Összeállította: Író Béla A javításban és a bővítésben közreműködött: Baracskai Melinda

Átírás

1 Széhenyi István Egyetem Műszaki Tudományi Kar javított és bővített változat, 00. Összeállította: Író Béla A javításban és a bővítésben közreműködött: Baraskai Melinda

2 Példatár Ha külön nins jelezve, akkor a feladatok megoldásánál a gravitáiós gyorsulást minden esetben 0 m/s értékűnek lehet venni! IK/. feladat Határozza meg a konvektív gyorsulás értékét egy 800 mm hosszúságú, sonka kúp alakú, 00/00 mm átmérőjű keresztmetszet-átmenet tengelyében középütt. A 00 mm átmérőjű keresztmetszeten kg át belépő folyadék ( 000 ) sebessége 0 m/s és időben állandó. m IK/. feladat Egy konfúzorban a sebesség változását a =+x függvény írja le. Itt x a konfúzor tengelyével párhuzamosan értendő. Határozza meg a lokális és a konvektív gyorsulás nagyságát a konfúzor középvonalában, a belépéstől m-re! IK/. feladat Az ábrán látható tartályban gyakorlatilag állandó a vízszint magassága. A tartályból egy olyan satornába ömlik ki a víz, ahol szintén állandó a vízszint, de alasonyabb a tartályban lévőnél. A tartályban a vízszint felett 0,7 bar túlnyomás, a satornában lévő víz felett pedig a légköri nyomás uralkodik, melynek névleges értéke p o= bar. h pt h d po h h=, m, h=,, h=,9 m, d=0 mm /6

3 Ideális körülményeket feltételezve, határozzuk meg a tartályból a satornába átfolyó víz térfogatáramát liter/per mértékegységben! (A víz sűrűsége kg/dm ) IK/. feladat Az ábrán látható tartályban gyakorlatilag állandó a vízszint magassága. A tartályból a szabadba ömlik ki a víz. A tartályban a vízszint felett 0 Pa vákuum uralkodik. A légköri nyomás névleges értéke p o= bar. Ideális körülményeket feltételezve, határozzuk meg a tartályból kifolyó víz térfogatáramát liter/per mértékegységben! (A víz sűrűsége kg/dm ) h pv h d po h=,8 m, h=0,7, d=7 mm IK/. feladat Az ábrán látható nyitott tartályban gyakorlatilag állandó a vízszint magassága. A tartályból a víz egy olyan másik tartályba ömlik át, ahol a víz felett 900 Pa túlnyomás van. A légköri nyomás névleges értéke p o= bar. Ideális körülményeket feltételezve, határozzuk meg a tartályból kifolyó víz térfogatáramát m /per mértékegységben! (A víz sűrűsége kg/dm ) h po d pt h h h=,6 m, h=0, m, d=8 m h=, m /6

4 IK/6. feladat Az ábrán látható nyitott tartályban gyakorlatilag állandó a vízszint magassága. A tartályból a víz a szabadba ömlik ki. A légköri nyomás névleges értéke p o= bar. Ideális körülményeket feltételezve, határozzuk meg a tartályból kifolyó víz térfogatáramát liter/s mértékegységben! (A víz sűrűsége kg/dm ) h po d po h h=,6 m, h=0, m, d=00 mm IK/7. feladat Az ábrán látható tartály a kiömlő nyílás szintjétől számított h=, m magasságig vízzel van megtöltve és a víztükör felett 0, bar túlnyomás uralkodik. Hány liter víz áramlik ki perenként a tartály alján lévő d=0 mm átmérőjű nyíláson át, ha a tartály a= m/se gyorsulással a jelölt irányba megindul? A tartályban a vízszint-magasságot vegye állandónak! (=000 kg/m, g=0 m/se ) a pt h d /6

5 IK/8. feladat Az ábrán látható tartály a kiömlő nyílás szintjétől számított h=0,9 m magasságig vízzel van megtöltve és a víztükör felett 700 Pa vákuum uralkodik. Hány liter víz áramlik ki perenként a tartály alján lévő d= mm átmérőjű nyíláson át a szabadba, ha a tartály a=,8 m/se gyorsulással a jelölt irányba megindul? A tartályban a vízszintmagasságot vegye állandónak! (=000 kg/m, g=0 m/se ) a pv h d IK/9. feladat Az ábrán látható nyitott tartály a kiömlő nyílás szintjétől számított h=, m magasságig vízzel van megtöltve. a Hány liter víz áramlik ki másodperenként a tartály alján lévő d=6 mm átmérőjű nyíláson át a szabadba, ha a tartály a= m/se gyorsulással a jelölt irányba megindul? A tartályban a vízszintmagasságot vegye állandónak! (=000 kg/m, g=0 m/se ) h d IK/0. feladat Az alábbi ábrán látható nagy méretű tartály és a satlakozó ferde ső fel van töltve vízzel. A ferde ső végén megnyitva az elzáró szerelvényt megindul a víz kiáramlása. Határozzuk meg a tartályból kiáramló víz kezdeti gyorsulását és azt, hogy staionárius állapotban a /6

6 kiáramló vízsugár a tartály kiömlőnyílásának szintjétől számítva milyen legnagyobb magasságig emelkedik! A tartályban 0,9 bar túlnyomás van. (=000 kg/m, g=0 m/se ) pt m m 0 o m IK/. feladat Az alábbi ábrán látható két nagy méretű tartály a rajzon mutatott mértékig fel van töltve vízzel és egy 6, m hosszú sővel van összekötve. Határozzuk meg, hogy mekkora lesz a kezdeti gyorsulás az összekötő sőbe beépített elzárószerelvény kinyitásának pillanatában. A baloldali tartályban a folyadék felszíne felett vákuum van, értéke 8900 Pa. A jobboldali tartályban 0,0 bar túlnyomás van. (=000 kg/m, g=0 m/se ) Pv pt m,7 m 6, m IK/. feladat 6/6

7 Mennyi idő alatt ürül ki szabad kifolyással az ábrán látható nyitott, álló hengeres, m belső átmérőjű víztartály, mely m magasságig van megtöltve. A kiömlőnyílás átmérője 80 mm. (g=0 m/se ), m m 80 mm IK/. feladat Hány per alatt ürül ki az a sonka kúp alakú tartály, melyben m magasságig van víz. A tartály alján az átmérő, m, a m magasságban lévő szinten pedig,6 m. A kiömlőnyílás átmérője 60 mm. (g=0 m/se ) IK/. feladat Mennyi idő alatt ürül ki az a 6 m hosszú,, m átmérőjű, fekvő henger alakú tartálykosi, melyben, m magasságig van víz. A kifolyónyílás 80 mm átmérőjű. (g=0 m/se ) IK/. feladat Mekkora erővel kell nyomni az ábrán látható feskendő dugattyúját abban a pillanatban, amikor a dugattyú éppen a megjelölt gyorsulással mozog és a folyadék éppen megadott sebességgel áramlik ki a feskendő végén a szabadba. (=000 kg/m, g=0 m/se ) 7/6

8 a= m/s = m/s 0 mm mm 0 m 0 m IK/6. feladat Mekkora gyorsulással indul meg a folyadék az ábrán látható feskendőből abban a pillanatban, amikor a dugattyút az adott erővel megindítjuk. (g=0 m/se ) F= 0,8 N 9 mm 0,8 mm mm 8 m 0 m IK/7. feladat A sővezeték térfogatáramának mérésére az ábrán látható szűkülő majd bővülő sőtoldatot az ún. Venturi sövet is lehet használni. d d h 8/6

