3 A preferenciák 3. Feladatok Feladat 3. Arányok Aggers és Binaki mindenfajta szénsavas üdítőitalt imádnak, de most csak két fajtát fogunk vizsgálni, a Fantát és a 7up-t. Aggers számára ezek tökéletes helyettesítők, méghozzá :2 arányban, vagyis tetszőleges fogyasztás mellett ugyanannyira jó neki, ha a fogyasztott Fanta mennyiség egy részét kétszer annyi 7up-pal helyettesíti, vagy a fogyasztott 7up mennyiség egy részét feleannyi Fantával helyettesíti. Binaki számára a kétfajta üdítőital egymás tökéletes kiegészítője (fúj), méghozzá 2: arányban, azaz adott mennyiségű Fantához mindig hozzáönt feleannyi 7up-t, és a kotyvalékot issza meg. Önmagában mindkét üdítő semleges a számára, csak így keverve szereti őket. a) Hogyan rendezi Aggers, és hogyan Binaki az alábbi jószágkosarakat? (Fanta dl, 7up dl) (6, 2), (5, 3), (, 5). b) Adja meg Aggers (, 5) ponton áthaladó közömbösségi görbéjének az egyenletét, és a (,5) pontbeli helyettesítési határarányt! c) Adja meg Binaki (, 5) ponton áthaladó közömbösségi görbéjének az egyenletét, és a (,5) pontbeli helyettesítési határarányt! Eredmény (Ez egy link.) Feladat 3.2 Rendezések Az alábbiakban három fogyasztói kosarat vizsgálunk. Ezek a (2, 7), a (, ) és a (, 3). Egy fogyasztó ezeket a következőképp rendezi: (2, 7) (, 3) (, ) Azt is tudjuk, hogy a fogyasztó preferenciarendezése folytonos és monoton. a) Lehetséges-e, hogy a fogyasztó preferenciája tökéletes helyettesítő típusú? Ha igen, adja meg a (, )-en áthaladó közömbösségi görbe egyenletét, ha nem, miért nem? b) Lehetséges-e, hogy a fogyasztó preferenciája tökéletes kiegészítő típusú? Ha igen, adja meg a (, )-en áthaladó közömbösségi görbe egyenletét, ha nem, miért nem? c) Ha a monotonitást mégsem tesszük fel a preferenciarendezésről, akkor lehet tökéletes helyettesítő típusú? Ha igen, adja meg a (, )-en... Eredmény Feladat 3.3 Egy fogyasztó (x, y) jószágkosarak fölötti preferenciarendezése folytonos és monoton. Azt is tudjuk, hogy a rendezés szerint (, ) (, 6) (32, 2) (, ). Találjon ki egy ezen tulajdonságoknak megfelelő közömbösségi térképet, és adja meg külön-külön az (, 6), (, ), (, ) és (32, 2) kosarakon áthaladó közömbösségi görbék egyenletét! Eredmény
Feladat 3. Bliss Bliss szereti a padlizsánt, a fasírtot viszont nem. Szülei észrevették, hogy ha Blissnek adnak egy tányéron egy fasírtot és három padlizsánt, akkor Blissnek éppen mindegy, hogy elfogyasztja a tányér teljes tartalmát vagy egyáltalán nem eszik. A szülők kicsit próbálgattak, és ezután azt hitték, hogy ez a közömbösség független attól, hogy Bliss addig mit evett. De aztán egy nap a nagymama adott unokájának 2 padlizsánt. Ekkor rá kellett jönniük, hogy 2 padlizsán elfogyasztása után Bliss pont ugyanolyan szívesen eszik fasírtot, mint padlizsánt. (De továbbra sem szereti a fasírtot!) a) Bliss számára közömbös a (26,3) és a (2,x) jószágkosár. Mennyi x? b) Írja fel a (2,6) ponton áthaladó közömbösségi görbe egyenletét! c) Adja meg a (23,6), (2,6) és (25,6) pontbeli helyettesítési határarányokat! d) Rajzolja le Bliss fasírt- és padlizsánfogyasztásra vonatkozó közömbösségi görbéit! Eredmény Feladat 3.5 Ideális hígítás Som Eliér szereti a vörösbort és a szódavizet is. Ideálisan dl vörösbor mellé dl szódavizet iszik. Ha valamilyen más arányban jut az italokhoz, akkor azt, amiből több van neki, akár kettő az egyhez arányban is hajlandó a másikra cserélni, egészen addig amíg az ideális arányt el nem éri. a) Eliér számára közömbös a (3,3) és az (5,x) jószágkosár. Mennyi x? b) Írja fel a (3,3) ponton áthaladó közömbösségi görbe egyenletét! c) Rajzolja le Eliér