Lánctörtek és alkalmazásaik

Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Matematikai Intézet Szakdolgozat Lánctörtek és alkalmazásaik készítette: Szabó Mariann témavezető: Dr Tengely Szabolcs Debrecen, 203

Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék i Bevezető 2 2 Lánctörtek 3 2 A lánctörtek története 3 22 Racionális számok lánctörtjei 5 23 A d alakú számok lánctörtjei 2 3 Pell-egyenletek 6 3 Pell-egyenletek 6 4 Feladatok 2 4 Feladatok 2 Irodalomjegyzék 29 i

Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretném megköszönni a családomnak és a páromnak a folyamatos támogatást, biztatást, segítséget és türelmet, amit egyetemi éveim alatt kaptam

Bevezető Szakdolgozatom témája a lánctörtek és azok gyakorlati alkalmazásai A 2 fejezetben a lánctörtek valamint első- és másodfokú határozatlan egyenletek eredetéről, történetéről ejtek szót A 22 fejezetben bevezetem a lánctört fogalmát, két lánctört előállítási módszert mutatok be, illetve a lánctörtek egyértelműségére vonatkozólag ismertetek néhány tulajdonságot Megadom a kezdőszelet fogalmát is A 23 fejezetben a végtelen egyszerű lánctörteket és periódikus lánctörteket ismertetem Bemutatom a periódikus lánctörtek és másodfokú egyenletek kapcsolatát Majd pedig a d alakú lánctörtek néhány tulajdonságát vázolom fel A 3 fejezetben a Pell-egyenletek definíciója után az egyenlet lánctörtekkel való megoldhatóságát és annak tulajdonságait mutatom be A 4 fejezetben néhány olyan feladatot ismertetek, amelyek megoldásához felhasználhatók a lánctörtek és a Pell-egyenletek Szakdolgozatomban példákat és Maple-ben írt programokat használok a fogalmak teljeskörűbb megértéséhez A Maple egy olyan matematikai szoftvercsomag, mely a matematika minden területén használható különféle számítások, elemzések elvégzésére Ezenkívül alkalmas dokumentációk készítésére, grafikai ábrázolásra, illetve pénzügyi, statisztikai, fizikai modellezésre is [0] 2

2 Lánctörtek A 2 fejezetben szereplő rövid történeti áttekintéshez az [], [3], [7] és [8] irodalmat használtam fel A 22 és a 23 fejezetben szereplő definíciók, tételek és bizonyításaik megírásához a [3] és [6] művek nyújtottak segítséget A fejezetek szemléletesebbé tételéhez példákat és Maple-ben írt programokat használok 2 A lánctörtek története Első- és másodfokú egyenletekkel már a babiloni birodalom korában foglalkoztak A III században Diophantosz Arithmetica című tizenhárom kötetes művében szerepelnek első- és másodfokú határozatlan egyenletek Ő ekkor tört megoldásokat is elfogadott Az V században Arjabhata hindu matematikus és csillagász, a VII században Brahmagupta foglalkozott határozatlan egyenletekkel Brahmagupta az ax + by = c alakú elsőfokú diophantoszi egyenlet egész megoldásait kereste (negatívokat is elfogadva), ahol a, b és c is egészek A megoldások alapja, hogy az ax + by = egyenlet egész gyökeit c-vel szorozta meg Ezután egyre kisebb együtthatójú egyenletté alakítva az eredetit, könnyen leolvashatóvá vált a megoldás Ez az eljárás az euklideszi algoritmusra vezethető vissza A XII században élt hindu matematikus és csillagász Bhászkara adott általános megoldást az elsőfokú kétismeretlenes határozatlan egyenletekre A lánctörteket már Arjabhata is ismerte, azonban Fibonacci Liber Abaci című könyvében szereplő jelölés a lánctörtek egy másik írásmódját adja A könyvben szereplő jelentése a következő 345 volt: + + 5 4 = 3 3 + 3 4 + 3 4 5 Bombelli XVI századi olasz matematikus L Algebra Opera című könyvében szereplő közelítések nem megfelelőek, ugyanis a 2 = + 2 + 2 + 2 + 2 értéke 3 2 = + 2 + 2 + 2 + 2,