9 A legszűkebb keresztmetszet legyen 6 mm a sővezeték átmérője, melybe beépítették, legyen 0 mm. Tételezzük fel, hogy a legszűkebb keresztmetszet és a sővezeték valamely, áramlás irányába eső távolabbi pontja közé beiktatott higany töltésű U-söves manométer 7,6 mm szintkülönbséget mutat. Határozzuk meg a sővezetékben áramló víz térfogatáramát! A veszteségeket elhanyagolhatjuk és az áramlás legyen staionárius. IK/8. feladat Határozza meg, hogy a felső nyitott tartályból perenként hány liter víz folyik át az alsóba a mm átmérőjű sövön. A jelenséget staionáriusnak tételezheti fel és a súrlódás hatását figyelmen kívül hagyhatja. Az alsó tartályban a víz felszíne felett a jelzett túlnyomás uralkodik. (=000 kg/m, g=0 m/s, p o= bar) 0 m 80 m,9 m, m 0 Pa IK/9. feladat Határozza meg, hogy a felső tartályból perenként hány liter víz folyik át az alsóba a mm átmérőjű sövön. A jelenséget staionáriusnak tételezheti fel és a súrlódás hatását figyelmen kívül hagyhatja. Az alsó tartályban és a felsőben a víz felszíne felett a jelzett túlnyomás uralkodik. (=000 kg/m, g=0 m/s, p o= bar) 8 m 00 Pa 90 m, m, m 000 Pa 9/6

10 IK/0. feladat Határozza meg, hogy a felső tartályból perenként hány liter víz folyik át az alsóba a mm átmérőjű sövön. A jelenséget staionáriusnak tételezheti fel és a súrlódás hatását figyelmen kívül hagyhatja. A felső tartályban a víz felszíne felett a jelzett vákuum uralkodik. (=000 kg/m, g=0 m/s, po= bar) 8 m 700 Pa 90 m m, m IK/. feladat Határozzuk meg az ábrán látható egyszerű szivattyúval (Segner-kerék) szállítható vízmennyiséget! Az áramlást staionáriusnak tételezheti fel. Az ábrán megjelölt és a további szükséges adatok: r=0 mm; h=0, m; ω=0 rad/s; d=0 mm; =000 kg/m, g=0 m/se r d h 0/6

11 IK/. feladat Határozzuk meg, hogy az alsó, vákuum alatt lévő tartályból perenként mennyi víz szivattyúzható ki a szabadba az ábrán látható egyszerű szivattyúval (Segner-kerék)! Az áramlást staionáriusnak tételezheti fel. Az ábrán megjelölt és a további szükséges adatok: p v=600 Pa; r=00 mm; h= m; ω= rad/s; d=0 mm; =000 kg/m, g=0 m/se r po d h pv IK/. feladat Mekkora perenkénti fordulat-számmal kell forgatni az ábrán látható egyszerű szivattyút, hogy a szállított víz térfogatárama liter/per legyen? Az áramlást staionáriusnak tételezheti fel. Az ábrán megjelölt és a további szükséges adatok: r=80 mm; h=, m; d=0 mm; =000 kg/m, g=0 m/se r po d h n po /6

12 IK/. feladat Mekkora legnagyobb magasságra képes vizet szállítani az ábrán látható egyszerű szivattyút, ha a perenkénti fordulatszáma 0? Az áramlást staionáriusnak tételezheti fel. Az ábrán megjelölt és a további szükséges adatok: r=0 m; d=0 mm; =000 kg/m, g=0 m/se r po d h n po IK/. feladat Határozzuk meg az ábrán vázolt Segnerkerekes egyszerű vízturbina fordulatszámát! Tételezzük fel, hogy a Segner-kerék hajlított végei a forgási körpálya érintőjével fokos szöget zárnak be. Mennyi folyadék folyik le másodperenként a tartályból a m átmérőjű ejtősövön át, veszteségmentes esetben? Az áramlást staionáriusnak tételezheti fel. Az ábrán megjelölt és a további szükséges adatok: h = m; h = m; r= m; =000 kg/m, g=0 m/se h h r /6

13 IK/6. feladat Határozzuk meg a Segner-kerekes kerti losoló maximális perenkénti fordulatszámát ideális körülmények között, ha tudjuk, hogy a hálózati víznyomás,6 bar túlnyomás, a losoló átmérője 7 m és a kilépő sőszáj a kerületi érintővel nagyjából o -os szöget zár be! Az áramlást staionáriusnak tételezheti fel. IK/7. feladat Mekkora legyen az méteres átmérőjű Segnerkerekes egyszerű vízturbinát tápláló víz esése, ha a fordulatszámot a perenkénti 000 értékén akarjuk tartani. Tételezzük fel, hogy a Segnerkerék hajlított végei a forgási körpálya érintőjével 0 fokos szöget zárnak be. Az áramlást staionáriusnak tételezheti fel. A további szükséges adatok: =000 kg/m, g=0 m/se h h r IK/8. feladat Egy méteres esésű Segner-kerekes egyszerű vízturbina fordulatszámát a hajlított ső kialakításával akarjuk maximálni. Milyen szöget zárjon be a hajlított ső a kerületi érintővel, ha a fordulatszám maximuma ideális körülmények között sem lehet nagyobb mint a perenkénti 0. Az áramlást staionáriusnak tételezheti fel. A további szükséges adatok: : r=60 m; =000 kg/m, g=0 m/se h h r /6

14 IK/9. feladat Határozzuk meg a 0 bar túlnyomás alatt álló tartályból a szabadba kiáramló, ideális gáznak tekinthető CO gáz sebességét! A gáz hőmérséklete a tartályban o C. A jelenséget staionáriusnak tételezze fel. IK/0. feladat Mekkora átmérőjű legyen a kiömlőnyílás azon a 7 bar túlnyomású rakétahajtóművön, melyen át másodperenként kg oxigéngázt akarunk kiáramoltatni? Az oxigén hőmérséklete a tartályban 0 o C. A jelenséget staionáriusnak tételezze fel. IK/. feladat Határozzuk meg a hang terjedési sebességét 0 o C hőmérsékletű levegőben. A levegő gázállandója 87 (J/kg.K), adiabatikus állandója,. IK/. feladat /6

15 Határozza meg az ábra szerinti 9, N súlyú (négyzet keresztmetszetű) testre a staionáriusan áramló folyadék által kifejtett erő nagyságát és irányát! A folyadéksugár =0 m/s sebességű, keresztmetszete A= 0 m. A súrlódást és a folyadék súlyát hanyagolja el! A számítások során tételezze fel hogy az áramlás kétdimenziós és súrlódásmentes. A folyadék víz, melynek sűrűsége 000 kg/m A /A /A 0 IK/. feladat Az ábrán látható kialakítású, gyakorlatilag súlytalannak tekinthető lapátot m/s sebességgel érkező A= 0 m keresztmetszetű vízsugár támad meg. Határozza meg a folyadék által a lapátra kifejtett erő vízszintes és függőleges komponensének nagyságát. A számítások során tételezze fel hogy az áramlás kétdimenziós, súrlódásmentes és egy függőleges síkban zajlik le. A víz sűrűségét kg/dm értékkel vegye figyelembe. A o /A /A IK/. feladat /6

16 Határozza meg az ábra szerinti test súlyát, ha tudja, hogy az a staionáriusan áramló folyadéksugár ellenében egy vízszintes erővel tartható egyensúlyban. Mekkora ez az erő? A folyadéksugár =0 m/s sebességű, keresztmetszete A= 0 m. A súrlódást és a folyadék súlyát hanyagolja el! A számítások során tételezze fel hogy az áramlás kétdimenziós, súrlódásmentes és egy függőleges síkban zajlik le. A folyadék víz, melynek sűrűsége 000 kg/m. A /A o /A IK/. feladat Az ábrán látható kialakítású,,6 kg tömegű lapátot,8 m/s sebességgel érkező A=78 m keresztmetszetű vízsugár támad meg. Határozza meg az u=, m/s sebességgel jobbra haladó lapáton ébredő reakióerő vízszintes és függőleges komponensének nagyságát. A számítások során tételezze fel hogy az áramlás kétdimenziós, súrlódásmentes és egy függőleges síkban zajlik le. A víz sűrűségét kg/dm értékkel vegye figyelembe. A 60 o / A u IK/6. feladat Határozza meg a tömlővégre erősített feskendőre ható erő nagyságát! A feskendőből másodperenként 0 liter víz távozik. (p o= bar, =000 kg/m ) A súrlódást, a folyadék és a feskendő súlyát hanyagolja el! 6/6

17 00 mm 00 mm IK/7. feladat Egy tűzoltófeskendőn maximálisan 000 liter vizet bosátanak át perenként. Mekkora legyen a 00 mm átmérőjű tömlő végére satlakoztatott feskendő kilépő átmérője, ha a feskendő tartásához szükséges erő nem lehet nagyobb kn-nál. A súrlódást, a folyadék és a feskendő súlyát hanyagolja el! A víz sűrűségét kg/dm értékkel vegye figyelembe. IK/8. feladat Az ábra szerinti feskendő végére savarokkal van rögzítve a szűkítő elem. Elegendő-e a szokásos négy savar alkalmazása a rögzítéshez, ha a feskendőn átbosátott vízmennyiség perenként 00 liter és egy savar terhelhetősége max. 60 N. A súrlódást, a folyadék és a feskendő súlyát hanyagolja el! A folyadék víz, melynek sűrűsége 000 kg/m. 0 mm 0 mm IK/9. feladat 7/6

18 Mekkora tolóerő érhető el azzal gázsugárral hajtott rakétával, melynek 00 mm kilépő átmérőjű Laval-fúvókával ellátott hajtóművén át az üzemanyagtérben lévő 0 o C hőmérsékletű, 60 bar nyomású nitrogén gáz expandál atmoszférikus nyomásra. A Laval-fúvóka legszűkebb keresztmetszete 0 mm. A súrlódást, a folyadék és a feskendő súlyát hanyagolja el! IK/0. feladat Az ábrán látható Pelton-turbina járókerekére érkező vízsugár sebessége 6 m/s, átmérője 80 mm. Határozzuk meg a turbina tengelyén jelentkező nyomatékot m/se kerületi sebesség feltételezésével és a turbina maximális teljesítményét! A lapátozás középátmérőjéhez tartozó sugár m, a lapátokra érkező folyadéksugár irányelterelésére jellemző szög 0 o, azaz α =(0-90)=60 o. d R α IK/. feladat Egy, m átmérőjű egyszerű vízikerék kerületén 60 m széles és 0 m magas sík lapok találhatók. A vízikerék egy, m/s sebességű folyóba merül. Mekkora a vízikerék teljesítménye perenkénti 0-es fordulatszám mellett? A víz sűrűségét kg/dm értékkel vegye figyelembe. IK/. feladat 8/6

19 Egy Pelton-turbina járókerekének jellemzői a következők: átmérője 80 m, az irányelterelési szög o. A turbinát a sugárső középvonala felett 80 m állandó vízszintmagasságot biztosító tározómedenéből táplálják egy 60 mm átmérőjű fúvókában végződő sövön át. Mekkora a turbina táplálásához óránként szükséges vízmennyiség, és a turbina teljesítménye, ha a fordulatszáma kereken 00 fordulat perenként. A víz sűrűségét kg/dm értékkel vegye figyelembe. IK/. feladat Egy Pelton-turbina járókerekének jellemzői a következők: átmérője 00 m, az irányelterelési szög 0 o. A turbinát egy 0 mm átmérőjű fúvókában végződő sövön át táplálják. A turbina teljesítménye perenként 00-as fordulatszám mellett 0 kw. Mekkora a turbina táplálásához óránként szükséges vízmennyiség, és milyen magas vízszintet kell tartani a turbinát tápláló tározómedenében a fúvóka síkja felett. A víz sűrűségét kg/dm értékkel vegye figyelembe. IK/. feladat Egy 0 mm átmérőjű sővezeték hirtelen 00 mm-re bővül. Az érkező folyadék sebessége, m/s, nyomása, bar túlnyomás. Határozza meg, hogy a hirtelen keresztmetszet-bővítésen történő áthaladás után mekkora lesz a folyadék sebessége és nyomása! Tételezze fel, hogy ideális folyadék staionárius áramlásáról van szó! kg ( 000, g 0 m ) m se IK/. feladat Méréssel megállapítottuk, hogy egy hirtelen keresztmetszet-bővülés során a nyomás 8900 Pa-al nő. Határozzuk meg, hogy másodperenként hány liter víz folyik át, ha tudjuk, hogy a hirtelen keresztmetszet-bővülésnél a két átmérő 60 mm és 0 mm. A víz sűrűségét kg/dm értékkel vegye figyelembe. 9/6

20 IK/6. feladat Mekkora az elméleti teljesítménye annak a szélkeréknek, melynek rotor átmérője 6, m, hatásfoka pedig 7%? A számításoknál a szél sebességét 80 km/h-nak a levegő sűrűségét pedig, kg/m -nek vegye. Határozza meg annak az erőnek a nagyságát, mely a szélkerék síkjában jelentkezik! IK/7. feladat Egy tengerjáró hajót két darab, egyenként m átmérőjű, 6%-os propeller hatásfokú hajósavar hajt. Határozzuk meg a hajótestre ható közegellenállás eredő nagyságát a maximális sebességgel történő egyenletes sebességű haladáskor, ha tudjuk, hogy a hajósavarnál a víz áramlási sebessége ekkor kb. 0 m/se és a hajtási rendszer mehanikai hatásfoka közelítőleg 7%! A víz sűrűsége kg/dm. IK/8. feladat Adott egy szélkerék, mely 8, kw hasznos teljesítményt szolgáltat. A szélkerék átmérője, m. Határozzuk meg a szélkerékre ható erőt, ha a szélkerék hatásfokát 60 %-osnak lehet feltételezni. A levegő sűrűségét vegye, kg/m értéknek! IK/9. feladat Egy rögzített helyzetben lévő hajósavar esetében méréssel meghatározták, hogy a hajósavar síkjában ébredő erő, kn, amikor a hajósavarnál mért teljesítmény kw. Határozzuk meg a hajósavarra a propellerhatásfokot, ha tudjuk, hogy a hajósavart egy olyan áramlásba merítették, melynek sebessége a hajósavar előtt nagy távolságban, m/s. 0/6

21 IK/0. feladat Mekkora teljesítményt szolgáltat 7 km/h szélsebesség mellett az a, m átmérőjű szélkerék, melynek hatásfoka 6 %. A levegő sűrűsége közelítőleg, kg/m. Mekkora erő hat a szélkerékre. IK/. feladat Adott egy m hosszú 60 mm belső átmérőjű aél ső. A sővezetékben víz áramlik, melynek térfogatárama 60 liter/per. Jelent-e kokázatot a pillanatszerű elzárás, ha a sővezeték legfeljebb 0 bar nyomást képes elviselni? Legalább mekkora legyen az elzárás ideje, hogy a fent kiszámított nyomáslökés elkerülhető legyen? A víz rugalmassági modulusa 00 N/mm, az aélé pedig 00 kn/mm. A sővezeték falvastagsága mm. IK/. feladat Egy 000 mm belső átmérőjű és,8 mm falvastagságú, km hosszú távvezetéken óránként 6600 tonna kőolajat szállítanak. Mekkora nyomáslökés jön létre a hirtelen záráskor és mennyi lehet az a minimális idő, amennyi alatt a sővezetéket le lehet zárni, úgy hogy ne jöjjön létre káros nyomáslökés. Az olaj sűrűsége 0,9 kg/dm, rugalmassági modulusa 900 N/mm, az aélé pedig 00 kn/mm. IK/. feladat Mekkora nyomáslökéssel kell számolni a 9 m hosszú mm belső átmérőjű és,6 mm falvastagságú sőben lezajló, m/s sebességű áramlás hirtelen leállításakor. Mennyi lehet az a minimális idő, amennyi alatt a sővezetéket le lehet zárni, úgy hogy ne jöjjön létre káros nyomáslökés. A víz sűrűsége kg/dm, rugalmassági modulusa 00 N/mm, az aélé pedig 00 kn/mm. /6

22 IK/. feladat Határozzuk meg a hang terjedési sebességét vízben! A víz sűrűsége kg/dm, rugalmassági modulusa 00 N/mm. Példatár vége /6

