6 Vékonylencsék képalkotása

Átírás

1 6 Vékonylencsék képalkotása Készítette: Dr. Dóczy-Bodnár Andrea 6.1 A képlet és a változók definiálása A lencsék képet alkotnak a tárgyakról, amely a tárgynak a fókuszpontokhoz viszonyított helyzetétől függően lehet valódi vagy virtuális. A képalkotás alapja a fénysugarak megtörése a lencse anyagának a közegtől eltérő törésmutatója miatt. Egy vékonylencse akkor ad éles képet, ha a lencse fókusztávolságának reciproka egyenlő a képtávolság és a tárgytávolság reciprokának összegével (lencsetörvény, leképezési törvény): f t k ahol f a lencse fókusztávolsága, t és k pedig a tárgy-, illetve képtávolság (SI egység: m, de leggyakrabban cm vagy mm egységben fejezik ki). A lencsetörvény fent ismertetett formájában a távolságokat az ún. Gauss-féle konvenciónak megfelelően definiáltuk: valós tárgyaknál a t tárgytávolság pozitív előjelű. Gyűjtőlencsénél a fókusztávolság pozitív (f > 0), a szórólencsénél pedig negatív (f < 0). Valódi kép képtávolsága pozitív előjelű (k > 0), a látszólagos képé pedig negatív előjelű (k < 0) lesz. Kapcsolódó definíciók: Optikai lencse: áttetsző anyagból készülő, két gömb-, vagy egy gömb- és egy síkfelülettel határolt, a fénysugarakat irányítottan befolyásoló eszköz. Domború lencse (konvex lencse): középen vastagabbak, mint a szélüknél. Amennyiben anyaguk optikailag sűrűbb, mint a környezeté (általában ez a helyzet), gyűjtőlencsének is nevezzük. Homorú lencse (konkáv lencse): a szélükön vastagabbak. Amennyiben anyaguk optikailag sűrűbb, mint a környezeté, szórólencsének is nevezzük. Optikai fősík: A fősíkok az optikai rendszerbe a tengellyel párhuzamosan belépő fénysugarak és a rendszert elhagyó megfelelő fénysugarak meghosszabbításainak 1

2 metszéspontjai által kifeszített felületek. Minden optikai rendszernek két fősíkja van: tárgyoldali és képoldali fősíkok. Vékonylencsék esetén a két fősík egybeesik. Optikai tengely: A lencse optikai középpontján átmenő, annak fősíkjára merőleges egyenes. Fókuszpont: Az a pont, ahová a gyűjtőlencse a párhuzamosan beeső fénysugarakat összegyűjti, vagy ahonnan a fénysugarak szórólencse esetén kiindulnak. Minden lencsének két fókuszpontja van, amelyek a lencse két oldalán helyezkednek el. Szimmetrikus lencsék esetén a két fókuszpont az optikai középponttól azonos távolságra található. (Mi a jelen leírásban csak ezzel az esettel foglalkozunk.) Fókusztávolság (f): az optikai lencse fősíkja és fókuszpontja (F) közötti távolság. SI egysége: m. (Gyakran mm-ben vagy cm-ben adjuk meg). Valódi kép: ernyőn felfogható, a fénysugarak metszik egymást. Virtuális (látszólagos kép): csak a fénysugarak meghosszabbításai metszik egymást, ernyőn nem fogható fel. Tárgy- és képtávolság (t és k): a tárgy, ill. a kép távolsága a lencse fősíkjától. SI egysége: m. (Gyakran mm-ben vagy cm-ben adjuk meg). 6.2 Egyéb összefüggések Lineáris nagyítás: A kép nagyságának (K) és a tárgy nagyságának (T) a hányadosa, ami azonos a kép- és tárgytávolság hányadosának abszolút értékével. K k N T t A nagyítást gyakran az előjeles képtávolság alapján számítják ki, ilyenkor azonban az összefüggést beszorozzák (-1)-gyel: N k t A valódi képek nagyítása így negatív előjelű lesz, ami arra utal, hogy a valódi képek fordított állásúak. Ezzel szemben a virtuális képek nagyítása pozitív, mivel a virtuális képek egyenes állásúak. Fókusztávolság függése a lencse és a közeg sajátságaitól: ( n 1)( ) f R R 1 2 2

