Niche. Tárgya a fajok koegzisztenciájának problémája A fogalom fejlődése: Toleranciahatárok! A hutchinsoni niche fogalom definíciója:

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Niche. Tárgya a fajok koegzisztenciájának problémája A fogalom fejlődése: Toleranciahatárok! A hutchinsoni niche fogalom definíciója:"

Átírás

1 Niche Tárgya a fajok koegzisztenciájának problémája A fogalom fejlődése: Grinnell térbeli Elton funkcionális Hutchinson hipertérfogat modell Juhász-Nagy niche értelmezése A hutchinsoni niche fogalom definíciója: Toleranciahatárok! A niche az életfeltételek és forrásváltozók által meghatározott n-dimenziós hipertérben az az absztrakt térrész, amit a szervezet tolerancia határai rajzolnak ki. 1

2 A hutchinsoni niche sajátosságai Figyelem! A jegyzet régebbi kiadásában az ábraszöveg hibás! Fundamentális és G realizált niche A B C F E G D Két növényi génusz 3-3 fajának realizált nichei 2 változó esetén. A Venn-halmaz összes faja csak realizált niche-el rendelkezik!! A G-faj niche különösen összenyomott. RUF (Resource Utilisation Function) = készlethasznosítási függvény 1D Robert MacArthur 2

3 Realisztikus forráshasznosítási görbék RUF-ok és niche dimenziók 2D 3

4 3D Pianka: hasznosítási gömb Kihasználatlan forrás szakaszok = Üres nichek? (Lawton Pteridium aquilinum) 4

5 Ábrázolása: A niche a koegzisztenciális viszonyokat tükrözi! Jellegpolarizáció szaggatott vonal = kezdeti állapot folytonos vonal = végső állapot Egyetlen keresztcsőrű faj (Loxia curvirostra) populációi rátermettségének adaptív felülete eltérő bonyolultságú fenyőtobozok esetében adaptív radiáció (lásd még: niche differenciáció). Keresztcsőrű madárfajok nicheelkülönülést és adaptációt mutatnak a fenyőtoboz pikkelyleveleinek robusztussága szerint. 5

6 Kompetitív viszonyok 2 dimenzióban R1 használatában a 6 populáció közül csak kettő, A és C, míg R2 használatában mind a hat populáció átfed páronként elkülönülten. Niche-szélesség Shannon-Wiener informatikai egyenlet: Diverzitás = a fajok számának és az egyedszámok fajok szerinti eloszlásának egyidejű figyelembe vétele. H ' = n i= 1 p i log p i ahol p i az i-edik egyedek aránya (i = 1, 2, 3,..n) az összeshez képest, n pedig a forrás állapotok száma. Használata a következőképp értelmezhető: 1) Meghatározhatjuk pl. egy fenyő vagy tölgyerdő madárfaj diverzitását. Ekkor az i-k az egyes madárfajok n-ig és p i az egyes fajokhoz tartozó egyedek aránya az összes egyedszámhoz viszonyítva. H az a niche-szélesség, amelyet az adott erdő madárfajok száma tekintetében lefoglal. (Láss egy példaszámítást a jegyzet Függelékében.) C.E. Shannon ( ) A mathematical theory of communication (1948) 2) Kiszámolhatjuk pl. azt a táplálék (niche) szélességet, amellyel egy adott békafaj rendelkezik a fogyasztott táplálék sokfélesége 6 tekintetében. Ekkor az i-k az egyes tápláléktaxonok, amelyeket a béka elfog.

7 Niche átfedés Renkonen-index: P jk n ( = min pij, pik )100 i= 1 p ij és p ik a j és k fajok által az i-dik forrásból használt rész. Itt a források száma ismét n lehet. Példa: az alábbi táblázatban 2 magevő madárfaj (a j és k faj) étrendi átfedését vizsgáljuk 6 növényfaj (forrásállapot) esetében. A j faj az első táplálék növényfaj magjából nem fogyaszt, a k faj ugyanebből 10-et, és így tovább Növény faj(i) p ij p ik j faj k faj , , , , , , , , Arányok a j- fajon belül Arányok a k- fajon belül P jk = , , = 0,076 x 100 = 7,6 % -os átfedést tapasztalunk. 7

