Függvények Megoldások

Átírás

1 Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) + c) ( + ) ( pont) b) Az függvény képét eltoljuk az y tengely mentén két egységgel fölfelé, így az + függvény képét kapjuk. ( pont) ) Határozza meg az. feladatban megadott, ; intervallumon értelmezett függvény értékkészletét! Az értékkészlet a felvett függvényértékek halmaza. f( ) 6 ) Ábrázolja az f ( ) = 0, 5 4 függvényt a ; vagy ;6 (pont) 0 intervallumon! ( pont) 4) A ;6 ] ( pont) [ -on értelmezett f ( ) függvény hozzárendelési szabályát a grafikonjával adtuk meg. Határozza meg az f ( ) 0 egyenlőtlenség megoldását! Adja meg f ( ) legnagyobb értékét! - 0 -

2 - - Függvények - megoldások 6 ( pont) f legnagyobb értéke: ( ) Összesen: pont 5) Az f és g függvényeket a valós számok halmazán értelmezzük a következő képletek szerint: f ( ) = ( + ) ; g ( ) = a) Ábrázolja derékszögű koordinátarendszerben az f függvényt! (Az ábrán szerepeljen a grafikonnak legalább a, 5 intervallumhoz tartozó része.) (4 pont) b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! ( pont) c) Oldja meg az ( ) a) f ( ) ábrázolása (4 pont) b) Ábra ( pont) c) ( + ) egyenlőtlenséget! (6 pont) + 0 Az egyenlőség teljesül, ha = vagy = 0. ( pont) A megoldás: 0 ( pont) A feladat grafikusan is megoldható. Összesen: pont 6) Az f függvényt a ; 6 intervallumon a grafikonjával értelmeztük. Mekkora f legkisebb, illetve legnagyobb értéke? Milyen értékekhez tartoznak ezek a szélsőértékek? (4 pont) f legkisebb értéke. Ez az = értékhez tartozik. f legnagyobb értéke 7. Ez az = 6 értékhez tartozik. Összesen: 4 pont 7) Adott a következő egyenletrendszer: lg ( y + ) = lg ( + ) y = a) Ábrázolja derékszögű koordináta-rendszerben azokat a P( ; y ) pontokat, amelyeknek koordinátái kielégítik a () egyenletet! ( pont) b) Milyen, illetve y valós számokra értelmezhető mindkét egyenlet? ( pont) c) Oldja meg az egyenletrendszert a valós számpárok halmazán! ( pont) d) Jelölje meg az egyenletrendszer megoldáshalmazát az a) kérdéshez használt derékszögű koordináta-rendszerben! ( pont)

3 a) Ábra ( pont) b) Az () egyenlet miatt y és c) lg ( y ) lg ( ) + = + ( ) ( ) lg + = lg + A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt ( ) ( ) + = = 0 ( pont) 5 = és = 4 5 y = és y = A másodfokú egyenletrendszer megoldásai: ; 4 illetve ( ; 4) amiből a második számpár nem tartozik az eredeti egyenlet értelmezési tartományába, az első számpár kielégíti az eredeti egyenletrendszert. 5 5 d) A ; 4 pont bejelölése. ( pont) Összesen: 7 pont 8) Adja meg az 5 y = egyenletű egyenes és az y tengely metszéspontjának koordinátáit! ( pont) 9) A metszéspont: 0; ( pont) a) Ábrázolja a ; 4-on értelmezett, ( ), 5 + 0, 75 hozzárendeléssel megadott függvényt! ( pont) b) Állapítsa meg a fenti függvény minimumának helyét és értékét! ( pont) c) Oldja meg a valós számok halmazán a + = egyenletet! (8 pont) a) Ábrázolás ( pont) b) A minimum helye: = 5, Értéke: 0,75 - -

