1. elõadás: A valószínûség fogalma, kombinatorikai alapismeretek. (emlékeztetõ)

Átírás

1 Ea elõadás: A valószínûség fogalma, kombinatorikai alapismeretek Véletlen jelenség: feltételek, körülmények; ismételhetõség Megfigyelés: mi érdekel minket lehetséges kimenetelek Esemény: állítás a véletlen jelenséggel kapcsolatban, két kimenetel (IGEN, NEM) Kísérletsorozat Esemény relatív gyakorisága egy kísérletsorozatban Valószínûség: hosszú kísérletsorozat esetén a relatív gyakoriság stabilizálódik egy szám körül, az esemény valószínûsége körül, ami egy 0 és 1 közötti szám Biztos esemény, valószínûsége = 1. Lehetetlen esemény, valószínûsége = 0. Esemény komplementere, P( A komplementer ) = 1 P(A). Események összekapcsolása az és és a vagy kötõszavakkal. Az A, B események egymást kizárják, ha az A és B esemény lehetetlen. A valószínûség addititív (összegzési) tulajdonsága: Ha A1, A2, A3, egymást (páronként) kizáró események, akkor P( A1 vagy A2 vagy A3 vagy ) = P(A1) + P(A2) + P(A3) +. Klasszikus problémák: Ha egy megfigyelésnek csak véges sok mondjuk n darab kimenetele van, és azok egyformán valószínûek, akkor mindegyik kimenetel valószínûsége 1/ n. Ha ilyenkor egy esemény számára k darab kimenetel kedvezõ, akkor file:///d /Andras/Munka/Villanysite/acrob/Ea1_2002_02_11.htm (1 of 2) :42:36

2 az esemény valószínûsége = k/n ( kedvezõ/összes). Kombinatorikai alapismeretek: permutációk ismétlés nélkül és ismétléssel, variációk ismétlés nélkül és ismétléssel, kombinációk ismétlés nélkül Stirling formula, Pascal háromszög, binomiális tétel Példa: A három találat valószínûsége az ötös lottón A valószínûségre közelítõleg 0,000 8 jött ki,, ami azt jelenti, hogy kb. minden 1200-ik szelvény három találatos, tehát, ha valaki rendszeresen játszik egy szelvénnyel, akkor 24 évenként átlagosan 1-szer reménykedhet három találatban. Excel használata: táblázat készítése véletlen számokból a VÉL() függvénnyel Megtanulandó: akármilyen könyvbõl az öt kombinatorikai alapképlet a jegyzetbõl az I. fejezet (9-35. old.) a tankönyvbõl a IV. rész 1-2. fejezet ( old.) az V. rész 1. fejezet kidolgozott példái ( old.) file:///d /Andras/Munka/Villanysite/acrob/Ea1_2002_02_11.htm (2 of 2) :42:36

3 Ea elõadás: Feltételes valószínûség Feltételes valószínûség elvonatkoztatása feltételes relatív gyakoriságokból Feltételes valószínûség kiszámolása feltétel nélküli valószínûségek hányadosaként Szorzási szabály két és több eseményre Teljes esemény rendszer Teljes valószínûség formulája Bayes-formula (Jegyzet: old.) Szemléltetés fa-gráfokkal (Tankönyv: old. és old.) Nincs a jegyzetben, de elõadáson vettük még az alábbi két példát: feladat (Öt színes kártya): Egy pakli magyar kártyából kivesszük a zöld hetest, nyolcast, kilencest, a piros tizest és alsót. Az öt lapot jól összekeverjük, majd lerakjuk õket egymás mellé az 1., és 5. pozíciókra. Az öt kártya 5!=120 féle, egyformán valószínû sorrendben jöhet ki. De ha a figurákkal nem törõdünk, és csak a színek sorrendjére figyelünk, akkor a 2 piros és 3 zöld kártya 10 féle, egyformán valószínû sorrendet adhat. A 10 lehetséges sorrendet bárki könnyen fel is sorolhatja. Az öt lapot úgy rakjuk le, hogy a kártyák háta van felfelé, ezért a színeket nem is látjuk. Ezután az ötödik pozíción lévõ kártyát megfordítjuk. a) Tegyük fel, hogy az ötödik pozíción lévõ kártya zöld. Megkérdezzük: ilyen feltételek mellett mi a valószínûsége annak, hogy az elsõ kártya zöld, illetve piros? Válasz: P( az elsõ zöld az ötödik zöld ) = 0.5 P( az elsõ piros az ötödik zöld ) = 0.5 b) Tegyük fel, hogy az ötödik pozíción lévõ kártya piros. Megkérdezzük: ilyen feltételek mellett mi a valószínûsége annak, hogy az elsõ kártya zöld, illetve piros? Válasz: P( az elsõ zöld az ötödik piros ) = 0.75 P( az elsõ piros az ötödik piros ) = 0.25 Ezeknek a feltételes valószínûségek a numerikus értékét a feltételes valószínûség jelentésébõl közvetlenül is megkaptuk, és a feltételeles valószínûség definícójával hányadosként is kiszámoltuk az alábbi nyilvánvaló tényekbõl: file:///d /Andras/Munka/Villanysite/acrob/Ea2_2002_02_18.html (1 of 2) :42:36

4 P(az elsõ zöld)= 0.6 P(az elsõ piros)= 0.4 P(az ötödik zöld )= 0.6 P(az ötödik piros)= 0.4 P(az elsõ zöld és az ötödik zöld)= 0.3 P(az elsõ zöld és az ötödik piros)= 0.3 P(az elsõ piros és az ötödik zöld)= 0.3 P(az elsõ piros és az ötödik piros)= feladat (Feltétel nélküli valószínûség "kikeverése" felételesekbõl) Egy dobozban N darab golyó van, melyek közül K darab piros, N - K darab fehér. 2-szer húzunk visszatevés nélkül. A múlt heti gyakorlaton sok hallgató helyesen érezte az alábbi feltételes valószínûségeket: P( a második piros az elsõ piros ) = ( K - 1 ) / ( N - 1 ) P( a második piros az elsõ zöld ) = K / ( N - 1 ) Viszont sokan csak nehezen tudták elfogadni, hogy P( a második piros ) = K / N. Most ez a feltétel nélküli valószínûség könnyen kiadódik a feltételes valószínûségekbõl, hiszen a teljes valószínûség formulája, majd néhány algebrai átalakítás (közös nevezõ, kiemelés, egyszerûsítés) mutaja, hogy P( a második piros ) = = P( az elsõ piros ) P( a második piros az elsõ piros ) + + P( az elsõ zöld ) P( a második piros az elsõ zöld ) = = ( K/N ) ( (K -1) / (N -1) ) + ( (N - K) / N ) ( K / (N -1) ) = = K / N file:///d /Andras/Munka/Villanysite/acrob/Ea2_2002_02_18.html (2 of 2) :42:36

5 Ea elõadás A teljes vsz. formula feltételes valószínûségekre, és a Poincaré formula, alkalmazásokkal Teljes valószínûség formula feltételes valószínûségekre: Ha az esemény az egymást kizáró eseményekre bontható, és tetszõleges esemény, akkor ( A formula a jegyzetben, tankönyvben nem szerepel.) Következmény: Ha az esemény az egymást kizáró eseményekre bontható, és tetszõleges esemény, továbbá akkor is c-vel egyenlõ. Három alkalmazásról volt szó: 1. A múlt heti gyakorlaton szerepelt az alábbi feladat: nem függ i-tõl, hanem i-tõl függetlenül mondjuk c-vel egyenlõ, Feltesszük, hogy minden játszmát az A játékos a valószínûséggel, a B játékos b valószínûséggel nyer meg, a döntetlen valószínûsége pedig d. a) kérdés: Feltéve, hogy a mérkõzés legfeljebb 10 játszmából áll, mi a valószínûsége, hogy B nyeri meg a meccset? Válasz:. file:///d /Andras/Munka/Villanysite/acrob/Ea3_2002_02_25.htm (1 of 3) :42:36

