A KÉTSZEMPONTOS SZTOCHASZTIKUS ÖSSZEHASONLÍTÁS MODELLJE* VARGHA ANDRÁS

MÓDSZERTANI TANULMÁNYOK A KÉTSZEMPONTOS SZTOCHASZTIKUS ÖSSZEHASONLÍTÁS MODELLJE* VARGHA ANDRÁS A jelen tanulmányban a kétszempontos varianciaanalízis modelljének egy olyan általánosítását mutatjuk be, amely nemcsak folytonos, normális, anem bármely olyan függő változó esetén is alkalmazató, amely eleget tesz az ordinalitás (rangsorskála) kritériumának. Ez a modell közvetlen kiterjesztése az egyszempontos sztocasztikus összeasonlítás modelljének (Varga [2002]). A sztocasztikus összeasonlítás sajátossága, ogy a páronkénti összevetések lokális viszonylatai esetenként más mintázatot követetnek, mint a teljes együttesez való viszonyt tükröző globális viszonylatok. Ez a kettősség a kétszempontos sztocasztikus összeasonlítás során is megjelenik, melynek kezelésére két különböző statisztikai modellt ismertetünk. TÁRGYSZÓ: Nemparaméteres varianciaanalízis. Kétszempontos sztocasztikus összeasonlítás. Sztocasztikus omogenitás. Sztocasztikus interakció. A csoportok összeasonlítása valamely X kvantitatív változó nagyságszintje szerint a társadalomtudományok, ezen belül a pszicológia egyik legfontosabb módszertani paradigmája. Számos esetben a csoportokat két csoportosító faktor (szempont vagy szempontváltozó) alapján képezik, és a kutatót érdeklő kérdés ezen szempontok fő-, illetve kölcsönatására, interakciójára vonatkozik. Szemléltetésképpen álljanak itt az alábbi példák. a) Hogyan függ a magyarországi felnőtt lakosságon belül az olvasásra szánt idő (például étre vonatkoztatva) a személy nemétől és iskolázottságától? b) Hogyan függ az Ariel mosópor ötfokú szimpátiaskálán mért kedveltségi szintje a személy életkorától (a 4 30, 3 50, 5 99 éves csoportosítás szerint) és attól, ogy a személy a fővárosban, vidéki városban vagy községben lakik? c) Hogyan függ a Spielberger-féle szorongásteszt két skálájának szintje a személy nemétől és diagnózisától nem pszicotikus, intézményben kezelt betegek esetében? d) Hogyan függ egy doányzásról való leszoktatást (mondjuk a naponta elszívott cigaretták átlagos számának csökkentését) célzó pszicológiai kezelés atékonysága 3 ónappal a kezelés után attól, ogy a személynek milyen az iskolázottsága és a kezelés előtt milyen intenzíven doányzott? Ha X normális eloszlású és ugyanolyan szórású kvantitatív változó az A csoportosító szempont g számú és a B csoportosító szempont számú szintjének minden kombináció- * A tanulmány megírásáoz nagy segítséget nyújtott a T03257 számú OTKA-pályázat, valamint a 094/2000 számú FKFP-pályázat. Statisztikai Szemle, 82. évfolyam, 2004.. szám

68 VARGHA ANDRÁS ja esetén, és a az ezen kombinációkoz tartozó minták egymástól mind függetlenek, akkor a fenti típusú kérdések egy kétszempontos varianciaanalízis (VA) modelljében válaszolatók meg, melynek függő változója az alábbi lineáris egyenlettel írató fel: X ijk = µ + α i + β j + γ ij + ε ijk. // Itt µ az X függő változó alapszintje (feltétel nélküli várató értéke), α i és β j rendre az A szempont i-edik, illetve a B szempont j-edik szintjének a atása, γ ij a két szempont (i, j) szintkombinációoz tartozó interakciós atása, X ijk az X változó értéke e szintkombináci- óoz tartozó n ij számú személy közül a k-adik esetében, ε ijk -k pedig e szintkombinációk mérési ibáját képviselő, egymástól független és azonos N(0, σ) normális eloszlást követő véletlen változók minden megfigyelés esetén (lásd Maxwell Delaney [2000], 7. fejezet, illetve Wilcox [996] 0. fejezet). Ebben a modellben a két főatás és az interakció az alábbi nullipotézisekkel tesztelető: H 0 (A): α i = 0 ( i g) ) H 0 (B): β j = 0 ( j ) /2/ H 0 (AB): γ ij = 0 minden (i, j) párra. A kétszempontos VA modelljének szemléltetésére bemutatunk egy olyan példát, amely a CBCL (Cild Beavior Cecklist), az Acenbac-féle Gyermekviselkedési Kérdőív (Acenbac [99]) magyar nyelvű adaptációjának statisztikai elemzéseiből származik (Gádoros [996]). 4-éves lányok (n = 23) és fiúk (n = 228) reprezentatív mintájában a 36. számú tüneti reakció (Gyakran megsérül, könnyen éri baleset) változóra vonatkozó eredmények az. ábrán látatók.. ábra. A nem és az életkor atása Gyakran megsérült Százalék 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 2 3 4 Életkor (éves) Fiúk Lányok * Az Acenbac-féle Gyermekviselkedési Kérdőív Gyakran megsérül, könnyen éri baleset tüneti skálájának szintjére 4 éves korú magyar gyermekek 442 fős reprezentatív mintájában. Az. ábra azt a jól ismert tapasztalatot erősíti meg statisztikai adatokkal, ogy a fiúk ajlamosabbak a sérülésre, mint a lányok, de az ábráról azt is leolvasatjuk, ogy ez a