4 Függvények - megoldások c) Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve: + = ( pont) Rendezve = 0 Gyökei: = illetve = ( pont) De = nem megoldás (nem teszi igazzá az eredeti egyenletet) Az = esetén mindkét oldal értéke 7, ezért ez megfelelő valós gyök. ( pont) Összesen: pont 0) A valós számok halmazán értelmezett ( ) + 4 függvénynek minimuma vagy maimuma van? Adja meg a szélsőérték helyét és értékét! Maimuma van, szélsőérték helye: ; értéke: 4. Összesen: pont ) Adjon meg egy olyan zárt intervallumot, ahol a grafikonjával megadott alábbi függvény csökkenő! ( pont) Például: 0; vagy ; 8 ) Adott az :, ( ) ( pont) f 0 f = függvény. Határozza meg az értelmezési tartománynak azt az elemét, amelyhez tartozó függvényérték 4. ( pont) = 6 ) Adja meg a ; intervallumon értelmezett ( ) értékkészletét! - - ( pont) f = + függvény A függvény legkisebb értéke az, az adott intervallum végpontjaiban a függvény értéke 5, illetve 0, a függvény értékkészlete az ; 0 intervallum. Összesen: pont

5 4) Adja meg a valós számok halmazán értelmezett az 5 másodfokú függvény zérushelyeit! Számítsa ki a függvény helyettesítési értékét az, helyen! Zérushelyek: 0 és 5. A helyettesítési érték 4, 56. 5) Mennyi az f ( ) = + 0 ( ) veszi fel ezt az értéket? 6) A legnagyobb érték: 0. Ezt az = 0 helyen veszi fel. a) Fogalmazza meg, hogy az ( ) ( pont) Összesen: pont függvény legnagyobb értéke, és hol ( pont) Összesen: pont f : f = + függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : f0( ) =, függvény grafikonjából! Ábrázolja az f függvényt a 6; 6 intervallumon! (5 pont) b) Írja fel az ( ; ) A 4 és ( ; ) B 54 pontokon áthaladó egyenes egyenletét! Mely pontokban metszi az AB egyenes az f függvény grafikonját? (Válaszát számítással indokolja!) (7 pont) a) Ha az f0 = grafikonját előbb a ( ; 0 ), majd a ( 0; ) vektorral eltoljuk, az f függvény grafikonját kapjuk. Helyes grafikon. b) Az AB egyenes egyenlete: y = 7 ( pont) Az egyik közös pont: A ( 4; ) Az egyik közös pont: B ( ; ) ( pont) Összesen: pont 7) Adja meg a + y = 8 egyenletű egyenes és az y tengely metszéspontjának koordinátáit! ( pont) ( 09 ; ) ( pont) - 4 -

6 Függvények - megoldások 8) A valós számok halmazán értelmezett f másodfokú függvény grafikonját úgy kaptuk, hogy a g : g( ) = függvény grafikonját a v ( ; 4, 5 ) vektorral eltoltuk. a) Adja meg az f függvény hozzárendelési utasítását képlettel! b) Határozza meg f zérushelyeit! (4 pont) c) Ábrázolja f grafikonját a [ ; 6] intervallumon! (4 pont) Oldja meg az egész számok halmazán a következő egyenlőtlenséget! d) 5 + (6 pont) a) A függvény hozzárendelési szabálya: f ( ) = ( ) 4, 5 b) A 0,5 ( ) 4,5 = 0 egyenletet kell megoldani. 0,5 ( ) 4,5 = 0 = 5 = c) Ábra (4 pont) d) Átrendezve az egyenlőtlenséget, éppen az f ( ) 0 alakhoz jutunk. Ennek az egész megoldásai: ; 0; ; ; ; 5. A feladat megoldható grafikusan is. 9) A valós számok halmazán értelmezett függvényt transzformáltuk. Az alábbi ábra az így kapott f függvény grafikonjának egy részletét mutatja. Adja meg f hozzárendelési utasítását képlettel! A hozzárendelési utasítás: + 5 A hozzárendelési utasítás megadható a függvény két részre bontásával is. 0) Legyen f a valós számok halmazán értelmezett függvény, f ( ) = sin. Mennyi az f függvény helyettesítési értéke, ha =? Írja le a számolás menetét! Összesen: 7 pont - 5 -

