Másodfokú egyenletek egyszerű módszerek és a megoldóképlet 1. Oldjuk meg a következő másodfokú egyenleteket négyzetgyökvonás segítségével! a = 8 b = 484 c = 36 d 15 = 0 e + 7 = 0 f 1 = 4 7 g = 3 8 h = 8 7i i = 11 + 7i j + 5 = 0 5 k = 76 m + 3m = 4m (3 + m) 3n = 75 9p 8 = 71 3q = 49/7 r = 0,5 7s = 16/7 60t = 40 u 5 = 0 7v = 8 9 w = 3w 7x + 6 = 0 8y + 3 = 0 70 5z = 1 z.. Oldjuk meg a következő másodfokú egyenleteket kiemeléssel és a szorzat nulla voltának vizsgálatával! a 3a = 0 b 70b = 0 6c c = 0 d + 5d = 0 11e + e = 0 8 + 7f + f = 8 g = 11g h = h 4i = i j 6j = 0 3k 87k = 0 5m 85m = 0 5n 10 = 0 p 1p = 0 80q + 480q = 0 3r + 19r = 0 17s + 5s = 0 6t = 7t u / + u/3 = 0 v /4 v/7 = 0 3w /7 + w/8 = 0,5x 5,5x = 0 3,y 7,6y = 0 0,81z = 3z/5 3. Oldjuk meg a következő másodfokú egyenleteket a teljes négyzetté kiegészítés módszerével! a + 4a + 5 = 0 b + 6b + 5 = 0 c + 10c + 1 = 0 d 6d + 8 = 0 e 1e + 35 = 0 f + 14f + 45 = 0 g + 10g + 9 = 0 h + 4h + 13 = 0 i + 1i + 11 = 0 j 10j + 0 = 0 k 30k + 1 = 0 m 34m + 80 = 0 n n 3 = 0 p + 6p + 5 = 0 q q 63 = 0 r 8r + 14 = 0 s 18s 19 = 0 t t + 6 = 0 u + u + 1 = 0 v 3v + = 0 w 5w 6 = 0 x 5x 14 = 0 y + 11y + 30 = 0 z z 0 = 0 4. Oldjuk meg a következő másodfokú egyenleteket megoldóképlettel! a + 8a + 15 = 0 b + 7b + 1 = 0 c + 19c + 48 = 0 d 3d 54 = 0 e 6e 160 = 0 f f 13 = 0 g + g 4 = 0 h + 3h 108 = 0 i + 5i 66 = 0 j j 35 = 0 k 14k + 48 = 0 m 0m + 91 = 0 3n n = 0 p + 5p + = 0 4q 7q + 3 = 0 5r + r + 3 = 0 s + 5s 6 = 0 7t 11t 4 = 0 u + u + 1 = 0 6v + 5v + 1 = 0 3w + 7w + 6 = 0 x + 7x 1 = 0 10y y + = 0 3 z z = 0 4V. Az 1-3. feladatban szereplő egyenleteket oldjuk meg a megoldóképlettel is! (A hiányzó együtthatók helyére 0-t kell helyettesíteni a megoldóképletben). Vessük össze a kétféleképpen kapott eredményt minden esetben! 5. Oldjuk meg a következő másodfokú egyenleteket rendezéssel, majd megoldóképlettel! a 4a = 5 b + 7b = 1 3c 5c = 7c + 36 8d + 11d = 3d + 16 e (e+) = e 5 (3f+) f = 15f 10 g(g + 1) = 3g(g 4) + 45 (h+) (h+3) = (h 5) (h 6) (i+1) (i+) = (i+3) (4-i) 1/(j+) 1/(j 1) = 1,5 (k+1)/(k ) + (k )/(k+1) =,5 (4m+1) / (m 1) = m+5 6 / (5n+4) = 3n+11 (3p 4) / (p+6) = (p ) / (p+3) 6(q 3) + (5q 1) / = (14 q)/5 q(q+4)/ (r 3) 4r = 4 (s 5) 7s + 41 = 0 (t + 7) (t 1) = 81 (u+) 3 u 3 7u = 40 (v+1) 3 = (v ) 3 + 79 (w 1) (w+) = (w +1) 3 4 1/x + 3/(x+) = 4/(x+3) /y 1/(y+1) = 5/(y+3) 10/(z+) + 4/(z 1) = 16/(z+1) 6. Oldjuk meg a következő egyenleteket! (két másodfokú egyenlet szorzata, hányadosa egyenlő 0-val ) (a +a ) (a 4a+3) = 0 (b 1) (b +7b+10) = 0 (c + 3) (c 5c 14) = 0 (d d 4) (d + d 4) = 0 (e 5e + ) (e 70e + 60) = 0 (f 3f + ) / (f 4f + 3) = 0 (g 5g) / (g 8g + 15) = 0 (h 5h) / (h 8h + 15) = 0 (3i + 4i + 1) / (i 4i + 4) = 0 7. Adjuk meg a következő másodfokú függvények zérushelyeit (megoldóképlettel vagy a teljes négyzetté kiegészítés módszerével), majd ábrázolással ellenőrizzük a számítás helyességét! a. y = x 4x + 3 y = x + x + 1 b. y = x x 3 y = x + 6x + 8 c. y = x + x + y = x x d. y = 0,5x 3x + 4 y = x 4x + 3 e. y = x + x 3 y = x 8 f. y = (x 3 + 4x + 3x)/x y = ( x 3 + 8x 8x) / x
g. y = x 4x y = -0,5x + x + 1 h. y = 5x + 10x 15 y = 3x + 6x + 8 8. A következő egyenleteket először oldjuk meg a szorzat 0 voltának vizsgálatával, majd végezzük el a beszorzást, és a kapott szabályos alakú másodfokú egyenletet oldjuk meg megoldóképlettel! Vessük össze a két eredményt! (a + 3) (a 6) = 0 (b + 1) (b 4) = 0 (c ) (c + 9) = 0 (d + 5) (d + 1) = 0 (e + 5) (e 1) = 0 (f 4) (f + 7) = 0 (3g 7) (g + 1) = 0 (h + 5) (5h + 1) = 0 (10i + 9) (7i 6) = 0 3 (j 11) (11j 4) = 0 (3k + 4) (k 9) = 0 ( m 9) ( 3m 7) = 0 (11n+4) = n (11n+4) (p+) (3p 8) = (p+4) (5p 13) (q+) (q 3) = (6q+1) (q 3) (3 r) (r+) = (r 3) (r+10) (8s+1) s = (8s+1) (6 s) (t 8) (t 7) = (8 t) (3t 13) 9. Írjunk fel olyan másodfokú egyenletet, melynek két gyöke a megadott x 1 és x, a főegyütthatója pedig a megadott a szám! Adjuk meg az egyenletet polinom alakban is! Gyakorlás- és ellenőrzésképpen megoldhatjuk a kapott egyenletet a megoldóképlettel, sőt magunk is kitalálhatunk hasonló másodfokú egyenleteket a.) x 1 = x = 0; a = 1 b.) x 1 = x = 0; a = 5 c.) x 1 = x = 0; a = 3 d.) x 1 = 1; x = ; a = 1 e.) x 1 = 3; x = 11; a = f.) x 1 = 5; x = 9; a = 4 g.) x 1 = 1; x = 5; a = 1 h.) x 1 = 8; x = 3; a = 3 i.) x 1 = 1; x = 0; a = 7 j.) x 1 = 7; x = 4; a = 1 k.) x 1 = 1; x = 1; a = 6 m.) x 1 = x = 4; a =. Magasabbfokú egyenletek megoldása a másodfokú megoldóképlet ismeretében Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! 10. x 3 8x 9x = 0 10.H a.) x 3 + 5x x = 0 b.) 8x 5 + 7x 4 + 6x 3 = 0 c.) 7x 7 x 6 x 5 = 0 11. x 4 13x + 36 = 0 11.H a.) x 4 9x + 0 = 0 b.) x 4 + 0x + 64 = 0 c.) x 4 + 17x 16 = 0 1. x 4 17x 9 = 0 1.H a.) 4x 4 99x 5 = 0 b.) 1x 4 19x 18 = 0 c.) 4x 4 + 17x + 15 = 0 13. 36x 5 85x 3 + 9x = 0 13.H a.) 4x 5 41x 3 + 100x = 0 b.) x 7 53x 5 + 196x 3 = 0 c.) x 6 + 3x 4 x = 0 14. x 6 + 19x 3 16 = 0 14.H a.) x 6 35x 3 + 16 = 0 b.) x 6 63x 3 64 = 0 c.) 8y 6 + 7y 3 1 = 0 15. x 10 + 31x 5 3 = 0 15.H a.) x 8 17x 4 + 16 = 0 b.) x 8 + 80x 4 81 = 0 c.) x 1 65x 6 + 64 = 0 16. 8x 11 37x 8 16x 5 = 0 16.H a.) 144x 15 145x 11 + 36x 7 = 0 b.) x 9 + x 5 + x = 0 c.) x 7 + 5x 3 + 4/x = 0 17. x 4 9x 3 + 1x 9x + = 0 17.H a.) x 4 3x 3 + 4x 3x + 1 = 0 b.) x 4 x 3 + 13x x + 1 = 0 c.) 10x 4 7x 3 18x 7x+10 = 0 18. 3x 5 4x 4 18x 3 4x + 3x = 0 18.H a.) x 7 + 4x 6 + 6x 5 + 4x 4 + x 3 = 0 b.) 3x 3 4x + 5x 4 + 3/x = 0 c.) 4x 10 +13x 9 15x 8 +13x 7 +4x 6 = 0 19. 4 4x 5x + 36 = 0 4 3 x 5x + 4x 5x + 19.H 4 4 x 10x + 9 x + 3x + 5 a.) = 0 b.) = 0 4 3 4 3 3x 6x 14x 6x + 3 x x 3x 4x 5 0. x 3 7x + 7x = 0 0.H a.) x 3 + 6x 5x = 0 b.) x 4 4x 3 + 13x 10x = 0 Másodfokú egyenletrendszerek 1. Oldjuk meg a következő egyenletrendszereket, ha az alaphalmaz a valós számok halmaza! a. x + y = 8 és 3xy = 1 (1;7); (7;1) b. x + y = 7 és xy = 18 (9; ); ( ; 9) c. x y = 3 és xy + 1= 66 (5;13); d. x y = 8 és xy = 15 (5; 3); (3; 5) e. x + 8y = xy és xy = 100 (10;5); f. x + 3y = 15 és xy = 9 (3; 3); g. x + y + xy = 3 és xy = 14 (;7); (7;) h. x (y + 3) y = 15 és xy = 9 (3;3); i. 31 5 x + y = és xy = 11 11 j. x xy = 1 és 1 y 1 = (3;4);( 4; 3) k. x y = 48 és x y = 6 (7; 1)
m. x y = 117 és x + y = 13 (11; ) n. x + y = 1 és x + y = 53 nincs mo. p. x + y = 58 és x y = 4 (3;7); ( 7; 3) q. x + y = 15 és 3x 4y = 5 (11;) r. x + y = 36 és x y + 6 = 0 ( 6;0); (0;6) s. y = x + 3x + 3 és y = x 1 ( 1;1); ( 4;7) t. y x = 9 és y x = 9 (0;9); (1;10) u. 4x + 4y = 17xy és x + y = 10 v. 1 1 (3;1,5); + = 1 és x + y = 4,5 x y w. x. y. z. 1 1 1 = és x y = 1 y x 6 4 6 + = 0 x y 1 1 + = 3 x y 1 1 + = x + y x y és 3 4 17 = x y 6 5 és + = 3 3 x y 3 4 és + = 7 x + y x y (;3);. Adjuk meg a következő egyenletrendszerek valós megoldásait! a.) x y = 4 és x + y + 4xy = 14 (7; 3); ( 3; 7) b.) x y = 4 és x y + 5xy = 401 (10; 7); c.) x 7xy 8y = 0 és x + y = 18 (16; ). d.) x + 3xy + y = 0 és x y = 15 Másodfokú egyenletrendszerek + magasabb fokú egyenletek 31. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a racionális számok halmazán! x + y = 10 és xy = 3 31.H Mely valós számpárokra teljesülnek a következő egyenletrendszerek? a.) x + y = 50 és 3xy = 1 (7; 1); (1; 7); ( 1; 7); ( 7; 1). b.) x + y = 449 és xy = 140 (0; 7); (7; 0); ( 7; 0); ( 0; 7) 3. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán! x y = 1 és xy = 3 3.H Adjuk meg az egyenletrendeszerek racionális megoldásait! a.) x 7y = 3 és xy = 10 (5; ) és ( 5; ) b.) 3x + y = 61 és xy = 8 c.) 9x = 6y + 30 és xy + 1 = 3 33. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a természetes számok halmazán! x + y + x + y = 14 és xy = 3 33H. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert az egész számok halmazán! x + y + x + y = 6 és xy = 3 34. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a természetes számok halmazán! x + y + x + y = 1 és xy = 3 34H. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán! x + y + x + y = 7 és xy = 1 35. Mely természetes számok lehetnek a következő egyenletrendszer megoldásai? x + y = 4,5xy és x + y = 5 35.H Adjuk meg a következő egyenletrendszer valós megoldásait! a.) x + y + xy = 37 és x + y = 4 b.) x + y 5xy = 67 és x + y = 1 36. Oldja meg az egész számok halmazán a következő egyenletrendszert! 169x + y = 177 és 13x 4y = 3 36.H Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán! a.) 3x 8y = 60 és 17x y = 3 b.) x 3 + 7y = 174 és 9x 3 y = 1 37. Melyek azok a valós számpárok, amelyekre teljesül, hogy x + y + xy = 9 és xy (x + y) = 0 37.H Adjuk meg a következő egyenletrendszer egész megoldásait! a.) x + 3xy = 198 y és x y + xy = 840 b.) x + xy y = 1 és x y xy = 6 c.) 4x + 6y + 4xy = 30 és x y + 3xy = 7 d.) x + y (5+x) = 91 és x y + 5xy 30 = 900 38. Melyek azok az (x;y) valós számpárok, amelyekre teljesül, hogy
3x xy 4y 5x 6y = 0 és x + 5y 6 = 0 38.H Mely valós számpárok alkotják a következő egyenletrendszer megoldáshalmazát? a.) 3x 4xy + y 3x + y 76 = 0 és x 3y + 3 = 0 (9; 7) és ( 39/11; 37/11) b.) x x + 4y 4y + 1 = 0 és 19x + 37y + 91 = 0 c.) x 3xy + y 7x + y + 1 = 0 és 5x = 6y + 1 39. Határozzuk meg azokat az (x; y) valós számpárokat, amelyekre: x 3 + y 3 = 341 és x + y = 11 39.H Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán! a.) x 3 y 3 = 39,5 és x y = b.) x 6 + y 6 = 16 és (x+y) xy = 6 c.) x 6 y 6 = 665 és (x+y) (x y) = 5 Másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közti összefüggés 41. Határozzuk meg a következő egyenletek gyökeinek összegét és szorzatát a tanult összefüggések alapján, majd ellenőrizzük a megoldást a gyökök vizsgálatával! a.) x 5x + = 0 b.) x + 7x + 9 = 0 c.) x = 5 d.) x + 3x +,5 = 0 41.H Határozzuk meg a következő egyenletek gyökeinek összegét és szorzatát a tanult összefüggések alapján, majd ellenőrizzük a megoldást a gyökök vizsgálatával! a.) 3x 8x+ 3 = 0 b.) 5x + x + 3 = 0 c.) x = 8x d.) 0,5x 7x + 5 = 0 4. Az 5x px + 9 = 0 egyenletben mekkora a p értéke, ha tudjuk, hogy a két gyök összege 1? 4.H a.) A 3x px + 7 = 0 egyenletben a két gyök összege. Mekkora a p értéke? b.) A x + (3p+1)x 1 = 0 egyenletben a két gyök összege 7. Mekkora a p értéke, mekkora a két gyök hányadosa? 43. A 9x 45x + q = 0 egyenletben határozzuk meg q értékét, ha tudjuk, hogy a két gyök szorzata 4. Mekkora a gyökök különbsége? 43.H a.) A x 7x + q = 0 egyenletben határozzuk meg q értékét, ha tudjuk, hogy a két gyök szorzata 3/. Mekkora a gyökök különbsége? b.) A 5x 9x 3q = 0 egyenletben mekkora a q, ha tudjuk, hogy a két gyök szorzata 1,8. Mekkora a gyökök reciprokösszege? 44. Határozzuk meg az x 8x 17 = 0 egyenlet gyökeinek reciprokösszegét a gyökök kiszámítása nélkül, majd ellenőrizzük az eredményt a gyökök kiszámításával! 44.H Mekkora a következő egyenletek gyökeinek reciprokösszege? (Egyik-másik eredményt ellenőrizzük is a gyökök kiszámításával!) a.) 7x 9x 5 = 0. b.) 6x + 9x + 7 = 0 c.) x 8x + 11 = 0 d.) 3x + 5x + 1 = 0 Határozzuk meg a következő egyenletek valós gyökeinek reciprokösszegét! e.) 7x 6x + 5 = 0 f.) x 6x 8 = 0 45. Határozzuk meg az alábbi egyenlet valós gyökeinek négyzetösszegét! x 7x 13 = 0 45.H Határozzuk meg a következő másodfokú egyenlet valós gyökeinek négyzetösszegét! a.) x + x + 1 = 0 b.) 4x 17x + 4 = 0 c.) 7x 8x 9 = 0 d.) 5x px 11 = 0 (p egész paraméter) 46. A 6x 1x + 9 = 0 egyenlet gyökeinek kiszámítása nélkül adjuk meg a.) a gyökök összegét b.) a gyökök szorzatát c.) a gyökök reciprokösszegét d.) a gyökök négyzetösszegét e.) a gyökök négyzeteinek reciprokösszegét f.) a gyökök köbeinek összegét 46.H A következő egyenletek gyökeinek kiszámítása nélkül adjuk meg a.) a gyökök összegét b.) a gyökök szorzatát c.) a gyökök reciprokösszegét d.) a gyökök négyzetösszegét e.) a gyökök négyzeteinek reciprokösszegét f.) a gyökök köbeinek összegét! Az egyenletek: A.) x x 9 = 0 B.) x 11x + 8 = 0 C.) 9x 8x 1 = 0 D.) x 6x + = 0 Vizsgáljuk meg, hogy melyik esetben valósak a gyökök! 47. Adjuk meg az x px 1 = 0 egyenletben p értékét úgy, hogy a gyökök reciprokösszege 1/1 legyen! 47.H a.) Adjuk meg az x px 1 = 0 egyenletben p értékét úgy, hogy a gyökök reciprokösszege 11/1 legyen! b.) Adjuk meg az x px + 0 egyenletben p értékét úgy, hogy a gyökök reciprokösszege 0,45 legyen! 48. Adjuk meg az x 7x + q = 0 egyenletben q értékét úgy, hogy a gyökök négyzetösszege 5 legyen! 48.H a.) Adjuk meg az x 7x + q = 0 egyenletben q értékét úgy, hogy a gyökök négyzetösszege 9 legyen! b.) Adjuk meg az x 7x + q = 0 egyenletben q értékét úgy, hogy a gyökök négyzetösszege 65 legyen! 49. Az x px + q = 0 egyenletben az egyik valós gyök a másiknak a reciproka. Határozzuk meg p és q lehetséges értékeit! 49.H a.) Az x px + q = 0 egyenletben az egyik valós gyök a másiknak éppen az ellentettje. Határozzuk meg p és q lehetséges értékeit! b.) Az x px + q = 0 egyenletben az egyik valós gyök a másik gyök reciprokának ellentettje. Határozzuk meg p és q lehetséges értékeit!
50. A 3x (m+1)x 3 = 0 egyenletben az egyik gyök a másiknak az ellentettje. Mekkorák ezek a gyökök és mekkora az m értéke? 50.H Az 5x (m 3m + )x 0 = 0 egyenletben az egyik gyök a másiknak az ellentettje. Mekkorák ezek a gyökök és mekkora az m értéke? 51. Az x (a+b)x + 5a b = 0 egyenlet gyökei 1 és 3. Határozzuk meg az a és b értékét! 51.H Az x (4a+7b)x + 19a+8b = 0 egyenlet gyökei 4 és 11. Határozzuk meg az a és b értékét! 5. Adott az x 1990x 005 = 0 egyenlet. a.) Ránézésre állapítsuk meg, hogy valósak-e az egyenlet gyökei! b.) Írjuk fel azt a másodfokú egyenletet, amelynek gyökei a fenti egyenlet gyökeinek ellentettjei! c.) Írjuk fel azt a másodfokú egyenletet, amelynek gyökei a fenti egyenlet gyökeinek a reciprokai! 5.H Adott az x πx 3 = 0 egyenlet. a.) Ránézésre állapítsuk meg, hogy valósak-e az egyenlet gyökei! b.) Írjuk fel azt a másodfokú egyenletet, amelynek gyökei a fenti egyenlet gyökeinek ellentettjei! c.) Írjuk fel azt a másodfokú egyenletet, amelynek gyökei a fenti egyenlet gyökeinek a reciprokai! 53. Az x px + q = 0 egyenlet gyökei x 1 és x. Mekkora a p és q érték, ha tudjuk, hogy x 1 +x = 147 és x 1 x + x 1 x = 143? 53.H a.) Az x px + q = 0 egyenlet gyökei x 1 és x. Mekkora a p és q érték, ha tudjuk, hogy x 1 +x = 67 és x 1 x + x 1 x = 63? b.) Mekkora a p és q paraméter értéke az x px + q = 0 egyenletben, ha x 1 +x = 170 és x 1 x + x 1 x = 1386? 54. Az x (t+1)x + 5t = 0 egyenletben mekkora a t értéke, ha tudjuk, hogy a gyökök négyzetösszege 41? 54.H Az x (t )x 4t 1 = 0 a gyökök négyzetösszege 65. Mekkora lehet a t paraméter? 55. Egy másodfokú egyenlet gyökei x 1 és x. Határozzuk meg az egyenletet, ha tudjuk, hogy 4x 1 9x 1 x +4x = 74; 6/x 1 + 6/x = 5, valamint az egyenletben a másodfokú tag együtthatója egy pozitív páros prímszám. 55.H Egy másodfokú egyenlet gyökei x 1 és x. Tudjuk, hogy az egyenlet főegyütthatója 5. Ismeretes az is, hogy x 1 +7x 1 x +x = 17, továbbá 4x 1 + x 1 (1 x ) + 5x = 16. Határozzuk meg az egyenletet! 56. Egy másodfokú egyenlet gyökeinek négyzetösszege 9, köbeinek összege 117. Határozzuk meg az egyenletet, ha tudjuk, hogy a főegyüttható 9. 56.H Egy másodfokú egyenlet gyökeinek négyzetösszege 85, köbeinek összege 17. Határozzuk meg az egyenletet, ha tudjuk, hogy a főegyüttható. 57. A p paraméter mely valós értékei mellett lesz az x (p+1)x + p = 0 egyenlet gyökeinek négyzetösszege 97? 57.H a.) A p paraméter mely valós értékei mellett lesz az x +,5px + p = 0 egyenlet gyökeinek négyzetösszege 7? b.) A p paraméter mely valós értékei mellett lesz az x px + p = 0 egyenlet gyökeinek négyzetösszege 18? 58. A x(x 1) = 3 (px 4) (p+3) (p 3) egyenlet gyökei x 1 és x. Tudjuk, hogy x 1 + x 8x 1 x = 9,75. Határozzuk meg a nemnegatív p értékét és a gyököket! 58.H A 3 [x (x p) + 1] = p (x p) x (1+p) = 0 egyenlet gyökei x 1 és x. Tudjuk, hogy a gyökök reciprokainak összege 5/3. Határozzuk meg az egész p értékét és a gyököket! Másodfokú egyenletek felírása a gyökeik ismeretében 59. Írjuk fel azt a másodfokú egyenletet, amelynek gyökei 4 és 9! Adjuk meg az egyenlet szorzat, polinom és teljes négyzetté kiegészített alakját! 59.H Írjuk fel azt a másodfokú egyenletet, amelynek gyökei és 7! Adjuk meg az egyenlet szorzat, polinom és teljes négyzetté kiegészített alakját! 60. Egy egész együtthatós másodfokú egyenlet egyik gyöke 8 +. Adjuk meg a másik gyökét, majd írjuk fel a másodfokú egyenletet! 60.H a.) Egy egész együtthatós másodfokú egyenlet egyik gyöke (11 3 13)/8. Adjuk meg a másik gyökét, majd írjuk fel a másodfokú egyenletet! b.) Egy egész együtthatós másodfokú egyenlet egyik gyöke π. Adjuk meg a másik gyökét! c.) Egy egész együtthatós másodfokú egyenlet egyik gyöke + 3. Adjuk meg a másik gyökét, majd írjuk fel a másodfokú egyenletet! Másodfokúra vezető négyzetgyökös egyenletek 61. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a.) x + x = b.) x + x = 5 c.) x 5 x + 6 = 0 61.H Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a.) x + x = 3 b.) x + 4 x = 1 c.) (x+1) = 5 x d.) 7 x x = 1 6. Adjuk meg a következő egyenletek valós megoldásait! a.) x+1 + (x+1) = 6 b.) x 3x 6 (x 3x 6) = 1 6.H Adjuk meg a következő egyenletek valós megoldásait! a.) x (x ) = 1 b.) x 11x + 46 10 (x 11x+46) = 4 63. Adjuk meg a következő egyenlet valós megoldásait! x 9x + 3 = 6 x 9x + 4 63.H Oldjuk meg a következő egyenleteket az egész számok halmazán! a.) x + 8x + 40 = 8 x + 8x + 5 b.) x + 13x 54 = 6 x 13x + 46 c.) x 11x + 4 = 6 x 11x + 34 d.) x + x 6 = 4 x + x + 1 64. Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán!
x + 5 + 15 = 8 x + 5 64.H Adjuk meg a következő egyenlet racionális megoldásait! 7 x + 11 + 30 = 180 7x + 11 65. Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! x 5x + 13 + 3 7 = 3 + 7 x 5x + 13 65.H Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! x 7x + 14 + 4 = 3 x 7x + 13 66. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! 3 + x + 16 + x = 5x + 3 66.H Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a.) x + 10 + x + 16 = 6x + 36 b.) x + 3 + 4x 7 = 9x c.) 3+ x 5 + x = x + 1x + 14 d.) x 4 + 60 17x = x + 1 67. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! 16 x 3 x = 67 x 67.H Adjuk meg a következő egyenletek egész megoldásait! a.) 6 x 1 x = 5 x b.) 7 + x + x = 5 + x 68. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! 5 + x + 1 + 3 x + 1 = 7 + 1 68.H Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a.) 4 x 1 = x b.) 4x x 1 = 4 x c.) x 1 = 1 x 16 + x d.) 9 + x 7 + x = x + 3 69. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! 15 3 x + 5 + 10 x = 10 x 69.H Adjuk meg a következő egyenlet valós megoldásait! 4 x a.) + x + x = b.) x 3 x 5 = + x x 5 Másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatok 70. a.) Egy derékszögű háromszög befogóinak összege 35 cm, az átfogó ennél 10 cm-rel rövidebb. Mekkora a háromszög legrövidebb oldala? b.) Egy derékszögű háromszög leghosszabb oldala 4 cm-rel nagyobb, a legrövidebb oldala 14 cm-rel kisebb a középsőnél. Határozzuk meg a háromszög oldalait! 70.H c.) Egy derékszögű háromszög egyik befogója 1 cm-rel hosszabb a másodiknál. Az átfogó 39 cm. Határozzuk meg a háromszög befogóit! d.) Egy derékszögű háromszög befogóinak különbsége 6 cm, az átfogó 8 cm. Határozzuk meg a háromszög befogóit! e.) Egy derékszögű háromszög befogóinak összege 31 cm, a háromszög köré írható kör átmérője 5 cm. Határozzuk meg a háromszög területét! f.) Egy derékszögű háromszög két hosszabbik oldala 34 illetve 36 egységgel hosszabb a legrövidebbnél. Mekkora a háromszög átfogóhoz tartozó súlyvonala? 71. Egy derékszögű háromszög befogói 1 illetve 8 cm-rel rövidebbek az átfogónál. Határozzuk meg a háromszög köré írt és beírt körének sugarát, valamint az átfogóhoz tartozó súlyvonalának hosszát! 71.H a.) Egy derékszögű háromszög egyik befogója 4 cm-rel rövidebb, mint a másik. Az átfogó hossza 0 cm. Adjuk meg a háromszög köré írt körének sugarát! b.) Derékszögű háromszög egyik befogója 4 cm-rel hosszabb a másiknál, a háromszög köré írható körének sugara 10 cm. Határozzuk meg a beírt kör sugarát! c.) Egy derékszögű háromszög befogóinak összege 3 cm, az átfogóhoz tartozó súlyvonal hossza 8,5 cm. Számítsuk ki a háromszög területét! 7. Derékszögű háromszög kerülete 4 cm, területe 4 cm. Mekkorák az oldalai? 7.H a.) Derékszögű háromszög kerülete 90 cm, területe 180 cm. Mekkora a háromszög leghosszabb súlyvonala? b.) Derékszögű háromszög átfogója 5 cm, területe 84 cm. Mekkora a kerülete? 73. Téglalap alakú lemez kerülete 96 cm. Felül nyitott, 880 cm 3 térfogatú dobozt készítünk belőle úgy, hogy a sarkokról 4 cm-es négyzeteket vágunk ki, és azután az oldalakat felhajtjuk. Mekkorák az eredeti téglalap oldalai? 30 és 18 cm
73.H a.) Négyzet alakú papírlapból dobozt készítünk úgy, hogy a papírlap sarkaiból cm-es négyzeteket vágunk ki, és azután az oldalakat felhajtjuk. Milyen nagyságú négyzetből lehet az 1000 cm 3 térfogatú (felül nyitott) dobozt elkészíteni? b.) Egy téglalap kerülete 100 cm. Sarkaiból 7 cm-es négyzeteket vágunk ki, majd a keletkező oldalakat felhajtjuk, így egy 735 cm 3 térfogatú felül nyitott dobozhoz jutunk. Mekkora volt az eredeti téglalap hosszabbik oldala és mekkora a doboz testátlója? 74. Egy 1, m és 10 m oldalú téglalap alakú tér közepére 33,6 m nagyságú, téglalap alakú virágágyat akarnak elhelyezni úgy, hogy a virágágy szélei egyforma távolságra legyenek a tér szélétől. Mekkora távolságra kell lenniük a virágágy széleinek a tér széleitől? 74.H a.) Egy 0 cm hosszú, 15 cm széles téglalap alakú doboztetőn 100 cm -es nagyságú nyílást kell vágni úgy, hogy a nyílás széle mindenütt egyenlő távolságra legyen a doboz szélétől. Mekkora távolságra kell lennie a nyílás szélének a doboz szélétől? b.) Egy,1 m szélességű és 4,4 hosszútéglalap alakú virágágyat körül egyforma széles út szegélyez. Határozzuk meg az út szélességét, ha területe 10-szer akkora, mint a virágágy területe! 75. Két szabályos sokszög oldalszámának különbsége 10, az összes átlók számának különbsége 15 híján a kisebb oldalszámú sokszög egy szögének fokszáma. Hány oldalúak a sokszögek? 75.H a.) Hány oldalú sokszögnek van annyi átlója, mint ahány oldala? b.) Melyik az a sokszög, amelyben az átlók száma annyival nagyobb az oldalak számánál, ahányszor a belső szögek összege nagyobb 90º-nál? c.) Egy szabályos sokszög oldalainak száma n. Ha az oldalak számát eggyel növeljük, akkor a keletkezett n+1 oldalú szabályos sokszög egy-egy belső szöge 1º-kal lesz nagyobb az n oldalú szabályos sokszög egy belső szögénél. Hány oldalú a sokszög? 76. Egy városból két gépkocsi megy egy másik város felé. Az első gépkocsi sebessége 10 km/h-val nagyobb a másodikénál, és így egy órával hamarabb ér célhoz. Határozzuk meg mindkét gépkocsi sebességét, ha a két város közti távolság 560 km. 76.H a.) Egy gyalogos az 110 m hosszú lejtős úton felfelé percenként 4 m-rel kevesebbet tesz meg, mint lefelé, s ezért ezt az utat felfelé 6 perccel hosszabb idő alatt teszi meg, mint lefelé. Hány perc alatt megy fel a gyalogos a lejtőn, és mekkora a sebessége? b.) Egy turista 80 km-t gyalogolt. Ha naponta 4 km-rel kevesebbet tett volna meg, akkor útja 1 nappal tovább tartott volna. Hány km-t tett meg naponta eredetileg? c.) Egy vonatnak 70 km-es utat kellett volna megtennie. Az út felének megtétele után hóakadály miatt két órát vesztegelt, és ezért, hogy időre érkezzék, sebességét 1 km/h-val megnövelte. Mennyi volt az eredeti sebessége és hány óra alatt ért a kiindulási állomásról a célállomásra? 77. Két folyami kikötő távolsága 6,7 km. A gőzhajónak 4 óra 30 percre van szüksége, hogy eljusson az egyik kikötőből a másikba és vissza. A gőzhajó sebessége állóvízben 30 km/h. Mekkora a folyó sebessége? 77.H a.) Egy csónak utasai 3,5 km-t eveznek lefelé és ugyanannyit felfelé, összesen 1 óra 40 perc alatt, folyóvízben. A folyó sebessége km/h. Mekkora a csónak sebessége állóvízben? b.) Egy motorcsónak sebessége állóvízben 0 km/h lenne, a folyón 6 óra 15 perc alatt jut megállás nélkül egyik ponttól a másikig és vissza. A távolság a két pont között 60,5 km. Mekkora a folyó vizének sebessége? 