3 ahol n a lencse anyagának a közegre vonatkoztatott relatív törésmutatója, R1 és R2 a lencsét határoló gömbfelületek sugara. (Szórólencse esetében a görbületi sugarakra negatív értéket kell venni.) A lencse törőképessége (D, dioptria): a méterben mért fókusztávolság reciproka. D 1 (dioptria, m -1 ) f 6.3 Vékony gyűjtőlencse képalkotása A lencsetörvény ábrázolása Vizsgáljuk meg, hogyan függ a képtávolság a tárgytávolságtól. Rendezzük át a lencsetörvényt, majd ábrázoljuk a képtávolságot a tárgytávolság függvényében: ft k ( t x k y) t f A kapott görbe egy hiperbola, amely aszimptotikusan közelíti a t=f, illetve k=f egyeneseket. A görbe jól szemlélteti a képalkotás sajátosságait (ld ): ha t<f (azaz a tárgy az egyszeres fókusztávolságon belül helyezkedik el), akkor k negatív, azaz virtuális képet kapunk (a kép a tárggyal azonos oldalon keletkezik); ha t>f (a tárgy az egyszeres fókusztávolságon kívül helyezkedik el), akkor k pozitív, azaz valódi képet kapunk (a kép a lencse ellenoldalán keletkezik); mindkét fenti esetre igaz, hogy amennyiben a tárgy helyzete közelít az egyszeres fókusztávolsághoz, a képtávolság megnő (virtuális képek esetén ez egyre negatívabb értéket jelent); egyszeres fókusztávolságban elhelyezett tárgy esetén (t=f) a kép a végtelenben keletkezne, ami ekvivalens azzal, hogy nem keletkezik kép; 3

4 lencsétől végtelen távolságban elhelyezett tárgy esetén (t= ) a kép az egyszeres fókusztávolságban keletkezik; a grafikon alapján az is látható, hogy a fókuszpont közelében a kép helyzete jóval érzékenyebben függ a tárgy helyzetétől, mint attól távolabb. Ha a képtávolság reciprokát ábrázoljuk a tárgytávolság reciprokának függvényében, akkor egyenest kapunk: 1 (y x ) k f t k t Az egyenes meredeksége -1, az x-tengelyt az x=1/f pontban metszi. Az egyes tengelymetszete a lencse fókusztávolságának reciprokával egyenlő. Az előző ábrázoláshoz hasonlóan, az egyenes alapján is szemléltethetjük a képalkotás sajátosságait (ld ): Ha a tárgy az egyszeres fókusztávolságon belül helyezkedik el (t<f, azaz 1/t>1/f), akkor a képtávolság negatív előjelű, azaz virtuális képet kapunk. A tárgyat a lencséhez közelítve (1/t nő) a képtávolság csökken (1/k abszolút értéke nő). Amennyiben a tárgy a lencsétől pontosan egyszeres fókusztávolságban helyezkedik el (t=f, azaz 1/t=1/f), a kép a végtelenben keletkezne (k= ) ez ekvivalens azzal, hogy nem keletkezik kép. Amennyiben a tárgy az egyszeres fókusztávolságon kívül helyezkedik el (t>f, azaz 1/t<1/f), a képtávolság pozitív, azaz a keletkező kép valódi. Amennyiben a tárgy távolodik a fókuszponttól (t nő, azaz 1/t csökken) a képtávolság csökken (1/k nő). A lencsétől kétszeres fókusztávolságban elhelyezett tárgy esetén a kép szintén kétszeres fókusztávolságban keletkezik. A lencsétől végtelen távolságban elhelyezett tárgy esetén (t= ) a kép a lencse ellenoldali fókuszpontjában keletkezik (k=f, azaz 1/k=1/f). Az egymáshoz tartozó adatpárokból a nagyításra is következtethetünk. (Itt nem részletezzük.) 4