7 f = sin = sin = 6 = Összesen: pont + ) Az, + log függvény az alább megadott függvények közül melyikkel azonos? + A:, log + B:, log ( 8) + C:, log ( ) + D:, log ( ) ) A helyes válasz betűjele: B ( pont) ( pont) a) Rajzolja meg derékszögű koordinátarendszerben a ; 6 intervallumon értelmezett, + hozzárendelésű függvény grafikonját! (4 pont) b) Állapítsa meg a függvény értékkészletét, és adja meg az összes zérushelyét! c) Döntse el, hogy a P (,;,58) pont rajta van-e a függvény grafikonján! Válaszát számítással indokolja! ( pont) d) Töltse ki az alábbi táblázatot, és adja meg a függvényértékek (a hét szám) mediánját! a) Ábra (4 pont) ; intervallum, ( pont) b) Az értékkészlet az a függvény zérushelye az ( = ) 5 c) P nincs a grafikonon, mert pl., + =,8 d) -0,5 0,7,0 4 5,5 + 0,5,7,98-0,5 Sorba rendezés: 0,5; 0,5; ; ;,7;,98;. A medián. Összesen: pont - 6 -

8 Függvények - megoldások ) Milyen valós számokat jelöl az a, ha tudjuk, hogy a valós számok halmazán értelmezett a függvény szigorúan monoton növekvő? ( pont) a ( pont) 4) Adja meg képlettel egy olyan, a valós számok halmazán értelmezett függvény hozzárendelési utasítását, amelynek (abszolút) maimuma van! A megadott függvénynek állapítsa meg a maimumhelyét is! Például: f : ( pont) Abszolút maimuma van = helyen. Összesen: pont 5) A következő két függvény mindegyikét a valós számok halmazán értelmezzük: f ( ) = sin ; g ( ) = sin. Adja meg mindkét függvény értékkészletét! ( pont) f értékkészlete: f ; g értékkészlete: ; 6) Az ábrán a valós számok halmazán értelmezett f ( ) = + a + b függvény grafikonjának egy részlete látható. Adja meg a és b értékét! ( pont) a = b = R = R = g Összesen: pont 7) István az log ( 0) függvény grafikonját akarta felvázolni, de ez nem sikerült neki, több hibát is elkövetett (a hibás vázlat látható a mellékelt ábrán). Döntse el, hogy melyik igaz az alábbi állítások közül! a) István rajzában hiba az, hogy a vázolt függvény szigorúan monoton csökkenő. b) István rajzában hiba az, hogy a vázolt függvény - höz -t rendel. c) István rajzában hiba az, hogy a vázolt függvény zérushelye. ( pont) Összesen: pont - 7 -

9 b). 8) Adott a valós számok halmazán értelmezett f ( ) ( + ) ( pont) = + 4függvény. Adja meg az f függvény minimumának helyét és értékét! ( pont) A minimum helye: - A minimum értéke: 4 Összesen: ( pont) 9) Az alább felsorolt, a valós számok halmazán értelmezett függvényeket közös koordinátarendszerben ábrázoljuk. A három függvény közül kettőnek a grafikonja megegyezik, a harmadik eltér tőlük. Melyik függvény grafikonja tér el a másik két függvény grafikonjától? ( pont) a) sin ( ) b) sin c) cos A helyes válasz betűjele: a) ( pont) 0) Az alábbi hozzárendelési utasítással megadott, a valós számok halmazán értelmezett függvények közül kettőnek egy-egy részletét ábrázoltuk. Adja meg a grafikonokhoz tartozó hozzárendelési utasítások betűjelét! ( pont) A) + B) C) D) + ) párja C) ) párja A) Összesen: pont - 8 -

10 Függvények - megoldások ) Adja meg az + + másodfokú függvény minimumhelyét és minimumának értékét! Válaszát indokolja! (4 pont) ( ) 0 ( ) = ( pont) A minimumhely 5. A minimum értéke 4. Összesen: 4 pont ) Legyenek f és g a valós számok halmazán értelmezett függvények, f = és g ( ) = + +, 5 továbbá: ( ), a) Számítsa ki az alábbi táblázatok hiányzó értékeit! f ( ) g( ),5 b) Adja meg a g függvény értékkészletét! c) Oldja meg az 5 + 5, 5 + +, 5 egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! (6 pont) a) f ( ) = 0, 5 + +,5 =,5 = b) A függvény hozzárendelési utasítását átalakítva: ( ) + +,5 = + +,5 A függvény minimuma a,5. Az értékkészlet: 5, ; c) Rendezés után:, Az,75 = 0 egyenlet gyökei: = és =. ( pont) Mivel a másodfokú kifejezés főegyütthatója pozitív, ezért az egyenlőtlenség megoldása:. ( pont) Összesen: pont ) Adja meg az alábbi hozzárendelési szabályokkal megadott, a valós számok halmazán értelmezett függvények értékkészletét! f = ( ) sin ( ) cos g f értékkészlete: ; g értékkészlete: ; = ( pont) Összesen: pont - 9 -

