Critical mix 5. példa oxigén égh. anyag ég-e nincs nincs van nincs nincs van van van van égh. anyag nincs Effect Estimates; **(-) design DV: ég-e Factor Effect Coeff. Mean/Interc. ()oxigén ()égh. anyag by.5.5.5.5.5.5.5.5 nincs oxigén van Y ˆ =.5 +.5x +.5x +. 5x ox égh ox x égh 9 oxigén égh. anyag ég-e nincs nincs van nincs nincs van van van >. <. <.9 <.7 <.5 <. <. < -. Effect Estimates; **(-) design DV: ég-e Factor Effect Coeff. Mean/Interc. ()oxigén ()égh. anyag by.5.5.5.5.5.5.5.5 Y ˆ =.5 +.5x +.5x +. 5x ox égh ox x égh 9
van égh. anyag...8 nincs nincs oxigén van ég-e.6... -. nincs oxigén van égh. anyag nincs égh. anyag van furcsa kölcsönhatás-ábra 9 >. <. <.9 <.7 <.5 <. <. < -. 95
6. példa Critical mix: szuperkritikus extrakció 5 6 7 8 9 Pressure [MPa] Temperature [ C] Organic solvent conc. [mg/ml] Yield [%] 5 Diastereomeric excess [%] 6 5 66 79.6 6. 6 5 66 75.8 58. 6 5 66 78.98 59.6 55 99 8.68 6. 5 95.. 5 99 8.65 6. 55 9.8. 5 9.9 8. 55.67 8. 5 99 7.5 66.8 55 99 9.68. 96 Factor Mean/Interc. Curvatr. ()Pressure [MPa] ()Temperature [ C] ()Organic solvent conc. [mg/ml] by by by ** Effect Estimates; R-sqr=.9996; Adj:.9986 **(-) design; MS Residual=.89 DV: Diastereomeric excess [%] Effect Std.Err. t() p Coeff..875.7 8.5.6.875.78.7976 5.67.5 6.9 7.75.668.5.58.875 -.85.668-5.686.78 -.95.5.668 6.68.57 5.575.55.668.7.88.75 6.5.668 9.5.9.75-8.5.668 -.6.6 -.5 7.5.668.698.86.575 97
Pareto Chart of Effects; Variable: Diastereomeric excess [%] **(-) design; MS Residual=.89 DV: Diastereomeric excess [%] Curvatr..78 ()Pressure [MPa] 7.75 ()Temperature [ C] -.85 by.55 ()Organic solvent conc. [mg/ml].5 by -8.5 ** 7.5 by 6.5 5 5 5 5 Effect Estimate (Absolute Value) 98. Probability Plot; Var.:Diastereomeric excess [%]; R-sqr=.9996; Adj:.9986 **(-) design; MS Residual=.89 DV: Diastereomeric excess [%] Expected Half-Normal Values (Half-Normal Plot).5..5. Curvatr. ()Temperature [ C] by.95 ()Pressure [MPa ()Organic solvent conc. [mg/ml].5.5 by **.5 by..5 5 5 5 5 5 - Interactions - Main effects and other effects Standardized Effects (t-values) (Absolute Values).99.85.75.65 99
8 7 Organic solvent conc. [mg/ml]: DV: Diastereomeric excess [%] Organic solvent conc. [mg/ml]: 99 6 Diastereomeric excess [%] 5 MPa MPa 5 55 Temeprature [ C] 5 55 Temeprature [ C] Ha tudnánk felületet rajzolni, látnánk! 7. példa Hellstrand (989), idézi Box, Hunter, Hunter, nd ed. p. 9 Csapágy kopása (O: Osculation, H: hőkezelés típusa, C: tartó típusa) Hellstrand.sta Effect Estimates; Var.:y; R-sqr=. (Hellstrand.sta) **(-) design DV: y Factor Effect Coeff. Mean/Interc. ()O ()H ()C by by by **.5.5 -.5 -.75 -. -...5 -.9 -.95 -. -.55.5.75.5.55 Standard Design: **(-) design Run O H C y - -. 5.9 - - -. 6 -..9 8.. 7 -. 5. - -..8 5 - -. 6. -..8