FEJEZET 2 LÁNCTÖRTEK 4 illetve a 3 = 3 + 4 6 + 6 + 6 + 6 jelölés értéke 4 3 = 3 + 4 6 + 6 + 4 6 + 4 6 Ezek nem helyes számítások A helyes közelítés a következőképpen néz ki: 2 = + 2 + 2 + illetve 4 3 = 3 + 4 6 + 6 + 4 A XVI században Tartaglia fordította le latinra Diophantosz Arithmetica című művét, melyben már szerepelt törtelőállítás: 70 50 = 3 + 4 + + 4 + 2 Az 730-as évek körül Euler dolgozta ki és alapozta meg a lánctörtek elméletét 767-ben Lagrange dolgozott ki egy módszert, mellyel lánctörtek segítségével ad közelítést algebrai egyenletek megoldására Ilyen egyenlet például az x 2 dy 2 = típusú Pell-egyenlet, mellyel többek között Diophantosz, Bhászkara és Euler is foglalkozott Magyar matematikusok közül például Bolyai Farkas foglalkozott a lánctörtekkel Igazolta, hogy az x 2 + ax = b valós együtthatójú egyenlet egy megoldása az alábbi végtelen lánctört: x = a + b b a + b Továbbá bizonyítást adott az alábbi lánctörtre: 4 π = + 2 2 + 32 2 + 52

FEJEZET 2 LÁNCTÖRTEK 5 22 Racionális számok lánctörtjei 22 Definíció Véges lánctörtnek nevezzük az alábbi alakú törtet: a 0 + a + b 0 b an + b n a n, ahol a,, a n, b 0,, b n N, az a 0 egész szám lehet negatív, ekkor negatív számot állít elő a lánctört, illetve lehet nulla is, ekkor 0 és közötti számról beszélünk Továbbá, ha b 0 = = b n =, akkor a következő jelölést használva: a 0 + a + an + a n = a 0, a,, a n véges egyszerű lánctörtről beszélünk Az a 0,, a n számokat a lánctört jegyeinek nevezzük Véges egyszerű lánctört előállítása az euklideszi algoritmus segítségével történhet: Az a racionális számot akarjuk előállítani Ekkor a, b Z, b > 0 és lnko(a, b) = b Az algoritmus: ( lépés): a = a 0 b + q b = a q + q 2 q = a 2 q 2 + q 3 q n 2 = a n q n + q n q n = a n q n, ahol q,, q n, a,, a n N, a 0 Z és q < q 2 < < q n teljesül (2 lépés): Elosztva az egyenlőségeket rendre b, q,, q n -nel:

FEJEZET 2 LÁNCTÖRTEK 6 a b = a 0 + q b = a 0 + b q b q = a + q 2 q = a + q q 2 q q 2 = a 2 + q 3 q 2 = a 2 + q 2 q 3 q n 2 q n = a n + q n q n = a n (3 lépés): Egymást követő helyettesítésekkel megkapjuk az a b q n = a n + q q n n q n lánctört alakját: Példa: ) pozitív eset: a 48 7 ezután: a b = a 0 + a + q q 2 = = a 0 + a + egyszerű lánctört alakja az előző eljárás alapján: 48 = 8 7 + 2 7 = 2 + 5 2 = 2 5 + 2 5 = 2 2 + 2 = 2 an + a n 48 7 = 8 + 2 7 = 8 + 7 2 7 2 = + 5 2 = + 2 5 2 5 = 2 + 2 5 = 2 + 5 2 5 2 = 2 + 2 = a 0, a,, a n

FEJEZET 2 LÁNCTÖRTEK 7 majd helyettesítésekkel: 48 7 = 8 + + 2 5 = = 8 + + 2 +, azaz 48 7 = 8,, 2, 2, 2 2 + 2 2) negatív eset: 27 9 = 7 + 3 + 6 = 7, 3, 6 3) 0 és közötti eset: 5 2 = 0 + 4 + = 0, 4, 5 5 Az eljárás visszafelé is működik, azaz egy lánctörtet vissza tudunk fejteni racionális számmá A visszafejtés egyszerű számolással végezhető Egy másik lánctört előállítási módszer a következő algoritmus alkalmazása: Jelölje x 0 = [x 0 ] + {x 0 } az átalakítani kívánt a b racionális számot Tehát bontsuk fel a -t egész- b és törtrész összegére Továbbá legyen a 0 hajtsuk végre az x i = = [x 0 ] Az a, a 2,, a n számok meghatározásához {x i }, a i = [x i ], i = 0,, n algoritmust, tehát x i az x i törtrészének a reciproka lesz Az algoritmus addig folytatódik, amíg x n egész lesz A kapott a i számokból a 22 definícó alapján felírható a lánctört Példa: ) x 0 = 48 7 = 8 + 2 7, a 0 = 8 x = 2 7 = 7 2 = + 5 2, a = x 2 = 5 2 x 3 = 2 5 x 4 = 2 = 2 5 = 2 + 2 5, a 2 = 2 = 5 2 = 2 + 2, a 3 = 2 = 2 = 2 + 0, a 4 = 2 48 7 = 8,, 2, 2, 2

