5. Szabályozótrvzéi alapok 5.. A zabályozótrvzéi ladat mgogalmazáa A zabályozótrvzé orá az iráyítái ladatot mgoldó zabályozót kívájuk mghatározi. él a ladatak mgllő zabályozótruktúra kiválaztáa, valamit a kiválaztott zabályozó paramétrik mghatározáa. A olyamatot imrtk tkitjük: imrt a olyamatot líró modll truktúrája okzáma, zéruaiak záma, tb. valamit a olyamat paramétri időálladók, holtidő, tb.. Ek alapjá a olyamatot líró modllt kll mghatározi. Egy bmtű, gy kimtű rdzrk iráyítáa té a zabályozótrvzéhz a olyamatot általába átvitli üggvéyl célzrű modllzi. A modll az özvot olyamatot kll lírja: a bavatkozó iráyított olyamat érzéklő özvot modlljét. A zabályozó trvzééhz adottak a kövtlméyk, vagyi az lváráok, hogy hogya vilkdj az iráyított rdzr. A lgotoabb kövtlméycoportok: - razi állapotbli kövtlméyk: adottak a trazi állapotbli jllmzők például zabályzái idő, túllövé. - Álladóult állapotbli kövtlméyk: a trazik ljárta utái állapot jllmzői. Álladóult állapotba a zabályozái potoág a lgotoabb kövtlméy, vagyi myir tér l a olyamat kimt az alapjltől. - Robuztuági, zajlyomái kövtlméyk: Potatlaul imrt, időb korlátoa változó paramétrk é a rdzrr ható külő zajok mlltt i a zabályozóak biztoítai kll az iráyítái rdzr tabilitáát, valamit a trazi- é álladóult állapotbli zabályozái miőégi jllmzők lőírt korlátoko blül tartáát. - Bavatkozó jl korlátoága: A zabályozó által kizámított bavatkozó jl m lht agyobb, mit amit a bavatkozó bmt kép ogadi. A kövtlméykt úgy kll mgogalmazi, hogy lgyk lltmodáoak. Például túl kici zabályozái idő lőíráa té a bavatkozó jl érték a zabályozá idítááál olya agy lht, hogy érti ogja a bavatkozó jl korlátoágára kitűzött kövtlméykt. hát zabályozótrvzéi ladat mgoldááál adott kövtlméyk é olyamatmodll mlltt kll a zabályozót mghatározi. 5.. rvzéi alapmódzrk A zabályozái kövtlméyk biztoítáára ltrjdt éháy alapmódzr, amlyk a olyamatok zél oztályáál alkalmazhatóak. 54
5... Ngatív vizacatolá özimrt, hogy vizacatoláal a rdzrk diamiku é álladóult állapotbli jllmzői, tabilitáa mgváltoztathatóak. A tipiku zabályozái rdzr téb a zabályozó a olyamattal orba va catolva majd az így képztt yílt rdzrt vizacatolva kapjuk a zárt rdzrt. hát a yílt rdzrt a zabályozó é olyamat képzi, így ha a olyamat modllj, a zabályozó modllj, a yílt rdzr modllj: N 5. A 5. Ábra alapjá a yílt rdzr átvitli üggvéyék imrtéb mghatározhatjuk a zárt rdzr átvitli üggvéyét. 5. Ábra: A vizacatolt zárt rdzr A zabályozái hibát az alapjl é a olyamat mért kimt külöbégkét írhatjuk l: Mivl a zárt rdzr átvitli üggvéy üggvéy r y y, az 5. özüggé alapjá: N y 5. r y y é a yílt rdzr átvitli r N 5.3 N Az 5.3 özüggé alapjá látzik, hogy a rdzr póluai a vizacatolá miatt mgváltozak, thát a vizacatolt rdzr má trazi vilkdét mutat, mit a yílt rdzr, a póluok hlyét mgváltoztathatjuk. N 55
Mitavétl rdzrk téb ha a yílt rdzr dizkrét átvitli üggvéyl modllzhtő Nz a zárt rdzr z ormáját ugyacak az 5.3 özüggél zámolhatjuk. 5. Példa: Lgy a yílt rdzr gy lőokú, agy rőítéű tabil rdzr: atározzuk mg a zárt rdzr modlljét. Az 5.3 özüggét alkalmazva:, >, N >> 5.4 5.5 A vizacatolt rdzr időálladója kibb lz, thát a vizacatolt rdzr gyorabba og válazoli, mit a yílt rdzr. Ugyaakkor agy érték té a vizacatolt zárt rdzr rőíté gyéghz közli lz. 5... Pólu-zéru kijté lv A olyamat diamiku vilkdéét aak póluai é zéruai határozzák mg. a valamlyik pólu vagy zéru jllét által kiváltott trazi vilkdétől mg zrték zabaduli, akkor célzrű a zabályozót úgy mgválaztai, hogy az adott pólu vagy zéru hatáát kijt. ltétlzzük, hogy a olyamatot líró modll két pólut é két zérut tartalmaz: z z 5.6 p p a a p pólutól é z zérutól zrték mgzabaduli, akkor a zabályozót az alábbi ormába válazthatjuk mg: p 5.7 z Ebb az tb a yílt rdzr: N p z z z 5.8 z p p p 56
