Elkal példák. di dt. i 1. a fentiek alapján R ellenállás XL induktív XC kapacitív (rezisztencia) reaktancia reaktancia

Átírás

1 Elkal példák Kétpólsok, kapcsolata a berajzolt referenca rányoknál Általános dőfüggvényű ellenállás ndktvtás kondenzátor kapcsolatok (pllanatértékek) Mndg gazak! d R L dt dt 8.,,3. Sznszos áramú és feszültségű kétpólsok legyen Îsn( z effektív érték (négyzetes középérték) mennységeknél R Îsn( LÎcos( Î( cos( ) Ûsn( Ûcos( Ûcos( Î Î = Û sn( t 9 ) = Û sn( t 9 ) dt T a peródsdő T= f. Sznszos Û Û Sznszos áramoknál R [] L X Î L Î Û X Î [] a fentek alapján R ellenállás XL ndktív X kapactív (rezsztenca) reaktanca reaktanca 8.4,5. Egy ndktvtás 5 effektív értékű áramot vesz fel a V effektív értékű 6 Hz-es hálózatból. Írja fel az áram és a feszültség pllanatértékét matematkalag és határozza meg az ndktív reaktancát valamnt az ndktvtást! ( f rad/s 7.7sn(377t) 55.56cos( 55.56sn( t 9 ) V. z áram 9 X -ot késk a feszültséghez az képest! X L L L mh) 8.6,7. Egy kondenzátor áramot vesz fel a V-os 5 Hz-es hálózatból. Írja fel feszültség és az áram pllanatértékét matematkalag, és határozza meg a kapactív reaktancát, valamnt a kapactást! ( f 5 34 rad/s.88sn(34t) 69.7 cos( 69.7 sn( t 9 ) V. z áram 9 -ot set a feszültséghez képest! X 6 53 F) X 8.8. feszültség egy.5 H-s ndktvtáson =. sn(. t). Írja fel az áram pllanatértékét (dőfüggvényét)! (=4. sn(. t-9 )) 8.9. z áram egy 5 μf-os kapactáson =. sn(. t). Írja fel a feszültség pllanatértékét (dőfüggvényét)! (=4. sn(. t-9 )) 8.3. feszültség és az áram egy kétpólson =. sn(377. t+ ) és =4. sn(377. t-7 ). Mlyen fajta elemről van szó és mekkora az értéke? (Mvel a feszültség és az áram között fázsszög φ=φ-φ=9, az áram késk a feszültséghez, a kétpóls ndktív reaktanca. XL=5, L=66,3 mh)

2 8.3. feszültség és az áram egy kétpólson =. sn(34. t- ) és =. sn(34. t- ). Mlyen fajta elemről van szó és mekkora az értéke? (Mvel a feszültség és az áram között fázsszög φ=φ-φ=, az áram fázsban van a feszültséggel, a kétpóls ellenállás. R= ) 8.3. feszültség és az áram egy áramkör elemen =6. sn(. t-8 ) és =3. sn(. t+ ). zonosítsa az elemet és határozza meg az értékét? (Mvel a feszültség és az áram között fázsszög φ=φ-φ=-8 - =-9, az áram set a feszültséghez, a kétpóls kapactív reaktanca. X=, =5 F) Mekkora teljesítmény dsszpálódk a 8.3. példa áramkör elemén? (Mvel =-9, cos= és P=) Mekkora a reaktancája az 5 mh-s ndktvtásnak a) egyenáramnál ( Hz), b) 6 Hz-es váltakozó áramnál? ( XL=.. f. L a) XL=, rövdzár! b) XL=8.85.) Határozza meg a tekercs ndktvtását, amelynek ndktív reaktancája XL=5 6 Hzen! (L=3.63 mh.) Határozza meg azt a frekvencát, amelynél az 5 mh-s ndktvtás reaktancája XL=5! (f=59.5 Hz.) Mekkora a reaktancája az 5 F-os kondenzátornak a) egyenáramon, b) Hz-en? ( X, f a) X=, szakadás! b) X=3.8.) Határozza meg a kapactását annak a kapactív reaktancának, amelyk 6 Hz-en 5 értékű! (=53.5 F.) Mekkora frekvencánál lesz a F-os kondenzátornak -os reaktancája? (f=5.9 Hz.) 8.33,34. feszültség és az áram egy kétpólson Ûsn( és