5 6.3.2 A tárgy képének megszerkesztése A gyűjtőlencse által alkotott képet az alábbi nevezetes sugármenetek segítségével szerkeszthetjük meg: a lencsére az optikai tengellyel párhuzamosan érkező sugarak a lencsében megtörnek, majd az ellenoldali fókuszponton áthaladva folytatják útjukat; a fénysugarak megfordíthatósága miatt a fókuszponton keresztül érkező sugarak a lencse másik oldalán az optikai tengellyel párhuzamosan haladnak tovább; a lencse középpontján áthaladó sugarak irányváltoztatás nélkül haladnak tovább. A tárgy képét a fenti sugarak metszéspontja jelöli ki. A három sugármenetből kettő már egyértelműen meghatározza a képet. Egyszerű tárgy (pl. szakasz, nyíl, ld. alább) esetén elegendő a két végpontból kiinduló sugarakat figyelembe venni a kép megszerkesztéséhez. A fentiekből következik, hogy amennyiben a szakasz egyik vége az optikai tengelyre esik, akkor a hozzá tartozó képpont szintén az optikai tengelyen található. Az alábbiakban néhány speciális esetben mutatjuk be a gyűjtőlencse képalkotását. Miután két sugármenet elegendő a kép megszerkesztéséhez, a következőkben csak az optikai tengellyel párhuzamosan érkező, illetve a lencse középpontján áthaladó sugármeneteket használjuk fel a kép megszerkesztéséhez. A sugármeneteket kék, szaggatott nyilak jelzik. A tárgyat fekete, míg a képet piros színnel jelöltük. T és K a tárgy, illetve a kép nagyságát jelöli. (i) A tárgy az egyszeres fókusztávolságon belül helyezkedik el: virtuális (csak a sugarak meghosszabbítása metszi egymást), egyenes állású és nagyított kép (T < K); az egyszerű nagyító, illetve a mikroszkóp okulárja ilyen elrendezésben működik; ha a tárgyat a fókuszpont felé közelítjük (a tárgytávolság nő), akkor a képtávolság és a kép nagysága egyaránt növekszik. 5

6 (ii) A tárgy az egyszeres és kétszeres fókusztávolság között helyezkedik el: valódi, fordított állású, nagyított kép (T < K), ami a lencse ellenkező oldalán a kétszeres fókusztávolságon kívülre esik; a mikroszkóp objektívet ilyen elrendezésben használjuk; ha a tárgy közelít a kétszeres fókusztávolsághoz, akkor a képtávolság, illetve a kép mérete egyaránt csökken: a pontosan kétszeres fókusztávolságban elhelyezkedő tárgy esetén a tárgy méretével megegyező nagyságú kép (T = K) keletkezik a lencse ellenkező oldalán, szintén kétszeres fókusztávolságban. (iii) A tárgy kétszeres fókusztávolságon kívül helyezkedik el: valódi, fordított állású, kicsinyített kép (T > K), ami az egyszeres és a kétszeres fókusztávolság között helyezkedik el a lencse másik oldalán; a tárgytávolság növelésével a kép közeledik az ellenoldali fókuszponthoz: végtelen távoli tárgy esetén a kép pontosan az ellenoldali gyújtópontban helyezkedik el; a szemlencse képalkotása ily módon történik. 6

7 6.4 Mintafeladatok megoldással Feladat Szerkessze meg az alábbi ábrán látható tárgy (zöld nyíl) gyűjtőlencse által alkotott képét! A tárgy mindkét végpontjából kiindulva felrajzoljuk a nevezetes sugármeneteket, egészen pontosan kettőt, a lencsére az optikai tengellyel párhuzamosan érkező, valamint a lencse középpontján áthaladó sugarakat. Megoldásunk ellenőrzéséhez vegyük figyelembe, hogy a tárgy az egyszeres fókusztávolságon belül helyezkedik, így egyenes állású, nagyított és virtuális képet kell kapnunk. 7

8 6.4.2 Feladat Az alábbi ábrán egy tárgy gyűjtőlencse által alkotott képe látható. Helyezze el a tárgyat a rajzon. Az eddigiekben a tárgyról párhuzamosan kiinduló sugármenetet használtuk fel a szerkesztések során. Azért, hogy bemutassuk a harmadik sugármenetet is, a megoldás során a lencse középpontján keresztül haladó fénysugár mellett, a lencsére a tárgyról a fókuszponton keresztül érkező sugarat tüntettük fel. Ez utóbbi a lencsét az optikai tengellyel párhuzamosan hagyja el. Megoldásunk ellenőrzéséhez vegyük figyelembe, hogy a kép az egyszeres és kétszeres fókusztávolságon belül helyezkedik el (F és 2F között), azaz a képalkotás törvényszerűségei alapján fordított állású, kicsinyített képről van szó, azaz a tárgy nagyobb, mint a kép, a kétszeres fókusztávolságon kívül helyezkedik el és lefelé mutat. 8