23 Megoldások IK/. feladat megoldása D x x x x x x A gyorsulás összefüggése: x y z x. Mivel y és z dt t x y z x egyaránt nulla a keresztmetszet-átmenet tengelyében. Ebből a lokális gyorsulás természetesen zérus, hiszen a jelenség staionáriusként volt megadva. A konvektív gyorsulás három tagja közül az első kivételével mindegyik zérus, hiszen sak a keresztmetszet-átmenet tengelyével párhuzamosan felvett x irányban van áramlás. Fel kell írnunk, hogyan változik a sebesség a keresztmetszet-átmenet mentén! d A kontinuitás törvényéből adódóan bármely keresztmetszetben a sebesség x, ahol a d ismeretlen változása a következő módon írható fel, ha figyelembe vesszük, hogy sonka kúp alakú a keresztmetszet-átmenet: d d kx x. Természetesen d =0, m, d =0, m, x =0 és x =0,8 m így a behelyettesítés után k=0,, azaz d 0, 0, x. Ezt behelyettesítve a sebesség függvényébe x d 0, 0, x d x x Elvégezve a sebességfüggvény és a pariális derivált szorzását x 0, x d x 0, 0, majd a behelyettesítést (x=0, m), a konvektív gyorsulás értéke: m a konv,8 se A pariális deriválás eredménye d 0, 0, x 0, x. IK/. feladat megoldása A lokális gyorsulás természetesen nulla, mivel a sebesség nem függvénye az időnek. x x x A konvektív gyorsulás: x y z. A sebességfüggvényt megvizsgálva egyértelmű, x y z hogy sak az első tag különbözik nullától. /6

24 x A pariális deriválás és a szorzás után x x koordinátáit, (0), a konvektív gyorsulás 6 m/s. x x. Behelyettesítve a megadott pont IK/. feladat megoldása Az átfolyó víz térfogatáramának meghatározásához szükségünk van az átfolyási keresztmetszetre és a kifolyó víz sebességére, mivel m V A s Az átfolyási keresztmetszet nagysága: d 0,0 A 0,0096 m Az átfolyási sebesség meghatározásához a Bernoulli-egyenletet kell alkalmaznunk. Figyelembe véve, hogy a probléma staionárius, a kontínuum (víz) összenyomhatatlan, az egyetlen ható erőtér a gravitáiós erőtér és elfogadva, hogy a Bernoulli-egyenletet egy áramvonalra írjuk fel, a következő alakú egyenletet kell alkalmaznunk: g z vagy másként írva p p g z g z A tetszőlegesen elképzelt áramvonal kezdő és végpontjában ismernünk kell tehát a sebességet, a nyomást és egy választott alapszint feletti helyzetet megmutató magasságot. Az áramvonalat tetszőlegesen képzelhetjük. Kézenfekvőnek látszik az áramvonal kezdőpontját a tartályban lévő víz felszínére helyeznünk a végpontját pedig az átfolyási nyílás kilépő keresztmetszetébe, hiszen az itt érvényes sebességet akarjuk megkapni. p 0 pt po h h d Δh h /6

25 Megjegyzés: a Bernoulli-egyenlet alkalmazásakor minden esetben élszerű olyan helyen felvenni az áramvonal kezdő és végpontját, ahol a lehető legtöbb informáióval rendelkezünk a sebességről, nyomásról és a fontos szerepet játszó szintkülönbségről. A következő táblázatban foglaljuk össze, hogy az imént már kétszer említett - paraméter közül melyik milyen értékkel veendő figyelembe az adott áramvonalra vonatkozóan.. pont. pont sebesség 0 (ismeretlen) szintmagasság h h -h nyomás p t+p o p o+δh ρ g =p o+(h -(h -h ) ρ g Mint látható a kétszer három paraméter közül sak egy ismeretlen van. Behelyettesíthetünk a Bernoulli-egyenletbe po pt po h g g h g h h 0 g,9 0, , 000 g g,9, g,9 70 g 0, m 89,9! s A keresett térfogatáram: V A,9 0,0096 0,0 m s, liter s 6 liter per Megjegyzések: Valóságos körülmények között a kiömlési sebesség és a kiömlő víz térfogatáram kisebb a kiszámítottnál. Ennek két oka van. A fellépő súrlódási veszteségek miatt a kiömlési sebesség kisebb. Ezt egy sebességtényezővel veszik figyelembe, mely kísérleti úton határozható meg és értéke -nél kisebb. A kifolyónyílás kialakításától függően a kilépő folyadéksugár keresztmetszete kisebb lehet annak tényleges geometriai méreténél. Ezt a jelenséget egy szűkítési tényezővel veszik figyelembe, mely szintén kisebb -nél. Egyszerűen fúrt lyuk esetében a szűkítési tényező megközelítheti a 0,-et, ún. jól legömbölyített kifolyónyílásnál (lásd a feladatnál bemutatott ábrát) a szűkítési tényező jól megközelíti az ideális értéket. Némely esetben a két említett tényező szorzataként kapható ún. kiömlési számot adják meg. IK/. feladat megoldása Az IK/ feladat megoldásánál alkalmazott módszert követve a Bernoulli-egyenlet felírásához az áramvonal egyik pontját a tartályban, az állandó magasságban lévő folyadékfelszínen, a másikat az átömlő nyílás után helyezzük el képzeletben. Ezekre vonatkozóan: /6

26 . pont. pont sebesség 0 szintmagasság h h nyomás A Bernoulli egyenletbe helyettesítve p0 p p v 0 g h g h 0 0 0,8 000 Rendezés után az átömlési sebesség,7 m/s. d 0,07 Az átömlési keresztmetszet A 0,00 m Az időegység alatt átömlő mennyiség, azaz a térfogatáram: m l l V A 0,00,7 0,00 0, s s per IK/. feladat megoldása 0 0 0,7 000 Az IK/ és IK/ feladatok megoldásánál elmondottakat követve felvéve az áramvonal két pontját:. pont. pont sebesség 0 szintmagasság h h nyomás P 0 P ρ g Δh Az ábra alapján Δh=h -h =,0 (m) A Bernoulli-egyenletbe történő behelyettesítés p p 900 g h 0 0 g h g h 0, , 00,9 0, Innen az átömlési sebesség éppen zérus és természetesen az időegység alatt átömlő mennyiség is zérus. IK/6. feladat megoldása Az IK/, az IK/ és az IK/ feladatok megoldásához hasonlóan. pont. pont sebesség 0 szintmagasság h h nyomás P 0 P 0 6/6

27 p0 p0 g m h g h,69 s V A 0,068 m s 6,8 l s A d IK/7. feladat megoldása A Bernoulli-egyenletet a tartályhoz kötött és vele együtt mozgó koordinátarendszerben kell felírni az -es és a -es pontok között. Így az instaionárius tag is kiejthető. A helyzeti energia zérus szintjét élszerű a -es ponthoz tenni. Az -es pontban a nyomás 0,+p 0, a -es pontban pedig p 0. A poteniálnál figyelembe kell venni, hogy a koordinátarendszer gyorsulva mozog így benne a szokásos gravitáiós gyorsulásnál nagyobb térerősség ( m/se ), mely hozzáadódik a gravitáiós erőtér térerősségéhez. a pt h d Így a két pontban a folyadék energiatartalmát jellemző alapmennyiségek. pont. pont sebesség 0 szintmagasság h 0 nyomás P 0+P t P 0 Ügyelve arra, hogy ezúttal a gravitáiós erőtér mellett a gyorsulásból adódóan egy lineáris tehetetlenségi erőtér is hat, mégpedig a gravitáiós erőtérrel megegyező irányban, a Bernoulliegyenlet a következő p0 Pt p0 0 0, 0 0 g a h 0, A kiömlési sebesség: m,8 s Az időegység alatt kiömlő mennyiség: V d A,96 0 m A 0,0 m s l s 00 l per 7/6

28 IK/8. feladat megoldása Az IK/7 feladathoz képest annyi a lényegi eltérés, hogy a gyorsulás keltette lineáris tehetetlenségi erőtér ezúttal a gravitáiós erőtérrel ellentétes hatású, mivel a tartály lefelé gyorsul.. pont. pont sebesség 0 szintmagasság h 0 nyomás P 0-P v P 0 p0 P p v g h ah 0 0,9,8 0,9 000 m,7 s d A 9,6 0 m V A,60 m s,6 l s 6,6 l per IK/9. feladat megoldása. pont. pont sebesség 0 szintmagasság h 0 nyomás P 0 P 0 d p 0 p0 A, 0 m g h a h m m l,8 V A 0, 06 s, 6 s s A kiömlési sebesség,8 m/s, a kiömlő mennyiség,6 liter/se. IK/0. feladat megoldása A felvetett probléma minden koordinátarendszerben instaionárius! Az áramvonal kezdőpontját a tartályban lévő folyadék felszínén élszerű felvenni. Az áramvonal végpontja természetesen a ferde ső kilépő keresztmetszetébe helyezendő. 8/6

29 Ezekkel a feltételezésekkel az áramlás megindulásának pillanatára. pont. pont sebesség 0 0 (a megindulás pillanatában még éppen zérus!) szintmagasság m sin0 o = m nyomás p t+p o p o (a folyadék a légköri nyomású levegőbe lép ki) gyorsulás 0 a (a keresett gyorsulás) Megjegyzés: a tartály nagy méretei miatt az áramvonal kezdőpontjában a kezdeti állapotban a gyorsulás biztosan zérus. A későbbiekben pedig a vízszint állandósága miatt lehet joggal zérusnak tekinteni a gyorsulást az áramvonal elején. A staionárius állapot kialakulása után sem az elképzelt áramvonal kezdetén sem a végén nins gyorsulás. A Bernoulli-egyenlet alkalmazandó formája: p ds 0 g z t Behelyettesítéskor ügyelve arra, hogy a satlakozó sőben végig ugyanaz a gyorsulás uralkodik, ami a ső végén 0 0 0,9 0 a g a m a 0 s A kezdeti gyorsulás tehát 0 m/s A feladat második részének megoldásához először ki kell számítani a staionárius állapotban kialakuló kiáramlási sebességet. Változatlan áramvonalat feltételezve:. pont. pont sebesség 0 szintmagasság m sin0 o = m nyomás p t+p o p o (a folyadék a légköri nyomású levegőbe lép ki) 0 g 0 g p g z g z p 0,9 0 0 g ,9 0 0 g m 0 90, s A ferde sövet elhagyó folyadék egy ferde hajítást szenved el. A ferde hajításra vonatkozó szabályok szerint a kiszámított staionárius sebességnek van egy vízszintes komponense és egy függőleges 9/6

30 komponense. Ez utóbbira van szükségünk a legnagyobb magasság kiszámításához. A ferde ső 0 o -os szöge miatt ez a függőleges komponens o m z,sin 0 7,7 s Ez a függőleges komponens a gravitáiós erőtérben annak térerőssége miatt állandó lassuláson megy át egészen addig, amíg zérus nem lesz. Abban a pillanatban lesz a legmagasabb ponton. Ez z 7,7 t 0,77 s g 0 után következik be. Ez alatt a folyadék g z t 0,77 m magasságra emelkedik a ferde ső végétől számítva. Tehát a tartály kiömlőnyílása felett a legnagyobb magasság kb. m. IK/. feladat megoldása Az elzárószerelvény kinyitásakor a jobboldali tartályból indul meg az átáramlás, hiszen az elzárószerelvényél, a zárt szerelvény jobboldalán a nyomás 800 Pa-al nagyobb, mint a baloldalán. A jobboldali tartályban lévő folyadék felszíne és az átáramlási keresztmetszet között felírva a Bernoulli-egyenletet a kezdeti pillanatra:. pont. pont sebesség 0 0 (a megindulás pillanatában még éppen zérus!) szintmagasság,7 m 0 m nyomás P T+p o p o-p V+ 0 gyorsulás 0 a (a keresett gyorsulás) p p V p0 pt, a, , a, m a 6, 06 s IK/. feladat megoldása A felvetett probléma instaionárius. A kiáramlási sebesség az első pillanatot követően gyakorlatilag azonnal beáll a m-es magasságnak megfelelő staionárius értékre majd a folyadékszint 0/6

31 sökkenésével lassan sökken zérusig. Mivel aligha fogadható el, hogy a sökkenés lineáris, sokkal inkább aszimptotikusan sökken a sebesség a zérushoz, egy differeniálegyenletet kell felírnunk. Bármely közbenső állapotban a kifolyási sebesség g z, hiszen a probléma megfogalmazása szerint a tartály nyitott és a szabadba történik a kifolyás. (lásd a.. leke. sz. önellenőrző feladatát). d Ezzel a dt idő alatt kifolyó mennyiség: dv Ao dt g z dt Ugyanez a mennyiség felírható abból a megfontolásból is, hogy ennyivel sökken a tartályban lévő folyadék szintje és persze a mennyiség: dv A dz A két mennyiség egymással egyenlő kell legyen, hozzátéve, hogy az egyik pozitív a másik negatívként értelmezendő, hiszen a szintmagasság sökkenése az idő növekedésével történik! g z Ao dt A dz A kapott differeniálegyenlet szétválasztható típusú, ugyanis a változók ( t és z ) az egyenlet két oldalra rendezhetők. Elvégezve a rendezést és kijelölve az integrálást az integrálási határokkal tt z0 A dz dt t0 Ao g zh z Az integrálás és a gyöktelenítés után A H A g H T A g A g D, Számítsuk ki a tartály keresztmetszetét: A,9 m d 0,08 keresztmetszetet:,07 0 m A o kiszámításának: A g H,9 g T Ao g,07 0 g ami kb.,6 pernek felel meg. 77 o s o és a kiömlési, nins akadálya a kiürülési idő Megjegyzések A valóságban a kiürülés lényegesen hosszabb ideig tart és erősen függ a kiömlési számon kívül (lásd.. leke) a valóságos folyadék súrlódási tulajdonságaitól is. Minél kevésbé folyós az adott folyadék, annál lassúbb a folyamat. Az igen nehezen folyó, nagy viszkozitású anyagok (pl. egyes olajok) esetébe melegítéssel sökkentik a viszkozitást és ezzel növelik a folyékonyságot és gyorsítják a kifolyást. Figyeljük meg, hogy a kapott összefüggés sakis olyan esetre igaz, ahol a kérdéses tartály keresztmetszete a magasság sökkenésével változatlan. Amennyiben a keresztmetszet változik (például az igen gyakori fekvő hengeres tartály is ilyen), akkor jóval bonyolultabb az összefüggés és függ a tartály alakjától. Éppen ezért ilyen esetben élszerűbb közelítő eljárást alkalmazni. E módszer lényeg az, hogy a változó kersztmetszetű tartályt több részre bontják és az egyes részeket hengeres darabokkal helyettesítik. Az adott darabban lévő folyadékmennyiség kifolyásához szükséges időt a darab közepéhez tartozó magassággal meghatározott sebességgel, mint állandó értékkel számítják ki. A végén a kapott időket összeadják. A módszer valójában a korábban felírt differeniálegyenlet numerikus integrálását jelenti és pontossága attól függ, hogy hány darabra bontjuk a változó kersztmetszetű tartályt. /6

32 A valóságban a tartályok kiürítésekor fontos gondolni arra, hogy a távozó folyadék helyére levegő juthasson. Ennek elmulasztása lehetetlenné teszi a tartály teljes kiürítését és könnyen a tartály összeroppanásához vezethet, ami a belsejében kialakuló vákuum következtében történhet meg. IK/. feladat megoldása A sonka kúp alakú tartály helyettesíthető egy álló hengeres tartállyal, melynek állandó átmérője a két szélső érték átlaga. d g z V A0 dv Ao dt g z dt dv A dz g z Ao dt A dz t T z0 A dz A z dt T t0 Ao g zh z A 0 g D d, 6, d k, 8 m d k A 6, 79 m d 0 06 A, o, 87 0 m A z A g z 6, 79 0 T 07, 9 A g A g, A kiürülési idő tehát kb. per. 0 s, 6 per IK/. feladat megoldása Méretarányos vázlatot készítve, és a, m magasságot, pl. négy egyenlő magasságú részre osztva az egyes darabok magassága,0 m. Az egyes darabok középvonalában a szélességet le lehet olvasni a vázlatból. Iyen módon az egyes darabok kiürülési ideje már számítható. Az ezekkel számolt idők összegeként kb. 7 óra adódik ki. IK/. feladat megoldása /6

33 Bár a probléma dugattyúval együttmozgó koordinátarendszerben staionárius, ezúttal azonban mégis élszerűbb az instaionárius Bernoulli-egyenletet alkalmazni. Az áramvonal kezdőpontját helyezzük a dugattyú alá a folyadékba, a végét pedig a feskendő kilépő keresztmetszetébe.. pont. pont sebesség m/s szintmagasság 0 m (vízszintes!) nyomás p (a keresett érték) p o (a folyadék a légköri nyomású levegőbe lép ki) gyorsulás m/s a Csak látszólag van három ismeretlenünk. Ha ugyanis meggondoljuk hogy a folytonosság törvénye mit mond, akkor A A és nyilván a A a A is igaz kell legyen. Ezekkel a táblázat kiegészíthető és már sak egy ismeretlen marad.. pont. pont sebesség szintmagasság 0 0 m (vízszintes!) m/s nyomás p (a keresett érték) gyorsulás m/s p o (a folyadék a légköri nyomású levegőbe lép ki) 0 A behelyettesítéskor ügyelni kell arra, hogy a gyorsulás két különböző értéke 0-0 m hosszúságú szakaszon állandó , 0, p p, p 0099, Pa A keresett erő kiszámításhoz azonban sak a túlnyomás értékét szabad figyelembe venni, mivel a dugattyú másik oldalán a légköri nyomás jelen van, tehát sak a többlethez kell az F erő. 0, 0 F p po A 099, 0, N /6

34 IK/6. feladat megoldása. pont. pont sebesség 0 0 szintmagasság 0 0 nyomás p p 0 gyorsulás a a d d 7 A 6,6 0 m A,67 0 m a A a A A d m a a a a 8,90 A d s F p A F 0,8 p t A 6,6 0 6,779 Pa p p 6, ,779 Pa p t 0 p0 p 8,9 a 0 0,8 a 0, 0 p p 0 0,006 a a 0, 0 a m s, IK/7. feladat megoldása A nyomásmérő a két bekötési pont közötti nyomáskülönbséget jelzi, mely p p Δh g ρ ρ 7, 60 0, , Pa Hg víz 6 A nyomásmérő két kivezetése között a sővezetékben felírhatjuk a Bernoulli egyenletet, mely tartalmazza ugyanezt a nyomáskülönbséget. p p víz Mivel mindkét sebesség ismeretlen, szükségünk van a kontinuitási törvényre, melynek segítségével például d d Ezt behelyettesítve a Bernoulli egyenletbe d d p p víz víz Innen pedig a legszűkebb keresztmetszetben a sebesség kiszámítható, aminek értéke,8 m/s Ezzel pedig a térfogatáram /6

35 d π, π m V 0 06, 8 7, 80 7, 8 s l s IK/8. feladat megoldása A szivornyaműködés lényege az, hogy a felső tartályban lévő folyadék helyzeti energiája nagyobb, mint az alsóéban lévőé. Ha létrehozzuk a folyadékáramlást külső energia-befektetéssel (megszívás) a folyadékáramlás már folyamatossá válik. Az áramvonal kezdőpontját a felső tartályban lévő folyadék felszínén élszerű elhelyezni. Az áramvonal végpontja természetesen az átfolyóső végénél a kilépő keresztmetszetben kell legyen, hiszen az itteni sebességre van szükségünk a térfogatáram meghatározásához. Így. pont. pont sebesség 0 (a keresett érték) szintmagasság,9+0,8-0,=, m 0 m nyomás p o p o+0+(,9-,) ρ g (a folyadék hidrosztatikai nyomásáról nem szabad elfeledkezni!) A térfogatáram pedig p g z g z p , 0 g, 0 0 m 06, 7,6 s V 0,0 A 7,6 Tehát perenként kb. 0 liter folyik át.,0 Figyeljük meg, hogy a sebesség kiszámítására szolgáló összefüggés ismét erősen emlékeztet az adott magasságból, ebben az esetben a felső tartály folyadékszintjéről az alsó tartály folyadékszintjére történő szabadesés végsebességének képletére. Az eltérés annyi, hogy a két tartályban lévő vákuum vagy túlnyomás a ezt a szintkülönbséget növelheti vagy sökkentheti. - g m s IK/9. feladat megoldása. pont. pont sebesség 0 szintmagasság h =, m 0 m /6

36 nyomás p p 0 p0 pt g h g h h =90-8= (m)= 0, (m) h =,+0,9-,=0, (m) h =, m = 6,7 s, 0 0 A 8, 0 0 ( m ) V A 8,0 0 p0 pt 6,7,9 0 m s g h,9 l s,7 l per IK/0. feladat megoldása. pont. pont sebesség 0 szintmagasság h=,-0,9+h 0 m nyomás p 0-p V+ρgh p 0+ρgh gyorsulás p0 pv g h P0 g h g h h =0,90-0,8=0, (m) h =0, (m) h =,-0,9+h m, s d m V A 8,0 0, 0,00, s l per IK/. feladat megoldása Az ábrán felvázolt függőleges elhelyezkedésű sövön vízszintes síkban elhelyezett, két végén ellentétes irányban kb. az érintő irányába hajlított forgó ső a legegyszerűbb szivattyúként funkionál. A szerkezetet vízzel feltöltve és megforgatva a forgó sőben lévő folyadékra ható 6/6

37 entrifugális erőtérnek köszönhetően folyamatos áramlást hoz létre, vizet szivattyúz fel az alsó vízszintről a forgó sövön keresztül. Energetikai szempontból tekintve a forgatáshoz felhasznált munka fedezi a folyadék felfelé irányuló áramlása során növekvő munkavégző-képességét, azaz a szerkezet segítségével a mehanikai energiát a folyadéknak tudjuk átadni. Az ismertetett működési elv az örvényszivattyúk (entrifugál szivattyúk) esetében azonos, de ott egy, a hajlított lapátokkal ellátott, zárt térben forgatott járókerék hozza létre a entrifugális erőteret, mely a forgó kerék közepétől kifelé irányuló folyadékáramlást eredményez. A probléma a földhöz kötött koordinátarendszerben instaionárius. A forgó sőhöz kötött koordinátarendszerben azonban jó közelítéssel staionáriusnak tekinthető. Az áramvonal kezdőpontját az alsó folyadékfelszínre tegyük, mégpedig a lehető legközelebb a függőleges sőhöz. Erre azért van szükség, mert a forgó rendszerből nézve ez a pont nem lesz nyugalomban és minél távolabb van a forgástengeytől annál kevésbé lehet az innen indított áramvonalat staionáriusnak tekinteni. Ha azonban az áramvonal kezdőpontja a lehető legközelebb helyezkedik el a forgástengelyhez, akkor a minimális eltérést el lehet hanyagolni a sebességet itt majd zérusnak lehet tekinteni. Az áramvonal végpontja természetesen a forgó ső végén található kilépő-keresztmetszetben helyezkedjen el. Így sebesség. pont. pont 0 (a keresett érték) szintmagasság 0 h nyomás p o p o entrifugális erőtér poteniálja (lásd a... lekét) r 0 r Mivel a nyomás a választott áramvonal elején és végén azonos így a nyomás kiesik a behelyettesítés után és a Bernoulli-egyenlet baloldalán zérus fog állni r 0 g h Az egyenlet azt fejezi ki, hogy a entrifugális erőtér alatt a tömegegységen végzett munka egyenlő a mozgási és a helyzeti energia tömegegységre eső megváltozásának összegével. A szállított folyadék mennyisége tehát, adott geometriai mértek esetén sak a forgási szögsebességtől függ. r g h m 0, 0 g 0,, s Nem elfeledkezve arról, hogy a forgó sőnek két vége van a térfogatáram pedig m V 0,0 - A, 9,80 s Tehát perenként kb. 7 liter vizet lehet felszivattyúzni. 7/6

38 Figyeljük meg, hogy az egyszerű szivattyú működésének elvi korlátai vannak, ami matematikailag abban nyilvánul meg, hogy a sebesség kiszámítására szolgáló összefüggésben a négyzetgyökjel alatt nem lehet negatív szám. Tehát adott szintkülönbség esetén a forgási szögsebességnek van egy alsó korlátja ill. adott forgási szögsebesség esetén a szintkülönbség nem léphet át egy maximális értéket. IK/. feladat megoldása. pont. pont sebesség 0 entrifugális r erőtér poteniálja 0 g h nyomás p 0-p V p 0 r, p g h m s 0 p0 pv 0 0, 0 V A, 0, 06 m s 6, l s IK/. feladat megoldása. pont. pont sebesség 0 entrifugális r erőtér poteniálja 0 g h nyomás p 0 p 0 r p0 p0 g h ω=8, rad/se , n 7, 0 ford per, 0, 8 0, 0 8/6

39 IK/. feladat megoldása. pont. pont sebesség 0 szintmagasság 0 h nyomás p o p o entrifugális r r 0 g h erőtér poteniálja 60 n 0 r p g h m 0 s ford per 0 P 0 0 ω=6,8 rad/s 0, h 68, 0, 08 m IK/. feladat megoldása Az első pillantásra a probléma az egyszerű szivattyúnál (ÁK/0 feladat) tárgyalttal megegyezik. Valójában annak megfordítottjáról van szó. A szerkezeten átfolyó víz ezúttal megforgatja a Segnerkereket és ilyen módon a folyadék energiájának hasznosítása történik. Ezért nevezik a szerkezetet egyszerű turbinának, hidromotornak. A forgó kerti losoló is az áramló folyadék energiájának köszönhetően forog tengelye körül. Energetikai szempontból tekintve a folyadék helyzeti energiája adja a fedezetét a mozgási energiának és a entrifugális erő által végzett munkának. Ebben az esetben a szerkezet segítségével a mehanikai energiát nyerhetünk az áramló folyadék energiájából. Az ismertetett működési elv a zárt házú, ún. túlnyomásos vízturbinák esetében azonos, de ott egy, hajlított lapátokkal ellátott, zárt térben forgó járókerék tengelyén jelenik meg a hasznosítható mehanikai energia. A probléma a földhöz kötött koordinátarendszerben instaionárius. A forgó sőhöz kötött koordinátarendszerben azonban jó közelítéssel staionáriusnak tekinthető. Ezúttal nem okoz gondot az áramvonal kezdőpontjának a felső tartályban lévő folyadék felszínén, a forgástengelyben történő elhelyezése. Az áramvonal végpontja természetesen a forgó ső végén található kilépő-keresztmetszetben helyezkedjen el. Így. pont. pont 9/6

40 sebesség 0 szintmagasság h +h 0 nyomás p o p o entrifugális erőtér poteniálja (lásd a... lekét) r 0 r (ω a keresett szögsebesség) Mivel a nyomás a választott áramvonal elején és végén azonos így a nyomás kiesik a behelyettesítés során és a Bernoulli-egyenlet ezúttal r g h h Az egyenlet ugyan hasonlít az egyszerű szivattyúnál kapottal, de attól mégis különbözik. Két ismeretlen van benne: az egyik a forgási szögsebesség, a másik a hajlított sőből kiáramló folyadék sebessége. Alakítsuk át az egyenletet a következő formára g h h r Az egyenletben három sebesség négyzete szerepel: a baloldali első tag egy virtuális sebesség, mely a h +h magasságból történő szabadesés végsebességének négyzete, a baloldal második tagja a kerületi sebesség négyzete, a jobboldalon pedig a sőszájból kilépő sebesség négyzete szerepel. Vegyük észre, hogy az egyenlet az előbb felsorolt három sebességre nézve egy Pitagorasz-tétel, azaz mivel a kerületi sebesség érintő irányú a sőszájból kilépő sebesség pedig a hajlított ső irányába mutat a harmadik (virtuális) sebesség irányát tekintve éppen olyan kell legyen, hogy a másik kettővel egy olyan derékszögű háromszöget alkosson, melynek a sőszájból kilépő sebesség az áfogója, tehát Az ábrán megjelölt α szög az a o, mely a kilépősőszáj és a kerületi érintő között van. Az ábra alapján ahonnan r g h h tg u=r ω h h g g r tg 0, tg Tehát a fordulatszám kb. perenként 6 lesz. A kifolyó víz sebessége több módon is kiszámítható h h g g o sin sin Ezzel a lefolyó víz térfogatárama o 6, 9,9 α rad s m s 0/6

41 V 0, A 9,9,7 m s Érdekes megvizsgálni azt az esetet amikor a hajlított ső szája éppen az érintő irányába mutat. Ilyenkor a derékszögű háromszög nem tud létrejönni, mivel a sőszájon kilépő sebesség az érintő közötti szög zérus. Ez azt fogja eredményezni, hogy ideális folyadék és súrlódásmentes szerkezet esetén a forgó kerék folyamatos gyorsulásban lesz egészen a végtelenségig. A valóságos körülmények között súrlódás és más ellenállások egy bizonyos maximális értéknél stabilizálják a forgási szögsebességet. IK/6. feladat megoldása p T g h, h h=6 m m e g h, 80 s e=,8 (m/s) u α e, 80 tg u r rad 86, 8 se 60 n 89,6 ford per IK/7. feladat megoldása /6

42 Az előző feladat megoldása alapján e g h m u r 0,79 0,,9 s e o m tg e u tg,9 tg0 9,06 u s e 9,06 h 8, m g 0 IK/8. feladat megoldása 60 n 0 u r,7079 tg u e o,9,6,7079 ford per rad 6,799 se m e g h, 6 s, IK/9. feladat megoldása Mivel a összenyomható gázról van szó, a Bernoulli-egyenlet a következő alakú U dp 0 Az összenyomható közeg alasony sűrűsége miatt a poteniálos erőterek által az áramló kontínuum tömegegységén végzett munka (U) jó közelítéssel elhanyagolható a másik két tag mellett, azaz dp 0 Ezek után az áramvonal kezdő pontját a nyomás alatti tartály belsejében bárhol elhelyezhetjük (kivéve a kiömlőnyílás közvetlen környezetét!), ott a sebesség zérus lesz, azaz dp Az egyenlet sak akkor oldható meg, ha a sűrűség helyébe azt a függvényt helyettesítjük be, mely annak a nyomástól való függését fejezi ki. Figyelemmel arra, hogy a kiáramlás /6

43 közben a kontínuum nyomása sökken és természetesen kiterjeszkedik (fajtérfogata nő és sűrűsége sökken), azaz expandál, ez a folyamat elvileg vagy izotermikus vagy adiabatikus lehet. Mivel a tapasztalatok azt mutatják, hogy ilyenkor bizonyos lehűlés történik, ezért sak az adiabatikus expanziót tételezhetjük fel joggal. Ilyen adiabatikus expanzió közben p p. Ebből az egyenletből a sűrűség és a nyomás összefüggése p p Ezt behelyettesítve a Bernoulli-egyenletbe és azt rendezve Az egyenlet integrálása után p p p p majd a zárójelben lévő kifejezésből kiemelve a tartályban uralkodó nyomás (p ) kifejezését, a p /p hányadost nyomásviszonynak elnevezve és helyére az x tényezőt bevezetve p x ahonnan végül az átrendezés és az ideális gázokra érvényes általános gáztörvény bevezetésével RT x Megjegyzés: a zárójelben a két tagot felserélve eltüntethető a negatív előjel! Visszatérve a feladat adataihoz, a nyomásviszony x=/=0,0. Tekintettel arra, hogy a CO gáz Runiv 8 J speifikus gázállandója RCO 89 és a háromatomos gázok esetében az M CO kg K ún. adiabatikus kitevő,, a kiáramlási sebesség 89,, dp p, m s, 7 0,0 08 IK/0. feladat megoldása Esetünkben a nyomásviszony x=/76=0,0, az oxigén speifikus gázállandója kb. 60 J/kg.K és így a kiáramlási sebesség 60,,,, 0 7 0,0 6 m s /6

44 Megjegyzés: a kétatomos gázok (és a levegő) adiabatikus kitevője, A szükséges keresztmetszet nyilván a következő összefüggésből kapható meg: m A Vegyük azonban észre, hogy az összefüggés nevezőjében a sebesség és a sűrűség is a nyomásviszony függvénye, mely a kiáramlás során, az áramvonal mentén egyre változik, a kezdeti értékről végül egészen a fent kiszámított 0,0 értékre sökken. Ez arra figyelmeztet bennünket, hogy az áramvonal mentén a keresztmetszetnek valamilyen módon változnia kell. Erre a kérdésre a sebesség és a sűrűség nyomásviszonytól való függését kifejező egyenlet vizsgálata ad választ: m A RT x x Ezt a függvényt a nyomásviszony (x) szerint deriválva kiderül, hogy annak szélső értéke, mégpedig minimuma van, ami x kr értéknél van. Ez számunkra azt jelenti, hogy az áramvonal mentén a keresztmetszetnek fokozatosan sökkeni kell egészen addig, amíg a nyomásviszony az itt említett kritikus értéket el nem éri és utána ismét nőnie kell egészen a végső nyomásviszonyhoz tartozó maximális sebességgel kiszámított értékig. A feladat adataival a kritikus nyomásviszony (ez sakis a kiáramló gáz anyagi jellemzőitől függ!): x kr Ekkor a kontinuum sebessége még sak,,, 0,8,, kr 60, Szükségünk van a kritikus nyomásviszonyhoz tartozó sűrűségre is p x x m s, 0 7 0,8 98 kr 76 0, kg 0,8 7 RT m Ezzel a szükséges keresztmetszet m Akr, 0 m, kr kr 987 azaz az átmérő ebben a legszűkebb keresztmetszetben kb. 6 mm kell legyen A további növekedés érdekében egy bővülő toldat szükséges, mely fokozatosan bővül és a kilépésnél, ahol a gáz sűrűsége p 760 kg v x x 0,0, a keresztmetszet RT m m Av 8,97 0 m, azaz a kilépő keresztmetszet szükséges átmérője v v 6, kb. 06,9 mm. Megjegyzések: A legszűkebb keresztmetszetben a sebesség éppen a hangsebességgel egyezik meg. A szűkülő majd bővülő kiömlőnyílás a probléma első leírójáról az ún. Laval-fúvóka nevet kapta., /6

45 A szűkülő rész viszonylag rövid, a bővülő toldat azonban jóval hosszabb. Hosszát azzal a tapasztalati szabállyal lehet kiszámítani, hogy a veszteségek minimális szinten tartásához a kúpszög ne legyen nagyobb o -nál. Esetünkben ez kb. 8 mm-t tesz ki. Mivel sok esetben nagyon hosszú bővülő toldat lenne szükséges ezért ezt a szabályt nem mindig lehet betartani. Különösen igaz ez légüres térbe történő kiáramlásra, amikor elvileg végtelenül hosszú bővülő toldat lenne szükséges. IK/. feladat megoldása A hangsebesség a nyomás alatti tartályból éppen a kritikus nyomásviszony mellett történő kiáramlás során valósul meg. A kritikus nyomásviszony ezúttal is 0,8, hiszen ez sak az adiabatikus kitevő értékétől függ, ami a levegőre is és az oxigénre is,. A hangsebesség pedig a nyomás alatti tartályból történő kiáramlás sebességére vonatkozó összefüggésből számítható ki: kr 87,,, m s, 0 7 0,8 8,6 IK/. feladat megoldása Olyan ellenőrző felületet kell felvenni, mely magába foglalja a szilárd testet és az egyes folyadéksugarakat merőlegesen metszi át. Ilyen felvétel esetén biztosítható, hogy az ellenőrzőfelület mentén mindenütt azonos a nyomás, tehát a nyomásból származó erők eredője zérus. / A 0 o / Az alkalmazandó impulzus-tétel da g dv R A V Mivel a nyomásból származó erők eredője zérus és a súrlódástól el lehet tekinteni. /6

46 Három impulzus erő határozható meg, azokon a felületeken, ahol a folyadék áthalad az ellenőrzőfelületen. Az impulzuserők mindegyike kifelé mutat az ellenőrző felületből. Az impulzuserők a következő összefüggés szerint számítható ki I A I A N (a belépő folyadéksugárra vonatkozóan, annak sebességével ellentétesen), I A ,7 N (a vízszinteshez képest 0 o alatt kilépő folyadéksugárra vonatkozóan, azzal azonos irányba mutatóan), I A , N (a vízszinteshez képest 60 o alatt kilépő folyadéksugárra vonatkozóan, azzal azonos irányba mutatóan). Mivel az impulzus-tételben vektormennyiségek szerepelnek, annak megoldása vektoriális módszerrel történhet. Először az impulzus-tétel bal oldalán található erőket kell felmérni egy folytonos nyílfolyamot képezve egy tetszőlegesen felvett kezdőponttól elindulva. Ezt követően ugyanazon kezdőpontból, egy folyamatos nyílfolyamot alkotva fel kell mérni előbb a súlyerőt majd a keresett erőt úgy, hogy ugyanabba a pontba érkezzünk, ahová az impulzuserők nyílfolyama. I=00 N 60 o I=, N 0 o I=66,7 N R G=9, N β Az itt látható közelítőleg méretarányos ábra a feladatra vonatkozó vektorokat mutatja. A vektorábra alapján már könnyen kikövetkeztethető, hogy a keresett R erő vízszintes és függőleges komponense hogyan számítható ki. o o Rx I I os60 I os0 00, 66,7, 6N o o Ry G I sin 0 I sin 60 9, 66,7,, 8N A két komponensből a keresett erő R R x R y,6,8 9, Ry,8 o Az R erő a vízszintessel artg artg 6, szöget zár be. Rx,6 Megjegyzés: bár kevésbé szemléletes, de a keresett erőkomponenseket a szilárd testek mehanikájában megszokott módon vetületi egyenletek segítségével határozzuk meg. Ilyenkor az impulzus-tétel zérusra redukált formáját kell használnunk N 6/6

47 0 da g dv R A V A jobbra és a felfelé mutató irányt pozitívnak tekintve a vízszintes irányú vetületi egyenlet o o I I os0 I os60 Rx 0 Ügyelni kell arra, hogy a nullára redukált alak szerint az impulzuserő --szeresét kell szerepeltetni a vetületi egyenletben, ahol ezúttal feltételeztük, hogy az ismeretlen R erő vízszintes komponense jobbra mutat. Az egyenletbe történő behelyettesítés után a vízszintes komponens negatívnak adódik, tehát helyesen a feltételezett iránnyal szemben, azaz balra mutat. A függőleges komponens meghatározásához a vetületi egyenletet hasonló módon lehet felírni. IK/. feladat megoldása da G P S R A I A I I 0 N I I N N I Ry I I R O Rx R x o I I os 7 0 6, N o Ry I I sin 0 6, 6 N A vektorábrából az ellenőrző felületre ható erő vízszintes komponens 6, N és balra mutat, a függőleges komponense pedig 6,6 N és felfelé mutat. A keresett, a folyadék által a lapátra kifejtett erő két komponense éppen ellentétes irányú, tehát jobbra és lefelé mutat! IK/. feladat megoldása 7/6