Másodfokú egyenletek Gyakorló feladatok Készítette: Porkoláb Tamás Gyökök Milyen p valós paraméter esetén lesz az alábbi másodfokú egyenlet egyik gyöke? 3 ( p ) = Milyen p paraméter esetén lesz a következı másodfokú egyenlet egyik gyöke -4? ( p 3) 3 + = Megoldás megoldóképlet nélkül b = ( + 4) + = ( + 4) + ( ) + 4 = ( ) + 6 ( ) 11 = 17( ) 3 ( ) 1 + 44 + = 1 1 ( 4) = 13( 4 ) ( + ) 6= 1( + 1) 3( ) 6( 1 ) = ( 8 )( 4) + 4= 1( 6 ) c= ( 3+ ) + 4 3 3 = ( 3 ) + = 8 3 + 8= 7 7 8 4 + = 4 + + = + ( ) 1 1( 3) = 4 8+ 3 ( 3)( + 3) + 4= ( + 6) 8 16+ 36= 9( ) teljes négyzetté való kiegészítés 4 1= 6 7= 13= ( ) 3 6+ 7= Megoldás megoldóképlettel ( + )( 6 1) + + = ( 4+ 3) ( 3 1)( 3+ 1) = ( 1) 1 6( + 1) 7( 1) = 19 ( 1) = + 13
A diszkrimináns, a gyökök száma A következı egyenletnek m milyen értékeinél van két egyenlı gyöke? Mely m esetén van két különbözı gyöke? Mely m esetén nincs valós gyöke? 6+ m = + m+ 9= + p+ 16= m+ m= 4m 1= 1. Írj olyan számot az egyenletben a hiányzó tag helyére, hogy az egyenletnek a) két különbözı megoldása legyen b) ne legyen valós megoldása! 8+... = A gyöktényezıs alak Írd fel a következı másodfokú egyenlet gyöktényezıs alakját! 4 8 3= 3 6 4= 4= + 3= + 3 1 6 + 8= 3 + 4= Egyszerősítsd a következı algebrai törtet! 3 3 6 3+ Másodfokúra visszavezethetı egyenletek Oldd meg a következı egyenletet! ( ) ( ) 4 3 + 1 18= 4( 1+ 6) 4( 1+ 4) 8= ( + 1) 1 1= ( 3+ ) 18( 3+ ) + 7= [ ( )] + + 4 + = ( + 16) 7( + 16) 8= ( + 3 1) + 4( + 3 ) 81= ( + 8+ 14) 8 16= ( + ) 13( + ) + 3= ( 6 7) ( 6 7) 3=
Szöveges feladatok Egy építkezéshez 3 tonna anyagot kell kiszállítani. A szállításhoz a megrendeltnél tonnával kisebb teherbírású teherautókat küldtek, de 4-gyel többet, így a szállatást idıben elvégezhették. Hány teherautó végezte a szállítást és hány tonnásak voltak? Józsi két nappal hosszabb, Béla pedig két nappal rövidebb idı alatt festi ki a házat, mint Aladár. Sorsolással úgy döntenek, hogy Józsi és Béla festik ki a házat, akik együtt 4,8 nap alatt végeznek. Mennyi idı alatt végzett volna Aladár egyedül? Az egymástól 6 km-re lévı A és B városokból egyszerre indult el egymással szemben két vonat. óra múlva a vonatok közt a távolság 1 km, és még nem találkoztak. Ha B-bıl másfél órával elıbb indult volna el a vonat, mint A-ból, akkor félúton találkoztak volna. Mekkora a vonatok sebessége? Két tanulóbrigádot az iskola elıtti terület füvesítésével bíznak meg. A két brigád együttes munkával 6 nap alatt tudná teljesíteni a feladatot. Az egyik brigád egyedül nappal hosszabb idı alatt tudja elvégezni a munkát, mint a másik. Hány nap alatt tudja elvégezni a munkát mindkét brigád egyedül? Juliska a Mézeskalács Házikó és a Kerékpárjavító Mőhely közti 1 km-es távolságot kerékpáron 1 km h -val kisebb sebességgel 4 órával több idı alatt teszi meg, mint Jancsi. Mekkora a mesehısök sebessége és mennyi ideig tart nekik az út megtétele? Egy kétjegyő számban az egyesek helyén kettıvel nagyobb számjegy szerepel, mint a tízesek helyén. Ha a számjegyeket felcseréljük, és az így kapott számot az eredetivel összeszorozzuk, az eredmény 43. Melyik ez a szám? Két egér közösen 1 nap alatt eszik meg egy zacskó lisztet. Az egyik egér egymaga 1 nappal gyorsabban enné meg a zacskónyi lisztet, mint a másik egér. Mennyi idı alatt végeznének a zsák liszttel külön-külön? Egy kétjegyő számban az egyesek helyén öttel nagyobb számjegy szerepel, mint a tízesek helyén. Ha a számot megszorozzuk számjegyeinek összegével, az eredmény 43. Melyik ez a szám? Két csiga hosszútávcsúszó versenyt rendez. A táv hossza 7, m. Az egyik csiga óránként cm-rel több utat tesz meg, így 4 órával hamarabb ér célba. Hány cm-t tesznek meg óránként a csigák, és mennyi ideig tart a táv megtétele? Jancsi és Juliska kerékpáron mennek Alapátfalváról Bélapátfalvára. Juliska óránként 4 km-rel kevesebb utat tesz meg, így 1 órával több idı alatt ér egyik faluból a másikba. Mekkora a sebességük, ha a két falu távolsága 1 km? Aladár és Béla együtt,4 nap alatt ásnak fel egy kertet. Béla nappal hosszabb idı alatt ássa fel egyedül, mint Aladár. Hány nap alatt ássák fel külön-külön a kertet?
Egy kétjegyő szám számjegyeinek összege 8. Ha a számjegyeit felcseréljük, és az így kapott számot megszorozzuk az eredeti számmal, 18-öt kapunk. Melyik ez a szám? Két városból, amelyek egymástól 9 km távolságra vannak, egymással szembe indul két vonat. A vonatok az út felénél találkoznak. Határozd meg mindkét vonat sebességét, ha az elsı egy órával késıbb indult, mint a másik, sebessége pedig óránként km-rel nagyobb a másikénál. Egy egyenlı szárú háromszög alaphoz tartozó magassága cm-rel hosszabb az alapjánál, a szára pedig 13 cm. Mekkora a területe? Egy téglalap hosszabb oldala a rövidebb oldal kétszeresénél eggyel kisebb, átlója pedig a rövidebb oldal kétszeresénél eggyel hosszabb. Mekkora a téglalap területe? Egy rombusz egyik átlója a másik kétszeresénél -vel nagyobb, kerülete. Mekkorák az átlói és a területe? Másodfokú egyenlıtlenségek Oldd meg a következı egyenlıtlenséget! 3 + 6 9> + 4> + + 4+ 3 6 + 1 6+ 7 1 + 6+ 1 3 + 4< + 1 3 + 3 6 + 4 Számtani és mértani közép Két szám átlaga 13. Mekkora a szorzatuk legnagyobb értéke? Két szám összege 18. Mekkora a szorzatuk legnagyobb értéke? Két szám mértani közepe 17. Mekkora az összegük legkisebb értéke? Két szám szorzata 1. Mekkora az összegük legkisebb értéke? Bélának 18 m hosszú kerítésre telik, hogy téglalap egyalakú kertet kerítsen körbe. Legfeljebb mekkora lehet a területe? Bélának azt mondja Józsi, a hegyközség elnöke: -Bélám, keríts le magadnak egy 16 m -es kertet. A hegyközség állja a kerítés árát, ha a lehetı legrövidebb lesz a hossza. Milyen alakú legyen Béla kertje? Mennyibe kerül mindez a hegyközségnek, ha a kerítés métere 4 Ft-ba kerül? Egy papírsárkány vázát két rúd alkotja, amelyek deltoid alakúra feszítik ki a sárkányt. A váz elkészítéséhez összesen m vékony farúd áll a rendelkezésünkre (amelyet kettévághatunk). Milyen alakú legyen a sárkány, hogy a lehetı legnagyobb felületőre szeretnénk építeni?
Szélsıérték-feladatok Hol veszik fel az alábbi függvények a szélsıértéküket? Milyen típusú ez a szélsıérték? Mekkora az értéke? k s ( ) = 3( 4) 9 g( ) = ( + 3) 1 h( ) = 4( 1) + 7 j( ) = ( + ) ( ) = + l( ) = 4+ 1 m( ) = + 6+ n( ) = + 8 ( ) = 8+ 16 q( ) = 3 + 1+ 17 r( ) = 4 4 4 ( ) = 3 + 1 f p Négyzetgyökös egyenletek + 4 + 1. 7 + =. 1 = 9 3. + 9+ = 3 4. + 11 = 1. + 4 = + 6. 4+ 3 = 7. 6 3 4 = 8. + 1+ = 9. 4 1 4 = 1 1. 19 =