FEJEZET 2 LÁNCTÖRTEK 8 2) x 0 = 27 9 x = 6 9 x 2 = 6 = 6 3 9 = 7 + 6 9, a 0 = 7 = = 9 6 6 = 3 + 6, a = 3 = 6 + 0, a 2 = 6 27 9 = 7, 3, 6 3) x 0 = 5 2 = 0 + 5 2, a 0 = 0 x = 5 2 x 2 = 5 = 2 5 = 4 + 5, a = 4 = 5 = 5 + 0, a 2 = 5 5 = 0, 4, 5 2 Negatív számnál, mint a 2) példában, arra kell figyelni, hogy itt is összeg formájában adjuk meg az x 0 -t A két módszer nyilvánvaló hasonlóságot mutat A második módszer tekinthető az első rövidített változatának, ugyanis ott azonnal a (2 lépés)-sel kezdünk Mindkét módszerrel ugyanazt a lánctört alakot kaptuk Igaz-e tehát, hogy egy racionális számnak egy lánctört alakja létezik, és egy lánctört egy racionális számot reprezentál? Vegyük a példában szereplő 48 7 : 8,, 2, 2, 2 = 8 + + 2 + 2 + 2 = 8 + + 2 + 2 + + = 8,, 2, 2,, Az emeletes törtek kiértékelésével mindkét estben 48 -et kapunk Így tehát több lánctört alak 7 is megadható ugyanazon számhoz Ezért, ha kikötjük, hogy egy lánctört utolsó számjegye nem

FEJEZET 2 LÁNCTÖRTEK 9 lehet, akkor egyértelművé tettük, hogy egy racionális számnak egy lánctört alakja létezik és ez megfordítva is igaz Általánosan: a n = (a n ) + miatt: a b = a 0, a,, a n = a 0, a,, a n,, ezért kikötve, hogy a n az a 0, a,, a n egyértelmű A 2 ábrán a Maple programon keresztül szemléltetem a fentieket: 2 ábra A cfrac eljárás kiírja a szám lánctört alakját Majd a cfrac eljárás quotients paramétere egy listában adja meg a lánctört másik írásmódját Ezt a listát elneveztem lánctört-nek Megadtam egy másik lánctörtet a lánctört2 listában Az a 0, a, a n = a 0, a,, a n, egyenlőség miatt lánctört = lánctört2 teljesül A CFRAC függvény a listában lévő számokat jeleníti meg lánctörtként Végül újra a cfrac eljárást használtam ahhoz, hogy a két listában szereplő számok alapján megkapjam a megfelelő láncört értékét Mindkét esetben a 48 kaptam vissza, tehát a 7 lánctört és lánctört2 is ugyanannak a racionális számnak a lánctört alakja

FEJEZET 2 LÁNCTÖRTEK 0 22 Tétel Két lánctörtet akkor mondunk egyenlőnek, ha értékük ugyanaz a szám Bizonyítás ([6] alapján:) A két lánctörtet jelölje a 0, a,, a s és b 0, b,, b t Az előzőek miatt feltesszük, hogy a s és b t A tétel akkor lesz igaz, ha a két lánctört azonos számú tagból áll, tehát s = t és megfelelő tagjaik egyenlőek, azaz a i = b i, i = 0,, s Legyenek: m 0 = a 0, a,, a s, n 0 = b 0, b,, b t m = a, a 2,, a s, n = b, b 2,, b t m s = a s, a s, n t = b t, b t m s = a s, n t = b t, ahol a 0, b 0 Z, a,, a s, b,, b t N, m 0,, m s, n 0,, n t R Ekkor: m 0 = a 0 + m, n 0 = b 0 + n m = a + m 2, n = b + n 2 m s = a s +, m s n t = b t + n t m s = a s, n t = b t Ahhoz, hogy belássuk a i = b i, i = 0,, s vegyük először m 0 -t és n 0 -t Tegyük fel, hogy m 0 = n 0, ez akkor teljesül, ha a 0 = b 0 és m = n Az m = n viszont akkor teljesül, ha a = b és m 2 = n 2 Ezt folytatva s + lépés után azt kapjuk, hogy mivel m s = n t, ezért a s = b t Továbbá a feltétel szerint a s és b t miatt az is teljesül, hogy s = t 222 Definíció Jelölje α az a 0, a,, a n lánctörtet és legyenek p, q Z, q 0 Ekkor az α kezdőszeleteit az alábbi lánctörtek adják: α 0 = a 0 = p 0 q 0 α = a 0, a = p q α 2 = a 0, a, a 2 = p 2 q 2 α n = a 0, a, a 2,, a n = p n q n = α α k-adik kezdőszeletét jelölje: α k = a 0, a,, a k = p k q k Megjegyzés A nevezők által alkotott sorozat növekvő, azaz: q 0 q < q 2 < q 3 < q n