3,58 km/h. 78. Két kőműves együttes munkával 6 nap alatt épít fel egy falat. Hány nap alatt építenék fel a falat külön-külön, ha az egyiknek az egész munka 5 nappal tovább tartana, mint a másiknak? 78.H a.) Két munkás együttes munkával 6 egész /3 óra alatt végez el egy munkát. Az egyik egyedül 3 órával kevesebb idő alatt végzi el, mint a másik. Hány óra alatt végzik el a munkát külön-külön? 1 illetve 15 óra alatt. b.) Apja és fia együtt gyomlálják a kertet. Ha mindvégig együtt dolgoznak, 4 óra 48 perc alatt végeznek. Apja egyedül 4 órával hamarabb végezne a kerttel, mint ha csak a fia dolgozna. Hány óra alatt végeznének külön-külön? apja 8, fia 1 óra alatt. 79. Két munkás együtt 8 óra alatt végez el egy munkát. Ha először az első elvégzi a munka 4/5 részét, utána a másik a hátralévő részt, a munka 14,4 óráig tart. Mennyi idő alatt végeznék el külön-külön ugyanezt a munkát? 79.H Két munkás együttes munkával 1 nap alatt tud elvégezni egy feladatot. Ha kezdetben csak egyikük dolgozik, és miután a munka felét elvégezte, felváltja őt a második, az egész munka 0 napig tart. Mennyi idő alatt végezné el a munkát egyedül az egyik, illetve a másik munkás? 80. Egy áru árát felemelték, majd később mivel így nem fogyott kétszer annyi százalékkal csökkentették, mint ahány százalékkal felemelték annak idején. Ily módon az eredeti áránál 5,5 százalékkal lett olcsóbb. Hány százalékkal emelték fel az árat eredetileg? 5 százalékos. 80.H a.) Egy vászon árát annyi százalékkal csökkentették, ahány forintba került egy méter az árcsökkenés előtt. Hány százalékkal csökkentették a vászon árát, ha új ára méterenként 4 forint? (40% vagy 60%). b.) Egy áru árát leszállították, majd mivel így túl olcsónak bizonyult és nem érte meg árulni fele annyi százalékkal felemelték, mint ahány százalékkal lecsökkentették annak idején. Ily módon az eredeti áránál 6,7 %- kal lett olcsóbb. Hány százalékkal szállították le az árat eredetileg? (1%) 81. Sakkversenyen minden játékos pontosan egyszer játszott bármelyik másikkal. Összesen 190 játszmát játszottak. Hány versenyző volt? 81.H a.) Minden érettségiző kapott egy-egy fényképet minden társától. Hányan érettségiztek, ha összesen 435 fényképcsere történt? b.) Egy régi ismerős társaság találkozik, mindenki mindenkivel koccint. 78 koccintás történt. Hányan találkoztak? c.) Egy kiránduláson 1 fiú és 8 lány vesz részt. Túra végén mindenki mindenkitől elköszön. Hány kézfogást és hány puszit jelent ez, ha a fiúk egymástól kézfogással, a lányok pedig bárkitől puszival búcsúznak el? d.) Egy jól sikerült kerti rendezvény után a résztvevők szétszélednek, mindenki mindenkitől elköszön. A férfiak egymástól kézfogással, a hölgyek mindenkitől puszival búcsúznak el. Ez 84 puszit és 36 kézfogást jelent. Hány hölgy vett részt a rendezvényen? 7.
8. Kétezer forintot kell bizonyos számú személy között elosztani. Ha kettővel kevesebben volnának, akkor mindegyiknek 50 forinttal több jutna. Hányan voltak eredetileg? 8.H a.) Egy színház nézőterén 30 férőhely volt. Miután a helyek számát minden sorban 4-gyel megnövelték, és még egy sort betettek, a férőhelyek száma 40 lett. Hány sor lett a színház kibővített nézőterén? 1 vagy 5 sor. b.) Könyvtárból 70 oldalas könyvet kölcsönöztem. Ha naponta 0 oldallal többet olvasnék el, mint kezdetben terveztem, akkor 3 nappal előbb olvasnám el a könyvet. Hány napig olvastam volna a könyvet eredetileg? 1 nap. 83. Húsz liter űrtartalmú, alkohollal teli edényből bizonyos mennyiségű alkoholt kiöntenek, majd az edényt vízzel töltik fel, ezután az előbbinek megfelelő mennyiséget kiürítenek a keverékből, és az edényt ismét vízzel töltik tele. Így az edényben kb. 6 liter tiszta alkohol marad. Hány liter folyadékot öntöttek ki minden alkalommal? 83.H Nyolc literes edény tele van 16 százalékos oxigéntartalmú levegővel. Kiengedünk belőle bizonyos mennyiségű levegőt, és tiszta nitrogént töltünk a helyébe. Ezután az így kapott gázelegyből kiengedünk ugyanannyit, mint először, és ezt ismét tiszta nitrogénnel pótoljuk. Ekkor 9 százalékos oxigéntartalmú elegyet kapunk. Hány liter gázt engedtünk ki mindegyik alkalommal az edényből? Másodfokú függvény tizedikes összefoglalás, kiegészítés I. A másodfokú alapfüggvény: y = x. Rácspontjai: (0; 0); (1; 1); (; 4); (3; 9); ; (-1; 1); (-; 4); (-3; 9); Képe: parabola (jövőre bizonyítjuk, hogy megfelel a görbe a parabola definíciójának). A függvény jellemzése: ÉT.: R ÉK: R + 0 Zh: x = 0 Nv: ] ; 0] szig. egyv. fogyó; [0; + [ szig. egyv. növő Szé: x alj = 0; y alj = 0; legnagyobb érték nincs. II. Az alapfüggvény eltoltjai, széthúzottjai (transzformációi): Az y = a (x u) + v függvény ábrázolása: 0. y = x másodfokú függvény görbéjének elkészítése 1. Ennek eltolása +u-val x irányban.. A kapott alakzat a-szoros nyújtása y irányban; helyben marad az x tengely. *. Ha a<0, akkor a -szoros a nyújtás, majd x tengelyre tükrözzük is a kapott görbét. 3. Végül v-vel y irányban eltoljuk a. vagy *. pontban kapott alakzatot. Így kapjuk az eredeti függvény görbéjét. A függvény általános jellemzése i.) a>0 esetén: ÉT: R ÉK: [v; + [ Zh: v>0 esetén nincs; v=0 esetén x = u (1 darab); v<0 esetén x = u ± ( v/a) ( darab). Nv: ] ; u] szig. egyv. fogyó; [u; + [ szig. egyv. növő Szé: x alj = u; y alj = v; legnagyobb érték nincs. Előjel: v>0 esetén mindenütt pozitív; v = 0 esetén a zérushelyeket leszámítva mindenütt pozitív, v<0 esetén a két zérushely között negatív, a zérushelyeken 0, a többi helyen pozitív. ii.) a<0 esetén: ÉT: R ÉK: [ ; v[ Zh: v<0 esetén nincs; v=0 esetén x = u (1 darab); v>0 esetén x = u ± ( v/a) ( darab). Nv: ] ; u] szig. egyv. növő; [u; + [ szig. egyv. fogyó. Szé: x tető = u; y tető = v; legnagyobb érték nincs. Előjel: v<0 esetén mindenütt negatív; v = 0 esetén a zérushelyeket leszámítva mindenütt negatív, v>0 esetén a két zérushely között pozitív, a zérushelyeken 0, a többi helyen negatív. III. Az y = ax + bx + c alakú másodfokú függvény Ábrázolása: legegyszerűbb teljes négyzetté alakítani: y = a (x + b/(a)) + (4ac b )/(4a). Így u = b/a és v = (4ac b )/(4a), és ld. II. pont. Ami a fent megadott alakból azonnal látható (nem ismétlem meg azokat az észrevételeket, amelyekhez fenti átalakítást és u; v helyettesítést kell alkalmazni: i.) a>0 esetén: - a görbe olyan parabola, amelynek szárai felfelé állnak, tehát legkisebb értéke van.