KÉTSZEMPONTOS ÖSSZEHASONLÍTÁS 69 nemi atás csak 2 éves kortól jelentkezik. A kétszempontos VA modelljében ezt a jelenséget egy szignifikáns nemi atás (F(; 4404) = 2,80, p < 0,00) és egy nem kor interakciós atás (F(3; 4404) = 4,68, p < 0,0) erősíti meg, amelyben a kor önálló főatása még tendenciaszinten sem szignifikáns (F(3; 4407) = 0,9, p > 0,0). Az // modell paraméterei a megfelelő cellaátlagokkal és marginális átlagokkal becsületők. Ennek a szép VA-modellnek asználatóságát jelentősen rontja az a körülmény, ogy a normalitási és a szórásomogenitási alkalmazási feltétel ritkán teljesül a pszicológiai gyakorlatban (Holland Tayer [2000]; Micceri [989]; Wilcox [996] 3. és 80 8. old.; Zumbo Coulombe [997]). Sajnos, a normalitási feltétel erős sérülése esetén a szokásos robusztus VA alternatívák sem működnek megfelelően (Algina Osima Lin [994]). A VA tetszetős lineáris modelljének alkalmazatóságát az is csorbítja, ogy a pszicológiai kutatásokban gyakran találkozunk erősen diszkrét (3-5 fokú) ordinális skálájú változókkal, ami kétségessé teszi a paraméteres lineáris modell érvényességét. Például a fenti CBCL-kutatás tüneti reakciói áromfokú skálán mért ordinális változók (a leetséges értékek: 0 = nem jellemző, = alkalmanként megfigyelető, 2 = rendszeresen előfordul), többnyire 0-oz közeli jellemző értékekkel. A fenti 36. számú tüneti reakció változójának eloszlása fiúknál 87,3,4,3 százalék, lányoknál 93,2 6,3 0,4 százalék, ami látatóan mindkét esetben extrém mértékben ferde. Emellett az n ij mintaelemszámok is számottevően különböznek (min(n ij ) = 28, max(n ij ) = 822) és a szórásomogenitás feltétele sem teljesül (s max /s min =,57). Összefoglalva, a kétszempontos VA alkalmazási feltételei súlyosan sérülnek ebben az esetben, mégis szeretnénk olyan módszert találni, amely segítene statisztikailag alátámasztani az. ábráról leolvasató szakmai összefüggéseket. A kétszempontos sztocasztikus összeasonlítás alábbiakban részletezett két modellje erre tesz kísérletet. A KULLE-FÉLE KÉTSZEMPONTOS SZTOCHASZTIKUS MODELL A kétszempontos sztocasztikus összeasonlításra Kulle (999, 5. fejezet) a következő modellt javasolta. Tételezzük fel, ogy az X függő változót egy A csoportosító szempont g és egy B csoportosító szempont számú szintjének minden kombinációjában megvizsgáljuk. Jelölje X-et az (i, j) kombinációban X ij és legyen F ij ennek normalizált eloszlásfüggvénye (i =,, g; j =,, ). E jelölések mellett az (i, j) szintkombinációoz tartozó p ij sztocasztikus kezelési atást az egyszempontos sztocasztikus összeasonlítás esetével analóg módon a formulával definiáljuk, aol p ij = H(x)dF ij (x) /3/ g H(x) = w F ( x) /4/ kl k= l = kl A normalizált eloszlásfüggvény a balról és a jobbról folytonos eloszlásfüggvény átlaga (Varga [2002], /F/ formula).

70 VARGHA ANDRÁS az F kl eloszlásfüggvényeknek egy {w kl } súlyozással képezett súlyozott összege (Varga [2002]). A w kl súlyok ebben az esetben is az összeasonlított populációk részarányait képviselik, vagy a ez nem releváns, akkor azonos /(g ) értékűek. Az egyszempontos független mintás esettel analóg módon (Varga [2002], // formula) a p ij értékek az alábbi képlet segítségével is kiszámítatók: Ebben a képletben g p ij = kl k= l = w A( X, X ). /5/ ij kl A ( Xij, Xkl) = P( Xij > Xkl) + P( Xij = Xkl) 2 /6/ az X ij változó valószínűségi fölényét (sztocasztikus dominanciáját) méri az X kl változóval szemben. A(X ij, X kl ) értéke 0 és között mozogat. A(X ij, X kl ) = 0,5 esetén azt mondjuk, ogy az X ij változó sztocasztikusan egyenlő az X kl változóval, A(X ij, X kl ) > 0,5 esetén pedig azt, ogy az X ij változó sztocasztikusan nagyobb, mint az X kl változó (Varga Delaney [998]; Varga [999], [2002]). A p ij kezelési atások olyan globális atásértékek, amelyek jelzik az X ij változók sztocasztikus fölényét a teljes együttesez viszonyítva. Tekintve azonban, ogy az A valószínűségifölény-mutató segítségével definiált sztocasztikusan nagyobb reláció nem tranzitív, előfordulat, ogy két celláoz tartozó eloszlás globálisan más viszonyban van egymással, mint lokálisan, a többi eloszlástól független páronkénti sztocasztikus összeasonlítás tekintetében (Varga Delaney [998]). Ebben a modellben a sztocasztikus főatásokat a következőképpen definiáljuk. Jelölje p i. a fentebb definiált p ij sztocasztikus kezelési atások átlagát az A szempont i- edik szintjén (i =,, g): pi = p il, /7/. l= és definiáljuk analóg módon a p. j (j =,, ) mennyiségeket a B szempont vonatkozásában. Ekkor azt mondjuk, ogy az A csoportosító szempont sztocasztikus főatása az X változóra vonatkozóan nulla, vagyis az A szempont szerint sztocasztikus omogenitás (SZTH) áll fenn, a teljesül a H 0 (A): p. =... = pg. /8/ nullipotézis. Analóg módon a B csoportosító szempont nulla sztocasztikus főatását a H 0 (B): p. =... = p. /9/ egyenlőség fennállásával definiáljuk.

KÉTSZEMPONTOS ÖSSZEHASONLÍTÁS 7 A kétszempontos sztocasztikus interakció definíciója valamivel bonyolultabb, mint a főatásoké. A kétszempontos VA modelljével analóg módon a p ij sztocasztikus kezelési atásokra felírató az alábbi lineáris modell: aol p ij = p + α i + β j + γ ij, /0/ p = p g.. = p kl g k = l =, // α i = p i. p, β j = p. j p, /2/ és γ ij = p ij. + pi. p j p. /3/ Könnyen igazolató, ogy a fenti α i, β j és γ ij paraméterekre teljesül a α = β i i j j = γ i ij = γ összefüggés, melynek alapján a kétszempontos sztocasztikus interakcióról akkor beszélünk, a a j ij = 0 H 0 (AB): γ ij = 0 minden (i, j) esetén /4/ ipotézis sérül (Kulle [999], 64. old.). Ez a modell analóg Akritas Arnold [994], Akritas Arnold Brunner [997], valamint Brunner Puri [200] tiszta nemparaméteres kétszempontos modelljével, melyben ugyanezen nullipotéziseket az F ij eloszlásfüggvényekre vonatkozóan írják fel. Ennek a modellnek azonban van egy kis szépségibája. A modellt azzal a szándékkal fogalmaztuk meg, ogy olyan esetekben, amikor a VA szigorú alkalmazási feltételei az X változó eloszlásával kapcsolatban nem teljesülnek, akkor rendelkezésre álljon egy olyan statisztikai módszer, amellyel több szempont szerint csoportosított minták az X változó nagyságszintje tekintetében összeasonlítatók. A VA modelljének bármilyen általánosítása, illetve kiterjesztése csak akkor tekintető elfogadatónak, a azokban a speciális esetekben, amikor a VA feltételei (normalitás és szórásomogenitás) teljesülnek, a sztocasztikus összeasonlítás nem vezet más eredményre. Sajnos, Kulle fentebb felvázolt modellje nem tesz eleget ennek az elvárásnak, amint ezt az alábbi példa is mutatja. 2 Legyen g = 3, = 2 és X ij normális eloszlású σ ij = és µ = 0, µ 2 = 2, µ 2 = 4, µ 22 = 35, µ 3 = 28, µ 32 = 49 értékekkel. Ebben az esetben az A és a B szempont bármely (i, j) példát. 2 E probléma leetőségére Csiszár Imre ívta fel a figyelmemet és Tusnády Gábor mutatott elsőként az itteniez asonló

72 VARGHA ANDRÁS kombinációja esetén az X ijk függő változó (az X ij változóra vonatkozó k-adik véletlen megfigyelés) felírató az X ijk = 4 (i ) + 2 (j ) + ε ijk /5/ alakban, aol ε ijk N(0, ) eloszlású változó. Ha összevetjük ezt a kétszempontos VA általános egyenletével (lásd // formula), akkor megállapítatjuk, ogy esetünkben a γ ij együttatók iányoznak az egyenletből, vagyis γ ij = 0 minden (i, j) kombináció esetén, ami azt jelenti, ogy az interakciós atás zérus. Ha elkészítjük a µ ij elméleti átlagok kétszempontos diagramját (lásd a 2. ábrát), akkor az interakció iánya abból is látató, ogy az ábrán a grafikonok páruzamos lefutásúak. X-skála 50 2. ábra. A /5/ egyenlettel felírt X ij változók átlagai i =, 2 és j =, 2, 3 esetén 40 30 20 b b2 0 0 a a2 a3 A szempont szintje Könnyen ellenőrizető, ogy ebben az esetben az A(X ij, X kl ) páronkénti valószínűségifölény-mutatók értéke árom tizedesre kerekítve mindig 0 vagy, attól függően, ogy melyik µ ij < µ kl, µ ij > µ kl reláció áll fenn. Ennek oka röviden az, ogy a µ ij elméleti átlagok páronkénti eltérései az egységnyi szórásoz viszonyítva olyan nagyok, ogy a sztocasztikus különbség árom tizedes pontossággal vagy az elvi minimummal (A = 0), vagy az elvi maximummal (A = ) egyezik meg. Ugyanis a legkisebb különbség a szintátlagok között 7 szórásnyi (például µ 2 = 2 és µ 2 = 4 esetén). Mivel azonban normális eloszlásnál az adatok 0,9994 valószínűséggel 3,5σ távolságon belül maradnak (ez a standard normális eloszlás táblázatából kiolvasató), a fenti 3 2 = 6 kombinációoz tartozó N(µ ij, ) eloszlású X ij változókkal képzett A(X ij, X kl ) = P(X ij > X kl ) + 0,5P(X ij > X kl ) valószínűségifölény-értékek árom tizedesre kerekítve vagy -gyel egyenlők (a µ ij > µ kl ), vagy 0-val (a µ ij < µ kl ).

