Néhány Ramsey-és anti-ramsey-típusú eredmény a kombinatorikus számelméletben és geometriában

Átírás

1 Matematikai Intézet Doktori értekezés tézisei Néhány Ramsey-és anti-ramsey-típusú eredmény a kombinatorikus számelméletben és geometriában Borbély József ELTE, Matematikai Doktori Iskola Az iskola vezet je: Laczkovich Miklós, professzor, a Magyar Tudományos Akadémia rendes tagja Elméleti doktori program Programfelel s: Sz cs András, professzor, a Magyar Tudományos Akadémia levelez tagja Konzulensek: Károlyi Gyula, egyetemi tanár, az MTA doktora Sárközy András, Professzor Emeritus Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest,

2 Az értekezés tézisei Ebben a disszertációban kombinatorikus módszerek néhány alkalmazását kívánom bemutatni a számelméletben, csoportelméletben és a geometriai gráfelméletben. A kombinatorikus módszereket manapság a matematika mély és aktuális témájának tekintik. Jómagam f ként Ramsey- és anti-ramsey-típusú (vagy rainbow-típusú) problémákat vizsgálok a dolgozatomban. Az említett témákban cikkeket közl folyóiratok nagy száma is tanúsítja az említett területek létjogosultságát. A következ folyóiratok mindegyikében a fenti témákban jelennek meg cikkek (a teljesség igénye nélkül): Combinatorica, Discrete and Computational Geometry, Integers, Journal of Combinatorics and Number Theory, Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory, The Electronic Journal of Combinatorics. A dolgozat egésze során Ramsey-típusú problémákra fókuszálunk. A dolgozatban akkor beszélünk Ramsey-típusú problémáról, ha az eredmény a következ képp fogalmazható meg: ha kiszínezzük egy "nagy" struktúra minden egyes elemét k darab el re megadott szín valamelyikével, akkor a konkrét színezést l függetlenül mindenképpen találunk egy el írt méret egyszín részstruktúrát. Az els ilyen típusú eredmény Frank P. Ramsey-t l származik (lsd. [13]) ban bekövetkezett halála óta számos új Ramsey-típusú problémát vetettek fel és oldottak meg. A téma kiterjedt szakirodalommal bír. Graham, Rotshild és Spencer könyve ([13]) a terület egyik alapm ve. Landman könyve ([27]) sok fontos Ramsey-típusú számelméleti eredményt tartalmaz. Különbséget kell tennünk Ramsey-típusú eredmények és s r ségi tételek között. Akkor beszélünk s r ségi tételr l, ha az eredmény a következ képpen fogalmazható meg: ha kiválasztjuk egy adott halmaz egy elég nagy részhalmazát, akkor ennek a részhalmaznak szükségképpen van egy olyan részhalmaza, ami valamilyen általunk már el írt tulajdonságokkal bír. Nyilvánvaló módon a s r ségi tételek er sebbek a Ramsey-típusú tételeknél. Vagyis lehetséges, hogy Ramsey-típusú eredményt találunk s r ségi tétel megléte nélkül, viszont ha belátunk egy s r ségi tételt, akkor Ramsey-típusú eredménynek is kell lennie. Tisztázásra szorul, hogy mit értünk rainbow Ramsey-típusú (vagy 2

3 másnéven anti-ramsey-típusú) tétel alatt. Ilyenkor is kiszínezzük egy adott halmaz minden egyes elemét k darab el re megadott szín valamelyikével, de most el írt típusú tarka részstruktúrákat keresünk. A disszertáció során f ként a számelméletben és a hozzá kapcsolódó területeken ismertetünk Ramsey- és anti-ramsey-típusú eredményeket. Az els fejezet [2] alapján készült. Ebben a fejezetben Roth egy problémája a kiindulópont (lsd. [17]), amire Erd s, Sárközy és T. Sós adott elemi megoldást (lsd. [11]). Módszereik kiterjesztésével általánosabb eredményeket érünk el. Az r-dimenziós vektorok egy speciális részhalmazának k-színezéseire nézve megvizsgáljuk, hogy aszimptotikusan legalább hány olyan r-dimenziós vektor van, ami (a színezést l függetlenül) el áll különböz, azonos szín r-dimenziós vektorok összegeként. Az els fejezetben a következ jelöléseket használjuk: tetsz leges k és l pozitív egészekre (ahol k l), (k, l) jelöli a {k, k + 1,, l} halmazt. Valamint tetsz leges r pozitív egész és H 1, H 2,, H r halmazok esetén a felsorolt r darab halmaz direkt szorzatát H 1 H 2 H r jelöli. Ha H 1 = H 2 = = H r = H, akkor a H r = H 1 H 2 H r jelölést használjuk. Az els fejezetben el ször belátjuk az alábbi additív tételt: Tétel 1. Rögzített r, s és k pozitív egészekhez létezik olyan m 0 pozitív egész, ami eleget tesz a következ feltételeknek: tetsz leges m > m 0 halmaz bármely k- színezése esetén legalább [ m ] r ( 3 2 r 1 m r) 1 2 ks+k 1 s és a (1, m) r darab olyan x vektor van a (1, m) r halmazban, amelyhez ugyanebben a halmazban találhatóak olyan különböz, azonos színü x 1, x 2,, x s vektorok, amelyek összege x. Ebben a fejezetben az el állítások számára vonatkozóan is bizonyítunk egy eredményt: Tétel 2. Tetsz leges α és β valós számokhoz, amik eleget tesznek az α r + β r 1 2 2r+1 k 3

4 feltételnek, létezik olyan m αβ pozitív egész, hogy bármely m > m αβ egész szám és a N r halmaz elemeinek minden k- színezése esetén az (1, m) r halmaz olyan elemeinek száma, amik több, mint βr 2 mr -féleképpen állnak el két azonos szín, különböz vektor összegeként, legalább α r m r. A második fejezet [3] alapján készült. Ebben a Roth-problémát más aspektusból vizsgáljuk. Az el z ekkel analóg eredményeket keresünk Abel-csoportokban, de ezúttal rainbow-típusúakat. Pontosabban speciálisan választott G Abel-csoportokban az elemek tetsz leges k-színezése mellett (általában felteszszük, hogy minden színt felhasználunk) keressük azoknak a csoportelemeknek a minimális számát, amik el állnak r darab olyan elem összegeként, amik különböz szín ek. El ször elemi úton bizonyítjuk a következ tételt: Tétel 3. Az 1, 2,..., n pozitív egészek minden olyan k-színezése esetén, ahol az i-edik szín éppen n i -szer fordul el (i = 1, 2,..., k) és n 1 n 2 n k, legfeljebb r 1+ r 1 i=1 (r i) n i darab {1, 2,, n}-beli szám nem állítható el r darab különböz szín szám összegeként (r 1). Ezt követ en véges Abel-csoportokban vizsgálunk hasonló kérdéseket. Kneser tételét felhasználva belátjuk az alábbit: Tétel 4. Az m-edrend, véges, additív G Abel-csoport elemeinek minden olyan k-színezése mellett, ahol minden színt felhasználunk, legalább { } (k 1) m m min m, D k (G) d k (G) olyan eleme van a csoportnak, ami el áll a csoport k különböz szín elemének összegeként (itt d k (G) jelöli az m szám k-nál nem nagyobb maximális, míg D k (G) az m szám k-nál nagyobb legkisebb osztóját). Majd Vosper tételét felhasználva belátjuk az alábbi tételt Z p -ben: Tétel 5. Ha Z p elemeit k 2 darab színnel színezzük úgy, hogy minden szín el fordul, akkor Z p -nek legalább p 1 db eleme felírható Z p -nek k 1 darab különböz szín elemének összegeként. 4

5 Sejtésem szerint a következ er sebb állítás is teljesül: Sejtés 1. Ha Z p elemeit k 4 darab színnel színezzük úgy, hogy minden szín el fordul, akkor Z p -ben minden elem felírható Z p -nek k 1 darab különböz szín elemének összegeként. Természetesen vet dik fel a kérdés, hogy miként lehetne az 5. tétel eredményét kiterjeszteni egyéb véges Abel-csoportokra. Ezzel kapcsolatos sejtésem a következ : Sejtés 2. Legyen G véges, m-edrend Abel-csoport, valamint r és k olyan pozitív egészek, amelyekre 2 r < k teljesül. Ha m = p 1 p 2 tp s, ahol a p 1 p 2 p s számok prímek, akkor az alábbi érvényes: Az adott G csoport elemeinek minden olyan k-színezése esetén, ahol minden színt használunk, a G olyan elemeinek száma, amik el állnak r darab különböz szín elem összegeként, (i) pontosan m, ha r = 2 és m < 2k 1 (ii) legalább m m p 1, ha r = 2 és 2k 1 m m (iii) legalább m p 1 p 2 p k r+1, ha 2 < r és k r + 1 s (iv) pontosan m, ha 2 < r és k r + 1 > s. A fenti korlátok élesek. Nyilvánvaló módon az els sejtés következménye a másodiknak. A harmadik fejezetben szorzatokra vonatkozó hasonló kérdéseket vizsgálunk. Azt becsüljük meg, hogy ha a pozitív egészeket M-ig valahogyan k-színezzük, akkor legalább hány olyan pozitív egész lesz, amik el állnak r ugyanolyan szín szám szorzataként. Ezek az eredmények szerepelnek [4]-ban. A harmadik fejezetben el ször az alábbit igazoljuk: Tétel 6. Van olyan c pozitív abszolút konstans, hogy tetsz leges r és k pozitív egészekre (ahol k nagyobb r-nél), valamint minden k-tól függ en elég nagy M pozitív egészre igaz, hogy az {1, 2,, M} halmaz minden k-színezésére teljesül a b B 1 b > c 2 r 1 log M, kr 1 5

6 egyenl tlenség, ahol B jelöli azoknak a pozitív egészeknek a halmazát, amik felírhatók az {1, 2,, M} halmaz r darab ugyanolyan szín elemének szorzataként. Az el z höz hasonló problémát is vizsgálunk néhány véges Abel-csoportban. Belátjuk az alábbi tételt: Tétel 7. Minden k és r pozitív egészhez létezik olyan T k,r pozitív egész, hogy minden T k,r -nél nagyobb M pozitív egész esetén a következ teljesül: tetsz leges M-edrend ciklikus G multiplikatív csoport elemeinek minden k-színezése mellett legalább ( ) 1 2 (k (r 1)+1) M M (M, r) 3 (M, r) csoportbeli elem felírható a csoport r különböz, azonos szín elemének szorzataként (itt (M, r) az M és r számok legnagyobb közös osztóját jelöli). A negyedik fejezetben a megfelel rainbow-típusú problémát vizsgáljuk szorzatokra vonatkozóan. Egy aszimptotikusan pontos eredményt közlünk, ami [5]- ben szerepel. Egészen pontosan, ha k rögzített pozitív egész és a pozitív egészeket n-ig k-színezzük úgy, hogy minden színt használunk, akkor R (r) k (n)-val jelölve azon számok minimális számát, amik el állnak r darab különböz szín szám szorzataként belátjuk a következ t: R Tétel 8. lim (r) k (n) 1 n = 2 n 2 (r 1)(k 1) (r 1)2. Az utolsó fejezetben ismertetjük és megoldjuk Károlyi Gyula egy geometriai gráfelméleti sejtését, ami bizonyos részgráfok multiplicitására vonatkozik (lsd. [22]). Geometriai gráf alatt olyan gráfot értünk, ami le van rajzolva a síkba és minden csúcsa a sík egy pontja, míg minden éle két ilyen csúcs közt futó szakasz (feltesszük, hogy két csúcs közt futó szakaszon nincsen rajta egy harmadik csúcs). Konvex geometriai gráfról akkor beszélünk, ha a csúcsok konvex helyzetben vannak. Els ként Harary és Prins vizsgálta absztrakt gráfok Ramsey-multiplicitását 6

7 (lsd. [19]). Hasonlóan kiterjeszthet deníciójuk geometriai gráfokra. Tetsz leges G gráf esetén a geometriai Ramsey-szám R g (G) jelöli a legkisebb olyan pozitív egész r számot, amire az teljesül, hogy bármely legalább r csúcsú H teljes geometriai gráf éleinek tetsz leges 2-színezése esetén van H-nak olyan részgráfja, aminek minden éle ugyanolyan színnel van színezve és nem tartalmaz keresztez éleket. Ugyanígy deniálhatóak az R c (G) számok, ahol konvex geometriai gráfokra szorítkozunk. Ismeretes, hogy a fenti számok pontosan akkor léteznek, ha a G gráf olyan síkgráf, ami lerajzolható oly módon a síkba, hogy csúcsainak mindegyike rajta van a végtelen lapon (lsd. [14]). RM g (G) jelöli egy G gráf monokromatikus példányainak minimális számát egy teljes R g (G)-csúcsú 2-színezett geometriai gráf részgráfjaként. Ugyanígy értelmezhet az RM c (G) szám konvex geometriai gráfok esetén. A 2n csúcsot tartalmazó, keresztez élek nélküli teljes párosítást geometriai gráfok esetében M 2n -nel fogjuk jelölni. Geometriai gráfokra ismeretes az alábbi (lsd. [24]): Tétel 9. R g (M 2n, M 2n ) = 3n 1 Károlyi vetette fel a kérdést, hogy mekkora lehet RM g (M 2n ) és RM c (M 2n ) értéke (lsd. [22]). Sejtése szerint ezek a csúcsok számának függvényében exponenciális nagyságrend ek. A sejtés teljesen logikusnak t nhet, hiszen absztrakt gráfok esetén a Ramsey- multiplicitás valóban nagy. Ezért is meglep az állítás, amit a disszertációban bizonyítunk: Tétel 10. RM g (M 2n ) = RM c (M 2n ) = 1. References [1] P. G. Agarwal and J. Pach, Combinatorial Geometry, Wiley, [2] J. Borbély, On the higher dimensional generalization of a problem of Roth, Integers, Volume 13, A64,

