orvosbiológiai alkalmazásokhoz

Átírás

1 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Elektronikus Eszközök Tanszék TDK Dolgozat Szalai Albin IV. éves Villamosmérnök hallgató Konzulens: Horváth Gyula, Elektronikus Eszközök Tanszék BME VIK 2007

2 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. Elméleti alapok Szűrők Matematikai jellemzés Szűrő specifikálása Butterworth approximáció Csebisev approximáció Cauer approximáció Egyéb közelítések Frekvenciatranszformációk Szoftveres eszközök Kapcsolt kapacitású szűrők A kapcsolt kapacitású technika elméleti alapjai Hálózatelméleti tárgyalás A z-transzformáció fontosabb következményei A z- és s-tartomány különbségei a tervezés szempontjából Közelítőleg folytonos működés A specifikáció áttranszformálása a mintavételezett tartományba Tervezés Szűrők realizálása Létrahálózatos LC topológia Tow-Thomas biquad topológia Kapcsolt kapacitású szűrők realizációja Létrahálózatos LC megfeleltetés Tow-Thomas biquad megfeleltetés Szimuláció Makromodellek, diszkrét idejű szimulátorok AC válasz meghatározása tranziens analízisből Periodikus kisjelű analízis PSS analízis PAC analízis

3 5. Összefoglalás 40 A. Melléklet 45 A.1. A nyolcad rendű Cauer szűrő kapcsolásai A.1.1. Biquad A.1.2. Létrahálózatos A.2. A tizenketted rendű Csebisev szűrő kapcsolásai A.2.1. Biquad A.2.2. Létrahálózatos A.3. Az ELDO-t és EZWave-et vezérlő scriptek A.4. Mintavevő-tartó Verilog-A megvalósítása A.5. Netlist kiegészítések a periodikus kisjelű analízishez

4 1. Bevezetés A mai elektronikus alkalmazások egy kiemelten fontos területe az orvosbiológia. Ez értendő az orvosi műszerekre és az emberi testbe ültetett implantátumokra egyaránt. Az Elektronikus Eszközök Tanszékén jelenleg egy olyan bőr alá ültethető implantátumot fejlesztünk, ami a szívről jövő jelalakot méri és kiküldi egy külső egység számára. A TDK dolgozatomban ennek a projektnek egy kritikus részét, az értékes frekvenciatartomány zavaró jelektől való megszűrését valósítottam meg. A projektben együttműködő Szélessávú Hírközlés és Villamosságtan Tanszék kutatói mérések alapján arra a következtetésre jutottak, hogy a kiértékeléshez szükséges frekvenciatartomány 0Hz és 40Hz között van. Ez nagy kihívást jelent, ugyanis a korházi környezetben, ahol az eredmények kiértékelése is történik, a jelenlevő műszerek és elektromos berendezések miatt a hálózatból származó 50Hz-es zavar elnyomja az érzékelő hasznos jelét. A teljes implantátum tartalmazni fog egy kis teljesítményű DSP-t, ami a hasznos jel feldolgozását fogja végezni. A szűrést elvileg ezzel a DSP-vel is elvégezhetnénk, de ez megnövelné a DSP méretét, fogyasztását és árát is. A feladat egy kis méretű, alacsony fogyasztású analóg szűrő tervezése, amely 40Hz-ig átenged, felette pedig legalább 50dB-t csillapít. A legnagyobb problémát az jelenti, hogy az alacsony vágási frekvencia miatt a hagyományos tervezési eljárásokkal olyan nagyértékű kapacitások és ellenállások adódnak, amiket monolit technikában csak speciális rétegekkel (amikkel nehéz tervezni és drágák[15]) vagy egyáltalán nem lehet megvalósítani. A megoldást a kapcsolt kapacitás jelenti. Ennek a technikának a segítségével kapacitással és MOS tranzisztorokkal tudunk nagyértékű ellenállásokat megvalósítani. A meglévő hagyományos szűrőkapcsolásokat felhasználva úgy alakíthatunk ki kapcsolt kapacitású áramköröket, hogy az eredeti kapcsolás kapacitásait a megvalósítható tartományba csökkentjük, és az így adódó nagyértékű ellenállásokat kapcsolt kapacitással valósítjuk meg. Természetesen így a hálózat már nem folytonos, ennek az áttérésnek következményei vannak, amiket a hálózat tervezésekor számításba kell venni. Először rendszerezem azokat a szűrőkkel kapcsolatos ismeretanyagokat, amik a konkrét hálózat megvalósításához szükségesek. A kapcsolt kapacitású szűrők elméletét a tervezési problémák oldaláról próbálom megközelíteni, és végül a szimulációs lehetőségeket, problémákat is tárgyalom. 3

5 2. Elméleti alapok 2.1. Szűrők Matematikai jellemzés Egy folytonos tartománybeli analóg szűrőtől azt várjuk el, hogy bizonyos frekvenciákat engedjen át, másokat nyomjon el. Egy frekvenciaszelektív hálózat, amelynek a specifikáció során megadjuk az átviteli függvényét. Az s-tartománybeli átviteli függvény egyértelműen jellemzi az analóg szűrőt. Általános esetben a gyakorlathoz illeszkedő pólus-zérus felírásban a következőképpen néz ki: H(s) = H 0 (s z 0 )(s z 1 )...(s z n ) (s p 0 )(s p 1 )...(s p n ) (1) ahol H 0 a szűrő 0 frekvenciás (DC) erősítése, z 0...z n a zérusok, p 0...p n a pólusok, a függő s változó pedig a komplex frekvencia. Ennek alapján a szűrő leírásához elegendő az (1) tört kifejezés állandóit megadni, az átviteli függvény felírása nélkül. a) b) U be 1Ω 1H 1F U ki jω σ 0.5 c) Erősítés f l f c f h Normalizált frekvencia 1. ábra. Egy sávszűrő a) kapcsolása b) pólus-zérus elrendezése c) amplitúdódiagramja Az átviteli függvényből számos jellemzőt lehet származtatni, amelyek fontosak a tervezés szempontjából. Tulajdonképpen először az adott feladatnak megfelelően ezekre a jellemzőkre adunk specifikációt, és matematikai módszerekkel a specifikációhoz határozzuk meg az átviteli függvényt. Az alábbi néhány bekezdés a fontosabb szűrőjellemzőket mutatja be.[11] A komplex átviteli függvény abszolút értékének és fázisának menetét adja meg a Bode diagram az amplitúdó- (1. c) ábra) és a fázisdiagramban. A zérusok és pólusok lehetnek valós számok, 4

