Bevezetés A klinogonális axonometria alapösszefüggéseiről és azok alkalmazásáról Előző dolgozatnkban címe: Az orthogonális axonometria alapösszefüggéseiről, illetve azok alkalmazásáról, jele ( ED ) bemtattk az egyik speciális ábrázolási módot, elméleti és gyakorlati nézőpontokból is, a magnk sajátos módján. Most gyanezt tesszük a ferde(szögű) / klinogonális axonometriks ábrázolási móddal is. A már több mint két évtizede felírt egyenleteink nem láthatók más szerzőknél, kivéve a rövidülések négyzetösszegére vonatkozó tételünket. Ezt a szép és könnyen igazolható tételt azelőtt is, aztán is felfedezték már mások is. Így van ez. E dolgozat terjedelme meglepő lehet; úgy láttk, hogy fényűzés lenne lemondani az egyes részek összefüggéseinek megvilágításáról, a terjedelem korlátozása okán. Ugyanis elmondhatjk, hogy szinte minden ábrázolással foglalkozó tanlónak, szakembernek vannak használható ismeretei az axonometriáról, azonban az is tény, hogy csak kevesen lépnek túl egy ismert recept alkalmazásán. Meglepő, ha egy máskülönben képzett műszaki szakember problémája ábrázolási részéhez látva az axonometriát egy, a tanlmányai során megismert speciális tengelykereszttel azonosítja. Láttnk ilyet. Úgy véljük, hogy az ízlésben az analitiks kifejtés - módhoz közelebb álló műszakiak számára nem lesznek teljesen érdektelenek az alábbiak. Ejtsünk itt néhány szót a számítógépesítés hatásairól is. Az elmúlt két évtizedben tapasztalt ez irányú fejlődés egyik mellékhatása, hogy a felhasználók jórészt leszoktak az elméleti eredmények gyalogos alkalmazásáról, így jelentősen eltávolodtak az alkalmazott módszerek elméletétől is. Nem véletlen, hogy még mindig nem dobták stba az Ábrázoló Geometriát, mint tantárgyat, ám tény, hogy a nagyon sok programfejlesztői mnkaórát tartalmazó, elterjedtségük miatt viszonylag olcsó szoftverek megléte paradox módon többnyire nem támogatja az elméleti alapok megértetésén fáradozó tanár mnkáját. Gondoljnk bele: ha a tanlónak van egy mindentdó szoftvere, akkor rábízza magát a szoftver alkotóinak tdására: megbízik bennük. Ez az ára, hogy nem kell magának is elsajátítania azt a rengeteg ismeretet. Hát nem megéri ez, a hülyének is?!? Egy másik zavaró körülmény: a szakirodalom állapota. Korábban talán már céloztnk rá, hogy van egy bizonyos értelemben vett kirekesztés: az eltasító érveket persze nem nehéz szakmainak láttatni. Nyilván nem véletlen, hogy e dolgozat a szerzője honlapján jelenik meg. A mondandónk kifejtése hasonlít az ( ED ) - belihez: igyekszünk rávenni az Olvasót, hogy kövessen minket a felfedezésben; cserébe a részletszámításokat is jórészt elvégezzük helyette. Ezt az írást, akárcsak az előzőt is, inkább a haladó Olvasónak ajánljk. Bár az alkalmazott matematika nem túl magas színvonalú, de biztos kezelését inkább csak tőlük várhatjk el. Szóval főként mérnökök és tanárok érdeklődésére tarthat számot. A téma kifejtése sok ábra rajzolását igényli. Bár ez időrabló, sokszor nehézkes mnka, mégis bíztatjk az Olvasót, hogy az alábbiak mellé / helyett készítse el a saját megfelelő ábráit! Hasonlóképpen ajánlott a levezetések egyéni újraszámítása is!
A klinogonális axonometriks ábrázolás lényege Vegyünk fel a térben egy ( O X Y Z ) derékszögű koordináta - rendszert és benne az általános helyzetű A axonometriks képsíkot ld.: 1. ábra! 1. ábra Vetítsük a térbeli koordináta - rendszert az A képsíkra, egy a képsík n A normálisával κ hegyesszöget bezáró l irányvektorú egyenessel párhzamosan. Az így előálló ( O a x y z ) vetület ~ koordináta - rendszer a klinogonális axonometriks tengelykereszt. A leírt vetítés során előáll az U, v V, w W átmenet, ahol (, v, w ) : a képsík tengelymetszetei. A U V W q x, q y, q z ( 1 ) v w képletekkel adott mennyiségek: a tengely menti rövidülési együtthatók, definíció szerint.