. Probability Plot; Var.:y; R-sqr=. **(-) design DV: y Expected Half-Normal Values (Half-Normal Plot).5..5. by.5.5 ** ()C.5 by..5 -.5..5..5..5 by - Interactions - Main effects and other effects Effects (Absolute Values) ()H ()O.99.95.85.65 Expected Normal Value..5..5..5. -.5 by ()H Probability Plot; Var.:y; R-sqr=. by **(-) design DV: y by ()C ** -. ()O.5 Normal Probability Plot of y -.5 Hellstrand.5v*8c -... -.5.5 -. -.5 -. -.5 -. -.5..5..5 - Interactions. - Main effects and other effects Effects.5 Expected Normal Value. -.5 -..99.95.75.55.5 -.5 -. 5 6 7 Observed Value
. 5..9 6..8.8 5.9 8. példa: Al-öntvény készítése, 5- terv (hibás pont és critical mix) M.J. Anderson, P. J. Whitcomb: Using Graphical Diagnostics to Deal With Bad Data, Quality Engineering, 9:, 8, az eredeti: DeVowe, D. (99). Diecaster achieves zero-defect parts. Quality in Manufacturing, March/April. std A: Hot oil B: Trip C: Metal D: Fast E: Dwell Defects trafdef order temp ( F) (mm) temp ( F) shot (mm) time (sec) fraction 5 9 6.6 5.5.. 5 9 6.6.5.98 9.97 5 6.6.5.6.97 5 6.6 5.5..89 5 5 9.6.5. 6 5 9.6 5.5.9 79.5 7 5.6 5.5.8 5.5 8 5.6.5.. 9 5 9 6..5..8 5 9 6. 5.5.6.6 5 6. 5.5.8.9 5 6..5..5 5 9. 5.5. 6.9 5 9..5.6 5.75 5 5..5..8 6 5. 5.5.8.9 5
. Probability Plot; Var.:trafdef; R-sqr=. **(5-) design DV: trafdef: =ArcSin(Sqrt(v7))*/Pi Expected Half-Normal Values (Half-Normal Plot).5. ()D: Fast shot (mm) by.5 ()B: Trip (mm).85 by5 by5. by by5.65 by by.5.5 by by5 by ()C: Metal temp ( F) (5)E: Dwell time (sec) ()A: Hot oil temp ( F).5..5-5 5 5 5 - Interactions - Main effects and other effects Effects (Absolute Values).99.95 6 ()D: Fast shot (mm) by ()B: Trip (mm) by5 by5 by5 by by by by5 by by ()C: Metal temp ( F) (5)E: Dwell time (sec) ()A: Hot oil temp ( F) Pareto Chart of Effects; Variable: trafdef **(5-) design DV: trafdef: =ArcSin(Sqrt(v7))*/Pi -6.95 5.8979.895.6975 -.8997-8.685-8. 7.85657-5.59-5.6559.85 -.658.556 -.86.886 5 5 5 Effect Estimate (Absolute Value) Semmi nem szignifikáns, de gyanús, nem így kellene kinéznie! 7
Factor ()A: Hot oil temp ( F) ()B: Trip (mm) ()C: Metal temp ( F) ()D: Fast shot (mm) (5)E: Dwell time (sec) by by by by 5 by by by 5 by by 5 by 5 Confounding of Effects Alias **5 **5 **5 ** **5 **5 ** **5 ** ** Effect Estimates; Var.:trafdef; R-sqr=. **(5-) design DV: trafdef: =ArcSin(Sqrt(v7))*/Pi Factor Effect Coeff. Mean/Interc. ()A: Hot oil temp ( F) ()B: Trip (mm) ()C: Metal temp ( F) ()D: Fast shot (mm) (5)E: Dwell time (sec) by by by by 5 by by by 5 by by 5 by 5.59.59.56.76-6.95-8.76.85.8 -.86 -.5 -.66 -.58-5.59 -.77 -.8997-5.999-8. -.7.895 6.95-8.68 -..88.59.698 6.89-5.656 -.68 7.857.97 5.898 7.959 Ugyan semmi nem szignifikáns (tehát a vízszintes sík is jó lenne), de illesszünk modellt a legnagyobb hatásokra (B, D, BD)! 8 Reziduumok a B, D, BD modellre: Residuals vs. Case Numbers **(5-) design; MS Residual=5.79 DV: trafdef: =ArcSin(Sqrt(v7))*/Pi Raw Residuals - - - - -5-6 6 8 6 8 Case Number kiugró pont Van elég kísérlet ahhoz, hogy a redukált modellel diagnosztizáljuk. 9
A nyomozás eredményeképpen elhagyták a kiugró pontot: 5 6 7 8 9 Redundant Effects (Anderson_Whitcomb) These effects are linear combinations of other effects and cannot be estimated Exclude cases: Effect *5 ** ** **5 ** **5 **5 ** **5 **5 **5 Effect Estimates; Var.:trafdef; R-sqr=. 5 factors at two levels DV: trafdef: =ArcSin(Sqrt(v7))*/Pi Exclude cases: Factor Effect Coeff. Mean/Interc. ()A: Hot oil temp ( F) ()B: Trip (mm) ()C: Metal temp ( F) ()D: Fast shot (mm) (5)E: Dwell time (sec) by by by by 5 by by by 5 by by 5 5.85 5.85 -.69-7.86 -.987-5.995 -.68-5.8-8.978-9.89.775 6.8876.79 5.89.99.996 7.688.8 -. -.6 7.6.67 7.8 8.5 -.8 -..66 5. -8.7 -.86 Raw Residuals Predicted vs. Residual Values 5 factors at two levels; MS Residual=98.6 DV: trafdef: =ArcSin(Sqrt(v7))*/Pi Exclude cases: 5 5 5 5-5 - -5 - -5 5 6 7 8 Predicted Values
Expected Half-Normal Values (Half-Normal Plot)..5. Probability Plot; Var.:trafdef; R-sqr=. 5 factors at two levels DV: trafdef: =ArcSin(Sqrt(v7))*/Pi Exclude cases: ()D: Fast shot (mm).95 by.5 ()B: Trip (mm).85 ()A: Hot oil temp ( F). (5)E: Dwell time (sec) ()C: Metal temp ( F).65 by by5 by.5.5 by by by.5 by5 by5..5-5 5 5 5 5 5 - Interactions - Main effects and other effects Effects (Absolute Values).99 Plot of Marginal Means and Conf. Limits (95.%) DV: trafdef: =ArcSin(Sqrt(v7))*/Pi Design: 5 factors at two levels NOTE: Std.Errs. for means computed from MS Error=98.6 Exclude cases: furcsa kölcsönhatásábra 8 trafdef 6-9.. B: Trip (mm) D: Fast shot (mm).6 D: Fast shot (mm). A B=9 mm, D=.6 mm kombináció critical mix, kerülendő. Kiugró pont és critical mix
Alternatív optimalizálási módszer x L R M N x x 6 5 8 9. 5 6 97.6 9. hőm. C 8 8.8 6-5.58 tervpontok lépésterv 8 65 7 75 8 85 9 95 idő, min x - 5
Az optimum megközelítése szimplex módszerrel 6 Több faktorra is általánosítható n-dimenziós szimplex: n+ csúcsot tartalmazó konvex poliéder Ha egy csúcs n+ lépés után is megőrzi helyét, a szimplex forog: az optimum közelében vagyunk hiba miatt kiugró kísérleti érték új kísérlet zsugorítás 7
i x x x x j x n- x n -r -r -r -r j -r n- -r n r -r -r -r j -r n- -r n r -r -r j -r n- -r n : : : : : : : j+ jr j -r n- -r n : : : : : : : n (n-)r n- -r n n+ nr n r j = j ( j + ) 8 a tükrözéssel kapott új pont: x uj m = + + n = n λ xi λ + i + λ x n m 9
. példa J. Holderith, T. Tóth, A. Váradi: Minimizing the time for gas chromatographic analysis. Search for optimal operational parameters by a simplex method. J. Chromatograph. 9, 5- (976) A feladat a gázkromatográfiás elválasztás egyes beállítható paramétereinek változtatásával a kromatogram felvételéhez szükséges idő minimalizálása. Csak olyan beállításokat fogadtak el, amelyekkel a csúcsfelbontás még elfogadható. A faktorok a következők:. a vivőgáz áramlási sebessége, amelyet közvetve, egy U csöves manométerrel mértek, vagyis a vizsgált faktor: p, torr (torr=. Pa);. a programozott fűtés kezdeti hőmérséklete, t, o C;. a lineáris hőmérsékletprogram meredeksége, t, amely o C/min és o C/min határok között o C/min fokozatonként állítható be, vagyis csak e diszkrét értékei értelmezhetők. Az elfogadható csúcsfölbontás azt jelenti, hogy a legkisebb relatív retenciójú (egymástól a legnehezebben elválasztható) komponenspárok, az adott esetben a meta- és para-xilol, ill. az,,5-trimetil-benzol és az,,-trimetil-benzol közötti elválasztást jellemző PS érték (resolution).5-nél nagyobb. Mivel a z faktor szintjei csak diszkrét értékek lehetnek, ha a faktornak az új csúcsbeli számított értéke nem volt beállítható, a legközelebbi beállítható értéket vették.
i z z sz z z y PS 5, 6 PS 8, 9 λ szimplex 65 6 6.65.6.58 65 7 6..5.55 kezdeti 5 7 7.7.79.7 5 6 6 5.8.77.78 5 6 7 6. 6.57.76.699.,,, 6 8 65.7 6.7.767.6. 5,,, 7 79 6 8. 8.59.7.6. 6, 5,, 8 9 8 8. 8 8..6.5. 7, 6, 5, 9 7 65 8.7 8 9..66.55. 8, 7, 6, 5 7. 7.5.58.6 *. 8, 9, 7, 6 78 6.7 6 8.6.57.7 *. 6, 8, 9, 7 6 7 7. 6 9.75.66.5. 6, 8, 9, 7 6 8 8.7 8 6.88.5.9 *. 8, 9,, 6 5 7 7. 8 8.85.66.5 -. 8, 9,, 6 5 88 7. 7.98.67.5. 8,, 9, 6 89 9.7 6.7.55.55.7 5, 8,, 9 7 5 89.7 6.7.56.57. 6, 5, 8, 8 86. 6.57.55.555. 7, 6, 5, 8 9 96 5. 5.5. *.577. 7, 8, 6, 5 9.7 6.6.5.55. 7, 8, 6, 5 78 89.7 5.88.57.55., 7, 8, 6 5 9. 5.77.8 *.5.,, 7, 8 958 9 5. 6 5.8.56.5. 8,,, 7 5 9. 5.9.5.5.,,, 8 7 5 8 i z z z 65 6 6 65 7 6 5 7 5 6 6 x x 7 x uj m x = + + n = n λ xi λ + i + λ x n 5 6 65 ( 65 + 65 + 5 + 5) 65 = 6. m 5 6
szimplex egyenként hajtandók végre: előnyös, ha gyorsan van eredmény megtalálják az optimumot kevés információt adnak a hatásokról a faktorok csak folytonosak lehetnek érzékenyek a hibákra mivel nincs mögöttük modell, nem adnak eredményfelületet csak egy függő változónk lehet faktoros párhuzamosan hajtandók végre: előnyös, ha lassan van eredmény, de kevésbé időigényes haladunk az optimum felé megismerjük a hatásokat a faktorok lehetnek és diszkrétek (legalábbis két szint esetén) a hibákat a modell kiegyenlíti mivel van mögöttük modell, eredményfelületet adnak több függő változónk lehet