FEJEZET 2 LÁNCTÖRTEK A p k, q k meghatározása történhet a lánctört visszafejtésével, vagy az alábbiak szerint: Példa: az α = 48 7 kezdőszeletei: α 0 = 8 = 8, p 0 = a 0, q 0 = p = p 0 a 0 +, q = a p k = p k a k + p k 2, k = 2,, n α = 8, = 9, vagy vagy q k = q k a k + q k 2 p 0 q 0 = a 0 = 8 p q = p 0a + a = 9 α 2 = 8,, 2 = 26 3, vagy p 2 = p a 2 + p 0 = 26 q 2 q a 2 + q 0 3 α 3 = 8,, 2, 2 = 6 7, vagy p 3 = p 2a 3 + p = 6 q 3 q 2 a 3 + q 7 α 4 = 8,, 2, 2, 2 = 48 7, vagy p 4 = p 3a 4 + p 2 = 48 q 4 q 3 a 4 + q 2 7 222 Tétel Irracionális α és racionális a b esetén, ahol b, lnko(a, b) = és teljesül, akkor k N esetén α a < b 2b 2 a b = α k = p k q k Bizonyítás ([3] alapján:) Jelölje az α lánctört alakjának k-adik kezdőszeletét p k, továbbá q k feltesszük, hogy teljesülnek a feltételek a -re, de ez nem kezdőszelete az α lánctörtnek, vagyis b a b p k A q n sorozat szigorúan monoton növekvő tulajdonsága miatt, pontosan egy k N szám q k létezik, amire q k b < q k+ Erre a k-ra teljesül a következő: q k α p k bα a = b α a < b 2b, amiből adódik: α p k < 2bq k q k

FEJEZET 2 LÁNCTÖRTEK 2 A feltétel szerint a b p k, és a bp k aq k különbség egész és nem egyenlő nullával, ezért q k bp k aq k Következésképpen: bp k aq k bq k bq k = p k a q k b p k α α q k + a < + b 2bq k 2b 2 Tehát az bq k < 2bq k + 2b 2 egyenlőtlenségből azt kapjuk, hogy b < q k, ez pedig ellentmond k választásának 23 A d alakú számok lánctörtjei 23 Definíció Legyen a 0 Z, a, a 2,, b 0, b, b 2, N, ekkor végtelen lánctörtnek nevezzük az alábbi alakú törtet: a 0 + a + b 0 b a 2 + b 2 Ha b 0 = b = b 2 = =, akkor végtelen egyszerű lánctörtről beszélünk, melynek jelölése: a 0 + a + a 2 + = a 0, a, a 2, 232 Definíció Egy végtelen egyszerű lánctörtet periódikusnak nevezünk, ha benne valamely lánctörtjegyek sorozata közvetlenül egymás után ismétlődik, azaz: a 0 + a + am + g + gn + g + gn + g + = a 0, a,, a m, g,, g n, g,, g n, g, alakú egyszerű végtelen lánctört periódikus, ahol a g,, g n N sorozat lesz a periódus, n pedig a periódus hossza Jelölés: a 0, a,, a m, g,, g n Az is megengedett, hogy a periódus rögtön az első lánctörtjeggyel kezdődjön, ekkor a lánctört g,, g n alakú és tisztán periódikusnak nevezzük

FEJEZET 2 LÁNCTÖRTEK 3 23 Tétel Periódikus egyszerű lánctörtek másodfokú egyenletek pozitív megoldásait adják Bizonyítás Jelölje α a periódikus lánctörtet és β a periódust, tehát: α = a 0, a,, a m, g,, g n, β = g,, g n Innen α = a 0 + a + am + β Ebből a β-ra felírható egy xβ 2 + yβ + z = 0 alakú másodfokú egyenlet, melyből meghatározott pozitív β-t visszahelyettesítve α-ba, α-ra is megadható egy másodfokú egyenlet Ennek a pozitív megoldása lesz az α Példa: α =, 3, 2, 5, 2, 2 = + 3 + 2 + 5 + 2 + 2 + 5 + 2 + 2 + 5 +, β = 5, 2, 2 = 5 + 2 + 2 + β Innen A másodfokú egyenlet β-ra: α = + 3 + 2 + β és ebből 5β 2 25β = 0 = β + = 25 + 3 5 0 α = 729 3 6 62 A példában szereplő α és β irracionális szám, melyek lánctört alakja végtelen A 22 fejezet szerint egy racionális szám lánctört alakja véges és fordítva egy véges egyszerű lánctört értéke racionális

FEJEZET 2 LÁNCTÖRTEK 4 szám Irracionális szám esetében a lánctört alak végtelen és végtelen lánctört irracionális számot reprezentál Irracionális számoknál a lánctörtalak előállítás ugyanúgy végezhető, mint a racionális számoknál, azzal a különbséggel, hogy itt az algoritmus nem ér véget, és a kapott lánctörtjegyek egyértelmű ismétlődésekor felírható a periódus, amennyiben az létezik 233 Definíció Az a + b c alakú valós számokat kvadratikus irracionálisnak nevezzük, ahol d a, b, c, d Z, d 0, c > 0 nem négyzetszám Az előző példában szereplő α, β számok is kvadratikus irracionálisak 232 Tétel Ha d = a 2 + alakú, akkor d = a 0, 2a 0, ahol d Z Bizonyítás ([6] alapján:) Ha d = a 2 + alakban írható, akkor d lánctört előállítása a következőképpen történhet: A ( d a 0 )-t helyettesítjük ( d a 0 )( d + a 0 ) = d a0 = d + a0 d = a0 + d + a0 -val, akkor: 2a 0 + ( d a 0 ) d = a0 + = a 0 + 2a 0 + 2a 0 + d + a0 2a 0 + ( d a 0 ) Itt az előző helyettesítést egymás után végtelen sokszor elvégezve periódikus lánctörtet kapunk, mely így néz ki: d = a0 + 2a 0 + 2a 0 + 2a 0 + = a 0, 2a 0, 2a 0, 2a 0, = a 0 2a 0 Példa: 37 = 6, 2 50 = 7, 4 22 =, 22 000 = 00, 200

FEJEZET 2 LÁNCTÖRTEK 5 233 Tétel Minden d N nem négyzetszámra fennáll, hogy: d = a0, a, a 2, a 3,, a 3, a 2, a, 2a 0, ahol a 0 = [ d] Példa: 2 = 3, 2, 6 49 = 20, 2, 7,, 2, 3,, 2,, 9,, 2,, 3, 2,, 7, 2, 40 820 = 28,,,, 2,, 0,, 2,,,, 56 26 = 34,, 6,, 3, 4, 2,,, 4, 7, 4,,, 2, 4, 3,, 6,, 68 Maple programban: 22 ábra A cfrac eljárás quotients paramétere egy listában adja meg a láncörtet, míg a periodic paraméter a lánctört periódusát adja meg a listán belül egy másik listában

3 Pell-egyenletek Ebben a fejezetben bemutatom a Pell-egyenletek és a lánctörtek kapcsolatát Itt is ugyanúgy, mint az eddigiekben definíciók, tételek és bizonyítások, példák, valamint programok segítségével teszem szemléletesebbé a fejezetet Itt nagyban támaszkodtam a [3] és [6] irodalomra 3 Pell-egyenletek 3 Definíció Pell-egyenletnek nevezzük az x 2 dy 2 = egészegyütthatós diofantikus egyenletet, ahol d is egész Az egyenlet triviális megoldásai az (x, y) számpárra: d < esetben: (±, 0), d = esetben: (0, ±), vagy (±, 0), d = 0 esetben a (±, y) végtelen sok megoldást kapjuk, ahol az y tetszőleges, ha d > 0 négyzetszám, azaz d = a 2 alakú, akkor az egyenlet (x ay)(x + ay) = alakban írható, így a megoldások: (±, 0) A továbbiakban a d > 0 és d a 2 esettel foglalkozom, ekkor ugyanis végtelen sok nem triviális megoldás létezik, mely megoldásokat a d lánctört alakjának kezdőszeletei adják 3 Tétel Az x 2 dy 2 = Pell-egyenlet egy (p, q) megoldása a d láncört egy kezdőszeletének számlálója és nevezője Bizonyítás ([6] alapján:) Legyen (p, q) megoldás, ekkor: p 2 dq 2 = p 2 = dq 2 + p > q, p 2 dq 2 = (p dq)(p + dq) = p dq = Innen mivel d > és p > q, ezért p + dq > 2q q(p + dq) > 2q 2 6 (p + dq) p q d = q(p + dq) < 2q 2 q(p + dq)

FEJEZET 3 PELL-EGYENLETEK 7 Ahonnan kapjuk, hogy p q d < 2q 2 Ez pedig a 222 tétel szerint azt jelenti, hogy p q a d lánctört egy kezdőszelete 32 Tétel Legyen α k = p k q k a d lánctört alakjának k-adik kezdőszelete, periódusának hossza pedig n Ekkor p 2 jn dq 2 jn = ( ) jn, j =, 2, 3, Bizonyítás ([3] alapján:) Jelölje most a 0, a, a 2,, a jn, x jn a d lánctört alakját, továbbá legyen j, x jn = 2a 0, a, a 2,, a n, 2a 0 = a 0 + d A d = a 0, a, a 2,, a jn, x jn = p jn = x jnp jn + p jn 2 feltevést alkalmazva és x jn helyébe q jn x jn q jn + q jn 2 a 0 + d-t írva a következő egyenlőséget kapjuk: d(a0 q jn + q jn 2 p jn ) = a 0 p jn + p jn 2 dq jn A bal oldalon irracionális számot kapunk, a jobb oldalon pedig racionálisat Az egyenlőség ezért nem igaz, így a következők teljesülnek: a 0 q jn + q jn 2 p jn = 0, illetve a 0 p jn + p jn 2 dq jn = 0 A fenti egyenlőségeket megszorozva p jn -gyel, illetve q jn -gyel, összeadva, majd rendezve: p 2 jn dq 2 jn = p jn q jn 2 q jn p jn 2 Állítás: A 222 definícióban előálló p k, q k sorozatokra fenáll k 2 esetén: p k p k = ( )k q k Ezért a kapott egyenlőség jobb oldala, azaz: q k p jn q jn 2 q jn p jn 2 = ( ) jn 2 = ( ) jn, így: p 2 jn dq 2 jn = ( ) jn

