BUDAPESI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGUDOMÁNYI EGYEEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR MŰSZAKI ERMODINAMIKA Feladatgyűjtemény Szerkesztette: BIHARI PÉER. átdolgozott és bővített változat BUDAPES, 004.
MŰSZAKI ERMODINAMIKA FELADAGYŰJEMÉNY Az egyes feladatokat készítették: Bihari Péter Faludi Árád Gróf Gyula Horváth Csaba Környey amás Szerkesztette: Bihari Péter Sándor Endre ii
ARALOMJEGYZÉK. Egyszerű modellek 5.. ökéletes gázok állaotváltozásai... 5... Állaotegyenlet, termikus együtthatók...3.. Energiaanalízis. Az I. főtétel alkalmazása...34.3. Entróiaanalízis. A II. főtétel alkalmazása...73.4. Változó fajhőjű ideális gázok állaotváltozásai...89.5. Az exergia alkalmazása...9. öbbfázisú rendszerek 95.. Gőz-folyadék egyensúlyi rendszerek...95.. Szilárd-folyadék egyensúlyi rendszerek... 3. Gázkörfolyamatok 4 3.. Egyszerű körfolyamatok...4 3.. Belsőégésű motorok... 3.3. Gázturbina körfolyamatok...7 3.4. Gázközegű hűtőkörfolyamatok...37 4. Gőzkörfolyamatok 4 4.. Vízgőz körfolyamatok...4 4.. Gőz hűtőkörfolyamatok...6 5. Valóságos közegek 65 6. öbbkomonensű rendszerek 78 6.. Ideális gázok ideális elegyei...78 6.. A nedves levegő termodinamikája...8 7. Melléklet 88 iii
. Egyszerű modellek.. ökéletes gázok állaotváltozásai. FELADA. Egy termoelem egyik forrasztását 0 C hőmérsékleten tartjuk, míg a másikkal a hőmérsékletet mérjük. A termofeszültség a higanyos hőmérővel C-ban mért hőmérséklet (t) függvénye: U = at + bt, ahol U a mv-ban mért feszültség, a = 0, mv/ C és 4 b =, 0 0 mv/ C. Határozza meg a feszültség skálán a 00, 0, 00, 00, 300, 400 és 500 C helyét! Készítsen olyan hőmérsékleti skálát a voltmérőn, melyen a víz olvadásontja 0, a víz forrásontja 00 egység, l. fok (mindkettő bar nyomáson), a hőmérséklet edig a termofeszültséggel arányos! Hasonlítsa össze a két skálát!. FELADA. Egy hélium töltetű állandó térfogatú gázhőmérőben a gáz nyomása,333 bar a víz olvadási hőmérsékletén, és,8 bar a víz forrontján. Írja fel a hőmérséklet egyenletét a nyomás lineáris függvényeként! Környezeti hőmérséklet esetén a gázhőmérőben,43 bar alakult ki. Határozza meg a környezet hőmérsékletét! A héliumot tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak a számítások során! (Végeredmény: 0, C, 93,4 K) 3. FELADA. Egy gázhőmérőben az ideális gáz nyomása,438-szeresére növekedett, miközben a ként 0 C hőmérsékletről olvadási hőmérsékletére melegítettük. 5
Mekkora a kén olvadásontja? (9 C) 4. FELADA. Egy gázhőmérőben a gáz nyomása,36605-ször nagyobb a víz normál forrontján, mint a hármasontján. A hármasont hőmérséklete 73,6 K. Határozza meg a víz normál forrontját! (00 C) 5. FELADA. Egy edényben kg tömegű és 5 C hőmérsékletű jeget és kg tömegű és 0 C hőmérsékletű vizet összekeverünk. A jég fajhője,0 kj/(kg K), olvadáshője 335 kj/kg, a víz fajhője 4,87 kj/(kg K). Egyensúlyban van-e ez a rendszer? (Nem) Mik lesznek a rendszer jellemzői az egyensúlyi állaotban? (Az egyensúlyi hőmérséklet 0 C, az egyensúly beállta után a víz mennyisége,47 kg, a jég mennyisége 0,53 kg.) 6. FELADA. Mennyi mechanikai munkát kell végezni, ha egy 0,05 kg tömegű,,76 kj/(kg K) fajhőjű fadarabot 0 C-ról a 400 C-os gyulladási hőmérsékletére kívánunk melegíteni dörzsöléssel? A dörzsölés következtében felszabaduló hőmennyiség fel a fadarabot, fele a környezetet melegíti. (Végeredmény: 66,8 kj.) 7. FELADA. Egy 0 dm 3 kiinduló térfogatú hengerben súrlódásmentesen 00 cm felületű dugattyú mozog. A hengert 7 C hőmérsékletű és bar nyomású állandó fajhőjű ideális gázzal töltöttük meg, majd állandó nyomáson melegítjük, amíg a gáz hőmérséklete el nem éri a 35 C-ot. (A gázra: κ =,4.) Mekkora a gáz által végzett munka? Mennyi hőt közöltünk a gázzal? Mekkora a dugattyú elmozdulása? Vázlat és jelölések: 6
A V κ A izobár fajhő és a gázállandó közti összefüggés: c = R κ A gáz állaotegyenlet erre az esetre: V = mr V Ebből a gáz tömege: m = R Az izobár melegítés során közölt hő: V κ Q = mc ( ) = R ( ) = 349,8 J. R κ V Az izobár állaotváltozásra felírható, hogy = V A végzett munka: W = ( V V) = V = 99,95 J. W A dugattyú elmozdulása: x = = 0,09995 m. (0 cm) A x 8. FELADA. Egy, az ábra szerinti kialakítású hengerben kezdetben 0 kpa nyomású 5 dm 3 rögzítőgyűrű térfogatú és 0 C hőmérsékletű állandó fajhőjű ideális gáz van (levegő), melyre κ =,4 és R=87 J/(kg K). A súrlódásmentesen mozgó dugattyú szabad úthosszát a L rögzítőgyűrű határolja. Mennyi hőt kell közölni a gázzal, ha annak nyomását a kezdeti nyomásérték ötszörösére L kívánjuk növelni! Ábrázolja a folyamatot ideális gáz v és s diagramjában! Számítsa ki a közeg belső energiájának, entaliájának és entróiájának a megváltozását! A folyamatok v és s diagramban: 7
3 =5 3 Hőmérséklet,, K 3000 500 000 500 000 500 =áll. V V = V v=áll. 0 0 500 000 500 000 500 Fajlagos entróia, s, J/(kg K) V A gáz tömege: m =. R V V Az izobár állaotváltozásra: = és az ábra alaján V V =. 3 3 3 Az izochor állaotváltozásra: 3 = és a feltétel alaján = =5. V =505 kpa 3 =0 kpa R κr A számításhoz szükséges fajhők: c V = és c κ =. κ A szükséges hő: Q = m[ c( ) + cv ( 3 ) ] Behelyettesítve: κ V 3 V V Q = V V + V V =3560,5 J. κ κ A végzett munka: W = ( V V) = V = 5,5 J. A belső energia megváltozása: U3 U = U = Q + W =3408,75 J. 8
A belső energia változása más módon is kiszámítható. U U = U = c m( ) 3 V 3 3 V 3 Felhasználva, hogy = = 5 = 0, valamint a gáz tömegére és V az izochor fajhőre vonatkozó összefüggéseket: R V 3 U = cv m( 3 ) = = V ( 0 ) = κ R κ =3408,75 J. Az entalia megváltozása: H = c m( ) = κ U = 477,5 J. Az entróia megváltozása: 3 S = m c ln + c 3 V ln =3,33 J/K. 9. FELADA. Egy merev falú tartályban 0,5 kg tömegű 40 bar nyomású és 80 K hőmérsékletű oxigén van. A gázt lehűtjük, és eközben a nyomása lecsökken 33 bar-ra. Az oxigén molekulatömege: 3 kg/kmol. Határozza meg a tartály térfogatát és a végállaot hőmérsékletét! 0. FELADA.,05. Egy dugattyúval lezárt hengerben levő butángáz (C 4 H 0 ) a v = áll egyenlettel leírt állaotváltozás során a = 5 MPa nyomással és = 500 K hőmérséklettel adott állaotból a = 3 MPa nyomású állaotba jut. A bután tömege 5 kg. Határozza meg az állaotváltozás véghőmérsékletet és a munkát! (Végeredmény: 450,7 K, 0 kj). FELADA. Egy 0 m 3 térfogatú merev falú tartályban kezdetben 5 C hőmérsékletű és 800 kpa nyomású nitrogén gáz található. A nitrogén egy részének eltávozása után a tartályban a nyomás és a hőmérséklet 600 kpa, ill. 0 C lett. A nitrogént tekintse ideális gáznak! Mennyi nitrogén távozott a tartályból? (Végeredmény: 4,9 kg) 9