KÉTSZEMPONTOS ÖSSZEHASONLÍTÁS 73 E sztocasztikus különbségek esetén, a azonos w ij = /6 populációsúlyokat választunk, akkor a /3/ formulával definiált p ij sztocasztikus kezelési atások könnyen kiszámítatók az /5/ képlettel, mely esetünkben ilyen: g p ij = k= l = A( X ij, X kl )/6 lásd az. táblát, aol A(X ij, X kl ) az X ij -ez tartozó sorban és az X kl -ez tartozó oszlopban találató érték. Ennek alapján az. tábla utolsó oszlopában látató p ij értékekez jutunk (ezek egyébként a sorátlagok), melyek mintázatát a 3. ábra mutatja be. A /5/ egyenlettel felírt X ij változók páronkénti valószínűségi fölény értékei és a ozzájuk tartozó sztocasztikus kezelési atások Változó X X 2 X 2 X 22 X 3 X 32 Sztocasztikus kezelési atás X 0,5 0 0 0 0 0 p = 0,5/6 = /2 X 2 0,5 0 0 0 p 2 = 2,5/6 = 5/2 X 2 0 0,5 0 0 0 p 2 =,5/6 = 3/2 X 22 0,5 0 p 22 = 4,5/6 = 9/2 X 3 0 0,5 0 p 3 = 3,5/6 = 7/2 X 32 0,5 p 32 = 5,5/6 = /2. tábla 3. ábra. A /5/ egyenlettel felírt modellez tartozó p ij sztocasztikus kezelési atások,0 Sztocasztikus kezelési atás 0, 8 0, 6 0, 4 0,2 b b2 0,0 a a2 a3 A szempontok szintjei Mivel a 3. ábra két grafikonja nem páruzamos lefutású, ebben a kétszempontos sztocasztikus modellben az interakció nem nulla. A két szempont interakciója egyébként numerikusan is egyszerűen megállapítató.

74 VARGHA ANDRÁS Például a γ interakciós atás összetevői /3/ az. tábla adatai alapján: p = /2 = 3/36, p. = (/2 + 5/2)/2 = 9/36, p. = (/2 + 3/2 + 7/2)/3 = /36, p = (/2 + 5/2 + 3/2 + 9/2 + 7/2 + /2)/6 = 8/36 3, amiből már látató, ogy az (, ) cella interakciós atása nullától különbözik: γ = 3/36 9/36 /36 + 8/36 = /36 0. Emiatt itt a sztocasztikus interakció esete áll fenn, annak ellenére, ogy a megfelelő paraméteres VA-modellben nincs interakciós atás. A fordított esetre is leet példát találni, amikor a paraméteres modellben van, de a sztocasztikus modellben nincs interakció. Bár a korábbi példában leírt szélsőséges eset valószínűleg nem fordul elő a gyakorlatban, mégis felébreszti azt a kételyt, ogy a kétszempontos sztocasztikus modell esetleg még a normális eloszlású változók esetén is más relációkról tájékoztat, mint a kétszempontos VA paraméteres modellje. A FELTÉTELES SZTOCHASZTIKUS FÜGGŐSÉGEN ALAPULÓ MODELL Az előző fejezetben részletezett inkonzisztencia-probléma egyik megoldása leet a feltételes sztocasztikus függőség fogalmának bevezetése, amelyet az alábbiakban ismertetünk. A korábban bevezetett jelöléseket megtartva asonlítsuk össze az X ij (j =,, ) változókat az A csoportosító szempont minden egyes rögzített i szintjén. Rögzített i mellett ezek száma pontosan, vagyis a B szempont szintjeinek a száma. Az. ábra példája esetében ez például annak felel meg, ogy minden életkori szinten összeasonlítjuk a fiúkat és a lányokat a függő változó tekintetében. Az A szempontnak ezen az i-edik szintjén a B szempont szintjeinek nagyságviszonyait a ozzájuk tartozó sztocasztikus kezelési atások tükrözik, melyek erre az A szintre szorítkozva az alábbi formulával adatók meg: aol a p j i = H i (x)df ij (x), /6/ H i (x) = wl ifil( x) /7/ l= mennyiség az F ij eloszlásfüggvényekkel megadott eloszlások wil wl i = /8/ w ij j= 3 Megjegyezzük, ogy azonos w ij populációsúlyok esetén a p alapszint mindig pontosan 0,5-tel egyenlő.

KÉTSZEMPONTOS ÖSSZEHASONLÍTÁS 75 súlyokkal képzett keverékének eloszlásfüggvénye. Ezeket a p j i együttatókat feltételes sztocasztikus kezelési atásoknak nevezzük, amelyek az alábbi egyszerűbb formulával is felíratók: p j i = l= w A( X, X ) l i ij il. /9/ A feltételes sztocasztikus kezelési atások segítségével az egyirányú sztocasztikus interakció fogalmát az alábbiak szerint definiáljuk. Hasonlítsuk össze a p j i (j =,, ) értéksorozatokat az A szempont különböző i szintjeire, vagyis nézzük meg, ogy a B szempont szintjeinek sztocasztikus viszonylatai ugyanolyanok-e az A szempont különböző szintjein (például nézzük meg, ogy a fiúk és a lányok között ugyanolyan mértékű sztocasztikus különbség van-e a, a 2, a 3 és a 4 évesek életkori szintjén). Ha ezek a p j i értéksorozatok nem függnek i-től, vagyis a a B szempont szintjeinek sztocasztikus viszonylatai ugyanolyanok az A szempont minden szintjén, akkor a B szempont sztocasztikus atása független az A szemponttól, amit úgy fogalmazunk meg, ogy az AB sztocasztikus interakció nulla. Analóg módon, az A és a B szempont szerepének felcserélésével definiálatjuk a BA sztocasztikus interakciót is. Szemléltetőül most megmutatjuk, ogy a /5/ egyenlettel felírt normális eloszlású változóegyüttes esetén a sztocasztikus interakció a Kulle-féle modellben tapasztaltakkal ellentétben ugyanúgy nulla, mint a kétszempontos paraméteres VA modelljében. Tekintve, ogy A(X, X 2 ) = 0 (lásd az. táblát), az A szempont rögzített a szintje mellett és p b a = (A(X, X ) + A(X, X 2 ))/2 = (0,5 + 0)/2 = 0,25 p b2 a = (A(X 2, X ) + A(X 2, X 2 ))/2 = ( + 0,5)/2 = 0,75. Hasonló számítással adódik, ogy p b a2 = p b a3 = 0,25 és p b2 a2 = p b2 a3 = 0,75. Mivel a p b i, p b2 i feltételes sztocasztikus atások látatóan nem függnek az A szempont szintjeitől, ez esetben azt mondatjuk, ogy az AB sztocasztikus interakció nulla. De 0 a BA sztocasztikus interakció is, mert a fentiekez asonló számításokkal kapjuk, ogy a p i j feltételes sztocasztikus atások a B szempont mindkét szintjén az alábbi értékekkel egyenlők: P a j = (0,5 + 0 + 0)/3 = /6, P a2 j = ( + 0,5 + 0)/3 = 3/6, P a3 j = ( + + 0,5)/3 = 5/6. Mintogy mind az AB, mind a BA interakció zérus, megállapítatjuk, ogy a feltételes sztocasztikus atásokon alapuló kétszempontos sztocasztikus modellben most ugyanúgy nincs interakció a vizsgált két szempont között, mint a paraméteres VA-modellben.