A módzr ő hátráya, hogy m robuztu: a gyakorlatba midig va ltéré a való rdzr póluai/zéruai é az alkalmazott modll póluai/zéruai között. Így a zabályozó m jti ki a való olyamat póluait, ham cak újakat viz a rdzrb. Lgyk a való rdzr póluai/ zéruai: z δz, z δz, p δp, p δp. Így a yílt rdzr a zabályozóval: N p z δz z δz 5.9 z p δp p δp Ezért a módzr m alkalmazható, ha itabil zérut akaruk kijti, mivl kkor a zabályozó itabil rdzr l itabil pólual rdlkz. Mivl a pólu-zéru kijté m valóul mg tökélt, a zabályozott yílt rdzr az 5.9 özüggé alapjá itabillá vála. Alkalmazható a módzr abba az tb, ha laú, tabil póluokat kll kijti a zabályozái idő övléék érdkéb. Laú póluok tipikua a rdzr lgkibb értékű póluai. a a pólu érték kici, z agy időálladót, laú válazt jlt. a az p ltéré a való é laú pólu között m jltő δ p érték kici, akkor az p δp átvitl érték mgközlíti az gyégyi idáli rőítő átvitlét. A pólu-zéru kijté módzrét általába a vizacatolá módzrévl gyütt zoká alkalmazi. A módzr alkalmazható dizkrét átvitli üggvéykkl mgadott rdzrkr i. 5..3. Előírt mitardzr alapú trvzé Az lőírt mitardzr alapú trvzéi módzr téb mg kll kri azt a diamiku rdzrt, amly az lőírt trazi é álladóult állapotbli kövtlméykk lgt tz. A mitardzr mghatározáa utá a zabályozót úgy kll mgválaztai, hogy a vizacatolt zárt rdzr ugyaolya vilkdét mutao, mit az lőírt mitardzr. lád 5. Ábra 5. Ábra: Előírt mitardzr alapú trvzé Lgy a olyamat átvitli üggvéy, az lőírt mitardzr átvitli üggvéy R. rük a zabályozó átvitli üggvéyét. Az 5. é 5.3 özüggék alapjá a zárt rdzr modllj: 57
58 5. A zárt rdzr modllj mg kll, hogy gyzz a mitardzr átvitli üggvéyévl R, így: R 5. Az 5. özüggé alapjá a zabályozót líró diamiku modll automatikua kövtkzik: R R R R R R 5. Mitavétl rdzrk téb, ha a mitardzr é a olyamat modll dizkrét étvitli üggvéykkl va mgadva, R z z, a zabályozó modlljét ugyacak az 5. ormába kapjuk: R R z z z z 5.3 5..4. okzám ltétl lőírt mitardzr alapú trvzé té 5.-a Példa: Lgy a olyamat gy lőokú rdzr. atározzuk mg a zabályozót úgy, hogy a zárt rdzr máodokú lgőrdzrkét vilkdj: R Az 5. özüggé alapjá kövtkzik: 5.4 A kapott zabályozó itgrátort tartalmaz, két pólua, gy zérua va.
5.-b Példa: Lgy a olyamat gy máodokú lgőrdzr. atározzuk mg a zabályozót úgy, hogy a zárt rdzr lőokú rdzrkét vilkdj: R Az 5. özüggé alapjá kövtkzik: 5.5 A kapott zabályozóak két zérua, gy pólua va, thát m kauzáli, m mgvalóítható. hát m létzik olya mgvalóítható zabályozó, amly biztoítaá, hogy máodokú olyamat lőokú rdzrkét vilkdj. Általáoa ltvődik a kérdé, hogy a olyamat é a rrciardzr okzámai póluaiak é zéruaiak zámai között mily özüggé kll álljo ahhoz, hogy a zabályozó mgvalóítható kauzáli lgy. Jlölj gr{} általába gy poliom okzámát. Lgyk a olyamat é a mitardzr okzámai: Q gr{ Q } gr{ P } 5.6 P R QR gr{ QR } gr{ PR } 5.7 P R A zabályozó modll okzámát az 5. özüggé alapjá határozhatjuk mg: QR Q P Q P R P R 5.8 P Q Q R Q PR QR P A 5.8 alapjá látzik, hogy aak a ltétl, hogy a zabályozó kauzáli lgy - gr{ P } gr{ Q }: gr { PR R R R Q } gr{ Q } gr{ P } gr{ Q } 5.9 A zabályozó mgvalóíthatóágáak ltétl, hogy a mitardzr é a olyamat okzámai között az 5.9 ltétl tljüljö. 59
5.3 Példa: Guillmi-ruxal trvzé A módzr a mitardzr mgválaztáára olya rdzrkt ajál, amlyk gyégyi rőítéűk thát gyégugrá bmtr a kimt érték álladóult állapotba, m tartalmazak zéruokat é a mitardzr vzőit az ú. Buttrworth poliomok képzik. Ez poliomok gyöki a komplx tér bal élíkjába, az gyégugarú körö gylt vaak lozolva lád 5.3 Ábra. Az így mgválaztott póluok tabil zárt rdzrt, ki túllövéű zabályozái trazit rdméyzk. 5.3 Ábra: A Buttrworth poliomok gyökik lhlyzkdé a komplx íkba A mitardzr általáo alakja: R Q P R R b b... b b 5. Az 5.9 okzám ltétl zrit a Pr poliom okzámát az alábbi özüggé alapjá kll mgválaztai: { P } gr{ } > gr 5. Q a a olyamat m tartalmaz itgrátort, az a zabályozóba jlik mg. A zabályozó alakja gyzrű kövtkzik az 5. özüggéből: R b b... b b b b... b b R b b... b 5.3. A máodokú lgőrdzr Iráyítátchikai alkalmazáokál kimlt jltőégű rdzrmodll a máodokú lgőrdzr. Az iráyítá trvzééél abból idulhatuk ki, hogy az iráyított rdzr úgy vilkdj, mit gy lőírt rrciardzr. ipikua ily rdzrk válaztható a máodokú lgőrdzr: 6
6 5. > jlöli a rdzr cillapítáát, > a rdzr aját körrkvciáját. A rdzr póluaiak lozláa: A karaktriztiku poliom gyöki póluai köy mghatározhatóak, mivl a rdzr máodokú: j, 4 4 ± j σ ±, 5.3 σ a pólu való rézék, a pólu komplx rézék abzolút értékét jlöli. A két kojugált komplx pólut komplx térb ábrázolva 5.4 Ábra látható, hogy a rdzr > ltétl mlltt tabil. 5.4 Ábra: Máodokú lgőrdzr pólulozláa < ltétl mlltt a póluok komplxk, ami lgő vilkdér utal: ha a rdzr bmtér gyégugrá-zrű, a kimt cillapított, lgő válazt kapuk 5.5 Ábra. A máodokú lgőrdzr gyégugrá bmtr adott válazát időtartomáyba az alábbi özüggé adja: ta i a t t y t σ ϕ tg
Látzik, hogy a cillapítát az xpociáli hatváykitvőjéb lvő zorzat adja. Miél agyobb az érték, a lgék aál gyorabba cillapodak. A lgék körrkvciáját özüggél zámíthatjuk. A rdzr válazáak lgotoabb jllmzőit időtartomáybli miőégi jllmzőkk vzzük:. úllövé: az gyégugrára adott válaz lgagyobb pozitív iráyú ltéré az gyégugrától, zázalékba kijzv. Az alábbi képlt alapjá zámíthatjuk: ν xp σ xp 5.4. Blgéi idő: a túllövé bkövtkzéék idj. ν 5.5 3. Szabályozái idő: az az időtartam, amlyk ltltévl a rdzr gyégugrára adott válaza cak maximum % -kal tér l az gyégtől. Az 5.5 Ábrá a %-o ávot a vízzit zaggatott voalak jlölik. 4 4 5.6 σ % oto t a cillapítá, ugyai rr az értékr a válaz túllövé.43 ν 4.3%. hát a cillapítái érték ki túllövét biztoít. ν xp 5.5 Ábra: Máodokú lgőrdzr tipiku válaza gyégugrá bmtr 6
5.3.. Máodokú lgőrdzr póluaiak mghatározáa időtartomáybli miőégi jllmzők alapjá Az iráyítá trvzékor kövtlméykét adottak az időtartomáybli miőégi jllmzők, vagy azokak korlátai. Így a trvzé oto lépé a rdzr modlljék mghatározáa, amlyk válaza tljíti az lőírt jllmzőkt. Lgyk adottak a kövtkzők: I. maximália mggdtt túllövé: ν ν II. maximália mggdtt blgéi idő: ν ν III. maximáli zabályozái idő: % % IV. maximália mggdtt aját körrkvcia maximália mggdtt agyrkvciá lgé: Az I. ltétlből kövtkzik, lhazálva az 5.4 özüggét: σ ν xp ν σ l ν σ tg tg σ l ν l ν σ l ν vagyi tg tg σ σ 5.7 Ugyacak az I. ltétlből kövtkzik, lhazálva az 5.4 özüggét xp ν MIN 5.8 l ν A II. ltétlből kövtkzik, lhazálva az 5.5 özüggét: ν MIN 5.9 ν A III. ltétlből kövtkzik, lhazálva az 5.6 özüggét: 4 σ % σ σ MIN 4 % 5.3 lhazálva a IV. ltétlt é az 5.8 özüggét kapjuk: 63
MIN MIN 5.3 Az 5.7, 5.9, 5.3, 5.3 özüggék alapjá a rdzr póluait gyértlmű bhatárolhatjuk a komplx térb. Az 5.6 Ábrá látható ávoko blül bárhoa válaztjuk a kojugált komplx póluokat, tljíti ogják az lőírt kövtlméykt. A póluok alapjá pdig köy mgkaphatjuk a mgtrvztt lgőrdzrük cillapítáát é ajátrkvciáját. 5.6 Ábra: A póluok hly a diamiku miőégi jllmzők gyidjű lőíráa té olytoo t 64