6 vagy konjugált komplex gyökpárok. Pólus-zérus diagramban ábrázolva őket elhelyezkedésük a komplex frekvenciasíkon szemléletessé tehető (1.b ábra). A szűrő rendjét az átviteli függvényben az s komplex frekvencia legmagasabb hatványkitevője határozza meg. Ez a szám csak pólusokat tartalmazó hálózat esetén megegyezik a szűrő áramkörben található reaktáns elemek, tehát a hálózat állapotváltozóinak számával. A szükséges minimális rendszám minden közelítés esetére meghatározható, ehhez a közelítésekre jellemző egyenlőtlenségeket és a később szereplő toleranciasémát kell használni. A szűrő jellege a számlálótól függ. Ilyen értelemben megkülönböztetünk aluláteresztő, felüláteresztő, sáváteresztő, sávzáró és mindent áteresztő karakterisztikát, attól függően, hogy az amplitúdókarakterisztikában hogyan helyezkednek el áteresztő, illetve záró tartományok (2. ábra). a) b) c) d) e) a a a a a ω ω ω ω ω 2. ábra. a) aluláteresztő b) felüláteresztő c) sáváteresztő d) sávzáró e) mindent áteresztő karakterisztika A vágási frekvencia Butterworth közelítésben a legnagyobb erősítéshez képest a 3 db-nyi csökkenés helyét adja meg a frekvenciatengelyen, más közelítésekre ez a meghatározás különböző lehet. Sáváteresztő és sávzáró karakterisztika esetén két különböző vágási frekvencia adódik, itt a frekvenciamenet jellemzéséhez további adatok szükségesek, mindent áteresztő esetben csupán a fázismenet fontos. A 2. ábra jellegzetes tartományait a vágási frekvenciák határolják. Egy hálózat karakterisztikáját kézi módszerekkel is fel tudjuk vázolni, ha alkalmazzuk azt a közelítő szabályt, hogy minden egyszeres pólus a pólusfrekvenciájától nagyobb értékekre 20 db/dekád vágást okoz a frekvenciatengelyen. Egyszeres zérusok esetén ezzel ellentétben 20 db/dekád meredekségű kiemelés következik be a zérusfrekvenciától számítva. A szűrők igen gyakran tartalmaznak kétszeres pólusokat és zérusokat, ekkor 40 db/dekáddal kell számolni. Az ilyen módszerrel meg-rajzolt törtvonalas karakterisztika közel van a valóságos karakterisztikához és alkalmas a hálózat viselkedésének előzetes becslésére. Fontos jellemző a szűrő Q jósági tényezője. Általánosságban egy hálózatra a jósági tényező: Q = 2π E max E cdissz (2) ahol E max a maximális tárolt energia, E cdissz a ciklusonként disszipált energia. Ez az átvitel ismeretében meghatározható, általános esetben viszont kevéssé szemléletes. A gyakorlatban fontos másodfokú átviteli függvény (3) esetén egyszerű az átvitel paramétereivel történő megfeleltetés. 5

7 H(s) = a 2s 2 a 1 s a 0 = a 2(s z 1 )(s z 2 ) s 2 b 1 s b 0 (s p 1 )(s p 2 ) (3) (3)-t nevezik bikvadratikus függvénynek is[4]. Komplex pólusokra és zérusokra, amikor z 2 = z 1 és p 2 = p 1, (3) átalakul a kifejezéssé, amiben ( ) H(s) = C s2 [2R(z 1 )]s R(z 1 ) 2 I(z 1 ) 2 s 2 [2R(p 1 )]s R(p 1 ) 2 I(p 1 ) = C s2 ωz Q z s ω 2 z 2 s 2 ( ) ω p (4) Q p s ω 2 p ω p = R(p 1 ) 2 I(p 1 ) 2 ω z = R(z 1 ) 2 I(z 1 ) 2 (5) A gyakorlat szempontjából a konjugált komplex pólusok esete fontos, mivel az egyszeres pólusokat elsőfokú RC-taggal egyszerűbb realizálni. Q p pólusjósági tényező szemléletes jelentése az ω p pólusfrekvencia körüli kiemelés élessége az átvitelben[18], meghatározása a Q p = ω p 2R(p 1 ) képlettel történik. Ugyanígy Q z zérusjósági tényező az átvitel minimumának a mélységét karakterizálja: (6) Q z = ω z 2R(z 1 ) (7) Másodfokú hálózat esetén a 2. ábrának megfelelő karakterisztikák a (3) számlálójának állandóitól a következőképpen függenek: aluláteresztő esetben a 2 = a 1 = 0, felüláteresztőnél a 1 = a 0 = 0, sávátersztőnél a 2 = a 0 = 0, sávzárónál a 1 = 0, mindent áteresztőnél pedig egyik együttható sem 0. További jellemző a vágási meredekség, értékét db/dekád vagy db/oktáv egységben szokás megadni. Bizonyos esetben külön meg kell adni a vágási frekvencia közelében is, mivel ott igen éles vágás is megvalósítható, amennyiben két közeli frekvenciakomponens közül az egyiket ki kell szűrni. Az egységugrásra adott tranziens választ szintén ismerni kell, az ebben mutatkozó lengés a jósági tényezővel mutat egyenesen arányos összefüggést. Az amplitúdókarakterisztika monotonitását is szokás vizsgálni, nem csupán globális, hanem lokális értelemben is. Ezzel kapcsolatos az áteresztési tartományban tapasztalható ingadozás. Egyes esetekben ez nem kritikus paraméter, de értékét általában igyekeznek 1dB alatt tartani. Amennyiben a jel a záró tartományban megfelelő mértékben csillapított, a záró tartománybeli ingadozás figyelmen kívül hagyható. 6

8 Szűrő specifikálása Egy szűrőt több féle módon is specifikálhatunk. Megadhatjuk magát az átviteli függvényt, vagy leírhatjuk azt, hogy milyen működést várunk el tőle. Ez abban az esetben, ha ideális szűrőkarakterisztikákra gondolunk, akkor gyakorlatilag csak a szűrő jellegét (pl. aluláteresztő) és a hozzá tartozó töréspontot vagy pontokat tartalmazza. A valóságban ezek a szűrők nem állíthatóak elő, ezért meg kell adni, hogy az ideális szűrőkarakterisztikától mekkora eltérést engedünk meg, erre való a toleranciaséma. H(jω) Átmeneti tartomány A max Áteresztő tartomány ω 0 ω s Záró tartomány Csillapítás ω 3. ábra. Egy aluláteresztő szűrő toleranciasémája Látható, hogy egy toleranciasémát végtelen sok karakterisztika kielégíti, ezért egyéb megfontolások alapján kell kiválasztani a számunkra legmegfelelőbbet. A jó tervezhetőség és a realizáció miatt ezeket a karakterisztikákat analitikus alakban kell felírni. A valóságos karakterisztikák matematikai közelítésére több modell létezik. Ezek összetett matematikai levezetéseken alapulnak, táblázatok és szoftverek segítségével jól használhatók anélkül, hogy a szűrő tervezése közben a matematikai háttérrel behatóan foglalkoznánk. Ehhez elegendő a különböző közelítések legfontosabb tulajdonságait ismerni Butterworth approximáció A maximális laposságú vagy más néven Butterworth típusú referens aluláteresztő függvénycsalád átvitele 1 H(s) = (8) 1 B 1 s B 2 s 2... B n s n alakú, tehát csak pólusai vannak. Olyan módon optimalizált, hogy abszolút értéke az ω = 0 helyen a lehető legjobban simul a vizszintes tengelyhez. Ennek eredményként az átvitel abszolút értéke a következő: 1 H(jω) = 1 ( ) (9) 2n ω ω 0 A vágás meredeksége szintén sima, és minden egyes pólus 20dB-el járul hozzá a meredekséghez. n a szűrő rendjét jelöli, a vágási frekvencia pedig 1rad/s-ra normált. Különböző rendű aluláteresztő szűrők karakterisztikáját mutatja a 4. ábra, ugyanezen szűrők ugrásválaszaival 7

9 Nevező együtthatók s n a n1 s n1 a n2 s n2... a 1 s a 0 n a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a táblázat. Butterworth polinomok [11] együtt. Értelemszerűen a több pólus, a magasabb rend meredekebb vágást eredményez, de több késleltetést az ugrásválaszban és nagyobb lengést n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n= n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n= Erosites [db] 30 Amplitudo Normalizalt frekvencia Ido [s] 4. ábra. Különböző rendű Butterworth szűrők átvitele és tranziens válasza A különböző rendű szűrőkhöz tartozó nevező együtthatókat táblázatokból lehet kiolvasni. A gyakorlathoz jobban illeszkedik a másod-, illetve elsőrendű tagokra bontott változat, mivel általában másodfokú tagok kaszkád kapcsolásával építik fel a szűrőket Csebisev approximáció A Csebisev típusú approximáció jellegzetessége, hogy az áteresztőtartományban az átvitel értéke a megengedett határok között egyenletesen ingadozik, majd az ω H frekvencia fölött monoton csökken. Az átviteli függvénynek csak pólusai vannak, hasonlóan a maximális laposságú átvitelhez. Így azonos fokszám mellett azonos meredekségű a Bode-diagram aszimptotája is a 8