6 b/(a+b). Furcsának tûnhet, hogy a kérdésben szerepel a 10, de a válaszban nem. Ennek a furcsaságnak a feloldására tesszük fel az alábbi kérdést (mely igazából 10 kérdés egybe fogalmazva): b) kérdés: Feltéve, hogy a mérkõzés pontosan i játszmából áll, mi a valószínûsége, hogy B nyeri meg a meccset? (i=1,2,,10) Válasz: Könnyen kiszámoltuk az amúgy eléggé természetes választ: a kérdezett valószínûség minden i-re a/(a+b)-vel egyenlõ. Ezért a fent megfogalmazott Következmény szerint az a) kérdésre is a/(a+b) a helyes válasz. Így az, ami furcsának tûnhetett, most természetessé válhatott. 2. Egy dobozban két piros és három fehér kártya van. A pirosak neve p1 és p2, a fehéreké f1, f2, f3. Az öt kártyát sorba lerakjuk. Az alábbi valószínûségeket számoltuk ki, és a köztük lévõ összefüggéseken gondolkodtunk el: P( az elsõ piros az ötödik a p1 ), P( az elsõ piros az ötödik a p2 ), P( az elsõ piros az ötödik piros ). 3. Egy dobozban két piros, három fehér és négy zöld kártya van. Az öt kártyát sorba lerakjuk. Az alábbi valószínûségeket számoltuk ki, és a köztük lévõ összefüggéseken gondolkodtunk el: P( az elsõ piros az ötödik a piros ), P( az elsõ piros az ötödik a zöld ), P( az elsõ piros az ötödik színes ). Az elõadás második felében a Poincaré formulát (más néven Szita-formulát) tanultuk, és segítségével a file:///d /Andras/Munka/Villanysite/acrob/Ea3_2002_02_25.htm (2 of 3) :42:36

7 Minden feleség hûtlenkedik esemény valószínûségét számoltuk ki. (Jegyzet: oldal) file:///d /Andras/Munka/Villanysite/acrob/Ea3_2002_02_25.htm (3 of 3) :42:36

8 Ea elõadás: Elsõ rész: A függetlenség fogalma, Második rész: A diszkrét eloszlás fogalma A függetlenség fogalmát lásd: jegyzet, III. fejezet ( old.) Feladat: Kockával dobunk, és leolvassuk a dobott számot. A játékosnak el kell találnia a dobott szám paritását, vagyis hogy a dobott szám páros-e vagy páratlan. Segítségként a játékos megkérdezheti, hogy a dobott szám - MEKKORA? Erre a kérdésre a lehetséges válaszok: 1, 2, 3 esetén KICSI, 5, 6, 7, esetén NAGY, vagy - HOL VAN? Erre a kérdésre a lehetséges válaszok: 1, 2 esetén LENT, 3, 4 esetén KÖZÉPEN, 5, 6, esetén FENT. A kétféle segítség közül csak az egyikkel lehet élni. Ön - mint játékos - melyik kérdést tenné fel? A diszkrét eloszlás fogalmát lásd: jegyzet, 56. oldal vagy könyv 89. oldal Feladat: Két kockával (egyik piros, a másik fehér) dobunk, és megfigyeljük az alábbiak valamelyikét: a dobott számok összegét, a dobott számok eltérését, a két szám maximumát, a két szám minimumát. a dobott számpárt (a számpár elsõ elemét a piros, a másodikat a fehér kocka mondja meg). Mindegyik megfigyeléssel kapcsolatban megadtuk az összes lehetséges kimenetelt és azok valószínûségeit. Definíció: Ha minden kimenetelnek megadjuk a valószínûségét, akkor megadjuk a megfigyelést elíró (valószínûség)eloszlást. file:///d /Andras/Munka/Villanysite/acrob/Ea4_2002_03_04.html (1 of 2) :42:37

9 file:///d /Andras/Munka/Villanysite/acrob/Ea4_2002_03_04.html (2 of 2) :42:37

10 Ea elõadás: Nevezetes diszkrét eloszlások, és a módusz Hipergeometrikus eloszlás (A, B, n, illetve N, K, n paraméterekkel) "ahány pirosat húzunk visszatevés nélkül" lehetséges értékek, képlet, módusz 2. Binomiális eloszlás (n, p paraméterekkel) "ahány pirosat húzunk visszatevéssel nélkül", illetve n darab független, p valószínûségû esemény közül ahány bekövetkezik lehetséges értékek, képlet, módusz 3. Poisson-eloszlás (t paraméterrel) binomiáilis eloszlás konvergenciája Poisson eloszláshoz sok, független, kis valószínûségû esemény közül ahány bekövetkezik lehetséges értékek, képlet, szumma=1 Feladat: Hány hal a legvalószínûbb? (lásd: jegyzet 74. oldal) 4a. Geometriai eloszlás (p paraméterrel; "optimista", illetve "pesszimista" eset) "ahányadik kísérletre az elsõ pirosat húzzuk", illetve "ahány fehéret húzunk az elsõ piros elõtt" lehetséges értékek, képlet, szumma=1, módusz 4b. Negatív binomiális eloszlás (p, r paraméterekkel; "optimista", illeteve "pesszimista" esetek és kapcsolatuk) "ahányadik kísérletre az r-edik pirosat húzzuk", illetve "ahány fehéret húzunk az r-edik piros elõtt" lehetséges értékek, képlet (tankönyv old feladat) file:///d /Andras/Munka/Villanysite/acrob/Ea5_2002_03_11.html (1 of 2) :42:37

11 Módusz(ok) meghatározása (tankönyv old. 2. és 3. tétel) Megtanulandó: jegyzet V. fejezet 1-4 rész ( old) file:///d /Andras/Munka/Villanysite/acrob/Ea5_2002_03_11.html (2 of 2) :42:37

12 Ea elõadás: Várható érték 1. Érmével dobunk. A fej jelentsen egyet, az írás jelentsen nullát. Sok kísérlet esetén kb. mennyi lesz a generált véletlen számok (nullák és egyek) átlaga? Válasz: kb. 0,5. 2. Két érmével dobunk. A dupla fej jelentsen egyet, minden más jelentsen nullát. Sok kísérlet esetén kb. mennyi lesz a generált véletlen számok (nullák és egyek) átlaga? Válasz: kb. 0, Dobókockával dobunk, és tekintjük a dobott számot. Sok kísérlet esetén kb. mennyi lesz a generált (1 és 6 közötti) véletlen számok átlaga? Válasz: kb. 3,5. 4 Két dobókockával dobunk, és tekintjük a dobott számokeltérését. Sok kísérlet esetén kb. mennyi lesz a generált (0 és 5 közötti) véletlen számok átlaga? Válasz: kb. 3,5. 5. Dobókockával dobunk. Az 1, 2, 3, 4 jelentsenek (-1) -et, az 5 és 6 jelentsenek 2 -t. Sok kísérlet esetén kb. mennyi lesz a generált véletlen számok (mínusz egyek és plusz kettõk) átlaga? Válasz: kb Diszkrét eloszlásokra definiáltuk a várható érték fogalmát (lásd tankönyv old), majd levezettük a binomiális-, a Poisson- és a geometriai eloszlás várható értékének a képletét. (lásd tankönyv old. vagy jegyzet ). A geometriai eloszlás várható értékére adtunk egy egyszerûbb levezetést is, mely csupán a mértani sorok összegképletére támaszkodott file:///d /Andras/Munka/Villanysite/acrob/Ea6_2002_03_18.html (1 of 2) :42:37

13 Egy városban egy munkanapon történõ súlyos közlekedési balesetek száma valószínûségi változó. A korábbiakból tudjuk, hogy ez a valószínûségi változó Poisson eloszlásúnak vehetõ. (Miért?) Most meganultuk, hogy Poisson eloszlás esetén a várható (átlag) érték a paraméterrel egyenlõ. Ezért ha tudjuk, hogy átlagosan 3,5 súlyos közlekedési baleset történik egy-egy nap, akkor a súlyos közlekedési balesetek száma Poisson eloszlásúnak vehetõ 3,5 paraméterrel. Ezek után annak a valószínûsége, hogy 0, 1, 2,... ilen baleset történek egy-egy munkanapon, a Posson eloszlás képletébõl felírható, az eloszlás módusza is meghatárzoható, stb. Kísérlet: Mindenki addig dobott egy érmepárt, amíg elõszörre kapott dupla fejet. A szükséges dobások számát felírta. Ezt még négyszer megtette. Így mindenki kapott öt számot. Összesen tehát ötször annyi véletlen számunk lett, ahányan a teremben voltunk. Összegyûjtöttük a sok véletlen számot. Holnapra egy önkéntes brigád meghatározza az átlagukat. Vajon az átlag menniyre lesz közel az elméleti értékhez? (Az elméleti várható érték az 1/4 paraméterû geometriai eloszlás várható értéke, vagyi az 1/4 -nek a reciproka, ami 4.) Két egyforma de hamis (a fej valószínûsége mindkét kockán p) kockával dobtunk, mindegyikkel az elsõ hatosig. Elõször meghatároztuk az így kapott véletlen számpár eloszlását a síkon, majd ebbõl levezettük az eltérésük eloszlásának a képletét. Nem kötelezõ házi feladat: Határozza meg ennek az eloszlásnak a várható értékét! Beadási határidõ a holnapi (március 19-i) gyakorlat. (2 pont) file:///d /Andras/Munka/Villanysite/acrob/Ea6_2002_03_18.html (2 of 2) :42:37

14 Ea elõadás: Sûrûségfüggvénybõl nyert, folytonos eloszlások Sûrûségfüggvénybõl nyert, folytonos eloszlások egy-, két-, három- és magasabb dimenzióban. Valószínûség interpretációja területtel, térfogattal, illetve tömegmennyiséggel. (Tankönyv: old., jegyzet: old.) Egyenletes, ill. nem egyenletes eloszlás egy-, két-, három- és magasabb dimenzióban. (Tankönyv: 112., 114.,116., 502. old., jegyzet: old.) Véletlen pont választása a kör kerületén egyenletes eloszlás szerint. Véletlen pont választása a kör átmérõjén a kör kerületén választott pont merõleges vetületeként - nem egyenletes eloszlású. Véletlen szám generálása kalkulátorral 0 és 1 között egyenletes eloszlás szerint. Jelölés: RND. (Tankönyv: old.) RND négyzetgyökének, ill. négyzetének sûrûségfüggvénye. Célbalövés, amikor amatõr lõ, és amikor mesterlövész. A találat helye az elsõ esetben egyenletes eloszlásúnak vehetõ, a második esetben nem. A kör kerületén egyenletes eloszlás szerint választunk egy pontot, majd a ponthoz tartozó sugáron egyenletes eloszlás szerint kijelölünk egy pontot. Ennek a véletlen pontnak, ami a körlapnak egy pontja, mi a sûrûségfüggvénye? (Lásd lentebb: 1. számú nem kötelezõ házi feladat.) Véletlen pont választása az egységnyi oldalú négyzetben úgy, hogy a koordinátáit kalkulátorral generáljuk - egyenletes eloszlású a négyzetlapon. Két véletlen számot generálunk kalkulátorral. Mi a valószínûsége, hogy eltérésük kisebb 1/3 - nál? Ugyanez Jancsi és Juliska randevújaként interpretálva: Jancsi és Juliska egymástól függetlenül érkeznek a randevú helyére, külön-külön egyenletes eloszlás szerent dél és du. 1 óra között. Aki odaér, 20 percet vár, utána szomorúan elmegy. Mi a valószínûsége, hogy létrejön a randevú? (Válasz: 5/9) file:///d /Andras/Munka/Villanysite/acrob/Ea7_2002_03_25.html (1 of 2) :42:37

15 Juliska apja, aki nem szereti Jancsit, egy pillanatra felbukkan a randevú helyén, ugyancsak egyenletes eloszlás szerint, de õ nem vár semmit. Ha Jancsit ott találja, akkor lekever neki egy pofont. Ha Juliskát találja ott, akkor õt hazacibálja. (Lásd lentebb: 2. és 3. számú nem kötelezõ házi feladat.) Nem kötelezõ házi feladatok (Beadási határidõ: meghosszabbítva az április 2-i gyakorlatig) 5. Határozza meg a síkbeli sûrûségfüggvényt a fenti, vastag betûvel írott problémához! (1 pont) 6. A fenti, vastag betûvel írott probléma kapcsán határozza meg annak a valószínûségét, hogy Jancsi pofont kap! (1 pont) 7. A fenti, vastag betûvel írott probléma kapcsán határozza meg annak a valószínûségét, hogy a randevú békésen létrejön! (2 pont) file:///d /Andras/Munka/Villanysite/acrob/Ea7_2002_03_25.html (2 of 2) :42:37

16 Ea elõadás: Elmaradt, mert húsvét hétfõre esett file:///d /Andras/Munka/Villanysite/acrob/Ea8_2002_04_01.html :42:37

17 Ea elõadás: Exponenciális eloszlás és a várható érték folytonos eloszlásokra Exponenciális eloszlás kétféle származtatása: 1. mint várkozási idõ homogén Poisson folyamatnál (jegyzetben, könvben nincs benne): "mennyi idõt kell várni arra, hogy a Petõfi híd közepén az elsõ Mercedes áthaladjon" 2. mint örökifjú tulajdojnságú élettartam (jegyzet: old., tankönyv: old.): "mennyi idõt él (=nem töriok el) a pohár az éjjel nappal folyamatosan üzemelõ önkiszolságó étteremben" Adott eloszlású valószínûségi változó elõállítása számítógépen generált, 0 és 1 között egyenletes eloszlású véletlen számból az eloszlásfüggvény inverzével (tankönyv: old.) A várható érték folytonos eloszlásokra (tankönyv: old.) Valószínûségi változó függvényének várható értéke (tankönyv: old.) RND, RND^2, SQRT(RND), exponenciális eloszlás várható értéke Cauchy eloszlás várható értéke nem létezik file:///d /Andras/Munka/Villanysite/acrob/Ea9_2002_04_08.html :42:37

18 Ea elõadás: Eloszlások transzformációi Eloszlás transzformációja egydimenzióban monoton növekedõ függvénnyel, monoton csökkenõ függvénnyel, illetve olyan függvénnyel ami ilyen darabokból áll. Eloszlás transzformációja síkról egyenesre. Eloszlás transzformációja síkról síkra (csak megemlítettük, de nem kérjük számon). Eloszlás vetítése síkról koordinátatengelyekre. Jegyzet: old. Tankönyv: old. file:///d /Andras/Munka/Villanysite/acrob/Ea10_2002_04_15.html :42:38

19 Ea elõadás: Feltételes eloszlások, regressziós görbék Feltételes eloszlások sûrûségfüggvények eloszlásfüggvények várható érték medián Regressziós görbék Példa, amit részletesen kidolgoztunk: RND1*RND2-bõl hogyan tippeljünk RND1-re ha a hiba abszolút értékének a várható értékét akarjuk minimalizálni ha a hiba négyzetének a várható értékét akarjuk minimalizálni Megtanulandó: Jegyzet: old. Tankönyv: old. file:///d /Andras/Munka/Villanysite/acrob/Ea11_2002_04_22.html :42:38

20 Ea elõadás: Várható érték és szórás tulajdoságai és a konvolúció Lineáris transzformációval kapott valószínûségi változó várható értéke és szórásnégyzete. Összeg várható értéke és szórásnégyzete. Független valószínûségi változók szorzatának várható értéke várható értéke. Korrelálatlan valószínûségi változók összegének szórásnégyzete Függetlenség és korrelálatlanság kapcsolata. Összeg eloszlása általános esetben. Összeg eloszlása független valószínûségi változók esetén: konvolúció diszkrét eloszlásokra és folytonos eloszlások sûrûségfüggvényeire. Diszkrét, illetve folytonos egyenletes eloszlások konvolúciója "trapéz" alakú eloszlásra, illetve sûrûségfüggvényre vezet Megtanulandó: Jegyzet: old, old., old file:///d /Andras/Munka/Villanysite/acrob/Ea12_2002_04_29.html :42:38

21 3 Ea elõadás: Normális eloszlások Standard normális eloszlás sûrûségfüggvénye, eloszlásfüggvénye, várható értéke, szórása. (m,σ) paramιterû normális eloszlás várható értéke, szórása, eloszlásfüggvénye (standardizálás). Moivre-Laplace-tétel, Centrális határeloszlás tétel Feladatok: 46* dobok pénzérmével, mi a vszge, hogy legfeljebb 15 fejet dobok? 400 fõs évfolyamon egy hallgató 60% vszggel jön órára, mekkora termet igényeljünk, hogy 99% vszggel le tudjanak ülni? Egy kertben átlag 50 kg napraforgó terem 10 kg szórással. Mi a vszge a 37 kg-nál kevesebb ill. 65 kg-nál nagyobb termésnek? 100 db RND számot összeadva mi a vszge, hogy ez 45-nél kisebb? Tankönyv: , , old. Jegyzet: old. file:///d /Andras/Munka/Villanysite/acrob/Ea13_2002_05_06.html :42:38

22 3 Ea elõadás: Nagy számok törvényei Csebisev- és Bernuolli egyenlõtlenség, nagy számok gyenge és erõs törvénye, küszöbindex keresése normális eloszlással (valószínûségi változókra, eseményekre) Tankönyv: , old. Jegyzet: old file:///d /Andras/Munka/Villanysite/acrob/Ea14_2002_05_13.html :42:38