8 Generalisták és specialisták Specializáció és generalizáció, mint fenotípusos plaszticitás a forráselérhetőség függvényében 8

9 Miért nem beszélhetünk IDŐ és TÉR niche-tengelyekről? Azért, mert mindkettő csak a forrás hasznosításának egy egy speciális aspektusát jelöli, de maguk nem források! Az időbeli vagy térbeli forrás-használat megosztás nem teszi függetlenné a forrást a fogyasztók számára! Ugyanazon forrás időben elkülönült használata: Éjszaka Nappal 9

10 Ugyanazon forrás térben elkülönült használata 1. (MacArthur Dendroica fajok) 10

11 Ugyanazon forrás térben elkülönült használata 2. leggyakoribb legritkább Szúbogár-fajok térbeli elkülönülése fenyőkön és relatív méretarányaik. 11

12 Niche differenciáció (Galápagos pintyek) Környezeti szemcsézettség (grain) Fajok csomagolása, azaz elrendezésük (egymáshoz való közelségük) egy niche-tengelyen. Lásd pl. hutchinsoni arányok. 12

Az ökológia alapjai NICHE

Az ökológia alapjai NICHE Az ökológia alapjai NICHE Niche Meghatározás funkció ill. alkalmazkodás szerint a növény- és állatfajok élő és élettelen környezetükbe eltérő módon illeszkednek be ott a többi élőlénytől többé-kevésbé

Részletesebben

Rovarökológia alapfogalmak. Dr. Seres Anikó SzIE, MKK Állattani és Állatökológia Tanszék Dr. Bakonyi Gábor és Dr. Sárospataki Miklós diái nyomán

Rovarökológia alapfogalmak. Dr. Seres Anikó SzIE, MKK Állattani és Állatökológia Tanszék Dr. Bakonyi Gábor és Dr. Sárospataki Miklós diái nyomán Rovarökológia alapfogalmak Dr. Seres Anikó SzIE, MKK Állattani és Állatökológia Tanszék Dr. Bakonyi Gábor és Dr. Sárospataki Miklós diái nyomán A félév beosztása Előadások: minden páratlan héten hétfőn

Részletesebben

Szigetbiogeográfia. A tapasztalat szerint:

Szigetbiogeográfia. A tapasztalat szerint: Szigetbiogeográfia A tapasztalat szerint: Aritmetikus tengelyen Logaritmikus tengelyen Általános összefüggése:, ahol C taxonra, abundanciára és lokalitásra jellemző állandó, A a terület mérete és z (linearizált

Részletesebben

POPULÁCIÓBIOLÓGIA 2. Niche, életfeltételek, források

POPULÁCIÓBIOLÓGIA 2. Niche, életfeltételek, források POPULÁCIÓBIOLÓGIA 2. Niche, életfeltételek, források Potenciális vs. tényleges kényszerfeltételek az előbbiek azok, amelyek akkor lehetnek effektíve ható feltételek, ha valamilyen deviációs alapkérdés

Részletesebben

Az ökológia alapjai. Diverzitás és stabilitás

Az ökológia alapjai. Diverzitás és stabilitás Az ökológia alapjai Diverzitás és stabilitás Diverzitás = sokféleség, változatosság a sokféleség kvantitatív megjelenítése biodiverzitás: a biológiai változatosság matematikai (kvantitatív) megjelenítése

Részletesebben

TÁRSULÁSOK ÉS DIVERZITÁS

TÁRSULÁSOK ÉS DIVERZITÁS TÁRSULÁSOK ÉS DIVERZITÁS Vadbiológia és ökológia h Jellemezôi g Törvényszerûen ismétlôdô, g Állandó megjelenésû, g Meghatározott környezeti igényû élôlényegyüttes h Biocönózis = fitocönózis + zoocönózis

Részletesebben

Az információelmélet alapjai, biológiai alkalmazások. 1. A logaritmusfüggvény és azonosságai

Az információelmélet alapjai, biológiai alkalmazások. 1. A logaritmusfüggvény és azonosságai Az információelmélet alapjai, biológiai alkalmazások 1. A logaritmusfüggvény és azonosságai 2 k = N log 2 N = k Például 2 3 = 8 log 2 8 = 3 10 4 = 10000 log 10 10000 = 4 log 2 2 = 1 log 2 1 = 0 log 2 0

Részletesebben

Az Állatökológia tárgya

Az Állatökológia tárgya Információk Szentesi Árpád, egyetemi docens 1. Állatrendszertani és Ökológiai Tanszék 7.727. sz. szoba 8758. sz. tel. mellék e-mail: szentesi@elte.hu 2. MTA Növényvédelmi Kutatóintézete Állattani Osztály

Részletesebben

Rovarökológia. Haszon: megporzás. Bevezetés: rovarok és az ember. Haszon: méhészet

Rovarökológia. Haszon: megporzás. Bevezetés: rovarok és az ember. Haszon: méhészet Haszon: megporzás Táplálékaink 1/3-a a megporzáshoz kötődik Virágos növények evolúciója Bevezetés: rovarok és az ember Terméstöbblet (megtermelt és fogyasztott mennyiség különbsége) pollinátorokkal és

Részletesebben

Kompetíció szerepe a közösségszerkezet alakításában

Kompetíció szerepe a közösségszerkezet alakításában Kompetíció szerepe a közösségszerkezet alakításában Kérdés: befolyásolja-e, és ha igen, milyen mértékben, a fajok közötti verseny a közösség szerkezetét? Az interspecifikus verseny sajátosságai niche-felosztás

Részletesebben

Pedagógiai Kar Tantárgypedagógiai Tanszék. Ökológia. Összeállította: Dávid János. főiskolai docens

Pedagógiai Kar Tantárgypedagógiai Tanszék. Ökológia. Összeállította: Dávid János. főiskolai docens Pedagógiai Kar Tantárgypedagógiai Tanszék Ökológia Összeállította: Dávid János főiskolai docens ÖKOLÓGIAI SZERVEZŐDÉSI SZINTEK biológiai rendszerek: az élő egyedek összessége és az élettelen környezet

Részletesebben

Miért van egyes közösségekben több faj és másokban kevesebb? Vannak-e mintázatok és gradiensek a fajgazdagságban? Ha igen, ezeket mi okozza?

Miért van egyes közösségekben több faj és másokban kevesebb? Vannak-e mintázatok és gradiensek a fajgazdagságban? Ha igen, ezeket mi okozza? Fajgazdagság Miért van egyes közösségekben több faj és másokban kevesebb? Vannak-e mintázatok és gradiensek a fajgazdagságban? Ha igen, ezeket mi okozza? biodiverzitás a természet változatosságának leírására

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =

Részletesebben

Paleobiológiai módszerek és modellek 11. hét

Paleobiológiai módszerek és modellek 11. hét Paleobiológiai módszerek és modellek 11. hét A diverzitás fajtái és mérőszámai Nagy őslénytani adatbázisok: Sepkoski The Fossil Record Paleobiology Database A diverzitás fogalma Diverzitás sokféleség az

Részletesebben

Fajok közötti kapcsolatok

Fajok közötti kapcsolatok Egyedek közötti kölcsönkapcsolatok Környezete = a környék ható tényezôi Fajok közötti kapcsolatok Vadbiológia és ökológia h Az egymásra ható egyedek lehetnek g Fajtársak - interspecifikus kapcsolatok #

Részletesebben

Géprajz - gépelemek. AXO OMETRIKUS ábrázolás

Géprajz - gépelemek. AXO OMETRIKUS ábrázolás Géprajz - gépelemek AXO OMETRIKUS ábrázolás Előadó: Németh Szabolcs mérnöktanár Belső használatú jegyzet http://gepesz-learning.shp.hu 1 Egyszerű testek látszati képe Ábrázolási módok: 1. Vetületi 2. Perspektivikus

Részletesebben

Struktúra nélküli adatszerkezetek

Struktúra nélküli adatszerkezetek Struktúra nélküli adatszerkezetek Homogén adatszerkezetek (minden adatelem azonos típusú) osztályozása Struktúra nélküli (Nincs kapcsolat az adatelemek között.) Halmaz Multihalmaz Asszociatív 20:24 1 A

Részletesebben

1. hét. Neptun kód. Összesen. Név

1. hét. Neptun kód. Összesen. Név 1. hét 1 5 1 3 28 1 1 8 1 3 3 44 1 5 1 3 2 3 1 7 5 1 3 1 45 1 5 1 1 1 6 51 1 1 1 1 1 5 1 2 8 1 7 3 4 8 5 8 1 1 41 1 5 8 1 1 3 46 1 8 1 3 2 33 1 7 8 1 3 38 1 5 7 1 7 1 49 1 1 5 1 1 45 1 8 1 3 31 1 8 8 1

Részletesebben

A ökológia tárgya és alapvető fogalmai, az ökológiai kutatások Krebs (1972): Haeckel (1866): Pianka (1983): Haeckel (1879): Entz (1907):

A ökológia tárgya és alapvető fogalmai, az ökológiai kutatások Krebs (1972): Haeckel (1866): Pianka (1983): Haeckel (1879): Entz (1907): Ökológia alapjai Bevezetés az ökológiába A ökológia tárgya és alapvető fogalmai, az ökológiai kutatások Az ökológia meghatározása körül számos vita merült fel Az ember és bioszféra kapcsolatának tapasztalati

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

2. Alapfeltevések és a logisztikus egyenlet

2. Alapfeltevések és a logisztikus egyenlet Populáció dinamika Szőke Kálmán Benjamin - SZKRADT.ELTE 22. május 2.. Bevezetés A populációdinamika az élőlények egyedszámának és népességviszonyainak térbeli és időbeli változásának menetét adja meg.

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 1. Bevezetés, függvények, sorozatok, határérték Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés, a biomatematika célja 2 Függvénytani alapfogalmak

Részletesebben

Def.: Olyan fajminősítésű populációk együttese, amelyek ugyanazt a forrást hasonló módon használják.

Def.: Olyan fajminősítésű populációk együttese, amelyek ugyanazt a forrást hasonló módon használják. Guildek Def.: Olyan fajminősítésű populációk együttese, amelyek ugyanazt a forrást hasonló módon használják. Például: különböző rendekbe, családokba tartozó herbivor rovarfajok ugyanazon a növényfajon

Részletesebben

TÖBBKOMPONENS RENDSZEREK FÁZISEGYENSÚLYAI IV.

TÖBBKOMPONENS RENDSZEREK FÁZISEGYENSÚLYAI IV. TÖBBKOMPONENS RENDSZEREK FÁZISEGYENSÚLYAI IV. TÖBBFÁZISÚ, TÖBBKOMPONENS RENDSZEREK Kétkomponens szilárd-folyadék egyensúlyok Néhány fogalom: - olvadék - ötvözetek - amorf anyagok Állapotok feltüntetése:

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Diverzitás és stabilitás. Mi a biodiverzitás?

Diverzitás és stabilitás. Mi a biodiverzitás? Diverzitás és stabilitás Szemethy László, Phd egyetemi docens SZIE VMI Szemethy.Laszlo@MKK.SZIE.hu Mi a biodiverzitás? a sokféleség sokfélesége (JNP) tudományos paradigma (tudományterület is) a diverzitás

Részletesebben

Gépi tanulás és Mintafelismerés

Gépi tanulás és Mintafelismerés Gépi tanulás és Mintafelismerés jegyzet Csató Lehel Matematika-Informatika Tanszék BabesBolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2007 Aug. 20 2 1. fejezet Bevezet A mesterséges intelligencia azon módszereit,

Részletesebben

A kurzussal kapcsolatos információk elérhetősége http://zeus.nyf.hu/~szept/kurzusok.htm Irodalom: Standovár T., Primack, R.B. 2001. A Természetvédelmi biológia alapjai. 35-57 oldal, 265-281 oldal Pásztor

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

2. Interpolációs görbetervezés

2. Interpolációs görbetervezés 2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,

Részletesebben

Területi statisztikai elemzések

Területi statisztikai elemzések Területi statisztikai elemzések KOTOSZ Balázs, SZTE, kotosz@eco.u-szeged.hu Módszertani dilemmák a statisztikában 2016. november 18. Budapest Apropó Miért különleges a területi adatok elemzése? A számításokhoz

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Vadbiológia és ökológia II.

