8 Statisztika, valószínûség-számítás Eseményalgebra a),,, ; b), ; c) ; d),, A következô számokat csak a kétjegyû természetes számok közt keressük a) A szám vagy páratlan, vagy osztható -tal b) A szám -mal osztható, de nem osztható -tal c) A szám osztható -tal d) A szám páratlan, de nem osztható -mal e) ehetetlen esemény (incs olyan szám, ami páratlan, de -gyel osztható) f) A szám osztható -gyel g) A szám osztható -vel, de -gyel nem h) A -vel osztható számok közül a párosak, tehát minden -vel osztható szám a) A + A + A ; b) A + A ; c) A + A + A + A ; d) A ; e) A + A ; f) A + A ; g) A + A + A ; h) A + A + A ; i) A + A + A + A 7 a) áros, -tel nem osztható számok: a A - B; -re végzôdô kétjegyû számok: b B - A; 0-ra végzôdô kétjegyû számok: c A B; páratlan, -tel nem osztható számok: d H - (A + B) b) Azok a kétjegyû számok, amik -re, -re, -ra, 8-ra vagy -re végzôdnek, tehát : a + b A + B - A B c) A B 8 a) -t, -et, -öt vagy -ot dobtunk; b) -et vagy -ot dobtunk; c) -t dobtunk; d) -et, -at vagy -öt dobtunk; e) -et vagy -ot dobtunk; f) -öt dobtunk
Eseményalgebra 8 9 a) A két lift és a mozgólépcsô közül legalább az egyik mûködik b) A két lift és a mozgólépcsô közül mindegyik mûködik c) A két lift mûködik, és a mozgólépcsô nem d) A két lift és a mozgólépcsô közül pontosan kettô mûködik e) Se az elsô lift, se a mozgólépcsô nem mûködik f) A második lift és a mozgólépcsô közül legalább az egyik nem mûködik 0 a) A selejtszázalék legalább %, de kisebb %-nál b) ehetetlen esemény (A selejtszázalék kisebb %-nál, kivéve a %- nál kisebb eseteket) a) A bal felsô részt; b) a jobb alsó részt; c) a jobb alsó részt; d) bárhova lôhettem a bal alsó részt kivéve (pl tábla mellé is) A tanuló betöltötte a 7 évét, de még nincs 8 éves a) Azt jelenti, hogy vagy matematikából legalább három jeles lesz, vagy a matematikából felmentett tanulók és a matematikából is jelest kapott kitûnô tanulók száma összesen legalább b) Az osztályban legalább kitûnô tanuló van, aki matematikából is jeles a) piros vagy figura, piros figura; b) piros vagy ász, piros ász; c) figura, ász; d) piros vagy figura, piros ász; e) ász; f) piros ász vagy ász ász; g) piros figura; h) piros figura vagy bármilyen ász a) piros vagy zöld vagy hetes (makk v tök); b) piros vagy zöld, de nem hetes; c) lehetetlen esemény; d) hetes, de nem piros vagy zöld (& makk v tök) a) ihúzták a 7-et, és vagy a,, számokat, vagy még a és 8 számokat b) ehetetlen esemény, hiszen az öt szám között kell lennie a, 7,,,, 8 számoknak, de ez hat szám 7 Azokra, amelyekre C a lehetetlen esemény 8 a) egalább az egyik módon fuvaroznak b) Aznap mindkét módon szállítanak árut c) Vagy csak az egyiken fuvaroznak aznap, vagy egyik módon sem d) Ha közúton szállítanak aznap, akkor lehet, hogy vasúton nem, de az is lehet, hogy vasúton sem, ha viszont nincs közúti szállítás, akkor biztosan nincs vasúti sem aznap e) Aznap egyik módon sem szállítanak f) egalább az egyik módon szállítanak aznap
8 Statisztika, valószínûség-számítás Valószínûségek kombinatorikus kiszámítási módja 9 0, 000 0 8! 0 0! 0 0, 0009 8! 8! 70!!!! 0, 000 00 0! 00 A két lap kihúzása visszatevés nélkül -féleképpen történhet Ezek közül kedvezô az, ha mindkét lapot a királyok közül húztuk; Így A két lapot, mivel az elsôként kihúzottat visszatesszük, -féleképpen húzhatjuk ki edvezô ezek közül, ha mindkettô király Ezek száma: Így edvezô eset: a hetes közül hármat -féleképpen tudunk kihúzni Ezek mindegyikéhez negyedik lapként a másik 8 lap bármelyikét húzhatjuk A keresett valószínûség: 8 0,00 a) 0, b) A lap között darab hetes van, tehát /8 0, c) olyan lap van, ami piros vagy hetes, ezért, (amit úgy is megkap- hatunk, hogy (A + B) (A) + (B) - (A B) 0, + 0, - Az elsô lap kihúzásakor a hetes esélye mindkét esetben Annak valószínûsége, hogy másodszor is hetest húzunk az elsô estben ugyanannyi, míg a második esetben, ami kevesebb, mint
Valószínûségek kombinatorikus kiszámítási módja 87 7 8 pontból hármat 8 -féleképpen választhatunk ki Ha egy csúcsot kiválasztottunk, akkor már nem választhatjuk a vele éllel összekapcsolt -at A maradék csúcs közül a pontból induló testátló másik végpontját sem választhatjuk, mert az új pontot zár ki, és nem marad lehetôségünk a harmadik pont kiválasztására Így azt kaptuk, hogy egy pont és a belôle induló lapátlók végpontjai olyan pontnégyest adnak, amibôl kell hármat választani (vagyis egyet kihagyni) Egy él két végpontja két különbözô pontnégyest ad, 8 ezért a kedvezô esetek száma tehát 8 Így 8 7 8 önnyen látható, hogy sem él, sem testátló nem lehet a pont között, ezért a kedvezô esetek számának kiszámítása megegyezik az elôzô feladattal, 8 ezért a végeredmény is, tehát 8 7 9 a) p - ; b), mert a eset közül az a rossz, amikor az elsô és a második kockán is hatos van; c), mert bármit dobtunk is az egyik kockával, azt a számot nem dobhatjuk a másikkal, tehát öt szám kedvezô a hatból; d) Az elsô és a második kockával is négyfélét dobhatunk egymástól függetlenül, tehát p ; 9 Az e), f), g) kérdésekre a választ az alábbi táblázatból olvassuk le: e) p ; f) p ; g) p - dobás 7 8 9 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + db
88 Statisztika, valószínûség-számítás 0 A + B (A - AB) + B Viszont (A - AB)B 0, vagyis egymást kizáró események Ezért valószínûségük összeadható: (A + B) (A - AB) + (B) (A) - (AB) + (B) A második egyenlôségnél azt használtuk ki, hogy (A - AB) + AB A, és itt is kizárja egymást a bal oldali két esemény Az elôzô összefüggés szerint (A B) (A) + (B) - (A + B), és (A + B)#, ezért (AB) 0, Ha a B esemény maga után vonja A-t, tehát A része B-nek, akkor (AB) 0,, és e két határ között bármi lehet l ha A jelenti azt az eseményt, hogy egy véletlenszerûen leejtett pont a [0; ] intervallumon a [0; 0,] intervallumra, míg B jelenti azt az eseményt, hogy egy véletlenszerûen leejtett pont a [0; ] intervallumon a [0; 0,7] intervallumra esik, ekkor (AB) 0, Ha A jelenti azt az eseményt, hogy egy véletlenszerûen leejtett pont a [0; ] intervallumon a [0; 0,] intervallumra, míg B jelenti azt az eseményt, hogy egy véletlenszerûen leejtett pont a [0; ] intervallumon a [0,; ] intervallumra esik, ekkor (AB) 0, (A + B + C) [(A + B) + C] (A + B) + (C) - [(A + B)C] (A) + (B) - (AB) + (C) - (AC + BC) (A) + (B) + (C) - - (A B) - (AC) - (BC) + [(AC)(BC)] De (AC)(BC) ABC, és így a bizonyítandó állítást kaptuk! A lehetséges esetek száma A kedvezô esetek száma (!)! Így (!) Használjuk az 9 feladatnál megadott táblázatot! 0 a) ; b) 0 ; 7 c) ; d) 8, mert az elsô (n - ) számnak bármi is az összege, azt pontosan a következô dobható számok fele egészíti ki párosra és fele páratlanra az elôzô gondolatmenet alapján 7 a) önnyebb a komplementer esemény valószínûségét meghatározni Annak valószínûsége, hogy egyszer sem dobunk -ost, tehát annak valószínûsége, hogy legalább egyszer dobunk -ost p -
Valószínûségek kombinatorikus kiszámítási módja 89 b) Annak valószínûsége, hogy egyszer sem dobunk sem -est, sem -ost, tehát annak valószínûsége, hogy legalább egyszer dobunk -est vagy -ost p - c) Ez azt jelenti, hogy elôtte négyszer nem -ost dobtunk, és az ötödikre -ost Ennek valószínûsége 8 a) p, pl leszámolva a példa megoldásánál megadott táblázatban b) Mivel (A + B) (A) + (B) - (AB), ezért (A + B) + - -, de ezt is le lehet számolni a táblázatban (A páratlan összeghez azt az esetet kell hozzávenni, amikor az összeg páros, de valamelyik kockán -os van) c) Mint a b) kérdésnél leszámolható, hogy + - d) Annak valószínûsége, hogy nincs hatos és az összeg páros 9 a) b) Ez azt jelenti, hogy az elsô tippet eltaláltuk, ennek esélye, és az utolsót elhibáztuk, ennek valószínûsége A keresett valószínûsége e kettô szorzata, azaz c) Ez annyiban különbözik az elôzô példától, hogy a meccsbôl bármelyiket elhibázhattuk, ezért a keresett valószínûség 0 0 ember egy padra 0!-féleképpen tud leülni Ezek közül kedvezôk azok az elhelyezkedések, amikor A és B egymás mellett ül Az elhelyezkedések összeszámolásánál AB-t tekintsük egy elemnek Így 9!-féléképpen foglalhatnak helyet De AB helycseréje az így kapott elhelyezkedések számát megkétszerezi 9! Így 0! Az elôzô feladathoz hasonlóan járunk el Így a keresett valószínûség: 8! 0!
90 Statisztika, valószínûség-számítás A -es feladat megoldásakor alkalmazott gondolatmenetet követve ( n - )! kapjuk, hogy n! ( n - )! ( n - )! Az elôzô feladat megoldásához hasonlóan a- b b a) a ; b) a b b A lehetséges esetek száma 8 A kedvezô eseteket az jelenti, ha óra alatt megtaláljuk azt az egyetlen beállítást Ez 0 0 esetig lehet jó Így 0 0 8 A lehetséges esetek száma 0 A kedvezô eseteket az elôzô feladat megoldásában használt gondolatmenettel kapjuk: 0 0 0 0 Így 0 7 A : arányú döntetlen eredmény csak úgy következhet be, ha mindketten három játszmát megnyertek, s hármat elvesztettek; mindketten két-két játszmát nyertek, és két játszma döntetlen; mindketten egy-egy játszmát nyertek, és négy játszma döntetlen és végül ha mind a hat játszma döntetlenül végzôdött A valószínûségek rendre:!!! 7 8 ;!!!! 7 8 ;!! 7 8 ; A keresett valószínûséget, mivel ezek páronként egymást kizáró események, az így kapott valószínûségek összege adja; azaz + + + +
Valószínûségek kombinatorikus kiszámítási módja 9 8 egyen a fiú nyerésének valószínûsége Apa ellen a, apa ellen p (p > a), s számoljuk ki mindkét esetben a fiú számára sikeres mérkôzéssorozat valószínûségét Az Apa-apa-Apa mérkôzések esetén vagy az elsô két mérkôzést kell megnyernie (ennek valószínûsége ap), vagy az utolsó kettôt (pa) étszer számoltuk azt az esetet, amikor mind a három mérkôzést megnyeri, így a keresett valószínûség ap - a p Hasonlóan számolva a apa-apa-apa sorozatot, a valószínûség ap - p a Összehasonlítva a két értéket, kedvezôbb az Apa-apa-Apa sorozat 9 Az összes szabályos utak száma, hiszen lépésbôl kell a lefelé lépést kiválasztani Azoknak az utaknak a száma, amelyek áthaladnak a (; ) mezôn, mert elôször el kell érni a mezôt, ez -féleképpen tehetô meg, azután arról a mezôrôl indulva kell eljutni a G pontba, ez -féleképpen tehetô meg A kérdezett valószínûség tehát 70 a) 0, ; 7 b) + 7 p p 7 p p 7 Az öttel való oszthatóság feltétele, hogy az utolsó dobás ötös legyen Ennek valószínûsége p 7 Akármi is az elsô dobás, kétféle második dobott szám esetén lesz -mal osztható a kétjegyû szám Annak valószínûsége, hogy pont az a kettô közül dobjuk az egyiket, p 7 Egyenlô, lásd 9 feladat táblázata 7 Egyenlô, lásd 9 feladat táblázata 77 Öt páratlan szám összege páratlan szám A keresett valószínûség 78 A -, 0, számok dobása egyenlôen valószínû Ezért vizsgálhatjuk a számból képezett rendezett számötösöket A dobott számok összege akkor, és
9 Statisztika, valószínûség-számítás csak akkor páros szám, ha a dobott számok között páratlan számú 0 szerepel Azoknak a rendezett számötösöknek a száma, amelyekben a 0 egyszer, háromszor, illetve ötször szerepel rendre,, A keresett valószínûség + + 8 79 0 80 Az elsô fiút -féleképpen választhatjuk ki, azután egy lány következik, akit szintén -féleképpen választhatunk ki, azután a fiú közül választunk egyet, stb A sor azonban indulhat lánnyal is, ezért -vel kell szorozni, tehát p 0! 8 0, 8, mert bármelyik játékosnál lehet az összes zöld 8 0 8 0, 0 8 7 8 p 90 7 8 p 90
8 p 90, ha a határokat is megengedjük 87 90 0 9 88 Ez azt jelenti, hogy az utolsó 0-bôl -at, és az elsô 0 számból húztunk -t, vagy az utolsó 0-bôl -et, és az elsô 0 számból húztunk -et, vagy minden szám az utolsó 0 közül való Ezért a keresett valószínûség: 90 0 0 0 0 0 + + 89! 90 a) 90 ; b) 90 8 ; c) 90 8 9 8 9 9 Ez komplementer eseménye annak, hogy mind a négy ászt kihúztuk, ezért p 8 9-9 a), 0 0 0 7 Valószínûségek kombinatorikus kiszámítási módja 9
9 Statisztika, valószínûség-számítás 0 b) 0, o 9 9 Ez az elôzô feladatbeli esemény komplementer eseményének valószínûségét kérdezi, tehát a) p 0,; b) p 9 9 Ha nincs mind a három színbôl, akkor két színbôl kivettük az összes golyót, egybôl bennmaradt mind Ezt 9 -féleképpen lehet megtenni A 8 7 komplementer esemény (hogy van mindhárom színbôl) valószínûsége p 9 0, 8 97 Itt is elôször a komplementer esemény valószínûségét számoljuk ki Annak valószínûsége, hogy nem tudjuk meggyújtani, 0,9, ezért a tábortüzet - 0,9 eséllyel meg lehet gyújtani 98 Ez a valószínûség nem függ attól, hányszor próbálkoztunk már, tehát 0 ennek valószínûsége 99 Az elsô esemény valószínûsége - 0, 77, míg a másodiké - 0, 9, tehát az elsô valószínûbb 00 0,9 0 0,, tehát bármilyen kicsi is az ellenôrrel való találkozás esélye, valószínûbb, hogy éter lebukik, mint az, hogy megússza büntetés nélkül 000 0 Ahhoz, hogy ne fedezze, legalább 0-szor kell sikeresen bliccelni Ennek valószínûsége 0,9 0 0,, tehát %-os valószínûséggel fedezi 0 a bírság a blicceléssel okozott kárt 0 80 9 olyan számötös van, amiben a legnagyobb és legkisebb szám különbsége 0 Ezek közül egy esetben ötösöm, 9 esetben négyesem van, ezért 0 a keresett valószínûség p 80 9 (Azért 9 eset, mert lehet, hogy a,, 7 számok közül nem találtam el egyet, és akkor a,,, 8, 9, 0 számok közül húzták ki valamelyiket, ez 8 eset, de az is lehet, hogy a,, 7,, számokat húzták)
Valószínûségek kombinatorikus kiszámítási módja 9 n 0 Annak valószínûsége, hogy n pénzdarabot feldobva van fej -, n így a következô egyenlôtlenséget kell megoldani: - > 09,, ahonnan n adódik 0 Az állítás ugyanazt jelenti, mint hogy legfeljebb 0, valószínûséggel n nincs egyetlen hatos sem Ennek valószínûsége p < 0, Az egyenlet reciprokát véve (fordul az egyenlôtlenség iránya!), majd logaritmussal számolva, a logaritmus azonosságait használva a következô adódik: n > ; n_ lg - lg i > lg ; lg n > 7, _ lg - lg i Tehát legalább 8 kockát kell feldobni Megjegyzés: Az is jó megoldás, ha az -ot addig hatványozom, amíg a hatványérték 0,-nél kisebb lesz 0 elölje S n az n véletlenszerûen kiválasztott villanykörte között a selejtesek számát! Ekkor a következôket keressük: a ) _ S0 i; b ) _ S0 i; c) legalább mekkora n, ha _ S0 i 0, 99 A villanykörtéket egymás után, egyesével is kiválaszthatjuk, és minden lépésben 0,08 valószínûséggel selejtes körtét húzunk, 0,9 valószínûséggel jót A húzások függetlenek, így n k n- k _ Sn ki 008, 09, k tetszôleges 0 # k # n esetén Így azonnal adódik a b) kérdésre a válasz: n 0; k helyettesítéssel (S 0 ) 0, Az a) kérdésre megkapjuk a választ, ha figyelembe vesszük, hogy csak akkor nincs legalább két selejtes, ha a kiválasztott 0 körte között csak egy selejt van, vagy egyáltalán nem találtunk selejtet Így 0 0-0 _ S0 i - _ S0 i- _ S0 0i - 008, 09, -09, 088,
9 Statisztika, valószínûség-számítás A c) kérdés megválaszolásához azt kell kiszámolni, hogy milyen n-re lesz annak valószínûsége, hogy nem húzunk selejtest 0,0-nál kisebb (Ennek ellentett eseménye, hogy lesz selejt) n S ( n ) -0, 9 > 0, 99; lg 00, n 09, < 00, + n >,, lg 09, Tehát legalább villanykörtét kell megvizsgálni ahhoz, hogy annak valószínûsége, hogy van köztük selejtes körte, legalább 0,99 legyen 0 egnagyobb valószínûséggel hibás lesz közöttük, ennek valószínûsége p 00 9 00, 099, 07, 07 Számítsuk ki annak valószínûségét, hogy minden tételsorból olyat húz, amit tud Ennek komplementerének valószínûségét kérdezik p (mindet tudja) 08, 0,, tehát a kérdezett valószínûség 0,88, közel 0%! 08 Még két számot húznak, és csak akkor nem lesz hármasom, ha az általam játszott 7,, számoktól eltérôt húznak a bennmaradt 87 közül, tehát 8 8 számból választanak Ezért a kérdezett valószínûség: - 0, 08 87 09 nap alatt tehát 0-szer próbálkozhatok Az összes lehetôséget kell még kiszámolni Itt két eset van Ha az elsô számjegy nem, akkor ott 8-féle számjegy állhat, és a három megmaradt helybôl kettôn áll, a harmadikon pedig a hármas kivételével bármi, és ezek -féle sorrendben lehetnek Ebben az esetben tehát 8 9 lehetôség van Ha az elsô számjegy a hármas, akkor még egy hármas mellett két helyre tehetek 9-féle számot, és ezt -féleképpen állíthatom sorba Ezért itt az esetek száma 9 9 Az összes esetek 0 száma tehát 9, a keresett valószínûség pedig 0, 089 9 0 A pontos valószínûség (érvényes szavazás) k p k p - k! _ - i k p? + Ennek nagyságát és p ismeretében lehet becsülni darab babás lap van, közöttük darab piros Így ha p-vel jelöljük a kihúzott piros lapok számát, akkor a hipergeometriai eloszlás formulája szerint 0 # k # esetén k - k p ( k)
Valószínûségek kombinatorikus kiszámítási módja 97 Ezt felhasználva _ p i - _ p i- _ p 0i - - 0, 07 Az egyenlô esélybôl következik, hogy a fiúk és lányok aránya is / kell legyen Aladár nyerési esélye pa 0, 070 Ahhoz, hogy Barnabás nyerjen, kétszer kell ugyanannyiadikra kijönnie a hatosnak Ennek valószínûsége: pb!! i i i - - - i i - 009, Tehát Barnabás nyerési esélye nagyobb Az elsô szám 80-féle lehet Ez meghatározza az utolsó számot is A közte lévô hármat az e két szám között levô 9 közül kell kiválasztani, tehát 80 9 p 90 Ez azt jelenti, hogy ha i-edikre dobunk elôször -ost, akkor addig se -ot, se -et nem dobtunk A keresett valószínûség tehát : i- p! i - A feladatot a teljes valószínûség tételével oldjuk meg Válasszuk szét aszerint a dobásokat, hogy hány egyformát dobtunk elsôre Annak valószínûsége, hogy az elsô dobásunkra három különbözô szám jött ki,, 9 annak, hogy három egyforma jött ki, tehát annak esélye, hogy két egyforma van - - Most számoljuk ki, mekkora valószínûséggel 9 dobjuk ugyanazt! Ha három különbözô szám volt, most is ugyanazoknak a számoknak kell kijönniük, de ezt megtehetik -féle sorrendben Ha két különbözô
98 Statisztika, valószínûség-számítás szám volt, ezt csak -féle sorrendben lehet megkapni, míg az utolsó esetben egyetlen lehetôség jó A teljes valószínûség tétele szerint a kérdéses valószínûség tehát: + + 0, 0 9 7 áratlan számú golyó húzásának nagyobb a valószínûsége; határozzuk meg pl a páros számú golyó húzásának valószínûségét Az összes eset száma n - (nem számoljuk azt az esetet, amikor egyetlen golyót sem húzunk ki; egyébként minden golyót vagy kihúzunk, vagy nem) áros számú golyót n n n + + + -féleképpen húzhatunk ki, ami ( n- - )-gyel egyenlô (Az összeghez hozzáadva n n- 0 -t, - n- -t kapunk) A keresett valószínûség, s n - ez kisebb, mint 8 Az összeadási és szorzási szabályt alkalmazhatjuk Így a három esetben rendre ; ; valószínûségeket 8 7 8 kapunk, a sajt megtalálásának valószínûsége ezek összege, 7 9 0, 0, 0, + 0, 0, + 0, 0, 0, 0, 0 A találkozás a négyzet átlója mentén történhet Fentrôl lefelé haladva rendre,,,, út vezet mindkét oldalról a találkozási pontokba, így a kedvezô esetek száma + + + + 70 Mivel az elsô négy lépést a macska is és az egér is tetszôlegesen választhatja ki két irány közül, mindketten -féle utat tehetnek meg Az összes eset száma tehát 8, a keresett 70 valószínûség 0,7 a) Az eredmény nyilván b) A három egyenlô részre osztott pálca középsô harmadába nem eshet a töréspont A keresett valószínûség A valószínûség megegyezik a jó terület és a négyzet területének arányával Azok a pontok, amik közelebb vannak a középponthoz, mint valamelyik csúcshoz, egy olyan négyzet belsejében vannak, amelynek csúcsai a négyzet oldalfelezôpontjai Ennek területe fele a négyzetének, tehát a keresett valószínûség A megoldást az x + y> tartomány adja, ami az y -x + fölötti része a négyzetnek, tehát a keresett valószínûség
Valószínûségek kombinatorikus kiszámítási módja 99 egyenek a háromszög oldalai x, y, z; legyen x # y # z és x + y + z Ahhoz, hogy a szakaszokból háromszög keletkezzék, szükséges és elégséges, hogy y + z > x legyen Ebbôl # x # x, y, z, eset, hegyesszögû; x, y, z, eset, derékszögû; x, y, z, eset, hegyesszögû; összesen 0 eset 0 a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) 0 egyenek x, y, z a háromszög oldalai, x + y + z, és legyen x # y # z Szükséges és elégséges feltétel, hogy y + z > x Ebbôl # x # x, y, z, eset, hegyesszögû; x, y, z, eset, tompaszögû; x, y, z, eset, tompaszögû; x, y, z, eset, hegyesszögû; összesen eset 9 a) 0 ; b) 0; c) 0 ; 9 d) 0; e) 0 ; f) 0 Az a), b) és e)-re a válasz: a pontok mindig ellenkezô paritású pontban tartózkodnak, ezért ezek lehetetlen események, s valószínûségük 0 c) Az A csak +, +, +, +, + lépéssorozattal juthat a + -be Ennek valószínûsége Hasonlóan B csak -, -, -, -, - lépéssorozattal juthat el 0-ba; valószínûsége szintén A függetlenség miatt a helycsere bekövetkezésének valószínûsége d) A eljuthat a -, -,, pontba B eljuthat a,,, 8 pontba A feltételeknek megfelelô lépéspárok: (; ), valószínûsége
00 Statisztika, valószínûség-számítás (; ), valószínûsége (; ), valószínûsége A keresett valószínûséget ezek összege adja: + + 7 a) A keresett valószínûség 0 b) c) Csak a +, illetve a + pontban találkozhatnak A a + pontba -, +, +, + permutációival juthat el; B pedig a -, -, -, - sorozattal!!!! Ugyanennyi a valószínûsége a + pontban való találkozásnak is; Így d), e), f): A távolság mindig páros lesz Ezért ez lehetetlen esemény Valószínûsége 0 g) 8! h) 7! 8 8! 7! 8 8 Tekintsük egységnyinek a pálca hosszát, s legyen AQ x, AR y Feleltessük meg a két töréspontot a sík egységnégyzete (x, y) pontjának; az (x, y) pont véletlenszerû kiválasztása ekvivalens a két töréspont megjelölésével ét esetet különböztetünk meg: I eset: Ha x < y, akkor a három szakasz hossza x, y - x, - y Ezekre kell a háromszög-egyenlôtlenségnek teljesülnie, a kapott feltételek: x <, y >, y < x + A ponthalmazoknak megfelelô tartományt az ábrán I-gyel jelöltük 8 II eset: Ha y < x, akkor szerepcserével y <, x >, x < y + A ponthalmazt II-vel jelöltük (8 ábra) Az egyenlôtlenség-rendszernek eleget tevô pontok hal- maza az I és II tartomány, a keresett valószínûség Megjegyzés: A kimaradt x y eset annak felel meg, ha a Q és R töréspont egybeesik Ennek az eseménynek 0 a valószínûsége (bár nem lehetetlen esemény)
Valószínûségek kombinatorikus kiszámítási módja 0 9 A szögeket jelöljük x < y < z-vel, s végezzük el a következô becslést: x x + y 80 - z, ezért x + y < 80 - y, s innen + y < 90 Ezután határozzuk meg az egyes x értékekhez tartozó lehetséges y értékeket: ha x, y {,,, 89 }, 88 lehetôség; ha x, y {,,, 88 }, 8 lehetôség; ha x, y {,,, 88 }, 8 lehetôség; ha x, y {,,, 87 }, 8 lehetôség; ha x 7, y {8, 9, 0, }, lehetôség; ha x 8, y {9, 0 }, lehetôség; ha x 9, y {0 }, lehetôség önnyen bizonyítható a szabályosság: ha x a páratlan (vagy páros) számokon fut, a lehetôségek száma hármasával csökken A lehetôségek számai között a -mal oszthatóak fognak hiányozni, a kedvezô lehetôségek száma tehát ( + + 7 + + 88) + ( + + 8 + + 8) Az összes lehetôség 79, a keresett valószínûség 99 99 0 Az érme helyét egyértelmûen meghatározza a középpontjának helye Az, hogy az érme középpontja adott pontba kerüljön, csak egyféleképpen valósítható meg Ezért ez tekinthetô elemi eseménynek edvezô esetnek tekinthetjük egy négyzet kiválasztása esetén annak a négyzetnek a területét a csempe belsejében, amelynek középpontja az eredetivel azonos, és odalai párhuzamosak az eredetivel, oldalhossza pedig 8 cm A kedvezô és lehetséges területek aránya független attól, hogy hány négyzetet vizsgálunk Ha a lap kiterjedése elég nagy, akkor ezt az arányt a két végén esetleg fellépô töredék négyzetek már nem befolyásolják lényegesen A keresett valószínûség 8 tehát - 0, 078 0 Egybevágó négyzetekkel fedhetjük le a rácsot, a négyzetek oldala a szomszédos drótok tengelyeire esik ( ábra) A négyzet oldala 0 cm, ezeken belülre nyúlik a kerítés drótjából mm Akkor nem fog a kerítésnek ütközni a sörét, ha középpontja ettôl a benyúlástól még legalább mm-rel beljebb esik Tehát az esemény szempontjából a teljes alakzat 0 cm oldalú négyzet, a komplementer esemény kedvezô alakzata pedig egy 9, cm oldalú négyzet Az áthaladási valószínûség 9, 0,8, az ütközési valószínûség tehát 0, 0
0 Statisztika, valószínûség-számítás a) 0,8 0 0,887, vagyis az ütközésmentes áthaladásra még 0% esély sincs b) 0,8 0 0,0 a valószínûség, tehát rendkívül kicsi Megjegyzés: icsit megvizsgálva 0,8 hatványait, meglepô eredményekre jutunk 0,8 0,, tehát már sörét esetén is kb ugyanakkora valószínûséggel történik a sima áthaladás, mint az ütközés Az elôzô megoldás gondolatmenetét alkalmazhatjuk Érkezzék az egyik személy x, a másik y órával 0 óra után (x, y # ), s az érkezésüket feleltessük meg ismét az egységnégyzet (x, y) koordinátájú pontjának Ekkor az x- y # ponthalmaz területét kell meghatároznunk ( ábra) A keresett valószínûség 7 A tábla területe legyen egységnyi (), az alak területe t (t)-vel jelöljük a keresett valószínûséget (t) t ( - t) (t) maximumának helyét kell meghatározni: l(t) [t( - t) - t ( - t) ] t( - t) ( - t), t 0, A kedvezô és lehetséges területek aránya egyenlô egy kis négyzet területének aránya egy nyolcszög és egy kis négyzet területének összegéhez Tehát r ctg + 8 sin α α 0, tg β β l; a+ b - 0, 0 (Az ábra jelölése szerint)
Valószínûségek kombinatorikus kiszámítási módja 0 Más nemzetek érettségi feladataiból 7 A aplace-modellt felhasználva (kedvezô elemi események száma/ összes elemi események száma) számítjuk ki a feladatot Az összes ceruza közül piros vagy fehér + 9, tehát a helyes válasz 9 8 Ha a golyók száma: x (x fehér és x piros), akkor annak a valószínûsége, hogy visszatevés nélkül két pirosat húzunk x xx ( - ) x - (ke t piros) x x( x- ) x - 8 A feladat feltételei szerint ez éppen Ekkor a x - x - egyenlet megoldását keressük Ez x 7 Tehát az urnában x golyó van 9 A golyóknak színük szerint 9 sorrendje lehetséges Ezek egyenlô valószínûségûek A kedvezô esetek összeszámlálásához elôször tegyük le a nem zöldeket Ezek összes sorrendje 8, mivel a 8 hely közül kell azt a -at kiválasztani, ahová pirosat teszünk A zöld golyókat most betehetjük bármelyik nemzöld elé, vagy az utolsó zöld után, tehát összesen 9 helyre 89 8 8 7 A keresett valószínûség tehát: 9, ezért a 0 válasz 9 0 Annak a valószínûsége, hogy sárgát húztunk: p 0 0 0 A kihúzott számok összege pontosan akkor páratlan, ha, vagy páratlan számot húztunk A eredeti számból páratlan és páros A számunkra kedvezô esemény valószínûsége:
0 Statisztika, valószínûség-számítás (az összeg páratlan) (a páratlanok száma, vagy ) ( páratlant húztunk) + ( páratlant húztunk) + ( páratlant húztunk) + + 8 Az, hogy pontosan egy páros lesz a kiválasztott számok között, azt jelenti, hogy egy számot a {;} halmazból választottunk, egyet pedig az {;;} halmazból Ennek valószínûsége: p 0, eséllyel választjuk ki bármelyik dobozt, majd abból az elsô doboz esetében +, 7 7 9 a második doboz esetén + 0 7 7 9 valószínûséggel teljesül a feltétel A keresett valószínûség tehát: 0 + 9 9 9 Ez kétféleképpen lehetséges, vagy elôször húzunk fehéret, és azután feketét - ennek valószínûsége -, vagy fordítva, aminek az esélye ugyanannyi Így a helyes válasz Alkalmazzuk a aplace-modellt! 8 0
Valószínûségek kombinatorikus kiszámítási módja 0 Ezt a feladatot is a aplace-modellt felhasználva oldjuk meg Az összes esetek száma 0 0 edvezôek azok az esetek, amelyekben az elsô két szám közül egyet választunk, kiválasztjuk a -at, majd a maradék négy szám közül még négyet Ezért a keresett valószínûség: 7 0 7 Tudjuk, hogy0 99 minden osztója k l alakba írható, ahol 0 # kl ; # 99 Véletlenszerûen osztót választani annyit tesz, mint egymástól függetlenül választjuk meg k és l értékét a 00 lehetôség közül Egy osztó akkor lesz 0 88 többszöröse, ha k és l értéke egyaránt legalább 88 Ezért 9 _ k 88 es l 88i _ k 88i _ l 88i 00 00 Ez már tovább nem egyszerûsíthetô alak, így a számláló és a nevezô összege 8 Számoljuk elôször ki a kiválasztásának valószínûségét! Ez a feltétel alapján log - log Ennek kétszerese 9 _ log - log i log log Egyszerû behelyettesítéssel kapjuk, hogy pl a b) lehetôség valószínûsége log log, míg a c) esetben 7 8 9 9 log log 7 8 adódik Az elsô két esetben és a negyedikben ennél kisebb, az utolsóban ennél nagyobb érték adódik Tehát a helyes válasz a c)