76 VARGHA ANDRÁS Hasonló logikával fogalmazatjuk meg ebben a modellben a főatásokat is. Mintogy a p j i együttató a B szempont j-edik szintjének sztocasztikus atása az A szempont rögzített i-edik szintjén, a leátlagolunk i szerint, megkapjuk a j-edik szint A-tól független p. atását: j g p j = p j (j =,, ). /20/. i g i= Analóg módon definiáljuk az A szempont szintjeinek B-től független p i. atásait is: pi = p i (i =,, g). /2/. j j= Ha az A, illetve B szempont szintjeiez tartozó ezen összesített atások mind egyenlők, akkor azt mondjuk, ogy az A, illetve a B szempont főatása nulla, s ennek megfelelően ebben a modellben a főatásokoz tartozó nullipotézisek ugyanúgy íratók fel, mint Kulle modelljében (lásd /8/ és /9/), csak azok most a /20/, illetve a /2/ képlettel definiált értékekre vonatkoznak. Igazolató, ogy a érvényes a kétszempontos VA paraméteres modellje, vagyis a a függő változó normális eloszlású valamennyi (i, j) szintkombináció esetén és teljesül a szórásomogenitás feltétele, akkor a paraméteres VA interakciós atása akkor és csakis akkor nulla, a az AB és a BA sztocasztikus interakció is nulla, vagyis ezzel a definícióval nem fordulat elő olyan inkonzisztencia a paraméteres és a nemparaméteres modell között, mint az előző fejezetben leírt példa esetében. Ennek teljesüléséez egyébként elég a VA feltételeinél gyengébb kikötés is, nevezetesen az, ogy teljesüljön az additív modell, vagyis az, ogy az X ij változók eloszlása legyen mind ugyanolyan alakú, legfeljebb egy eltolási paraméterben különbözve egymástól (azaz F ij (x) = F(x + c ij ) megfelelő c ij valós számokkal). Az ekvivalenciáoz egyébként még az is elegendő, a az X ij változók mind szimmetrikus eloszlásúak. Ilyen esetekben természetesen az AB és a BA egyirányú interakció is ekvivalens egymással. Ha viszont az additív modell vagy az eloszlások szimmetrikus volta nem teljesül, akkor előfordulat, ogy a két egyirányú interakció egymástól eltérő feltételes sztocasztikus függőségi viszonylatot jelez, mint ezt az alábbi példa is mutatja. Induljunk ki árom olyan X, X 2 és X 3 változóból, amelyek sztocasztikusan omogén együttest képeznek ugyan, de amelyek páronként körbeverik egymást úgy, ogy A(X, X 2 ) = A(X 2, X 3 ) = A(X 3, X ) > 0,5 (lásd Varga [2000] 393. old.). Legyenek ekkor a kétszempontos független mintás elrendezés X ij változói g = 3 és = 2 értékek választásával a következők: X = X, X 2 = X 3, X 2 = X 2, X 22 = X 2, /22/ X 3 = X 3, X 32 = X.