- a minimumhely (az aljhoz tartozó x) a két zérushely között félúton található, már amennyiben vannak zérushelyek: x min = (x 1 + x )/. - a függvény a két zérushely között negatív értékű, a zérushelyeken 0; minden egyéb helyen pozitív. Ha nincsenek zérushelyek, akkor mindenütt pozitív. - A fv minimumhelye ugyanott van, mint az y = ax + bx függvénynek (a c-vel való függőleges eltolás nem befolyásolja a legkisebb érték helyét, csak az értéket). Ennek a függvénynek a zérushelyei: 0 és b/a. A minimum helye a két zérushely között félúton helyezkedik el, így x min = b/a. Az érték kiszámításánál természetesen az eredeti függvénybe kell behelyettesítenünk. ii.) a<0 esetén: - a görbe olyan parabola, amelynek szárai lefelé állnak, tehát legnagyobb értéke van. - a maximumhely (az tetőhöz tartozó x) a két zérushely között félúton található, már amennyiben vannak zérushelyek: x max = (x 1 + x )/. - a függvény a két zérushely között pozitív értékű, a zérushelyeken 0; minden egyéb helyen negatív. Ha nincsenek zérushelyek, akkor mindenütt negatív. - A fv maximumhelye ugyanott van, mint az y = ax + bx függvénynek (a c-vel való függőleges eltolás nem befolyásolja a legnagyobb érték helyét, csak az értéket). Ennek a függvénynek a zérushelyei: 0 és b/a. A maximum helye a két zérushely között félúton helyezkedik el, így x max = b/a. Az érték kiszámításánál természetesen az eredeti függvénybe kell behelyettesítenünk. IV. Egyéb hasznos megjegyzések: i.) Megjegyzendő tehát, hogy x szélső = b/a. ii.) Ha az a és c együtthatók előjele ellentétes, akkor mindenképpen két zérushely van. iii.) A GYEHÖF kiegészíthető egy harmadik, ritkábban használatos, de igaz összefüggéssel: x 1 x = D / a. Mindezek figyelembevételével egyszerű megfontolások alapján válaszoljunk az alábbi kérdésekre: 91. Hány zérushelye van a következő függvényeknek? a.) y = 4x + 5x 7 b.) y = 7x 9x 110 c.) y = 6x 7x + d.) y = x 10x 11 e.) y = 3x 4x f.) y = 1,5x + 3,5x + 1 g.) y = (x+) + 6 h.) y = (x+) + 7 i.) y = 4 (x+11) 9. Hány zérushelye van a következő függvényeknek? 3x x + 9 x + x + 30 6x + 79x 85 a.) y = b.) y = x 4x + 3 4x 469x + 760 x x + 1 93. Határozzuk meg a következő függvények értékkészletét! a.) y = 4(x 5) 7,5 b.) y = 3 (x+) 1 c.) y = (x+5) / + 11 d.) y = (4x+5) + 3 94. Határozzuk meg a következő függvények szélsőértékének helyét és fajtáját! a.) y = 9x + 7x 11 b.) y = (x 3) + 5 c.) y = x + 7x d.) y = 146x 1460x 006 e.) y = 4x 9x 11,496 f.) y = 6x x 30 95. Adjuk meg a következő kifejezések legkisebb és legnagyobb értékét a [ 5; 9] számközben! a.) (x 7) + 19 b.) 3 (x+1) 73 c.) 1, (x+6) + d.) x + 8x + 10 e.) x + 7x 11 f.) 6x + x + 40 96. Egy másodfokú függvény két zérushelye 7 és 13. Határozzuk meg a szélsőértékének helyét és fajtáját! 97. Adjuk meg a következő másodfokú függvények növekedési viszonyait! a.) y = x + 3x + 4 b.) y = 17x + 5x + 49 c.) 7x 63x + 1 98. Egy másodfokú függvénynek egyik zérushelye ; a legnagyobb értéke 5, és ezt az x = 7 helyen veszi fel. Határozzuk meg a függvény másik zérushelyét! 99. Milyen valós x helyeken lesz az y = 3x + 4x + 5 függvény értéke a.) pozitív b.) nulla c.) negatív d.) tiszta képzetes? 100. Mely valós helyeken lesz az y = x + 5x + függvény értéke a.) pozitív b.) nulla c.) negatív? 101. Mely valós helyeken lesz az y = 5x 10x + 1 függvény értéke a.) pozitív b.) nulla c.) negatív? 10. Mely valós helyeken lesz az y = 3x + 7x 11 függvény értéke a.) pozitív b.) nulla c.) negatív? 103. Mely valós helyeken lesz az y = 5x 8x + 1 függvény értéke a.) pozitív b.) nulla c.) negatív? 104. Mely valós helyeken lesz az y = x + 8x 8 = 0 függvény értéke a.) pozitív b.) nulla c.) negatív? 105. Az y = 4x 5x 1 függvénynek határozzuk meg az első és második síknegyedbeli rácspontjait! 106. Adjunk meg olyan másodfokú függvényt, amely minden egész helyen negatív, de végtelen sok helyen pozitív! 107. Határozzuk meg a lehető legegyszerűbb számolással az y = 4x 7x 1 függvény zérushelyeinek távolságát! 108. Az y = x 7x 6 függvény zérushelyeinek adjuk meg a a.) szorzatát b.) összegét c.) különbségét d.) négyzetösszegét
e.) négyzeteinek különbségét f.) köbeinek különbségét! Házi feladatok másodfokú függvény 109. Az y = 3x 7x 11 függvény vizsgálata alapján válaszoljunk az alábbi kérdésekre! a.) Hány zérushelye van a függvénynek? b.) Hol és milyen jellegű szélsőértéke van a függvénynek? c.) Határozzuk meg a szélsőértéket! d.) Adjuk meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét a [ 5; [ számközben! e.) Adjuk meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét a ] 4; [ számközben! f.) Adjuk meg a függvény növekedési viszonyait a valós számok halmazán! g.) Adjuk meg a függvény értékkészletét! h.) Milyen x értékekre vesz fel a függvény pozitív értékeket? i.) Határozzuk meg a függvénynek az összes III. vagy IV. síknegyedbe eső rácspontját! j.) Adjuk meg a zérushelyek köbeinek összegét és különbségét! 110. Az y = 8x + 7x 1000 függvény vizsgálata alapján válaszoljunk a következő kérdésekre! a.) Hány zérushelye van a függvénynek? b.) Hol és milyen jellegű szélsőértéke van a függvénynek? c.) Határozzuk meg a szélsőértéket! d.) Adjuk meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét a [ 5; [ számközben! e.) Adjuk meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét a [ 4; 10[ számközben! f.) Adjuk meg a függvény növekedési viszonyait a valós számok halmazán! g.) Adjuk meg a függvény értékkészletét! h.) Milyen x értékekre vesz fel a függvény negatív értékeket? i.) Határozzuk meg a függvénynek az összes I. síknegyedbe eső rácspontját! 111. 3 Hány zérushelye van az 81x + 73x 311 6x 4 x x y = függvénynek? 4 x + 3x 4 x + 5x + 7 7 + x 11. A c szám kétjegyű pozitív prím lehet. Adjuk meg a következő kifejezés lehetséges legnagyobb és legkisebb értékét! a.) A = 6c + 18c 133 b.) B = 13c + 100c + 417 C = 6c 11c + 50 Másodfokú és másodfokúra vezethető egyenlőtlenségek 11. Vázlatosan ábrázoljuk a következő másodfokú függvényeket, majd állapítsuk meg, hogy melyik számhalmazon pozitív, nulla, illetve negatív az értékük! a.) y = 4x + 6x + 3 b.) y = x + 8x + 7 c.) y = 7x d.) y = x + 5x 4 11.H Ábrázoljuk vázlatosan a következő másodfokú függvényeket, majd állapítsuk meg, hogy melyik számhalmazon pozitív, nulla, illetve negatív az értékük! a.) y = x 6x 16 b.) y = x + 3x + 70 c.) y = 4x +4x 1 d.) y = x + 10x + 6 1. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! a.) x 3x 0 b.) x + 6x 8 > 0 c.) 5x 6x + 5 0 d.) 6 + x x > 0 e.) x + 5x 1 < 0 f.) 9x + 7x < 0 g.) 4x + 5x + 6 0 h.) x + 6x 9 0. 1.H Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! a.) x 4 0 b.) 8x + 7x + 6 > 0 c.) 3x + x + 1 0 d.) 9x + 6x + 1 0 e.) x 7x + 13 0 f.) 3x + x + 9 < 0 g.) x 8 x > 0 h.) 10x 7x 6 < 0 i.) 5x + 0x 0 0 j.) x 7x 1 > 0 k.) 7x + 19x + 0 l.) 0,5 x 6x + 18 < 0 m.) 3x + 7x 48 0 n.) 9x + 17x + 0 < 0 o.) 7x + 4x + 63 > 0 p.) x + 8x 16 > 0 q.) 7x + x 1 0 r.) 8x + 5x 5 0 s.) 11x x 1 < 0 t.) 31x + 6x 31 < 0 13. Adjuk meg a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát, ha az alaphalmaz a valós számok halmaza! a.) x + 5 3x b.) 8x + 4x 0,5 c.) 7x + 5 > 1x + 1 d.) 5x + x + 1 3x + 3x + 13.H Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! a.) x + 7 x + 6 b.) 6x < x 1 c.) 4x + 7x 3x 6 d.) 10x 3 4x 14. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán: x (x 3) x (4 x) 14.H Adjuk meg a következő egyenlőtlenségek valós megoldásait! a.) 4x (x+) 6 (x+) 3x (x 6) (x 3) b.) x (x+4) (3x+1) (x 7) c.) x (x 10)<x 8 d.) (x (x 10)+15) > (x+5) e.) (x+) (x+3) > (x + 1) f.) 5x (x ) < 3x (x+9) 7 15. Adjuk meg a következő egyenlőtlenség egész megoldásait! 5x + 6x 5 > 0 15.H Adjuk meg a következő egyenlőtlenségek egész megoldásait! a.) x + 7x + 10 < 0 b.) 3x + 10x 3 0 c.) 7x + x 1 0 d.) 6x + 5x + 1 0 16. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenség-rendszert! x + 7x + 6 < 0 és x + 3x + 4 0. 16.H Oldjuk meg a következő egyenlőtlenség-rendszereket! a.) x + 4x + 3 0 és x 4x + 3 0 b.) x + 4x + 3 0 és x 4x + 3 0 c.) x + 9x 4 < 0 és x + x + 3 > 0 d.) x + 9x 4 < 0 és x + x + 3 < 0 e.) x 11x + 10 < 0 és x + 7x + 1 < 0 f.) x 11x + 10 > 0 és x + 7x + 1 < 0 g.) x + x + 3 < 0 és x + x 1 < 0 h.) x + x + 3 > 0 és x + x 1 > 0 17. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget! (x + 8x + 1) ( x x + 3) 0 17.H Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket! a.) (x + x + 1) ( x x + 3) 0 b.) (3x + 10x + 3) ( x 5x ) 0 c.) (3x + x + 1) (x + x + 3) > 0 d.) (3x + x 1) (x + x 3) > 0
18. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! x 7x 15 > 0 b.) x + < 0 x + 6x + 8 x 4 x + 7 18.H Adjuk meg a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! a.) x + 3x + < 0 b.) x 3x + 0 c.) x + 7x + 1 < 0 x 4x + 3 x 4x + 3 x 7x 10 d.) x + 3x + < 0 e.) 3 + > 0 f.) x + 1 x + 7 + 0 x 11x 6 x x 3 x x 3 19. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! x + 5x + 5,5 1 x 7x + 6 19.H Ezeket is! a.) 3 x + < 1 b.) + 1 x x 3 x 3 x + 4 c.) 5 x 1 + d.) 0 3x + 3 3 + x + 1 x + 3 3x 1 3x 3 130. Adjuk meg az x 4 5x + 4 < 0 egyenlőtlenség megoldáshalmazát! 130.H Adjuk meg a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! a.) x 4 13x + 36 > 0 b.) x 4 + x 0 0 c.) x 4 + x + 9 0 131. Milyen valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség? a.) x 3 + 7x 18x 0 b.) 3x 3 + x 5x > 0 c.) x 6 + 9x 5 + 4x 4 < 0 131.H Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! a.) x 3 11x + 30x < 0 b.) x 4 5x 3 + x 0 c.) 7x 3 + x + x 0 d.) x 5 + 7x 3 44x > 0 13. Az x px + 1,5p = 0 egyenletnek milyen p paraméter esetén lesz, 1 illetve 0 valós megoldása? 13.H Határozzuk meg a p paraméter értékét úgy, hogy a következő egyenleteknek két különböző valós megoldása legyen! a.) x px + p + 3 = 0 b.) x p x p + 1 = 0 c.) 0,5px + px p + 5 = 0 p < vagy p > p > 1 vagy 5 < p < 0 Melyek azok a valós p értékek, amelyre a következő egyenleteknek nincs megoldásuk? d.) 3x + (p+1)x + p + 3 = 0 e.) x + px + p = 0 f.) x (p+1)x + 9 = 0 A következő egyenletnek két egybeeső valós gyöke van. Határozzuk meg a p paraméter értékét. g.) px /4 + (p +1)x + 9(p + 5p/18 + 1) = 0 Másodfokú szélsőérték-feladatok Elméleti háttér: I. Egy teljes négyzet értéke legalább nulla. II.A Egy pozitív számnak és reciprokának összege legalább kettő (ez az 1-nél valósul meg egyedül). II.B Egy negatív számnak és reciprokának összege legfeljebb kettő (ez a 1-nél valósul meg egyedül). III. A másodfokú függvény szélsőértéke a két zérushelye között félúton található. a.) Ha nincs zérushely, akkor a függvény függőlegesen eltolható úgy, hogy legyen (pl. a nulladfokú tag elhagyásával). b.) Ha a másodfokú tag együtthatója pozitív, akkor a függvénynek a fent említett helyen minimuma (legkisebb értéke), ha negatív, akkor maximuma (legnagyobb értéke) van. Feladatok: 141. Egy 100 méter hosszú kerítéssel a lehető legnagyobb területű téglalapot akarjuk elkeríteni. Mekkorának válasszuk az oldalakat? 141.H a.) Osszuk fel a 40-et két pozitív összeadandóra úgy, hogy a szorzatuk a lehető legnagyobb legyen! b.) Az olyan derékszögű háromszögek közül, amelyek befogóinak összege 16 cm, melyiknek legnagyobb a területe? Mekkora ez a terület? 14. Határozzuk meg a cd szorzat legnagyobb értékét, ha c+d = 90. 14.H Egy 100 méter hosszú kerítéssel a lehető legnagyobb területű téglalapot akarjuk elkeríteni, de a téglalap egyik oldala egy már bekerített telek igen hosszú oldalához csatlakozik (így oda nem kell kerítés). Hogyan válasszuk meg a téglalap oldalait? 143. Bontsuk fel a 1-t két összeadandóra úgy, hogy a négyzetösszegük a lehető legkisebb legyen! 143.H Két szám összege 90. Legalább mennyi a négyzeteik összege? 144. Bontsunk egy 50 cm-es szakaszt két részre úgy, hogy az egyes részek fölé rajzolt négyzetek területének összege a lehető legkisebb legyen! 144.H a.) Bontsunk egy 0 cm-es szakaszt két részre úgy, hogy az egyes részek fölé rajzolt szabályos háromszögek területeinek összege a lehető legkisebb legyen! b.) Bontsunk egy 60 méteres szakaszt két részre úgy, hogy az egyes részek fölé rajzolt félkörök területeinek összege a lehető legkisebb legyen! 145. Egy derékszögű háromszög befogói 0 cm és 30 cm. Mekkorák a háromszögbe írható lehető legnagyobb területű téglalap oldalai, ha a téglalap egyik szöge a háromszög derékszögével esik egybe? 145.H Egy derékszögű háromszög csúcsai: A(0; 0); B(1; 0); C(0; 0). Olyan téglalapot szeretnénk a háromszögbe írni, amelynek egyik szöge a háromszög derékszögével esik egybe, és területe a lehető legnagyobb. Határozzuk meg a téglalap csúcsainak összetevőit! 146. Egy téglalap átlója 10 cm hosszú. Milyen határok között változhat a téglalap területe? 146.H a.) Egy téglalap köré írható körének sugara 0 cm. Milyen határok között változhat a téglalap területe?