9 6.4.3 Feladat Az alábbi ábrán egy tárgy (T) és annak gyűjtőlencse által alkotott képe (K) látható. Jelölje be az egyszeres fókusztávolságokat a lencse mindkét oldalán! A megoldás során azokat a sugármeneteket rajzoljuk be, amelyek a fókuszpontokon keresztül haladnak. Ilyen a tárgyról a lencsére párhuzamosan érkező sugár, illetve a tárgyról a lencsére a fókuszponton keresztül érkező sugár. A lencsét elhagyva az első sugár az ellenoldali fókuszponton halad tovább, míg a második az optikai tengellyel párhuzamosan (fénysugarak megfordíthatósága!). Így ha berajzoljuk a tárgyról a lencsére az optikai tengellyel párhuzamosan érkező sugarat, majd azt összekötjük a megfelelő képponttal, akkor az optikai tengely és a sugár metszéspontja megadja az ellenoldali fókusztávolságot. Ha a lencse és a kép közötti párhuzamos sugarat rajzoljuk be, akkor azt a tárgy megfelelő pontjával összekötve megkapjuk a tárgy felőli fókuszpontot. 9

10 6.4.4 Feladat Az alábbi táblázat különböző vékony lencsékkel mért tárgy- és képtávolságokat, illetve a lencsék fókusztávolságát mutatja. Számolja ki a hiányzó adatokat! A nagyítás is előjellel adja meg. Jelölje a mértékegységeket is! 1. lencse 2. lencse 3. lencse fókusztávolság (f) 10 cm 5 cm tárgytávolság (t) 4 cm 5 cm képtávolság (k) 8 cm 5 cm törőerő (D) nagyítás (N) Megoldás: k D= N= f t k f t A hiányzó adatok a fókusztávolság képtávolság tárgytávolság, a nagyítás képtávolság tárgytávolság, illetve a törőerő definíciója alapján számíthatók ki. Fontos, hogy a törőerő a fókusztávolság méterben vett reciproka, erre figyeljünk oda a számolásnál. 1. lencse 2. lencse 3. lencse fókusztávolság (f) 10 cm 5 cm 2,5 cm tárgytávolság (t) 4 cm 13,3 cm 5 cm képtávolság (k) - 6,67 cm 8 cm 5 cm törőerő (D) 10 dioptria 20 dioptria 40 dioptria nagyítás 1,67-0,6-1 Első lencse: a fókusztávolság alapján meghatározható a törőerő, a fókusztávolság és a tárgytávolság alapján pedig a képtávolság, majd a nagyítás. 0,1 0, 25 6,67cm 10cm 4cm k k k 1 ( 6,67) D= 10 dioptria N= 1,67 0,1m 4 A képtávolság negatív előjelű, azaz virtuális kép keletkezik (ez már a tárgytávolság és a fókusztávolság viszonyából is sejthető volt). A nagyítás pozitív előjelű, hiszen a virtuális képek egyenes állásúak. Második lencse: 0,2 0,125 t 13,3cm 5cm t 8cm t 1 8 D= 20 dioptria N= 0,6 0,05m 13,3 10

11 Harmadik lencse: 0,4 f 2,5cm f 5cm 5cm f 1 D= 40 dioptria 0,025m 5 N= 1 5 Mivel valódi, azaz fordított állású képek keletkeztek, így a nagyítás előjele negatív Feladat Az alábbi táblázat különböző vékony lencsék törőerejét, a lencsékkel mért tárgy- és képtávolságokat, valamint a tárgy- és képméreteket mutatja. Számolja ki a hiányzó adatokat! Jelölje a mértékegységeket is! 1. lencse 2. lencse 3. lencse törőerő (D) 25 dioptria 10 dioptria 40 dioptria képtávolság (k) 10 cm tárgytávolság (t) 5 cm 10 cm képméret (K) 3 cm 4 cm tárgyméret (T) 5 cm Megoldás: k K D= N= = f t k f t T A hiányzó adatok a fókusztávolság képtávolság tárgytávolság összefüggés, a nagyítás képtávolság tárgytávolság, ill. képméret-tárgyméret összefüggések, illetve a törőerő definíciója alapján számíthatók ki. 1. lencse 2. lencse 3. lencse törőerő (D) 25 dioptria 10 dioptria 40 dioptria képtávolság (k) 10 cm - 10 cm 3,33 cm tárgytávolság (t) 6,67 cm 5 cm 10 cm képméret (K) 3 cm 10 cm 4 cm tárgyméret (T) 2 cm 5 cm 12 cm 11