közömbösségi térképet! Eredmény Feladat 3.6 Egyfajta lexikográfia Tintó mikróökonómia dolgozatra készül. Az anyagot már kívülről tudja, így most azon gondolkozik, hogy milyen íróeszközöket használjon. A dolgozaton kék és fekete tollat lehet csak használni (minden más a tanár számára fenntartott javítóeszköz). Tintó végül is arra jut, hogy az a legfontosabb, hogy minél több toll legyen nála, a szín mindegy. Illetve mégsem teljesen mindegy, mert ha két olyan kosár közül kell választania, amennyiben összesen ugyanannyi toll van, akkor, de csakis akkor, jobb szereti azt a kosarat, amiben több kék toll van. (Szóval az elsődleges rendezőelv az összmennyiség, a szín csak döntetlen esetén számít. A szótárban és lexikonban az ábécésorrend hasonlóképp rendezi a szavakat, a második betű csak akkor számít, ha két szó első betűje megegyezik.) a) Hogyan rendezi Tintó a következő (kék toll, fekete toll) jószágkosarakat: (,9) (5,5) (,) b) Adja meg az (5,5) ponton áthaladó közömbösségi görbe egyenletét, és az (5,5) pontbeli helyettesítési határarányt! Eredmény Preferenciák vizsgálatánál nem az a kérdés, hogy mit eszik meg a tányérjáról, hanem az, hogy ha megeszi, hogy érzi magát. 2
Feladat 3.7 Giffen I. 2 Eldiora csontritkulásban szenved, ezért fontos, hogy minél több kalciumhoz és D-vitaminhoz jusson. Ezeket tojás-, spenót- és napsugárfogyasztásából szerzi, más forrásból egyáltalán nem jut hozzájuk. Ha Eldiora x darab tojást és y adag spenótot eszik, akkor összesen 2 x + 2 y adag kalcium kerül a szervezetébe. A spenótban nincs D-vitamin, de a tojásban igen, így az x tojás elfogyasztásából nyer x adag D-vitamint is. Illetve a szervezete napozás közben termel további 0 adag D-vitamint. Ez a napozás hosszától független. Eldiora tojás- és spenótfogyasztását a csontjai érdekében optimalizálja. A kalcium és a D-vitamin csak együtt fejtik ki hatásukat, így ha valamelyikből kevesebb jut szervezetébe, akkor a másikból a többletmennyiség semmit nem használ. a) Mi Eldiora preferenciarendezése az alábbi jószágkosarak fölött: (5 tojás, spenót), (3 tojás, 3 spenót), ( tojás, 5 spenót) b) Ha Eldiorának 2 tojása és 2 adag spenótja van, legalább hány adag spenótot kérne egy egész tojásért cserébe? c) És ha tojása és adag spenótja van, legalább hány spenótot kérne az egyik tojásért cserébe? d) Rajzolja fel a (tojás,spenót) koordináta-rendszerben Eldiora közömbösségi térképét! Eredmény 2 A feladat lényegében Sorensen Simple Utility Functions with Giffen Demand című 2006-os cikkéből van átemelve. (Kedves Hallgató, ez Önt nem érinti, de enélkül a sor nélkül plágiumot követnék el.) 3
3.2 Eredmények Eredmény 3. a) Aggers rendezése (5, 3) (, 5) (6, 2). Binaki rendezése (6, 2) (, 5) (5, 3). b) Jelöljük a Fantát x-szel, a 7up-ot y-nal. Ekkor az egyenlet y = 5 2 (x ) avagy vagy bármi ezzel ekvivalens egyenlet. A helyettesítési határarány 2. 2 x + y = 3, c) (Az előző pontban bevezetett jelölést használjuk.) Binaki (,5) ponton áthaladó közömbösségi görbéje nem egyenesből áll, hanem két félegyenesből, ezért az egyenlet is kicsit máshogy néz ki: 2 ha x > y = [2, ] ha x =. A lényeg, hogy vagy az x koordináta, vagy az y koordináta 2, esetleg mindkettő igaz. A helyettesítési határarány itt nem létezik, vagy pongyolán mínusz végtelen. Sokat gondolkoztam rajta, de nem tudom, nekem miért jön ki más. Ugorjunk a megoldáshoz! Eredmény 3.2 a) Nem lehet. (A miért indoklása a Megoldásban.) b) Lehet ha x > /3 y = [, ] ha x = /3. c) Ekkor lehet! Az egyenlet y = 20 3 3 x. Sokat gondolkoztam rajta, de nem tudom, nekem miért jön ki más. Ugorjunk a megoldáshoz!
Eredmény 3.3 Végtelen sok ilyen közömbösségi térkép van. Az egyik lehetséges megoldás az, ha a közömbösségi görbék alakja c = x 3 y 5, ahol c egy konstans, és ennek az értéke határozza meg azt, hogy milyen magas közömbösségi görbén vagyunk. Ez esetben a közömbösségi görbék egyenletei (, 6) : 6 5 = 2 20 = x 3 y 5 (, ) : = 2 6 = x 3 y 5 (, ) : = 2 2 = x 3 y 5 (32, 2) : 32 3 2 5 = 2 20 = x 3 y 5. Persze senki nem várja el Öntől, hogy ezt észrevegye. Egy jóval rondább, de intuitívebb megoldás leírása a Megoldásban. Sokat gondolkoztam rajta, de nem tudom, nekem miért jön ki más. Ugorjunk a megoldáshoz! Eredmény 3. a) x = 5. b) A fasírtot f-fel, a padlizsánt p-vel jelölve az egyenlet 3 p 2 ha p 2 f = 30 p ha p > 2. Ez elég jó megfogalmazás, de ha nagyon nem szeretjük a negatív számokat, akkor lehetünk nagyon pontosak, és írhatjuk azt is, hogy 3 p 2 ha 6 p 2 f = 30 p ha 2 < p 30. c) A helyettesítési határarány a (23,6) pontban /3, a (2,6) pontban nem létezik, a (25,6) pontban. d). f 6 5 3 2 26 p Sokat gondolkoztam rajta, de nem tudom, nekem miért jön ki más. Ugorjunk a megoldáshoz! 5
Eredmény 3.5 a) x = 2. b) Jelöljük a vörösbort v-vel, a szódát sz-szel. A (3,3) ponton áthaladó közömbösségi görbe egyenlete 9 2 v ha v 3 sz = 9 2 2 v ha v > 3. c). sz (3, 3) (5, 2) v Sokat gondolkoztam rajta, de nem tudom, nekem miért jön ki más. Ugorjunk a megoldáshoz! Eredmény 3.6 a) Tintó rendezése (, ) (, 9) (5, 5). b) Ez egy kicsit 3 becsapós kérdés, mert az (5,5) ponttal egyetlen pont közömbös, saját maga. Így egyenlete nem igazán van, a közömbösségi görbe pontjainak a leírása annyi, hogy egyetlen ilyen pont van, az (5,5). (Sajnálom, de ha néha azt írnám, hogy adja meg az egyenletét, néha pedig azt, hogy írja le precízen, akkor mindenféle furcsa választ kapnék.) Emiatt a helyettesítési határarány sem létezik. Sokat gondolkoztam rajta, de nem tudom, nekem miért jön ki más. Ugorjunk a megoldáshoz! 3 Nagyon. 6
Eredmény 3.7 a) Eldiora preferenciarendezése (5 tojás, spenót) (3 tojás, 3 spenót) ( tojás, 5 spenót) b) Legalább adag spenótot kérne a tojásért cserébe. c) Ilyen cserére Eldiora semmikép sem hajlandó. (Spenótból viszont akár ingyen is adna egy adagot.) d). y 5 0 x Sokat gondolkoztam rajta, de nem tudom, nekem miért jön ki más. Ugorjunk a megoldáshoz! 7
3.3 Megoldások Megoldás 3. a) Ha Aggers az (5,3) kosár, vagy 5 dl Fanta és 3 dl 7up fogyasztása helyett ennél dl-lel kevesebb Fantát és 2 dl-lel több 7up-ot iszik, vagyis a (,5) kosarat fogyasztja, az ugyanolyan jó neki a szöveg szerint. Hasonlóképp az (5,3) kosárral közömbös az is, ha dl-lel több Fantát és 2 dl-lel kevesebb 7up-ot iszik, vagyis ha a (6,) kosarat fogyasztja. Ez alapján (, 5) (5, 3) (6, ). A monotonitás és a tökéletes helyettesítő preferenciák mellett pedig ha kap még dl 7up-ot, az jobb neki. Így (6, ) (6, 2). Vagyis a rendezés (, 5) (5, 3) (6, 2). Binaki a (6,2) kosárból a dl Fanta és 2 dl 7up felhasználásával csinál kotyvalékot, a maradék 2 dl Fanta semleges jószág a számára. Az (5,3) kosárból 5 dl Fanta és 2.5 dl 7up kerül felhasználásra, a maradél fél deci 7up semleges jószág. A (,5) kosárból ismét dl Fanta és 2 dl 7up kerül felhasználásra a maradék 3 dl 7up semleges jószág. Így Binaki a (6,2) és (,5) kosarakból ugyanúgy dl Fantát és 2dl 7up-t tartott meg, az (5,3) kosárból pedig több kotyvalékot tudott csinálni. Tehát rendezése (6, 2) (, 5) (5, 3). b) Jelöljük a Fantát x-szel, a 7up-ot y-nal. Tökéletes helyettesítő preferenciák mellett a közömbösségi görbék egyenesek, így az egyenlet y = a + b x alakú, ahol a és b paraméterek. Azt tudjuk, hogy ha dl Fantával többet és 2 dl 7up-pal kevesebbet kap, az ugyanilyen jó Aggersnek, így ugyanezen a közömbösségi görbén lesz. Ez azt jelenti, hogy eggyel nagyobb x értékhez kettővel kisebb y érték tartozik. Eszerint a görbe meredeksége 2, vagyis ennyi a fenti b paraméter értéke. y = a 2 x Persze végtelen sok 2 meredekségű egyenes van, de nekünk az kell, amelyik átmegy a (,5) ponton. Így 5 = a 2 3 = a. Vagyis a (,5) pontot áthaladó közömbösségi görbe egyenlete y = 3 2 x. Az egyenletnek több alakja is van, de amíg ugyanezt az egyenest írják le, bármelyik jó. A helyettesítési határarány a közömbösségi görbe meredeksége, így ebben a koordináta-rendszerben ez a (,5) pontban 2. Azt írja le, hogy ha eggyel több x jószágot kap Aggers, mennyivel több y jószág mellett marad ugyanazon a közömbösségi görbén. Itt azt mutatja, hogy :2 arányban helyettesíti egymást a két jószág. c) (Az előző pontban bevezetett jelölést használjuk.) Ahogy az a) pontban tárgyaltuk, Binaki (,5) kosárból dl Fantát és 2 dl 7up-ot tart meg. Ha ennél mindkettőből többet kapna, akkor több kotyvalékot készíthetne, és az nem közömbös lenne a számára, hanem jobb. Ha dl-nél kevesebb Fantát vagy 2 dl-nél kevesebb 7up-ot kap, akkor pedig kevesebb kotyvalékot készíthetne, ami rosszabb számára. Az olyan kosarak közömbösek, amelyekből pont ugyanennyi kotyvalékot tud készíteni. Ezek azok a kosarak, ahol az egyik jószágból pont ugyanekkora mennyiséget kap, a másikból viszont többet. Így a közömbösségi görbe a (,2) pontból induló, x tengellyel párhuzamosan jobbra tartó félegyenes és a (,2) pontból induló, y tengellyel párhuzamosan felfelé tartó félegyenes pontjaiból áll. Az előbbi félegyenes matematikai leírása x, y = 2,
az utóbbi félegyenes matematikai leírása x =, y 2. Ezek leírása így külön-külön is jó, de megpróbálhatjuk (kissé pontatlanul) eggyé gyúrni őket: 2 ha x > y = [2, ] ha x =. A lényeg, hogy vagy az x koordináta, vagy az y koordináta 2, esetleg mindkettő igaz. Ebben a koordináta-rendszerben ez a (,5) pontban a közömbösségi görbe éppen függőleges, így nincs meredeksége. Ekkor a helyettesítési határarány nem létezik, nincs definiálva. Ez nem annyira meglepő: A tökéletes kiegészítő preferenciák mellett az x és y jószágok nem tudják helyettesíteni egymást. 9
Megoldás 3.2 a) Ha a preferencia tökéletes helyettesítő típusú, akkor a helyettesítési határarány állandó, a közömbösségi görbék egyenesek. A feladat szövege szerint a (2,7) és (,3) kosarak egy közömbösségi görbén vannak, így ebből következtethetünk a görbe meredekségére, a helyettesítési határarányra. Alapvető koordináta-geometriai ismereteink szerint két ponton áthaladó egyenes meredeksége az y és x koordináták különbségének hányadosa, azaz y x = 7 3 2 = /3. A (2,7) pontból kiindulva, ilyen meredekség mellett az x = koordinátáig haladva az y koordináta értéke 7 ( 2) (/3) = 5 lesz. Vagyis a (,5) pont is rajta lesz a közömbösségi görbén, (2, 7) (, 5). De a monotonitás miatt (, 5) (, ), és ez ellentmond a feladat szövegében szereplő (2, 7) (, )-nek, mivel (, 5) (2, 7) (, ). Vagyis monoton tökéletes helyettesítő preferenciák mellett ellentmondásra jutnánk, így nem lehet ilyen típusú a fogyasztó preferenciája. b) Tökéletes kiegészítő preferenciák mellett a közömbösségi görbék egy függőleges és egy vízszintes félegyenesből állnak. Itt a két közömbös jószágkosárnak, a (2,7)-nek és a (,3)-nak nincs közös koordinátája, úgyhogy nem lehetnek ugyanazon a félegyenesen. Így a (,3), aminek nagyobb az x koordinátája, a vízszintes, a (2,7) pedig a függőleges félegyenesen lesz. Ebből a vízszintes félegyenesen y = 3, a függőleges félegyenesen pedig x = 2. Ez megadja a kiegészítés arányát is (kettő a háromhoz). Ilyen tökéletes kiegészítő preferencia mellett (2, 7) (, 3) (2, 3). A (,) kosárban mind x, mind y jószágból több van, mint a (2,3)-ban, így ezt tényleg szigorúan preferálja a fogyasztó, vagyis eleget tesz a rendezés a feladat szövegében írtaknak. Itt valaki tán kötözködne, hogy a fogyasztó mindig 2 x és 3 y jószágot fogyaszt, de a (,)-ben nincs 6 darab y jószág, nem tud két adagot fogyasztani a fogyasztó. Hacsak külön nem mondja egy feladat szövege, mindig folytonos jószágtérben vagyunk. Így két adag fogyasztása csakugyan lehetetlen, de /3 adag fogyasztása lehetséges, és ez több, mint a (2,3) kosár által lehetővé tett adag. A (,) kosárból y jószágot, és a kiegészítés 2:3-as aránya alapján 2/3 = /3 x jószágot használ fel a fogyasztó, így a (,) ponton áthaladó közömbösségi görbe egyenlete ha x > /3 y = [, ] ha x = /3. c) Ha nem tesszük fel a monotonitást, akkor lehet, hogy mindkét jószág káros. A helyettesítési határarány ekkor is lehet állandó, az egyik káros jószágot hajlandóak lennénk a másikra cserélné. Így az a) pontban levezetett /3-os meredekség jó lehet, és nem okoz gondot az sem, hogy (, 5) (, ). A közömbösségi görbe egyenlete ekkor y = a /3 x Mindegy, hogy algebra vagy analízis házit csinálok, mindkettő ugyanolyan káros. Bárcsak mikróra cserélhetném... 0
jellegű, az a paraméter érteke pedig, mivel az egyenes áthalad a (,) ponton = a /3 20/3 = a. Vagyis a (,) ponton áthaladó közömbösségi görbe egyenlete y = 20/3 /3 x.
Megoldás 3.3 A jószágkosarak lerajzolva y 6 2 32 x Olyan közömbösségi görbéket szeretnénk rajzolni, ami szerint (, ) (, 6) (32, 2) (, ). Az (,6) és (32,2) pontok egy közömbösségi görbén lesznek. Ha (,) ezen görbe alá, (,) pedig a görbe fölé esik, akkor a monotonitás miatt a rendezés már jó is. Logikus megpróbálni a már ismert két preferenciatípust, hátha valamelyik jó. Tökéletes helyettesítés mellett az (,6) és (32,2) pontokon áthaladó görbe y 6 2 32 x Ez sajnos nem jó, mert (,) is alá esik. Nem csak a rajz szerint, mert az egyenes egyenlete y = 33 2 2 x, így az egyenesen lévő x = koordinátájú ponthoz tartozó y koordináta y = 33 2 2 y = 25 2 >. 2
Talán a tökéletes kiegészítő preferencia jó lesz? Sajnos az sem: y 6 2 32 x Tehát a már tanult preferenciatípusok nem adhatnak ilyen rendezést, de a jó hír az, hogy az alap problémát, miszerint kössünk össze két pontot egy vonallal úgy, hogy a vonal másik két pont között halad el, egy közepes méretű óvodás is meg tudja oldani: y 6 2 32 x A probléma ezzel csak annyi, hogy egy ilyen vonalt leíró egyenletet elég nehéz lenne megadni. Ezért jobb, ha ezt úgy próbáljuk leutánozni, hogy egyszerű, szakaszosan egyenes görbét húzunk. Például ha a két szélső pontot a (6,6) ponttal kötjük össze, az jó megoldás lesz: y 6 2 32 x 3
Ennek a szakaszosan egyenes görbének a meredeksége az x < 6 pontoknál 2, az x > 6 pontoknál pedig 2/3. Ebből, és hogy a görbe mindkét szakasza áthalad a (6,6) ponton a görbe egyenlete 2 x ha x 6 y = 90 3 2 3 x ha x > 6. (Az mindegy, hogy az x = 6 pontot melyik szakaszra tesszük, mindkét egyenlet y = 6-t ad rá.) Ez csak a (6,6)-on áthaladó közömbösségi görbe volt, de jó mondjuk az a preferenciarendezés, ami mindig a 5 fokos egyenes mentén törik (ott, ahol y = x), és a meredekségek ugyanolyanok, mint itt: y 6 2 32 x A (,)-en áthaladó közömbösségi görbe egyenlete 2 2 x ha x y = 60 3 2 3 x ha x >. A (,)-on áthaladó közömbösségi görbe egyenlete 2 2 x ha x y = 20 3 2 3 x ha x >.
Megoldás 3. a) Mivel a fasírt káros jószág, és 2 darab után a padlizsán is az Így ha (26, 3) (2, 3). (26, 3) (2, x), akkor x > 3. Sőt, mivel a szöveg szerint ilyenkor ugyanolyan szívesen eszik fasírtot, mint padlizsánt vagyis 26 2 = x 3 x = 5. b) A (2,6)-tól balra a közömbösségi görbe meredeksége 3, a (2,6)-tól jobbra a közömbösségi görbe meredeksége. Az első egyenes egyenlete vagyis A második egyenes egyenlete vagyis Így 3 p f = 2 6 = 2, 3 f = f = 3 p 2. p + f = 2 + 6 = 30, f = 30 p. 3 p 2 ha p 2 30 p ha p > 2. Egyébként még ez sem tökéletes, ugyanis a képlet negatív értéket rendel f-hez ha p < 6 és ha p > 30. Negatív jószágmennyiségek viszont nem lehetségesek, így ezek a pontok nem szerepelhetnek a közömbösségi görbén. Úgyhogy ha nagyon precízek akarunk lenni, akkor az egyenlet f = 3 p 2 ha 6 p 2 30 p ha 2 < p 30. c) A helyettesítési határarány a közömbösségi görbe meredeksége az adott pontban. A (23,6) pont egy közömbösségi görbe emelkedő szakaszára esik, ahol a meredekség /3. A (25,6) pont egy másik görbe ereszkedő szakaszára esik, ahol a meredekség. A (2,6) pont éppen töréspont, itt a görbének nincs meredeksége, a helyettesítési határarány sem definiált. Intuitíven az a probléma, hogy az arány attól függ, hogy x jószágból több vagy kevesebb lesz, nem tudjuk az iránytól függetlenül meghatározni, hogy a fogyasztónak hány x jószág ér egy y jószágot. d). f 6 5 3 2 26 p 5
Megoldás 3.5 a) Ha x nagyobb lenne, mint három, akkor mindkét hasznos jószágból több van, így (3, 3) (5, x). Mivel a két csomag közömbös, nem lehet x > 3. Ez esetben 5 > x. A szöveg szerint ilyenkor 2 egység vörösbort épp annyira értékel, mint egység szódát. A (3,3) és (5,x) kosarak összehasonlításánál a második kosárban vörösborból pont 2 deciliterrel van több. Így ha ez a két csomag közömbös, akkor deciliter szódával van kevesebb a második kosárban, vagyis x = 2. b) Jelöljük a vörösbort v-vel, a szódát sz-szel. Ha v > sz, 2 egység vörösbort épp annyira értékel, mint egység szódát, így a közömbösségi görbe meredeksége 2. Ha v < sz, egység vörösbort épp annyira értékel, mint 2 egység szódát, így a közömbösségi görbe meredeksége 2. A görbében tehát törés van a v = sz pontnál. Ettől balra egyenlete a (3, 3) ponton áthaladó 2 meredekségű egyenes egyenlete. c). vagyis 2 v + sz = 2 3 + 3 = 9, sz = 9 2 v. A (3,3) ponttól jobbra az egyenlet a (3, 3) ponton áthaladó 2 vagyis 2 v + sz = 2 3 + 3 = 9 2, sz = 9 2 2 v. Ezeket összefoglalva, a (3,3) ponton áthaladó közömbösségi görbe egyenlete 9 2 v ha v 3 sz = 9 2 2 v ha v > 3. sz meredekségű egyenes egyenlete. (3, 3) (5, 2) v 6
Megoldás 3.6 a) A (,) kosárban összesen 9 toll van, a többi kosárban összesen 0 toll van. Így a (,) kosárnál jobban szereti Tintó a másik kettőt. Az (,9) kosárnál pedig jobban szereti az (5,5) kosarat, mert összesen ugyanannyi toll van benne, de ezek közül több kék. Így Tintó rendezése (, ) (, 9) (5, 5). b) Ez egy kicsit 5 becsapós kérdés. Az (5,5) ponttal egyetlen pont közömbös, saját maga. Az olyan kosarak, amelyekben összesen több toll van, jobban Tintó számára, az olyan kosarak, amelyekben összesen kevesebb toll van, rosszabbak Tintó számára. És az összesen éppen 0 tollat tartalmazó kosarak sem közömbösek, mert ezekben vagy több, vagy kevesebb kék toll van, mint az (5,5) kosárban. Szóval az (5,5) egy egyetlen pontból álló közömbösségi görbe. Így a helyettesítési határarány sem definiált, nem tudnánk éppen helyettesíteni a kék vagy fekete tollakat, mindenképpen jobb vagy rosszabb állapotba kerülnénk. A feladat kérdéseit megválaszoltuk, de egyébkét itt közömbösségi térképet sem lehetne értelmesen rajzolni, mert az (5,5) nem különleges. Minden egyes pont külön közömbösségi görbén van, a szöveg által definiált rendezés egy szigorú rendelés. 5 Nagyon. 7
Megoldás 3.7 a) Mindegyik kosárban 2 egységnyi kalcium van, mivel 2 5 + 2 = 2 3 + 2 3 = 2 + 2 5 = 2. A kosarakban található D-vitamin mennyiségek rendre 5, 3 és egység. A napsütéssel együtt így 5, 3 illetve egység D-vitaminoz jutna Eldiora. Mivel a kalcium és a D-vitamin csak együtt hat, így az első kosár fogyasztása esetén min(2; 5) = 2 egység kalcium és D-vitamin fejti ki hatását. A második kosár fogyasztása esetén ugyanez a harmadik kosár fogyasztása esetén pedig min(2; 3) = 2, min(2; ) =. Így a Eldiora preferenciarendezése (5 tojás, spenót) (3 tojás, 3 spenót) ( tojás, 5 spenót) b) Ilyenkor Eldiora adag kalciumhoz és 2 adag D-vitaminhoz jut, így ezekből - egységnyi épül be a csontjaiba. Ha tojást elcserélne, és csak tojást fogyasztana, akkor még mindig adag D-vitaminhoz jut, szóval ebből nem romlik a helyzete. Ugyanakkor már csak 6 adag kalcium kerülne a szervezetébe, plusz kétszerese a cserébe kapott spenót adagok számának. Ahhoz, hogy ne legyen rosszabb neki, mint a csere előtt, és legalább - egységnyi kalcium és D-vitamin épüljön be a csontjaiba, legalább adag spenótot kell a tojásért cserébe kapnia. c) És ha tojása és adag spenótja van, legalább hány spenótot kérne az egyik tojásért cserébe? Ilyenkor Eldiora 6 adag kalciumhoz és adag D-vitaminhoz jut, így ezekből - egységnyi épül be a csontjaiba. Ha tojást elcserélne, és csak 3 tojást fogyasztana, akkor már csak 3 adag D-vitaminhoz jut. Így bármennyi spenótot is kapna cserébe, romlana a helyzete. Szóval ilyen cserére Eldiora nem hajlandó. (Spenótból viszont akár ingyen is adna egy adagot.) d) A kalcium mennyiség 2 x + 2 y, a D-vitamin mennyiség pedig 0 + x. Azt szeretné Eldiora, ha ezek minimuma, min(2 x + 2 y; 0 + x) minél nagyobb lenne. Ha akkor 2 x + 2 y 0 + x, 2 y 0 x y 5 x/2. Ez a levezetés megfordítható, így az y = 5 x/2 egyenesen lévő pontokra igaz, hogy ilyen fogyasztások mellett éppen ugyanannyi kalciumhoz és D-vitaminhoz jut Eldiora. Ha egy (x, y) pont az egyenes fölött van, vagyis ha y > 5 x/2, akkor 2 x + 2 y > 0 + x, azaz több kalciumhoz jut, mint D-vitaminhoz. Ekkor viszont a kalcium felesleges, így a csak ezt tartalmazó spenót ezen a részen semleges jószág. A tojás ebben a környezetben hasznos, mivel abban van D-vitamin, és az még javítana Eldiora helyzetén. Így a közömbösségi görbék ezen a részen az (x, y) koordináta-rendszerben függőleges egyenesek. Ha egy (x, y) pont az y = 5 x/2 egyenes alatt van, vagyis ha y < 5 x/2, akkor 2 x + 2 y < 0 + x,
azaz Eldiora több D-vitaminhoz jut, mint kalciumhoz. Ekkor a spenót és a tojás is hasznos, mivel mindkettő tartalmaz kalciumot. Sőt, mivel ugyanannyit tartalmaznak, ugyanolyan hasznosak, helyettesítési határarányuk abszolútértéke, a közömbösségi görbék ezen a részen meredekségű egyenesek. A közömbösségi térkép y 5 0 x 9