KÉTSZEMPONTOS ÖSSZEHASONLÍTÁS 77 Mivel X, X 2 és X 3 sztocasztikusan omogén együttest képez, ugyanez az X 2, X 3, X változók együttesére is igaz. Emiatt itt most az A szempont sztocasztikus atása független a B szemponttól, mert az A szempont szintjeiez tartozó p i j (i =, 2, 3) feltételes sztocasztikus kezelési atások a B szempont mindkét szintjén (j =, 2) a sztocasztikus omogenitás (SZTH) itteni fennállása miatt 0,5-tel egyenlők. Emiatt itt most a BA interakció nulla. Ugyanakkor az AB interakció nem nulla, mert az A szempont különböző szintjein a B szempont két szintje más-más sztocasztikus viszonyban van: i = esetén p < p 2, i = 2 esetén p 2 = p 2 2 és i = 3 esetén p 3 > p 2 3. A jelen alpontban definiált sztocasztikus főatások és interakció azért térnek, illetve téretnek el a Kulle-féle modellben megfogalmazott megfelelő fogalmaktól, mert a Kulle-féle modell mind a főatások, mind az interakció definíciójában negligálja a lokális jellegű, egy-egy szinten belül érvényesülő sztocasztikus viszonylatokat (például a lányok populációján belül az egyes életkori csoportok egymásoz való viszonyait). A Kulle-modell ugyanis csak a globális sztocasztikus viszonylatokat képviselő p ij sztocasztikus kezelési atásokkal operál. Emiatt, a egymást körbeverő, de sztocasztikusan omogén eloszlásokat úgy rendezünk el egy kétszempontos, mondjuk 3 2-es modellben, ogy az A szempont minden szintjén a B szempont. szintje sztocasztikusan kisebb legyen, mint a 2. szint, erre a szisztematikus eltérésre a Kulle-modell érzéketlen, mert ilyen esetekben minden p ij 0,5-tel egyenlő, ami miatt mind a sztocasztikus főatások, mind a sztocasztikus interakció nulla, miközben a jelen alpont modellje ezt a atást azonosítani tudja. Mindez nem jelenti azt, ogy pszicológiai szempontból a Kulle-féle modell rossz vagy érdektelen lenne. Mindössze arról van szó, ogy a Kulle-féle modellben egy egyszempontos elrendezés (a két szempont szerinti csoportosítást figyelmen kívül agyva az összes X ij változó) által definiált globális, a teljes együttesez viszonyított sztocasztikus atásmintázatokat elemzünk a paraméteres VA modelljével analóg módon úgy, minta ezek a sztocasztikus kezelési atások az egyes változók, illetve eloszlások ugyanolyan abszolút, a többi változótól független mértékei lennének a változó nagyságszintjének, mint az átlag. A Kulle-féle modellben teát asznos információoz jutatunk egy nagy együttesen belül a sztocasztikus viszonylatok mintázatáról, míg a feltételes sztocasztikus kezelési atásokon alapuló modellben a két szempont különböző szintjein belüli sztocasztikus atásmintázatokról tájékozódatunk. Emiatt a két modell inkább egymást kiegészíti, mint elyettesíti. A KÉTSZEMPONTOS SZTOCHASZTIKUS ÖSSZEHASONLÍTÁS TESZTELÉSE Kulle [999], az egyszempontos SZTH tesztelésére kidolgozott statisztikai próbáit adaptálta a kétszempontos esetre oly módon, ogy a kétszempontos elrendezés g számú mintáját egyetlen egyszempontos elrendezésnek tekintette és a két főatást, valamint az interakciót alkalmas kontrasztok segítségével tesztelte úgy, aogy ezt a paraméteres VA modelljében is meg leet tenni (lásd például Maxwell Delaney [990] 268. old.). Ily módon kapott próbastatisztikái aszimptotikusan ez esetben is χ 2 -eloszlást követnek, amelyek ugyanúgy, mint az egyszempontos SZTH vizsgálata esetén, kis minták esetén pontosabban értékeletők ki az F-eloszlás táblázata segítségével. A tecnikai részletek

78 VARGHA ANDRÁS ismertetésére elyiány miatt nem térünk ki, de a kétszempontos sztocasztikus elemzésre bemutatunk egy konkrét példát. Az. ábrán bemutatott kétszempontos VA-elemzés adatain végreajtottuk a kétszempontos sztocasztikus összeasonlítás elemzéseit is a Kulle-féle próbákkal, a MiniStat programcsomag segítségével (Varga Czigler [999]). Az eredmények egy része a 2. táblában látató, aonnan kiolvasató, ogy a sztocasztikus összeasonlításnak pontosan ugyanazok a atásai és pontosan ugyanolyan szinten szignifikánsak, mint a paraméteres varianciaanalízisé. Mivel azonban a Kulle-féle próbák nem igénylik a normalitás és a szórásomogenitás megszorító feltételét, a 4400-at megaladó összelemszám mellett a sztocasztikus összeasonlítás ezen eredményeiben jobban megbízatunk, mint a VA eredményében. A nemek főatását, valamint a nem és kor interakcióját a sztocasztikus kezelési atások segítségével értelmezetjük, melyeket a 4. ábra mutat be. Itt a két nemez tartozó grafikon mintázata pontosan ugyanolyan, mint a VAban az átlagoké (lásd az. ábrát), így a kapott eredmények értelmezése is ugyanaz, mint amit az. ábra alapján korábban megfogalmaztunk. A nem és az életkor sztocasztikus atásának vizsgálata az Acenbac-féle gyermekviselkedési kérdőív Gyakran megsérül, könnyen éri baleset tüneti skálájára vonatkozóan Statisztikai rutin: Kétszempontos sztocasztikus összeasonlítás ---------------------------------------------------------------- Függő változó: t36 ------------------ Sztocasztikus omogenitás (SZTH) -elemzés a Kulle-féle próbákkal Populációk mintaelemszámokkal súlyozott összeasonlítása A rang VA összefoglaló táblázata (t36) ---------------------------------------------------------------------- Hatás Nullipotézis f f2 F ---------------------------------------------------------------------- Nem Egyszempontos SZTH (A).0 4404 9.06** Kor Egyszempontos SZTH (B) 2.3 4404.35 Nem Kor Nincs sztoc. interakció 2.3 4404 5.54** ---------------------------------------------------------------------- 2. tábla Megjegyzés. +: p < 0,0 *: p < 0,05 **: p < 0,0 A kapott globális, a főatásokra és az interakcióra vonatkozó eredményeket utóelemzésekkel pontosítatjuk. Annak statisztikai igazolására például, ogy 2 éves kortól kezdve a fiúk és a lányok szintje eltér egymástól, páros összeasonlításokat leet végreajtani a két szempont összes kombinációjából álló, 2 4 = 8 mintára vonatkozóan. Ezt a MiniStattal elvégezve az az eredmény adódott, ogy a 2, 3 és 4 évesek között a fiúk minden mintájának rangátlaga a Games Howell-féle páros összeasonlítással szignifikánsan különbözött a lányok minden mintájának rangátlagától (általában százalékos szinten, de a fiú-4 versus lány-2, fiú-4 versus lány-3 és fiú-4 versus lány-4 összeasonlításokban csak 5 százalékos szinten), miközben a 8 mintán belül egyetlen más pá-

