Érdekes geometriai számítások 5. Folytatjuk a sorozatot. 5. Téma: Egy fontos szögösszefüggés gömbháromszögtani igazolása Egy korábbi dolgozatunkban címe: Érdekes geometriai számítások 3. egy képletre csak hivatkoztunk, levezetés nélkül. Pedig annak levezetése igencsak szük - séges és tanulságos is. Sokat nézegettük az idevágó szakirodalmat könyveket, in - ternetes anyagokat, de csak nehezen találtunk olyanokat, melyek eléggé egyszerűek és jól szemléltetettek. Most arra teszünk kísérletet, hogy a fellelt szakanyagokból összeállítsuk azt a pár legfontosabb szakaszt, melyek alapján az egyébként nem igazán könnyű ismereteket már egy érdeklődő, viszonylag jó matekos középiskolás is meg - értheti, elsajátíthatja. Akkor lássuk a medvét! Az általunk keresett, levezetendő összefüggés: a gömbháromszög szögekre vonatkozó koszinusz - tétele. Ennek a szinte mindenki által alkalmazott levezetése kétlépéses [ ] :.) a gömbháromszög oldalaira vonatkozó koszinusz - tétel levezetése; 2.) a polár - gömbháromszög bevezetése, majd az itt feltárt relációk figyelembe vétele az. lépés alkalmazásakor. Ez így elmondva durvának hathat, de ennél egyszerűbb út úgy tűnik nincs. Ennél nehezebb van, de azt inkább kihagyjuk, mert esetleg brutális lenne. A fő probléma úgy tűnik : a szemléltetés. Ezt sokan nem veszik eléggé komolyan. Pedig a számítógépes segítség itt nagyon hatékony lehet, mert a jól beállított ábrákkal szinte azonnal megérthető a térbeli helyzet. Ez is magyarázza, hogy az ábrákat mai internetes anyag(ok)ból is vettük ld. pl.:[ 2 ]! Most tekintsük az. ábrát [ ], [ 2 ]!. ábra
2 Itt egy régebbi és egy újabb keletű, szokásos megjelenítése látható egy gömbhárom - szögnek. Úgy képzeljük, hogy az egységnyi sugarú gömbből a gömb M középpontján átmenő metszősíkok az ( a, b, c ) ívhosszúságú, és az egységnyi sugár miatt ugyan - ekkora számértékű, radiánban mért középponti szögű főköríveket metszik ki. A főkörök síkjai pedig páronként ( α, β, γ ) szöget zárnak be egymással. A közvetlen feladat: ~ adott: α, β, c ; ~ keresett: γ. A levezetendő összefüggés [ ] : cos cos cos sin sin cos c. (! ) Itt most a [ 2 ] alapján indítjuk a munkát. Ehhez tekintsük a 2. ábrát [ 2 ]!. lépés 2. ábra Itt egy Mxyz térbeli derékszögű koordináta - rendszerben ábrázolták az egységsugarú gömböt és a felületén kijelölt, speciális helyzetű ABC gömbháromszöget. Most írjuk fel az A, B, C pontokba mutató helyvektorok kifejezését! a cos 90 b i 0 j cos bk, innen: a sin bi 0 jcos bk. ( )
3 Hasonlóan: b cos 90 a cos i cos 90 a sin jcos ak, innen: b sin acos i sin asin j cos ak. ( 2 ) Most képezzük a és b skaláris szorzatát! Egyfelől az ismert képlettel, a 2. ábrára is figyelve: ab cos c cos c ; ( 3 ) másfelől ( ) és ( 2 ) - vel: sin b 0 cosb sin a cos sin a sin cos a ab i j k i j k sin a sin bcos 0 cos a cos b, tehát: ab sin asin bcos 0 cos acos b. ( 4 ) Ezután ( 3 ) és ( 4 ) - ből: cos c cos acos b sin asin bcos. ( 5 ) Az ( 5 ) képlet a gömbháromszög egyik oldalára vonatkozó koszinusz - tétel. Megjegyezzük, hogy a levezetése során alkalmazott, a 2. ábra szerinti speciális felvétel nem érinti a végeredményt, hiszen a koordináta - rendszer csak egy segéd - konstrukció, melynek alkalmas megválasztása a munkát lényegesen egyszerűsítheti, kényelmesebbé teheti. Ehhez tekintsük a 3. ábrát [ 2 ]! 2. lépés Itt egy gömbi főkört az egyenlítőt és a hozzá tartozó sarkokat / pólusokat ábrá - zolták. A pólusok: a gömbi főkör közép - pontján átmenő, a főkör síkjára merőleges egyenesnek a gömbbel való döféspontjai. Ezek az elnevezések a földgömbbel kapcso - latos elnevezéseket követik. 3. ábra
4 Most tekintsük a 4. ábrát [ ]! 4. ábra Itt azt szemlélhetjük, hogy az ABC gömbháromszög oldalainak síkjára a gömb középpontjában állított merőlegesek kimetszik a gömbből az A, B, C pólusokat; ezek ismét egy gömbháromszöget határoznak meg, melyet polárgömbháromszögnek nevezünk. Ennek oldalai: a, b, c, szögei: α, β, γ. Megjegyezzük, hogy a 4. ábra felvétele olyan, hogy ha az oldal az Egyenlítőn fekszik, akkor a hozzá tartozó pólus az Északi Sark; pl.: c C. Ezt a körülményt [ ] - ben úgy jellemzik, hogy a 3. ábrán szemléltetett két pólus közül azt választjuk, amelyet a gömbháromszög - oldal síkja nem választ el a gömbháromszögtől. A polárgömbháromszöggel kapcsolatban van néhány fontos tudnivaló; most ezeket fejtjük ki.
5 Megemlítjük, hogy az itteni sajátos jelölésekkel általában a a. A polárgömbháromszög származtatásából következik, hogy fennállnak az alábbiak: c a b 0 0 0 a b b c c a 0 0 0,,. ( 6 ) A 0 kitevő itt az egységvektorra utal. Most sorra képezzük a v c a v a b 2 v b c 3,, ( 7 ) vektorokat! Például az elsőre, ( 6 ) és ( 7 ) szerint:. v c a a b b c ( 8 ) Az egységvektorok értelmezése szerint, ( 8 ) - cal: a b b c v a b b c a b b c a b b c. ( 9 ) Egy kifejtési tétel szerint [ ] : a b b c abc b ; ( 0 ) így ( 9 ) és ( 0 ) - zel: v a b b c abcb a b b c a b b c tehát: abc = b s b, a b b c v s b, ( ) ahol:
s abc ab c a b c cos a, b c a b b c a b b c a b b c a cos a, b c cos a, b c cos a, b c cos a, b c =, a b sin a, b sin a, b sin a, b sin c 6 tehát: cos aa, s, sin c ( 2 ) általában. ( ) és ( 2 ) szerint mondható, hogy a v vektor b irányú, de már nem egységvektor. A fentiekhez hasonlóan belátható, hogy általában: v = s, c a b v2 a b s 2 c, v3 b c s 3 a, ahol s, s 2, s 3 : skalár szorzók. Mi itt most szögek közötti kapcsolatok felállításával foglalkozunk. Mivel a gömb - háromszögek szögeivel kapcsolatos vizsgálatokban a gömb(ök) sugara lényegtelen, így a továbbiakban csak az egységsugarú gömb és az adott vektor egyenesének döféspontja érdekel minket, az egyenesek vektorának hossza már nem [ 3 ]. Ezek szerint elegendő foglalkoznunk a ( 6 ) és ( 3 ) szerinti c a b a b b c c a,,, ( 3 ) ( V ) lásd a 8. ábrát is! és a p, p 2, p 3 újabb skalárokkal felírt v = p, c a b b v2 a b p 2 c = c, v3 b c p 3 a = a ( V2 ) vektorhármasokkal.
7 Rendezzük el ezeket a könnyebb áttekinthetőség érdekében így: a b c, a b c, b c a, b c a,, c a b c a = b. ( V ) Az eddigieket így értelmezhetjük: ~ az ( a, b, c ) vektorhármas az egységsugarú gömbön meghatározza az ABC gömb - háromszöget; ~ az ABC gömbháromszög oldalsíkjaira merőleges ( a, b, c ) vektorok ugyanezen a gömbön meghatározzák az A B C polárgömbháromszöget; ~ az A B C polárgömbháromszög oldalsíkjaira merőleges ( a, b, c ) vektorok ugyanezen a gömbön meghatározzák az ABC polár - polárgömbháromszöget; ~ következtetés [ ] : a gömbháromszög a saját polárgömbháromszögének a polárgömbháromszöge. Már közel vagyunk a megoldáshoz. Ehhez azonban még meg kell határozni az eredeti és a polárgömbháromszög megfelelő oldalai és szögei közötti összefüggéseket; ezért vegyük elő ismét a 4. ábrát, majd szemléljük a gömböt először például a BO, azután pedig a BO irányból! A látvány és az eredmények az 5. ábra szerintiek. 5. ábra Itt Sa, Sc: az eredeti gömbháromszög oldalsíkjai, illetve Sa, Sc : a polárgömb - háromszög oldalsíkjai, élből, azaz a b, illetve a b vektorral szembenézve.