Îsn( t ). Írja fel a teljesítmény pllanatértékét (dőfüggvényét), és határozza meg ennek átlagértékét (lneárs középértékét), a P hatásos teljesítményt! ( p Û Î(cos cos( t ) (co cos( t )). Mvel a cos(.. t-) átlagértéke zérs, a pátlag=.. P cos =P [W]. hol a cos a teljesítménytényező, pedg a feszültség és az áram között fázsszög =-, ahol a feszültség, a az áram kezdő fázsszöge. sznszos áramú áramkörökben 3 féle teljesítményt értelmezünk, amelyeket jelöléssel és dmenzójkkal s megkülönböztetünk. már megsmert p teljesítmény-dő függvény átlagértéke (lneárs középértéke) a P=.. cos a hatásos teljesítmény [W] dmenzóval. ktív teljesítménynek s nevezk, mert ez alakl át másféle (hő-, fény-, mechanka-, stb.) teljesítménnyé. Áramkörökben az R ellenállásokon dsszpálódk (alakl hővé). Áramkörökben P csak az R-eken keletkezk, vagys a P és R kölcsönösen feltételezk egymást. z áramkörök kapcsan jelen lévő feszültség és áram effektív értékenek szorzata az S=., a látszólagos teljesítmény, amelynek dmenzója [V]. meddő vagy reaktív teljesítmény jelölése és defnícója Q=.. sn [Vr], amely a reaktív áramkör elemek (L és ) jelenlétéhez kötődk.

3 P defnícókból látszk, hogy S P Q [V], valamnt a teljesítménytényező cos=, S amely annak mértéke, hogy a rendelkezésre álló teljesítményből menny alakl át hatásos teljesítménnyé. cos késő elnevezés arra tal, hogy az áram késk a feszültséghez képest, azaz az áramkör ndktív jellegű. lyenkor a meddő teljesítmény poztív. cos sető pedg azt jelent, hogy az áram set a feszültséghez képest, vagys az áramkör kapactív jellegű, a meddő teljesítmény pedg negatív Egy váltakozó áramú áramkör cspán ellenállásokat tartalmaz, amelyek eredője a kapcsokon R=5. kapcsokra V 6 Hz-es feszültséget kapcsolva határozza meg a felvett áramot, a teljesítménytényezőt és a teljesítményt! (=7.33, cos=, mert a = és P=.. =86.67 W) 8.38 Egy áramkör 5 -t vesz fel V-os feszültségen, és W teljesítményt fogyaszt. Mekkora a teljesítménytényező? (cos=.9) feszültség és az áram egy áramkörben =. sn(377. t+3 ), =. sn(377. t+6 ). Határozza meg a P teljesítményt! (P=866 W) 8.4. feszültség és az áram egy áramkörben =. sn(377. t-3 ) V, =. sn(377. t+3 ). Mekkora a teljesítménytényező és mlyen jellegű (sető vagy késő)? (=-3-3 =-6, cos=.5 sető, mert az áram set a feszültséghez képest) 8.4. Egy áramkör árama és feszültsége =3, =5 V, teljesítménye P=5 W. Mekkora és mlyen jellegű a teljesítménytényező? (cos=, =. z áramkör csak ellenállásokat tartalmaz, ellenállás jellegű.) 8.4. Egy 5 ellenállás, egy F kondenzátor és egy mh ndktvtás van párhzamosan kapcsolva egy V 6 Hz-es feszültségre. Határozza meg az áramkör P közepes teljesítményét! (Mvel az X-nek és az XL-nek a közepes teljesítménye, az áramkör P teljesítménye az R teljesítményével egyezk. P=. = R = kw) Egy áramkör teljesítménytényezője cos=.866 késő. felvett teljesítmény P=6 W, a feszültség pedg sn(377 t ) V. Írja fel az áram dőfüggvényét (pllanatértékét)! (=8.9. sn(377. t- ) 8.5. Határozza meg a teljesítménytényezőt és a bemenő