KÉTSZEMPONTOS ÖSSZEHASONLÍTÁS 79 ros összevetés sem volt szignifikáns, egyetlen tendenciától eltekintve (lány- versus lány-4 esetén). 4. ábra. A 2. tábla kétszempontos sztocasztikus elemzéséez tartozó sztocasztikus kezelési atások Százalék 0,55 0,53 Gyakran megsérült 0,5 0,49 Fiúk Lányok 0,47 0,45 2 3 4 Életkor (éves) Bár a feltételes sztocasztikus kezelési atásokra épülő kétszempontos modell statisztikai tesztelésére még nem dolgoztak ki egzakt eljárásokat, az ott megfogalmazott szintenkénti sztocasztikus összeasonlítások voltaképpen több egyszempontos sztocasztikus összeasonlítás végreajtásával is ellenőrizetők. Ezt a fenti adatok esetében elvégezve, a 4. ábráról leolvasató összefüggéseket megerősítő, alábbi eredmények adódtak.. A fiúk mintáján belül a négy életkori szint nem különbözik egymástól szignifikánsan: az egyszempontos SZTH árom robusztus próbájának (rw3, KF2 és KG2) próbastatisztikája egyaránt,5 alatt van, melyek 0 százalékos szinten nem szignifikánsak (Varga [2003] 8.2. alfejezet). 2. A lányok mintáján belül a négy életkori szintet összevetve rw3, KF2 és KG2 egyaránt szignifikáns, rw3 5 százalékos, KF2 és KG2 pedig százalékos szinten. A Games Howell-próbával (Dunnett [980]) összeasonlítva páronként, a négy életkori szintet csak a Kor- versus Kor-2, Kor- versus Kor-3 és Kor- versus Kor-4 összeasonlítás volt szignifikáns, rendre 3,83, 3,78 és 4,09 T GH értékekkel (p < 0,05). 3. Életkori csoportonként külön-külön összevetve Brunner és Munzel [2000] sztocasztikus egyenlőséget tesztelő próbájával (BM) a fiúkat és a lányokat, a 3. táblában látató eredményeket kaptuk. Itt az A fiú,lány értékek a fiúk sztocasztikus dominanciájának mértékét jelzik életkoronként a lányokkal szemben a függő változó tekintetében. Sztocasztikus egyenlőség esetén A = 0,5. A sztocasztikus egyenlőség a BM-próbában a Z BM próbastatisztikával tesztelető, mely aszimptotikusan standard normális eloszlást követ. A táblából azt olvasatjuk ki, ogy a évesek között a két nem között nincs szignifikáns különbség (p > 0,0), míg év felett a fiúk minden életkori csoportban szignifi-

80 VARGHA ANDRÁS káns sztocasztikus fölényben vannak a lányokkal szemben. Ez azt jelenti, ogy 2 éves kortól kezdve, a összeasonlítunk egy véletlenszerűen kiválasztott fiút és egy ugyanolyan korú és szintén véletlenszerűen kiválasztott lányt, akkor a fiú balesetre való ajlama váratóan nagyobb lesz, mint a lányé. Ezek az eredmények teát ugyancsak megerősítik az. és a 4. ábráról leolvasató összefüggéseket. A fiúk és a lányok sztocasztikus összeasonlítása az Acenbac-féle gyermekviselkedési kérdőív Gyakran megsérül, könnyen éri baleset tüneti skálája alapján az életkor szerinti bontásban Életkor (év) A fiú,lány Z BM Szignifikancia 0,487 0,86 p > 0,0 2 0,540 4,95 p < 0,0 3 0,534 4,59 p < 0,0 4 0,529 3,4 p < 0,0 3. tábla A bemutatott pszicológiai példában a Kulle-féle kétszempontos sztocasztikus modell tesztelése kapcsán kapott eredmények teljes összangban voltak mind a kétszempontos paraméteres VA, mind a szintenként elvégzett egyszempontos sztocasztikus összeasonlítás elemzéseinek eredményeivel, de ez nem jelenti azt, ogy más esetekben nem adódatnak köztük eltérések. A többszempontos VA a statisztika klasszikus eljárástípusa, melynek segítségével egyidejűleg több tényező atását vizsgálatjuk egy normális eloszlású függő változó nagyságszintjére. Mivel a normalitás a társadalomtudományok empirikus vizsgálataiban igen gyakran erősen sérül (Micceri [989]) és a VA nem kellően robusztus a normalitás megsértésével szemben (különösen eltérő elemszámok és különböző elméleti varianciák esetén), nagy szükség van olyan alternatív eljárásra, amely asonló szakmai kérdésekre kevesebb statisztikai megkötéssel ad érvényes választ. A jelen tanulmányban a kétszempontos független mintás VA-nak megfelelő kétszempontos sztocasztikus összeasonlítás modelljének két változatát mutattuk be. A két modell közös jellemzője, ogy a két csoportosító faktor szintjeinek különböző kombinációioz a kétszempontos VA-oz asonló módon olyan számokat (ún. atásértékeket) definiálunk, amelyek jelzik a függő változó nagyságszintjét (pontosabban sztocasztikus dominanciáját) e kombinációk mint feltételek mellett. A legfőbb különbség a két modell között az, ogy az első, (a Kulle [999] nevéez fűződő változatban) a atásértékek globális, a két faktor szintjeinek összes leetséges párosításával létrejövő együttesez való viszonyt tükrözi, míg a második modellváltozatban minden (i, j) szintkombinációoz két atásértéket definiálunk: az A szempont i-edik szintjének atását a B szempont j-edik szintjének rögzítése mellett, illetve a B szempont j-edik szintjének atását az A szempont i-edik szintjének rögzítése mellett. Ezeket az értékeket feltételes sztocasztikus kezelési atásoknak nevezzük. *