11 4) Döntse el, melyik állítás igaz, melyik hamis! a) A valós számok halmazán értelmezett f ( ) = 4 hozzárendelési szabállyal megadott függvény grafikonja az tengellyel párhuzamos egyenes. b) Nincs két olyan prímszám, amelyek különbsége prímszám. c) Az cm sugarú kör kerületének cm-ben mért számértéke kétszer akkora, mint területének cm -ben mért számértéke. d) Ha egy adathalmaz átlaga 0, akkor a szórása is 0. a) igaz b) hamis c) igaz d) hamis Összesen: 4 pont 5) a) Rajzolja fel a ; intervallumon értelmezett függvény grafikonját! ( pont) b) Mennyi a legkisebb függvényérték? a) b) A legkisebb függvényérték:. Összesen: pont 6) Melyik az ábrán látható egyenes egyenlete az alábbiak közül? ( pont) A: y = + B: y = + C: y =, 5 D: y = A helyes válasz betűjele: A. ( pont) ( - 0 -

12 Függvények - megoldások 7) Az ábrán egy -4;4 intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki, hogy melyik formula adja meg helyesen a függvény hozzárendelési szabályát! ( pont) a) + b) + c) + d) + b) + ( pont) Összesen: pont 8) Adott a valós számok halmazán értelmezett f ( ) = 4 függvény. Mely értékek esetén lesz f ( ) = 6? ( pont) =, = 0 ( pont) 9) Az ábrán az m + b lineáris függvény grafikonjának egy részlete látható. Határozza meg m és b értékét! b = 40 m = 0 ( pont) 40) Az ábrán az : ; ; ( ) f f a Összesen: pont = függvény grafikonja látható. a) Adja meg az f függvény értékkészletét! b) Határozza meg az a szám értékét! ( pont) Az f értékkészlete 0,5; 4. a = 0,5. ( pont) Összesen: pont 4) Válassza ki az f függvény hozzárendelési szabályát az A, B, C, D lehetőségek közül úgy, hogy az megfeleljen az alábbi értéktáblázatnak! ( pont) - 0 f ( ) A: f ( ) = B: f ( ) = C: f ( ) = D: f ( ) = D ( pont) - -

13 4) Az ábrán a ;5 intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! ( pont) A: + B: + + C: + D: + C ( pont) 4) a) Egy háromszög oldalainak hossza 5 cm, 7 cm és 8 cm. Mekkora a háromszög 7 cm-es oldalával szemközti szöge? (4 pont) 0; intervallumon a következő egyenletet! b) Oldja meg a ( ) cos =. (6 pont) 4 c) Adja meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)! ( pont) I) Az f :, f ( ) = sin függvény páratlan függvény. II) Az : intervallum. III) A : g, g ( ) = cos függvény értékkészlete a ; h, h ( ) cos a ; 4 4 intervallumon. zárt = függvény szigorúan monoton növekszik a) (A kérdezett szöget -val jelölve) alkalmazzuk a koszinusztételt: 7 = cos Ebből cos =, azaz (mivel egy háromszög egyik szögéről van szó) = 60 b) Ha cos =, akkor a megadott intervallumon = 5, vagy =. ( pont) Ha cos =, 4 akkor a megadott intervallumon =, vagy =. ( pont) c) I) igaz II) hamis III) hamis ( pont) Összesen: pont - -