teljesítményt annál az áramkörnél amelynél az =5. sn(t+ ) V és az =. sn (t+ ). (=-= - =-, cos=.9848, P=49.4 W) 9.3,33. Egy áramkör feszültsége és árama =5. sn(. t+3 ) V, =. sn(. t-3 ). Számítsa k a látszólagos, a hatásos és a meddő teljesítményt! (S=5 V, =-=6, P=75 W, Q=9.9 Vr) Egy áramkör feszültsége és árama =. sn(377. t) és = 8. sn(377. t-3 ). Határozza meg a a) teljesítménytényezőt, b) hatásos teljesítményt, c) látszólagos teljesítményt, d) meddő teljesítményt. (=3, cos=.866 késő (az áram késk a feszültséghez képest), P=69.8 W, S=8 V, Q=4 Vr)

4 Komplex számok és fazorok z dőben sznszosan váltakozó mennységek kfejezésére fazorokat használnk. fazorok komplex számok, a számsík egy-egy pontjához az orgóból húzott vektorszerű mennységek. z áram és feszültség effektív értékenek megfelelő fazorok felrajzolása a komplex számsíkon, -a fazorábra- szemléletessé tesz a számítást és a fázsszögeket s mtatja. Ezek nagymértékben egyszerűsítk a sznszos hálózatok számítását, mert gyanazokat a módszereket használhatjk, mnt az egyenáramú hálózatok számításánál. z eredmény s természetesen komplex lesz. Sokszor a komplex szám abszoltértéke, -a valós effektív érték- jelent a számítás végeredményét, mert a váltakozó áram hatása ezzel kfejezhető, de a feladattól függően vsszatérhetünk a valós dőfüggvényre s. Egy feszültség vagy áram dőfüggvénynek megfelelő komplex effektív érték exponencáls alakja (és szokásos írásmódja), algebra alakja, és ennek elérés módja: a b e b jarctg( ) a j Ûsn( t ) e (=/-) a-j b V cos()-j sn() b jarctg( ) a a b e j Îsn( t ) e =( / ) a+j b cos()+j sn() Láthatóan a komplex számoknak három alakjk van: az exponencáls alak (az dőfüggvényből ezt írhatjk fel közvetlenül), ebből az Eler-relácóval a trgonometrks alakra jtnk, amelynek tényező az algebra alakot adják. Ebből az abszoltértéket és a szöget meghatározva vsszajtnk az exponencáls alakra: 3 j arctg pl. j e 5 (cos36.87 j36.87 ) 4 j3 4 3 e 4 =5/ komplex számok összeadása és kvonása az algebra alakban végezhető, míg az osztás, a szorzás, a hatványozás elvégzése az exponencáls alakban egyszerűbb. Ezért számolás közben célszerű közlekedn az algebra és az exponencáls alak között. z mpedanca e Z e j j / / [Ω], és ennek recproka az admttanca Y [S] Z szntén komplex számok, fazorok, amelyekkel a sznszos áramkörökben gyanúgy dolgozhatnk, (eredő számítással, Krchhoff egyenletekkel, áramosztóval, Norton tétellel, stb.) mnt az ellenállásokkal az egyenáramú áramkörökben. z ellenállás, az ndktív reaktanca és a kapactív reaktanca komplex kfejezése: Z R = j9 R L Le R ZL j L j X L R L mert az Eler-relácót felhasználva L e j9 cos9 Z jsn 9 j, ll. e j9 j X, j j9 e cos9 jsn 9 j. Tehát a j-vel való szorzás 9 -os előre forgatást (az óramtató járásával ellentétes rányú forgatást), a j-vel való szorzás (vagy a j-vel való osztás) 9 -os vsszafelé forgatást jelent. z ellenállás recproka a vezetés G, az ndktív reaktanca recproka az ndktív R szszceptanca BL, a kapactív reaktanca recproka a kapactív szszceptanca j L B j.

5 9.9. Fejezze k a következő áram dőfüggvényeket, mnt fazorokat, és rajzolja fel azokat a komplex számsíkon: a) 4.4 sn( t) b) sn( t 6 ) c) cos( t) ( a) 4.4 / b) /6 c) /9 ) 9.. Fejezze k az alább áram fazorokat pllanatértékkel (dőfüggvényekkel), ha a körfrekvencájk : a) / ; b) 5/-3 ; c) 6/-9 ; ( a) sn( t ) b) 5sn( t 3 ) c) 6sn( t 9 ) ) Komplex (szmbolks) számítás módszerrel megoldandó feladatok 9.3. feszültségek két sorba kapcsolt kétpólson: =5. sn(. t) V és =3. sn(. t-3 ) V. Mekkora a rájk kapcsolt eredő feszültség effektív értéke? Határozza meg ennek a feszültségnek a kezdő fázsszögét s! (a komplex effektív érték /-.6 V, =54.75, =-.6 ) 9.4,5. Két áramkör elem van párhzamosan kapcsolva. z egyken =3. sn(. t-6 ) áram folyk. z eredő áram =. sn(. t+9 ). Határozza meg a másk elemen folyó áram effektív értékét, fázsszögét és írja fel annak pllanatértékét! (=8.967, =96.79, =.68 sn( t )) 9.3. z ábrán látható áramkörben 6/3, /. Határozza meg az 3 dőfüggvényét, ha f=6 Hz. 3 =4.45/34.9, =377 rad/s, 3= 4.45sn(377 t 34.9 ) ),,, sznszos áramú hálózatok S, P, Q teljesítménye a komplex effektív értékekkel s kfejezhetők. Egy kétpóls komplex feszültségének és a komplex árama konjgáltjának szorzata a komplex látszólagos teljesítmény, az S. Ha az és az referenca ránya megegyeznek, az S P jq [V], ha a referencarányok ellentétesek, az S P j Q, vagys az S valós része a P hatásos, képzetes része a Q meddő, abszoltértéke pedg az S=. látszólagos teljesítmény. 3,3 9.6,7,8. Egy áramkör két párhzamosan kapcsolt elemet tartalmaz. z áramak komplex effektív értéke rendre 4/, 3/-65, a feszültségük / V. Határozza meg az eredő áramot és a teljesítménytényezőt! Számítsa k a felvett teljesítményt! Számítsa k az elemek teljesítményét külön-külön, hasonlítsa össze az így kszámított teljesítmények összegét az eredő árammal számított teljesítménnyel! (=5.5, cos=.966, P=56.7 W, P= W, P=67.8 W ) 3.. Mekkora teljesítményt vesz fel (fogyaszt) az ábrán látható hálózat? generátor feszültsége =8.8. sn(. t) V. Számítsa k az egyenértékű soros mpedanca ellenállását és ennek segítségével s számítsa k a P teljesítményt! (P=6.89 W, Z S =5.6+j.., P S=6.89 W) 4.3mH 5F

6 3.. Egy generátor feszültsége =7.7. sn(. t). generátor különböző hálózatokat táplál. Határozza meg a cos teljesítménytényezőt és a P dsszpált teljesítményt, ha a) a hálózat eredő árama =.44. sn(. t-3 ), b) a hálózat eredő árama = (sn. t+6 ), c) a hálózat eredő mpedancája Z 3 j 4! (P a=4.33 W, P b=.65 W, P c=3 W) 3.4. Egy terhelést, amelynek mpedancája Z /36.9 egy 3 V feszültségű generátor táplál. Határozza meg a komplex teljesítményt, ennek abszoltértékét és összetevőt, valamnt a fázsszöget és a teljesítménytényezőt! ( S 9/36.9 V, S=9 V, P=7 W, Q=54 Vr, =36.9, cos=.8) 3.5. Egy terhelés kw teljesítményt vesz fel. Határozza meg a teljesítménytényezőt, ha a a) Q= Vr, b) Q=5 Vr (ndktív), c) Q= Vr (kapactív)! (cos a=, cos b=.894 késő, cos c=.98 sető) 3.6. Egy terhelés P= kw teljesítményt vesz fel cos=.9 késő teljesítménytényező mellett. Határozza meg a terhelés komplex teljesítményét! ( S j /5.84 V) 3.7. Egy terhelés 4 kw teljesítményt