. FELADA. Egy merev falú tartályban 0 kg tömegű, 50 kpa nyomású és 0 C hőmérsékletű levegő található. A tartályba levegőt töltünk, így a nyomás 50 kpa-ra, a hőmérséklet 30 C-ra emelkedik. A levegőt tekintse ideális gáznak! Mennyi levegőt töltöttünk a tartályba? (Végeredmény: 6, kg) 3. FELADA. Egy dugattyúval zárt merev falú henger kezdetben 0,05 m 3 térfogatú és 00 kpa nyomású gázt tartalmaz (lásd az ábrát). Ebben az állaotban a 50 kn/m rugóállandójú, lineáris karakterisztikájú rugó éen nem fejt ki erőt a dugattyúra. A hengerben lévő gázt melegítve annak térfogatát kétszeresére növeljük, miközben a rugó összenyomódik. A dugattyú felülete 0,5 m. Ábrázolja a folyamatot v diagramban! Határozza meg a folyamat végén a gáz nyomását! Határozza meg a gáz által végzett munkát! Határozza meg a gáz által a rugó összenyomása érdekében végzett munkáját! k=50 kn/m =00 kpa V =0,05 m 3 A gáz térfogata a melegítés befejeztével: V = V =0, m 3. V A dugattyú elmozdulása (a rugó összenyomódása): x = A =0, m. A rugóerő a felmelegítés végén: F = k x =30 kn. 0
F A rugó által a felmelegítés végén kifejtett nyomás: r = =0 kpa. A A rugó nélkül a melegítés hatására a gáz nyomása nem változott volna, ebből következően a végnyomás a kezdeti nyomás és a rugó által kifejtett nyomás összege, azaz = + r =30 kpa. Az állaotváltozás munkája a V diagramban az állaotváltozási vonal alatti területként határozható meg. W V V V + W = ( V V) = 3 kj. A rugóerő ellenében végzett munka: Wr = k x = 3 kj. 4. FELADA. Gázt komrimálunk a kezdeti 0,38 m 3 térfogatról 0, m 3 térfogatra. Az állaotváltozás kvázistatikus és azt a = av + b egyenlet írja le, ahol a = 00 kpa/m 3 és b = 600 kpa. Határozza meg a végzett munkát! Ábrázolja a folyamatot V diagramban! 5. FELADA. Egy komresszorba állandósult üzemállaotban 7 C hőmérsékletű és bar nyomású levegő lé be, majd 5 bar nyomáson lé ki. A kinetikus és otenciális energia megváltozása elhanyagolható. ételezze fel, hogy a
gében lejátszódó folyamat reverzibilis. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, R=86 J/(kg K) és κ =,4. Határozza meg a fajlagos munkát és hőforgalmat az alábbi esetekre: a) izotermikus komresszió, b) olitroikus komresszió, ha n=,3, c) adiabatikus komresszió! Vázolja ezeket a folyamatokat v és s diagramban és mutassa meg a munkának és a közölt hőnek megfelelő területeket! 6. FELADA. Egy gáz a = av + b egyenletnek megfelelő kvázistatikus állaotváltozást szenved el, miközben nyomása = 900 kpa-ról = 00 kpa csökken. Az egyenletben a = MPa/m 3. A gáz kezdeti térfogata 0, m 3. Határozza meg a végzett munkát! Ábrázolja a folyamatot V diagramban! 7. FELADA. Egy súrlódásmentesen elmozduló dugattyúval lezárt hengerben kg tömegű, 00 kpa nyomású és 300 K hőmérsékletű nitrogén gáz van. A,4 nitrogént a V = áll. egyenlettel leírható állaotváltozásnak megfelelően addig komrimáljuk, míg hőmérséklete eléri a 360 K-t. Az állaotváltozás kvázistatikus. A nitrogént tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak! Határozza meg a komrimáláshoz szükséges munkát! (Végeredmény: 89 kj) 8. FELADA. Szén-dioxid gázt komrimálunk a kezdeti 0,3 m 3 térfogatról 0, m 3 térfogatra. Az állaotváltozás kvázistatikus és a = av egyenletnek megfelelően zajlik le, mely egyenletben a = 8 kpa m 6. Határozza meg a végzett munkát! (Végeredmény: 53,3 kj) Ábrázolja a folyamatot V diagramban!
9. FELADA. Egy hengert, melyben 0, m 3 térfogatú, 50 kpa nyomású levegő van, súrlódásmentesen mozgatható dugattyú zár le. A dugattyút ebben az állaotban egy lineáris karakterisztikájú rugó is érint, de erőt nem fejt ki. Melegítéssel a hengerben lévő levegő nyomását 600 kpa-ra, térfogatát 0,5 m 3 -re növeljük. Ábrázolja a folyamatot v diagramban! Határozza meg a gáz által végzett munkát! (A munka:,5 kj) Határozza meg a gáz által a rugó összenyomása ellenében végzett munkáját! (A rugóerő ellenében végzett munka: 67,5 kj) 0. FELADA. Egy gömb alakú, rugalmas anyagból készült léggömbben 5 kg tömegű, 00 kpa nyomású és 500 K hőmérsékletű levegő van. A ballon anyaga olyan, hogy belsejében a nyomás mindig arányos az átmérőhöz tartozó kör területével. A levegőt tekintse ideális gáznak, secifikus gázállandója 86 J/(kg K). Határozza meg azt a munkát, melyet a ballonban lévő gáz végez, miközben térfogata melegítés következtében megdulázódik! (Végeredmény: 936 kj). FELADA. Egy vízszintes helyzetű dugattyús hengerben levő levegő (lásd az ábrát) 3 nyomása kezdetben = 00 kpa, térfogata V = 0 m 3, és a dugattyú helyzetét x=0 jellemzi. Ekkor a rugó nem fejt ki erőt a dugattyúra. A kezdetben légköri nyomás 00 kpa, és a dugattyú felülete 0,08 m. A levegő a légköri nyomás csökkenése következtében lassan 3 exandál, míg térfogata eléri a V = 3 0 m 3 értéket. A folyamat során a rugó erőt fejt ki a dugattyúra, mely x függvényében F = k x szerint 3 változik, ahol k = 6, 0 N/m. A dugattyú és a henger között nincs súrlódás. (A berendezés magasságmérőként működik.) Határozza meg a levegő végső nyomását kpa-ban és a levegő által a dugattyún végzett munkát kj-ban! 3
A levegő x=0 x. FELADA. A levegő a következő állaotváltozásokon megy keresztül: állaotok közt: exanzió = 300 kpa nyomásról és V = 0,09 m 3 térfogatról = 50 kpa nyomásra, mely során érvényes a V=áll. feltétel. 3 állaotok közt: izobár hőelvonás, amíg V 3 = V lesz. Vázolja fel a folyamatokat V diagramon és határozza meg a levegő által végzett munkát! A levegőt tekintse ideális gáznak! 3. FELADA. Egy belső égésű motor hengerében a füstgáz exanziója során mért összetartozó nyomás és térfogat értékek az alábbi táblázatban láthatók. Ezek felhasználásával Becsülje meg a füstgáz által a dugattyún végzett munkát az exanzió során kj-ban. Ez miért csak közelítés? Ábrázolja a nyomás alakulását a térfogat függvényében log-log koordinátarendszerben, és illesszen egyenes vonalat az adatokhoz. Határozza meg a vonal meredekségét! Sor., bar V, cm 3 0,0 454 6, 540 3, 668 4 9,9 780 5 6,0 75 6 3, 980 4