14 44) Adott a valós számok halmazán értelmezett ( ) Függvények - megoldások függvény. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? ( pont) A helyes válasz: C - - ( pont) 45) Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett + cos függvény értékkészletét! ( pont) A függvény értékkészlete: 0; ( pont) 46) Az ábrán látható függvény értelmezési tartománya a ; intervallum, két zérushelye a és. Az értelmezési tartományának mely részhalmazán vesz fel a függvény pozitív értéket? ( pont) A kérdéses intervallum: ; ( pont) 47) Adja meg a valós számok halmazán értelmezett ( ) függvény minimumának helyét és értékét! ( pont) A minimum helye:. A minimum értéke: 0. Összesen: pont 48) a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán: =. (7 pont) Az f : R ; f ( ) = a + b lineáris függvény zérushelye -4. Tudjuk továbbá, hogy az = 4 helyen a függvényérték 6. b) Adja meg a és b értékét! (6 pont) a) Az egyenlet alakja esetén: =, amiből =, ami nem megoldása az eredeti egyenletnek. Az egyenlet alakja =, esetén: ( ) amiből =. ( pont) Ellenőrzés behelyettesítéssel vagy ekvivalenciára hivatkozva.

15 b) A megadott feltételek szerint a ( ) 4 + b = 0, ( pont) továbbá a 4+ b = 6. Az egyik egyenletből az egyik ismeretlent kifejezve és a másik egyenletbe helyettesítve vagy a két egyenletet összeadva kapjuk, hogy b =, a = 0,75. Összesen: pont 49) Adja meg a valós számok halmazán értelmezett f ( ) = + sin függvény értékkészletét! ( pont) Felírjuk a sin függvény értékkészletét. sin Ha az így kapott egyenlőtlenség minden oldalához hozzáadunk egyet, megkapjuk az + sin függvény értékkészletét. 0 + sin ( pont) Tehát a megoldás 0;. Összesen: pont 50) Az alábbi függvények a pozitív számok halmazán értelmezettek: f = ( ) 5 ( ) = 5 g 5 h( ) = i = ( ) 5 Adja meg annak a függvénynek a betűjelét, amelyik fordított arányosságot ír le! ( pont) Egy függvény akkor ír le fordított arányosságot, ha és y értékek szorzata állandó, így a h( ) függvény a megoldás ( pont) Összesen: pont 5) Ábrázolja a ; 6 intervallumon értelmezett függvényt! (4 pont) A függvény grafikonja az abszolútérték függvény grafikonjából származik. Az abszolút értéken belüli miatt vízszintesen pozitív irányba, az abszolút értéken kívüli miatt pedig függőlegesen negatív irányba toljuk az eredeti függvényt. ( pont) Végül a függvényt a megadott intervallumra szűkítjük. Összesen: 4 pont

16 Függvények - megoldások 5) a) Az ABC háromszög két csúcsa A ( ; ) és B ( ; 7), súlypontja az origó. Határozza meg a C csúcs koordinátáit! b) Írja fel a hozzárendelési utasítását annak a lineáris függvénynek, amely -hoz -et és -hoz 7 -et rendel! (A hozzárendelési utasítást a + b alakban adja meg!) (5 pont) c) Adott az A ( ; ) és a B ( ; 7) pont. Számítsa ki, hogy az tengely melyik pontjából látható derékszögben az AB szakasz! (9 pont) a) A háromszög súlypontjának koordinátái a csúcsok megfelelő koordinátáinak C c ; c pont koordinátáira felírhatóak az alábbi számtani közepe, a ( ) egyenletek. + + c 0 =, amelyre c = c 0 =, amelyre c = 6 b) A függvény képe egy egyenes, meredeksége 7 ( ) 4 m = =. ( pont) ( ) A ( ;7 ) ponton átmenő 4 meredekségű egyenes 4 egyenlete pedig y 7 = ( ), így a hozzárendelés 4 szabálya +. c) Jelöljük a kérdéses pontot P -vel! Mivel a P pont az tengelyen van, így a második koordinátája 0. Ha ( ;0) P, akkor PA = ( ; ) és PB ( ;7) =. ( pont) PA és PB vektorok pontosan akkor merőlegesek egymásra, ha PA és PB vektorok skaláris szorzata = 0, amelynek gyökei = 4 és = 4. ( ) ( ) ( ) (4 pont) Tehát a feladatnak két megoldása van, P ( 4; 0 ) és ( ) 4; 0 P. Összesen: 7 pont 5) Az alábbi hozzárendelési utasítások közül adja meg annak a betűjelét, amely a 0-hoz 4-et, a -höz pedig 0-t rendel! A : + 4 B : 4 C : + 4 D : 4 ( pont) f f ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = = 4 = + 4 = 0 tehát a megoldás a C : + 4 ( pont) Összesen: pont - 5 -

