A méré eredménéne megadáa A méréi eredméne óráa; a tűré Ha imerjü eg valóínűégi váltoó eloláát (aa értéeine valóínűégi űrűégfüggvénét aor meg tudju mondani og eg iono intervallumo meora valóínűég tartoi at jelenti og a a adott elolát övető menniég értéeire méréeet ajtun végre aor megatároató og meora valóínűéggel ei a mért érté eg iono intervalluma (vagi og a eredméneet adott valóínűéggel milen intervalluman apju meg pl a elolá várató értée örül Normáli / Gauelolánál a ege méréi eredméne a várató érté örüli σ ugarú intervalluma 683 % valóínűéggel a σ ugarú intervalluma 95 % valóínűéggel ene Ha má P valóínűéggel P onfidencia inten aarju megjóolni a méréi eredméneet a intervallum éleége ( σ megatároató a valóínűég imeretéen aa [µ σ µ σ ] le a a onfidencia intervallum mele a méréi eredméne a adott P valóínűéggel eleene Ha váárolun valamilen árut vag alatrét melene valamilen menniégi jellemője van (pl tömeg ellenállá aor a áru tömegén vag a ellenállá névlege értéén ívül oor feltünteti a tűrét i mel a névlege értétől való megengedett eltérét jelenti tulajdonéppen eg onfidencia intervallum é általáan 95 % onfidencia intre van megállapítva Ha eg 00 darao állítmánól 3 dara iei a tűréől még nem illi relamálni a állítónál de a 0 iei aor már leet A Student-féle t-elolá é t paraméter Mérénél arra a érdére eretnén válat apni og a méréi eredménene mi öü van a mérendő menniég valóágo értéée Hogan értéeljü i a méréoroatot og a legmegíató információt apju a valóágo értéről aa a valóínűégi váltoó várató értééről? Ha legalá a méré óráát imernén mondatnán og a méréi eredmén uganolan távol van a valóágo várató értétől mint fordítva; aa a a valóágo érté σ ugarú örneetée ene P valóínűéggel a méréi eredméne aor P valóínűéggel a méréi eredmén σ ugarú örneetée ei a mérendő menniég várató értée; a pedig eg méréi oroatun van aor a oroat ámtani öepéne (a átlagna a σ/ n ugarú örneetée ei a valóágo érté A aj ott van og általáan a órát em imerjü at i ca ecülni tudju a ege méré ill a öépérté orrigált tapatalati óráával Mivel a órá em ponto uganao a valóínűége nago ámmal ell megoroni a ecült órát a onfidencia intervallum megatároáánál mint et eg imert óráú Gau-elolánál tennén A jellemeni ívánt valóínűégi váltoó várató értée µ valamint a méréoroatól ámított öépérté é a öépérté orrigált tapatalati óráa öött álljon fenn a öveteő egenlőég: µ τ Mivel é a onrét méréoroattól függ teát véletlenerűen váltoi a τ µ paraméter mint a é valóínűégi váltoó függvéne intén valóínűégi váltoó melne eloláa megatároató é elolááól A eredeti váltoóra Gau-elolát feltételeve WS Goet atárota meg a τ paraméter valóínűégi űrűég- é eloláfüggvénét de mivel munáit Student (diá névvel ignálta a τ paraméter eloláát "Student-féle t-elolána" ívjá A elolá- é űrűégfüggvén függ a mérée ámától ee ámána cöenéével a f(τ űrűégfüggvén félértééleége nő τ várató értée 0 é f(τ immetriu teát a (τ eloláfüggvénre a normaliált Gau-eloláo aonlóan fennáll og ( τ (τ é anna a valóínűége og τ értée eg [ t t] intervalluma een: P ( t τ t (t Viatérve a τ paraméter értelmeéére imondatju og anna valóínűége og é µ eltérée a [ t t ] intervalluma een P (t -gel egenlő; vag: P (t valóínűéggel a megatároandó µ várató érté a örüli t ugarú intervalluma ei
A adott P valóínűége (onfidenciainte é a mérée ámáo tartoó t paraméterérté (a fejeet végén i megtalálató táláatól atároató meg Méréoroat iértéelée A fentie alapján eg n méréől álló oroat iértéelée a öveteőépp történi a/ Megatárou a méréi eredméne ámtani öepét: n n i i / Megatárou a i devianciáat a ege méréi eredméne eltéréét a öépértétől: i i c/ A devianciáól megatárou a öépérté orrigált tapatalati óráát: i n ( n d/ A mérée ámáo (n é a ívánt onfidenciainte (P tartoó t paraméterértéet iereü a táláatól e/ Megadju a öveteő formáan a méréi eredmént: ξ (mért menniég ( ± t [mértéegég] at jelenti og a mérendő menniég valóágo értée a onfidenciaintne megfelelő valóínűéggel a [ t t ] intervalluma ei A t menniéget iaintervallumna ívju t Megadatju a relatív iaintervallumot i: ξ [mértéegég] ± 00 % A Student-féle t paraméter értéei P onfidenciaintnél é n méréámnál 08 09 095 0975 099 0995 3078 63 706 55 63657 73 3 886 90 303 605 995 089 638 353 38 76 58 753 5 533 3 776 395 60 5598 6 76 05 57 363 03 773 7 0 93 7 969 3707 37 8 5 895 365 8 399 09 9 397 860 306 75 3355 383 0 383 833 6 685 350 3690 0 38 79 093 33 86 37 8 65 960 576 807
Követett méré iája (iaterjedé Láttu og a méré iáját a öépérté varianciájána ecült értééől ( atárotu meg Tegü fel og meg aarun atároni eg φ menniéget melet nem tudun övetlenül mérni de φ függ a menniégetől é a utóia viont megmérető imerjü várató értéüet é varianciájuat (illetve megecültü eeet a paramétereet Hogan függ öe φ várató értée é varianciája a várató értéével é varianciájával? ejtü ora φ-t váltoóina várató értée örül é álljun meg a lineári tagonál: φ( φ(µ µ φ ( µ φ ( µ A parciáli differenciálánadoo a µ µ elen értendő A lineári orfejté a várató értéetől való i eltérée eetén jó öelíté lőör atárou meg φ várató értéét Alalmava a öeg é ontanoro várató értéére vonatoó öefüggéeet (aa og [a] [a][] é [c a] c [a] : [φ(] [φ(µ µ ] φ [ µ ] φ [ µ ] φ(µ µ mivel [ µ ] [ µ ] 0 é [φ(µ µ ] φ(µ µ Mot atárou meg φ varianciáját a fenti öelíté alapján Alalmava a öeg é ontanoro varianciájára vonatoó öefüggéeet (aa og Var[a] Var[a]Var[] é Var[c a] c Var[a] : φ φ φ φ Var[φ] Var[φ(µ µ ] Var[] Var[] Var[] Var[] mivel Var[φ(µ µ ] 0 A méréi eredméne alapján a mért menniége varianciáját a orrigált tapatalati óráu négetével öelítjü várató értéüet pedig a méréoroato öépértéével Íg a φ menniég várató értééne eclée [φ(] φ ( é a eclé φ öépértééne orrigált tapatalati óráára: φ φ φ A egenlőég érvéne marad aor i a a öépértée orrigált tapatalati óráát eorou a adott onfidenciainte tartoó t paraméterrel aa iga le a iaintervallumora i Ha -el jelöljü iaintervallumána ugarát é -nal -ét aor a φ menniégre a φ iaintervallum ugara: φ φ φ ( (
Gaorló feladato A eveető előadáon megoldott feladat: A Van eg nag upac imeretlen névlege értéű ellenálláun Kiveün előle 6 d-ot é megmérjü ao ellenálláát A öveteő értéeet apju: 98 00 0 99 0 0 Sámolju i enne alapján a ellenálláain névlege értéét é a iaintervallumot 99 %-o onfidenciainten! Megoldá: A mért értée átlaga 00 A öépérté orrigált tapatalati óráa ((98 00 (00 00 (0 00 (99 00 (0 00 (0 00 6 5 8 0 56 30 [ ] A táláatól a Student-paraméter értée n 6 é P 099 eetén t 03 A iaintervallum t 03 056 08 [ ] Teát a ellenálláo értée 99 %-o onfidenciainten Kereítün! ( 000 ± A iaintervallumot értelmetlen pontoaan megadni mint a átlagértéet Általáan a iaintervallumot ét értée jeggel adju meg é ee igaítju a valódi érté pontoágát i B A fenti ellenálláainól eget-eget iválatva oroan apcolju eg mái ellenálláal amit viont eg ( ± 3 -o ellenálláupacól veün Mi le a oro eredő értée é iaintervalluma? Megoldá: A oro eredő ámítáa: oro ( 000 3 A oro eredő várató értée 000 5000 oro A oro ( függvén parciáli deriváltja ill erint
oro oro A oro eredő ellenállá iaintervalluma ( ( 785 9 3 oro oro oro Teát a oro eredő értée a adott onfidenciainten a oro ( 5000 ± 8 intervalluma ei B A fenti ét upac ellenálláól ( (00± é (00± eget-eget ivéve mot uamo apcolát éítün Mi le a uamo eredő értée é iaintervalluma? Megoldá: A uamo eredő ámítáa: ( 00 00 A uamo eredő várató értée 800 000 000 A ( függvén parciáli deriváltja ill erint ( ( é e értée 00 é 00 eeletteítéével 06 000 é 0 0 000 000 A uamo eredő ellenállá iaintervalluma ( ( 355 3 00 06 oro Teát a uamo eredő értée a adott onfidenciainten a ( 800 ± intervalluma ei
Továi megoldott gaorló feladato: g foladé űrűégét eretnén megatároni Kitöltün előle valamennit eg főőpoára é megmérjü ötör a foladé magaágát a poáran; a mért értée: 38 cm 36 cm 38 cm 38 cm 0 cm a Adju meg a foladéolop magaágát é anna iáját 80%-o onfidenciainten! Sámolju i a foladé űrűégét é ecüljü meg a iáját a a főőpoár elő átmérője d 5 cm iája 0 cm; a főőpoár tömege üreen m 83 g a foladéal egütt M 57 g é a tömegméré iája mindét eeten 0 g (A iá mind 80%-o onfidenciaintre vanna megadva Megoldá: a 38 36 38 38 0 38 cm 5 (38 38 (36 38 (38 38 5 táláatól t(n5 P08 553 (380 ± 00 cm (38 38 (0 38 0063 t 5530063 0098 cm ρ m/v (M-m / (¼d π ρ (57-83 / (¼5 π38 085996 g/cm 3 [(M m /(¼ d π ] ρ 00 M 0 M M d π V ρ [(M m /(¼ d π ] 00 m 0 m m d π V [(M m /(¼ d π ] ( M m ρ d π [(M m /(¼ d π ] ( M m ρ 3 d d d ρ M ρ ρ M m ρ ( 0860 ± 000 g/cm 3 m π ρ 063 0 ρ ρ 03308 d 0 d ρ d d 000 g / cm 3 Hator megmérjü eg telep eletromotoro erejét a apott eredméne: ; ; 9; ; 7; 9 V a Adju meg at a intervallumot mele a telep eletromotoro ereje 95% valóínűéggel ei! A telepet tereljü eg ellenálláal é mérjü a tereléen foló áramerőéget (A ampermérő elő ellenálláa elanagolató Sintén 95%-o onfidenciaintnél (00 ± 05 (050± 0005 A Határou meg a fentieől a telep elő ellenálláát é iáját! Megoldá: a 9 7 9 0 V 6 ( 0 ( 0 (9 0 ( 0 6 5 (7 0 (9 0 táláatól t(n6 P095 57 t 5700865 0 V (00 ± 0 V 00865
/ /05 0 8 ( 05 / Ε 0 ( 9 05 / Ι 0005 ( / 05 36 05 0005 (9 0 ( (80 ± 3 3 Két ponttölté é öött ató Coulom-erő nagágát megmértü ötör: 8 N 78 N 79 N 8 N 80 N a Adju meg a erő nagágát é iáját 95 %-o onfidenciainten! A tölté a origóan van nagága (0±0 µc A tölté oordinátái: 0 m 80 m 00 m a oordinátá megatároáána iája 00 m (ca eetén pontoan a origóan van A iá mind 95 %-o onfidenciaintre vanna megadva Határou meg a tölté nagágát é iáját! ( 90 9 Nm /C Megoldá: 3a N 80 5 80 8 79 78 8 000707 5 80 (80 80 (8 80 (79 80 (78 80 (8 táláatól t(n5 P095 776 t 776000707 0096 N (800 ± 000 N ( /( 8( 8 0 /(90 9 0-6 µc [ ] 5 0 /( ( 00 [ ] 5 0 8 /( ( 00 [ ] 5 0 37 /( ( 00 [ ] 6 0 77 /( ( 00 [ ] ( /( ( 0-7 C 075 µ (00 ± 075 µc