FEJEZET 3 PELL-EGYENLETEK 8 33 Tétel Legyen d N nem négyzetszám, α k = p k q k a d lánctört alakjának k-adik kezdőszelete és n a lánctört periódusának hossza Ekkor az x 2 dy 2 = Pell-egyenlet összes pozitív megoldása: ha n páros szám, akkor: (x, y) = (p jn, q jn ), j =, 2,, ha n páratlan szám, akkor: (x, y) = (p 2jn, q 2jn ), j =, 2, Bizonyítás A 3 tétel alapján egy Pell-egyenlet minden megoldása a d lánctört alakjának valamely kezdőszelete Az alábbi program megadja egy d szám kezdőszeleteit Jelen példában a 4 és a 76 első 20 kezdőszelete látható: 3 ábra

FEJEZET 3 PELL-EGYENLETEK 9 A következő ábra az x 2 dy 2 = Pell-egyenlet megoldásait mutatja, amikor a periódus kicsi, illetve nagy: 32 ábra A megold eljárás meghatározza az egyenlet megoldásait adott d szám esetében Példámban először a d = 4-et, majd a d = 76-ot vizsgáltam A lánctörtek hosszát 50 számjegyig adtam meg, ugyanígy a lehetséges megoldások számát is A periódus hosszából látszik, hogy minél hosszabb a periódus annál ritkábban jutunk megoldáshoz Továbbá 33 tétel alapján, ha a pe-riódushossz páros, akkor a kezdőszeletek közül minden (jn )-edik elégíti ki a Pell-egyenletet, ha pedig a periódushossz páratlan, akkor a (2jn )-edik kezdőszeletek alkotják a megoldásokat A 3 ábrát összevetve a 32 ábrával látható, hogy a példában szereplő 76 esetében, ahol n = 2, a, 23, 35, 47, kezdőszeleteket, illetve a 4-nél, ahol n = 3, az 5,, 7, 23, 29, 35, kezdőszeletek kerestük

FEJEZET 3 PELL-EGYENLETEK 20 A következő példaprogram azt mutatja, hogy mely kezdőszeleteknél fordul elő az x 2 dy 2 = eset, a 29 első 30 kezdőszeletét vizsgálva, ahol n = 5: 33 ábra Valóban a (jn )-edik, azaz a 4, 9, 4, 9, 24, 29, kezdőszeleteknél felváltva kapunk -et és -et Ahhoz, hogy csak -et kapjunk megoldásnak, tehát teljesüljön a Pell-egyenlet páratlan periódushossznál, a (2jn )-edik kezdőszeletek lesznek a keresett számpárok A 29 esetében tehát a 9, 9, 29, kezdőszeletek

4 Feladatok Ehhez a fejezethez érdekes feladatokat ([2], [4], [5], [9]) kerestem, melyek megoldása a lánctörtekhez, illetve Pell-egyenletekhez kapcsolódik 4 Feladatok feladat: A Fibonacci-számok előállítása lánctörtek segítségével [4]: A Fibonacci-számok, vagyis a 0,,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, sorozat a következőképpen áll elő: F 0 = 0, F =, F 2 = F 0 + F =, F 3 = F + F 2 = 2,, F n = F n 2 + F n, Állítsuk elő az F n F n -et lánctört alakban (n = 2, 3, )! F 2 F = F 3 F 2 = 2 F 4 F 3 = 3 2 F 5 F 4 = 5 3 F 6 F 5 = 8 5 = = = 2 =, =, 2 =,, =,, 2 =,,, =,,, 2 =,,,, F 7 F 6 = 3 8 F 8 F 7 = 2 3 =,,,, 2 =,,,,, =,,,,, 2 =,,,,,, 2