KÉTSZEMPONTOS ÖSSZEHASONLÍTÁS 8 A két szempont szintjeinek sztocasztikus atását mindkét modellben a megfelelő cellaatások átlagolásával kapjuk (lásd /7/), melyek a két csoportosító faktor egyes szintjeinek sztocasztikus dominanciaszintjét mérik. A Kulle-féle modellben ezek megint globális, a teljes együttesez viszonyított dominanciák tükrözői, míg a második modellben ezek a lokális dominancia-viszonylatokat tükröző sztocasztikus cellaatások átlagai. A Kulle-féle modell nagy előnye, ogy a benne megfogalmazott sztocasztikus főatások és sztocasztikus interakció statisztikailag tesztelető is az egyszempontos SZTHtanulmányban részletesen ismertetett Kulle-féle próbák alkalmas általánosításai segítségével (Varga [2002]). A modell kellemetlen vonása azonban, ogy egyes esetekben a függő változó normalitása és a szórásomogenitás fennállása ellenére a függések más mintázatát mutatja, mint a paraméteres VA-modell. Előfordulat például, ogy a Kulleféle modellben az interakciós atás jelen van, míg a VA-modellben az interakció zérus, és fordítva. Ennek előfordulásáoz azonban az kell, ogy a cellaátlagok közti távolság több szórásnyi legyen, ami igen ritka jelenség. A feltételes sztocasztikus atásokon alapuló kétszempontos modellben a fenti anomália nem fordulat elő, de esetében a modell nullipotéziseinek (zérus főatások és interakció) tesztelésére alkalmas egzakt statisztikai eljárások még kimunkálásra várnak. IRODALOM ACHENBACH, T. M. [99]: Manual for te Cild Beavior Cecklist/ 4-8 and 99 Profile. VT: University of Vermont, Department of Psyciatry. Burlington. AKRITAS, M. G. ARNOLD, S. F. [994]: Nonparametric ypoteses for factorial designs: Multivariate repeated measures designs. Journal of te American Statistical Association, 89. évf. 336 343. old. AKRITAS, M. G. ARNOLD, S. F. BRUNNER, E. [997]: Nonparametric ypoteses and rank statistics for unbalanced factorial designs. Journal of te American Statistical Association, 92. évf. 258 265. old. ALGINA, J. OSHIMA, T. C. LIN, W. Y. [994]: Type I error rates for Welc s test and James s second-order test under nonnormality and inequality of variance wen tere are two groups. Journal of Educational and Beavioral Statistics, 9. évf. 275 29. old. BRUNNER, E. MUNZEL, U. [2000]: Te nonparametric Berens-Fiser problem: Asymptotic teory and a small-sample approximation. Biometrical Journal, 42. évf. 7 25. old. BRUNNER, E. PURI, M. L. [200]: Nonparametric metods in factorial designs. Statistical Papers, 42. évf. 52. old. DUNNETT, C. W. [980]: Pairwise multiple comparisons in te unequal variance case. Journal of te American Statistical Association, 75. évf. 796 800. old. GÁDOROS J. [996]: Szociodemográfiai rizikótényezők vizsgálata gyermek viselkedési kérdőív alkalmazásával. Psyciatria Hungarica,. évf. 47 66. old. HOLLAND, P. V. THAYER, D. T. [2000]: Univariate and bivariate loglinear models for discrete test score distributions. Journal of Educational and Beavioral Statistics, 25. évf. 33 83. old. KULLE, B. [999]: Nictparametrisces Berens-Fiser-Problem im Mer-Sticprobenfall. Doctoral Tesis. Institut für Matematisce Stocastic der Georg-August-Universität Göttingen. MICCERI, T. [989]: Te unicorn, te normal curve, and oter improbable creatures. Psycological Bulletin, 05. évf. 56 66. old. VARGHA A. [999]: Két csoport összeasonlítása nemparaméteres statisztikai eljárások segítségével. Magyar Pszicológiai Szemle. 54. évf. 4. sz. 567 589. old. VARGHA A. [2000]: Matematikai statisztika pszicológiai, nyelvészeti és biológiai alkalmazásokkal. Budapest: Pólya Kiadó. VARGHA A. [2002]: Független minták egyszempontos összeasonlítása új rangsorolásos eljárások segítségével. Statisztikai Szemle, 80. évf. 4. sz. 328 353. old. VARGHA A. [2003]: Mi történik, mit tegyünk, a változónk nem normális eloszlású? Számítógépes statisztikai elemzések, ordinális csoportösszeasonlító modellek. Akadémiai doktori értekezés, Budapest. VARGHA A. CZIGLER B. [999]: A MiniStat statisztikai programcsomag, 3.2 verzió. Budapest: Pólya Kiadó. VARGHA, A. DELANEY, H. D. [998]: Te Kruskal-Wallis test and stocastic omogeneity. Journal of Educational and Beavioral Statistics, 23. évf. 70 92. old. WILCOX, R. R. [996]: Statistics for te social sciences. San Diego, New York: Academic Press. ZUMBO, B. D. COULOMBE, D. [997]: Investigation of te robust rank-order test for non-normal populations wit unequal variances: Te case of reaction time. Canadian Journal of Experimental Psycology, 5. évf. 39 49. old.

82 VARGHA: KÉTSZEMPONTOS ÖSSZEHASONLÍTÁS SUMMARY Tis paper presents a nonparametric generalization of ANOVA model, wic is valid not just in case of continuous, normally distributed variables but also for every dependent variable aving te feature of ordinal scaledness. Tis model is a direct extension of te model of one-way stocastic comparison (Varga [2002]). A special caracteristic of stocastic comparisons is tat te pattern of local relations of pairwise comparisons can markedly differ from te pattern of global relations, tis latter reflecting te relation of eac variable/distribution to te wole set of variables/distributions. Tis duality is present also in two-way stocastic comparisons, being managed wit two different statistical models.