4. FELADA. Egy légkomresszor óránként 0 m 3, bar nyomású és C hőmérsékletű levegőt szív be, majd azt több fokozatban, izentroikusan 5 bar nyomásra komrimálja. A levegőt minden fokozat után a kezdeti hőmérsékletre visszahűtik. (A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre: κ =,4 és R = 87,5 J/(kg K).) Határozza meg a szükséges komresszor-fokozatok számát annak figyelembevételével, hogy a komrimált levegő hőmérséklete a 95 C-ot nem haladhatja meg, a lehető legkevesebb fokozatot kell alkalmazni, és minden fokozatban azonos a nyomásviszony! Számítsa ki a komresszor teljesítményszükségletét! Határozza meg a levegő véghőmérsékletét egyfokozatú komresszió esetére! Mennyi lenne a komresszor teljesítményszükséglete, ha a komresszió izotermikus lenne? Ábrázolja valamennyi folyamatot v és s diagramban! A komressziós folyamat v és s diagramban: Három fokozat ábrázolása. izobár hűtés adiabatikus komresszió környezeti állaot v 5
Három fokozat ábrázolása adiabatikus komresszió 3 környezeti állaot izobár hűtés Ha a komresszió = 368,5 K (95 C)-ig tart, akkor a fokozati végnyomás = κ κ κ κ, ebből = =,673 bar. Ebben az esetben a nyomásviszony egy fokozatra: r () =,673. Mivel a levegőt 5 bar-ra kell komrimálni, azaz az eredő nyomásviszonynak, mely a fokozati nyomásviszonyok szorzata, 5-öt kell kiadnia () n r = 5. Ez alaján a szükséges komresszor fokozatok száma: ln 5 n = = 4,6. () lnr A komresszió megvalósításához tehát öt (5) fokozatú berendezés szükséges, mivel a fokozatszám csak egész érték lehet, továbbá a komrimált gáz hőmérséklete nem léheti túl a megengedett értéket. Ha négy (4) fokozatú komressziót választanánk, akkor e feltételnek nem tudnánk eleget tenni. A valódi fokozati nyomásviszony: () n r = 5 =,9. A beszívott levegő fajtérfogata: v = R egyenletből R v = = 0,85 kg/m 3. s 6
tömegárama: V m = = 0,039 kg/s. v κ κ () Felhasználva, hogy r κ = ésc = R κ Egy fokozat hajtásához szükséges teljesítmény: κ κ () P = mc ( ) = V r κ = 355,9 W. κ A komresszor összteljesítmény szükséglete: P = np =,78 kw. Ha a komresszió egyfokozatú lenne, úgy a levegő véghőmérséklete: κ * 5 κ = = 740,4 K (467 C) lenne. A teljesítményszükséglet ebben az esetben: * κ * P = m R( ) = 7,6 kw. κ Izotermikus komresszió esetében a teljesítményszükséglet: it P = mr ln 5 = 0,7 kw. 5. FELADA. Levegőt kell komrimálnunk bar nyomással és 5 C hőmérséklettel megadott állaotból 5 bar nyomásra. A folyamat megvalósításához többfokozatú komresszorberendezés áll rendelkezésre. Egy komresszor fokozat belső hatásfoka 87 %. A levegőt tekintsük állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre: κ =,4. Vizsgáljuk meg, hogy milyen viszony van egy fokozat belső hatásfoka és a többfokozatú komresszor eredő belső hatásfoka között, ha a fokozatszám n=,, 4, 6, 8, 0 és 0! (A gyakorlatban..8 fokozatú komresszorokat alkalmaznak.) (ELVI) A folyamat egy része (két fokozat) ideális gáz s diagramjában 7
Két fokozat ábrázolása 3 n 3 3* * környezeti állaot s Legyen minden egyes fokozat nyomásviszonya azonos, mivel mint azt egy korábbi élda esetében láttuk ez igényli legkisebb befektetendő munkát. Ezzel egy fokozat nyomásviszonya: () r n = r, ahol r a teljes berendezés eredő nyomásviszonya Az első fokozatban végbemenő komresszió izentroikus véghőmérséklete: κ () κ = r. (*) A komresszor-fokozat belső hatásfoka: () h h c ( ) η K = =. h* h c ( * ) Állandó fajhőjű ideális gáz esetében a fokozatból kiléő levegő hőmérséklete: = +. (**) η * () K Behelyettesítve a (*) egyenletet a (**) egyenletbe κ κ () () r κ r κ * = + = () + (). ηk ηk A következő fokozatban végbemenő komressziónak ez a kiindulási hőmérséklete, így az előző egyenletek a következő formában írhatók fel: κ κ () r () κ κ () 3 * r κ = r () κ = +. ηk 8
κ () 3 r * κ 3* = * + = () + () + η K ηk κ κ () () r κ κ r () κ r () κ + + () ηk ηk + η Az egyfokozatú izentroikus komresszió véghőmérséklete: κ () n n r κ =. A komresszor eredő hatásfoka: () K κ () n n r κ 3* κ n () r κ () η K η K = =. + Az összefüggésből látható, hogy a többfokozatú komresszor eredő belső hatásfoka csak a fokozatszám () η függvénye, (n) és a fokozati belső hatásfok ( K ) az eredő belső hatásfok mindig kisebb, mint a fokozat belső hatásfoka, az eredő belső hatásfok a fokozatszám függvényében csökken, és aszimtotikusan közelíti a végtelen sok fokozatú komresszor κ () r κ K κ () r η κ η = eredő belső hatásfokát. () K Ennek az a magyarázata, hogy a komresszor egy fokozatában hővé alakuló súrlódási veszteségek a következő fokozatban csak további veszteségek előidézői lesznek. A tényleges számértékek kiszámítását az olvasóra bízzuk. 6. FELADA. Füstgáz exandál 4 bar nyomással és 0 C hőmérséklettel megadott állaotból bar nyomásra. A folyamat megvalósításához többfokozatú turbina áll rendelkezésre. Egy turbina fokozat belső hatásfoka 9 %. A füstgázt tekintsük állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre: κ =,33. 9
Vizsgáljuk meg, hogy milyen viszony van egy fokozat belső hatásfoka és a többfokozatú turbina eredő belső hatásfoka között, ha a fokozatszám n=,, 3, 4 és 5! (A gyakorlatban 3 vagy 4 fokozatú turbinákat alkalmaznak.) 7. FELADA. Egy 0 dm 3 térfogatú merev falú tartályban 5 bar nyomású és 500 K hőmérsékletű állandó fajhőjű ideális gáz van, melynek adiabatikus kitevője κ =, 3. A gáz hőmérsékletét hőelvonással 300 K-re csökkentjük. Számítsa ki a gáz nyomását a 300 K hőmérsékletű állaotban, továbbá az elvonandó hő mennyiségét, a belső energia, az entalia és az entróia megváltozását! A gáz nyomása a folyamat után: = =9 bar. Az entalia megváltozása: κ V H = cm( ) = ( ) = 5000 J = 5 kj. κ Az elvont hő az I. főtétel alaján, mivel V = áll., így W = 0 : U = Q. Az entalia H = U + V definícióját felhasználva: Q = U = H ( V ) = H V ( ) = 40000 J = 40 kj. V Az entróia megváltozása: S = m cv ln + Rln V. Figyelemmel arra, hogy az állaotváltozás állandó térfogaton történt, azaz V = V = áll. a szögletes zárójelen belüli kifejezés második tagjának értéke nulla. Ennek megfelelően a folyamat során bekövetkező entróiaváltozás: V S = m cv ln = ln = 0,65 J/K. κ 0
8. FELADA. Állandó fajhőjű ideális gáz közeggel ( ) κ =, 3 zárt termodinamikai rendszerben a mellékelt V diagramban ábrázoltnak megfelelő reverzibilis állaotváltozás történik. Kiinduló állaotban () a nyomás bar, a térfogat 30 dm 3, a hőmérséklet 300 K. A végállaotban () a nyomás bar a térfogat 60 dm 3. Határozza meg a gáz által végzett munkát, a közölt vagy elvont hő nagyságát, a belső energia, az entalia és az entróia megváltozását! A végállaotban a hőmérséklet: A végzett (fizikai) munka: V V = =00 K. V V V W = dv = ( V V) + ( )( V V) = 4500 J. V A belső energia megváltozása felhasználva, hogy: V a gáz tömege: m = és R R az izochor fajhő: c V = κ V R U = U U = mcv ( ) = ( ) R κ V = ( ) = 30000 J. κ A közölt hő az I. főtétel alaján: Q = U W = 34500 J. Az entalia megváltozása a fajhőviszonyt felhasználva: H = κ U = 39000 J. Az entróia megváltozása: V S = m c ln Rln = κ ln ln = 53,4 J/K. κ V