12 első lencse: 1 25 f 0, 04m 4cm f 0, 25 0,1 t 6, 67cm 4cm 10cm t t 3cm 10cm T 2cm T 6, 67cm második lencse: 1 10 f 0,1m 10cm f 0,1 0, 2 k 10cm 10cm 5cm k k K 10cm K 10cm 5cm 5cm harmadik lencse: 1 40 f 0, 025m 2,5cm f 0, 4 0,1 k 3,33cm 2,5cm 10cm k k 4cm 3,33cm T 12cm T 10cm 6.5 Gyakorló számítási feladatok 1. Ha egy vékonylencse fókusztávolsága 10 cm, mekkora tárgytávolság mellett kapunk nagyított és virtuális képet? (a) 20cm (b) 12cm (c) 5cm 2. Ha egy vékonylencse fókusztávolsága 8 cm, mekkora tárgytávolság mellett kapunk valódi, nagyított képet? (a) 18cm (b) 13cm (c) 5cm 3. Egy gyűjtőlencsétől 10 cm-re megvilágított diafilmet helyezünk el. A filmről a lencsétől 25 cm-re lévő ernyőn éles képet kapunk. Hány dioptriás a lencse? (a) 14 (b) 0,14 (c) 7 12

13 4. Ha egy vékonylencse törőereje 16 dioptria, mekkora a fókusztávolsága? (a) 0,0625 cm (b) 6,25 cm (c) 6,25 m 5. Egy gyűjtőlencsétől 20 cm-re megvilágított tárgyat helyezünk el. A tárgyról a lencsétől 25 cm-re lévő ernyőn éles képet kapunk. Mekkora a nagyítás? (a) 1,25 (b) 0,8 (c) Egy gyűjtőlencsétől 20 cm-re megvilágított tárgyat helyezünk el. A tárgyról a lencsétől 25 cm-re lévő ernyőn éles képet kapunk. Mekkora a lencse fókusztávolsága? (a) 11cm (b) 0,09 cm (c) 45 cm 7. Egy gyűjtőlencsétől 15 cm-re megvilágított tárgyat helyezünk el, amelynek mérete 5 cm. A tárgyról a lencsétől 30 cm-re lévő ernyőn éles képet kapunk. Mekkora lesz a kép mérete? (a) 10 cm (b) 2,5 cm (c) 3 cm 8. Egy gyűjtőlencse fókusztávolsága 10 cm. A lencsétől 8 cm-re elhelyezett tárgy esetén mekkora lesz a nagyítás? (a) 5 (b) 0,2 (c) 1,25 9. Egy gyűjtőlencse fókusztávolsága 5 cm. A lencsétől 8 cm-re elhelyezett tárgy esetén a kép mérete 10 cm. Mekkora a tárgy mérete? (a) 16,7cm (b) 6 cm (c) 13,3 cm 10. Egy gyűjtőlencse törőereje 25 dioptria. Mekkora a fókusztávolsága? (a) 0,04 cm (b) 4 cm (c) 25 cm 11. Egy gyűjtőlencse törőereje 20 dioptria. Milyen képet készít egy, a lencsétől 7,5 cm-re elhelyezett tárgyról? (a) valódi, kicsinyített (b) valódi, nagyított (c) virtuális, nagyított 12. Egy gyűjtőlencse törőereje 20 dioptria. Mekkora távolságra kell elhelyezni a tárgyat ahhoz, hogy fordított állású, kicsinyített képet kapjunk? (a) 15 cm (b) 7,5 cm (c) 3 cm 13. Egy gyűjtőlencse 3-szoros nagyítású, valódi képet készít egy bizonyos, a lencsétől 12 cm-re elhelyezett tárgyról. Mekkora a képtávolság? (a) 15 cm (b) 4 cm (c) 36 cm 14. Egy gyűjtőlencse 3-szoros nagyítású, virtuális képet készít egy bizonyos, a lencsétől 8 cm-re elhelyezett tárgyról. Mekkora a képtávolság? (a) 24 cm (b) -24 cm (c) -2,6 cm 15. Egy gyűjtőlencse 5-szörös nagyítású valódi képet készít egy bizonyos tárgyról. Ha a képtávolság 10cm, mekkora a tárgytávolság? (a) 2 cm (b) 50 cm (c) -2 cm 16. Három, azonos méretű, de különböző anyagból készült lencsénk van (A, B, C). Melyiknek lesz a legnagyobb a fókusztávolsága, ha tudjuk, hogy az egyes anyagok törésmutatója az alábbiak szerint viszonyul egymáshoz: na<nb<nc. (a) A (b) B (c) C 13