Vadbiológia és ökológia II. Vadbiológia és ökológia II. Populációk kölcsönhatásai Dr. Szemethy László Az élőlények nem önmagukban, hanem a legkülönbözőbb módokon együtt élve, életközösséget formálva léteznek. számos esetben kölcsönös

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

A precíziós növénytermesztés döntéstámogató eszközei

A precíziós növénytermesztés döntéstámogató eszközei A precíziós növénytermesztés döntéstámogató eszközei Harnos Zsolt Csete László "Precíziós növénytermesztés" NKFP projekt konferencia Bábolna 2004. június 7-8. 1 A precíziós mezőgazdaság egy olyan farm

Részletesebben

Populáció A populációk szerkezete

Populáció A populációk szerkezete Populáció A populációk szerkezete Az azonos fajhoz tartozó élőlények egyedei, amelyek adott helyen és időben együtt élnek és egymás között szaporodnak, a faj folytonosságát fenntartó szaporodásközösséget,

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Interspecifikus verseny

Interspecifikus verseny Interspecifikus verseny Fogalmak Interspecifikus kompetíció: különböző faji minősítésű egyedek között zajlik a verseny egy, vagy több limitált mennyiségben rendelkezésre álló készletért Két típus: a) exploitatív

Részletesebben

A TERMODINAMIKA II., III. ÉS IV. AXIÓMÁJA. A termodinamika alapproblémája

A TERMODINAMIKA II., III. ÉS IV. AXIÓMÁJA. A termodinamika alapproblémája A TERMODINAMIKA II., III. ÉS IV. AXIÓMÁJA A termodinamika alapproblémája Első észrevétel: U, V és n meghatározza a rendszer egyensúlyi állapotát. Mi történik, ha változás történik a rendszerben? Mi lesz

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

Kérdések, feladatok: 1. Milyen tényezők járulhatnak a populációk génállományának megváltozásához?

Kérdések, feladatok: 1. Milyen tényezők járulhatnak a populációk génállományának megváltozásához? III. BESZÁMOLÓ A populációk genetikai egyensúlya Az ideális populációra mely külső hatásoktól mentes a genetikai egyensúly jellemző. A reális populációkban folyamatos változás jellemző. Ennek következtében

Részletesebben

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:

Részletesebben

Dr. Torma A., egyetemi adjunktus. SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM, Környezetmérnöki Tanszék, Dr. Torma A. Készült: Változtatva: - 1/39

Dr. Torma A., egyetemi adjunktus. SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM, Környezetmérnöki Tanszék, Dr. Torma A. Készült: Változtatva: - 1/39 KÖRNYEZETVÉDELEM 5. Előadás 2011.10.05. Dr. Torma A., egyetemi adjunktus SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM, Környezetmérnöki Tanszék, Dr. Torma A. Készült: 13.09.2008. Változtatva: - 1/39 AZ ÖKOLÓGIA FOGALMA EREDETE

Részletesebben

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész

Részletesebben

Bevezetés az ökológiába Szerkesztette: Vizkievicz András

Bevezetés az ökológiába Szerkesztette: Vizkievicz András Vizsgakövetelmények Ismerje a(z élettelen és élő) környezet fogalmát. Elemezzen tűrőképességi görbéket: minimum, maximum, optimum, szűk és tág tűrés. Legyen képes esettanulmányok alapján a biológiai jelzések

Részletesebben

TÁRSULÁSOK SZERKEZETÉNEK JELLEMZÉSE KVANTITATÍV MÓDSZEREKKEL

TÁRSULÁSOK SZERKEZETÉNEK JELLEMZÉSE KVANTITATÍV MÓDSZEREKKEL TÁRSULÁSOK SZERKEZETÉNEK JELLEMZÉSE KVANTITATÍV MÓDSZEREKKEL A társulások megismerése és tanulmányozása terepi mintavétellel kezdődik. A mintavétel - célja a terület minél alaposabb és torzításmentesebb

Részletesebben

Ökológia alapjai Bevezetés az ökológiába

Ökológia alapjai Bevezetés az ökológiába Az ökológia meghatározása körül számos vita merült fel Ökológia alapjai Bevezetés az ökológiába A ökológia tárgya és alapvető fogalmai, az ökológiai kutatások Simon Edina 2012. szeptember 24. Az ember

Részletesebben

R ++ -tree: an efficient spatial access method for highly redundant point data - Martin Šumák, Peter Gurský

R ++ -tree: an efficient spatial access method for highly redundant point data - Martin Šumák, Peter Gurský R ++ -tree: an efficient spatial access method for highly redundant point data - Martin Šumák, Peter Gurský Recenzió: Németh Boldizsár Térbeli indexelés Az adatszerkezetek alapvetően fontos feladata, hogy

Részletesebben

AZ ADATOK ÉRTELMEZÉSE

AZ ADATOK ÉRTELMEZÉSE Territóriumtartó fajok Ezeknél a fajoknál az ún. territóriumtérképezés klasszikus módszerét alkalmazzuk. Ez abból áll, hogy a mintaterületünkről részletes, 1:10.000 vagy 1:25.000 méretarányú térképet kell

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

8. előadás EGYÉNI KERESLET

8. előadás EGYÉNI KERESLET 8. előadás EGYÉNI KERESLET Kertesi Gábor Varian 6. fejezete, enyhe változtatásokkal 8. Bevezető megjegyzések Az elmúlt héten az optimális egyéni döntést elemeztük grafikus és algebrai eszközökkel: a preferenciatérkép

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Az ökoszisztéma vizsgálata. Készítette: Fekete-Kertész Ildikó

Az ökoszisztéma vizsgálata. Készítette: Fekete-Kertész Ildikó Az ökoszisztéma vizsgálata Készítette: Fekete-Kertész Ildikó Az ökoszisztéma vizsgálata Az ökológia sohasem egyes kiragadott élőlényegyedekkel, hanem azok populációival, azaz halmazszintű attribútumokkal

Részletesebben

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció

Részletesebben

Közösségek jellemzése

Közösségek jellemzése Közösségek jellemzése Egyensúlyi (determinisztikus) Nem-egyensúlyi (sztochasztikus) modellek, rendszerek: Szoros/erős biotikus kapcsolatok Kompetíció A habitatok homogének és telítettek Forráslimitáltság

Részletesebben

Elemi függvények, függvénytranszformációk

Elemi függvények, függvénytranszformációk Elemi üggvények, üggvénytranszormációk Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09. 06. 1 Függvénytani alapogalmak Függvény: két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. Jel.: :

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. szemináriumi. feladatok. Ricardói modell Bevezetés

1. szemináriumi. feladatok. Ricardói modell Bevezetés 1. szemináriumi feladatok Ricardói modell Bevezetés Termelési lehetőségek határa Relatív ár Helyettesítési határráta Optimális választás Fogyasztási pont Termelési pont Abszolút előny Komparatív előny

Részletesebben

Nemzeti alaptanterv 2012 MATEMATIKA

Nemzeti alaptanterv 2012 MATEMATIKA ALAPELVEK, CÉLOK Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

GAZDASÁGI ISMERETEK JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

GAZDASÁGI ISMERETEK JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Gazdasági ismeretek emelt szint 1211 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 24. GAZDASÁGI ISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM I. TESZTFELADATOK

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

HALMAZOK. A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b. jele:. A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van.

HALMAZOK. A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b. jele:. A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van. HALMAZOK Tanulási cél Halmazok megadása, halmazműveletek megismerése és alkalmazása, halmazok ábrázolása Venn diagramon. Motivációs példa Egy fogyasztó 80 000 pénzegység jövedelmet fordít két termék, x

Részletesebben

Stabilitás és komplexitás a közösségekben

Stabilitás és komplexitás a közösségekben Stabilitás és komplexitás a közösségekben Def.: stabilisnak azt a közösséget nevezhetjük, amely hosszú ideig áll fenn (perzisztens) A stabilitás a zavarásra mutatott érzékenységet méri. Megvizsgálandó

Részletesebben

Próba érettségi feladatsor április 09. I. RÉSZ. 1. Hány fokos az a konkáv szög, amelyiknek koszinusza: 2

Próba érettségi feladatsor április 09. I. RÉSZ. 1. Hány fokos az a konkáv szög, amelyiknek koszinusza: 2 Név: osztály: Próba érettségi feladatsor 010 április 09 I RÉSZ Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja A megoldást minden esetben a feladat szövege melletti fehér hátterű

Részletesebben

KÖRNYEZETVÉDELEM- VÍZGAZDÁLKODÁS ISMERETEK

KÖRNYEZETVÉDELEM- VÍZGAZDÁLKODÁS ISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2017. május 17. KÖRNYEZETVÉDELEM- VÍZGAZDÁLKODÁS ISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2017. május 17. 8:00 Időtartam: 120 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK

Részletesebben

12. előadás - Markov-láncok I.

12. előadás - Markov-láncok I. 12. előadás - Markov-láncok I. 2016. november 21. 12. előadás 1 / 15 Markov-lánc - definíció Az X n, n N valószínűségi változók sorozatát diszkrét idejű sztochasztikus folyamatnak nevezzük. Legyen S R

Részletesebben

A települési szegregáció mérőszámai

A települési szegregáció mérőszámai A települési szegregáció mérőszámai Dusek Tamás egyetemi tanár Széchenyi István Egyetem Nagyvárad, 2016. szeptember 16. A szegregáció, mint területi jelenség Elsősorban, de nem kizárólag települési szinten

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Leképezések. Leképezések tulajdonságai. Számosságok.

Leképezések. Leképezések tulajdonságai. Számosságok. Leképezések Leképezések tulajdonságai. Számosságok. 1. Leképezések tulajdonságai A továbbiakban legyen A és B két tetszőleges halmaz. Idézzünk fel néhány definíciót. 1. Definíció (Emlékeztető). Relációknak

Részletesebben

Az F# nyelv erőforrásanalízise

Az F# nyelv erőforrásanalízise Az F# nyelv erőforrásanalízise Góbi Attila Eötvös Loránd Tudományegyetem Támogatta a KMOP-1.1.2-08/1-2008-0002 és az Európai Regionális Fejlesztési Alap. 2012. Június 19. Góbi Attila (ELTE) Az F# nyelv

Részletesebben

Szoftver újrafelhasználás

Szoftver újrafelhasználás Szoftver újrafelhasználás Szoftver újrafelhasználás Szoftver fejlesztésekor korábbi fejlesztésekkor létrehozott kód felhasználása architektúra felhasználása tudás felhasználása Nem azonos a portolással

Részletesebben

Altruizmus. Altruizmus: a viselkedés az adott egyed fitneszét csökkenti, de másik egyed(ek)ét növeli. Lehet-e önző egyedek között?

Altruizmus. Altruizmus: a viselkedés az adott egyed fitneszét csökkenti, de másik egyed(ek)ét növeli. Lehet-e önző egyedek között? Altruizmus Altruizmus: a viselkedés az adott egyed fitneszét csökkenti, de másik egyed(ek)ét növeli. Lehet-e önző egyedek között? Altruizmus rokonok között A legtöbb másolat az adott génről vagy az egyed

Részletesebben

A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA

A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE

Részletesebben

Altruizmus. Altruizmus: a viselkedés az adott egyed fitneszét csökkenti, de másik egyed(ek)ét növeli. Lehet-e önző egyedek között?

Altruizmus. Altruizmus: a viselkedés az adott egyed fitneszét csökkenti, de másik egyed(ek)ét növeli. Lehet-e önző egyedek között? Altruizmus Altruizmus: a viselkedés az adott egyed fitneszét csökkenti, de másik egyed(ek)ét növeli. Lehet-e önző egyedek között? Altruizmus rokonok között A legtöbb másolat az adott génről vagy az egyed

Részletesebben

MATLAB. 5. gyakorlat. Polinomok, deriválás, integrálás

MATLAB. 5. gyakorlat. Polinomok, deriválás, integrálás MATLAB 5. gyakorlat Polinomok, deriválás, integrálás Menetrend Kis ZH Polinomok Numerikus deriválás Numerikus integrálás (+ anonim függvények) pdf Kis ZH Polinomok Sok függvény és valós folyamat leírható

Részletesebben

Termék modell. Definíció:

Termék modell. Definíció: Definíció: Termék modell Összetett, többfunkciós, integrált modell (számítógépes reprezentáció) amely leír egy műszaki objektumot annak különböző életfázis szakaszaiban: tervezés, gyártás, szerelés, szervízelés,

Részletesebben

Általános ökológia előadás II. félév Szabó D. Zoltán

Általános ökológia előadás II. félév Szabó D. Zoltán Általános ökológia előadás II. félév Szabó D. Zoltán http://okologia.wordpress.com Felhasznált és javasolt irodalom: Begon, M., Harper, J.L., Townsend, C.R. 2006. Ecology Individuals, populations and communities.

Részletesebben

VÍZFOLYÁSOK FITOPLANKTON ADATOK ALAPJÁN TÖRTÉNŐ MINŐSÍTÉSE A VÍZ KERETIRÁNYELV FELTÉTELEINEK MEGFELELŐEN

VÍZFOLYÁSOK FITOPLANKTON ADATOK ALAPJÁN TÖRTÉNŐ MINŐSÍTÉSE A VÍZ KERETIRÁNYELV FELTÉTELEINEK MEGFELELŐEN VÍZFOLYÁSOK FITOPLANKTON ADATOK ALAPJÁN TÖRTÉNŐ MINŐSÍTÉSE A VÍZ KERETIRÁNYELV FELTÉTELEINEK MEGFELELŐEN Készítette: Keszthelyi Claudia Györgyi Környezettan BSc Témavezető: Prof. Dr. Padisák Judit Pannon

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a

A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Függvények. Függvények A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a szabadon eső test sebessége az idő függvénye. Konstans hőmérsékleten

Részletesebben

Predáció szerepe a közösségszerkezet alakításában

Predáció szerepe a közösségszerkezet alakításában Predáció szerepe a közösségszerkezet alakításában Def.: A populáció méretet és/vagy a fajgazdagságot befolyásoló hatást zavarásnak (diszturbancia) nevezzük A zavarás lehet: predáció/herbivoria/parazitizmus

Részletesebben

Intraspecifikus verseny

Intraspecifikus verseny Inraspecifikus verseny Források limiálsága evolúciós (finesz) kövekezmény aszimmeria Denziás-függés Park és msai (930-as évek, Chicago) - Tribolium casaneum = denziás-függelen (D-ID) 2 = alulkompenzál

Részletesebben

Módszertani hozzájárulás a Szegénység

Módszertani hozzájárulás a Szegénység Módszertani hozzájárulás a Szegénység Többváltozós Statisztikai Méréséhez MTA doktori értekezés főbb eredményei Hajdu ottó BCE KTK Statisztika Tanszék BME GTK Pénzügyek Tanszék Hajdu Ottó 1 Egyváltozós

Részletesebben

Természetes szelekció és adaptáció

Természetes szelekció és adaptáció Természetes szelekció és adaptáció Amiről szó lesz öröklődő és variábilis fenotípus természetes szelekció adaptáció evolúció 2. Természetes szelekció Miért fontos a természetes szelekció (TSZ)? 1. C.R.

Részletesebben

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? 1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű

Részletesebben

MATLAB alapismeretek IV. Eredmények grafikus megjelenítése: vonalgrafikonok

MATLAB alapismeretek IV. Eredmények grafikus megjelenítése: vonalgrafikonok Alkalmazott Informatikai Intézeti Tanszék MŰSZAKI INFORMATIKA Dr.Dudás László 0. MATLAB alapismeretek IV. Eredmények grafikus megjelenítése: vonalgrafikonok Forrás: İ.Yücel Özbek: Introduction to Matlab

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak Matematikai Modellalkotás Szeminárium 2012. szeptember 4. 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Folytonos

Részletesebben

A talajok összenyomódásának vizsgálata

A talajok összenyomódásának vizsgálata A talajok összenyomódásának vizsgálata Amit már tudni kellene Összenyomódás Konszolidáció Normálisan konszolidált talaj Túlkonszolidált talaj Túlkonszolidáltsági arányszám,ocr Konszolidáció az az időben

Részletesebben

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben? . Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs

Részletesebben

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 9. Együttes eloszlás, kovarianca, nevezetes eloszlások Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés, definíciók Együttes eloszlás Függetlenség

Részletesebben

Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.

Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14. Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint

Részletesebben