9. FELADA. Egy turbinában levegő exandál adiabatikusan 5 bar-ról bar-ra. A levegő állandó fajhőjű ideális közegként kezelhető, c = 000 J/(kg K) és c v =75 J/(kg K). A levegő beléő hőmérséklete 50 C, a kiléő 77 C, tömegárama 4000 kg/h. Mekkora a turbina által leadott teljesítmény? Mekkora a turbina belső hatásfoka? Ábrázolja a folyamatot s diagramban! Számítsa ki az exanzió során bekövetkező fajlagos entróia változást! A folyamat s diagramban: * s c A gáz adiabatikus kitevője: κ = =, 4. cv Az exanziós folyamat nyitott rendszerben megy végbe, így az I. főtétel ebben az esetben h* h = q,* + wt,,*. Mivel a folyamat adiabatikus( q,* = 0), így h* h = wt,,* A fajlagos technikai munka: wt,,* = c ( * ) = 73 kj/kg. A munka értéke negatív, mivel a munkavégzés a rendszer energiájának csökkenésével járt. A turbina teljesítménye: P = m wt,,* = 9,03 kw. Az adiabatikus és reverzibilis (izentroikus) exanzió véghőmérséklete:
κ κ = A turbina hatásfoka: = 330, K. h h* c ( * ) η = =. h h c ( ) ekintve, hogy állandó fajhőjű ideális gáz a munkaközeg, így * η = = 0,897. A exanziós folyamat során felléő fajlagos entróia változás: * s* s = s* s = c ln = 58,66 J/(kg K). 30. FELADA. Egy légkomresszor belső hatásfoka 85 %, a beszívott levegő nyomása bar, a hőmérséklete edig 5 C. A komresszor kiléő csonkjában a nyomás 6 bar. A levegő tömegárama 000 kg/h. A levegőt tekintse állandó fajhőjű állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre c V = 70 J/(kg K) és R = 87 J/(kg K). Mekkora a kiléő levegő hőmérséklete és mekkora a komresszor teljesítmény felvétele, ha a komresszió adiabatikus? Ábrázolja a folyamatot s diagramban! Számítsa ki a komresszió során bekövetkező fajlagos entróia változást! A folyamat s diagramban: * s 3
Az izobár fajhő: c = c V + R = 007 J/(kg K), az adiabatikus kitevő: κ = c cv =,4. Az adiabatikus és reverzibilis (izentroikus) komresszió véghőmérséklete: ( ) ( κ )/ κ = = 480,78 K. A komresszor belső hatásfoka: h h c ( h h) η K = =. h* h c ( h* h) Mivel a munkaközeg állandó fajhőjű ideális gáz, így a hatásfokra η K = *, ebből a valós komresszió véghőmérséklete: * = + = 54,9 K. ηk A komresszor egy átáramlott nyitott rendszer, a teljesítményszükséglet meghatározásánál figyelembe vett munka a technikai munka, mely ebben az esetben ozitív előjelű, mivel a közeg energiáját növeli. Az I. főtételt a komresszorra alkalmazva: h* h = q,* + wt,,*, a folyamat adiabatikus, így q,* = 0, azaz a fajlagos komressziós munka wt,,* = h* h = c ( h* h). A komresszor teljesítményszükséglete:. P = W = m c ( * ) = 66,05 kw. A komressziós folyamat során felléő fajlagos entróia változás: * s* s = s* s = c ln = 87,05 J/(kg K). 3. FELADA. Egy szerelőcsarnok 3 m 3 űrtartalmú acéltartályát 00 bar-os nyomásróbának vetik alá. A nyomásróbához elegendő réslevegő és elegendő víz is rendelkezésre áll. Döntse el és mutassa be szemléletesen, hogy melyik munkaközeget alkalmazná a nyomásróba elvégzéséhez! 4
3. FELADA. Egy dugattyúval lezárt, gáztöltetű hengerben mérik a nyomást az alábbi folyamatok során:. a dugattyú rögzített és emelik a gáz hőmérsékletét;. a dugattyú elmozdításával, állandó hőmérséklet mellett növelik a gáz térfogatát; 3. állandó hőmérsékleten és rögzített dugattyú mellett növelik a gáz mennyiségét. Kvalitatívan adja meg, hogy a gáz nyomása hogyan változik a fenti három esetben! 33. FELADA. Egy hengerben a dugattyú súrlódásmentes elmozdításával gázt komrimálunk. Hogyan változik a hőmérséklet, ha a henger tökéletesen szigetelt (adiabatikus állaotváltozás)? Mit kell tenni ahhoz, hogy a komresszió során a hőmérséklet ne változzon meg a hengerben? A térfogat megkettőzésekor hogyan változik a töltet hőmérséklete, ha a nyomás változatlan? A nyomás (), a térfogat (V), a tömeg (m), a hőmérséklet () segítségével felírható a V = m R állaotegyenlet, ahol R a gázállandó. 34. FELADA. 3 kg tömegű, bar nyomású és 300 K hőmérsékletű levegőt kívánunk a,5 bar, 400 K-es állaotba juttatni. Mennyi munkát kell végezni, és mennyi hőt kell közölni a közeggel, ha a levegőt először izochor melegítjük, majd izobár hűtjük? Hogy változik a munka és a közlendő hő, ha először végezzük el az izobár hűtést és azután az izochor melegítést? A vizsgált termodinamikai folyamatokat tekintsük kvázistatikus állaotváltozásoknak; a levegőt edig tökéletes gáznak (állandó fajhőjű ideális gáznak), R = 87 J/(kg K) és c v = 77 J/(kg K) jellemzőkkel. 5
35. FELADA. Egy gőzturbinába 300 t/h tömegáramú, 00 bar nyomású, 500 C hőmérsékletű és 33,5 dm 3 /kg fajtérfogatú vízgőz érkezik. Mennyi az időegységenkénti beléési munka? (7,93 MW) 36. FELADA. Egy gázturbinából 8000 kg/h tömegáramú, bar nyomású, 400 C hőmérsékletű é s,97 m 3 /kg fajtérfogatú füstgáz távozik. Mennyi az időegységenkénti kiléési munka? ( 0,04377 MW) 37. FELADA. Állandó fajhőjű ideális gázt két fokozatban izentroikusan komrimálunk. A két komresszor fokozat között a gázt a kezdeti hőmérsékletre hűtjük vissza. Ábrázolja a folyamatot v és s diagramban! Határozza meg azt a fokozati nyomásviszonyt, amely mellett a kétfokozatú komresszió fajlagos munkaszükséglete a legkisebb! A folyamat vázlata v és s diagramban: 3 5 4 4 3 =áll. 5 3 3 =áll. v s Az ábra jelöléseivel a komresszió fajlagos munkaszükséglete (átáramlott rendszer, technikai munka): w = ( h h ) + ( h h ) = c [( ) + ( )]. (*) t 4 3 4 3 Felhasználva, hogy = 3, a fenti egyenlet 4 wt = c + formában írható fel, továbbá az adiabatikus és reverzibilis (izentroikus) komressziókra 6
= = 4 3 κ κ κ κ κ κ, ebből = κ 3 κ, ebből 4 =. illetve E kifejezéseket az (*) egyenletbe visszaírva nyerjük a fajlagos technikai munka függvényét, melynek szélsőértékét (minimumát) keressük a közbenső nyomás függvényében, azaz dw κ κ κ t 0 c κ κ κ κ κ = = 3 κ d +. κ κ Ebből az egyenletből az otimális közbenső nyomás = 3. Az otimális nyomásviszony tehát r, ot 3 =. 38. FELADA. Igazolja, hogy az ideális gáz minden olyan kvázistatikus állaotváltozásának fizikai munkája számítható a n R n W, = n kifejezéssel, melyre érvényes a n V n n n Az állaotváltozásra: v = v = v. A gáz állaotegyenlet: v R = 0. Az állaotváltozás fizikai munkája: = állandó összefüggés! v v n n n v n n, = d d = = n v v W v v v v v v rendezve n n n v n n v n v W, = v v = v = n n n v. n n n v n v v v = v = n n v n v Mivel 7
n v = v n n így n R n W, = n. Az állítást bizonyítottuk., 39. FELADA. Igazolja, hogy az ideális gáz minden olyan kvázistatikus állaotváltozásának technikai munkája számítható a n nr n W,,t = n kifejezéssel, melyre érvényes a n V = állandó összefüggés! 40. FELADA. Igazolja, hogy az ideális gáz minden olyan kvázistatikus állaotváltozásának fizikai munkája számítható a W, = R ln n kifejezéssel, melyre érvényes a V = állandó összefüggés és állandó hőmérsékleten megy végbe, azaz n=! 4. FELADA. ekintsük a vizet összenyomhatatlannak és sűrűsége legyen 000 kg/m 3! Mennyi munkát kell végezni, ha 000 kg vizet bar nyomásról 00 bar nyomásra kell komrimálni? (0) Mennyi munkát kell végezni, ha 000 kg vizet egy bar nyomású tartályból egy 00 bar nyomású tartályba kell szállítani? (9,9 MJ) 4. FELADA. Egy komresszor 00 m 3 térfogatú, bar nyomású és 7 C hőmérsékletű levegőt szív be és azt egy 7 bar nyomású tartályba szállítja. A komresszió 8
olitroikus (n=,3). A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre c = 000 J/(kg K) és κ =,4. Mennyi a beszívott levegő tömege? (34 kg) Mekkora a komrimált levegő hőmérséklete? (469 K) Mennyi a komresszió munkaszükséglete? (49, MJ) Mennyi munkát igényelne a berendezés, ha a levegőt ugyanezen nyomáshatárok között csak komrimálnia kellene? (37,9 MJ) 43. FELADA. kg tömegű, 550 C hőmérsékletű, 00 bar nyomású, 3490 kj/kg fajlagos entaliájú és 0,036 m 3 /kg fajtérfogatú vízgőz adiabatikusan exandál. Az exanzió végén a gőz nyomása 5 bar, hőmérséklete 60 C, fajlagos entaliája 930 kj/kg és a fajtérfogata edig 0,6 m 3 /kg. Határozza meg az exanzió fajlagos fizikai és technikai munkáját! Végeredmények: fajlagos fizikai munka: 440 kj/kg, fajlagos technikai munka: 560 kj/kg. 44. FELADA. Egy turbótöltő turbinájába 5000 kg/h tömegáramú, 700 C hőmérsékletű és bar nyomású füstgáz érkezik és abban adiabatikusan bar nyomásra exandál, majd a környezetbe távozik. A füstgázt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre c = 000 J/(kg K) és κ =,4. Határozza meg a turbina teljesítményét! (44 kw) 45. FELADA. Egy dm 3 lökettérfogatú dugattyús komresszor, környezeti állaotú (= bar, =300 K) a levegőt szállít egy bar állandó nyomású tartályba. A komresszor hány kg levegőt komrimál fordulatonként? (0,006 kg) Mekkora a komrimált levegő hőmérséklete a komrimálás után? (493, K) Mennyi munkát igényel a komresszor fordulatonként? (3 J) Mutassa be -V diagramban a lejátszódó folyamatot (komressziót és kitolást), és a munkákat szemléltesse terüleletekkel! 9
A munkaközeg állandó fajhőjű ideális gáz, állaotegyenlete: V = m R, R=87 J/(kg K). A komrimálás olitróikus, V,5 = áll. A holttér elhanyagolható, a forgattyúházat tekintse evakuáltnak. 46. FELADA. Egy turbókomresszor másodercenként 0, kg 300 K hőmérsékletű levegőt komrimál bar-ról 5 bar-ra. Számítsa ki a komresszor hajtásához szükséges teljesítményt! Az állaotváltozás leírható a V,5 = áll. egyenlettel, a munkaközeg állandó fajhőjű ideális gáz, melyre: h = c, c = kj/(kg K) és R=87 J/(kg K). A kinetikus és a otenciális energia változás elhanyagolható. (6,35 kw) 47. FELADA. A levegő kezdeti állaotában a nyomása 0,75 bar, hőmérséklete 000 K és térfogata 0, m 3. A levegőt izotermikusan összenyomjuk, míg a térfogata a felére csökken. Ezután állandó nyomáson a térfogata ismét a felére csökken. A levegő állandó fajhőjű ideális gázként viselkedik, a secifikus gázállandó: 86 J/(kg K)! Vázolja fel a folyamatokat V diagramon Határozza meg a két folyamat összes munkáját! Határozza meg a két folyamat során forgalmazott összes hőmennyiséget! 48. FELADA. Egy 3600 kw teljesítményű turbinába 8 kg/s tömegáramú, 800 C hőmérsékletű és 00 m/s sebességű levegőáram lé be; abban adiabatikusan és reverzibilisen exandál, majd abból átáramlik egy diffúzorba 50 m/s sebességgel. A diffúzorban izentróikusan lelassul 0 m/s-ra és közben a nyomása bar-ra nő. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, R=86 J/(kg K) és κ =,4. a) határozza meg a turbina és a diffúzor közötti nyomást, b) szemléltesse a folyamatot s diagramban! 49. FELADA. Egy komresszor 300 m 3 /min térfogatáramú, 0,5 bar nyomású és 30 C hőmérsékletű levegőt szállít egy 5 bar nyomású tartályba. A komresszió 30
olitroikus, n=,9. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, R=86 J/(kg K) és κ =,4. Határozza meg a komresszor hajtásához szükséges teljesítményt! (754, kw)... Állaotegyenlet, termikus együtthatók 50. FELADA. A 0 dm 3 térfogatú, bar nyomású és 0 C hőmérsékletű higanyt izotermikusan 3000 bar nyomásra komrimálják. Ezen a hőmérsékleten a higany izotermikus komresszibilitási tényezője a 0 χ = 3, 9 0, 7 0 kifejezés szerint számítható. Határozza meg a komresszió során végzett munkát! Az izotermikus komresszibilitási tényező definiáló egyenlete: v χ = v, = áll. ebből következően dv= áll. = χ vd= áll.. A komressziós munka (zárt rendszer, fizikai munka) W V =, d V fajlagos egységekkel: A V. w = χ vd = χ vd = v χd, v fajtérfogat konstansként való kiemelésének az a magyarázata, hogy a folyékony higany gyakorlatilag összenyomhatatlannak tekinthető. Ezt a következőkben be is bizonyítjuk. Írjuk fel a folyékony higany v( ) függvényét! Az izotermikus komresszibilitási tényező definiáló egyenletéből: dv χ d =, v 3
ezzel χ d = v v 0 0 dv v Az integrálást elvégezve és rendezve: v( ) = v0ex d χ = v0e 0 4 0 3,9 0,7 0 / 3 az exonensben lévő kifejezés esetünkben 0 nagyságrendű és e (0,9999), így a fajtérfogat a nyomás függvényében állandónak tekinthető. Ennek megfelelően a komressziós munka: W = V χ = 6,0 kj., d 0 3 0 5. FELADA. R Ismert egy közeg köbös hőtágulási együtthatójának β = és izotermikus v komresszibilitási tényezőjének χ = függvénye. Adja meg a közeg állaotegyenletét! v R β = =, v v A köbös hőtágulási együttható: ( ). = áll v az izotermikus komresszibilitási tényezőj: χ = v =. = áll. Az izobár egyenlete: Rd = dv integrálva R = v + C ( ), ahol C ( ) egy -től függő állandó. Az izoterma egyenlete: d dv = v integrálva v = C ( ), ahol C ( ) egy -től függő állandó. A két egyenletet összevetve 3
v = R C ( ). v = C ( ) + 0 Mindezek alaján C ( ) = 0 és C ( ) = R, így a közeg állaotegyenlete: v = R. 5. FELADA. R Ismert egy közeg köbös hőtágulási együtthatójának β = és izotermikus v a komresszibilitási tényezőjének χ = + v függvénye, ahol a anyagjellemző állandó. Adja meg a közeg állaotegyenletét! v = R a 53. FELADA. Egy közeg köbös hőtágulási együtthatója β = 0,0068 /K és izotermikus 0 komresszibilitási tényezője χ = 0 m /N. A közeget, melynek nyomása 0 bar, hőmérséklete 00 C, állandó térfogaton 04 C-ra melegítenek. Határozza meg a felmelegített közeg nyomását! A nyomást tekintsük ( v, ) kétváltozós függvénynek. E függvény megváltozása (teljes differenciálja): d = d + dv. (*) v v ekintve, hogy a folyamat izochor, így dv=0. Kétváltozós függvények arciális deriváltjaira igaz, hogy v ( ) ( ) = v v felhasználva még, hogy v v β = v( ) és χ = v ebből következik, hogy = χ ( ) v β β Ezt a (*) jelű egyenletbe írva: d = d. χ. 33
β Integrálás és rendezés után: = 0 + ( 0) = 080 bar. χ 54. FELADA. h A = v( β) egyenlőségből kiindulva igazolja, hogy az ideális = áll. gáz fajlagos entaliája a hőmérséklet egyváltozós függvénye!.. Energiaanalízis. Az I. főtétel alkalmazása 55. FELADA. Egy izobár hűtés során az állandó fajhőjű ideális gázként kezelhető közeg fajlagos entaliája 80 kj/kg értékkel csökkent. A közeg tömege 4,65 kg, adiabatikus kitevője,4. Mennyi munkát kellett a komrimálásra fordítani? Az I. Főtételt felírva az izobár folyamatra (differenciális mennyiségekkel) du = dq + dw. Felhasználva, hogy du = c v d és dq = c d, továbbá c κ = adódik, hogy cv Q dw =. dq κ Izobár folyamat estében dh = dq. A munka (az előjelkonvenciók figyelembevételével, az entaliaváltozás negatív, a közeg összehúzódik): W = m h κ = 370 kj. κ 34
56. FELADA. Egy izobár hőközlés során az állandó fajhőjű ideális gázként kezelhető közeg 600 kj munkát végez. A közeg tömege 5 kg, adiabatikus kitevője,4. Mennyivel változott meg a gáz fajlagos belső energiája? Az I. Főtételt felírva az izobár folyamatra (differenciális mennyiségekkel) du = dq + dw. Felhasználva, hogy c du = c v d és dq = c d, továbbá κ = adódik, hogy cv dw =. dq κ Az I. Főtétel fenti alakjából du κ = +. dw κ Az előjelkonvenciók figyelembevételével (a munka itt negatív, mivel a közeg kiterjeszkedett) a fajlagos belső energia megváltozása: W κ u = ( + m κ ) = 00 kj/kg. 57. FELADA. Egy tökéletesen hőszigetelt tartályban = 0,5 bar és t =5 C hőmérsékletű állandó fajhőjű ideális gáz van. Határozza meg a tartályban kialakuló átlag hőmérsékletet, ha abba a = bar és t = 5 C hőmérsékletű állandó fajhőjű ideális gáz beáramlik! Az ideális gázra: κ =,39. (A tartály hőkaacitása elhanyagolható, a folyamat gyorsan végbemegy). A feladatot nyitott rendszerre vezetjük vissza (lásd az ábrát)! A folyamat végén a tartályban lévő közeg belső energiája megegyezik a tartályban eredetileg lévő közeg belső energiájának, valamint beléő közeg által hozott energia összegével. A hozott energia edig nem más, mint a beléő közeg belső energiája + a V szorzat + a kinetikus Q=0 W=0 m 35
energia. Esetünkben ez utóbbit elhanyagoljuk, így a hozott energia tulajdonkéen a beléő közeg entaliája. A tartályban lévő közeg belső energiája: U = u m, melyet a beáramló közeg U = um belső energiája és a Wbe = mv beléési munka növel, azaz a beáramlási folyamat végén a tartályban lévő közeg belső energiája: U3 = m3u3 = U + U + Wbe. Az entalia H = U + V definíciójából következik, hogy H = U + V = U + Wbe. Így felírható, hogy U3 U = H. Mivel ideális gázra igaz, hogy U = mcv és H = mc és a jelen folyamat tömegmérlege: m3 = m + m, továbbá az ideális gáz V állaotegyenletéből: m =. R Mindezek alaján mc 3 V 3 mc V = ( m3 m) c, R κr Felhasználva, hogyc V = és c κ = κ V 3 R V R V 3 V κr 3 = R3 R R3 R. κ κ κ Az egyszerűsítéseket elvégezve: 3 3 = κ 3. Mivel = és 3 = a tartályban lévő levegő véghőmérsékletére adódik, hogy κ 3 = = 346,8 K. (73,65 ). + ( κ ). (ELVI ÚMUAÁS) A feladatot zárt rendszerre vezetjük vissza (lásd az ábrát)! A folyamat felfogható úgy, hogy a tartályba egy végtelen nagy másik tartályból áramlik át a gáz. A nagy tartályban kijelöljük azt a gázmennyiséget (lásd a szaggatott vonalat), mely a kis tartályba fog áramlani. V 36
Ez és a kis tartályban lévő gáz alkotja a vizsgált zárt rendszert. A virtuális ellenőrző felület (szaggatott vonal) a gáz átáramlásával egyetemben folyamatosan elmozdul, míg végül egészen a kis tartály csonkjáig húzódik. A nagy tartályban lévő gáz maga előtt tolja a kis tartályba beáramló V térfogatú gázt és azon V munkát végez. A nagy tartály nyomása nem változik a folyamat során, melyet gyorsasága miatt adiabatikusnak tekinthetünk. 58. FELADA. Egy merev falú, adiabatikusan szigetelt 0 m 3 térfogatú tartályban állandó fajhőjű ideális gázként kezelhető, bar nyomású és 7 C hőmérsékletű levegő van. (A levegőre: R= 87 J/(kg K), κ =,4.) A tartályban lévő gázt 5 órán keresztül egy 30 W teljesítményű ventilátor keveri. Ábrázolja a folyamatot állandó fajhőjű ideális gáz v és -s diagramban! Határozza meg a ventilátor kikacsolás utáni levegő hőmérsékletet és nyomást! Számítsa ki, hogy mennyivel változott a tartályban levő levegő belső energiája, entaliája és entróiája! A folyamat v és -s diagramban: v 0 0 0 0 v s A közeg izochor és izobár fajhője: c V R = = 77,5 J/(kg K) κ c = κ c = 004,5 J/(kg K). V A tartályban lévő gáz tömege: m V 0 0 = =,6 kg. R A súrlódás miatti dissziációs munka teljes egészében a közeg belső energiájának növelésére fordítódik: Pτ = mc ( ) = U, 0 V 0 Pτ ebből a folyamat utáni hőmérséklet: = 0 + = 364,94 K (9,8 C). mcv 37
A belső energia megváltozása: U = 540 kj. A folyamat utáni nyomás a tartályban, mivel az állaotváltozás izochor: = 0 =,6 bar. 0 Az entalia megváltozása kétfélekéen is meghatározható: Az izobár fajhővel állandó fajhőjű ideális gázra: H = mc ( ) = κ U = 756 kj. 0 Az entalia H=U+V értelmezését felhasználva: H = U + V ( ) = 756 kj. 0 0 v Az entróia megváltozása: S = m cv ln + Rln 0 v, mivel folyamat 0 állandó térfogaton ment végbe, azaz v = v 0, így az entróiaváltozás: S = mcv ln = 68,4 J/K. 0 59. FELADA. A 8 bar nyomású és 0 C hőmérsékletű állandó fajhőjű ideális gáznak tekinthető nitrogén gázt ( M N =8 kg/kmol; R = 834,7 J/(kmol K); κ =,4) először állandó nyomáson 50 C-ig melegítünk, majd izentroikusan bar nyomásig exandáltatunk. A kezdeti és a végállaot közötti teljes folyamatra határozza meg az alábbi fajlagos értékeket: fizikai munka, technikai munka, közölt hő, belső energia és entalia! Ábrázolja a folyamatokat állandó fajhőjű ideális gáz v és s diagramjában! A folyamatok v és s diagramban: adiabata 3 3 v s 38
Az adiabatikus exanzió után a közeg hőmérséklete: κ 3 κ 3 = = 33,6 K. A közeg fajhői: R c M v = = 74,38 J/(kg K); κ c = κ cv = 039,34 J/(kg K) A fajlagos belső energia megváltozása: u = u u = c ( ) = 4408,7 J/kg. 3 v 3 A fajlagos entalia megváltozása: h = h h = c ( ) = 689,7 J/kg. 3 3 A fajlagos közölt hő (csak az - szakaszon, mivel a -3 adiabatikus): q = c ( ) =354, J/kg., A fajlagos fizikai munka: w = u q = 793,9 J/kg.,3, A fajlagos technikai munka (technikai munka csak a -3 szakaszon értelmezhető, mivel az - szakasz izobár): w = h q = c ( ) = 97006,9 J/kg. tech, 3 60. FELADA. A 0 liter térfogatú, 8 bar nyomású és 30 C hőmérsékletű levegőt állandó nyomáson 400 C melegítve annak térfogat, liter lesz. Mennyi munkát (milyen munkát) végzett a gáz a melegítés során? (fizikai munkát, 9,77 kj) Mennyi munkát végezne, ha a melegítés állandó térfogaton történne? (nem végezne fizikai munkát) 6. FELADA. Egy termodinamikai rendszerrel, mely 6 kg levegőből áll, 00 kj hőt közlünk miközben a rendszer 50 kj munkát végez a környezeten. Mennyivel változik meg a rendszer fajlagos belső energiája? A belső energia megváltozása az I. főtétel alaján: U U = Q, + W,. A feltételek szerint 39
Q, W, = 00 kj (ozitív, mert a rendszer belső energiáját növelte), = 50 kj (negatív, mert a rendszer belső energiáját csökkentette), Mindezek alaján a belső energia megváltozása: U U = 50 kj (a rendszer belső energiája növekedett). A fajlagos belső energia megváltozása: u u = ( U U) = 8,33 kj/kg. m 6. FELADA. Egy közeg olyan állaotváltozást szenved, melynek során sem hőközlés, sem hőelvonás nincs (adiabatikus állaotváltozás). Ezen állaotváltozás során a közeg 90 kj munkát végzett a környezetén. Hogyan és mennyivel változott a közeg belső energiája? A belső energia megváltozása az I. főtétel alaján: U U = Q, + W,. A feltételek szerint Q, = 0 kj (adiabatikus állaotváltozás), W, = 90 kj (negatív, mert a munkavégzés a rendszer belső energiájának rovására történt), Mindezek alaján a belső energia megváltozása: U U = 90 kj (a rendszer belső energiája csökkent). 63. FELADA. Egy közeggel állandó térfogaton 80 kj hőt közölnek. Mire fordítódik a közölt hő? Mennyi munkát végez a közeg? Mennyivel változik a közeg belső energiája? A folyamatot zárt termodinamikai rendszerben megy végbe, hiszen V=áll.. Az I. főtétel ebben az esetben: U U = Q, + W,. A fizikai munka: W V =, d 40
tekintve, hogy a folyamat állandó térfogaton megy végbe dv=0, így nincs munkavégzés, a közölt hő teljes egészében a közeg (rendszer) belső energiájának megváltoztatására fordítódik, azaz U U = Q =80 kj., 64. FELADA. kg tömegű, bar nyomású és 0 C hőmérsékletű levegőt állandó hőmérsékleten 4 bar nyomásra komrimálunk. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre R= 86 J/(kg K). Határozza meg az állaotváltozás során végzett munkát, a forgalmazott hőmennyiséget és a belső energia megváltozását! Jelölje index a komresszió előtti, míg az azutáni állaotot! Az izotermikus komrimálás során végzett munka: W, = R ln = 6,3 J. A belső energia nem változik, mivel állandó a közeg hőmérséklete és ideális gáz esetén a belső energia a hőmérséklet egyváltozós függvénye, így U U = 0. A forgalmazott hőmennyiség a termodinamika I. főtétele alaján határozható meg, azaz U U = 0 = Q, + W,, ebből Q = W = 6,3 J.,, 65. FELADA. kg tömegű, bar nyomású és 0 C hőmérsékletű levegőt adiabatikusan 4 bar nyomásra komrimálunk. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre R= 86 J/(kg K). Határozza meg a végzett munkát és a belső energia megváltozását! Jelölje index a komresszió előtti, míg az azutáni állaotot! Az adiabatikus komresszió véghőmérséklete: κ κ = = 435 K. 4
R A gáz izochor fajhője: c v =. Ennek felhasználásával a gáz belső κ energiájának megváltozása: U U = mcv ( ) =0,4 kj. A végezett munka meghatározásához írjuk fel a termodinamika I. főtételét U U = Q, + W,. ekintettel arra, hogy a folyamat adiabatikus volt, így Q, = 0 következéskéen W = U U = 0,4 kj., 66. FELADA. Mennyi hőt kell közölni kg O gázzal, ha azt 00 C hőmérsékletről 300 C hőmérsékletre kell melegíteni állandó térfogaton és mennyit ha a melegítés állandó nyomáson történik? Mivel egyenlő a két hőmennyiség különbsége? Az oxigént tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre: M = 3 kg/kmol és κ =,4. O Végeredmények: az állandó térfogaton közölt hő: 30 kj, az állandó nyomáson közölt hő: 8 kj, a két hőmennyiség különbsége a térfogatváltozási munka. 67. FELADA. dm 3 térfogatú, bar nyomás és 0 C hőmérsékletű levegőt olitroikusan (n=,3) bar nyomásra komrimálunk. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre R= 86 J/(kg K). Határozza meg a komresszió véghőmérsékletét, a belső energia megváltozását, a végzett munkát és a közölt vagy elvont hőmennyiséget! 68. FELADA. Levegőt állandó térfogaton melegítünk. A közölt hő 00 kj. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre κ =,4! Mennyivel változik a közeg belső energiája és entaliája? Mennyi az állaotváltozás fizikai és technikai munkája? 4
Jelölje index a hőközlés előtti, míg az azutáni állaotot! Mivel az állaotváltozás állandó térfogaton történt, ezért a fizikai munka (térfogatváltozási munka) W, = 0. A belső energia megváltozása az I. főtétel alaján: 0 U U = Q, + W, = 00 kj. Ideális gáz esetén a belső energia megváltozása U U = mcv ( ), az entalia megváltozása H H = mc ( ). c Az adiabatikus kitevő κ =. Mindezek alaján cv H H = κ( U U) = 80 kj. A technikai munka meghatározásához ismételten az I. főtételt írjuk fel, de ebben az esetben entaliával és technikai munkával (nyitott rendszer): H H = Q, + W,,t ebből a technikai munka: W = ( H H ) Q =80 kj.,,t, 69. FELADA. Hidrogén gázt állandó nyomáson melegítünk. A közölt hő 00 kj. A hidrogént tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre: κ =,4! Mennyivel változik a közeg belső energiája és entaliája? Mennyi az állaotváltozás fizikai és technikai munkája? 70. FELADA. Egy fúvókába,6 bar nyomású, 67 C hőmérsékletű levegő lé be elhanyagolható sebességgel. A kiléő nyomás bar, a kiléő sebesség 83 m/s. A levegő tömegárama kg/s. A fúvóka tökéletesen hőszigetelt. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre J c = 005, κ =, 4 kg K Határozza meg a levegő hőmérsékletét a fúvóka kiléő keresztmetszetében! Számítsa ki a kiléő keresztmetszet nagyságát! 43
Számítsa ki az irreverzibilitás miatt bekövetkező entróiaáram növekedést! Az átáramlott (nyitott) rendszerben végbemenő folyamat adiabatikus, így q, = 0. A rendszer merev falú, munkavégzés nem lehetséges, így w t,, = 0. A otenciális energia nem változik, mivel z = z, következéskéen g( z z) = 0. Az energiamegmaradási egyenletet (az I. főtételt) felírva (fajlagos entalia és fajlagos mozgási energia), azaz w w + = h + z h Mivel A következéskéen w 0, így a x w közeg entaliaváltozása h h =. Mivel a levegő állandó fajhőjű ideális gáznak tekinthető, ezért adiabatikus, merev fal w h h = = c ( ) Innen = 300,5 K (7 C). A kontinuitási egyenletet (az és keresztmetszetben azonos a közeg tömegárama) m = wρ A = wρ A = áll., a gáztörvényt v = R, valamint a sűrűség és fajtérfogat közötti ρ = v összefüggést felhasználva a kiléő keresztmetszet nagysága: m R A = = 60,85 cm. w Az irreverzibilitás miatti entróiaáram növekedés: S = m c ln Rln = 8,3 W/K. 44
7. FELADA. Egy állandó keresztmetszetű cső elején az áramló közeg sebessége 50 m/s, nyomása 0 bar, hőmérséklete edig 7 C, sűrűsége 0 kg/m 3. A csőben súrlódásos áramlás játszódik le, minek következtében a közeg nyomása a kiléésnél bar lesz. A cső környezetétől tökéletesen hőszigetelt, az áramló közeg állandó fajhőjű ideális gáz, melynek izobár fajhője kj/(kg K). Mekkora a csőből való kiléésnél a közeg sűrűsége, hőmérséklete és sebessége? Az energiamegmaradási egyenlet adiabatikus esetre, ha nincs munkavégzés és a otenciális energia megváltozása elhanyagolható: w w h h + = +. v Az id. gáz állaotegyenlet: v =, ebből v = v (**) w w v Az állandó tömegáram a csőben: =, ebből w = w (*) v v v Az energiamegmaradási egyenletet rendezve: w w h h = c ( ) =. Behelyettesítve a (*) és (**) egyenleteket: vw w vw w c ( ) = v = v Ebből: a kiléő hőmérséklet = 338,4 K; kiléő sebesség: w = 8 m/s; kiléő sűrűség/fajtérfogat: v = 0,564 m 3 /kg (,773 kg/m 3 ). v A secifikus gázállandó: R = = 333,3 J/(kg K). A fajlagos entróiaváltozás: s = c ln Rln = 656,4 J/(kg K). 7. FELADA. Egy légkomresszor beléő csonkjában áramló levegő sebessége 7, m/s, nyomása bar, hőmérséklete 0 C. A kiléő csonkban a levegő sebessége 4,5 m/s, nyomása 7,9 bar, fajtérfogata 0,6 m 3 /kg. A levegő fajlagos belső 45
energiája 53,3 kj/kg értékkel nagyobb a kiléésnél, mint a beléésnél. A komresszort a túlmelegedés ellen védő hűtőkör 59 kw hőt von el a komresszorból. A levegő tömegárama 880 kg/h. (A levegő állandó fajhőjű ideális gáznak tekinthető, R = 87 J/(kg K), a két csonk magasságkülönbsége elhanyagolható.) Számítsa ki a komresszor hajtásához szükséges teljesítményt, és a komresszor csonkjainak keresztmetszetét! Jelölje index a beléő, míg index a kiléő állaotot! A fajlagos elvont hőmennyiség (negatív az előjel, mert a belső energiát csökkenti): Q el qel = q, = = 73,75 kj/kg. m R A levegő fajtérfogata a belééskor: v = = 0,84 m 3 /kg. Az I. Főtételt átáramlott (nyitott) rendszerre felírva w w u + v + + gz u + v + + gz = q, + w t,,, A továbbiakban e feladat megoldása során az álló w a sebességet, míg a w t jelcsoort a fajlagos technikai munkát jelenti. A fajlagos technikai munkára rendezve, figyelembe véve, hogy a munka előjele ozitív, hiszen az a belső energiát növeli, valamint a szintkülönbséget elhanyagolva: w w wt,, = u + v + u + v + q, Behelyettesítve: w t,, = 69,334 kj/kg. A komresszor teljesítménye: P = mw t,, = 5,4 kw. A be-, ill. kiléő keresztmetszetek nagysága: mv mv A = = 0,0934 m ; A = = 0,084 m. w w 73. FELADA. Egy DIESEL-motor állandó fajhőjű ideális gázként kezelhető kiufogó gázának hőmérséklete (a kiufogó csőben mérve) 55 C, nyomása,9 bar és adiabatikus kitevője,348. A mérési adatok tanúsága szerint az exanzió végnyomása (amit a hengerben mérnek) 4,98 bar. A kinetikai és a otenciális energia megváltozása elhanyagolható. 46
Határozza meg az exanzió végén a munkatérben (hengerben) uralkodó hőmérsékletet, ha feltételezzük, hogy a munkahengerből a kiufogó vezetékbe a gáz adiabatikusan áramlott ki, továbbá a füstgáz kitolása (a dugattyú mozgása) során a hengerben és a kiufogó csőben a nyomás azonos! A DIESEL-motor munkafolyamatának egy része az ábrán látható. Az -gyel jelölt ontban a kiufogó szele kinyit, a füstgáz egy része gyorsan kiáramlik a kiufogó csőbe, és a hengerben a nyomás lecsökken a kiufogó csőben uralkodó értékre. Ez a kiáramlási 3 folyamat adiabatikus, ugyanakkor irreverzibilis folyamat, ugyanis a csőben v a nyomás mindenütt ugyanakkora. A jelenséget tekintsük zárt rendszerben lejátszódó folyamatnak! A zárt rendszert alkossa az a füstgáz, ami az exanzió végén ( állaot) a hengerben van. A kiufogó szele nyitásakor a gáz nyomása leesik -re, a térfogata megnő V * -ra és a kiufogócsőben előtte lévő gázt elnyomja; eközben ( V* V) munkát végez (V térfogatú gáz ekkor még a hengerben marad). Ezt követően a dugattyú elmozdul a felső holtontig és a gázon V munkát végez, a gáz a kiufogó csőben a gázt tovább tolja és ott a gáz végez V munkát. Az I. főtételt alkalmazva: Uvég U = W + Q,, mivel a folyamat adiabatikus: Q, = 0. A folyamat során végzett összes munka: W = ( V * V ) + V V, tehát W = ( V * V ). (*) Ideális gáz belső energiájának megváltozása: U U mc ( ) vég = V vég. Az ideális gáz állaotegyenlet az egyes ontokban: mrvég V * = mrvég, ebből V* = ; hasonlóké mr V = mr, ebből V =. 47
A megfelelő kifejezéseket a (*) egyenletbe visszaírva és m-mel egyszerűsítve: Az állandó fajhőjű ideális gázként kezelhető kiufogógázra az előző egyenlet Rvég R cv ( vég ) = R alakban írható fel. Felhasználva, hogy c v = és a gázállandóval κ egyszerűsítve vég ( vég ) = κ. A kijelölt műveleteket elvégezve és rendezve: vég ( + ) = + κ κ Innen a kérdéses exanzió véghőmérséklet: vég ( + κ ) = = 980,86 K = 707,7 C. + κ 74. FELADA. Egy hőszigetelt, egyik végén nyitott hengerben egy rögzített dugattyú van (A = 0 mm, m = 0 g). A dugattyú mögötti zárt térrész hossza 40 mm; benn sűrített levegő ( = 80 bar, = 300 K) van. A henger nyitott részét környezeti állaotú levegő ( k = bar, k = 300 K) tölti ki. A dugattyú rögzítésének feloldása után a komrimált levegő kitágul, a dugattyút felgyorsítja. A dugattyú mozgását tekintsük súrlódásmentesnek, a levegőt edig állandó fajhőjű ideális gáznak R = 86 J/(kg K),4 gázállandóval. A levegő exanzióját a V = áll. egyenlet írja le. Milyen hosszú legyen a henger nyitott része, hogy a dugattyú sebessége a maximális értéket elérje? (H=0,875 m) Határozza meg a dugattyú maximális mozgási energiáját mint területet a V diagram segítségével (V legyen a komrimált levegő térfogata)! Mekkora a dugattyú maximális sebessége? (w=98,3 m/s) A levegő mozgási energiájának változását hanyagolja el! 48