8 Ugyanez a vizsgálat a többi csúcsnál is elvégezhető; az eredmények [ ] : a b c, a b c. ( 4 ) Most alkalmazzuk az A B C polárgömbháromszögre az oldalra vonatkozó, ( 5 ) szerinti koszinusz-tételt! Ekkor kapjuk, hogy cos c cos a cos b sin a sin b cos ; ( 5 ) ámde ( 4 ) - ből c, a, b, c, ( 6 ) így ( 5 ) és ( 6 ) - tal: cos cos cos sin sin cos c; ( 7 ) most alkalmazzuk a cos x cos x, sin x sin x ismert azonosságokat, így ( 6 ) és ( 7 ) - tel: c cos cos cos sin sin cos, cos cos cos sin sincos c, innen pedig a végeredmény: ( 7 ) cos cos cos sin sin cos c. ( 8 ) Végül (! ) és ( 8 ) összehasonlításából adódik, hogy a keresett összefüggést igazoltuk, illetve levezettük. Megjegyzések: M. Ezt a dolgozatot a [ 2 ] munkára alapozva indítottuk. Ezt az ott választott szellemes, és az [ ] - ben közöltnél egyszerűbbnek látszó út indokolta.
9 Azonban el kellett hagynunk, mert éppen ellenkező pólus - felvétellel dolgozott 6. ábra, ami erősen rontotta a szemléletességet, így az áttekinthetőséget is 7. ábra. 6. ábra A 6. ábrán az a helyzet, hogy a két pólus közül azt választották, amelyet a gömb - háromszög - oldal síkja elválaszt a gömbháromszögtől. 7. ábra A 7. ábrán a polárgömbháromszöget hátulról látjuk, ami nem túl előnyös felvétel.
0 M2. A magyar szakirodalom nem teremt kellemes helyzetet, módszertanilag, a témá - val ismerkedők számára. Több, általunk látott helyen is problémás, nem könnyen emészthető módokon tálalják az ismereteket, gyakran kellemetlen ábrákkal illusztrál - va. Több helyen a szemléltetést hanyagolják is. Ezért is döntöttünk úgy, hogy egy egész HD - t szentelünk a témának. Főleg, ha valaki komolyan veszi, hogy utánajár a bevezetésben is említett korábbi dolgozatban hivatkozott (! ) képletnek. M3. A ( 0 ) - nél hivatkozott, a többszörös vektorszorzatokra vonatkozó kifejtési tétel általában így fest ld. pl.: [ ], [ 3 ], [ 4 ], ahol a levezetést részletezik! : a b c d a bd c a b c d ; ( 9 ) most sorrendcserével: a b d c a bd c a b c d ; ( 20 ) majd a d b ( 2 ) helyettesítéssel, ( 20 ) és ( 2 ) - gyel: 0 abc b, a b b c a b b c a b c b tehát:, a b b c abc b ( 22 ) egyezésben ( 0 ) - zel. M4. Lássuk be: meglehetősen furfangos úton jutottunk el a megoldáshoz! A nagy ötlet: a polárgömbháromszög bevezetése. Vajon kié a múlhatatlan érdem? Kis keresgélés után találtuk az [ 5 ] munkát, ahol Vieta nevére bukkantunk. Róla ld.: http://hu.wikipedia.org/wiki/fran%c3%a7ois_vi%c3%a8te! M5. A gömbi trigonometria alapfogalmairól és tételeiről olvashat még az érdeklődő a [ 6 ], [ 7 ] munkákban is. M6. Itt olyan, ún. Euler - féle gömbháromszögekkel foglalkoztunk, melyeknek oldalai π - nél kisebbek [ 8 ]. M7. Egy egész jó, további szemléltető ábrát találtunk az interneten, a gömbhárom - szögre és a poláris gömbháromszögre 8. ábra. Forrása: http://ttmk.nyme.hu/mtmi/documents/vektorok%20%c3%a9s%20g%c3%b6mbi%2 0geometria%20v%C3%A9gs%C5%9.pdf Kár, hogy a képfelbontás nem elég nagy.
8. ábra Irodalom: [ ] Hajós György: Bevezetés a geometriába 6. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 979. [ 2 ] Hans Walser: Sphaerische Trigonometrie. Berechnungen http://e-collection.library.ethz.ch/eserv/eth:25629/eth-25629-07.pdf [ 3 ] Jánossy Lajos ~ Tasnádi Péter: Vektorszámítás I.: Vektor - és tenzoralgebra Tankönyvkiadó, Budapest, 980. [ 4 ] Hoffmann Pál: Kábelipari Kézikönyv I /. PRODINFORM, Budapest, 983. [ 5 ] Heiko Schröder: Sphaerische Geometrie http://home.foni.net/~heikos/data/sphaerik.pdf
2 [ 6 ] Obádovics J. Gyula: Matematika 5. kiadás, SCOLAR Kiadó, Budapest, 998. [ 7 ] Pelle Béla: Geometria Tankönyvkiadó, Budapest, 979. [ 8 ] Szász Pál: Bevezetés a Bolyai ~ Lobacsevszkij - féle geometriába Akadémiai Kiadó, Budapest, 973. Sződliget, 202. június 9. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár