Tartalomjegyzék. Bevezetés Sajátértékek a kombinatorikus optimalizálásban...?? 1. Algebrai segédtételek...?? 3. Neumann és Ky Fan tétele...??

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Tartalomjegyzék. Bevezetés... 3. 1. Sajátértékek a kombinatorikus optimalizálásban...?? 1. Algebrai segédtételek...?? 3. Neumann és Ky Fan tétele...??"

Átírás

1 Tartalomjegyzék Bevezetés... 3 Jelölések....?? 1. Sajátértékek a kombinatorikus optimalizálásban.....?? 1. Algebrai segédtételek....?? 2. Két klasszikus sajátértékkorlát....?? 3. Neumann és Ky Fan tétele....?? 4. Partíciós problémák és a ϑ-függvény.....?? 2. Dualitástételek....?? 5. A Farkas-lemma és változatai....?? 6. A Farkas Weyl Minkowski-tétel...?? 7. Lineáris és kúplineáris dualitástételek....?? 8. Egy regularitási kritérium...?? 9. Szemidefinit programok.....?? 3. Szemidefinit korlátok....?? 10. Maximális vágás, gráf kettévágás.....?? 11. A szendvicstétel.....?? 12. Approximációs algoritmusok....?? 13. A Lovász Schrijver-módszer....?? 1

2 Függelékek....?? A. A Minkowski Klee-tétel....?? B. A PSD lapjairól....?? C. A Wolkowicz Zhao-korlát...?? D. A Ramana-duál....?? Irodalomjegyzék Tárgymutató...?? 2

3 Bevezetés Mit tudunk mondani egy gráfról, ha csak bizonyos hozzárendelt mátrixok sajátértékeit ismerjük? Vegyük például a gráf adjacencia mátrixát, mennyit árul el ennek spektruma a gráfról? Hogy mindent nem, azt például a K 1 C 4 és a K 1,4 gráfok bizonyítják, melyek sajátértékei ugyan megegyeznek, a gráfok mégsem izomorfak. Mégis számtalan eredmény mutatja ([15], [16]), hogy a spektrumban bőséges információ rejlik a gráfról. A kombinatorikus optimalizálásban számos olyan feladattal találkozunk, melynek megoldása bizonyítottan nehéz. Például: számítsuk ki egy adott gráf kromatikus számát! A probléma NP-teljes, így valószínűleg nem oldható meg polinom időben. S hogy mégis mondhassunk valamit, megpróbáljuk könnyen számítható, szűk korlátok közé szorítani a keresett mennyiséget. A Brooks-tétel szerint ([32]) bármely gráfra χ(g) 1 + d max (χ(g) a kromatikus számot, d max a maximális fokszámot jelöli), és összefüggő gráf esetén pontosan akkor van egyenlőség, ha G klikk, vagy páratlan kör. Ez egy könnyen számítható korlát, polinom időben realizálható (tehát gyorsan ki tudjuk színezni a gráfot 1 + d max színnel), mégsem tekinthető igazán jó korlátnak, hiszen értéke egészen messze lehet χ(g)- től (pl. csillag), és (összefüggő gráfokra) mindössze két esetben ad pontos eredményt. Foglaljuk össze, hogy milyen is lenne egy ideális (felső) korlát. 1. Gyorsan számítható, sőt 2. gyorsan realizálható, 3. nem becsüli túlzottan felül a keresett mennyiséget, 4. melyet jól körülhatárolható, tág gráfosztályokra meg is ad. A jegyzetben a gráfokhoz rendelt mátrixok spektrumából nyerhető korlátokat vizsgálunk meg ebből a szempontból. Minden eddig ismert korlátnál ideálisabbnak bizonyulnak, különösen partíciós problémák esetében. Az első sajátérték-korlátot Wilf adta 1967-ben Brooks tételét bizonyítva 1 + d max helyett az élesebb 1 + α max korláttal. (α max a gráf adjacencia mátrixának legnagyobb sajátértékét jelöli.) 1970-ben Hoffman a kro- 3

4 matikus szám alsó korlátját adta, 1973-ban Donath és Hoffman a gráfpartíció területén ért el eredményeket. A sajátértékek használatának igen fontos példája a ϑ-függvény, melyet Lovász definiált 1979-ben. Akkor már hosszú ideje megoldatlan volt Shannon problémája, az öt-kör kapacitásának (Θ(C 5 )) meghatározása. Annyit lehetett csak tudni, hogy 5 Θ(C 5 ) 5 2, ahol az alsó korlát a definícióból, a felső korlát Shannon tételéből adódott, mely szerint Θ(G) felülről becsülhető egy lineáris program optimumértékével. A ϑ(g) az utóbbinál élesebb felső becslés a gráf kapacitására és ϑ(c 5 ) = 5, amiből Θ(C 5 ) = 5 adódik. A Shannon-probléma megoldása mellett Lovász bebizonyítja, hogy ϑ(g) a gráf stabilitási számának (α(g)) felső korlátja és perfekt gráfokra ϑ(g) = α(g) ben Grötschel, Lovász és Schrijver megmutatták, hogyan lehet az ellipszoid algoritmus segítségével polinom időben megtalálni egy perfekt gráf egy legnagyobb stabil halmazát. E tételek a szemidefinit programozás korai és szép alkalmazásai. A szemidefinit program egy mátrixváltozós lineáris program, melyben a változóra lineáris feltételek mellett pozitív szemidefinitást követelünk meg. Speciális konvex program ám még mindig elég általános ahhoz, hogy fontos konvex optimalizációs problémák, mint például a lineáris és kvadratikus program, valamint sajátérték-problémák megfogalmazhatók legyenek szemidefinit programként. A szemidefinit program néhány vonatkozásban hasonlít a lineáris programhoz. Utóbbi dualitáselmélete bizonyos regularitási feltételekkel általánosítódik a szemidefinit programokra, akárcsak a gyorsaságukban a szimplex algoritmussal vetekedő belsőpontos módszerek. Adott ǫ > 0 esetén a szemidefinit program polinom időben, ǫ-nyi additív hibával megoldható, akár az ellipszoid módszert, akár a gyakorlatban hatékonyabb belsőpontos algoritmusokat használva ben Lovász és Schrijver megmutatták hogyan lehet egészértékű programok a lineáris relaxációnál szorosabb szemidefinit relaxációit elkészíteni. A módszer erejét mutatja, hogy mikor a stabil halmaz poliéderre alkalmazták, a poliéder négy lineáris relaxációjának metszeténél is erősebb relaxációt kaptak! A legújabb eredmények, Delorme, Poljak és Boppana korlátai a maximális vágás illetve a minimális félbevágás értékére, szintén szemidefinit programok optimumértékei. Az előbbi 0, 87-szerese a maximális vágás értékének polinom időben realizálható alsó korlátja, az utóbbi pedig bizonyos valószínűségi modellben nagy valószínűséggel pontos értéket ad. 4

5 A jegyzet felépítése 1. Az alapfogalmak átismétlése mellett bebizonyítjuk az alapvető tételt szimmetrikus mátrixok ortogonális diagonalizálhatóságáról, valamint Rayleigh és Cauchy tételét. 2. A gráf adjacencia mátrixának spektrumából nyerünk felső és alsó korlátot a kromatikus számra. (Wilf és Hoffman tételei.) 3. Ky Fan tételét (illetve az általánosabb Neumann-tételt) bizonyítjuk háromféleképpen konvex burok tételek és Lagrange-multiplikátorok segítségével. E tételek számos alkalmazásával találkozunk a későbbiekben: a következő fejezetben szereplő korlátok konvexitásának vizsgálatára, egyszerű bizonyítására, illetve általánosítására használjuk őket, Ky Fan tételének második bizonyítása segítségével írunk fel szemidefinit programként bizonyos sajátérték-problémákat a 9. fejezetben. 4. Ebben a fejezetben egyetlen mátrix helyett mátrixseregek spektrumaiból olvasunk ki sajátérték-korlátokat a maximális vágás, gráf félbevágás és gráfpartíció problémák optimumértékére. A Shannon-probléma és megoldása a ϑ-függvény segítségével. Megmutatjuk, hogy a ϑ-függvény egy sajátérték-probléma optimumértéke és tárgyaljuk egy általánosítását. A második részben a lineáris, illetve a konvex programozás elméletéből ismert tételeket bizonyítunk. 5. A Farkas-lemma egy szeparációs tételre és Caratheodory tételére alapuló bizonyítását adjuk, valamint néhány alakját soroljuk fel. 6. Az adjungált kúp és tulajdonságai, a lineáris egyenlőtlenségek alaptétele, a Weyl Minkowski-tétel valamint a poliéderek új jellemzése. 7. A lineáris programozás dualitástételei, majd általánosításuk (zártsági feltételekkel) a kúplineáris programok esetére. 8. Egy a zártsági feltételek teljesüléséhez elégséges kritérium. 9. A standard alakú szemidefinit program esetében újra bizonyítjuk a fenti dualitástételeket. Példák és a program bonyolultságára vonatkozó eredmények. Ezután a dualitáselmélet ismeretében visszatérünk a maximális vágás és gráf félbevágás problémákhoz, valamint a ϑ-függvényhez. Megmutatjuk, hogy a már bevezetett korlátok hogyan írhatók fel szemidefinit programok optimumértékeként, és hogy bizonyos értelemben mindnyájan ideálisak. 5

6 10. A maximális vágás és gráf kettévágás problémák optimumértékére adott sajátérték-korlátokat vizsgáljuk a fenti szempontból. 11. A ϑ-függvény számos jellemzése, tulajdonságai. Bizonyítjuk a szendvicstételt, amely a perfekt gráfok egy legnagyobb klikkjét polinom időben megtaláló algoritmushoz vezet. 12. A szemidefinit programozás elméletének legújabb alkalmazásai, a Goemans Williamson és a Karger Motwani Sudan approximációs algoritmus a maximális vágás, illetve a gráfszínezés problémára. 13. A Lovász Schrijver-módszer és alkalmazása a stabil halmaz problémára. Megmutatjuk, hogy az így nyert szemidefinit korlát élesebb, mint számos lineáris korlát, vagy akár a ϑ(g). A függelékekben extremális részhalmazokra vonatkozó tételeket bizonyítunk, illetve példákat mutatunk regularizációra és regularitási feltételek nélküli dualitásra. Irodalomjegyzék és köszönetnyilvánítás A jegyzet olvasása algebrai, analízisbeli, geometriai, valószínűségszámítási, véges matematikai előismereteket igényel. 17, 19, 20, 25, 26, 32, 36, 37, 39, 55, 57, 61 Az egyes fejezetekhez felhasznált irodalom: 1. 25, 26, 34, 36, 37, , 13, 16, 32, 36, 39, 57, , 56, 60, 61, 1, 30, 43, 47, 48, 53, 54, , 18, 43, 6, 53, 50, 15, 34, 40, 41, , 41, 58, 7, , 56, 41, 2, 9-12, 65, 1, , 61, 45, 41, 1, 51, , 18, 44, , 41, 23, , 22, 64, 31, A. 35, 60 B. 4, 5, 28, 38, 60 C. 66, 67 D. 49, 51, 52, 62 További (pl. műszaki) alkalmazásokról és megoldó algoritmusokról szól 1, 8, 21, 27, 33, 41, 62, 63 6

7 Köszönetet mondok Lovász Lászlónak, akinek 1995 decemberében tartott előadássorozata jelentős mértékben hozzájárult e jegyzet elkészítéséhez. Az 1., 2., 4., 5., 8., 9. fejezetek egyes részeit, valamint a teljes 11., 12. fejezetet szinte változtatás nélkül ezekből az előadásokból vettem át. A 12. fejezet megírásában David Williamson előadásai is segítettek. Köszönetet mondok Frank Andrásnak, aki sokirányú segítséget nyújtott e jegyzet elkészítéséhez: témavezetőmként ő hívta fel a figyelmem erre az érdekes területre, segített az anyaggyűjtésben és számos konzultációval. A jegyzet 5., 6. és 7. fejezetei lényegében az ő másodéves matematikus hallgatóknak tartott Operációkutatás előadásainak egy részét tükrözik. OTKA keretének (jelenlegi száma T17580) támogatásával számos konferenciára és minikurzusra eljutottam. Kovács Margit Konvex analízis és nemlineáris programozás előadásai (lásd [35]-t) nagy segítségemre voltak a 8. fejezet felépítésénél. Terlaky Tamás adta a beli ellenpéldát, számos konzultációval és az anyaggyűjtésben is segített. Hozzá a Peregrinatio II. Alapítvány segítségével jutottam ki a delfti Műszaki Egyetem Operációkutatási Tanszékére. Illés Tibor hívta fel a figyelmem a kúplineáris programozás néhány alapvető eredményére. Jos Sturm adott példát olyan gráfra, amelyre a Boppana-korlát duáljának optimumértéke nem vétetik fel. Pataki Gábor hívta fel a figyelmemet a [49] cikkre. Köszönettel tartozom még Bacsó Gábornak és ifj. Böröczky Károlynak világos előadásaikért a perfekt gráfok, illetve a konvex geometria témakörében. A jegyzet megírását a Magyar Felsőoktatásért és Kutatásért Alapítvány 109/95. számú pályázata, korábbi változatának gépeltetését a TEMPUS S JEP projectje támogatta. A jegyzet megírásának idején munkáltatóim az Eötvös Loránd Tudományegyetem és a MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet voltak. A lektori feladatokat Illés Tibor vállalta. Figyelmesen átolvasta a teljes jegyzetet és több helyütt felhívta a figyelmemet a nem elég részletesen elmagyarázott bizonyításokra, így segítve a jegyzet érthetőbbé tételét. 7

8 Irodalomjegyzék 1. F. Alizadeh, Interior Point Methods in Semidefinite Programming with Applications to Combinatorial Optimization, SIAM J. Optimization 5 (1995), E. Anderson and P. Nash, Linear Programming in Infinite Dimensional Spaces, John Wiley & Sons, New York, B. Andrásfai, Graph Theory: Flows, matrices, Akadémiai Kiadó, Budapest, G. P. Barker, The lattice of faces of a finite dimensional cone, Lin. Alg. Appl. 7 (1973), G. P. Barker and D. Carlson, Cones of diagonally dominant matrices, Pacific J. Math. 57 (1975), E. R. Barnes and A. J. Hoffman, Partitioning, spectra, and linear programming, in Progress in Combinatorial Optimization, (W. Pulleyblank, eds.), Academic Press, 1984, A. Ben-Israel, Linear equations and inequalities in finite dimensional, real or complex, vector spaces: A unified theory, J. Math. Anal. Appl. 27 (1969), A. Ben-Tal and A. Nemirovski, Convex optimization in engineering: Modeling, analysis, algorithms, Lecture notes, wi485, TU Delft. 9. A. Berman, Cones, matrices and mathematical programming, Springer-Verlag, Berlin, A. Berman and A. Ben-Israel, More on Linear Inequalities with Applications to Matrix Theory, J. Math. Anal. Appl. 33 (1971),

9 11. A. Berman and A. Ben-Israel, Linear Inequalities, Mathematical Programming and Matrix Theory, Math. Progr. 1 (1971), A. Berman and A. Ben-Israel, Linear Equations over Cones with Interior: A Solvability Theorem with Applications to Matrix Theory, Lin. Alg. Appl. 7 (1973), N. Biggs, Algebraic Graph Theory, Cambridge University Press, R. B. Boppana, Eigenvalues and graph bisection: An average case analysis, 28th Annual Symp. Found. Comp. Sci. IEEE, 1987, D. M. Cvetković, M. Doob, I. Gutman and A. Torgašev, Recent results in the theory of graph spectra, Ann. Discr. Math. North-Holland 36 (1988). 16. D. M. Cvetković, M. Doob and H. Sachs, Spectra of graphs, Academic Press, New York, Császár Á., Valós analízis I., Tankönyvkiadó, Budapest, C. Delorme and S. Poljak, Laplacian eigenvalues and the maximum cut problem, Math. Progr. 62 (1993), Fried E., Általános algebra, Tankönyvkiadó, Budapest, Fried E., Klasszikus és lineáris algebra, Tankönyvkiadó, Budapest, M. X. Goemans, Semidefinite programming in combinatorial optimization, Math. Progr. 79 (1997), M. X. Goemans and D. P. Williamson, Improved Approximation Algorithms for Maximum Cut and Satisfiability Problems Using Semidefinite Programming, J. ACM 42 (1995), M. Grötschel, L. Lovász and A. Schrijver, The ellipsoid method and its consequences in combinatorial optimization, Combinatorica 1 (1981), Hajnal A. és Hamburger P., Halmazelmélet, Tankönyvkiadó, Budapest,

10 25. Hajós Gy., Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, P. R. Halmos, Véges dimenziós vektorterek, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, C. Helmberg, Semidefinite programming for combinatorial optimization, ZIB-Report (2000 October), Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin. 28. R. D. Hill and S. R. Waters, On the cone of positive semidefinite matrices, Lin. Alg. Appl. 90 (1987), J. Hiriart-Urruty and C. Lemaréchal, Convex Analysis and Minimization Algorithms I, Springer-Verlag, Berlin, A. J. Hoffman and H. W. Wielandt, The variation of the spectrum of a normal matrix, Duke Math. J. l20 (1953), D. Karger, R. Motwani and M. Sudan, Approximate Graph Coloring by Semidefinite Programming, J. ACM 45(2) (1998), Katona Gy. és Recski A., Bevezetés a véges matematikába, ELTE, Budapest, E. De Klerk, Interior point methods for semidefinite programming, Phd Thesis, TU Delft. 34. D. E. Knuth, The sandwich theorem, The Electronic Journal of Combinatorics 1 (1994). 35. Kovács M., A nemlineáris programozás elmélete, TYPOTEX Kft., Budapest, A. G. Kuros, Felsőbb algebra, Tankönyvkiadó, Budapest, P. Lancaster, Theory of Matrices, Academic Press, M. Laurent and S. Poljak, On the facial structure of the set of correlation matrices, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 17 (1996), L. Lovász, Combinatorial Problems and Exercises, Akadémiai Kiadó, Budapest,

11 40. L. Lovász, On the Shannon capacity of a graph, IEEE Trans. Inform. Theory IT-25 (1979), L. Lovász, Semidefinite programs and combinatorial optimization, minicourse & lecture notes, Budapest, L. Lovász and A. Schrijver, Cones of matrices and set-functions and 0 1 optimization, SIAM J. Optimization 1(2) (1991), B. Mohar and S. Poljak, Eigenvalues and the max-cut problem, Czech. Math. J. 40(115) (1990), B. Mohar and S. Poljak, Eigenvalues in combinatorial optimization, Technical report, University of Ljubljana, K. G. Murty, Linear and Combinatorial Programming, John Wiley & Sons, New York, G. Narasimhan and R. Manber, A generalization of Lovász s Θ function, DIMACS Series in Discrete Math. and Comp. Sci. 1 (1990), M. L. Overton and R. S. Womersley, On the sum of the largest eigenvalues of a symmetric matrix, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 13 (1992), M. L. Overton and R. S. Womersley, Optimality conditions and duality theory for minimizing sums of the largest eigenvalues of symmetric matrices, Math. Progr. 62 (1993), G. Pataki, A simple derivation of a facial reduction algorithm and extended dual systems, Technical Report, Dept. of IE/OR, Columbia University, S. Poljak and F. Rendl, Nonpolyhedral relaxations of graph-bisection problems, SIAM J. Opt. 5(3) (1995), M. Ramana, An exact duality theory for semidefinite programming and its complexity implications, Math. Progr. 77(2) (1997), M. Ramana, L. Tunçel and H. Wolkowicz, Strong duality theorems for semidefinite programming, SIAM J. Opt., 7(3) (1997),

12 53. F. Rendl and H. Wolkowicz, A Projection Technique for Partitioning the Nodes of a Graph, Ann. Oper. Res. 58 (1995), F. Rendl and H. Wolkowicz, Applications of parametric programming and eigenvalue maximization to the quadratic assignment problem, Math. Progr. 53 (1992), Rényi A., Valószínűségszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, R. T. Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, NJ, Rózsa P., Lineáris Algebra és Alkalmazásai, Tankönyvkiadó, Budapest, A. Schrijver, Theory of Linear and Integer Programming, John Wiley & Sons, New York, A. J. Schwenk and R. J. Wilson, On the Eigenvalues of a Graph, Selected Topics in Graph Theory (L. W. Beineke and R. J. Wilson eds.). 60. J. Stoer and C. Witzgall, Convexity and optimization in finite dimensions I., Springer-Verlag, Berlin, G. Strang, Linear Algebra and its Applications, Academic Press, New York, J. Sturm, Primal-Dual Interior Point Approach to Semidefinite Programming, Phd thesis, Tinbergen Institute Research Series no. 156, Thesis Publishers, Amsterdam, L. Vanderberghe and S. Boyd, Semidefinite programming, SIAM Review 38 (1996), D. P. Williamson, Approximation algorithms, minicourse & lecture notes, Eindhoven, H. Wolkowicz, Some applications of optimization in matrix theory, Linear Algebra and its Applications 40 (1981), H. Wolkowicz and Q. Zhao, Semidefinite programming relaxations for the graph partitioning problem, Discrete Applied Math. 96/97 (1999),

13 67. Q. Zhao, S. E. Karisch, F. Rendl and H. Wolkowicz, Semidefinite programming relaxations for the quadratic assignment problem, Journal of Combinatorial Optimization, 2(1) (1998),

A szemidefinit programozás alkalmazásai a kombinatorikus optimalizálásban című jegyzetemhez

A szemidefinit programozás alkalmazásai a kombinatorikus optimalizálásban című jegyzetemhez Kiegészítések az A szemidefinit programozás alkalmazásai a kombinatorikus optimalizálásban című jegyzetemhez Ujvári Miklós Utolsó módosítás: 2011 szeptember A 4.25 Megjegyzés mögé beszúrandó (4.26-ból

Részletesebben

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál

Részletesebben

Telefonszám(ok) +36-93-502-916 Mobil +36-30-396-8675 Fax(ok) +36-93-502-900. Egyetem u. 10., 8200 Veszprém. Tehetséggondozás (matematika)

Telefonszám(ok) +36-93-502-916 Mobil +36-30-396-8675 Fax(ok) +36-93-502-900. Egyetem u. 10., 8200 Veszprém. Tehetséggondozás (matematika) Europass Önéletrajz Személyi adatok Vezetéknév(ek) / Utónév(ek) Bujtás Csilla Telefonszám(ok) +36-93-502-916 Mobil +36-30-396-8675 Fax(ok) +36-93-502-900 E-mail(ek) Szakmai tapasztalat bujtas@dcs.vein.hu

Részletesebben

E.-Nagy Marianna. Adjunktus, Differenciálegyenletek Tanszék Matematika Intézet, Természettudományi Kar Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

E.-Nagy Marianna. Adjunktus, Differenciálegyenletek Tanszék Matematika Intézet, Természettudományi Kar Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Önéletrajz E.-Nagy Marianna Személyi adatok Név: Születési név: Publikációs név: Eisenberg-Nagy Marianna Nagy Marianna E.-Nagy Marianna Születési hely, idő: Moszkva, Szovjetunió; 1981.06.05. Állampolgárság:

Részletesebben

Alkalmazott Matematikai Lapok 27 (2010), KAS PÉTER ( )

Alkalmazott Matematikai Lapok 27 (2010), KAS PÉTER ( ) Alkalmazott Matematikai Lapok 27 (2010), 101-105. KAS PÉTER (19492009) Kas Péter 1972-ben végezte el az ELTE matematikus szakát. Végzés után az MTA Számítóközpontjába, az MTA SZTAKI egyik jogel djébe került.

Részletesebben

LIST OF PUBLICATIONS

LIST OF PUBLICATIONS Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp. 33 (2010) 21-25 LIST OF PUBLICATIONS Péter Simon [1] Verallgemeinerte Walsh-Fourierreihen I., Annales Univ. Sci. Budapest. Sect. Math., 16 (1973), 103-113. [2]

Részletesebben

Önéletrajz. Burai Pál Debreceni Egyetem, Informatikai Kar Alkalmazott Matematika és Valószín ségszámítás Tanszék

Önéletrajz. Burai Pál Debreceni Egyetem, Informatikai Kar Alkalmazott Matematika és Valószín ségszámítás Tanszék Önéletrajz Burai Pál Debreceni Egyetem, Informatikai Kar Alkalmazott Matematika és Valószín ségszámítás Tanszék Személyes adatok Név: Burai Pál Végzettség: Okleveles matematikus (2003, DE-TTK) Tudományos

Részletesebben

,,BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM LINEÁRIS ALGEBRA

,,BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM LINEÁRIS ALGEBRA ,,BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM Andrei Mărcuş LINEÁRIS ALGEBRA ii ELŐSZÓ A lineáris algebra tárgya a lineáris terek és leképezések vizsgálata. Eredete a vektorok és a lineáris egyenletrendszerek tanulmányozására

Részletesebben

A BSc-képzés szakdolgozati témái

A BSc-képzés szakdolgozati témái A BSc-képzés szakdolgozati témái ELTE TTK, Operációkutatási Tanszék 2015/2016 1. Barátságos és barátságtalan partíciók A téma rövid leírása: Egy irányítatlan, összefüggő G = (V, E) gráfban a V egy kétrészes

Részletesebben

Hálózati folyamok, Bolyai János Matematikai Társulat, Budapest (1969), 263 o.

Hálózati folyamok, Bolyai János Matematikai Társulat, Budapest (1969), 263 o. Alkalmazott Matematikai Lapok 27 (2010), 79-84. KLAFSZKY EMIL (19342009) Klafszky Emil, a magyar operációkutatás fontos és sokak által szeretett alakja 2009. január 31-én elhunyt. Munkásságát a 2005. évi

Részletesebben

Neme nő Születési dátum 26/10/1988 Állampolgárság magyar

Neme nő Születési dátum 26/10/1988 Állampolgárság magyar SZEMÉLYI ADATOK Nagy Noémi Magyarország, 1165 Budapest, Újszász utca 45/B K. ép. I. lph. 3. em. 2. 06 70 340 7335 matnagyn@uni-miskolc.hu http://uni-miskolc.hu/~matnagyn Neme nő Születési dátum 26/10/1988

Részletesebben

Mádi-Nagy Gergely * A feladat pontos leírása. Tekintsünk darab tetszõleges eseményt, jelöljük ezeket a következõképpen: ,...,

Mádi-Nagy Gergely * A feladat pontos leírása. Tekintsünk darab tetszõleges eseményt, jelöljük ezeket a következõképpen: ,..., Mádi-Nagy Gergely * AZ ESEMÉNYEK UNIÓJÁNAK VALÓSZÍNÛSÉGE BECSLÉS A TÖBBVÁLTOZÓS DISZKRÉT MOMENTUM PROBLÉMA SEGÍTSÉGÉVEL Az események uniója valószínûsége becslésére szolgáló elsõ fontos eredmények a Boole-

Részletesebben

Páros összehasonlítás mátrixokból számolt súlyvektorok Pareto-optimalitása

Páros összehasonlítás mátrixokból számolt súlyvektorok Pareto-optimalitása Páros összehasonlítás mátrixokból számolt súlyvektorok Pareto-optimalitása Bozóki Sándor 1,2, Fülöp János 1,3 1 MTA SZTAKI; 2 Budapesti Corvinus Egyetem 3 Óbudai Egyetem XXXI. Magyar Operációkutatási Konferencia

Részletesebben

Előrenéző és paraméter tanuló algoritmusok on-line klaszterezési problémákra

Előrenéző és paraméter tanuló algoritmusok on-line klaszterezési problémákra Szegedi Tudományegyetem Számítógépes Algoritmusok és Mesterséges Intelligencia Tanszék Dr. Németh Tamás Előrenéző és paraméter tanuló algoritmusok on-line klaszterezési problémákra SZTE TTIK, Móra Kollégium,

Részletesebben

Nem-lineáris programozási feladatok

Nem-lineáris programozási feladatok Nem-lineáris programozási feladatok S - lehetséges halmaz 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 1 Elég egyszerű példa: nemlineáris célfüggvény + lineáris feltételek Lehetséges halmaz x 1 *x 2 =6.75 Gradiens

Részletesebben

Opponensi vélemény. Dósa György Tightness results for several variants of the First Fit bin packing algorithm (with help of weighting functions)

Opponensi vélemény. Dósa György Tightness results for several variants of the First Fit bin packing algorithm (with help of weighting functions) Opponensi vélemény Dósa György Tightness results for several variants of the First Fit bin packing algorithm (with help of weighting functions) című MTA doktori értekezéséről 1. ÁLTALÁNOS MEGJEGYZÉSEK

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Szemidenit optimalizálás és az S-lemma

Szemidenit optimalizálás és az S-lemma Szemidenit optimalizálás és az S-lemma Pólik Imre SAS Institute, USA BME Optimalizálás szeminárium 2011. október 6. Outline 1 Egyenl tlenségrendszerek megoldhatósága 2 Az S-lemma 3 Szemidenit kapcsolatok

Részletesebben

oklevél száma: P-1086/2003 (summa cum laude) A disszertáció címe: Integrálegyenletek és integrálegyenl½otlenségek mértékterekben

oklevél száma: P-1086/2003 (summa cum laude) A disszertáció címe: Integrálegyenletek és integrálegyenl½otlenségek mértékterekben Végzettség: 1983 június Okleveles matematikus József Attila Tudományegyetem, Szeged oklevél száma: 60/1983 (kitüntetéses oklevél) 1991 június Egyetemi doktori cím Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest

Részletesebben

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 13. Előadás

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 13. Előadás Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 13. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2009. december 7. Gráfok sajátértékei Definíció. Egy G egyszerű gráf sajátértékei az A G

Részletesebben

AKADÉMIAI LEVELEZŐ TAGSÁGRA TÖRTÉNŐ AJÁNLÁS

AKADÉMIAI LEVELEZŐ TAGSÁGRA TÖRTÉNŐ AJÁNLÁS AKADÉMIAI LEVELEZŐ TAGSÁGRA TÖRTÉNŐ AJÁNLÁS I. ADATLAP Név: CSÁKI ENDRE Születési hely, év, hó, nap: Budapest, 1935 január 7 Tudomány doktora fokozat megszerzésének éve: 1989 Szűkebb szakterülete: valószínűségszámítás

Részletesebben

Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok

Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok Recski András Budapesti Mőszaki és Gazdaságtudományi Egyetem A végtelen sokféle szabályos sokszög közül csak hárommal lehet a síkot parkettázni

Részletesebben

Válogatott fejezetek a matematikából

Válogatott fejezetek a matematikából Válogatott fejezetek a matematikából ---- ---- Simon Péter Válogatott fejezetek a matematikából Egyetemi jegyzet IK ISBN 978-963-489-068-3 Simon Péter --- simon_valogatott_matematika_borito.indd 1 2019.03.19.

Részletesebben

Matematika MSc záróvizsgák (2015. június )

Matematika MSc záróvizsgák (2015. június ) Június 23. (kedd) H45a 12.00 13.00 Bizottság: Simonovits András (elnök), Simon András, Katona Gyula Y., Pap Gyula (külső tag) 12.00 Bácsi Marcell Közelítő algoritmusok és bonyolultságuk tv.: Friedl Katalin

Részletesebben

Név KP Blokk neve KP. Logisztika I. 6 LOG 12 Dr. Kovács Zoltán Logisztika II. 6 Logisztika Dr. Kovács Zoltán

Név KP Blokk neve KP. Logisztika I. 6 LOG 12 Dr. Kovács Zoltán Logisztika II. 6 Logisztika Dr. Kovács Zoltán Név KP Blokk neve KP Felelıs vizsgáztató Kombinatorikus módszerek és algoritmusok 5 MAT 10 Dr. Tuza Zsolt Diszkrét és folytonos dinamikai rendszerek matematikai alapjai 5 Matematika Dr. Hartung Ferenc

Részletesebben

Kiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése

Kiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése Kiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Az Ordó jelölés Azt mondjuk, hogy az f(n) függvény eleme az Ordó(g(n)) halmaznak, ha van olyan c konstans (c

Részletesebben

Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János

Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni

Részletesebben

A TANTÁRGY ADATLAPJA

A TANTÁRGY ADATLAPJA A TANTÁRGY ADATLAPJA 1. A képzési program adatai 1.1 Felsőoktatási intézmény Babeș-Bolyai Tudományegyetem 1.2 Kar Matematika és Informatika 1.3 Intézet Magyar Matematika és Informatika 1.4 Szakterület

Részletesebben

Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 1/29. Ábele-Nagy Kristóf BCE, ELTE

Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 1/29. Ábele-Nagy Kristóf BCE, ELTE Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel Ábele-Nagy Kristóf BCE, ELTE Bozóki Sándor BCE, MTA SZTAKI 2010. november 4. Nem teljesen kitöltött páros

Részletesebben

TANTÁRGYI ADATLAP. 2.7 A tantárgy jellege DI

TANTÁRGYI ADATLAP. 2.7 A tantárgy jellege DI TANTÁRGYI ADATLAP 1. Programadatok 1.1 Intézmény Sapientia, Erdélyi Magyar Tudományegyetem 1.2 Kar Műszaki és Humántudományok 1.3 Intézet Matematika Informatika 1.4 Szak Informatika 1.5 Tanulmányi típus

Részletesebben

A TANTÁRGY ADATLAPJA

A TANTÁRGY ADATLAPJA A TANTÁRGY ADATLAPJA 1. A képzési program adatai 1.1 Felsőoktatási intézmény Babeș-Bolyai Tudományegyetem 1.2 Kar Matematika és Informatika 1.3 Intézet Magyar Matematika és Informatika 1.4 Szakterület

Részletesebben

és alkalmazások, MSc tézis, JATE TTK, Szeged, Témavezető: Dr. Hajnal Péter

és alkalmazások, MSc tézis, JATE TTK, Szeged, Témavezető: Dr. Hajnal Péter Publikációs jegyzék Balogh János Jegyzetek, tézis: [1] Balogh J., Maximális folyamok és minimális költségű cirkulációk; algoritmusok és alkalmazások, MSc tézis, JATE TTK, Szeged, 1994. Témavezető: Dr.

Részletesebben

A lineáris programozás alapjai

A lineáris programozás alapjai A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris

Részletesebben

Load-flow jellegű feladat a villamos rendszerirányításban

Load-flow jellegű feladat a villamos rendszerirányításban NASZVADI PÉTER Load-flow jellegű feladat a villamos rendszerirányításban TDK dolgozat 2006 Előszó: Adott egy (villamosenergiaellátást biztosító) villamoshálózat, és ezen hálózathoz csatlakozó energiatermelők

Részletesebben

Keverési modellek. Színkeverés Beton/aszfalt keverés Benzin keverés Gázkeverékek koncentrációjának a meghatározása

Keverési modellek. Színkeverés Beton/aszfalt keverés Benzin keverés Gázkeverékek koncentrációjának a meghatározása Illés Tibor Keverési modellek Színkeverés Beton/aszfalt keverés Benzin keverés Gázkeverékek koncentrációjának a meghatározása Keverési modellek matematikai jellemzői Nemlineáris sokszor nem konvex optimalizálási

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM MATEMATIKAI INTÉZET ALKALMAZOTT MATEMATIKUS MESTERKÉPZÉS SZAKLEÍRÁS

EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM MATEMATIKAI INTÉZET ALKALMAZOTT MATEMATIKUS MESTERKÉPZÉS SZAKLEÍRÁS EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM MATEMATIKAI INTÉZET ALKALMAZOTT MATEMATIKUS MESTERKÉPZÉS SZAKLEÍRÁS BUDAPEST 2013 ALKALMAZOTT MATEMATIKUS MESTERSZAK (2013 ) Képzési idő: 4 félév A szak indításának tervezett

Részletesebben

Bozóki Sándor. MTA SZTAKI, Budapesti Corvinus Egyetem. Vitaliy Tsyganok

Bozóki Sándor. MTA SZTAKI, Budapesti Corvinus Egyetem. Vitaliy Tsyganok A feszítőfákból számolt súlyvektorok mértani közepének optimalitása a logaritmikus legkisebb négyzetes célfüggvényre nézve Bozóki Sándor MTA SZTAKI, Budapesti Corvinus Egyetem Vitaliy Tsyganok Laboratory

Részletesebben

Módszer köztes tárolókat nem tartalmazó szakaszos működésű rendszerek ütemezésére

Módszer köztes tárolókat nem tartalmazó szakaszos működésű rendszerek ütemezésére Módszer köztes tárolókat nem tartalmazó szakaszos működésű rendszerek ütemezésére Doktori (PhD) értekezés tézisei Holczinger Tibor Témavezető: Dr. Friedler Ferenc Veszprémi Egyetem Műszaki Informatikai

Részletesebben

A BSc-képzés szakdolgozati témái

A BSc-képzés szakdolgozati témái A BSc-képzés szakdolgozati témái Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék 2017/2018 1. Topologikus és variációs módszerek alkalmazása a differenciálegyenletek elméletében (a téma már foglalt)

Részletesebben

A TANTÁRGY ADATLAPJA

A TANTÁRGY ADATLAPJA A TANTÁRGY ADATLAPJA 1. A képzési program adatai 1.1 Felsőoktatási intézmény Babeş-Bolyai Tudományegyetem 1.2 Kar Matematika és Informatika Kar 1.3 Intézet Magyar Matematika és Informatika Intézet 1.4

Részletesebben

Diszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatok

Diszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatok Diszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatok In English Integer Programming - IP Zero/One (boolean) programming 2007.03.12 Dr. Bajalinov Erik, NyF MII 1 Diszkrét és egészértékű változókat tartalmazó feladatok

Részletesebben

Operációkutatási modellek

Operációkutatási modellek Operációkutatási modellek Alkalmazott matematika A sorozat kötetei: Kóczy T. László Tikk Domonkos: Fuzzy rendszerek (2000) Elliott, J. R. Kopp, P. E.: Pénzpiacok matematikája (2000) Michelberger Szeidl

Részletesebben

Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában 2.

Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában 2. Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában 2. Nagy V. Gábor SZTE Bolyai Intézet Eötvös Loránd Kollégium, Matematika Műhely Szeged, 2015. október 22. ELK 15 Egy folklór versenyfeladat 1/10 Feladat.

Részletesebben

Drótposta: kovacsea@math.bme.hu ; edith_kovacs@yahoo.com ; Honlapom: http://www.math.bme.hu/diffe/staff/kovacse.shtml

Drótposta: kovacsea@math.bme.hu ; edith_kovacs@yahoo.com ; Honlapom: http://www.math.bme.hu/diffe/staff/kovacse.shtml Szakmai önéletrajz 1.1 Személyes adatok: Nevem: Kovács Edith Alice Születési idő, hely: 1971.05.18, Arad Drótposta: kovacsea@math.bme.hu ; edith_kovacs@yahoo.com ; Honlapom: http://www.math.bme.hu/diffe/staff/kovacse.shtml

Részletesebben

Geometriai Problémák az Addititív Kombinatorikában

Geometriai Problémák az Addititív Kombinatorikában Geometriai Problémák az Addititív Kombinatorikában Solymosi József Akadémiai doktori értekezés 1 1 Bevezető A doktori fokozat megszerzése óta az additív kombinatorikával és ahhoz kapcsolodó problémákkal

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13.

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13. Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 13. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet

Részletesebben

II. Az év folyamán elért kiemelkedo kutatási eredmények és más jellegu eredmények, azok gazdasági-társadalmi haszna

II. Az év folyamán elért kiemelkedo kutatási eredmények és más jellegu eredmények, azok gazdasági-társadalmi haszna MTA RÉNYI ALFRÉD MATEMATIKAI KUTATÓINTÉZET 1053 Budapest, Reáltanoda u. 13-15., 1364 Budapest, Pf. 127. telefon: 483-8300, telefax: 483-8333 e-mail: math@renyi.hu honlap: URL:http://www.renyi.hu BESZÁMOLÓ

Részletesebben

Közösség detektálás gráfokban

Közösség detektálás gráfokban Közösség detektálás gráfokban Önszervező rendszerek Hegedűs István Célkitűzés: valamilyen objektumok halmaza felett minták, csoportok detektálása csakis az egyedek közötti kapcsolatok struktúrájának a

Részletesebben

A TANTÁRGY ADATLAPJA

A TANTÁRGY ADATLAPJA A TANTÁRGY ADATLAPJA 1. A képzési program adatai 1.1 Felsőoktatási intézmény Babeș-Bolyai Tudományegyetem 1.2 Kar Matematika és Informatika 1.3 Intézet Magyar Matematika és Informatika 1.4 Szakterület

Részletesebben

Publikációk. Libor Józsefné dr.

Publikációk. Libor Józsefné dr. Publikációk Libor Józsefné dr. Referált publikációk/ Refereed publications 1, Libor Józsefné, Tómács Tibor: Rényi-Hajek inequality and its applications. ( Annales Mathematicae et Informaticae, 33. Eger,

Részletesebben

Alkalmazott matematikus mesterszak

Alkalmazott matematikus mesterszak Alkalmazott matematikus mesterszak Szakirányok: alkalmazott analízis, operációkutatás, számítástudomány, sztochasztika Képzési idő: 4 félév A szak indításának időpontja: 2009. 09. 01. A szakért felelős

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM MATEMATIKAI INTÉZET MATEMATIKUS MESTERKÉPZÉS SZAKLEÍRÁS

EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM MATEMATIKAI INTÉZET MATEMATIKUS MESTERKÉPZÉS SZAKLEÍRÁS EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM MATEMATIKAI INTÉZET MATEMATIKUS MESTERKÉPZÉS SZAKLEÍRÁS BUDAPEST 2013 Matematikus mesterszak 2013 Szakleírás Képzési idı: 4 félév A szak indításának tervezett idıpontja: 2013.

Részletesebben

Az ellipszoid algoritmus

Az ellipszoid algoritmus Az ellipszoid algoritmus Csizmadia Zsolt Eötvös Loránd Tudományegyetem Bevezető Az ellipszoid módszert a nemlineáris porgramozásra Shor [1970,0977] illetve Yudin és Nemirovskiî [1976] feljlesztették ki.

Részletesebben

Tóth János - Simon L. Péter - Csikja Rudolf. Differenciálegyenletek feladatgyűjtemény

Tóth János - Simon L. Péter - Csikja Rudolf. Differenciálegyenletek feladatgyűjtemény Tóth János - Simon L. Péter - Csikja Rudolf Differenciálegyenletek feladatgyűjtemény 2011 Támogatás: Készült a TÁMOP 4.1.2.A/1 11/1 2011 0064 számú, a Természettudományos (matematika és fizika) képzés

Részletesebben

Boros Endre. Rutgers University. XXXII. MOK Június 14.

Boros Endre. Rutgers University. XXXII. MOK Június 14. Diszkrét Momentum Problémák Boros Endre Rutgers University XXXII. MOK 2017. Június 14. Prékopa András (1929-2016) emlékére Valószínűségi korlátok (Boole 1854, 1868 (1850)) E 1 = (A B C) (A B C) (A B C)

Részletesebben

1. Katona János publikációs jegyzéke

1. Katona János publikációs jegyzéke 1. Katona János publikációs jegyzéke 1.1. Referált, angol nyelvű, nyomtatott publikációk [1] J.KATONA-E.MOLNÁR: Visibility of the higher-dimensional central projection into the projective sphere Típus:

Részletesebben

A TANTÁRGY ADATLAPJA

A TANTÁRGY ADATLAPJA A TANTÁRGY ADATLAPJA 1. A képzési program adatai 1.1 Felsőoktatási intézmény Babeş-Bolyai Tudományegyetem 1.2 Kar Matematika és Informatika Kar 1.3 Intézet Magyar Matematika és Informatika 1.4 Szakterület

Részletesebben

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és

Részletesebben

Logisztikai mérnök záróvizsga tételsor Módosítva 2014. június 3.

Logisztikai mérnök záróvizsga tételsor Módosítva 2014. június 3. Név KP Blokk neve KP Felelıs vizsgáztató Kombinatorikus módszerek és algoritmusok 5 MAT 10 Dr. Tuza Zsolt Diszkrét és folytonos dinamikai rendszerek matematikai alapjai 5 Matematika Dr. Hartung Ferenc

Részletesebben

Lendület éves beszámoló (2014. július 1. 2015. június 30.) A beszámolási időszakban hazai rendezvényen tartott tudományos előadások

Lendület éves beszámoló (2014. július 1. 2015. június 30.) A beszámolási időszakban hazai rendezvényen tartott tudományos előadások Kutatócsoport-vezető neve: Molnár Lajos Lendület éves beszámoló A beszámolási időszakban hazai rendezvényen tartott tudományos előadások Rendezvény Conference on Inequalities and Applications '14 (Hajdúszoboszló)

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

Záróvizsga tételek matematikából osztatlan tanárszak

Záróvizsga tételek matematikából osztatlan tanárszak Záróvizsga tételek matematikából osztatlan tanárszak A: szakmai ismeretek; B: szakmódszertani ismeretek Középiskolai specializáció 1. Lineáris algebra A: Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok. A valós

Részletesebben

A bemeneti feszültség 10 V és 20 V között van. 1. ábra A fuzzy tagsági függvény

A bemeneti feszültség 10 V és 20 V között van. 1. ábra A fuzzy tagsági függvény BÁRKÁNYI PÁL: FUZZY MODELL MATEMATIKAI HÁTTERE SPECIÁLIS KATONAI RENDSZEREKRE ALKALMAZVA A katonai rendszerek műszaki megbízhatóságának vizsgálatai során, több matematikai módszert alkalmazhatunk, mint

Részletesebben

A lineáris optimalizálás rugalmas indexválasztási szabályainak elméletéről és gyarkorlatáról

A lineáris optimalizálás rugalmas indexválasztási szabályainak elméletéről és gyarkorlatáról A lineáris optimalizálás rugalmas indexválasztási szabályainak elméletéről és gyarkorlatáról Nagy Adrienn A doktori disszertáció tézisei Témavezető: Illés Tibor Egyetemi Docens, PhD Témavezető: Kovács

Részletesebben

Mérnök informatikus mesterszak mintatanterve (GE-MI) nappali tagozat/ MSc in, full time Érvényes: 2011/2012. tanév 1. félévétől, felmenő rendszerben

Mérnök informatikus mesterszak mintatanterve (GE-MI) nappali tagozat/ MSc in, full time Érvényes: 2011/2012. tanév 1. félévétől, felmenő rendszerben Mérnök informatikus mesterszak mintatanterve (GE-MI) nappali tagozat/ MSc in, full time Érvényes: 2011/2012. tanév 1. félévétől, felmenő rendszerben Tantárgy Tárgykód I. félév ősz II. félév tavasz Algoritmusok

Részletesebben

Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával

Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával * Pannon Egyetem, M szaki Informatikai Kar, Számítástudomány

Részletesebben

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 7. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát (vonat

Részletesebben

Operációkutatás I. Tantárgyi útmutató

Operációkutatás I. Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdinfo nappali tagozat Operációkutatás I. Tantárgyi útmutató 2017/18 tanév 1. félév 1/4 Tantárgy megnevezése: Operációkutatás Tantárgy kódja: OPKU1KOMEMM Tanterv szerinti

Részletesebben

Néhány Ramsey-és anti-ramsey-típusú eredmény a kombinatorikus számelméletben és geometriában

Néhány Ramsey-és anti-ramsey-típusú eredmény a kombinatorikus számelméletben és geometriában Matematikai Intézet Doktori értekezés tézisei Néhány Ramsey-és anti-ramsey-típusú eredmény a kombinatorikus számelméletben és geometriában Borbély József ELTE, Matematikai Doktori Iskola Az iskola vezet

Részletesebben

Irodalom. Kiegészítő tankönyvek. Kiegészítő algebra feladatgyűjtemények. Ajánlott ismeretterjesztő művek

Irodalom. Kiegészítő tankönyvek. Kiegészítő algebra feladatgyűjtemények. Ajánlott ismeretterjesztő művek Irodalom Kiegészítő tankönyvek [1] Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó, 2006. [2] Freud Róbert: Lineáris Algebra. ELTE Eötvös Kiadó, 2006. [3] Laczkovich Miklós, T. Sós Vera:

Részletesebben

11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba

11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba 11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez

Részletesebben

11. Előadás. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás

11. Előadás. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 11. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2011. április 27. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás Múlt héten nem szerepeltek

Részletesebben

Hogyan írjunk szakdolgozatot? v1.1

Hogyan írjunk szakdolgozatot? v1.1 Hogyan írjunk szakdolgozatot? v1.1 A szakdolgozat megírásának javasolt menete Algoritmus: 1. ötletelés, jegyzetelés 2. témavezető keresés 3. ötletelés, jegyzetelés 4. egyeztetések a témavezetővel 5. olvasás

Részletesebben

A kutatás eredményei (záró beszámoló)

A kutatás eredményei (záró beszámoló) A kutatás eredményei (záró beszámoló) A K 68311 sz. OTKA pályázatot (a kutatás időtartama: 2007.07.01. 2011.06.30.)) A Miskolci Egyetem Matematikai Intézet Analízis Tanszéke 1 oktatóa - Dr. Rontó Miklós

Részletesebben

Áttekintés LP és geometria Többcélú LP LP és egy dinamikus modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

Áttekintés LP és geometria Többcélú LP LP és egy dinamikus modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Áttekintés Kezdjük újra a klasszikus erőforrás allokációs problémával (katonák,

Részletesebben

Dr. Illés Tibor szakmai önéletrajza

Dr. Illés Tibor szakmai önéletrajza Dr. Illés Tibor szakmai önéletrajza 2015. december 29. Születési hely: Szabadka (Subotica, Jugoszláv Szocialista Szövetségi Köztársaság - megszünt). Születési dátum: 1963. szeptember 4. Állampolgárság:

Részletesebben

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23. Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus

Részletesebben

Kaposi Ambrus. University of Nottingham Functional Programming Lab. Hackerspace Budapest 2015. január 6.

Kaposi Ambrus. University of Nottingham Functional Programming Lab. Hackerspace Budapest 2015. január 6. Bizonyítás és programozás Kaposi Ambrus University of Nottingham Functional Programming Lab Hackerspace Budapest 2015. január 6. Bizonyítás, érvelés Példa: sáros a csizmám ha vizes a föld, esett az eső

Részletesebben

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:

Részletesebben

A KVADRATIKUS SZIMPLEX ALGORITMUS VÉGESSÉGE INDEXVÁLASZTÁSI SZABÁLYOK ALKALMAZÁSA ESETÉN

A KVADRATIKUS SZIMPLEX ALGORITMUS VÉGESSÉGE INDEXVÁLASZTÁSI SZABÁLYOK ALKALMAZÁSA ESETÉN Alkalmazott Matematikai Lapok 3 (213), 1-21. A KVADRATIKUS SZIMPLEX ALGORITMUS VÉGESSÉGE INDEXVÁLASZTÁSI SZABÁLYOK ALKALMAZÁSA ESETÉN ILLÉS TIBOR, NAGY ADRIENN Dolgozatunkban bebizonyítjuk a kvadratikus

Részletesebben

(1939. január 3. 2008. június 11.)

(1939. január 3. 2008. június 11.) Alkalmazott Matematikai Lapok 26 (2009), 143-149. STAHL JÁNOS (1939. január 3. 2008. június 11.) Amikor Stahl János jellegzetes alakját felidézzük a kés bb született olvasó számára, akkor fel kell idéznünk

Részletesebben

Matematika alapszak (BSc) 2015-től

Matematika alapszak (BSc) 2015-től Matematika alapszak (BSc) 2015-től módosítva 2015. 08. 12. Nappali tagozatos képzés A képzési terv tartalmaz mindenki számára kötelező tárgyelemeket (MK1-3), valamint választható tárgyakat. MK1. Alapozó

Részletesebben

Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára. 11. Előadás

Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára. 11. Előadás Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Bajusz Barbara 203. április 24.. Vektorerelációk és SDP.. A maximális vágás probléma Adott egy w : E(G) R + elsúlyozott

Részletesebben

Az optimális megoldást adó algoritmusok

Az optimális megoldást adó algoritmusok Az optimális megoldást adó algoritmusok shop ütemezés esetén Ebben a fejezetben olyan modellekkel foglalkozunk, amelyekben a munkák több műveletből állnak. Speciálisan shop ütemezési problémákat vizsgálunk.

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma

Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2016.

Részletesebben

Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 29 (2002) PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL. Orosz Gyuláné (Eger, Hungary)

Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 29 (2002) PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL. Orosz Gyuláné (Eger, Hungary) Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 9 (00) 07 4 PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL Orosz Gyuláné (Eger, Hungary) Kiss Péter professzor emlékére Abstract. In this article, we characterize the odd-summing

Részletesebben

Multifokális ellipszisek

Multifokális ellipszisek Multifokális ellipszisek Vincze Csaba, Debreceni Egyetem 2014 November 25, 2014 Ellipszisek - klasszikus értelemben: F 1 F 2 S, d(f 1, F 2 ) < 2a. d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a d(p, F 1) + d(p, F 2 ) 2

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában

Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában Nagy V. Gábor SZTE Bolyai Intézet Eötvös Loránd Kollégium, Matematika Műhely Szeged, 2013. október 25. ELK 13 A Gyárfás Lehel-sejtés 1/21 Definíció. A G 1,...,

Részletesebben

Hibatűrő TDMA ütemezés tervezése ciklikus vezeték nélküli hálózatokban. Orosz Ákos, Róth Gergő, Simon Gyula. Pannon Egyetem

Hibatűrő TDMA ütemezés tervezése ciklikus vezeték nélküli hálózatokban. Orosz Ákos, Róth Gergő, Simon Gyula. Pannon Egyetem Hibatűrő TDMA ütemezés tervezése ciklikus vezeték nélküli hálózatokban Orosz Ákos, Róth Gergő, Simon Gyula Pannon Egyetem Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Email: {orosz, roth, simon}@dcs.uni-pannon.hu

Részletesebben

A k-szerver probléma

A k-szerver probléma Bevezetés A k-szerver probléma Imreh Csanád SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 6720, Szeged, Árpád tér 2. Email: cimreh@inf.u-szeged.hu A gyakorlatban gyakran fordulnak elő olyan optimalizálási feladatok,

Részletesebben

I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3

I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 Tartalomjegyzék Előszó 1 I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 1. Topológia R n -ben 5 2. Lebesgue-integrál, L p - terek, paraméteres integrál 9 2.1. Lebesgue-integrál, L p terek................... 9

Részletesebben

OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Egyszakos matematikatanár szak (régi képzés)

OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Egyszakos matematikatanár szak (régi képzés) OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Egyszakos matematikatanár szak (régi képzés) Kötelez tárgyak, szakdolgozat (mindegyik tárgy teljesítend ) M1101 Lineáris és analitikus geometria 1. M1102 Lineáris

Részletesebben

Képtárprobléma szakaszonként konvex görbe által határolt halmazra. Páli Róbert László

Képtárprobléma szakaszonként konvex görbe által határolt halmazra. Páli Róbert László Képtárprobléma szakaszonként konvex görbe által határolt halmazra Szakdolgozat Páli Róbert László Témavezető: Vígh Viktor Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet 2014 Tartalomjegyzék 1. Bevezető 3 2. A

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/

A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/ Operációkutatás I. 2018/2019-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c

Részletesebben

1. Előadás Lineáris programozás

1. Előadás Lineáris programozás 1. Előadás Lineáris programozás Salamon Júlia Előadás II. éves gazdaság informatikus hallgatók számára Operációkutatás Az operációkutatás az alkalmazott matematika az az ága, ami bizonyos folyamatok és

Részletesebben