban () miatt ez az összeg 0-val egyenlô, így minden tagja 0 Tehát az összes y i 0-val, és az összes x i 00-zal egyenlô 89 Tegyük fel, hogy az egyenlôtlenségeink igazak Rendezve: () a< c+ d- b; () a_ c+ d-bi < cd-bc -bd; () a_ cd-bc-bdi < -bcd A feltétel szerint minden szám ozitív, így () miatt c+ d- b> 0 Így () bal oldala ozitív, tehát cd -bc - bd > 0 Tehát () bal oldala ozitív, vagyis -bcd > 0 következne Ez ellentmond a kezdeti feltételünknek, tehát nem lehet minden egyenlôtlenség egyidejûleg igaz