17 54) Az alábbi ábrán a ; intervallumon értelmezett + függvény grafikonja látható. Adja meg a függvény értékkészletét! ( pont) A függvény értékkészlete: 5; ( pont) Összesen: pont 55) Adott a valós számok halmazán értelmezett f függvény: f : ( ) 4. a) Számítsa ki az f függvény = 5 helyen felvett helyettesítési értékét! ( pont) b) Ábrázolja az f függvényt, és adja meg szélsőértékének helyét és értékét! (5 pont) c) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: ( ) 4 =. (5 pont) a) f ( 5) = ( 5 ) 4 = ( pont) b) Az ábrázolt függvény grafikonja az függvény grafikonjából eltolással származik tengelypontjának első koordinátája, második koordinátája -4. A függvénynek az = helyen van szélsőértéke (minimuma), melynek értéke -4. c) A g : függvény helyes ábrázolása (ugyanabban a koordinátarendszerben)( pont) A metszéspontok első koordinátáinak leolvasása: = =. ( pont) A kapott értékek ellenőrzése behelyettesítéssel. Összesen: pont - 6 -

18 Függvények - megoldások 56) Az ábrán egy, a 0; 4 zárt intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltak közül a függvény hozzárendelési szabályát! A: ( ) + B: ( ) C: ( + ) + D: ( ) + ( pont) B: ( ) ( pont) Összesen: pont 57) Egy számtani sorozat negyedik tagja 4, tizenhatodik tagja. a) Számítsa ki a sorozat első 0 tagjának az összegét! (5 pont) b) Adott egy szakasz két végpontja: A ( 0; 4 ) és B( ; ). Írja fel az AB szakasz felezőmerőlegesének egyenletét! (5 pont) c) Egy elsőfokú függvény a 0-hoz 4-et, a -höz -at rendel. Írja fel a függvény hozzárendelési szabályát! (4 pont) a) Az összeg meghatározásához ki kell számolnunk a sorozat differenciáját. A negyedik és a tizenhatodik tag felírásával egy egyenletrendszert a + d = 4 kapunk: a + 5d = A második egyenletből kivonva az elsőt, megkapjuk, hogy d = 6 d = 0,5. a = 4 0,5 = 5,5 5,5 + 9 ( 0,5) Az első 0 tag összege: S0 = 0 = 90 ( pont) b) Az AB szakasz felezőpontja: F AB = ; = ( ;, 5) ( pont) A felezőmerőleges egyik normálvektora: n (; ) Az egyenes normálvektoros egyenlete: y =,5 ( pont) c) A hozzárendelési szabály legyen m + b. Visszahelyettesítve az első egyenletbe: ( ) - 7 -

19 4 A függvény grafikonja egyenes, melynek meredeksége: = 0,5 0 ( pont) A függvény az y tengelyt 4-nél metszi, így a hozzárendelési szabály: 0,5 + 4 Összesen: 4 pont 58) Hol metszi a koordinátatengelyeket az + 6( ) grafikonja? R függvény ( pont) A függvény általános alakja y = m + b, és az tengelyt ott metszi, ahol a második koordináta 0, azaz az + 6 = 0 egyenletet kell megoldanunk, ahonnan =. Az tengelyt tehát a ( ; 0 ) pontban metszi a függvény. Az y tengelyt ott metszi a függvény, ahol az első koordináta 0, azaz az y = egyenletet kell megoldanunk, ahonnan y = 6. Az y tengelyt tehát a ( 0;6 ) pontban metszi a függvény. Összesen: pont 59) a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! 8 = + + ( ) ( ) (6 pont) b) Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! 0 (4 pont) + f = c) Határozza meg a valós számokon értelmezett ( ) függvény minimumának helyét és értékét! (4 pont) a) Kikötés: a nevező miatt és Az egyenlet mindkét oldalát közös nevezőre hozva: ( ) 8 = ( ) = 8 ( pont) + + ( )( ) ( )( ) 0-ra rendezve az egyenletet: 8 = 0 Az egyenlet gyökei = és = 4 Ellenőrzés behelyettesítéssel vagy az egyenlet értelmezési tartományán ekvivalenciára való hivatkozással: = nem megoldás, = 4 megoldás. b) Az egyenlőtlenség akkor teljesül, ha 0 és + 0, vagy ha 0 és + 0. ( pont) Az első feltételnek megfelelő valós szám nincs, a második feltételből az 0 ( pont) egyenlőtlenség megoldása: ( ) c) Teljes négyzetté alakítás: f ( ) ( ) = 4 ( pont) Innen leolvasható a parabola minimumának helye és értéke, tehát = és y = 4. ( pont) Összesen: 4 pont

20 60) Adott az ( ) f :, f = függvény. Függvények - megoldások a) Írja fel két elsőfokú tényező szorzataként az kifejezést! ( pont) b) A P( 6,5; y) pont illeszkedik az f grafikonjára. Számítsa ki y értékét! ( pont) c) Az alábbi grafikonok közül válassza ki az f függvény grafikonját (karikázza be a megfelelő betűt), és határozza meg az f értékkészletét! Adott a g :, g ( ) = függvény. Az a három pont, ahol a g grafikonja metszi a koordinátatengelyeket, egy háromszöget határoz meg. d) Határozza meg ennek a háromszögnek a területét! (7 pont) a) = ( + ) + ( + ) = ( ) ( ) + + ( pont) b) A 6,5 -öt behelyettesítve az egyenes egyenletébe megkapjuk az y értékét: ( ) ( ) c) Mivel y = 6, ,5 + = 9,5 ( pont) együtthatója pozitív, az f függvény grafikonja konve lesz. A kifejezést teljes négyzetté alakítva azt kapjuk, hogy ( ) = +. Ebből tudjuk, hogy a függvény grafikonja az tengelyt--nél, az y tengelyt pedig -- nél fogja metszeni. Ezért az f függvény grafikonja a D. A függvény minimumértéke a --nél van, felülről pedig nem korlátos, így az f függvény értékkészlete: R : y ;. ( pont) d) A g értéke 0-ban 5, így az y tengelyt az A(0; 5) pontban metszi a g grafikonja. ( pont) Az egyenlet megoldásai = és = 5. ( pont) Ezért az tengelyt a g függvény grafikonja a B(;0) és a (5;0) pontokban metszi. Az ABC háromszög (BC oldala 4 egység, a hozzá tartozó magasság 5 egység hosszú, így) területe 4 5 = 0 (területegység). ( pont) Összesen: 4 pont - 9 -

21 6) Válassza ki az alább felsorolt, a valós számok halmazán értelmezett függvények közül a páros függvényeket! A) a ( ) = B) b ( ) = C) c ( ) = D) d ( ) = 4 + ( pont) f = f. Páros függvény az, amelyre igaz, hogy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = Tehát páros függvény az A) és a C). ( pont) Összesen: pont + 4. a) Mit rendel az f függvény az = számhoz? 4 ( pont) b) Ábrázolja az f grafikonját! Adja meg az f értékkészletét! (5 pont) Adott a valós számok halmazán értelmezett g függvény: 4 +. c) Hány olyan szám van, amelyhez a g függvény a 4 értéket rendeli? (4 pont) 6) Adott a ; 4 zárt intervallumon értelmezett f függvény: a) f = + 4 = + 4 = 4,75 ( pont) b) A függvény: - meredeksége - 4-nél metszi az y tengelyt - a ;4 van értelmezve A legkisebb érték, amit a függvény felvesz, a legnagyobb pedig 5, így az értékkészlet R : y ;5. ( pont) c) A megoldandó egyenlet: 4 + = 4 +,75 = 0. 4 Az egyenlet gyökei: =,5 és =,5. ( pont) Tehát két olyan szám van, amihez a g függvény a értéket rendeli. 4 Összesen: pont - 0 -