b.) Egy téglalap átlója 1 cm hosszú. Milyen határok között változhat a téglalap kerülete? 4 és 4 cm között változhat. 147. Egy trapéz egyik párhuzamos oldala 8 dm, másik párhuzamos oldalának és magasságának összege 0 dm. Milyen határok között változhat a trapéz területe? 147.H Egy trapéz egyik párhuzamos oldala 7 dm, másik párhuzamos oldalának és magasságának összege 13 dm. Hogyan válasszuk meg a trapéz méreteit, ha azt akarjuk, hogy területe a lehető legnagyobb legyen? Mekkora ez a terület? 148. Egy téglalap oldalai 5 cm és 9 cm-esek. Az A csúcsból pozitív körüljárási irányban a téglalap kerületén x cm-t haladva (x<5) az A 1 pontba jutunk. A B csúcsból ugyanilyen körüljárás szerint a kerületen x cm-t haladva a B 1 pontba jutunk, hasonló módon keletkezik a téglalap kerületén a C 1 és D 1 pont is. Mekkora x esetén lesz az A 1 B 1 C 1 D 1 négyszög területe a lehető legkisebb? 148.H Egy téglalap oldalai 3 m és 7 m hosszúak. Minden csúcsban ül egy katicabogár. Egyszerre elindulnak, mindegyik a téglalap kerületén halad egyforma, 1 cm/s sebességgel, azonos forgásirányban. Mennyi idő múlva határozzák meg a lehető legkisebb területű négyzetet? 149. Egy derékszögű háromszög befogói a és b. Tudjuk, hogy 3a + b = 100. Milyen határok között változhat a háromszög területe, illetve átfogója? 149.H Határozzuk meg az ab szorzat és az a + b négyzetösszeg lehetséges értékeit a következő feladatokban! Az a és b számok nemnegatívak. a.) a + b = 4 b.) a + 5b = 0 c.) 9a b = 10 d.) 7a + 3b = 10 150. Százezer forintot vettünk fel hitelre. Két részletben fizethetjük vissza; az első x forint után x ezred százalék kamatot, a második y forint után 3y ezred százalék kamatot fizetünk. Hogyan válasszuk meg a részleteket, hogy a lehető legkevesebb kamatot kelljen fizetni? 150.H a.) Százezer forintot vettünk fel hitelre. Két részletben fizethetjük vissza; az első x forint után x ezred százalék kamatot, a második y forint után y ezred százalék kamatot fizetünk. Hogyan válasszuk meg a részleteket, hogy a lehető legkevesebb kamatot kelljen fizetni? Mindkét részlet 50 000 forint legyen. b.) Százezer forintot vettünk fel hitelre. Két részletben fizethetjük vissza; az első x forint után x ezred százalék kamatot, a második y forint után 3y ezred százalék kamatot fizetünk. Hogyan válasszuk meg a részleteket, hogy a lehető legkevesebb kamatot kelljen fizetni? Az első részlet 60 000, a második 40 000 forint legyen. 151. a.) Egy 60 cm-es szakaszt két részre osztunk. Az első részt egy négyzet oldalának, a második részt egy másik négyzet átlójának tekintjük. Milyen határok között változhat ennek a két négyzetnek a területösszege? b.) Egy 60 cm-es szakaszt két részre osztunk. Az első rész fölé mint átmérő fölé félkört, a második rész fölé mint egy átfogó fölé egyenlő szárú derékszögű háromszöget szerkesztünk. Milyen határok között változhat a két idom területösszege? 151.H a.) Egy 36 cm hosszú szakaszt két részre osztunk. Az első rész fölé négyzetet, a második rész fölé egy szabályos háromszöget szerkesztünk. Hogyan osszuk két részre a szakaszt, hogy az így nyert idomok területének összege a lehető legkisebb legyen? b.) Egy 36 cm hosszú szakaszt két részre osztunk. Az első rész fölé négyzetet, a második rész fölé mint átfogó fölé egy egyenlő szárú derékszögű háromszöget szerkesztünk. Milyen határok között változhat a két idom területének összege? c.) Egy 36 cm hosszú szakaszt két részre osztunk. Az első rész fölé négyzetet, a második rész fölé mint befogó fölé egy egyenlő szárú derékszögű háromszöget szerkesztünk. Milyen határok között változhat a két idom területének összege? d.) Milyen határok között változhat egy szabályos háromszög és egy négyzet területének összege, ha tudjuk, hogy kerületeik összege 10 cm? e.) Egy kör és egy négyzet kerületének összege 30 cm. Milyen határok között változhat a területeik összege? 15. Milyen x valós szám esetén veszi föl az 3x 5x + 6 x + 3 y = + függvény a lehető legkisebb pozitív x + 3 3x 5x + 6 értéket? 15.H Milyen x valós szám esetén veszi föl az x 5x + 6 x + x y = + függvény a lehető legkisebb pozitív x + x x 5x + 6 értéket? 153. Milyen x valós szám esetén veszi föl az x + 1 x + x y = + függvény a lehető legkisebb pozitív értéket? x 3 x + 1 153.H Milyen x valós szám esetén veszi föl az x 5 x 4x 4 y = + függvény a lehető legkisebb pozitív értéket? 4x 1 x 5 154. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! 8x 3x + 1 x + 11+ 3x 17 = x + 3x + 11 3x 1 8x 9 154.H Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! a.) x x 3 + = b.) x + 5x + 90 x 7x + 1 + = 1 c.) x x + x 3 5 + = x 3 x x 7x + 1 x + 5x + 9 x 3 x 155. Hol veszi fel a következő függvény a lehető legkisebb értékét? ( x + 1) y = 1+ x 155.H Hol veszi fel a következő függvény a lehető legkisebb értékét? + 1
4 x + 8x + 1 y = x 156. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számhármasok halmazán! (x+1) + (y 3) + (3z 5) = 0 156.H Oldjuk meg a következő egyenleteket úgy, hogy valamennyi változó egész szám legyen! a.) (x+5) + y = 0 b.) (x+) + 3 (y 10) = 0 c.) x + 6y + c + 1 = 0 d.) x x + 1 + y = 0 e.) x + y + 4x 6y = 13 f.) x + y + z + z = 1 157. Határozzuk meg a következő kifejezések legkisebb ill. legnagyobb értékét (ha van)! a.) x + y + 1 b.) x (y 1) c.) x y x + 8y d.) x + w 10w + y e.) 7x + 3x + y + 5y 157.H Határozzuk meg a következő kifejezések legkisebb és legnagyobb értékét (ha van)! a.) a + b + 6a + 1b b.) 4x + 7y 3x 11y c.) s + t + 3s + 4t d.) 3x y + 6x 8y + 1 e.) (x 6 5x 4 + x )/x 4 + 1 f.) a + b + c + a + b 3c Másodfokú egyenlet összefoglaló feladatok I. Egyszerű, 1-3 pontos feladatok 161. Hol van a x + 6x + 110 kifejezés szélsőérték-helye? Milyen jellegű a szélsőérték? x = 1,5. Jellege: maximum. 16. Oldjuk meg az x + x + 11 > 0 egyenlőtlenséget! minden valós szám megoldása. 163. Hány megoldása van az x 4 + 5x + 4 = 0 egyenletnek a valós számok halmazán? Nincs megoldás. 164. Mekkora p értéke az 5x px 6 = 0 másodfokú egyenletben, ha tudjuk, hogy az egyik gyök? p = 7. 165. Adjuk meg a ( x x+) kifejezés értelmezési tartományát! Így tehát [ ; 1] az értelmezési tartomány. 166. Az y = x + 6x 11 kifejezésnek mennyi a legnagyobb értéke a [ 4; 0] számközön? 11. 167. Mekkora az x 8x 11 = 0 egyenletben a gyökök összegének és szorzatának összege? 3. 168. Hány zérushelye van az (x + 5x 6)/(x + 8x + 1) kifejezésnek? egy zérushelye van. 169. Határozzuk meg az x + y + x 4y kifejezés legkisebb értékét! 5. 170. Hány megoldása van a valós számok halmazán a következő egyenletnek? 3 + x x 4 + x + 4 x + x + 3 x = 005 1003 A bal oldalon egy pozitív (értelmes vagy nem értelmes) számnak és reciprokának összege áll, amelyről tudjuk, hogy legalább. A jobb oldal viszont kisebb -nél. Így az egyenletnek biztosan nincs megoldása. Az összefoglaló feladatok megoldásai: 171. Két munkás együttes munkával 1 nap alatt tud elvégezni egy feladatot. Ha kezdetben csak egyikük dolgozik, és miután a munka felét elvégezte, felváltja őt a második, az egész munka 5 napig tart. Mennyi idő alatt végezné el a munkát egyedül az egyik, illetve a másik munkás? Az egyik tehát 0, a másik 30 nap alatt 17. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! x + 8x + 40 = 8 x + 8x + 5 { 8; 4; 0}. 173. Egy 1 cm-es szakaszt két részre osztunk. Az első rész egy négyzet oldala, a második rész egy négyzet átlója. Milyen határok között változhat a két négyzet területének összege? A területösszeg értéke tehát a [48; 144] tartományba esik, cm -ben mérve. 174. Milyen valós p paraméterek esetén nincs valós megoldása a következő egyenletnek? x p x p + 1 = 0 p-nek a ] ; [ számközbe kell esnie, pontosan ekkor nincs megoldása a fenti egyenletnek. 175. Az x (t+4)x 3t + 1 = 0 a egyenletben a valós gyökök négyzetösszege 65. Mekkora lehet a t paraméter? t = 3 a jó megoldás. A felelés kérdései: 181. A másodfokú függvény és jellemzése 18. Transzformációs szabályok 183. A másodfokú egyenlet általános alakja 184. A másodfokú egyenlet megoldása grafikusan ill. a teljes négyzetté kiegészítés módszerével 185. A másodfokú egyenlet megoldása a megoldóképlet segítségével; a megoldások száma és a diszkrimináns előjele 186. A megoldóképlet levezetése 187. Hiányos másodfokú egyenletek megoldása 188. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések 189. Hiányos negyedfokú egyenletek visszavezetése másodfokúra 190. Reciprok egyenletek megoldása (csak jeleseknek) 191. Másodfokú egyenletrendszerek megoldási módjai 19. Másodfokú szélsőérték-feladatok megoldása 193. Másodfokú egyenlőtlenségek általános megoldási módja 194. A reciprok-egyenlőtlenség és bizonyítása
195. A számtani és mértani közép közötti összefüggés és algebrai bizonyítása elem esetén 196. Szöveges feladatok megoldásának lépései 197. Négyzetgyökös egyenletek megoldási módja 198. A négyzetszámok 1000-ig 199. Nevezetes szögek szögfüggvényei (0 ; 30 ; 45 ; 60 ; 90 ) 00. Szakasz felosztása p:q arányban (szerkesztéssel és számítással) A dőlt betűvel szedettek önálló ismétlés alapján. JÓ FELKÉSZÜLÉST!