10 zárótartományban. Az áteresztő tartományból való kilépés azonban az ingadozás következtében meredekebb, és ezért az aszimptota kisebb frekvencián metszi az ω tengelyt, mint a hasonló áteresztő sávi specifikációt teljesítő maximálisan lapos átviteli függvény aszimptotája. 0 Csebisev Butterworth 5 10 Erosites [db] Normalizalt frekvencia 5. ábra. Az áteresztő tartományban megegyező specifikációjú azonos fokszámú Butterworth és Csebisev referens aluláteresztők összehasonlítása Ez szigorúbb zárósávi specifikációt tesz lehetővé, illetve az azonos specifikációt kisebb fokszámmal teljesíti, mint a maximálisan lapos átviteli függvény, a tranziens válasz viszont rosszabb minőségű. A karakterisztikában n 1 lokális csúcs jelenik meg n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=10 1 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n= Erosites [db] Amplitudo Normalizalt frekvencia Ido [s] 6. ábra. Csebisev szűrők ingadozása és tranziens válasza Cauer approximáció Adott fokszám mellett a legszigorúbb specifikáció a Cauer vagy más néven elliptikus átviteli függvénnyel teljesíthető. Ennek átvitele mind az áteresztő, mind a zárótartományban egyenletesen ingadozik a megengedett határok között, ezért az átmeneti tartományban az azonos fokszámú approximációk közül a legnagyobb meredekségű. Az előző típusokkal ellentétben ez 9

11 egy vagy több zérust tartalmaz az átviteli függvényében, amelyeknél a szűrő teljes vágást okoz. Ennek hátulütője viszont a rendkívül nemlineáris fáziskarakterisztika és a zárótartományban tapasztalható nagymértékű ingadozás. Magnitude (db) and Phase Responses Magnitude (db) Phase (radians) Normalized Frequency ( π rad/sample) ábra. Elliptikus sávszűrő átvitele és fázisdiagramja A 8. ábrán egy n = 5 fokszámú elliptikus átviteli függvény abszolút értéke látható. A zérusok hatására az átmeneti tartományban az átvitel meredeken csökken az a s érték alá, ugyanakkor azonban az ω határesethez tartozó aszimptota meredeksége 20dB/dek, ami kisebb, mint az azonos fokszámú, csak pólusokból álló átviteli függvényé. Tehát a Cauer típusú approximáció úgy éri el a szigorúb specifikációt, hogy az ω >> ω s -nél kevésbé teljesíti túl a lépcsős toleranciasémával megadott követelményt Egyéb közelítések Az előbbiekben felsoroltakon kívül léteznek még más közelítések is, melyek a szűrő egyéb más jellemzőinek optimális beállítására lettek megalkotva. Ilyen a Gauss közelítés, amely a legalacsonyabb csoportkésést szolgáltatja. A Legendre közelítés végig monoton és szintén csak pólusokat tartalmaz, emellett a lehető legmagasabb vágási meredekségre optimalizálták. A Csebisev közelítéshez hasonló az inverz Csebisev, azzal a különbséggel, hogy ez az áteresztőtartományban monoton és a zárótartományban van ingadozása. Léteznek alkalmazásspecifikus közelítések is, ilyen a távközlésben használt emelt koszinuszos (Raised Cosine) szűrő és az illesztett (Matched) 10

12 8. ábra. Elliptikus típusú referens aluláteresztő Bode-diagramja[9] szűrő. Az orvosbiológiai szűrő tervezése során a fenti optimalizálási szempontok nem játszanak szerepet Frekvenciatranszformációk Az előzőekben leírt közelítési eljárások mind aluláteresztő karakterisztikára adják meg az átviteli függvényt. Más specifikációjú szűrőkre mégsem kell újabb közelítési eljárásokat kidolgozni, mivel a frekvenciaváltozó áttranszformálható. A közelítéssel meghatározott aluláteresztő átviteli függvény az ún. aluláteresztő prototípus. Ennek jelöljük s -vel a változóját, az eltérő jellegű szűrő változója pedig legyen s! A frekvenciatranszformáció lényege, hogy találjunk a két változó között egy s = F(s) (10) leképezést, oly módon, hogy az aluláteresztő prototípus áteresztő illetve záró tartományát átvigyük a konkrét szűrő áteresztő illetve záró tartományába (tartományaiba). Ez a függvény a legegyszerűbb esetben aluláteresztő karakterisztikából felüláteresztőbe való átalakítás esetén s = 1 s (11) A TDK dolgozatban aluláteresztő szűrőt kell megtervezni, a frekvenciatranszformációk további részletes tárgyalására nem térek ki Szoftveres eszközök Ahogy az előzményekből kitűnik, a konkrét specifikációnak megfelelő átviteli függvény meghatározásához viszonylag bonyolult matematikai apparátus és hosszadalmas számolások szükségesek, és eddig a pontig a realizálás, az elektronikai kérdések még fel sem merültek[19]. A mérnökök dolgát megkönnyítendő, jól kidolgozott és bevált algoritmusokat használó szűrőtervező programok sokasága áll rendelkezésre, amelyek önálló szoftverként vagy tervezőrendszerek beépített szolgáltatásaként üzemelnek. Egyben többféle implementálási módszert is tartalmaznak, a felhasználó kiválaszthatja azt a szűrőstruktúrát, amit meg szeretne valósítani. Így a program azokat az algoritmusokat is végrehajtja, amelyek az átviteli függvény elektronikai realizálása kapcsán válnak szükségessé. 11

13 2.2. Kapcsolt kapacitású szűrők A szilíciumon megvalósított aktív szűrők legnagyobb problémája, hogy nagyon korlátozott a megvalósítható passzív elemek nagysága. A kondenzátorok kapacitása maximum 6 700pF, az ellenállások maximális ellenállása pedig néhány 100kΩ lehet. Alacsony vágási frekvencián ezeknél az értékeknél lényegesen, akár több nagyságrenddel nagyobb értékek is szükségesek lehetnek. A kapcsolt kapacitású technikával ez a korlát kerülhető meg. Ha a hálózatban szereplő kapacitások értékét a megvalósítható tartományba csökkentjük, akkor M Ω, GΩ nagyságrendű ellenállások adódnak. Ezeket a nagyértékű ellenállásokat lehet nagy pontossággal megvalósítani kapcsolt kapacitású ellenállásokkal. A szűrő struktúrája nem változik meg ettől, azonban a szűrő ekkor már nem folytonos, hanem diszkrét hálózat. A szakirodalom mintavételezett analóg rendszerként tárgyalja. A kapcsolt kapacitások nagy előnye, hogy mivel az ekvivalens ellenállás értékét az alkalmazott kapacitás és a kapcsolókat vezérlő órajel frekvenciája határozza meg, ezért a már legyártott eszköz ekvivalens ellenállás értékét a kapcsoló frekvencia változtatásával hangolhatjuk. Ezzel a módszerrel egy szűrő vágási frekvenciája akár 0.2% pontossággal is beállítható. A mintavételezésnek a maximális működési frekvenciához képest több 10-szeresnek 100-szorosnak kell lennie, ezért a tipikusan használt maximális vágási frekvenciák a néhány M Hz nagyságrendbe esnek. Ez az egyik hátránya ennek a technikának. Mivel a kapcsolt kapacitás a valódi ellenállás zajteljesítményét szolgáltatja, ezért a kapcsolt kapacitású szűrők a legzajosabbak. Az órajel is előrecsatolódik a szűrő kimenetére, s az alkalmazástól függ, hogy ez a nagyfrekvenciás zavar megengedhető-e vagy sem. Ami egyedülálló a többi szűrőhöz képest, 0.1Hz határfrekvencia is megvalósítható ésszerű méretek mellett. Annak következtében, hogy a kapcsolt kapacitású szűrő mintavételezett hálózat, szivárgás (aliasing) léphet föl, amennyiben a bemeneti jel a mintavételezési frekvencia felénél nagyobb frekvenciájú és még érzékelhető amplitúdójú komponenseket tartalmaz, vagyis nem sávhatárolt A kapcsolt kapacitású technika elméleti alapjai A kapcsolt kapacitású technika lényegét a legszemléletesebben a rezgőkondenzátorral megvalósított ellenálláson lehet bemutatni[5]. a) b) 1 2 U 1 U 2 U 2 C 1 U 1 C 1 R ekv 1 2 n 1 n t T 9. ábra. A rezgőkondenzátorral megvalósított ekvivalens ellenállás n 1 2 n 1 2 t T A két NMOS tranzisztor kapcsolóként működik, és két egymással át nem lapolódó órajellel vezéreljük őket. Minden balról-jobbra történő átkapcsolás során először az U 1 feszültségű ponton feltöltődik az U 1 feszültségre, majd a töltést átviszi az U 2 feszültségű pontra, vagyis lényegében 12

14 töltéstranszport történik. Amikor a kapacitás az U 1 feszültségű pontra kapcsolódik, a töltése Q 1 = C U 1. A U 2 feszültségű ponthoz kapcsolódva a töltés új értéke Q 2 = C U 2. Így a két csomópont között szállított töltés Q = Q 1 Q 2 = C (U 1 U 2 ) (12) A kapcsoló órajelnek megfelelően egy T = 1 f s hosszúságú periódus alatt egyszer viszi át ezt a töltésmennyiséget a két csomópont között. A töltés áramlás definíciószerűen áramot jelent, s így azt mondhatjuk, hogy a rezgő kapacitás hatására áram folyik a két pont között. Ha a két csomópont frekvenciájához képest sokkal ( szor) gyorsabban kapcsolgatjuk a kapacitást, U 1 és U 2 között az átfolyó áram átlagos értéke I ekv Q T = Q f s = f s C(U 1 U 2 ). (13) A két pont feszültség-különbsége és az átfolyó áram hányadosaként definiálhatunk egy R ekv ekvivalens ellenállást, amelyet a továbbiakban az áramkör jellemzésére használhatunk. R ekv = U 1 U 2 I ekv = 1 C 1 f s (14) Hálózatelméleti tárgyalás Egy kapcsolt kapacitású áramkör működésének alapos vizsgálatához vegyünk egy egyszerű blokkot, az invertáló, veszteséges, kapcsolt kapacitású integrátort (10. ábra). (A kapcsolás a switch sharing kapcsolón való osztozás elve alapján egyszerűsíthető[21], mivel C 1 és C 2 egymás felé néző fegyverzetei ugyanabban a fázisban kapcsolódnak vagy az invertáló bemenetre, vagy a földre, ezért C 2 baloldali kivezetése közvetlenül C 1 jobb oldali kivezetéséhez köthető, és két tranzisztor fölöslegessé válik. 1 1 C C 1 V be C F V ki ábra. Veszteséges invertáló integrátor Ezzel a módszerrel sok esetben lehet egyszerűsítéseket végrehajtani. Ideális ellenállásokkal a hálózatra vonatkozó differenciálegyenletről az s-tartományba áttérve és megoldva azt a folytonos 13

15 s-tartománybeli átvitel V ki (s) V be (s) = R 2 R 1 (1 sr 2 C F ) = C 1 C F f c jω f c C 2 C F (15) lenne, ahol R 1 és R 2 C 1 és C 2 kapcsolgatásából adódó ellenállások. Ez a levezetés itt azonban nem végezhető el, mivel a hálózat nem folytonos működésű. A működés pontos leírásához és a korrekt hálózatelméleti tárgyaláshoz meg kell vizsgálni az áramkör működését periódusról periódusra. Ezt segíti a 15. ábra, ahol az integrátor ekvivalensei láthatók 1 illetve 2 magas logikai értékére, a 10. ábra jelöléseit használva az n-edik, illetve az ( n 1 2) -ik szakaszban. a) C 2 b) C 2 C F C F V be (n) C 1 V ki (n) C 1 ( ) V ki n ábra. Az integrátor ekvivalens a) 1 b) 2 magas értékére A matematikai leíráshoz tegyük fel, hogy a bemenet egy periódus alatt pillanatszerűen egyszer vált értéket, 1 alatt. Így a következő ( ) 2 alatt a bemenet változatlan, azaz v be n 1 2 = v be (n 1). Az áramkör leírását 1 alatt a 11. a) ábra ekvivalensét felhasználva a neminvertáló csomópontra vonatkozó áramegyenlettel célszerű elvégezni: i(t) = C 1 dv be dt = (C F C 2 ) dv ki dt Ahhoz, hogy töltésekre vonatkozó egyenletet kapjunk (Q = CU), (16)-ot ki kell integrálni a 9. b) ábra normalizált időtengelyén az előző, ( n 1 2) -ik időponttól a jelenlegi, n edik időpontig: ( (C F C 2 )v ki (n) (C F C 2 )v ki n 1 ) ( = C 1 [v be (n) v be n 1 )] 2 2 Az egyszerűsítés a 11. b) ábra alapján adódik, amely szerint C 1 és C 2 töltése 2 alatt 0, ezért (17) így módosul: ( (C F C 2 )v ki (n) C F v ki n 1 ) = C 1 v be (n) (18) 2 Továbbá ( mivel) 2 alatt a műveleti erősítő és C F el vannak izolálva az előző, (n1)-edik periódus óta, v ki n 1 2 = vki (n1). Ez annak is köszönhető, hogy C 2 leválasztása a kimeneti feszültséget nem változtatja meg. (18) tehát átírható az alábbi, végleges alakra: (16) (17) C F [v ki (n) v ki (n 1)] C 2 v ki (n) = C 1 v be (n), (19) amely a hálózat dif f erencia egyenlete. Ez diszkrét idejű hálózatot ír le, amelyet a mintavételezett z-tartományban lehet tárgyalni. 14

16 A z-transzformáció fontosabb következményei A kapcsolt kapacitás következtében egy kapcsolt kapacitású áramkör mintavételezett hálózatnak tekinthető. A mintavevő fázis (az előző példában 1 ) alatt némileg változik ugyan a bejövő jel értéke, átkapcsoláskor viszont a kapacitás az adott végső értéken van, tehát jóformán érdektelen, hogy milyen kis mértékben változott a töltése a mintavevő szakaszban. Ennek megfelelően a hálózat a bemeneti jelet mintavételezi és úgy dolgozza fel. A folyamat matematikailag úgy írható le, hogy a bemeneti belépő x(t) jelet megszorozzuk egy mintavevő s(t) (sampling) jellel. A mintavevő jel egy periódusban általános esetben τ ideig végzi a mintavételezést. Eszerint a mintavett jel időbeli leírása a következő: x s (t) = x(t)s(t) = K x(nt)[ε(t nt) ε(t nt τ)] (20) n=0 ahol ε(t) az egységugrás függvény. A K szorzó értéke 1, ezzel normalizáljuk azonos teljesítményre τ a mintavételezett jelet. Mivel ez folytonos időtartománybeli leírás, elvégezhető rajta a Laplacetranszformáció: X s (s) = L{x s (t)} = K n=0 ( 1 x(nt) s esnt 1 ) s e(sntτ) = 1 1 e sτ τ s x(nt)e snt (21) n=0 A szummázás előtti állandó a τ mintavételező pulzus hosszától függ, τ értéke azonban általában annyira kicsi, hogy a határértékszámítást elvégezve az állandó 1-nek adódik. Figyelembe véve, hogy egy mintavevő pulzus integrálja 1, és a τ időtartam 0-hoz tart, az s(t) mintavevő jel jó közelítéssel Dirac-delták sorozatának tekinthető. Ez (21)-ből is látszik, hiszen a szummázáson belül minden e-ados tag egy nt idővel eltolt Dirac-delta. (21) átírható: X s (s) = x(nt)e snt = x(nt)z n, (22) n=0 n=0 ahol bevezettük a z = e st változót. Ez az x s (t) jel egyoldalas z-transzformáltja, ahol a T periódusidő érdektelen, ezért elhagyható (vagy egy más felfogás alapján értéke elméletben 1- nek vehető). Az új jelöléssel, ahol a z-transzformáció szimbóluma is jelölve van: L{x(nT)} = Z{x(n)} = X(z) = x(n)z n (23) n=0 Mivel a frekvenciatartománybeli viselkedés a vizsgálatunk legfőbb témaköre, nézzük meg, hogy mit okoz a mintavételezés a frekvenciatartományban. Az s(t) mintavevő jel Fourier-sora: s(t) = k= C k e jkωct, (24) ahol ω c = 2π T a mintavételi körfrekvencia és C k = 1 T T 2 T 2 s(t)e jkωct dt = 1 T 15 T 2 T 2 δ(t)e jkωct dt = 1 T, (25)

17 így 1 F {x s (t)} = F {x(t)s(t)} = F T A mintavételezett jel spektruma tehát: x(t)e jkωct k= = 1 T k= F { x(t)e jkωct} (26) X s (jω) = 1 T k= X[j(ω kω c )] (27) (27) következménye, hogy a bemeneti x(t) jel alapsávi spektruma a mintavételezés következtében feltranszformálódik az ω c mintavételi frekvencia egész számú többszöröseire. Ebből az következik, hogy az ω B sávszélességű bemeneti jelet (12. a) ábra) Shannon mintavételezési törvénye szerint legalább 2ω c körfrekvenciával kell mintavételezni (12. c) ábra), hogy elkerüljük a többszöröződött spektrumok átlapolódását (12. b) ábra). a) b) X(jω jkω s) ω c < 2ω B X(jω) 2ω B ω c ω B 0 ω Bω c 2ω B ω ω B 0 ω B ω c) X(jω jkωs) ω c > 2ω B ω c 2ω B ω B 0 ω B 2ω B ω c ω 12. ábra. a) Alapsáví spektrum b) Helytelen mintavételezés c) Helyes mintavételezés Ez a feltétel a gyakorlatban több szempontból kifolyólag is teljesül. A mintavételi frekvenciát a sávszélesség többszörösére választják, hogy az áramkör a folytonos működést minél inkább közelítse (ld ). Másrészt a gyakorlati bemenő jelek nem sávhatároltak, ω B felett ha máshonnan nem is, zajforrásokból származó komponenseket tartalmaznak. Ez a tartomány ω c többszörösére felkeveredve éppen az alapsávba kerülhet. Ennek megelőzésére a szűrő bemenetén egy ún. anti-aliasing aluláteresztő szűrőt helyeznek el, amely ω B ig átereszt, afölött vág. Ha ω c jóval nagyobb, mint ω B, az anti-aliasing szűrőnek sokkal enyhébb specifikációnak kell megfelelnie, jóval tágabb lesz az átmeneti tartománya, így első- vagy másodfokú aktív szűrő, de akár egy RC-tag is el tudja látni ezt a feladatot. Mindezekből következik, hogy a kapcsolt kapacitású áramkör kimenetére is el kell helyezni egy egyszerű szűrőt, amely a többszöröződött spektrumokat kiszűri, és csak alapsávban enged át. ω c tekintetében tehát a kimeneti helyreállító (reconstruction) szűrő szempontjából is előnyös a túlmintavételezés. A kimeneti szűrés a kimeneti jel lépcsőzöttségét is enyhíti. A lépcsőzöttség abból adódik, ahogy az integrátor példáján láttuk, hogy 2 alatt a kimenet nem változott, tartotta kiindulási értékét. A mintavételezés tehát együttjár a tartással is, a kapcsolt kapacitású rendszer hálózatelméleti felépítését ábrázoló blokkdiagram ezért ki- és bemeneti elméleti mintavevő-tartó (S/H: Sample 16

18 (S/H)be Folytonos anti-aliasing szűrő 1 2 Kapcsolt kapacitású hálózat (S/H)ki Folytonos helyreállító szűrő ábra. Egy általános kapcsolt kapacitású rendszer elméleti blokkdiagramja and Hold) egységgel egészül ki (13. ábra). (A valóságban az S/H blokkok magában a kapcsolt kapacitású hálózatban realizálódnak.) A kimeneten viszont nem a 12. c) ábrának megfelelő azonos súlyú spektrumok közül kell szűrni. A tárgyalás során (21) szummációs indexe előtti tagot 1-el közelítettük. A kifejezésben s-sel, a valós frekvenciatartományba való áttérés után jω- val való szorzás is van. Az alapsávban a közelítés jogos volt, ω c többszörösein viszont a kifejezés 1-től való eltérése számottevővé válik. A kifejezésben τ-t T-vel lehet helyettesíteni, mivel a mintavételezés után a vett érték T ideig nem változik, így a kifejezést átírva, képletesen az elméleti S/H egység átvitele: ami a jω tengelyen így módosul: H S/H (jω) = 1 ejωt jωt H S/H (s) = 1 est st = ejω T 2 e jω T 2 jωt, (28) sin ( ) ωt e jω T 2 2 = e jω T 2 (29) Az S/H funkció miatt tehát a rendszer átvitele a sin(x) függvény szerint súlyozódik. Ennek a x hatása a mintavételi frekvencia többszörösein válik láthatóvá, ahogy a 14. ábra is mutatja, ahol a kimeneti spektrum látható, a helyreállító szűrő bemenetén. ωt A z- és s-tartomány különbségei a tervezés szempontjából Mivel a kapcsolt kapacitású szűrőt folytonos jel szűrésére használják, a folytonos szűrőkre kidolgozott közelítési eljárások használatosak kapcsolt kapacitású szűrő karakterisztikájának specifikálásakor is. De hogy módosítja az eljárást azt, hogy a kapcsolt kapacitású hálózat korrekt leírása a z-tartományban történik? Az s-tartomány változója s = σ jω, az s- és z-tartomány közötti áttérés definíciója z = e st = e σt e jωt (30) z abszolút értéke z = e σt, (31) 17