FEJEZET 4 FELADATOK 22 Amellett, hogy szemmel láthatóan érdekes lánctörteket kaptunk, elmondható az is, hogy az,,,,,,,,,,, lánctörtekből álló sorozat visszafejtésével mind a számlálóban, mind a nevezőben a Fibonacci-számokat kapjuk Előbbi esetben F 2 -től kezdődve, míg utóbbi esetben F -gyel kezdve a sorozatot Vagyis egy n db -ből álló lánctört kezdőszeleteinek nevezője megadja az F, F 2,, F n Fibonacci-számokat F n Hasonlóan érdekes lánctört alakokat kapunk az felírásakor (n = 0,, ): F n+2 F 0 F 2 = 0 F F 3 = 2 F 2 F 4 = 3 F 3 F 5 = 2 5 = 0 = 0 = 0, 2 = 0, 2 = 0, 3 = 0, 2, = 0, 2, 2 = 0, 2,, F 4 F 6 = 3 8 F 5 = 5 F 7 3 F 6 F 8 = 8 2 = 0, 2,, 2 = 0, 2,,, = 0, 2,,, 2 = 0, 2,,,, = 0, 2,,,, 2 = 0, 2,,,,, Ebben az esetben a 0, 2,,,, lánctört kezdőszeleteinek számlálója lesz a Fibonacci sorozat

FEJEZET 4 FELADATOK 23 A 4 ábrán szereplő fib eljárás meghatározza az első n db Fibonacci-számot a 0, 2,,,, lánctört segítségével, ahol a lánctörtjegyek száma n Most n = 20, így a program a 0, 2,,,,,,,,,,,,,,,,,, lánctört kezdőszeleteinek számlálójából állítja össze a keresett számokat: 4 ábra 2 feladat: A szarvasmarhák problémája [2], [5], [9]: A feladat Arkhimédésztől származik (ie III század) A feladatban az adott csordához tartozó szarvasmarhák számát keressük A csorda fehér, fekete, barna és tarka bikákból illetve tehenekből áll, melyek darabszámára különböző kitételek vannak: minden szín esetében a bikák száma több, mint a teheneké; a fehér bikák száma megegyezik a feketék számának felével és egyharmadával és még a barnák számának összegével; Hasonló kitételek vannak a többi bikákra és tehenekre vonatkozólag is Ezenkívül azt tudjuk még, hogy a fehér és fekete bikák számának összege négyzetszám, illetve a barna és tarka bikák számának összege háromszögszám Jelölés: E : fehér bikák, F : fekete bikák, G : barna bikák, H : tarka bikák e : fehér tehenek, f : fekete tehenek, g : barna tehenek, h : tarka tehenek A feltételek tehát: E > e, F > f, G > g, H > h ( ) E = F + G 2 + 3 ( F = 4 + 5 ( H = 6 + 7 ) H + G ) E + G

FEJEZET 4 FELADATOK 24 ( e = 3 + 4 ( f = 4 + 5 ( h = 5 + 6 ( g = 6 + 7 ) (F + f) ) (H + h) ) (G + g) ) (E + e) E + F : négyzetszám, azaz m 2 alakú n(n + ) G + H : háromszögszám, azaz 2 A hét egyenletből álló egyenletrendszer megoldása, ahol k N: alakú E = 0 366 482k, F = 7 460 54k, G = 4 49 387k, H = 7 358 060k, e = 7 206 360k f = 4 893 246k g = 5 439 23k h = 3 55 820k Eddig a csorda tehát 50 389 082k szarvasmarhából áll Most figyelembe véve a két utolsó feltételt: m 2 = E + F = 0 366 482k + 7 460 54k = 7 826 996k = 2 2 3 } {{ 29 4657} k = 2 2 vk, v mivel az E + F négyzetszám, ezért k = vy 2 alakú, ahol y Z; n(n + ) 2 = G + H = 4 49 387k + 7 358 060k = 507 447k = } 7 353 {{ 4657} k = wk, w mivel a G + H háromszögszám, ezért (2n + ) 2 = 8wk + = (2n }{{ + } ) 2 8wvy 2 = = x 2 40 286 423 278 424y 2 = x A kapott Pell-egyenlet megoldható, a d = 40 286 423 278 424 szám lánctört alakjára megkereshető az a kezdőszelet, amely eleget tesz az egyenletnek Ezzel pedig már meghatározható a megoldás: 7, 76 0 206 544 E megoldás mind a 206 545 számjegyének megadása csak a XX században sikerült Addig, a XIX században, a számjegyek számát, néhány kezdő és végső számjegyet tudtak megadni Meyer, német matematikus, például 867-ben próbálkozott a fenti Pell-egyenlet megoldásával, de 240 lépés után sem sikerült megtalálnia a d lánctört periódusát, így feladta A keresett periódus hossza 203 254