vesz fel, a meddő (reaktív) teljesítménye pedg Q=3 kvr kapactív. terhelés feszültsége 5 V. Határozza meg a látszólagos teljesítményt, a teljesítménytényezőt, a terhelő áramot, a terhelő mpedancát és annak soros összetevőt! (S=5 V, cos=.8, =, Z=5, R=4, X =3 ) 3.8. z ábrán három terhelőmpedancát látnk teljesítmény adatakkal. Határozza meg a hálózat komplex teljesítményét, a teljesítménytényezőt, az és az áram fazort! ( S =39/. V, cos=.98, =.39/-. ) P W Q Vr (nd) V P 4W cos.8sető Q 3 3Vr (nd) S 3 6 V 3.9. Számítsa k az ábrán látható hálózat mndhárom ágának komplex teljesítményét, majd a hálózat teljes komplex teljesítményét, teljesítménytényezőjét és az áram fazorját! ( S =54.8/33.7 V, cos=.83 (késő), =.8/-33.7 ) 5/ V j j j 4 j8.. z eredő áram az ábrán látható áramkörben =7.7. sn(... t). Határozza meg a) az áramkör eredő admttancáját, az egyenértékű soros mpedancát és annak elemet, b) a P hatásos (közepes) teljesítményt, c) az feszültséget, valamenny ág áramát és rajzolja fel az áramok és a feszültség fazorábráját! R R L L.5mH. 8 F ( Y. /5. S, Z 9. 5 /-5.7 =8.9-j Ω, P=47 W, =45.5/-5. V, az eredő áram set a feszültséghez képest, így egészében véve az áramkör kapactív jellegű, R 4.55/-5. L.4/-5., 4.55/64.8 )

7 Háromfázsú feladatok 8.. Egy háromfázsú, négyvezetékes, poztív sorrendű, (B sorrendű) hálózat fázsfeszültsége V. csllagba, (Y-ba) kapcsolt szmmetrks fogyasztó mpedancája Z Z Y =5/- Ω. a) Határozza meg a vonal áramokat és a csllagpont áramot! N B b) Rajzolja fel a fázsfeszültségek és az B áramok fazorábráját! B c) Számítsa k egy fázs hatásos teljesítményét Z ZB B és a háromfázsú teljesítményt! ( =8/, B =8/-, =8/4 B N, P f=9 W, P=76 W) N 8.. z ábrán látható háromfázsú három vezetékes, =99 V vonal feszültségű, B sorrendű hálózat táplál egy szmmetrks, csllagkapcsolású háromfázsú fogyasztót, Z melynek fázs mpedancája Z Y =3/3 Ω. a) Számítsa k a fázsfeszültséget és a vonal áramokat! B b) Rajzolja fel a fázsfeszültségek, a vonal B feszültségek és az áramok fazorábráját! B ( f=4,9 V, =5/-3, B =5/-5, Z ZB B =5/9.) 8.3. Egy háromfázsú, háromvezetékes V-os B (poztív sorrendű) rendszer táplál egy (háromszög) kapcsolású szmmetrks fogyasztót, amelynek mpedancája Z =3/45. a) Határozza meg a fázs és a vonal áramokat! b) Rajzolja fel az áramok és feszültségek fazorábráját! c) Számítsa k egy fázs hatásos teljesítményét és a háromfázsú teljesítményt! ( B =4/-5, B=4/-35, =4/5, =6,98/-45, B =6,98/-65, =6,98/75, P f=339,4 W, P=8, W.) B Z B ZB B B ZB B B B B 8.4. Egy háromfázsú, háromvezetékes, 4 V-os, B sorrendű hálózat az ábrán látható kapcsolású fogyasztót táplálja, ahol Z B =/3 Ω, Z B =/9 Ω, Z =5/-45 Ω. Határozza meg a fázsáramokat és a vonal áramokat! Rajzolja fel a feszültségek és áramok fazorábráját! Számítsa k a háromfázsú teljesítményt! ( B =4/, B=/-8, =6/-65, =39,67/6, B =-36, =5,39/-3, P=773,6 W) N Z Z B ZB B B B B 8.5. Egy háromfázsú, négyvezetékes, 8 V vonal feszültségű, B rendszer az ábrán látható csllagba (Yba) kapcsolt, aszmmetrks fogyasztót táplálja,ahol a Z =/-6 Ω, Z B =6/-9 Ω, Z =/3 Ω. Számítsa k a vonal áramokat! Határozza meg az N csllagpont áramot!