8 [3] J. Borbély, On the rainbow version of a problem of Roth, Journal of Combinatorics and Number Theory 6, Volume 1, 67-75, [4] J. Borbély, Some Ramsey-type asymptotic results concerning products, submitted [5] J. Borbély, A rainbow-type asymptotic result concerning products, submitted [6] A. Cauchy, Recherches sur les nombres, Journal de l'école polytechnique, Volume 9, , [7] D. Conlon, Rainbow solutions of linear equations over Zp, Discrete Mathematics, Volume 306, Issue 17, , [8] J. A. Dias da Silva and Y. O. Hamidoune, Cyclic spaces for Grassman derivatives and additive theory, Bulletin of the London Mathematical Society, Volume 26, , [9] P. Erd s, Some unsolved problems, Publications of the Mathematical Institute of the Hungarian Academy of Sciences, Volume A 6, , [10] P. Erd s and A. Sárközy, On a conjecture of Roth and some related problems II, in: Number Theory, Proceedings of The First Conference of The Canadian Number Theory Association, edited by R. A. Mollin and Walter de Gruyter, Berlin-New York, , [11] P. Erd s, A. Sárközy and Vera T. Sós, On a conjecture of Roth and some related problems I, Irregularities of partitions, Pap. Meet., Fert d/hung., in: Algorithms and Combinatorics, Volume 8, 47-59, [12] L. Gerencsér, A. Gyárfás, On Ramsey-type problems, Annales Universitatis Scientarium Budapestiensis Lorand Eötvös, Sectio Mathematica X, , [13] R. L. Graham, B. L. Rotschild, J. H. Spencer, Ramsey Theory, Wiley,

9 [14] P. Gritzmann, B. Mohar and J. Pach and R. Pollack, Embedding a planar triangulation with vertices at specied points, American Mathematical Monthly, Volume 98, , [15] D. S. Gunderson and V. Rödl, An alternate proof of Szemerédi's cube lemma using extremal hypergraphs, Diskrete Strukturen in der Mathematik, Preprintreihe, [16] D. S. Gunderson and V. Rödl, Extremal problems for ane cubes of integers, Combinatorics, Probability and Computing 7, Volume 1, 65-79, [17] R. K. Guy, Unsolved Problems In Number Theory, Springer-Verlag, [18] Y. Hamidoune and Ø. Rødseth, An inverse theorem mod p, Acta Arithmetica, Volume 92, , [19] F. Harary and G. Prins, Generalized Ramsey theory for graphs IV, Ramsey multiplicities, Networks, Volume 4 (1974), , [20] D. Hilbert, Über die Irreduzibilität ganzer rationaler Funktionen mit ganzzähligen Koezienten, Crelle's Journal, Volume 110, , [21] V. Jungi, J. Ne²et il and R. Radoi i, Rainbow Ramsey Theory, Integers, Volume 5, [22] G. Károlyi, Ramsey-type problems for geometric graphs, in: Thirty Essays on Geometric Graph Theory, Springer, , [23] G. Károlyi, J. Pach and G. Tóth, Ramsey-type results for geometric graphs I, Discrete and Computational Geometry, Volume 18, , [24] G. Károlyi, J. Pach, G. Tóth and P. Valtr, Ramsey-type results for geometric graphs II, Discrete and Computational Geometry, Volume 20, , [25] J. B. Keller and C. Knessl, Partititon asymptotics from recursion equations, SIAM Journal on Applied Mathematics, Volume 50, No. 2, ,

10 [26] M. Kneser, Abschätzung der asymptotischen Dichte von Summenmengen, Mathematische Zeitschrift, Volume 58, , [27] B. M. Landman and A. Robertson, Ramsey Theory On The Integers, American Mathematical Society, [28] M. B. Nathanson, Additive Number Theory: The Classical Bases, Graduate Texts in Mathematics, [29] M. B. Nathanson, Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets, Graduate Texts in Mathematics, Volume 164, [30] M. B. Nathanson, Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets, Graduate Texts in Mathematics, Volume 165, [31] J. Solymosi, Bounding multiplicative energy by the sumset, Advances in Mathematics, Volume 222, Issue 2, 2009, [32] E. Szemerédi, On sets of integers containing no k elements in arithmetic progression, Acta Arithmetica 27, , [33] T. Tao and V. H. Vu, Additive Combinatorics, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Volume 105, [34] A. G. Vosper, The critical pairs of subsets of a group of prime order, Journal of the London Mathematical Society, Volume 31, , [35] B. S. Webb (editor), Surveys in Combinatorics, London Mathematical Society Lecture Note Series, Volume 327,