19 X ki (jω) X d (jω) X be (jω) X S/H (jω) 2ω c ω c ω c 2ω c 14. ábra. A mintavett rendszer kimeneti spektruma a helyreállító szűrő előtt ω ami σ < 0 esetén (s a baloldali síkon van a 19. ábrán) z < 1-et eredményezi. Valós, fizikai frekvenciákra (σ = 0,s = jω) z = e jωt 1 (32) Tehát (30) az s-sík jω tengelyét a z-síkban az egységkörre képezi le, az s-sík bal felét pedig az egységkörön belülre. Az s-sík jobb oldala a z-tartomány egységkörén kívülre képződik le. Így az egyik különbség, hogy a folytonos tartományban a jω tengelyen megadott szűrő specifikációk az egységkörre kerülnek át a z-síkon, valamint a folytonos s-tartomány stabil pólusai a z- tartományban az egységkörön belül helyezkednek el. s-sík I{s} z-sík I{z} j ωc 2 ω 0 σ R{s} 1 ω 0 T 1 R{z} j ωc 2 e σt 15. ábra. Leképezés az s-tartományból a z-tartományba A két tartomány között jelentős eltérés fakad abból, hogy (30) leképezés z-t periodikussá teszi, ugyanis (30) kitevőjéhez j2πm-et adva z nem változik, ahol m bármilyen egész szám. Ezért (30) leképezés az s-tartománynak csupán egy vízszintes szeletét viszi át, amelyre igaz, hogy ω < ωc. 2 Az s-sík további részeinek leképzéséhez további z-síkok szükségesek, mivel ezek a tartományok ugyanazon a z-síkon átlapolnák egymást Közelítőleg folytonos működés A kapcsolt kapacitású veszteséges, invertáló integrátor (19) differenciaegyenletéből könnyen képezhető a hálózat z-tartománybeli átvitele, ha alkalmazzuk azt a szabályt, miszerint a normalizált időtengelyen az l periódussal történő eltolás megfelel a z l -lel való szorzásnak a z- tartományban. Így (19)-re alkalmazva a z-transzformációt: C F [v ki (z) z 1 v ki (z)] C 2 v ki (z) = C 1 v be (z) (33) 18

20 Ebből rendezés után az átvitel: V ki (z) V be (z) = C 1 1 C F 1 z 1 C = C 1 2 C F C F 1 T 1 T (1 z1 ) 1 T ( C2 C F ), (34) ahol az 1 T -vel való szorzás a következő közelítés miatt szerepel: ha st 1, azaz ω ω c, jó közelítéssel érvényes e st 1 st, így Ezt felhasználva (23)-ban ahogy ez (15)-ben is szerepelt. 1 T (1 z1 ) 1 (1 1 st) = s (35) T V ki (e jωt ) V be (e jωt ) = C 1 C F f c jω f c C 2 C F, (36) Tehát ha megfelelően nagy mintavételi frekvenciát választunk, (35) alapján a mintavételezett hálózat közelítőleg folytonos működést fog szolgáltatni. Más megközelítésből ha ω c, a mintavételezett spektrumban a többszöröződött spektrumok is végtelenhez tartanak, így visszajutunk az alapsávi spektrumhoz. A folytonossal közelített és a z = e st egyenlőséggel megfeleltetett s-tartománybeli átvitelek között levezethető[18] a H 1 ωt 2 sin ( ωt 2 ) (37) erősítési hiba és a ϕ ωt 2 (38) fázishiba, amelyek ωt = ω ω c 0, azaz ω c ω esetén szintén 0-hoz tartanak A specifikáció áttranszformálása a mintavételezett tartományba Mindezek után már csak azt kell tudni, hogyan adható meg a specifikáció a z-tartományban jellemzett kapcsolt kapacitású szűrőre. Ami eddig ismert, az az, hogy z = e st összefüggéssel térünk át a mintavételezett frekvenciatartományból a z-tartományba, amely a ωc-től ω c 2 2 -ig terjedő tartományt túllépve periodikusan ismétlődik, nem hordoz új információt. Használjuk s- t ennek a tartománynak a változójaként! A szűrési feladat a megkülönböztetésül f index-szel ellátott s f (ω f ) folytonos tartományban van megadva, amely -től -ig terjed. Tehát egy olyan leképezést kell találni a két tengely között, amely a ( ; ) intervallumot periodikusan átviszi a [ ωc; 2 ωc ] intervallumba. Ilyen leképezést nem nehéz találni, a tangens függvény 2 megfelelő erre a célra (20. ábra). A módszer hasonló a pontban leírt frekvenciatranszformációhoz, itt a transzformációs függvény: ω f = 2 T tanωt 2 19 (39)

21 ω f T 2 π 2 π 2 3π 2 ωt ábra. Nemlineáris leképezés ω és ω f között ahol az 1 T tag bevezetése biztosítja, hogy ωt 1 esetén: ω f = 2 T tan ωt 2 2 ωt 1 T ωt 2 = ω (40) A transzformációval a kiindulási folytonos frekvenciatengely elferdül (warping). Most már levezethető a specifikációban szereplő s f és a mintavételezett z változó közötti átmenetet biztosító kifejezés: ( ) 1 e jω T 2 e jω T 2 tan ωt 2 = sin ωt 2 cos ωt 2 = 2j 1 2 ( ) = 1 z 1 2 z 1 2 e jω T 2 e jω T 2 j z 1 (41) 2 z 1 2 s=jω Ezért (39)-et felhasználva következik, hogy jω f = 2 z 1 2 z 1 2 T z 1, (42) 2 z 1 2 s=jω amiből az áttérést biztosító, ún. bilineáris transzformáció: s f = 2 T z 1 z 1 vagy z = 1 s f T 2 1 s f T 2 (43) Összefoglalásul: a folytonos tartományban megadott specifikáció és a z-tartomány között (43) létesít kapcsolatot, a kiindulási és a mintavételezett folytonos tartomány között pedig (39). Mivel a bilineáris transzformáció racionális, a folytonos tartományban közelítéssel kapott racionális átviteli függvény közvetlenül a z-tartományba is racionális függvényként képződik le, ezért a specifikáció (43) behelyettesítésével átvihető a z-tartományba. Ha a szemléletesebb s-tartományban kívánjuk felírni a specifikációt, amely szintén a mintavételezett, periodikusan ismétlődő tartomány (14. ábra), csak nem z-, hanem s-változóval, akkor a kiindulási specifikáció összes pólus- és zérusfrekvenciáját (39) segítségével kell áttranszformálni. Ezt hívják előferdítésnek (prewarping), mivel figyelembe vesszük, hogy a mintavételezett s-tartomány 20

22 jellemző, ωc -től ωc-ig terjedő része nem olyan széles, mint a -től -ig terjedő folytonos 2 2 s f -tartomány. Prewarping esetén a specifikáció jellemző frekvenciaértékeit, a pólusokat és a zérusokat a tangenstranszformációval bezsugorítjuk ebbe a szűkebb tartományba. Mint esetén, ez a frekvenciatranszformáció sem befolyásolja a specifikáció egyéb jellemzőit, mint például az ingadozást és a meredekséget, mivel (39) független változók közti transzformáció. Léteznek más, egyszerűbb leképezési szabályok is[16], azonban ezek nem a 19. ábra szerint teremtenek kapcsolatot az s- és a z-tartomány között. Adott gyakorlati esetben ezeknek is lehet létjogosultságuk. 21

23 3. Tervezés A kapcsolt kapacitású szűrő megvalósítására több topológia is létezik, jelen alkalmazáshoz én kettőt emeltem ki. Mielőtt már a konkrét kapcsolt kapacitású struktúrát tárgyalnám, feltétlenül ki kell térni az eredeti folytonos idejű kapcsolásokra, mert azok tulajdonságai öröklődnek a végső diszkrét idejű szűrőbe. A tervezés első fázisában a méretezést ezekre a kapcsolásokra célszerű elvégezni és nagyban segítik a kapcsolt kapacitású struktúra működésének a megértését. A következőkben bemutatott módszerek segítségével terveztem meg a mellékletben csatolt négy szűrőkapcsolást Szűrők realizálása A szűrők megvalósításának évszázados módszere a diszkrét passzív alkatrészekből összeállított hálózat. Számos előnye ellenére (kis zaj, tetszőleges feszültségszintek, nagyfrekvenciás működés, minimális teljesítményveszteség) a modern mikroelektronikában változatlan formában nem használható, mivel jelentős hátrányai vannak. Az induktivitás monolit megvalósítása nagy helyet igényel és a jósági tényezője rossz. Az integrált technológiában induktivitás nélkül célszerű megkonstruálni a szűrőt. Induktivitás nélkül viszont a konjugált komplex póluspárok csak ellenállásokkal és kapacitásokkal nem valósíthatók meg[9]. A megoldást az aktív szűrő nyújtja, amely műveleti erősítők, kapacitások és ellenállások megfelelő összekapcsolásával adja a karakterisztikát, ezért szokás aktív-rc szűrőnek is nevezni. A konjugált komplex párok a visszacsatolásnak köszönhetően realizálhatóvá válnak. Egy magasabb rendű átviteli függvény esetén az alkatrészértékek és az átviteli függvény együtthatóinak megfeleltetése bonyolulttá és hosszadalmassá válik. Ezért az átviteli függvényt általában másodfokú tagokra bontják és ezeket valósítják meg úgynevezett biquad áramkörökkel, amelyeket kaszkád vagy párhuzamos kapcsolásba kötnek. U in U out 17. ábra. Sallen-Key alaptag A másodfokú tag átvitelét megvalósító hálózatoknak számos fajtája létezik, alapeleme mindegyiknek vagy a műveleti erősítő, amit invertáló (Tow-Thomas biquad, Åckerberg-Mossberg biquad, stb.) és neminvertáló (Sallen-Key alaptag (17. ábra)) kapcsolásban is használnak, vagy a transzkonduktancia erősítő (OTA: Operational Transconductance Amplifier), ami a g m C (transzkonduktancia-c) szűrők építőeleme, amit a távközlésben középfrekvenciás szűrőnek 22

24 használnak[3]. Páratlan rendszám esetén a maradék elsőfokú kifejezést egy elsőfokú alaptaggal realizálják. A másodfokú alaptagokra bontás az eredő átvitelt nem befolyásolja, viszont felmerül a kérdés, hogy a tagok sorrendje milyen hatással van a működésre. Természetszerűleg az átvitelt nem befolyásolja, a megvalósítható dinamika és az eredő zaj szempontjából viszont meghatározó a tagok sorrendje. A tagok között a Q jóság alapján teszünk különbséget. A magasabb Q-val rendelkező tagok zajosabbak, ezért a láncban hátrébb foglalnak helyet. További fontos szempont az adott alaptag esetén az alkotóelemek fizikai megvalósítása során keletkező eltérésekkel szembeni tolerancia, ami szintén a Q jósággal mutat összefüggést Létrahálózatos LC topológia Induktivitásokat monolit technikával csak nehezen és igen korlátozottan tudunk előállítani. Ennek ellenére ebből a topológiából kiindulva jó minőségű kapcsolt kapacitású szűrőket tudunk előállítani, amint azt a későbbi fejezetekben tárgyalni fogom. Az LC szűrők koncentrált paraméterű induktivitásokból, kapacitásokból és lezáró ellenállásokból álló passzív hálózatok. Szokásos kapcsolási elrendezésük az átmenő földvezetékű létrahálózat. Egy ilyen struktúra látható a 18. ábrán. R g L 1 L 3 U g C 2 C 4 Rt U k 18. ábra. Egyszerű létrakapcsolású LC szűrő Az ezen ábrán látható hálózat csak pólusokból álló átviteli függvényt valósít meg. A pólusok n száma megegyezik a reaktáns elemek számával. Ha a megvalósítandó referens aluláteresztő hálózat átvitelének zérusai is vannak, akkor a kapcsolás előrevezető ágát párhuzamos, vagy a föld felé vezető ágát soros rezgőkörré kell kiegészíteni. Így a rezonanciafrekvencián megszűnik a hálózat átvitele, tehát létrejön egy zéruspár. A Cauer approximáció referens aluláteresztő szűrője ennek megfelelően a 19. ábra szerinti felépítésű. Az LC szűrő minimális számú alkatrészből épül fel, kedvező toleranciaérzékenységű, tápfeszültséget nem igényel, belső zaja kicsi, ugyanakkor az induktivitások megvalósítása viszonylag drága, helyfoglalása nagyobb, mint az RC elemeké, mágneses zavaró jelekre érzékeny, és a kivezérelhetőséget a vasmag nemlinearitása korlátozza Tow-Thomas biquad topológia Az aktív RC szűrők használata számos előnnyel jár. Nincs szükségünk induktivitásokra tetszőleges átvitel megvalósításához. Ezzel a passzív szűrők legkényelmetlenebb részét sikerült kiküszöbölni, mert ez foglalja el a legtöbb helyet az áramkörben, és ez az elem a legdrágább is. A 23

25 a) C, 2 C, 4 U g R g C 1 L 2 L 4 U k C 3 C 5 R t b) U g R g L 1 L 3 L 5 L, 2 L, 4 U k R t C 2 C ábra. Elliptikus referens aluláteresztő passzív LC megvalósítása legegyszerűbb aktív RC szűrőkapcsolás az úgynevezett Salen-Key kapcsolás. Ebben még csekély kompenzáció van, enyhébb kritériumoknak megfelelő szűrőket lehet vele igazán jól megvalósítani. Szigorúbb specifikációk teljesítésére alkalmasak a biquad áramkörök. Ez a kapcsolástechnika hatalmas irodalommal rendelkezik, ezért nem lehet róla teljesen átfogó képet adni, de néhány alapelv megfogalmazható, hogy általában mit várunk el egy biquad áramkörtől. Redukáljuk a lehető legkisebbre a passzív elemek értékeinek tartományát, vagyis a legnagyobb és legkisebb elemértékek közötti különbségeket minimalizáljuk. Kevésbé legyen érzékeny az elemértékek szórására. Mind a passzív, mind az aktív elemekére. A szűrő legtöbb paraméterét (pólus és zérus jósági tényezőjét, pólus és zérus frekvenciáját és az átviteli függvény erősítését) egymástól függetlenül tudjuk hangolni. A biquad tervezésénél a kapacitások értékét szabadon választhassuk meg, a szűrő paraméterei pedig majd meghatározzák az így adódó ellenállás értékeket. Ennek diszkrét esetben anyagi jelentősége van, mert a kapacitások drágábbak az ellenállásoknál, integrált áramköri szempontból pedig a kapcsolt kapacitású megfeleltetésnél lesz nagy jelentősége. U be Q R U ki C R C R R R 20. ábra. Tow-Thomas biquad kapcsolás R A tervezéshez a Tow-Thomas biquadot választottam. Ennek zavar- és elem értékekből adódó szórásérzékenysége jó, valamint egyszerűen méretezhető. A másik előnye a topológiájából adódik, 24

26 amit a kapcsolt kapacitású technikával lehet kihasználni, ezt a es fejezetben részletesen is kifejtem Kapcsolt kapacitású szűrők realizációja Néhány kapcsolási struktúra esetében lehetőség van arra, hogy kihasználjuk a kapcsolt kapacitású hálózatok tulajdonságai. Az egyik ilyen tulajdonság a már korábban említett switch sharing. Ekkor ha két kapacitás egymás felé néző fegyverzetei ugyanabban a fázisban kapcsolódnak, akkor kapcsoló tranzisztorokat spórolhatunk meg. A másik jelentős tulajdonság, hogy a hálózat viselkedése szempontjából negatív ellenállásként viselkedő elemeket tudunk megvalósítani a 33.b) ábrán látható ellenfázisban járatott földfüggetlen kapcsolt kapacitású elemekkel[12]. Ennek segítségével és alkalmas megfeleltetéssel műveleti erősítőket spórolhatunk meg, ami a kevesebb aktív elemnek köszönhetően alacsonyabb fogyasztást fog eredményezni Létrahálózatos LC megfeleltetés Kapcsolt kapacitású integrátor. A létrahálózatos LC kapcsolt kapacitású hálózatként való megfeleltetéséhez először ki kell térni a hagyományos RC integrátor megfeleltetésére. C 2 U in R 1 U out 21. ábra. Hagyományos RC integrátor A 21. ábrán látható integrátor átviteli függvénye: H(ω) = ω 0 jω (44) ahol ω 0 = 1 R 1 C 2 az integrátor sávszélessége. Az integrátor kapcsolt kapacitású változata a 21.a) ábrán látható. Egyszerűen lecseréltük az R 1 ellenállást a C 1 kapacitásra, ekkor a kapcsolt kapacitú integrátor sávszélessége: ( ) 1 C1 ω 0 = = f c (45) R eff C 2 Látható, hogy a kapcsolt kapacitású integrátor sávszélességét a kapacitások arányával tudjuk beállítani, amit a monolit technikában nagy pontossággal tudunk előállítani[7]. Differenciális bemenetű integrátort is könnyen tudunk készíteni kapcsolt kapacitásokkal, ez látható a 22.b) ábrán. Ekkor C 1 a két bemenet különbségére töltődik az órajelperiódus első felében. Amikor C 1 felső kapcsa a műveleti erősítő bemenetére, alsó kapcsa a földre kapcsolódik, Q t = C 1 (U in1 U in2 ) töltést fog tartalmazni. C 2 25

27 a) b) C 2 C 2 U in U out U in1 U out C 1 C 1 U in2 22. ábra. a) egyszerű b) differenciális bemenetű kapcsolt kapacitású integrátor A jelfolyam gráf. A létrahálózatok tervezésének az egyik legkényelmesebb módja, ha a hálózatot differenciálegyenletekkel írjuk le, aminek egy képszerű leírására szolgál a jelfolyam gráf. A gráf hasonlóan az áramkör kapcsolási rajzához csomópontokat tartalmaz mind a feszültségekhez, mind az áramokhoz[17]. A csomópontokat összekötő ágak reprezentálják az áramkör minden egyes elemének az átviteli függvényét. Rendszerint az adott áramkörnek több helyes jelfolyam gráf reprezentációja van, amelyek különböző áramköri megvalósításokat igényelnek. A cél az, hogy úgy alakítsuk át a jelfolyam gráfunkat, hogy a létrejövő reprezentációt realizálni tudjuk kapcsolt kapacitású technikával. Egy egyszerű mód egy hálózat gráfjának meghatározására, ha minden feszültséghez és minden áramhoz létrehozunk egy csomópontot, majd összekötjük őket egymással a megfelelő impedanciákkal, vagy admittanciákkal. Ezek meghatározásához a Kirchoff csomóponti potenciálok és a hurokáramok módszerét kell használni. Számos módszer és szabály található az irodalomban[23] arra, hogy a gráfunkat le tudjuk redukálni a megfelelő formára. Aluláteresztő csak pólusokból álló létrahálózat tervezése. A korábban ismertetett eszközök segítségével az átláthatóság kedvéért egy ötödfokú csak pólusokból álló aluláteresztő LC szűrő kapcsolt kapacitású szűrővé való alakítását mutatom be. U 0 U 2 U 4 I0 I 2 I 4 R 1 I 6 U out U in U 1 C 1 U 3 C 3 U 5 C 5 U 6 I 3 I 5 I 1 R ábra. Ötödfokú, csak pólusokból álló aluláteresztő LC szűrő A 23. ábrán látható az átalakítandó kapcsolás, amin minden feszültség és áram, valamint az elemek paraméteres értéke fel van tüntetve. Az összes csomóponti és hurokegyenlet csak integrátorokat tartalmaz: 26

28 U 0 = U in U 1 ;I 0 = U 0 R 1 ;I 1 = I 0 I 2 ;U 1 = 1 sc 1 I 1 ;U 2 = U 1 U 3 ;I 2 = 1 sl 2 U 2 ;I 3 = I 2 I 4 U 3 = 1 sc 3 I 3 ;U 4 = U 3 U 5 ;I 4 = 1 sl 4 U 4 ;I 5 = I 4 I 6 ;U 5 = 1 sc 5 I 5 ;U 6 = U 5 ;I 6 = U 6 R 2 ;U out = U 6 Ezeket az egyenleteket reprezentáló gráf a 24.a) ábrán látható. A jel útjával definiálhatjuk a csomópontokat (feszültség és áram). Minden nyilra ráírtam azt a faktort, amivel az egyik csomópont a másikra hat, ez tulajdonképpen az adott út erősítése. Ha egy csomópontnak több bemenete van, akkor azt úgy kell tekinteni, hogy összegződnek a bejövő jelek. Ebben a gráfban az áramokat reprezentáló csomópontok integrálásokat eredményeznek, amiknek mindkét oldalán feszültség és áram van. A valóságban feszültség vezérelt feszültség forrásokat (műveleti erősítőket) akarunk használni integrátornak. Elengedhetetlen, hogy az áram csomópontokat feszültség csomópontokká transzformáljuk. Ezt úgy érhetjük el, hogy az áram csomópontokat egy R ellenállás paraméterrel bővítjük, így ezután az I i áramot a U i = RI i feszültség fogja reprezentálni. Ternmészetesen, hogy ne változzon a feszültség és áram csomópontok közötti viszony, az erősítési faktort is bővíteni kell egy R paraméterrel (24.b) ábra). a) U in U 1 0 U0 1 U0 1 2 U0 1 3 U0 1 4 U0 1 5 U0 1 6 U out R 1 sc 1 sl 2 sc 3 sl 4 sc 5 R 2 b) I 0 I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I U in U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U U R R 1 R sc 1 R sl 2 R sc 3 R sl 4 R sc 5 R R 2 U out I 0 R = U 0, I 1 R = U 1, I 2 R = U 2, I 3 R = U 3, I 4 R = U 4, I 5 R = U 5, I 6 R = U 6, 24. ábra. A jelfolyam diagramja az ötödfokú csak pólusokból álló létrahálózatnak A kapacitáságak miatt kompromisszumra kényszerülünk, mert ott a nevezőbe került R miatt a szűrő dinamika tartománya változik. Általában jó kompromisszum, ha R értékét 1Ω-ra választjuk, ekkor az integrátorok időállandóit az eredeti L és C értékek határozzák meg[10]. A paraméterbővítéssel a lezárások is megváltoztak ( R R 1, R R 2 ). R 1 és R 2 optimális megválasztása nagyon sok paramétertől függ, most az egyszerűség kedvéért ezeket is 1Ω-nak veszem. A létrejött 24.b) gráf, csak egy a számtalan megoldás közül, például differenciáló tagokkal is meg lehetett volna oldani, de ez a változat felel meg a legjobban a kapcsolt kapacitású megvalósíthatóságnak. A gráfon látszik, hogy az alap építő elem a 22.b) ábrán látható differenciális in- 27