3 Megjegyzések: M1. A rövidülési együttható elnevezés ferde axonometriában néha megtévesztő lehet, amikor is egy szakasz vetülete nem rövidebb a vetített szakasznál. Ennek ellenére maradnk a bevett szóhasználatnál. M. Lényeges, hogy a fent megnevezett κ szögre fennáll, hogy < < 9. ( κ ) Ellenkező esetekben: a.) κ = : az orth. ax. tengelykereszt állt elő; b.) κ = 9 : a vetítősgarak egyenesei egy a képsíkkal párhzamos síkban fekszenek, így nem képződik a kívánt vetület. A ( κ ) reláció világítja meg a ferde axonometria elnevezés eredetét: tdniillik a vetítő egyenesek a képsíkhoz, illetve annak normálisához képest ferde irányúak. Egy tetszőleges P ( X, Y, Z ) térbeli pont ferde axonometriks képe ezek tán úgy állítható elő, hogy e pontot l - lel párhzamos vetítősgárral A - ra vetítjük. Az így kapott pont: a K képpont; v.ö.: ( ED /. ábra )! Az axonometriks ábrázolás szabadsági fokairól A kérdést úgy világítjk meg, hogy megvizsgáljk: hány darab független adatot kell megadnnk / felvennünk, hogy létrehozhassk a fentebb leírt vetületképzési módot. Első lépésként felvettük az A axonometriks képsíkot, melyet n A normálvektorával jellemzünk ld.: / a ábra!. ábra A sík normálvektorának iránykoszinszai között fennáll az ismert
4 cos cos cos 1 ( δ ) X Y Z összefüggés. (, ) vehető fel szabadon. Ebből látható, hogy csak két irányszög pl.: X Y Második lépésként felvettük a vetítő egyenesek l irányvektorát ld.: / b ábra! Ennek irányszögei között fennáll a cos cos cos 1 ( ω ) X Y Z (, ) megadásával jellemezhető a vetítő összefüggés, tehát két irányszög pl.: X Y egyenesek térbeli helyzete. Most gondoljk végig, hogy milyen hatással van az axonometriks tengelykereszt állására a d OD távolság! Az eredmény: semmi! Ugyanis a / a ábra szerinti n A normálvektor állandósága esetén a különböző d képsík - távolságok mellett előálló ( O a x y z ) axonometriks tengelykeresztek párhzamosak egymással, így feladatnk szempontjából nem tdnk különbséget tenni közöttük. A d képsík - távolság lényegtelen adat mivoltából következően úgy is fogalmazhatnk, hogy a D 1 D D 3 nyomháromszög valamelyik oldalának hosszát tetszőlegesen felvehetjük. Ezek tán kimondhatjk, hogy: a ferde axonometria 4 - paraméteres ábrázolási mód. Ezek a paraméterek lehetnek pl. a fenti X, Y, X, Y térbeli szög - adatok is, de lehetnek az axonometriks képsíkon fellehető adatok is. A következőkben élni fognk a paraméter - választás ezen a szabadságával. Megjegyezzük, hogy merőleges axonometria esetén a képsík helyzetének megadásával ( adat! ) egyúttal a vetítés irányát a képsík normálisának irányát is megadtk, így ott marad a db szabad paraméter, vagyis: a merőleges axonometria - paraméteres ábrázolási mód. Három tétel az axononometriáról Értelmezés: Az axonometriks képsík általános helyzetű, ha tengelymetszeteire fennáll, hogy, v, w. ( t ) 1. Tétel: Az általános helyzetű axonometriks képsíkhoz tartozó nyomháromszög: hegyesszögű. Most tekintsük a 3. ábrát! Az ábra egy általános képsík - felvételi esetet mtat. Az (, v, w ) tengelymetszetek A - ra vett merőleges vetületei: ( U, V, W ). A D 1 D D 3 nyomháromszög létezik azaz nem elfajló, tekintettel az a w, b v w, c v ( ) és ( t ) kapcsolatokra.
5 3. ábra A Tétel állítása szerint a nyomháromszög ( λ, μ, ν ) szögeire fennáll, hogy,, 9. Az igazolás a koszinsz - tétel felhasználásával történik; csak λ - ra részletezzük. A 3. ábra szerint: b a c accos ; innen: a c b cos. a c Most ( ) - vel a számláló: a c b w v v w, így a tört: cos. a c ( s ) ( 3 ) Mivel ( 3 ) jobb oldala pozitív, így bal oldala is az, tehát cos. ( 3 / a ) Minthogy λ egy háromszög egyik szöge, fenn kell állnia a
6 18 kapcsolatnak. Most már a ( 3 / a ) és ( λ 1 ) relációkból következik, hogy 9. ( λ 1 ) ( λ ) Eljárásnkat µ - re és ν - re teljesen hasonló úton megismételve belátható, hogy ( s ) valóban fennáll.. Tétel: Merőleges axonometriában a tengelykereszt egyenesei a nyomháromszög magasságvonalai. Merőleges axonometriában a tengelykereszt képzése a 3. ábra szerinti. Az A képsíkbeli viszonyokat a 4. ábra szemlélteti: ~ a nyomháromszög az 1.Tétel szerint hegyesszögű; ~ a tengelykereszt tengelyei a.tétel állítása szerintiek. 4. ábra A Tétel igazolásának az alapgondolata a következő. Ha a Tétel állítása igaz, akkor merőleges szárú szögek miatt a szögviszonyok a 4. ábra szerintiek. E szögviszonyoknak tetszőleges képsík - állás, azaz tetszőleges, de értelmes (, v, w ) esetén fenn kell állnik.
7 Más szavakkal: a térbeli koordináta - tengelyek A - ra vett merőleges vetületei tetszőleges képsík - állás esetén is a nyomháromszög magasságvonalaiként adódnak. Az analitiks igazolás példál az alábbi módon történhet. A 4. ábra D 3 DD háromszögéből koszinsz - tétellel itt használjk ki a. Tételből következő szögviszonyokat : b V W V W cos ; ( b 1 ) mivel 18 cos 18 cos, így ( b 1 ) a és b V W V W cos ( b ) alakot ölti. A 3. ábrából következően: V v d, W w d, így ezekkel ( b ) így alakl: b v d w d v d w d cos. ( b 3 ) Most ( b 3 ) - mal és ( ) második egyenletével: v w v d w d v d w d cos. endezés tán: d v d w d cos. ( b 4 ) Majd ( 3 ) és ( b 4 ) - gyel: d v d w d. ( b 5 ) ac Eztán ( b 5 ) és ( ) - vel, egyszerű átalakítások tán a v w v w 1 1 1 1 d d ( b ) egyenletre jtnk. Utóbbinál az azonosságjel arra figyelmeztet, hogy ha a. Tétel igaz, akkor ( b ) - nek tetszőleges (, v, w ) esetén fenn kell állnia, tehát azonosságnak kell lennie. Most ( E D / 7) - tel: 1 1 1 1. ( d ) d v w Majd helyettesítsük ( b ) jobb oldalába ( d ) - t: v v w w v w v w J(b) 1. w v Most fejtsük ki ( b ) bal oldalát: v w v w v w B(b) 1 1 1.
8 Megállapíthatjk, hogy B(b) = J(b), tehát a ( b ) egyenlet valóban azonosság. Ebből következik, hogy a szögviszonyok valóban a 4. ábra szerintiek, vagyis a. Tétel igaz. 3. Tétel: Klinogonális axonometriában a q x, q y, q z rövidülési együtthatókra fennáll, hogy q x + q y + q z = + tg κ. ( Q ) Az igazoláshoz tekintsük az 1. ábrát is! Koszinsz - tétellel az OO a D 1 háromszögből: U cos,. Azonban cos, X, így ezzel is U X. Osszk végig ( F 1 ) egyenleteit rendre U X qx 1, V Y q y 1, v v v W Z qz 1. w w w Teljesen hasonló módon adódik a másik két egyenlet is, melyekkel együtt: U X, V v vy, ( F 1 ) W w w Z., v, w - tel, és alkalmazzk ( 1 ) - et! ( F ) Adjk össze ( F ) egyenleteit! X Y Z 1 1 1 qx q y qz 3. v w v w ( F 3 ) ( F 3 ) első zárójeles kifejezése a sík tengelymetszetes egyenletének megfelelően : X Y Z 1; v w ( F 3 ) második zárójeles kifejezése a ( d ) egyenlet szerint: 1 1 1 1, v w d így ( F 3 ) más alakban:
9 q x q y qz 1. ( F 4 ) d Ám az 1. ábrára is tekintettel: 1 sin cos 1 tg, ( F 5 ) d cos cos így ( F 4 ) és ( F 5 ) szerint: q q q 11 tg tg, x y z vagyis a 3. Tétel állítása: ( Q ) adódik. Következmény: A ( Q ) egyenletben κ = - t véve kapjk a merőleges axonometriában érvényes q q q ( Q ) x, y, z, eredményt v.ö.: ( E D / 6 9 )! Megjegyzések: M1. Az ( F ) képletekkel tdjk előállítani a rövidülési együtthatók értékét az ún. elfajló esetekben; pl.: esetén: X lim qx qx, lim 1 1, innen q x, 1, ( q x, ) hiszen és így X is véges. M. Már korábban megjegyeztük, hogy ferde axonometriában a rövidülési együttható kifejezés megtévesztő lehet. Ezt a ( Q ) kifejezés alapján rögtön megvilágítjk. a.) Ha pl.: q x q y qz 1 ez esetben κ = 45 akkor az axonometriks tengelykereszt tengelyei mentén a valódi méreteket hordjk fel, az axonometriks kép előállításakor. Vagyis ekkor nincs szó szerinti értelemben vett rövidülés. b.) Ha pl.: qx q y 1, akkor qz tg, 45 esetén qz 1, így a vele való szorzás nem rövidülést, hanem hosszabblást valósít meg. Ilyen értelemben lehet félrevezető az említett szóhasználat. M3. Látjk, hogy a ferde axonometria esetében a rövidülések négyzetösszegének van véges alsó, de nincs felső korlátja v. ö.: ( κ )! M4. Az 1. és. Tételt ( ED ) - ben a szakirodalomra hivatkozva alkalmaztk.
1 A klinogonális axonometriks ábrázolás alapképletei A feladat: Igazoljk, hogy klinogonális / ferdeszögű axonometriában való ábrázoláskor érvényesek az alábbi összefüggések ld. az 5. ábrát is! 5. ábra x ' Xq x cos Yqy cos Zqz sin, ( 4 ) y ' Xq x sin Yq y sin Zqz cos, ( 5 ) ahol ( X, Y, Z ): az ábrázolandó P térbeli pont / tárgypont koordinátái; ( q x, q y, q z ): a tengely menti rövidülési együtthatók; ( α, β, γ ): az ábrázolás szög - paraméterei; ( x, y ): a K képpont valódi kép - koordinátái. A megoldást több lépésben fejtjük ki.
11 1.) A ( 4 ) és ( 5 ) ábrázolási képletek értelmezése, belátása a szemlélet alapján Az 5. ábrán két koordináta - rendszerben is felírtk a P tárgypont ferde - párhzamos vetítése során előállt K képpontot: ~ az ( O a x y z ) axonometriks tengelykereszt ferdeszögű koordináta - rendszerében: P = P ( q x X, q y Y, q z Z ) ; ~ az ( O a x y ) derékszögű ábrázolási kép ~ koordináta - rendszerben: K = K ( x, y ). A ( 4 ) képlet a piros töröttvonal x tengelyre vett merőleges vetületének az előjeles hoszszát adja meg; az ( 5 ) képlet a piros töröttvonal y tengelyre vett merőleges vetületének az előjeles hosszát adja meg. Ez nem igényel további magyarázatot. Amikor hagyományos módon / kézzel rajzolnk, akkor az axonometriks tengelyek mentén felhordjk a ( q x X, q y Y, q z Z ) szakaszokat: O a - ból P - be jtnk. Amikor számítjk a képkoordinátákat, akkor ennek eredményét a fekete szaggatott vonal mentén hordjk fel: O a - ból K - ba jtnk. Tdjk pl. rajzi előtanlmányokból, az ( ED ) - vel való analógiából, hogy az axonometriks képpont előállításának feladatát ( 4 ) és ( 5 ) formlázzák meg. 6. ábra Ezek az egyenletek az 5. ábra alapján írhatók fel, melynek létrejötte a 6. ábrán követhető.
1 Most tekintsük a 7. ábrát is! Utóbbi a 6. ábra három fontos háromszögét nagyítja ki. 7. ábra Ezek alapján ( 1 ) - gyel is írhatjk, hogy: x U U x X q x X; X y V V y Y q y Y; Y v v ( 1 1 ) z W W z Z qz Z. Z w w Összefoglalva: ~ a 6. ábrával tisztáztk a térbeli P pontnak a képsíkon keletkező P vetülete x x, y y, z z P' P' P' ferdeszögű kép - koordinátáinak létrejöttét, ~ a 7. ábrával tisztáztk a ferdeszögű kép - koordináták és a tárgy - koordináták kapcsolatát; ~ az 5. ábrával beláttk a ( 4 ) és ( 5 ) egyenletek helyénvaló voltát.
13.) A térbeli vetítési összefüggések felírása, az egyenletek kifejtése Az ( ED / 1 7, 8 ) képletek szerint: r r x ', 1 r r 1 y '. 1 ( 1 ) ( ) Most megváltoztatjk a szakirodalomból vett jelöléseket, a saját jelölésekre: r p; r ; e ; e ; l. ( v ) 1 x' y' Most ( 1 ), ( ) és ( v ) - vel: x ' p e y' l, l e e x' y' ( 3 ) pe x' l l e y' ex' y '. ( 4 ) Felhasználva, hogy e x' ey' e y' ex' n, ( 5 ) ( 3 ), ( 4 ), ( 5 ) - tel kapjk, hogy pe y' l x ', l n ( 6 ) p e x' l y '. l n ( 7 ) Az 1. ábra szerint: l, ( 8 ) így fennállnak az e, y' l ( 9 ) e x' l összefüggések. Most ( 6 ), ( 7 ), ( 9 ) - cel:
14 p e y' l x ', l n p e x' l y'. l n ( 1 ) ( 11 ) Megjegyezzük, hogy tóbbi képletek nevezőjében ld.: az 1. ábrát is! : l n cos. ( 1 ) A régi egységvektorok ( ED / 5, 1, 14 ) szerint: d d d n i j k, ( 13 ) v w v ex' i j, ( 14 ) v v d v v v w w v e y' i j k. ( 15 ) A vetítő egyenesek új egységvektora ld. a / b ábrát is! : l cos i cos j cos k. ( 16 ) X Y Z Először részletezzük ( 1 ) - t! ( 1 ), ( 13 ), ( 16 ) - tal: d d d l n cos X i cos Y j cos Z k i j k v w tehát: d d d cos X cosy cos Z, v w d d d v w l n cos X cos Y cos Z. ( 17 ) Most az 1. ábráról: d cos, ( 18 ) így ( 1 ), ( 17 ) és ( 18 ) - cal:
15 d d d d v w innen: cosx cos Y cos Z, ( 19 ) 1. cos X cos Y cos Z v w ( ) Eztán ( 1 ) - hez, ( 15 ) és ( 16 ) - tal: d v v e y' l i j cos X cosy cos Z ; v w w v k i j k a kijelölt műveletek elvégzése tán: v v v i cos Z cos Y cos Z cos X d w v j w v e y' l. v v cos X cos k Y w w ( 1 ) Most tekintettel a p Xi Y j Zk ( ) kifejezésre, ( 1 ) számlálója így alakl: v X cos Z cos Y w v d v v pe Y cos Z cos y' l X ; v w v v Z cos X cos Y w w ( 3 ) majd a ( 1 ), ( 1 ), ( 18 ), ( 3 ) képletekkel:
16 Z Y Z X X Y v X cos cos w v d v v x ' Y cos cos d w v v v Z cos cos w w y' p e l l n Z Y Z X X Y v X cos cos w v 1 v v Y cos cos. w v v v Z cos cos w w ( 4 ) Mivelhogy vetületei a térbeli koordináta - tengelyekre: X Y Z X cos, Y cos, Z cos,, ( 5 ) így ( 1 4 ) és ( 1 5 ) - tel: v X Z Y w v 1 v v x ' Y Z X. w v v v Z X Y w w ( 6 ) Most ( 11 ) - hez:
17 1 e x' l i v j cos X i cos Y jcos Z k ; v részletszámítások tán: 1 e v cos Z cos Z cos Y v cos X x' l. i j k v ( 7 ) majd ( ) és ( 7 ) - tel: p e l x' 1 Xi Y j Zk v cos Z cos Z cos Y v cos X i j k v 1 X vcos ZYcos Z Zcos Y vcos X. v ( 8 ) Eztán a ( 11 ), ( 1 ), ( 18 ), ( 5 ), ( 8 ) képletekkel: 1 y ' X v cos Z Y cos Z Z cos Y v cos X d v 1 1 X v cos Z Y cos Z Z cos Y v cos X v d 1 1 X v Z Y Z ZY vx, v d tehát: 1 1 y' X v Z YZ ZY vx. v d ( 9 ) 3.) A ( 6 ), ( 9 ), valamint a ( 4 ), ( 5 ) egyenletek azonosságának kimtatása Foglaljk össze az eddigi eredmények és a belőlük fakadó teendők lényegét! ~ endelkezésünkre állnak a szemlélet alapján levezetett ( 4 ) és ( 5 ) egyenletek; tóbbiak átszámozva: x ' Xq x cos Yqy cos Zqz sin, ( 3 1 ) y ' X q sin Yq sin Zq cos. ( 3 ) x y z
18 ~ endelkezésünkre állnak a térbeli vetítési feladat vektoralgebrai megoldásának egyenletei, ( 6 ) és ( 9 ); tóbbiak átszámozva: x ' v X Z Y w v 1 v v Y Z X. v w v v Z X Y w w y' 1 1 X v Z YZ ZY vx. v d ( 3 3 ) ( 3 4 ) ~ Ha jól dolgoztnk, akkor a ( 3 1 ) és ( 3 3 ), valamint a ( 3 ) és ( 3 4 ) képletek azonos jelentéssel bírnak: gyanazt fejezik ki, más alakban. Ennek belátásához ki kell mtatni az egyenletekben szereplő megfelelő tagok azonosságát. Ezt az alábbiak szerint tesszük. A 8. ábrán összefoglaltk a könnyebb megértés és áttekintés végett a hamarosan különváló részeket. Először ( 3 1 ) és ( 3 3 ) összehasonlítását végezzük el. Alakítsk át ( 3 3 ) - at! Z Y v X Y w v 1 Z X v w v v Z X Y w w x ' Y v v X. ( 3 5 ) Minthogy az nyilának hegye rajta van a képsíkon, így a sík tengelymetszetes egyenletének megfelelően: X Y Z 1; ( 3 6 ) v w most ( 3 6 ) - tal:
19 8. ábra Z Y X w v Z X Y w v 1 X, v v v 1 v Y, ( 3 7 ) majd ( 3 5 ) és ( 3 7 ) - tel: v X X Y 1 x ' Y v Y X. v v v Z X Y w w ( 3 8 )
1 v X Y q cos? v a.) x Tegyük fel, hogy a feltett kérdésre a válasz: igen. Ekkor ( 1 ), ( ) - vel is: 1 v U X Y cos ; c v X Y Ucos ; c v X Y Ucos. ( 3 9 ) c c Az tóbbi egyenlet értelmezéséhez tekintsük a 9. ábrát is! Az ábra szerint: cos X, c v sin X, c 9. ábra ( 3 1 )
1 így ( 3 9 ) és ( 3 1 ) - zel: X cos Y sin Ucos. ( 3 11 ) X X A 9. ábráról leolvasható, hogy ( 3 11 ) fennáll, így a.) teljesül. 1 vy X q cos? v v b.) y Tegyük fel, hogy a feltett kérdésre a válasz: igen. Ekkor ( 1 ) és ( ) - vel is: 1 V vy X cos ; c v v v vy X Vcos ; c v v vy X Vcos. ( 3 1 ) c c Most ( 3 1 ) és ( 3 1 ) - vel: vy sin X cos Vcos. ( 3 13 ) X X A 9. ábráról leolvasható, hogy ( 3 13 ) fennáll, így b.) teljesül. 1 v X Y q sin? v w w c.) z Tegyük fel, hogy a feltett kérdésre a válasz: igen. Ekkor ( 1 ) és ( ) - vel: 1 v W X Y sin ; c w w w w v X Y Wsin ; c w w c v c X Y Wsin. ( 3 14 )
Most ( 3 1 ) és ( 3 14 ) - gyel: X cos X Y sin X Wsin. ( 3 15 ) A 9. ábráról leolvasható, hogy ( 3 15 ) fennáll, így c.) teljesül. Ezzel ( 3 1 ) és ( 3 3 ) azonosságát kimtattk. 1 1 d.) v Z q x sin? v d Tegyük fel, hogy a feltett kérdésre a válasz: igen. Ekkor ( 1 ), ( ) és ( 3 1 ) - zel is: v U Z sin ; cd v Z U sin ; c d v cos X Z U sin. d ( 3 16 ) Most nézzük a 1. ábrát, amely a 8. és 9. ábra alapján készült! 1. ábra
3 Eszerint: d cos d ', vcos X majd a ( 3 16 ) és ( 3 17 ) képletekkel: Z U sin. cos d ' ( 3 17 ) ( 3 18 ) A 1. ábráról leolvasható, hogy ( 3 18 ) fennáll, így d.) teljesül. 1 1 e.) Z q y sin? v d Tegyük fel, hogy a feltett kérdésre a válasz: igen. Ekkor ( 1 ), ( ) és ( 3 1 ) - zel is: 1 V Z sin ; c d v v Z V sin ; c d v cos X Z V sin ; d ( 3 19 ) majd ( 3 17 ) és ( 3 19 ) - cel: Z V sin. cos d ' ( 3 ) A 1. ábráról leolvasható, hogy ( 3 ) fennáll, így e.) teljesül. 1 1 Y v X q cos? f.) z v d Ekkor ( 1 ), ( ) és ( 3 1 ) - zel is: 1 v 1 W Y X cos ; c d c d w
4 w v Y X Wcos ; d c c w Y cos X sin X X W cos. d ( 3 1 ) A 1 ábra szerint: d sin d ', w ( 3 ) majd ( 3 1 ) és ( 3 ) - vel: Y cos X sin sin X X d Wcos. ( 3 3 ) A 1. ábráról leolvasható, hogy ( 3 3 ) fennáll, így f.) teljesül. Ezzel ( 3 ) és ( 3 4 ) azonosságát is kimtattk. Ez azt is jelenti, hogy a térbeli adatokkal dolgozó ( 3 3 ), ( 3 4 ) - ről áttérhetünk a képsíkbeli adatokkal dolgozó ( 3 1 ), ( 3 ) - re. Ehhez célszerű lehet a rövidülési együtthatókat is képsíkbeli adatokkal kifejezni. 4.) A rövidülési együtthatók számítása Ehhez tekintsük a 11. ábrát is! Itt egy O x y segéd ~ koordináta - rendszert is feltüntettünk, a számítások könnyebb áttekinthetősége végett. a.) q x? A 11. ábra alapján, szinsz - tétellel: sin U c ; ( 4 1 ) sin most ( 1 ), ( ) és ( 4 1 ) - gyel: U v sin qx 1 ; sin most az ( ED / 4 19 ) képlettel is: v tg, tg ( 4 ) ( 4 3 )
5 11. ábra így ( 4 ) és ( 4 3 ) - mal: tg sin qx 1. tg sin ( 4 4 ) q? b.) y Hasonlóan: sin V c ; sin V sin qy 1 ; v v sin tg, v tg végül ( 4 6) és ( 4 7 ) - tel: ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) tg sin qy 1. tg sin ( 4 8 )
6 c.) q z? A 11. ábra alapján, koszinsz - tétellel: W a U a Ucos. ( 4 9 ) ( 1 ), ( 4 1 ) és ( 4 9 ) - cel: W 1 sin sin qz a c a c cos. w w sin sin ( 4 1 ) Most felhasználjk, hogy ( ) szerint: a w, ( 4 11 ) c v, így ( 4 1 ) és ( 4 11 ) - gyel: v sin ac sin qz 1 cos ; w w w ( 4 1 ) sin w sin majd ( 3 ) - ból: ac 1, w w cos így ( 4 1 ) és ( 4 13 ) - mal: v sin cos sin qz 1 w w w sin w cos sin ( 4 13 ) w v sin cos sin 1 1 w w w sin w cos sin v si 1 1 1 n cos sin w ; sin cos sin most felhasználjk az ( ED / 4 19 ) szerinti v tg, tg tg w tg képleteket, így ( 4 14 ) - ből: ( 4 14 ) ( 4 15 )
7 tg tg sin cos sin qz 1 1 1 ; tg tg sin cos sin ( 4 16 ) majd tekintettel a tg tg 18 tg tg ( 4 17 ) összefüggésre is, ( 4 16 ) így alakl: tg cos sin tg sin qz 1 1 1, tg cos sin tg sin ( 4 18 ) innen pedig tg cos sin tg sin qz 1 1 1. tg cos sin tg sin ( 4 19 ) Megjegyezzük, hogy ha ismert κ, akkor q z számítható ( Q ) - ból is: z x y q tg q q. ( 4 1 ) 5.) A γ szög meghatározása Megfigyelhető, hogy i i q q, ;,, ( i = x, y, z ); ( 5 1 ) vagyis a rövidülési együtthatókat sikerült 4 darab képsíkbeli adattal kifejezni. Most emlékezzünk vissza arra a korábbi kijelentésünkre, miszerint a klinogonális axonometriks ábrázolás szabadsági foka: 4. A kép - koordináták ( 4 ), ( 5 ) képleteiben a fenti 4 paraméteren kívül még γ is szerepel. Azt várjk, hogy γ már nem független adat. Ez a tény a 11. ábrából is látható: adott nyomháromszög adott c, λ, μ és adott ( α, β ) esetén γ a szerkesztés szerint is kiadódó mennyiség. A γ szög számításos meghatározásához tekintsük a 11. ábrát! Innen: x a D3 O tg ; y D 3 x ( 5 ) y O szintén az ábra szerint: a
8 sin cos 1 xd 3 acos c c. sin tg 1 tg Ezzel: tg yd xd3 tg c. 3 tg 1 tg ( 5 3 ) ( 5 4 ) Hasonlóképpen, ( 4 1 ) - et is felhasználva: sin cos 1 sin tg 1 tg a xo Ucos c c ; ezzel: a y x tg c. O a O tg tg 1 tg ( 5 5 ) ( 5 6 ) Most az ( 5 3 ), ( 5 4 ), ( 5 5 ), ( 5 6 ) kifejezéseket ( 5 ) - be helyettesítve: 1 1 1 1 c c tg tg tg tg 1 1 1 1 a xd3xo tg tg tg tg tg, tg tg tg tg y a D y 3 O c c tg tg tg tg 1 1 1 1 tg tg tg tg tehát: 1 1 tg tg 1 1 tg tg tg, tg tg tg tg 1 1 tg tg ( 5 7 ) illetve
9 1 1 tg tg 1 1 tg tg arctg. tg tg tg tg 1 1 tg tg ( 5 8 ) Az ( 5 7 ), ( 5 8 ) képletekből kiolvasható, hogy tg tg, ha. tg tg ( 5 9 ) Ekkor gyanis ( 5 7 ) számlálója zérs, nevezője pedig általában tg tg miatt véges. Az ( 5 8 ) képlet szerint is:, ;,. ( 5 1 ) Ezzel a feladatot megoldottk. Alkalmazások Az alábbiakban két fontos és érdekes speciális esetre alkalmazzk az általános eset képleteit: a merőleges axonometriára és a madárvetületre. 1.) Az orthogonális axonometria, mint a klinogonális axonometria speciális esete Tekintsük a 1. ábrát! Itt együtt tüntetjük fel a klinogonális és az orthogonális tengelykereszteket, adott nyomháromszög esetére. ( A lábindex egyidejűleg tal a κ = esetre, ill. az orthogonális jelzőre.) A klin. ax. orth. ax. átmenet az,, ( p ) paraméter - átmenetekkel írható le.
3 1. ábra A 1. ábráról leolvashatók a már ismert ( ED / 4 5, 6, 7 ) szögösszefüggések: 9 ; 9 ;. ( A 1 ) Ezekkel és a rövidülési együtthatók képleteivel: tg sin tg sin qx 1 qx, 1, tg sin tg sin ahol az ( ED / 4 1 ) képlet - alak állt elő; tg sin tg sin qy 1 qy, 1, tg sin tg sin ahol az ( ED / 4 3 ) képlet - alak állt elő;
31 a q z rövidülési együttható átmenetéhez felhasználjk, hogy tg tg9 ctg tg tg ctg tg tg 9 tg tg 18 tg tg, tg tg9 cos cos 9 sin ; cos cos9 sin ezekkel is: ( A ) tg cos sin tg sin qz 1 1 1 tg cos sin tg sin sin sin tg sin qz, 1 tg tg 1 1 sin sin tg sin 1 tg részletszámítások: tg sin tg 1 1 ; tg sin sin sin cos cos sin sin cos sin sin tg tg cos 1 ; tg ezzel: tg 1 tg sin tg 1 1 tg sin tg 1 tg tg 1 tg tg cos cos 1 1 tg tg ;
3 ezzel: tg 1 tg 1 tg sin 1 tg tg 1 1 1 tg sin tg tg 1 1 tg tg 1 tg tg tg tg 1 tg tg tg tg tg tg tg ; 1 tg ezzel: tg sin 1 tg tg 1 1 tg sin tg 1 tg tg 1 tg tg, tg tehát: tg sin qz, 1 tg tg 1 1 1tg tg, tg sin azaz: qz, 1tg tg, egyezésben ( ED / 4 31 ) - gyel. Azt kaptk, hogy a ( p ) képletek első kettőjével a rövidülési együtthatók átmenete megvalóslt. Még nézzük meg ( p ) harmadik sorának teljesülését is! Ez ( 5 9 ) és ( A ) első egyenlete alapján rögtön adódik..) A madárvetület, mint a klinogonális axonometria egy speciális esete A ferde axonometria általános képleteinek egy további alkalmazása gyanánt nézzük meg a madárvetület ld.: [ 1 ]! elnevezésű axonometria - fajtát, melynek tengelykeresztje a 13. ábra szerinti. Ekkor az axonometriks képsík az ( X Y ) síkkal párhzamos, esetleg azzal egybeeső ld. a 14. ábrát! A nyomháromszög elfajl, ebből csak az X és Y koordináta - tengelyekkel párhzamos, D 3 - ból indló, végtelenbe tartó két félegyenes maradt. Megjegyezzük, hogy a szakirodalomban néhol katonaperspektívának nevezik ezt az axonometria - fajtát ld.: [ ]!
33 13. ábra A rövidülési együtthatók, ( q x, ) - val is: 14. ábra qx, 1, q y, 1, W qz tg. w ( A 3 )
34 A 13. ábrán is közölt feltételek: 9,. ( A 4 ) Most ( 4 ), ( 5 ), ( A 3 ), (A 4 ) szerint a rajzi kép - koordináták: x ' LX cos Ysin, ( A 5 ) y ' LX sin Ycos Z tg. Látjk, hogy a darab ábrázolási feltétel miatt a feladat szabad paramétereinek száma:. Az ( α, κ ) adatok tetszőlegesen választhatók, a ( κ ) relációra is ügyelve. Megjegyezzük, hogy [ 1 ] szerint a κ = 45 - hoz tartozó speciális esetben katonavetületről beszélünk, amikor is minden rövidülési együttható egységnyi. Mintapélda: Ábrázoljk az 1, m oldalhosszúságú kockát madárvetületben, ha az adatok: α = 45, κ = 3, a léptéktényező L = 1 : 5! Megoldás: A kocka testátlója P végpontjának térbeli koordinátái: X P = Y P = Z P = 1, m = 1 cm. Ezzel és ( A 5 ) - tel a P pont rajzi képkoordinátái: 1 x P ' 1 cm cos 45 1 cm sin 45 cm; 5 tehát: x ' cm. P 1 y P ' 1 cm sin 45 1 cm cos 45 1 cm tg3 5 1,6737 cm 1,7 cm, tehát y P ' 1,7 cm. A végeredményt a 15. ábrán szemléltetjük. Látjk, hogy egy felülnézetes képet kaptnk. Ezzel a mintapéldát megoldottk.
35 15. ábra Irodalom: [ 1 ] Lőrincz Pál ~ Petrich Géza: Ábrázoló geometria 3. kiadás, Tankönyvkiadó, Bdapest, 1985. [ ] Pelle Béla: Geometria Tankönyvkiadó, Bdapest, 1979. Sződliget, 9. szeptember 1. Összeállította: Galgóczi Gyla mérnöktanár