FEJEZET 4 FELADATOK 25 Amthor tudott először megoldást adni a feladatra 880-ban Ő határozta meg a számjegyek számát és az első 3 számjegyet Megoldásának alapja, hogy a d = 40 286 423 278 424 számot (2 4657) 2 d alakban írta, ahol d = 4 729 494 nem négyzetszám és a d lánctört periódusa csak 92 hosszúságú Továbbá, mivel az (x, y) = x + y d számpár az x 2 dy 2 = Pell-egyenlet megoldása, akkor az (x, 2 4657 y) = x + 2 4657 y d számpár az x 2 d y 2 = Pellegyenlet megoldása Amthor tehát először megoldotta a x 2 d y 2 = Pell-egyenletet, majd azt a legkisebb n-edik megoldást kereste, melyben az y osztható 2 4657-tel Ekkor ugyanis az (x + 2 4657 y d ) n = x + y d összefüggés teljesül Azt kapta, hogy az n = 2329, ezzel pedig eljutott az eredeti Pell-egyenlet megoldásához Lenstra, holland matematikus, Amthor megoldását felhasználva a feladat összes lehetséges megoldását egy képlet segítségével adta meg 2002-ben: E + F + G + H + e + f + g + h = 50 389 082 k i, i =, 2, 3, (u4658 i u 4658 i ) 2 ahol k i =, 368 238 304 és u = 300 426 607 94 28 73 365 609 + 84 29 507 677 858 393 258 7766 Amthor számolása alapján u 2 = x + y d az x 2 d y 2 = Pell-egyenlet megoldása A legkisebb megoldást i = esetben kapjuk, azaz a csorda legkevesebb 7, 76 0 206 544 darab szarvasmarhából áll

FEJEZET 4 FELADATOK 26 A 32 ábrán látható megold eljárást felhasználva az alábbi program a fenti képletek alapján számolja ki a csorda legkisebb számát A d = 4 729 494 esetben megadja a Pell-egyenlet első (x, y) megoldását, ebből meghatározza azt az u számot, melyet a Lenstra - féle képletbe helyettesítve megkapjuk a végeredményt 42 ábra 3 feladat: A ház probléma [9]: A feladatban egy utcában keresünk egy házat a következő információk alapján: az utcában legalább 200 és legfeljebb 500 ház áll, melyek számozása -től kezdődik és egyesével növekszik; továbbá az utca elejétől a keresett házig vett házszámok összege megegyezik a keresett háztól az utca végéig vett házszámok összegével Jelölje k a keresett házszámot, h pedig az utcában lévő házak számát Ekkor a feladat szerint:

FEJEZET 4 FELADATOK 27 200 k, h 500 + 2 + + k = k + + h k(k + ) 2 = h(h + ) 2 k(k ) 2 k 2 + k = h 2 + h k 2 + k 2k 2 = h 2 + h A kapott egyenlet átalakítható Pell-egyenletté: (2h + ) 2 2(2k) 2 = x = 2h +, y = 2k = x 2 2y 2 = Ezt pedig már meg tudjuk oldani lánctörtek segítségével Itt d = 2, azaz a 2 kezdőszeletei közül kapjuk a megoldást x-re és y-ra, melyekből könnyen meghatározható a k és h, vagyis a keresett házszám és az utcában lévő házak száma

FEJEZET 4 FELADATOK 28 Itt szintén a 32 ábrán lévő megold eljárást alkalmaztam, illetve kibővítettem az adott feltételekkel, hogy az alábbi módon határozzam meg a feladat megoldását: 43 ábra

Irodalomjegyzék [] Dr Lénárdi László Sain Márton Matematikatörténeti feladatok, page 38 Tankönyvkiadó, 982 [2] H W Lenstra Jr Solving the Pell Equation http://wwwamsorg/notices/200202/fea-lenstra pdf, 2002 [3] Klukovits Lajos Számelmélet és alkalmazásai - segédanyag http://wwwmathu-szegedhu/ ~klukovit/hallgatoknak/szamelm/_szamelm2html, 20 [4] Dr Ron Knott An Introduction to Continued Fractions http://wwwmathssurreyacuk/ hosted-sites/rknott/fibonacci/cfintrohtml, 203 [5] Kovács Lehel István Érdekes informatikai feladatok - XXI rész Firka, 7 évf 2007-2008 4 sz, 2008 http://epaoszkhu/00200/00220/00053/pdf/firka_epa00220_2007_2008_04_52-57pdf [6] Maurer I Gyula Tizedes törtek és lánctörtek, pages 74 90 Dacia Könyvkiadó, 98 [7] Sain Márton Matematikatörténeti ABC, pages 2 7, 3, 4, 44 50, 56, 74, 48, 9 Tankönyvkiadó, 974 [8] Szabó Péter Gábor Bolyai Farkas számelméleti vonatkozású kéziratos hagyatéka Természet Világa, 2003 I különszám, 2003 http://wwwtermeszetvilagahu/szamok/kulonszamok/k030/szabo html [9] Szalay László A ház probléma http://titanicnymehu/~laszalay/houseprpdf, 2007 [0] http://wwwmaplesoftcom/ 29