1 Egy sajátos ábrázolási feladatról Régen volt, ha volt egyáltalán. Én bizony nem emlékszem a ferde gerincvonalú túleme - lés ~ átmeneti megoldásra 1. ábra az ( erdészeti ) útépítésben. 1. ábra forrása: http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop412a/2011-0023_utak/html/section- 0059.html Szinte biztos, hogy még máshol sem akadtam rá eddig erre, bár talán nem is kerestem. Az jutott eszembe, hogy meg kellene próbálni megrajzoltatni a számítógéppel az 1. ábra egy kissé módosított saját változatát. E feladatomat leginkább egy kis matekozással és felületábrázoló program használatával igyekszem megoldani. Ehhez tekintsük a 2. ábrát! Itt két síkot láthatunk: az O*A*B* kétirányban ferde síkot, valamint az A*B*C* vízszintes síkot; továbbá ezek A*B* metszésvonalát is. Most messük el e két síkot az ONN*O* függőleges síkkal, mely merőleges a két sík met - szésvonalára! Ez a két síkból kimetszi az O*N* és az N*M* egyeneseket. Azt kell most belátnunk, hogy e két egyenesből álló töröttvonal alkalmas a geometriai helyzet jellemzésére, leírására. Ha ez megvan, akkor nekiláthatunk az ábrázoláshoz szük - séges összefüggések felírásához. E belátás így is történhet: a ferde síkot megadhatjuk egy O* pontjával és esésvonalával. Esetünkben az A*B* egyenes egy szintvonala, az O*N* egyenes pedig egy esésvonala a ferde síknak.
2 2. ábra Mivel a ferde sík minden esésvonala párhuzamos egymással, elegendő egyet megadni közülük, pl. az O* pontjával és φ hajlásszögével. A vízszintes sík átmegy az N* ponton, hajlásszöge pedig zérus, vagyis ezekkel adott. Látjuk, hogy az O*N*M* töröttvonal tényleg alkalmas a két síkból álló felület geometriai leírására. Így oda jutottunk, hogy ezt a töröttvonalat kell megadnunk, azaz matematikailag egyetlen függvénnyel leírnunk. Ez azért fontos, mert az ingyenesen letöltött / kölcsönvett felületábrázoló programunk egyszerre csak egy, függvényének képletével megadott felü - letet tud ábrázolni. Ez azonban nem jelent gondot, hiszen egy régebbi dolgozatunkban már foglalkoztunk a töröttvonalak egy függvénnyel történő leírásával. Ennek jele és címe: KD - 1: Néhány érdekes függvényről és alkalmazásukról; ez is megtalálható honlapunkon. Mielőtt a töröttvonal függvényével foglalkoznánk, írjunk fel a 2. ábráról leolvasható né - hány érdekes és hasznos összefüggést! A ferde sík egyenlete: ahol: ( 1 ). ( 2 )
3 A vízszintes sík egyenlete: ( 3 ) Metszésvonaluk egyenletéhez ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) - mal is: rendezve: végigosztva z 1 z 0 0 - val: ( M ) Az ( M ) egyenlet a két sík metszésvonalának egyenlete, tengelymetszetes alakban. Ehhez lásd a 2. ábra mellékábráját is! A szögek közti összefüggések: ismét a 2. ábra mellékábrája alapján, ( 2 ) - vel is: tehát: ( 4 ) Továbbá: ( 5 ) majd a 2. ábra mellékábrája szerint, ( 2 / 1 ) és ( 4 ) - gyel is: ( 6 ) majd ( 5 ) és ( 6 ) - tal:, tehát: ( 7 ) A bekeretezéssel kiemelt képleteket már levezettük egy nemrégen írt korábbi dolgoza - tunkban is, melynek jele és címe: KD - 2: Egy kérdés: merre folyik le az esővíz az úttestről? Most lássuk a töröttvonalat leíró függvényt! Ezt a 2. ábra szerint egy O*ξζ k. r. - ben
4 írjuk fel. Ennek egyenlete KD - 1 felhasználásával: ( 8 ) A ( 8 ) egyenlettel adott függvény görbéje, mely a ( a ) adatokkal készült, a 3. ábrán látható. 3. ábra Ezután koordináta - transzformációt végzünk: 4. ábra. Ugyanis keressük az kapcsolatot, annak érdekében, hogy ( 8 ) - at alkalmazhassuk. A 4. ábrán mutatott k. r. - re fennáll, hogy O*x y Oxy, így egy tetszőleges, ámde egyazon függőleges egyenesen elhelyezkedő P és P pontra: ( 9 / 1 ) ( 9 / 2 ) Most a P pont koordinátái: ( 10 ) ( 11 )
5 4. ábra Most ( 11 / 1 ) - et kifejtve, ( 10 ) - zel is: ( 12 ) Majd ( 9 ) miatt, a P indexet elhagyva: ( 13 ) Ezután ( 8 ) és ( 13 ) - mal: most a 2. ábra és ( 5 ) szerint: ( 14 ) ( 15 ) majd ( 14 ) és ( 15 ) - tel: Ezután alkossuk meg z ( x, y ) végleges kifejezését! A 2. ábra szerint: ( 16 ) ( 17 ) most ( 16 ) és ( 17 ) - tel:
6 Ábra készítéséhez felvesszük az alábbi adatokat: most ( 2 ) - vel: ( 18 ) ( A ) ( A1 ) ( A2 ) majd ( 4 ), ( A1 ) és ( A2 ) - vel: ( A3 ) trigonometriai összefüggésekkel: ( A4 ) ( A5 ) most ( A1 ), ( A2 ) és ( 7 ) - tel: ( A6 ) Majd ( A ) ( A6 ) és ( 18 ) - cal: tehát: ( A7 ) Az ( A7 ) nem lineáris függvény képe az 5. ábrán szemlélhető.
7 5. ábra forrása: http://www.math.uri.edu/~bkaskosz/flashmo/graph3d/ Ezzel feladatunkat megoldottuk. Megjegyzések: M1. Bár a töröttvonalat alkotó egyeneseket külön - külön lineáris függvények írják le, a két töröttvonalat együttesen leíró abszolútértékes függvény már nem lineáris. Az abszolútértékes függvényekkel mint amilyen ( 8 ) is szinte sehol sem találkozunk, pedig nagyon hasznosak; itt is ez képezi a megoldás alapját. M2. A 4. ábrán is feltüntetett η koordinátát nem használtuk, hiszen amint már mondtuk a geometriai helyzet ebben az irányban változatlan: minden O*ξ ζ - val párhuzamos met - szősík ugyanolyan metszetet ad, tehát geometriailag η mentén nincs változás: síkprobléma. M3. Az ( M ) egyenlet nem csak a két sík metszésvonalának pontosabban: a metszés - vonal Oxy síkra vett vetületének egyenlete, hanem egy AB nyomvonalú függőleges vetítősík egyenlete is.
8 M4. Az az állítás, hogy a 3. ábra szerinti töröttvonallal jellemezhető feladatunk geometriai helyzete, még azáltal is erősíthető, hogy a két sík metszésvonalára merőleges metszősík által a két síkból kimetszett, a fenti töröttvonal elemeiként megjelenő egyenesek zárják be a két sík hajlásszögét. M5. Az 1. ábra sraffozása nem túl szerencsés; jobb lett volna esésvonal mentén megoldani ezt a ferde síknál. M6. Fenti feladatunk nem útépítési / szakmai, hanem inkább csak geometriai / ábrázolás - technikai vonatkozásban lehet érdekes. M7. A saját, módosított változatunk abban tér el az 1. ábráétól, hogy az 1. ábra szerinti, kétirányú ferdeséggel bíró sík az átmeneti szakasz végére már csak egyirányban ferde. Ezzel szemben a 2. ábra szerinti helyzet az, hogy itt az átmeneti szakasz vízszintes síkba vezet át, nem egyirányban ferdébe. Eszerint tehát itt nem az 1. ábrát rajzoltuk újra meg, hanem ahogyan azt rögtön az elején említettük annak egy saját, módosított változatát. Az átvezetés tekintetében a 6. ábra informatívabb az 1. ábránál: 6. ábra forrása: http://bmeeokepitocd.bmeeok.hu/cd/%c3%96ssze_vissza_t%c3%a1rgyak/%c3%9atterv/ea_14a_u.pdf M8. Javasoljuk, hogy az érdeklődő Olvasó oldja meg a 6. ábra fentiekhez hasonló, ámde már nem módosított ábrázolási feladatát! Sződliget, 2017. június 24. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár