1 Egy kötélstatikai alapfeladat megoldása másként Most megint egyik kedvenc témánkat vesszük elő. Bízunk benne, hogy az itt előforduló ismétlések szükségesek, ámde nem feleslegesek. A más módon való megoldás mikéntje és lényege így domborodik majd ki, szerintünk. Ehhez először is tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt egy közönséges láncgörbe - darabot ábrázoltunk. Ennek A és B pontjai közti ívének hossza L, ennek vízszintes vetülete l, függőleges vetülete m hosszúságú. Az AB távolság pedig d. Látható, hogy A végérintők hajlása φ A és φ B. A láncgörbe paramétere a. ( 1 ) A feladat kiírása az alábbi. Adott: l, m, L. Keresett: φ A, φ B ; x A, y A ; x B, y B.
2 Az idevágó alapvető összefüggéseket már több korábbi dolgozatunkban is felírtuk. Ezek: KD - 1.: Közönséges láncgörbe alapvető összefüggések és tudnivalók; KD - 2.: Rugalmas láncgörbe alapvető összefüggések és tudnivalók, I. rész. A láncgörbe egyenlete derékszögű koordinátákban: ( 2 ) Az érintő iránytangense ( 2 ) - ből: ( 3 ) ( 3 ) - ból invertálással: ( 4 ) Felhasználva a szóban forgó hiperbolikus függvényekre vonatkozó ( 5 ) azonosságot, ( 2 ), ( 3 ) és ( 5 ) - tel: ( 6 ) innen: ( 7 ) Szintén ismert képlet az ívhosszra, K kezdőponttal: ( 8 ) Az 1. ábráról, ( 4 ) - gyel is: tehát: ( 9 ) hasonlóan ( 7 ) - tel: tehát:
3 ( 10 ) Végül ( 8 ) - cal is: tehát: ( 11 ) ( 11 ) - ből: ( 12 ) Látjuk, hogy függvényeink mind tartalmazzák az a paramétert, ezért először ezt kell meghatároznunk. Ha L, φ A, φ B ismert ( lenne ), akkor ( 12 ) - ből rögtön meghatározhat - nánk azt. Itt azonban φ A, φ B keresett mennyiségek, meghatározásukhoz előbb a - t kell előállítanunk, máshogyan. A korábbiak miatt felírjuk még a következő képleteket is, ( 9 ), ( 10 ) és ( 12 ) - vel: ( 13 ) ( 14 ) Ezek megfelelnek a KD - 2 ~ ben kapott kifejezéseknek, ha EA. A ( 13 ) és ( 14 ) egyenletekben most ismert l, m, L, keresett φ A és φ B. E két ismeretlen meghatározásához éppen két darab egyenletünk van, ami elvileg elegendő is. Csakhogy ez egy nemlineáris egyenletrendszer, melynek megoldása nem annyira egyszerű. A mi házi - lagos megoldásunk során úgy járunk el, hogy a ( 13 ) + ( 14 ) egyenletrendszert átírjuk. Ehhez ( 11 ) - ből: ( 15 ) majd ( 9 ), ( 10 ) és ( 15 ) - tel: ( 16 ) ( 17 ) Még tovább alakítva:
4 ( 16 / 1 ) ( 17 / 1 ) Ha tehát a - t ismerjük, akkor ( 16 / 1 ) és / vagy ( 17 / 1 ) - ből kiszámítjuk tgφ A - t, majd ( 15 ) - ből tgφ B - t, ezután pedig ( 4 ) és ( 7 ) - tel a végpontok koordinátái: ( 18 ). ( 19 ) Az a láncgörbe - paraméter meghatározásának képletét KD - 1 ~ ben részletesen levezettük. Az eredmény: megoldandó a ( 20 ) ( 21 ) ( 22 ) egyenlet, melynek ξ 0 megoldásával ( 21 ) - ből: ( 23 ) Ezután a ismeretében már a fentebb elmondottak szerint járhatunk el. SZÁMPÉLDA Adatok: l = 4 ( m ); m = 3 ( m ); d = 5 ( m ) ; L = 1,1 d = 5,5 ( m ). ( A ) 1. λ számítása: ( 22 ) és ( A ) - val: ( a ) 2. A ( 20 ) egyenlet grafikus megoldása, ügyelve a megoldás ( 21 ) szerinti előjelére is 2. ábra: ( b ) 3. Az a paraméter számítása, ( 23 ) szerint:. ( c )
5 2. ábra 4. tgφ A számítása ( 17 / 1 ), ( A ) és ( c ) szerint: innen 3. ábra: ( d ) 5. tgφ B számítása ( 15 ), ( A ), ( c ) és ( d ) szerint: tehát: ( e ) 6. A kötél rögzítési pontjai koordinátáinak számítása ( 18 ) és ( 19 ) szerint, ( c ), ( d ) és ( e ) - vel is:
6 3. ábra ( f ) ( g ) ( h ) ( i ) A számpélda néhány eredményét a 4. ábrán jelenítettük meg. Megjegyzések: M1. Ez a dolgozat egy korábbi hiány pótlása: a már közel hét évvel ezelőtt írt KD - 2 ~ ben nem megmutatott eljárásra gondolunk, végtelen nagy húzómerevséget feltételezve.
7 4. ábra M2. A ( 16 / 1 ) és ( 17 / 1 ) képletekkel kapcsolatban megemlítjük, hogy érdemesebb az utóbbit használni meghatározására, mert amint azt a 3. ábrán is láthatjuk, ez egyetlen megoldást ad, ellentétben ( 16 / 1 ) - gyel. Természetesen ezt a munkát is elvégeztük, majd megállapítottuk, hogy melyik a kétféle egyenlet - megoldással kapott közös gyök. Részletezve: ( 16 / 1 ), ( A ) és ( c ) szerint Ennek megoldásai: Ámde ( d ), ( e ) és ( j ) összehasonlításából: ( j ) ( k )
8 5. ábra 6. ábra A ( k ) összefüggések azt jelentik, hogy ( j ) mindkét adata értelmes, feladatunk szempont - jából. Ugyanis ezek az A és B* végpontokkal bíró láncgörbére ( is ) vonatkoznak,
9 melynél a B* végpont a B pontnak az y tengelyre vett tükörképe. Ez a 4. ábrán az A pont - tól balra elhelyezkedő görbeágat jelenti. Azonban feladatunk megoldása szempontjából csak az az eredmény jöhet szóba, amely ugyanaz, ( 16 / 1 ) és ( 17 / 1 ) megoldása során is. Ez pedig: ( d ) = ( k1 ). Úgy is fogalmazhatunk, hogy a ( k2 ) eredmény egy kiegészítő feladat megoldása; ugyanis az AB ív L hossza és l vízszintes vetülete általában nem egyenlő az AB* ív L* hosszával és l* vízszintes vetületével, ahogyan az a 4. ábráról is jól leolvasható, kivéve az A = K esetet. Ezek szerint megállapíthatjuk, hogy tényleg ajánlott ( 17 / 1 ) megoldását választa - ni. Azonban, mint láttuk, nem haszontalan a ( 16 / 1 ) megoldását is elvégezni, akár csak ellenőrzés céljából is. Tudjuk, hogy minden ellenőrzési lehetőség kihasználandó. M3. A ( 16 ) + ( 17 ) egyenletrendszert is tekinthetjük a feladat alapegyenleteinek, ahol a keresett mennyiségek az a láncgörbe - paraméter és a tgφ A végérintő - meredekség. M4. Jelen írásunk címében szerepel, hogy másként. Már látjuk, hogy ez inkább csak kicsit másként. Ugyanis a ( 13 ) + ( 14 ) paraméteres egyenletrendszer megoldásához itt is fel - használtuk a szokásos eljárást, mely a ( 20 ) egyenlet megoldásán át vezet. Igaz, az itteni megoldási módot máshol még nem láttuk, emlékeink szerint. M5. Némiképpen meglepő lehet az a tény, hogy az L = 1,1 d összefüggéssel adott ívhossz esetében az A pontbeli végérintő már negatív hajlású. Bizony, a kötél érzékeny műszer. M6. Láttuk, hogy a számpélda megoldása numerikus segítség nélkül nem igazán lehetsé - ges. Ez itt a Graph ingyenes szoftver volt. Nem árt figyelni arra is, hogy hogyan érdemes igazodni a Graph lehetőségeihez, az egyenletek numerikus megoldása során. M7. Visszatekintve az elvégzettekre: azt gondoljuk, nem mondható el, hogy igazából megoldottuk volna azt a problémát, amit a ( 13 ) + ( 14 ) nemlineáris egyenletrendszer közvetlen megoldása jelent. Gyanítjuk, hogy ez nagyságrendekkel fejlettebb numerikus matematikai segítséget feltéte - lez, az itteniekhez képest. Azt viszont elmondhatjuk, hogy találtunk egy öszvér - megoldást, melynek segítségével jó eséllyel vállalkozhatunk a közönséges láncgörbe - feladatok némiképpen újszerűnek ható megoldására. Ne feledjük, hogy egy bevált megoldási mód már eddig is rendelkezé - sünkre állt ld.: KD - 1.! Használjuk ezeket ügyesen, kreatívan!
10 M8. Már említettük, hogy az itteniek a KD - 2 ~ ben felírt, a rugalmas láncgörbére vonat - kozó nemlineáris egyenletrendszer speciális esetei, ha a kötél húzómerevsége tart a végte - lenhez. Ha az itteni ( 13 ) + ( 14 ) nemlineáris egyenletrendszert közvetlenül meg tudnánk oldani, akkor a KD - 2 ~ ben felírt nemlineáris egyenletrendszerrel is meg tudnánk azt tenni. Gyanítjuk, hogy ott is alkalmazható lenne az itt bevezetett öszvér - megoldás, minthogy KD - 3 ~ ban levezettük az itteni ( 20 ) kulcsegyenlet ottani, általánosabb megfelelőjét is. Ehhez lásd még: KD - 3: Rugalmas láncgörbe alapvető összefüggések és tudnivalók, II. rész! M9. Megint eszembe jut néhai matematika - professzorunk ( Dr. Moór Arthur ) mondása: Tisztelt Kollégák! Ha nem boldogulnak vele, forduljanak szakemberhez! Nos, a vázolt matematikai nehézségek áthidalásának egy módja lehet az itt is, hogy alkal - mazott matematikus segítségét vesszük igénybe. Ez valószínűleg nem lesz olcsó mulatság. Így aztán ismét csak örülhetünk, ha rendelkezünk valamilyen / bármilyen megoldási mód - dal, mint amilyenek az itt közöltek is. Vagy ki tudja Sződliget, 2017. 06. 06. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár