Hő- és Áramlástechnika

Átírás

1 BÁNKI DONÁT GÉPÉSZ ÉS BIZTONSÁGTECHNIKAI MÉRNÖKI KAR Hő- és Áramlástechnika ÓE-BGK 059 Budapest, 04.

2 Tartalomjegyzék Előszó...6. Folyadékok és gázok tulajdonságai...7. Ideális folyadék...7. Folyadékok és gázok legfontosabb fizikai jellemzői...7. Folyadékok és gázok tulajdonságai A telített gőz nyomása Általános gáztörény....4 Egyszerű állapotáltozások ideális gázokban Izotermikus állapotáltozás Állandó térfogat melletti állapotáltozás Izobár állapotáltozás Adiabatikus és súrlódásmentes állapotáltozás Politropikus állapotáltozás Folyadékok összenyomhatósága Termodinamikai alapfogalmak A termodinamikai rendszer A termodinamikai és kalorikus mennyiségek A fajlagos munka és a fajlagos hő A termodinamikai rendszer energiatartalma, a termodinamika alaptörényei A termodinamika 0. főtétele Az első főtétel zárt rendszerben..... Az első főtétel nyitott rendszerben... A technikai munka... Kompresszor izsgálata... A kilépési munka... Az entalpiaáltozás... 5 Az entalpia... 5 Gázturbina izsgálata Az termodinamika második főtétele Az entrópia A termodinamika III. főtétele.... Carnot-körfolyamatok..... Carnot-körfolyamat..... Izotermikus expanzió - szakasz Adiabatikus expanzió - szakasz Izotermikus kompresszió -4 szakaszon Adiabatikus kompresszió a 4- szakaszon Carnot-körfolyamat hatásfoka A Carnot-körfolyamat (reerzibilis) körfolyamat Általános körfolyamatok A fordított Carnot-körfolyamatok Reerzibilis és irreerzibilis körfolyamatok Különböző körfolyamatok Otto körfolyamat A Diesel körfolyamat A Siegler-Sabathé-körfolyamat... 48

3 4.4. Gőz körfolyamat és gőzdiagramok A Rankine-Clausius körfolyamat Clausius-Rankine körfolymat T-s diagramban Vízgőz h-s diagramja Hűtőgépek és hősziattyúk Kompresszoros hűtőgép A kompresszoros hűtőgépeken kíül alkalmaznak még abszorpció hűtőgépeket is. Ezek részleteiel itt nem foglalkozunk. Ezekről a [] irodalomban találni részleteket A hősziattyúk Hűtőközegek Nedes leegő állapotjelzői Ideális gázkeerékek törényei Nedes leegő A nedes leegő h x diagramja Légállapot izsgálat fűtés során Légállapot izsgálat hűtés során Hőterjedés A hőezetés A hőezetési tényező (λ) Stacioner hőezetés szilárd testekben Hőezetés stacioner esetben, gömbhéjban A hőellenállás Instacioner hőáramlás Hőátadás Hőátitel Hőátitel többrétegű falon A hőátadás, hőátadási tényező számítása Hőátadás kényszeráramlásban Hűtőborda Hőátadás szabad áramlásban A hősugárzás Nyugó folyadék egyensúlya A nyomás fogalma A nyomóerő számítása a nyomásból Hidrosztatika alapegyenlete Hidrosztatika alapegyenlete nehézségi erőtérben Hidrosztatikai feladat megoldásáról általában Nyomás áltozása az atmoszférában Hidrosztatikai nyomásból származó erő számítása, Hooer-gát Nyomásmérés és nyomásmérő eszközök Abszolút és túlnyomás Higanyos barométer U cső, mint manométer Mikromanométerek Rugós nyomásmérő műszerek Nyomástáadók Folyadék egyenletesen gyorsuló rendszerben Folyadék forgó rendszerben.... Kinematika és a folytonosság tétele... 9

4 .. A folyadékmozgás leírása Áramonal, pálya, nyomonal, stacioner áramlás A folytonosság tétele..... Folytonosság tétele stacioner áramlásra..... A folytonosság tétele instacioner áramlásra..... Kontinuitás tetőablakon Kontinuitás kompresszorban Örényesség, cirkuláció Az örényesség síkáramlásban Cirkuláció, Stokes-tétel Potenciálos áramlás, potenciálos örény A folyadékrészecske gyorsulása Gyorsulás konfúzorban Euler- és Bernoulli-egyenlet Euler-egyenlet Euler-egyenlet természetes koordinátarendszerben Szilárd testként forgó folyadék A Bernoulli-egyenlet A Bernoulli-egyenlet alkalmazásai Örény a ízfelszínen Forgószél Kiömlés tartályból Sziornya Kiömlés tartályból instacioner esetben Ventilátorok, Euler-turbinaegyenlet Radiális entilátorok elméleti és alóságos jelleggörbéi A radiális entilátorok ideális jelleggörbéi A entilátorok alóságos jelleggörbéi Forgó "S" alakú cső, mint egyszerű sziattyú Impulzustétel és alkalmazásai Szilárd test az ellenőrző felületben Sík lapra ható erő Pelton-turbina Egy lapátra ható erő Kerékre ható átlagos erő A kerületi erő áltozása A teljesítmény kiszámítása Csőezeték hirtelen zárása A hirtelen záráskor fellépő nyomáslengések A ízoszlop röidülése A nyomásnöekedés kiszámítása A hullámterjedés sebessége Szárnyrács számítása Légcsaar sugárelmélete Az ideális szélgenerátor Súrlódásos folyadékok Viszkozitás Súrlódásos közeg mozgásegyenlete Naier-Stokes-egyenlet megoldása két sík lap között

5 5. Megoldás hengeres csőben Viszkózus folyadékok csőáramlása Lamináris és turbulens áramlás Darcy-formula Turbulens megoldás Nikuradse-diagram A Moody-diagram Csőáramlási probléma három típusa I. feladat: Számítsuk ki a nyomásesést! II. feladat: Keressük meg az átlagsebességet! III. feladat: Számítsuk ki a csőátmérőt! Nem körkeresztmetszetű ezetékek áramlási esztesége Csőidomok és szerelények eszteségének számítása Borda-Carnot átmenetet Belépési eszteség Diffúzor Szelepek, csapok, tolózárak Könyökök, íek Légtechnikai berendezések Csőezeték rendszerek számítása Olajzó ezeték Víztorony Tartályból tartályba áramlás.... Testekre ható áramlási erők A henger és gömb körüli áramlás Különféle testek ellenállása Szárnyra ható erők A sebesség és térfogatáram mérés A sebességmérés és eszközei A Prandtl-cső Térfogatáram mérés csőben Prandtl-csőel Térfogatáram mérés szűkítő elemekkel... 8 Magyar nyelű szakirodalomból Idegen nyelű szakirodalomból

6 Előszó A jegyzet elsősorban a másodées gépészmérnök hallgatók számára a Hő- és Áramlástechnika elsajátításához és alkalmazásához nyújt segítséget. Természetesen mások számára is igen hasznos, akik az áramlástan alapjaial kíánnak megismerkedni, és az ismereteiket alkalmazni is szeretnék az ipari gyakorlatban. A jegyzet alapja a Budapesti Műszaki Egyetemen, a Paksi Energetikai Főiskolán, a gödöllői Szent Istán Egyetemen és az en folyó hő- és áramlástechnika keretében tartott előadásaim. A hő- és áramlástan alapegyenleteinek ismertetésekor több esetben a matematikai hátteret is igyekeztem megilágítani, a teljes precizitás igénye nélkül. Az alapegyenletek alkalmazását, annak egyes lépéseit példákon mutatom be. Nemcsak a műszaki alkalmazásokat, hanem egyéb jelenségeket is példaként álasztottam, légköri, biológiai jelenségekhez kapcsolódó magyarázatokat is beépítettem a jegyzetbe. Az egyes fejezeteket megjelöltem a fejezetre leginkább jellemző kicsinyített ábráal, ikonnal. Az alkalmazási példákat pedig szintén kiemeltem, egy mással össze nem téeszthető ábráal. Remélhetően ezek a jelölések a gyorsabb és pontosabb eligazodást teszik lehetőé az olasó számára az anyagban. A tananyag mélyebb elsajátításához az előadások és a gyakorlatok rendszeres látogatása feltétlenül szükséges. Az alkalmazás toábbi példáit a [8] példatárban találhat az olasó. Megköszönöm az kollektíájának a jegyzet elkészítésében nyújtott segítségét. Külön köszönettel tartozom Dr. Molnár Ildikó kollégámnak, aki a lektorálás során értékes észreételeiel segített a hibák kijaításában. Budapest 04 Szerző 6

7 . Folyadékok és gázok tulajdonságai. Ideális folyadék Fizikában az anyag háromféle halmazállapotát különböztetjük meg: a szilárd a folyékony és a légnemű halmazállapotot. A szilárd testek meghatározott alakkal rendelkeznek, míg a folyékony és légnemű anyagok feleszik az azokat tartalmazó edény alakját. A folyékony anyag az edényben szabad felszínt képez, míg a légnemű kitölti a rendelkezésére álló teret. Igen fontos eltérés a folyékony és a légnemű anyagok között, hogy míg a folyadékok közel összenyomhatatlanok, azaz sűrűségük igen nagy nyomásáltozás esetén is alig áltozik, (pl. az óceánok legmélyebb pontján is csak kb. 5%-ot áltozik a felszínhez képest) addig a légnemű testek sűrűsége a nyomással - állandó hőmérséklet mellett - közel arányosan áltozik. A folyadékok mechanikájában a gázokat is folyadéknak szokták neezni, az elneezés használata azonban nem köetkezetes. A folyadékok és gázok tulajdonságainak csak egy részét esszük figyelembe a törények felírásakor, idealizáljuk a tulajdonságokat. Számunkra jelen esetben a célszerű ideális folyadék homogén, súrlódásmentes és összenyomhatatlan. Az összenyomhatatlanságról folyadékok esetében csak ritkán kell lemondanunk -ld. Allieielmélet -, gázok esetében a hangsebesség megközelítéséig megengedhető elhanyagolást jelent. Homogén alatt azt értjük, hogy eltekintünk a molekuláris szerkezettől és a folyadékot, a teret mindenütt egyenletesen kitöltő anyagnak képzeljük. A homogén, agy kontinuum sűrűsége megegyezik a alóságos folyadék sűrűségéel. A kontinuum elneezés arra utal, hogy az adott anyag folyamatosan és egyenletesen, szabad felszínt alkota (a légneműek kiételéel) agy teljes egészében (légneműek) tölti ki a rendelkezésére álló teret, tehát nem bír saját alakkal. A kontinuum elneezés mellett, elsősorban folyadékok és gázok esetében, gyakorta használatos összefoglaló, magyar elneezés a közeg. A alóságos folyadék sűrűségének definíciójánál csak átlagos sűrűségről beszélhetünk: m lim V ahol "m" a "V" térfogatban foglalt tömeg. A limes pedig úgy értendő, hogy a " V" csökken egy kicsi, de a molekulák méretét még több nagyságrenddel meghaladó méretig. A kontinuum közelítés gyakorlatilag mindig fenntartható, kiételt ez alól csak a nagyon ritka gázok izsgálata jelent. A súrlódásmentesség feltételét kell leghamarabb feladnunk a alóságos folyadékok áramlásának izsgálatakor. Az alaptörényeket mégis a súrlódás elhanyagolásáal fogalmazzuk meg, mert - mint azt látni fogjuk - a súrlódás figyelembeétele már gyakran megoldhatatlan nehézségekre ezet.. Folyadékok és gázok legfontosabb fizikai jellemzői Miel a hőtan és a folyadékok mechanikája folytonos közeg egy kis részéel foglalkozik, ezért célszerű beezetni az egységnyi térfogatra eső tömeg, és súly fogalmát. A fizikai mennyiségek mellett azok mértékegységét is megadjuk az (SI The International System of Units) Nemzetközi Mértékrendszerben, amelyben az alap mértékegységek a köetkezők (számunkra szükséges mértékegységek): hossz = méter (m) 7

8 idő = másodperc (s) tömeg = kilogramm (kg) hőmérséklet = Kelin (K) és leszármaztatott mennyiség az erő=newton (N) agy kg m/s Sűrűség az egységnyi térfogatban foglalt tömeg mennyisége, görög betűel -al jelöljük. m kg. V m, ahol "V" a kijelölt "m" tömeg térfogata. Fajtérfogat az egységnyi tömeg által elfoglalt térfogat, ""-el jelöljük (az áramlástanban nem szíesen használjuk, mert a sebességet szintén "" jelöli). A fajtérfogat a sűrűség reciproka: V m m kg Fajsúly az egységnyi térfogatú anyag súlya, görög betűel -al jelöljük G N V m Hőmérséklet, amelyet "T"-el agy "t"-el jelölünk és a folyadék belső energiaszintjének mértéke. Az abszolút hőmérséklet mértéke a Kelin "K", amelynek a kapcsolata a nálunk használt Celsius fokkal a köetkező: K 0 C 7.6 Nyomás az egységnyi felületre eső, a felületre merőleges nyomóerő: p F A N m Pa (Miel a nyomás az egyik legfontosabb fizikai mennyiség a hő- és áramlástanban, ezért pontosabb definíciójára még isszatérünk.) Hő (egységnyi tömegre onatkozó) a rendszerrel közölt agy attól elont hő, nem állapotjelző. Q J q.6 m kg Munka (egységnyi tömegre onatkozó) a rendszerrel közölt agy attól elont munka nem állapotjelző. (W F fizikai munka, zárt rendszerben, W T technikai munka, nyitott rendszerben) W J w m w F p d w kg ; T dp.7 Belső energia (egységnyi tömegre onatkozó) a zárt rendszerrel belső energiája. Ideális gáz esetén u c T

9 U u m J kg Entalpia (egységnyi tömegre onatkozó) a nyitott rendszer energiája. Ideális gáz esetén u cp T. H J h(i) m h u p kg Entrópia (egységnyi tömegre onatkozó) a rendszerrel rendezetlenségének mértéke. S J dq s m ds kg K T.9.0. Folyadékok és gázok tulajdonságai A folyadékok és a gázok állapotáltozásaira legjellemzőbb a nyomás és a fajtérfogat összefüggése, a jól ismert "p-" diagram, melyet íz esetére az. ábra mutat. A diagramban állandó hőmérséklet-onalak (izotermák) annak felrajzola. Folyadék gáz telített gőz Fázisdiagram. ábra. táblázat Gázok kritikus állapotra onatkozó értékei t O krit C p krit bar krit m /kg kg/m íz oxigén nitrogén leegő széndioxid

10 A mozgatható dugattyúal adott tömegű gőzt zárunk a hengerbe. A dugattyú mozgatásáal a gőz térfogatát áltoztathatjuk, miközben mérjük "p" nyomását. A "T" hőmérsékletet egy hőcserélő segítségéel, hő beezetéssel agy elonással állandó értéken tartjuk. Mozgassuk állandó hőmérséklet tartása közben a dugattyút, és a mért "" fajtérfogatot és "p nyomást ábrázoljuk a diagramban. Adott, állandó hőmérséklet mellett csökkente a gőz térfogatát a nyomás kezdetben nöekszik, majd állandóá álik. Az állandó nyomású szakaszon a hengerben folyadék és gőzfázis is jelen an. A hőcserélőn keresztül folyamatosan hőt kell a rendszerből elonni, amely a lecsapódáskor keletkező rejtett, agy látens hő. Az összes gőz kondenzálódása után cseppfolyós fázis marad a hengerben. Itt kis térfogatcsökkenésre nagyon nagy nyomásnöekedéssel álaszol a folyadék, az állandó hőmérsékletű görbék gyakorlatilag függőlegesen emelkednek. Az ábra jobb felső része a légnemű, bal oldali onalkázott része a cseppfolyós halmazállapotot mutatja. A astag onal, határgörbe alatti rész a forrásban léő íz és telített gőz keerékének megfelelő mező. A határgörbe felső pontja feletti hőmérsékleteken már folyékony halmazállapot (íz) nem fordulhat elő. A kritikus hőmérsékleten a lecsapódás, illete az elpárolgás rejtett hő felszabadulása, ill. lekötése nélkül zajlik... A telített gőz nyomása A folyadékból légnemű állapotba aló átalakulás, a párolgás, minden hőmérsékleten és nyomáson, ahol folyadék létezhet, fellép. Bizonyos nyomáson és hőmérsékleten azonban a folyadék belsejében is gőz képződik. Ezt a nyomást telített gőznyomásnak neezzük. A. ábrán a határgörbe alatti területen egy adott hőmérséklethez egy adott, állandó nyomás tartozik. Értékeit a ízre onatkozóan a. ábrában mutatjuk be. p kpa telített gõz nyomása ízben t, 0 C Telített gőz nyomása. ábra A diagram szerint a íz akár nulla fokon is képes forrni, ha kellően kicsi a nyomás. A folyadékokkal működő áramlástechnikai gépekben, főként sziattyúk járókerekénél és hajócsaaroknál, a nagy sebességű áramlásban a nyomás lecsökken olyan mértékben, hogy eléri a telített gőz nyomását. Ekkor gőzbuborékok keletkeznek. Amikor e buborékok nagyobb nyomású helyre kerülnek a gőz kondenzálódik, a buborékok összeroppannak. Ha az összeroppanás szilárd fal közelében történik, jelentős roncsolást okoz. A gőzbuborékok képződését és összeroppanását kaitációnak híjuk. A szilárd falon okozott roncsolást pedig kaitációs eróziónak. Az. ábra hajócsaar lapátjának egy darabját mutatja. Jól látható, hogy a lapát homogén acél szerkezete az erózió hatására sziacsos szerkezetűé alakult 0

11 .. Általános gáztörény Az. ábrán léő határológörbétől jobbra, annak közelében léő pontokkal jellemzett állapotoknál túlheített gőzről, míg a határológörbétől táol, pl. T Tkrit esetén, ha nem ízről an szó, akkor gázról beszélünk. Az ideális gáz a fizikában használt fogalom, a gázok olyan egyszerűsített modellje, amelynek termodinamikai iselkedése egyszerű matematikai eszközökkel írható le. A reális gázok többé agy keésbé közelítik meg az ideális állapotot (legideálisabb gáz jelenlegi tudásunk szerint a hélium). A leegőt alkotó (O és N keeréke) esetén 4 C T krit K, a szokásos hőmérsékleteknél T Tkrit, így a leegő gáznak tekinthető, amelyre jó közelítéssel érényes az ideális gázra onatkozó gáztörény: p R T. amelyhez toábbi kiegészítő egyenleteket is hozzá kell enni, hogy teljes legyen az ideális gázokat leíró matematikai modell. cp c R. ahol Kaitációs erózió egy hajócsaar lapátjának egy darabján (a baloldali felső képen, az alsón annak csiszolata) "p" a gáz nyomása; "" a gáz sűrűsége; "T" a gáz abszolút hőmérséklete; "R" a specifikus gázállandó; c c p. ábra t krit izentropikus, agy adiabatikus kiteő,.

12 " c p " az állandó nyomáson mért fajhő; " c " az állandó térfogaton mért fajhő. Leegőre onatkozóan a gáztörényben szereplő állandók: R le J N m m kg K kg K s K, c p c N m 005 kg K, N m 78 kg K, c c p Egyszerű állapotáltozások ideális gázokban Az. ábrán látható hengerbe zárjunk leegőt, m p T agy egyéb gázt, és izsgáljuk meg hogy, V különböző állapotáltozások esetén milyen Hõcserélõ kapcsolat áll fenn az állapotjelzők között. Az állapotjelzők áltozásának nyomon köetése az m általános gáztörény ismeretében lehetséges. Létezik néhány egyszerű állapotáltozás, p T V melyeknél egy-egy állapotjelzőt állandónak tartunk és a többi állapotjelző áltozását Hõcserélõ.4 ábra izsgáljuk. Egy adott gáz állapotjelzői: a nyomás "p", a sűrűség "" és a hőmérséklet "T". (Az "R" nem állapotjelző.) Vegyünk egy adott tömegű gázt az.4 ábra szerint. Az állapotáltozás során az "" állapotból a "" állapotba kerül a gáz miközben a tömege állandó marad és nem keeredik a környezetében léő gázzal. Hőcserélőn keresztül fűthető, agy hűthető..4. Izotermikus állapotáltozás Ha a hőmérséklet állandó T T T const., akkor izotermikus állapotáltozásról beszélünk. Ha p p a gáz összenyomódik, hogy állandó hőmérsékleten tartsuk közben hűteni kell a hőcserélő segítségéel. Ha p p a gáz kitágul, hogy a hőmérséklete állandó maradjon, fűteni kell. Ez a kísérlet az. ábra izoterma onalainak megrajzolásához használt kísérlet jóal a T krit. érték feletti hőmérsékleten. Behelyettesíte az általános gáztörénybe: p p R T R T.8 Ha behelyettesítjük a p p m kifejezést, akkor a köetkezőt kapjuk: V

13 p V p V amely Boyle-Mariotte-törény néen ismert. (Robert Boyle angol fizikus és Edme Mariotte francia fizikus egymástól függetlenül fedezték fel. Ez utóbbi tudós fedezte fel a szem akfoltját is.) A törény kimondja, hogy a térfogat fordíta arányos a nyomással, agy a sűrűség egyenesen arányos a nyomással. Az.5 ábrán látható az állapotáltozás p- (nyomás- fajtérfogat) és T-s (hőmérséklet-entrópia) diagramokban..9 Izoterm állapotáltozás.5 ábra.4. Állandó térfogat melletti állapotáltozás Ha a térfogat állandó, azaz V V V const., ekkor izochor állapotáltozásról beszélünk. Ezt úgy érhetjük el, hogy rögzítjük egy adott helyen a hengerben. Ha a gázt állandó térfogaton melegítjük, akkor a nyomása megnő p p, ha lehűtjük, akkor nyomása csökken p p. Helyettesítsük az általános gáztörénybe a feltételeket: p p const. m és const. m, amelyből a V V p p T T eredményt kapjuk..0 Ez Gay-Lussac I. törénye. (John Louis Gay-Lussac francia kémikus és fizikus. A kénsagyártásban használt ólomkamrás tornyot is ő találta fel, amit róla neeztek el.) Ez szintén egy egyszerű kapcsolat az állapotjelzők között, hisz a hőmérséklet és a nyomás egyenesen arányban áltoznak. Az állapotáltozás közben az egységnyi tömegű gázból egy fok hűlés, agy melegedés közben elont, agy beitt hőt az állandó térfogaton mért fajhő, " c " adja meg.

14 Izochor állapotáltozás.6 ábra.4. Izobár állapotáltozás Ha a nyomás állandó p p p constans, akkor izobár állapotáltozásról beszélünk. A kísérlet során a dugattyút engedjük elmozdulni (agy toljuk befelé) egy állandó erő ellenében. Állandó nyomáson melegíte a gázt, a térfogata megnő V V, ha lehűtjük, akkor térfogata csökken V V. Helyettesítsük az általános gáztörénybe a feltételeket: p p R T és R T, amelyből a m m V V V V. T T eredményt kapjuk. Ez Gay-Lussac II. törénye, amely szerint a hőmérséklet és a térfogat egyenesen arányban áltoznak az állapotáltozás során. Az állapotáltozás közben az egységnyi tömegű gázból egy fok hűlés, agy melegedés közben elont, agy beitt hőt az állandó nyomáson mért fajhő, " c p " adja meg. Izobár állapotáltozás.7 ábra 4

15 .4.4 Adiabatikus és súrlódásmentes állapotáltozás Amennyiben a nyomást is és a térfogatot is áltoztatjuk, de a rendszert a környezettől elszigeteljük, akkor adiabatikus állapotáltozás játszódik le a gázban. Ekkor a dugattyú gyors ki-, agy befelé mozgatásáal hozzuk létre az állapotáltozást. A hőközlésre nem hagyunk időt. Ezt izentropikus (adiabatkus és súrlódásmentes) állapotáltozásnak is neezik, mert az entrópia nem áltozik az állapotáltozás során, ha nincs belső súrlódás a közegben. Minden állapotjelző áltozik, de az állapotjelzők között fennáll a köetkező kapcsolat: p p. Behelyettesíte a gáztörénybe és egyszerűsíte a p p kifejezést kapjuk, T T ahol cp cp az adiabatikus, agy izentropikus kiteő. (kétatomos gázokra, 4 c c..4.5 Politropikus állapotáltozás Tulajdonképpen ez egy teljesen általános állapotáltozás is lehet, mert mind a három állapotjelző áltozhat, sőt a környezetbe történhet hőleadás, agy onnan hőfelétel is. Ilyen esetben az állapotjelzők között a kapcsolatot a köetkező összefüggések adják: p p.4 n n, Izentrópikus állapotáltozás.8 ábra behelyettesíte a gáztörénybe, akkor a nyomások és a hőmérsékletek közötti kapcsolatot itt is megkapjuk p p.5 n n, T n T n ahol " n " a politropikus kiteő. Ha összenyomódik a gáz és közben hűtjük is, akkor n. Ha nincs hűtés, agy még melegítjük is a gázt, akkor n. Hasonló meggondolásokkal lehet az expanziónál az "n" és a "" kapcsolatát megadni. 5

16 Az adiabatikus és a politrópikus állapotáltozás kifejezései azonosak, kiée a kiteő nagyságát. Ha n=, akkor a politropikus állapotáltozás azonos az izotermikus állapotáltozással..5 Folyadékok összenyomhatósága. táblázat Folyadék Rugalmassági modulus "E" Mpa Etil alkohol 896 Benzin 06 Gépolaj 0 Víz 79 Glicerin Higany Acél ábra Politropikus állapotáltozás A folyadékok áramlástan szempontból majdnem minden esetben összenyomhatatlannak tekinthetők. A "p-" diagramban az izotermák a folyadék területen közelítőleg =const., függőleges egyenesek. Az összenyomhatóság, agy rugalmassági modulus a köetkező összefüggéssel adható meg: p E.6 V V Néhány folyadék rugalmassági modulusát a. táblázatban foglaltuk össze. (A szilárdságtanban a "nyomás" negatí előjelet kap, hogy az eredmény pozití legyen, ezért szükséges a negatí előjel.) Az acél rugalmassági modulusát is feltüntettük, az összehasonlíthatóság kedéért. Például a íz térfogatának 0.5%-al történő összenyomásához 0.89 MPa nyomás szükséges, amely a normál légköri nyomásnak kereken százszorosa. A Föld legmélyebb helyén a Csendes óceánban léő Marianna-árokban, ahol a tenger 04 m mély, a nyomás a légköri bar nyomásnak kereken 00 szorosa. A íz relatí összenyomódása itt is csak 5%. A folyadékok egyéb, fontos tulajdonságait, mint pl. a felületi feszültséget és a iszkozitást külön fejezetekben tárgyaljuk. 6

17 . Termodinamikai alapfogalmak. A termodinamikai rendszer A termodinamikai izsgálatok a termodinamikai rendszerre onatkoznak. A termodinamikai rendszer a tér egy, általunk kiálasztott, elhatárolt része. Az elhatárolás történhet egy alóságos fallal agy egy képzelt elhatároló felülettel. A határoló falon belüli rész a termodinamikai rendszer. A termodinamikai rendszeren kíüli részt környezetnek neezzük. A rendszer és a környezet között a határoló falak tulajdonságaitól függően többféle kölcsönhatás jöhet létre. A legismertebb a mechanikai kölcsönhatás. A rendszer mechanikai munkát (W) égezhet a környezeten agy a környezet a rendszeren. A termikus kölcsönhatás során hőmennyiség (Q) áramlik a rendszerből a környezetbe, agy a környezetből a rendszerbe. A tömegátadás (m) során a rendszer és a környezet anyagot cserélhet. Toábbi kölcsönhatások is lejátszódhatnak a rendszer és környezete között, pl.: elektromos, mágneses stb. folyamatok, ezek égső soron a mechanikai kölcsönhatással analóg folyamatokat jelentenek. A toábbiakban a hangsúlyt az előzőleg felsorolt három kölcsönhatás izsgálatára helyezzük. A termodinamika rendszert a környezettől elálasztó falakat a felsorolt kölcsönhatások alapján a köetkező csoportokba soroljuk:. Mere fal mely minden mechanikai kölcsönhatást meggátol, ill. deformálódó fal, mely lehetőé tesz.. Nem áteresztő agy félig áteresztő fal, mely minden anyag, ill. csak egyes anyagok áthatolását akadályozza meg.. Diatermikus fal, mely lehetőé teszi agy adiatermikus fal, mely megakadályozza a hőhatás formájában jelentkező (termikus) kölcsönhatást. Az adiatermikus és nem áteresztő falakat, melyek tehát csak a mechanikai kölcsönhatást engedik meg, adiabatikus falaknak, az ilyen falakkal határolt rendszert pedig adiabatikus rendszernek, a bennük lejátszódó folyamatokat pedig adiabatikus folyamatoknak neezzük. A zárt rendszer amelynek falán nincs tömeg áramlás (magára hagya nincs semmilyen kölcsönhatás) A nyitott rendszer amelynek falán an tömeg áramlás. Homogén rendszer az, amelyben az intenzí áltozók nem függnek a hely és az idő koordinátáktól.. A termodinamikai és kalorikus mennyiségek A rendszer állapotának egyértelmű (egyértékű) függényei, csak a rendszer pillanatnyi állapotától függenek, és függetlenek a rendszer előző állapotától és az állapotáltozástól, melyen keresztül a rendszer az adott állapotba jutott. Az állapotjelzők lehetnek: skalár-, ektor-, tenzor mennyiségek. Az állapotjelzők fajtái: extenzí, intenzí mennyiségek. 7

18 Extenzí állapotjelzők: a termodinamikai rendszer, tömegéel, térfogatáal arányos állapotjelzők. A termodinamikai rendszer egyes részeiben mért mennyiségek összegei jellemzik a teljes rendszerre. Ilyen pl.: a tömeg, az entrópia, az energia, stb. Intenzí állapotjelzők: kiegyenlítődő állapotjelzők. A termodinamikai rendszer egyes részeiben a teljes rendszerre jellemző mennyiség mérhető. Ilyen pl.: a nyomás, a hőmérséklet, stb. Fajlagosított állapotjelzők: két extenzí állapotjelző hányadosa. Ilyen pl.: a sűrűség, a fajtérfogat, fajsúly stb. Fázisjellemző mennyiségek: anyagjellemzők, pl. fajhő, hőtágulási együttható, hőezetési tényező, dinamikus iszkozitás. Nem állapotjelző, de igen fontos kalorikus jellemző a fajlagos hőmennyiség (q, [J/kg] és a fajlagos munka (w, [J/kg], mert megáltozásuk nagysága függ az állapotáltozás módjától... A fajlagos munka és a fajlagos hő Belső energia (U): A tömegközépponthoz iszonyíta a rendszer mikroszkopikus elemei a legkülönbözőbb sebességgel mozognak, és az egymás közötti kölcsönhatásokból származó potenciális energiáal rendelkeznek. Ez a mozgás a makroszkopikus rendszer nyugalma estén sem szűnik. Ezt az energiát, mely a rendszer mikroszkopikus építőelemeinek tömegközéppontra onatkoztatott kinetikus és potenciális energiájának összegeként adódik, belső energiának neezzük. Ideális gázok esetében a fajlagos belső energiát a u c T kifejezéssel számíthatjuk ki. Munka (W): az erő és az elmozdulás ektor skaláris szorzata: A munka a rendszer határfelületén fellépő energiatranszport-mennyiség, melyet mechanikai kölcsönhatás agy a hőmérséklet különbség agy egyéb intenzí állapotjelzők inhomogenitása hoz létre. A fizikai munka. ábra dw p Ads dw pdv. 8

19 A fizikai munka (W) A fizikai munka magában foglal mindenfajta, a rendszeren, illete a rendszer által égzett munkát. Ez lehet kémiai, elektromos, mágneses, stb. munka, alamint lehet térfogati munka: dw p Ads A rendszer szempontjából izsgáljuk a munka előjelét. Ha pozití, akkor a rendszer nyer munkát, ha negatí, akkor a rendszer ad le munkát a környezetnek. A rendszer által égzett (expanzió) munkája. A hő (Q): a rendszer határfelületén fellépő, tömeg-kölcsönhatás nélküli energiatranszportmennyiség, melyet a hőmérséklet-eloszlás inhomogenitása indukál. Nem állapotjelző, és nem azonosítható a rendszerben tárolt energiáal. Például a.. ábrán a meleg káéscsészéből a környezetbe adódik át a hő, a káé lassan lehűl, de mennyisége nem áltozik (a keés párolgás elhanyagolható). Vagy a hideg jeges ital lassan felmelegszik, mert a környezetből hő áramlik a pohárba, de tömeg mennyisége itt sem áltozik.. A hő. ábra A hő átlépe a rendszer határát a rendszert alkotó elemi részek (atomok, molekulák, szubatomi részecskék) potenciális és/agy kinetikus energiáját nöeli, agy éppen az említett energiák csökkenése a forrása annak a hőnek, mely a rendszerből kilép. Annak a hőnek az előjelét tekintjük pozitínak, amely az adott rendszer felé áramlik és negatínak a rendszerből táozót. Az adott rendszerrel kapcsolatos összes hő jelölésére a Q-t használjuk, a tömegegységre fajlagosított mennyiségét q-al jelöljük, a szokásos nagybetű-kisbetű használatnak megfelelően. A munka és a hő közös tulajdonságai: -A munka, és a hő a rendszer határfelületén fellépő, a rendszer és környezete közötti kölcsönhatáshoz tartozó jellemző. -A munka és a hő is a termodinamikai rendszer két állapota közötti átmenetet (tranzienst) jellemzi és nem a rendszert. - Mindkettő az átmeneti folyamathoz tartozó jellemző, azaz folyamatjellemzők és nem állapotjelzői a rendszernek. -A munka és a hő is függénye az állapotáltozás módjának, azaz útfüggők, ebből köetkezően nem állapotjelzői a rendszernek. 9

20 . A termodinamikai rendszer energiatartalma, a termodinamika alaptörényei.. A termodinamika 0. főtétele A magára hagyott (minden kölcsönhatással szemben tökéletesen szigetelt) termodinamikai rendszer akkor an egyensúlyban, ha benne semmilyen makroszkopikus áltozás nem észlelhető, ebben az esetben az intenzí állapotjelzők a rendszeren belül homogén eloszlásúak. Ha két agy több egyensúlyban léő termodinamikai rendszer egymással kölcsönhatásban an, agyis nincsenek egymástól minden kölcsönhatással szemben elszigetele, akkor a izsgált rendszereknek annyi olyan, minden rendszerben azonos értékű intenzí tulajdonsága an, mint ahány kölcsönhatással szemben a határoló falak átjárhatók. A főtétel egy más megfogalmazásban is kimondható: A kölcsönhatásban álló rendszerek egyensúlyának szükséges és elegendő feltétele a lehetséges kölcsönhatásokhoz tartozó intenzí állapotjelzők - empirikus intenzitás paraméterek - egyenlősége. Például, ha an két rendszer, amelyeket egy hőáteresztő (diatermikus), de mere fal álaszt el, akkor a hőmérsékletük lesz bizonyos idő múla azonos., de a nyomásnak ellenáll, így a nyomás nem egyenlítődik ki. Másik példában, ha a fal deformálható, de hőszigetelő (adiatermikus) fal, akkor a nyomás fog kiegyenlítődni, a hőmérséklet iszont nem. A termodinamikai egyensúly tranzití, ez azt jelenti, hogy ha az A rendszer egyensúlyban an a B rendszerrel, a B pedig a C rendszerrel, akkor az A rendszer egyensúlyban a an a C rendszerrel is. A termodinamikai egyensúly szimmetrikus, azaz ha az A rendszer egyensúlyban an a B rendszerrel, akkor a B rendszer is egyensúlyban an az A rendszerrel. Ez a tranzitiitás az alapja a hőmérsékletmérésnek. Például, ha lázat mérünk, a testünk az A rendszer, a lázmérő a B rendszer. Amikor a lázmérőt hitelesítették, akkor a B rendszert, a lázmérőt összehasonlították egy etalonnal, ami a C rendszert jelenti. Hitelesítéskor B és C rendszer olt termodinamikai egyensúlyban. Lázméréskor pedig a A és B rendszer olt termodinamikai egyensúlyban. Ebből tudjuk, hogy mekkora a lázunk. Testünk és a hiteles etalon is egyensúlyban an a 0. főtétel szerint. Hőmérsékletmérésre olyan anyagot kell álasztani, melynek an olyan, egyszerűen és könnyen mérhető tulajdonsága, mely a hőmérséklettel egyértelműen áltozik. Hőmérséklet mérés céljára alkalmas minden olyan anyagtulajdonság, amely egyértelmű függénye a hőmérsékletnek. Célszerűen, alamely könnyen mérhető tulajdonságot alkalmazunk. Ilyen tulajdonság lehet pl. kapilláris csőben léő folyadékoszlop hosszúsága, állandó nyomáson a térfogat, állandó térfogat mellett a nyomás, elektromos ellenállás, termo- elektromos feszültség, kristály (pl. karc) rezgési frekenciája stb. Bármely hatást is álaszta, szükség an jól reprodukálható alappontokra, melyekhez az adott tulajdonság, adott körülmények közötti mérőszámait hozzárendeljük. Legyen t a hőmérsékleti tulajdonság, és egyszerű függény határozza meg a hőmérsékleti skálát. A különböző kialakítású hőmérők jellemzői: Hőmérő Folyadékoszlop üegcső Jellemző tulajdonság (t) Hosszúság, l 0

21 Állandó nyomáson tartott gáz Állandó térfogaton tartott gáz Villamos ellenállás Termoelem Térfogat, V Nyomás, p Villamos ellenállás, R Villamos feszültség, U Kalibrálkásra olyan mennyiséget kell álasztani, amelynek meghatározása egy könnyen reprodukálható állapot segítségéel történhet. Ezt a kiálasztott állapotot a hőmérsékleti skála alappontjának tekintjük. Erre a célra a íz hármaspontját álasztották, azt az állapotot melyen a íz három fázisa egymással termodinamikai egyensúlyban an. A Celsius skála másik pontja a íz forráspontja, bar nyomáson. A Celsius skálán ez 00 0 C jelent. Ezen kíül több egyéb hőmérsékleti skála is létezik. Az angolszász országokban a Farenheit, amely a íz fagyáspontján F a íz forráspontjánál F. Tehát null pontja és a skálája is eltér a Celsius skálától. A termodinamika első főtétele a termodinamikai rendszerekre kimondja az energia megmaradást, agyis azt, hogy az energia a termodinamikai folyamatok során átalakulhat, de nem keletkezhet és nem eszhet el. Ezt gyakran a köetkezőképpen fogalmazzák meg: Egy rendszer belső energiájának áltozása egyenlő a rendszerrel közölt hő és a rendszeren égzett munka összegéel, azaz U Q W Ezt gyakran elemi áltozásokra írjuk fel, ekkor du Q W, agy gyakori az egységnyi tömegre onatkozó felírás is, ekkor kis betűket használunk:. du q w.4.. Az első főtétel zárt rendszerben Az első főtétel zárt rendszerben, agyis, amikor nincs tömegcsere a környezettel, akkor a belső energia megáltozása két állapot között egyenlő a közölt hőel plusz a rendszeren égzett fizikai munkáal. Képletekkel megfogalmaza a köetkező:.5 Fizikai munka zárt rendszerben. ábra W V p dv V

22 V U Q W Q p dv V.6.. Az első főtétel nyitott rendszerben A technikai életben nagyon gyakran használunk nyitott rendszereket, amikor an tömegcsere a környezettel. Ilyen esetben célszerű beezetni két újabb fogalmat, az entalpiát és a technikai munkát. A technikai munka A nyitott rendszerhatároló felületein a tömegtranszport jöhet létre. A tömegtranszport köetkeztében a nyitott rendszer tömege az időben áltozhat, ekkor instacioner nyitott rendszerről beszélünk. Ha belépő és táozó anyagáramok értékei egymással időtől függetlenül megegyeznek állandósult agy stacioner nyitott rendszerről beszélünk. Egy ilyen rendszerben izsgáljuk a munkát. A nyitott rendszerek izsgálatát a.4 ábrán látható periodikusan működő dugattyús kompresszoron izsgáljuk. A kompresszor a p kisebb nyomású helyről szí és a p nagyobb nyomású helyre nyomja a közeget. Tegyük fel, hogy a dugattyú a munkaközeget teljes egészében ki tudja szorítani a hengerből, nincsen káros tér. 0 F p V p W T p V dp p W F V pdv V p V V p V Technikai munka stacioner nyitott rendszerben.4 ábra Az első ütemben a dugattyú a 0- szakaszon mozog kifelé, a térfogat nöekszik, a rendszer munkát ad le a környezetnek, a munka nagysága W, ami negatí. A sűrítés során a p V

23 dugattyú az és pontok között mozog befelé, a környezet égez munkát a rendszeren, ez a fizikai munka W F V p dv, ez pozití. A -0 szakaszon a dugattyú toább mozog befelé, V a környezet égez munkát a rendszeren, ez pozití előjelű. Adjuk össze előjelhelyesen a háromféle munkát. Az előjeles összeg a technikai munka. W T p V p V V V p dv p p V dp A technikai munka tehát a függőleges, nyomás tengely felőli görbe alatti területet jelenti az ábrán. Miel p kisebb, mint p, ezért a dp pozití, agyis nyomásnöekedés történik a rendszerben a két állapot között, tehát technikai munkát kap a rendszer..7 Kompresszor izsgálata A.4 ábrán látható ideális kompresszornál határozzuk meg a fizikai, a technikai munkát, a ki és betolási munkát! Tételezzük fel, hogy a kompresszornak nincs káros tere, és nincsen hőközlés a környezetre, tehát adiabatikus az állapotáltozás. c p Adatok: p bar (abs) ; p bar (abs) ; J ;, 4 ; t 0 C kg K V 000cm ; J R 87 ; kg K Megoldás: A kompresszor a beszíott leegőt összenyomja addig a pontig, ameddig a nyomása el nem éri a nyomóoldali p bar nyomást. Ekkor kinyit a nyomószelep és az összenyomott leegőt kitólja a nyomócsonkba. Első feladatként a V térfogatot kell kiszámítanunk. Felhasznála hogy adiabatikus az állapotáltozás, felírhatjuk, hogy V p V p, amiből kifejeze a V térfogatot V Ezek után a belépési munka p,4 V ,5 cm p 5 W p V 0 Pa 0,00m 00 Nm A kilépési munka 5 W p V 0 Pa 0, m,9 Nm

24 A fizikai munka egy ütem alatt W F V p dv V Használjuk ki, hogy adiabatikus az állapotáltozás, agyis a kompresszió közben fennáll, hogy p V p V. Ebből fejezzük ki a p nyomást: kifejezésébe helyettesítünk. W F 0 5 V V p dv 0,00,4 V V p V V dv p V V,4,4 0, ,00 54,85 Nm V V p p V V p V, amit a fizikai munka,4 A pozití előjel azt mutatja, hogy a rendszer munkát nyer, környezet égez munkát. Jelen esetben a dugattyú. p T p A technikai munka egy ütem alatt W V dp Használjuk ki, hogy adiabatikus az állapotáltozás, agyis a kompresszió közben fennáll, hogy p V p V. Fejezzük ki ebből a V térfogatot V munka kifejezésébe helyettesíte W T p p V dp p p,4 V p p dp V p p p p V V p p V p p V, amit a technikai 5,4 0,00 0 5,4 5, ,65 Nm,4 A pozití előjel azt mutatja, hogy a rendszer munkát nyer, környezet égez munkát. Jelen esetben a dugattyú. Ellenőrizzük, hogy a kapott eredmény megfelel-e a fizikai és a technikai munka közötti összefüggésnek! W T W W W F 76,65, ,85 76,65 76,75Nm A különbség a számításkor égzett kerekítések miatt jött létre. p 4

25 Az entalpiaáltozás A köetkező fejezetrészben megadjuk az entalpia pontos definícióját, itt előzetesen kiszámítjuk a kompresszorra, és összehasonlítjuk a technikai munkáal. A kompresszoron áthaladó leegő entalpia áltozását akkor tudjuk legegyszerűbben kiszámítani, ha kiszámítjuk a hőmérséklet emelkedését és a tömegét. Elsőként számítsuk ki a kompresszorba jutó leegő tömegét, ehhez a belépő leegő sűrűségére lesz szükségünk. Ezt az általános gáztörény, szolgáltatja: 5 p p RT 0 kg. Alkalmaza az állapotra,89 R T 87 (7 0) m Így már ki tudjuk számítani a belépő leegő tömegét. kg m V,89 0,00m 0,0089 kg m Második lépésben ki kell számítanunk a kilépés hőmérsékletét T -t. Adiabatikus állapotáltozásnál a hőmérséklet és a nyomás kapcsolatát már korábban kiszámítottuk: Ebből kirendeze a kilépő hőmérsékletet: T p p T,4,4 T 9 p T p 57, K Az entalpia áltozása: J H mcp (T T ) 0,0089kg 006 (57, 9) 76,68J kg K A kapott eredményünk szerint az entalpiaáltozás megegyezik a technikai munkáal. Az entalpia Vizsgáljunk egy folyamatosan átáramlott, stacionárius nyitott rendszert, egy gőzturbinát, melyet a.5 ábra mutat. Írjuk fel a belső energia megáltozását a kezdeti () és a égállapot () között. Az állapotban a gőz nyomása és hőmérséklete magasabb, a állapotban a gőz nyomása és hőmérséklete lecsökken. A gőzturbinán ugyanannyi tömeg áramlik be és ki. A gőzturbina a gőz energiájából mechanikai munkát állít elő. Vagyis a rendszer, a gőz folyamatosan technikai munkát eszít. Ezt a gőz energiájának roására teszi. U U Q WF Az előzőeket felhasznála a fizikai munkát fejezzük ki a technikai munkáal: W W W W F T Írjuk be ezt a belső energia megáltozásába: U U Q W W W Q T WT p V p V.8 Rendezzük az azonos indexűeket egy oldalra. 5

26 Az egyenlet bal oldalán álló zárójeles tagok helyett egy új mennyiséget ezetünk be, az entalpiát. Az entalpia (H) állapotáltozó, miel a benne szereplő jellemzők mind állapotáltozók, melyet a köetkező egyenlettel definiálunk: H U p V.9 Ez a termodinamika I. Főtételének nyitott rendszerre érényes alakja. Az állapotáltozásoknak tehát a technikai és a fizikai munkáját is meg tudjuk határozni. Hogy a két munka közül melyik lesz egy adott rendszer munkájáal egyenlő, az dönti el, hogy milyen a rendszer. Zárt rendszer munkája: az állapotáltozás fizikai munkája; nyitott rendszer munkája: az állapotáltozás technikai munkája. Ideális gázok esetében a fajlagos entalpiát a h c T kifejezéssel számíthatjuk ki. p U p V U p V Q WT p V.0 H p V p V Gőzturbina stacioner nyitott rendszerben.5 ábra Q WT Gázturbina izsgálata A.6 ábrán látható ideális gázturbinánál határozzuk meg a fizikai, a technikai munkát a ki és betolási munkát és az entalpia áltozását! Tételezzük fel, hogy nincsen hőközlés a környezettel, tehát adiabatikus az állapotáltozás. Vizsgáljunk egy adott időegység alatt be- és kiáramló gáz energia tartalmát. c p Adatok: p 6bar (abs) ; p bar (abs) ; J ;, 4 ; t 400 C kg K V 000cm ; J R 87 ; kg K 6

27 Megoldás: A gázturbinába a komprimált, magas hőmérsékletű leegő (égéstermék) beáramlik. A turbinán keresztül áramola meghajtja a turbina tengelyét és közben lehűl és nyomása lecsökken, majd kiáramlik a szabadba. Első feladatként a V térfogatot kell kiszámítanunk. Felhasznála, hogy adiabatikus az állapotáltozás, felírhatjuk, hogy V p V p, amiből kifejeze a V térfogatot V Ezek után a belépési munka p 6,4 V cm p 5 W p V 60 Pa0,00m 600Nm A kilépési munka Gázturbina stacioner nyitott rendszerben.6 ábra A fizikai munka egy ütem alatt 5 W p V 0 Pa0,0059m 59,69 Nm W F V p dv V Használjuk ki, hogy adiabatikus az állapotáltozás, agyis a kompresszió közben fennáll, hogy p V p V. Ebből fejezzük ki a p nyomást: kifejezésébe helyettesítünk. W F V pdv 5 V 60 0,00,4,4 V V p V V dv p V 7 V p p V V,4,4 0, ,00 600,9 Nm V V p V, amit a fizikai munka V V

28 A negatí előjel azt jelenti, hogy a rendszer eszít munkát, tehát a környezet számára munkát termel a folyamat. p T p A technikai munka egy ütem alatt W V dp Használjuk ki, hogy adiabatikus az állapotáltozás, agyis a kompresszió közben fennáll, hogy p V p V. Fejezzük ki ebből a V térfogatot V munka kifejezésébe helyettesíte W T p p V dp p p V,4 p p dp V p p p p V V p p p p, amit a technikai 5,4 0, ,4 5, ,9 Nm,4 A negatí előjel azt jelenti, hogy a rendszer eszít munkát, tehát a környezet számára munkát termel a folyamat. Ellenőrizzük, hogy a kapott eredmény megfelel-e a fizikai és a technikai munka közötti összefüggésnek! W W W W T F 84,9J 59, ,9 84,9J A különbség a számításkor égzett kerekítések miatt jött létre. Az entalpiaáltozás A gázturbinán áthaladó leegő entalpia áltozását akkor tudjuk legegyszerűbben kiszámítani, ha kiszámítjuk a hőmérséklet emelkedését és a tömegét. Elsőként számítsuk ki a turbinába jutó leegő tömegét, ehhez a belépő leegő sűrűségére lesz szükségünk. Ezt az általános gáztörény, szolgáltatja: 5 p p RT 60 kg. Alkalmaza az állapotra,06 R T 87(7 400) m Így már ki tudjuk számítani a belépő leegő tömegét. kg m V,06 0,00m 0,0006kg m Második lépésben ki kell számítanunk a kilépés hőmérsékletét T -t. Adiabatikus állapotáltozásnál a hőmérséklet és a nyomás kapcsolatát már korábban kiszámítottuk: p 8

29 T p T p Ebből kirendeze a kilépő hőmérsékletet: T,4, p T p 40,5K Az entalpia áltozása: J H m cp (T T ) 0,0006 kg 006 (40,5 69) 84,8 J kg K A kapott eredményünk azt mutatja, hogy az entalpiaáltozás megegyezik a technikai munkáal. A nyitott rendszerre felírt I. főtétel szerint H Q WT ennek kell teljesülnie, ha nincsen hőközlés a környezettel.. Az termodinamika második főtétele A második főtétel a spontán hőtani folyamatok irányát szabja meg. Több, látszólag lényegesen különböző megfogalmazása an. Clausius-féle megfogalmazás (850.): A természetben nincs olyan folyamat, amelyben a hő önként, külső munkaégzés nélkül hidegebb testről melegebbre menne át. Csakis fordított irányú folyamatok lehetségesek. Kelin-Planck-féle megfogalmazás (85., 90.): A természetben nincs olyan folyamat, amelynek során egy test hőt eszít, és ez a hő munkáá alakulna át. Szemléletesen egy hajó lehetne ilyen, amelyik a tenger izéből hőenergiát on el és a kiont hőenergiáal hajtja magát. Ez nem mond ellent az energia megmaradásnak, mégsem kiitelezhető. Az ilyen gépet másodfajú perpetuum mobile perpetuum mobilének neezzük, tehát az állítás szerint nem létezik másodfajú perpetuum-mobile. A két megfogalmazás egymásból köetkezik, de a leezetése nem teljesen egyszerű. A második alaptörénynek ezek és az ezekhez hasonló megfogalmazásai zaarbaejtőek, hiszen a fizika többi, összefüggéseket megállapító törényeiel szemben alaminek a létezését tagadják. Egy jobb megfogalmazás égett egy új fogalom került beezetésre: az entrópia. A termodinamika második alaptörénye az entrópia felhasználásáal a köetkezőképpen fogalmazható meg: a spontán folyamatok esetében a magukra hagyott rendszerek entrópiája nem csökkenhet... Az entrópia Az entrópia elég összetett és iszonylag nehezen megérthető fogalom. A köetkezőkben idézek néhány megfogalmazást: Az entrópia a tudomány (elsősorban a hőtan és az informatika) fontos fogalma, egy rendszer rendezetlenségi fokát jellemzi. Az entrópia fogalmát Rudolph Clausius (8 888) ezette be, és ezzel jellemezte a termodinamikában az anyagi rendszerek molekuláris rendezetlenségét, illete termodinamikai alószínűségének a mértékét. Ebből köetkeztetni lehet a maguktól égbemenő folyamatok irányára: a természetben egyre alószínűbb állapotok köetkeznek be. Például a hő a melegebb testről a hidegebb test felé áramlik. Tehát 9

30 bizonyos munkamennyiség minden spontán folyamatnál kárba ész, hőé alakul át. Emiatt a természetben a spontán folyamatok isszafordíthatatlanok. A munka, de bármely energiafajta is maradéktalanul hőé alakítható, míg a hő csak részben alakítható át másfajta energiáá (ezért tartják alacsonyabb rendű energiának). Az entrópia és a rendezetlenség egyenértékűsége elben még a termodinamikában felbukkan, de égleg Erwin Schrödinger tisztázta az életjelenségek kapcsán. Később a formai hasonlóság alapján Neumann János jaasolta Shannonnak, hogy képletét neezze entrópiának. De miel negatí előjel szerepelt a képlet előtt, negentrópia lett a nee (régen antientrópia is), ami a rendszerek rendezettségének mértékét fejezi ki. Az esetleges félreértések minimalizálása érdekében összefoglalom, hogy mit értek a Clausiusi termodinamika alatt. A Clausiusi termodinamika Clausius eredeti megfogalmazásában a termodinamika II. főtétele:"a hő soha nem megy magától a hidegebb helyről a melegebb helyre", azaz magától a hőmérséklet különbség sohasem nő, mindig csökken. Clausiusi felépítésben a hő a kitüntetett fogalom, és a termodinamika matematikai megfogalmazásában az entrópiát (S) a dq ds T összefüggéssel ezetjük be. Azaz az elmélet építés feladata az integráló osztó létezésének és unicitásának bizonyítása. A termodinamika egyik fontos eredménye az abszolút entrópia és az abszolút hőmérséklet skála létezése, azaz T a hő integráló osztója. A második főtétel ebben a megfogalmazásban igen bonyolult, de egy egyszerű formában nagyon érthetőé álik: A hőmérséklet különbségek eltűnése nagyon hétköznapi tapasztalat. Miért kell ezt kimondani? Kollégája, Gusta Zeuner, Clausius szemére is etette, hogy a jaasolt II. főtétele banalitás. Ezen az alapon természettörényként kimondhatjuk akár azt is, hogy a folyó mindig lefele folyik. Gusta Zeunernak részben igaza olt. Természetes, hogy forró káé lehűl a szobában, a jég elolad. Már a gyerekek is megértik a Jean iccet: - Jean fázom, hány fok an idebenn? és kint? Eressze be azt a 6-ot is! A termodinamika második főtételéhez hasonló tételt tulajdonképpen megfogalmazhatnánk a mechanikában is. Például, hogy a Földön minden test (leegőnél nehezebb) lefelé esik. Ha fel akarjuk emelni, akkor munkát kell égeznünk. De próbáljuk megérteni, hogy a beezetett entrópiáal hogyan tudjuk átfogalmazni a hőmérséklet kiegyenlítődést. A második főtétel másik megfogalmazása az, hogy egy zárt rendszer összentrópiája nem csökkenhet. Vagy matematikai felírásban. dq 0 T 0.

31 Jobb megilágítás érdekében idézem a Pallas lexikon ide onatkozó megfogalmazását: A termodinamika II. főtétele szerint zárt rendszer entrópiája nem csökkenhet. Ha a zárt rendszerben lejátszódó folyamat megfordítható (reerzibilis), az entrópia állandó marad. Ha a folyamat meg nem fordítható (irreerzibilis), s a természetes módon zajló folyamatok ilyenek, a rendszer entrópiája nő. Az entrópia a rendezetlenség mértéke. Az entrópia nöekedése a rendezetlenség fokozódása. Az entrópia maximumának elérése azt jelenti, hogy beállt a teljes nyugalmi állapot, a teljes kiegyenlítettség, a teljes szétszórtság. Ebben a rendezetlenség foka a lehető legnagyobb, a rendszerben semmiféle csoportosulás, szerezettség nem észlelhető. A hőhalál-elmélet szerint időel a ilágegyetem egésze elkerülhetetlenül a maximális entrópia, azaz a teljes kiegyenlítettség állapotába jut. Jelenlegi ismereteink alapján azonban 996: nem dönthető el, hogy a táoli jöőben mikorra árható, beköetkezik-e, s egyáltalán beköetkezhet-e a ilágegyetem hőhalála. - A nyílt, a környezettel kölcsönhatásban álló rendszerek entrópiája állandó maradhat, akár csökkenhet is, ha közben a környezet entrópiája megfelelően nöekszik. Pl. az élő létét, nöekedését, szaporodását entrópia csökkentő folyamatok kísérik, ezekkel egyidőben azonban környezetükben leépülést okozó, az előbbinél nagyobb mértékű entrópia-nöekedéssel járó folyamatok zajlanak. Tehát az élőből és környezetéből álló rendszer entrópiája már nöekszik. - Az entrópia, mint a rendezetlenség mértéke és a alószínűség fogalma igen közeli kapcsolatba hozhatók egymással. Durán szóla az entrópia annak alószínűsége, hogy a rendszer egy adott állapotban található, s ennél foga a legkisebb entrópiája a legkeésbé alószínű állapotoknak an. Az entrópia nöekedésének a leginkább alószínű állapotok felé mutató átalakulás felel meg. A alószínűségi értelmezés lehetőé teszi, hogy az ~ fogalmát az információ-elméletben is alkalmazzák. [Pallas VI:86. - KL II:. - LThK III:904.] A hőtanban a beezetett entrópia fogalomnak praktikus jelentősége an. Ez entrópia állapotjelzőként szerepel és a hőtani folyamatok lefolyását nagyon gyakran T-s diagramokban igen jól lehet szemléltetni. A köetkező fejezetekben ezeket fogjuk alkalmazni. Megjegyzés: Ilyen jellegű fogalmat a mechanika tárgyalása során is be lehetne ezetni, de ott egészen jól megagyunk nélküle. Helyette azt mondjuk: hanyagoljuk el a súrlódást. Sőt be lehet ezetni egyéb tudományokban is pl. az informatikában alkalmazzák is..4 A termodinamika III. főtétele Csak megemlítjük, a termodinamika III. főtételét. A Nernst-féle hőtétel: Bármely fizikai agy kémiai átalakulást kísérő entrópiaáltozás nullához tart, ha a hőmérséklet nullához tart: S 0, ha T 0 Ha minden elem entrópiáját T 0 -n stabilis állapotában nullának esszük, akkor minden anyagnak pozití az entrópiája, ami T 0 -nál nulláá álhat, és biztosan nulla lesz alamennyi tökéletes kristályos anyagra, beleérte a együleteket is. Összefoglala a termodinamika főtételeit I. Zárt rendszer belső energiája állandó, amíg azt munkaégzés agy hőcsere nem áltoztatja meg. II. Egy izolált rendszer entrópiája alamely önként lejátszódó folyamatban nő: S össz 0. III. a./ Minden elem entrópiája stabilis állapotában T 0 fokon nulla, így minden anyag entrópiája pozití érték. A együletek entrópiája is nulla lesz T 0 fokon, ha tökéletes kristályt alkotnak. b./ T 0 abszolút zérus fok tetszőlegesen megközelíthető, de soha el nem érhető.

32

33 . Carnot-körfolyamatok.. Carnot-körfolyamat A Carnot-ciklus (agy Carnot-körfolyamat) egy speciális termodinamikai körfolyamat, melyet az elméleti (idealizált) Carnot-hőerőgép hajt égre. A termodinamika alapető körfolyamata, amelyet Sadi Carnot francia mérnök írt le 84-ben, miközben a gőzgép működési elét próbálta megmagyarázni. Négy szakaszból áll: izotermikus, majd adiabatikus tágulás, amelyet izotermikus, majd adiabatikus összenyomás köet. A Carnot-gép a lehetséges legnagyobb termikus hatásfokú hőerőgép (Carnot törénye). Ezt a fizikai modellt Nicolas Léonard Sadi Carnot jaasolta 84-ben, majd Émile Clapeyron dolgozta ki részletesebben az 80-as és 840-es éekben. Egy termodinamikai rendszer állapotát állapotjelzők (nyomás, hőmérséklet, fajtérfogat, entalpia, entrópia) írják le. A termodinamikai körfolyamat akkor jön létre, ha a rendszer egy sor állapotáltozás után a kezdeti állapotába tér issza. A körfolyamat égrehajtása során a rendszer munkát égezhet a környezetén, így hőerőgépként működhet. A hőerőgép működése során a környezetének egy melegebb régiójából energiát ihet át egy hidegebb régióba és az energia egy részét mechanikai munkáá alakíthatja. A körfolyamat meg is fordítható. A rendszerbe külső munka beezetése által hőenergiát képes átinni egy hidegebb helyről egy melegebb helyre, így hősziattyúként működhet. A Carnot-körfolyamat a lehető legjobb hatásfokú körfolyamat, mely egy adott mennyiségű hőenergiát mechanikai munkáá alakít, illete egy adott mennyiségű mechanikai munkát hűtési célokra átalakít hőenergiáá. A Carnot-körfolyamat. ábra Próbáljuk meg meghatározni, hogy a folyamat egyes szakaszain mennyi hőt és mennyi munkát iszünk a rendszerbe, illete nyerünk ki. és mekkora az eredő. A folyamatban részteő közeg legyen ideális gáz.

34 .. Izotermikus expanzió - szakasz Alkalmazzuk a hőtan első főtételét zárt rendszerre az - szakaszon. Az - szakaszon izotermikus expanzió zajlik (a belső energia nem áltozik.) V U Q W Q p dv 0 Q QF W V. Alkalmazzuk az ideális gázok Clapeiron-egyenletét: p V m R T Izotermikus állapotáltozásnál a hőmérséklet nem áltozik, így írhatjuk, hogy p V áll. Ebből kifejeze a nyomást áll. p V Számítsuk ki az - szakaszon égzett munkát. V V áll. V W pdv dv áll.ln VV V V V V pv ln V V m R T ln V Itt a mínusz előjel azt jelenti, hogy a zárt rendszer ad le munkát, agyis a rendszer eszít, a környezet, agyis a felhasználó nyer munkát! Miel a rendszer által felett hő izotermikus állapotáltozásnál megegyezik a leadott munkáal így a felett hő.. N e g a tí Az - szakaszon leadott munka. ábra Q Q F W Nézzük a körfolyamat köetkező szakaszát. V m R T ln V 4

35 .. Adiabatikus expanzió - szakasz Alkalmazzuk a hőtan első főtételét zárt rendszerre a - szakaszon. A - szakaszon adiabatikus expanzió zajlik (nincs közölt agy elont hő Q 0 ). V U Q W p dv.4 U W Egyszerűbben jutunk eredményre, ha kihasználjuk, hogy az ideális gázok belső energia áltozása a hőmérséklet áltozással arányosan áltozik, tehát U mc T W mc(t T ).5 Itt is a rendszer eszít munkát, (a -es hőfok nagyobb a -asnál ezért az eredmény negatí lesz) környezet, agyis a felhasználó nyer munkát! V N e g a tí A - szakaszon leadott munka. ábra.. Izotermikus kompresszió -4 szakaszon Alkalmazzuk itt is a hőtan első főtételét zárt rendszerre a -4 szakaszon. A -4 szakaszon izotermikus kompresszió zajlik (a belső energia nem áltozik.) A feladat analóg az - szakaszhoz, csak az előjelekkel kell igyáznunk! V4 U4 Q4 W4 Q4 p dv 0 Q V 4 QA W4.6.7 QA az alsó hőmérsékleten leadott hő. 5

36 V4 V4 áll. V4 W4 pdv dv áll.ln VV V V V V4 mr T ln V V mr T ln V 4 p V 4 V ln V 4 V Miel a 4-es állapotban a térfogat kisebb, mint a -as állapotban, ezért az 4 ln értéke V negatí. Így a -4 szakaszon a rendszer munkát nyer, és ugyanannyi mennyiségű hőt ad le! P o z i tí A -4 szakaszon felett munka.4 ábra..4 Adiabatikus kompresszió a 4- szakaszon Alkalmazzuk a hőtan első főtételét hasonlóan, mint a - szakaszon. A 4- szakaszon adiabatikus kompresszió zajlik (nincs közölt agy elont hő Q 4 0 ). V U 4 Q4 W4 p dv U 4 W 4 V4.8 W4 mc (T T4 ).9 Itt is a rendszer nyer munkát, (az -es hőfok nagyobb a 4-nél ezért az eredmény pozití lesz) a környezet, agyis a felhasználó égez munkát! 6

37 p o z i tí A 4- szakaszon felett munka.5 ábra A körfolyamat eredő munkája.6 ábra Összegezzük a teljes körfolyamatra a rendszer által nyert agy leadott rész fizikai munkákat. V V W W W4 W4 m R T ln m c (T T ) m R T ln m c (T T4 ) V V4 Végezzük el a műeletet grafikusan: Összességében a rendszer munkát ad le a környezetnek. Vagyis munka nyerhető ki a körfolyamatból hőbeitel árán. Más szóal, a hőerőgép hőenergiából képes mechanikai munkát előállítani... Carnot-körfolyamat hatásfoka Az előző fejezetben beezettük az entrópia fogalmát, amelyről kimutatható, hogy állapotjelző. A Carnot-körfolyamatot sokkal egyszerűbb ábrázolni T-s diagramban, abszolút hőmérséklet, entrópia diagramban. Miel a két állandó hőmérsékletű és két adiabatikus állapotáltozást tartalmaz, ezért ebben a diagramban egy téglalap a körfolyamat eredménye. 7

38 T T [K] Q F T4 4 Q A S S S [J/K] A Carnot-körfolyamat eredő munkája T-s diagramban.7 ábra dq J Az entrópia definíciója, pontosabban annak elemi áltozása ds. Ez annyit jelent, T K hogy ha nincs hőcsere, akkor az entrópia sem áltozik. Ezért az adiabatikus állapotáltozások függőleges onalak a diagramban. A Carnot körfolyamat tárgyalása sokkal látányosabb a T-S diagram alapján. Két folyamata izoterm, agyis a képük két ízszintes onal; két folyamata adiabatikus (Q=0 ΔS=0), agyis képük két függőleges onal. A teljes körfolyamat a T-S diagramon egy téglalap. A körfolyamat során a gáz által égzett hasznos munka e téglalap területe. Fejezzük ki az egyes szakaszokon a hőmennyiségeket. A felső hőmérsékleten, az izotermikus expanzió során beitt hőmennyiség QF (S S) T, amit a felső T ízszintes alatti téglalap szemléltet. Az alsó hőmérsékleten, az izotermikus kompresszió során leadott hőmennyiség QA (S S) T4, amit az alsó T 4 ízszintes alatti téglalap szemléltet. A két téglalap területének a különbsége a égzett munka, agy más szóal a körbezárt terület a égzett munkáal arányos. W (S S) T T4 A téglalap területe annál nagyobb lesz, minél magasabban an a hőbeitel és minél alacsonyabban an a hőelonás hőmérséklete. A körfolyamat hatásfokát azzal szokták jellemezni, hogy milyen arányú a kinyert munka a beitt hőmennyiséghez iszonyíta. Másnéen ez a Carnot hatásfok. W (S S) T T QF (S S) T Általánosabban hatásfok kifejezése: T 4 alacsonyabb T magasabb T T T 4 T T

39 9... A Carnot-körfolyamat (reerzibilis) körfolyamat A termodinamika második főtétele szerint, ha a rendszerben csak reerzibilis (megfordítható) folyamatok játszódnak le, akkor a rendszer összentrópiája nem nöekszik. A fenti Carnot körfolyamat esetében próbáljuk ezt bebizonyítani. Az - szakaszon hőt közlünk a rendszerrel, elileg égtelen nagy hőcserélő felületen, így nulla hőfoklépcső mellett, emiatt lesz reerzibilis az állapotáltozás. A közölt hő mennyisége Q. A. egyenlet szerint F V V ln T R m W Q Q A - és 4- szakaszokon adiabatikus az állapotáltozás, így nincsen hőközlés és nincs entrópia áltozás sem. A -4 szakaszon izotermikus kompresszió történik, és a leadott hő a.7 egyenlet alapján 4 4 A 4 V V ln T R m W Q Q Számítsuk ki az összentrópia áltozását a körfolyamat során A F 4 V V ln V V ln R m 0 T V V ln T R m 0 T V V ln T R m 0 T Q 0 T Q S A kapott kifejezésről kell belátnunk, hogy alóban nullát ad. Ehhez fel kell használnunk, hogy a - és 4- állapotáltozások adiabatikus áltozások. Tehát V p V p, alamint 4 4 V p V p. Fejezzük ki a V térfogatot V -el és a V 4 térfogatot V -el a fenti két egyenletből. p p V V 4 4 p p V V Helyettesítsük ezt a. egyenletbe p p p p V V ln V V ln R m V V ln V V ln R m S Most már csak azt kell belátni, hogy p p p p 4. Emeljük kappaadik hatányra az egyenletet, ekkor p p p p 4 kifejezést kapjuk. Használjuk fel az. egyenletet - pontok között T p T p és a 4- pontok között 4 4 T p T p..

40 T T Behelyettesíte és rendeze: 4 T T. Ez a kifejezés pedig fennáll, mert T T és T T 4. Tehát bebizonyítottuk, hogy a zárt reerzibilis körfolyamat égén az összentrópia áltozás zérus.. Általános körfolyamatok A kalorikus gépek különböző körfolyamatokkal működnek. A tiszta Carnot-körfolyamatot csak megközelítik. De bizonyítható, hogy minden nagy körfolyamat felosztható kisebb Carnot-ciklusokra. N y om á s p Té rfoga t, Általános körfolyamat felbontása Carnot-ciklusokra.8 ábra A görbén belüli területre eső utak kiegyenlítik egymást, így csak a kerületet kell figyelembe enni. Annál jobb a nagy körfolyamat közelítése, minél több pici ciklusra an feloszta. Miel az entrópiaáltozás alamennyi egyedi Carnot-ciklusban nulla, ezért a görbe mentén körbehalada az entrópia integrálja is nulla.. A fordított Carnot-körfolyamatok Az ideális hűtő körfolyamat Ha a körfolyamat az ellenkező irányban zajlik le (indirekt agy fordított körfolyamat), akkor W az a munka lesz, amit a közegen a külső erők égeznek. Ennek hatására Q A hőt esz fel az alacsonyabb hőmérsékletű hőtartálytól és Q F hőt ad le a magasabb hőmérsékletű hőtartálynak. A hűtőgép hidegebb térből isz át hőt a melegebb környezetnek ezért a jósági tényezője, jósági foka: egynél nagyobb szám. A hűtőgépeknél jósági tényezőnek neezzük azt az arányszámot, amelyet az elitt hő (Q alsó ) és a betáplált munka (W) hányadosaként értelmezünk. Q W Alsó (S S) T (S S ) 4 T 4 alacsonyabb T T4 T T4 Tmagasabb Talacsonyab b T. 40

41 Az ideális hősziattyú körfolyamat A hősziattyú hidegebb térből isz át hőt a melegebb helyíségbe, ezért a jósági tényezője agy közismerten COP (Coefficient of Performance): QFelső (S S) T T T magasabb COP.4 W (S S ) T T T T T T 4 4 magasabb alacsonyabb (Itt a leadott hő, amit hasznosítunk az is egynél nagyobb szám) A hősziattyúk COP kifejezése és a hűtőgépek jósági foka nem független egymástól. Kapcsolatuk a köetkező: Tmagasabb Talacsonyab b Talacsonyab b Talacsonyab b COP.5 T T T T magasabb alacsonyabb magasabb alacsonyabb A hűtőgépekről és a hősziattyúkról bőebben az 5. fejezetben még olashatunk..4 Reerzibilis és irreerzibilis körfolyamatok A folyamat reerzibilis agy megfordítható, ha lezajlása után a rendszerrel a folyamatot ellenkező irányban hajta égre a rendszer ugyanazokon a közbülső állapotokon át isszajut eredeti állapotába egyéb környezeti áltozások nélkül. A folyamat irreerzibilis, ha nem megfordítható, azaz nem reerzibilis. Ha a rendszer nem mehet át fordított irányban ugyanazokon a közbenső állapotokon úgy, hogy a környezetében sem jön létre áltozás. Megjegyzések Minden alóságos folyamat irreerzibilis. Az idealizált folyamatok eddig említettek lehetnek reerzibilisek. Belsőégésű motorok irreerzibilisek A teljesség igénye nélkül említünk néhány irreerzibilitást a Carnot körfolyamatban. A hőcsere a környezet és a rendszerben léő gáz között éges hőmérsékletkülönbséggel megy égbe. Ha a környezet esz fel hőt, akkor a T T4 T [K] Valós Q F körfolyamat 4 Q A V é g e s h ő fo k l é p c s ő S S S [J/K] V é g e s h ő fo k l é p c s ő Irreerzibilitások a alóságos körfolyamatban.8 ábra 4 rendszerben léő gáznak melegebbnek kell lennie a környezetnél. Ha a hőcserét isszafelé szeretnénk lefolytatni, agyis ha a környezet ad le hőt a rendszerben léő gáznak, akkkor a környezetnek kell melegebbnek lenni a gáznál. Másik gyakori irreerzibilitás az adiabatikus kompresszió agy expanzió. Az adiabatikus, hőcsere mentes folyamatot általtában jó közelítéssel meg lehet alósítani, de a súrlódás okozta melegedést rendszereint nem lehet kiküszöbölni. Ezért a súrlódás melegíti a közeget és ezáltal entrópiáját nöeli. Ez annyit jelent, hogy a sem a kompresszió, sem az expanzió nem függőleges mentén meggy égbe, hanem jobbra elhajlik, ami az entrópia nöekedését okozza. Így a teljes körfolyamat mát nem lesz reerzibilis. Ennek bizonyítását itt most mellőzzük.

42 De a reerzibilitáshoz hasonlóan lehet a megállapítást belátni. A alóságos körfolyamatok mindig irreerzibilisek. 4

43 4. Különböző körfolyamatok 4.. Otto körfolyamat Az Otto-motor olt az első megalósított négyütemű belsőégésű motor. Nikolaus August Otto készítette 876-ban. Világiszonylatban ez a belsőégésű motor terjedt el leginkább és üzemanyaga miatt híják leginkább benzinmotornak. Az Otto motorműködése 4. ábra A motor működése négy ütemre bontható. Az első ütem a szíás: a dugattyú a hengerben lefelé mozog, s közben a nyitott szíó szelepen keresztül leegő-üzemanyag keerék agy a modernebb típusoknál csak leegő áramlik a hengertérbe. A második ütemnél a dugattyú felfelé mozog, sűríti a leegő benzin keeréket agy csak a leegőt, és minden szelep zára an. A harmadik ütem kezdetén a sűrített leegő-üzemanyag keeréket meggyújtja a gyertya (a modern motoroknál a szikra előtt fecskendezik be az égéstérbe az üzemanyagot). A gyors égéssel felheített gáz nyomása megnő, majd elkezdi a dugattyút lefelé mozgatni, ez az ütem a terjeszkedés agy munkaütem. A negyedik ütemben a dugattyú felfelé mozog, a kipufogószelep nyita an, s az égéstermékek táoznak a hengerből. A körfolyamat friss gázkeerékkel újraindul. Az idealizált folyamat két adiabatikus és két izochor folyamatból áll. A körfolyamat p-v diagramja a 4. ábrán látható. Az első ütemnek a 0- szakasz felel meg. A körfolyamat tárgyalásához erre a szakaszra nincs szükség, ezért a diagramon nem is mindig tüntetik fel. A második ütem az - szakasznak felel meg, ez adiabatikus kompresszió. A harmadik ütem tartalmazza a - szakaszt állandó térfogaton zajló (izochor) állapotáltozást és a -4 adiabatikus expanziós szakaszt. A negyedik ütem a 4- állandó térfogaton zajló, izochor szakasz (hűlés) és az -0 szakasz (kipufogás) ezt sem mindig szokták ábrázolni a körfolyamatban. A körfolyamat során a hőfelétel a - szakaszon történik, a hőleadás pedig a 4- szakaszon. Az eddigi tárgyalás során még nem ejtettünk szót a T-s diagramban az izochor, állandó térfogat mellett zajló állapotáltozásról. Ez egy meredekebb hatányfüggény. A nyomás állandó görbék szintén hatányfüggények, csak egy kicsit laposabbak az izochor onalaknál. Későbbiekben ezekről is lesz szó. 4

44 Az Otto elméleti körfolyamat p- és T-s diagramban 4. ábra Vizsgáljuk meg a körfolyamatot a T-s diagramban. A hőbeezetés a - szakaszon állandó térfogat mellett történik. Miel nincs munkaégzés az első főtétel alapján írható, hogy a beitt hő teljes mértékben a belső energiáját nöeli a háznak. Ideális gázt feltételeze ez a köetkező formában írható: qbe u c (T T ) A hőelétel 4- szakaszon szintén állandó térfogat mellett. qel u4 c (T4 T ) Az - és a -4 szakaszok adiabatikus állapotáltozások, ott nincsen hőbeitel agy hőelétel. A kinyert munka a Carnot-körfolymathoz hasonlóan a kettő különbsége. Ez a körfolyamat is felbontható elemi Carnot ciklusok összegére, ebből köetkezik a fenti állítás. qbe qel c (T T ) c (T4 T ) A körfolyamat hatásfokát szintén a Carnot-körfolyamathoz hasonlóan számíthatjuk. 4. Otto qbe q q be el c (T T ) c (T4 c (T T ) T ) T4 T T T 4.4 Az - és -4 között adiabatikus állapotáltozás an, tehát T Osszuk el a két egyenletet egymással T és T T4 4 T T T 4 4 T 44

45 45 Használjuk fel, hogy a két izochor állapotáltozásból adódóan 4 és T T T T Amiből adódik, hogy 4 T T T T A 4.4 egyenletet alakítsuk át úgy, hogy hőmérséklet arányok szerepeljenek benne, majd helyettesítsük be a 4.5 összefüggést. 4 4 Otto T T T T T T T T T T T T A hatásfok toábbi átalakításához ezessük be a kompresszió iszonyt: Otto A hatásfok a kompresszióiszony nöeléséel nő. A 4. ábra mutatja az elméleti hatásfok áltozását a kompresszió iszony függényében Az elméleti hatásfok alakulás a kompresszió iszony függényében 4. ábra Kompresszió iszony Elméleti hatásfok [%]

46 Ennek határt szab az üzemanyag-leegő keerék öngyulladása, amit el kell kerülni. Benzinmotorok esetén a kompresszióiszony :7 :. A alódi motorok hatásfoka kisebb, mint az számított érték. Benzinmotorok esetében a kompresszió égnyomása -7 bar, az égési csúcsnyomás bar, az égési csúcshőmérséklet C. A motorok tényleges hatásfoka 4-5% A alóságos benzinmotorok esetében a p-v diagram egy bonyolult görbe, melynek matematikai tárgyalása komplikált. A 4.4 ábra az indikátor diagramnak is neezett alóságos nyomásiszonyokat mutatja a löket függényében. A alóságos Otto körfolyamat p-v diagramban (indikátor diagram) 4.4 ábra 4.. A Diesel körfolyamat A dízelmotor (Rudolf Christian Karl Diesel, 89) működése négy ütemre bontható. A Diesel motor működése 4.5 ábra Az első ütem a szíás: a dugattyú a hengerben lefelé mozog, s közben egy nyitott szelepen át leegő áramlik a hengertérbe. A második ütemnél a dugattyú felfelé mozog, sűríti és felheíti 46

47 a leegőt, és minden szelep zára an. A harmadik ütem kezdetén a komprimált forró leegőbe injektálják a dízelolajat, ami a forró leegő hatására meggyullad, és állandó nyomáson ége elkezdi lefelé tolni a dugattyút. Az égés lassabb, mint a benzin égése a benzinmotorban. Az égés égeztéel adiabatikus tágulás juttatja el a dugattyút az alsó holtpontig. A negyedik ütemben a dugattyú felfelé mozog, a kipufogószelep nyita an, s az égéstermékek táoznak a hengerből. A körfolyamat újraindul friss leegőel. Az idealizált folyamat két adiabatikus, egy izobár és egy izochor folyamatból áll. A körfolyamat p- diagramja a 4.6 ábrán látható. A Diesel elméleti körfolyamat p- és T-s diagramban 4.6 ábra A hatásfokot az Otto motorhoz hasonló elek alapján lehet leezetni. Itt annyial komplikáltabb a helyzet, hogy a körfolyamat öt részfolyamatból teődik össze. És a kompresszió iszony mellett, a 4.8 az égés égénél és kezdeténél érényes fajtérfogat hányadost is beezetjük. Ezek felhasználásáal a Diesel körfolyamat elméleti hatásfoka: 4.9 A hatásfok a kompresszió iszony nöeléséel nő, a fajtérfogat hányados ( ) nöeléséel csökken. Összehasonlíta az Otto-körfolyamattal, annak hatásfoka azonos kompresszió iszony esetén meghaladja a Diesel ciklusét. Mindenki ismeri azonban azt a tényt, hogy a Diesel motorral hajtott gépkocsik üzemanyag-fogyasztása kisebb (és így az összhatásfoka jobb), mint az Otto-motorokkal hajtott gépkocsiké. Ez azért igaz, mert az Otto-motorok kompresszió iszonya lényegesen alacsonyabb, mint a dízelmotoroké. A benzin-leegő keerék ugyanis alacsonyabb hőmérsékleten (így alacsonyabb kompresszió iszony mellett) öngyulladást szenedne. A másik ok, hogy a benzinmotort a légbeömlés fojtásáal ezérlik, a fojtás pedig energiaeszteséget okoz. Harmadik ok pedig az, hogy a Diesel olaj egy literében 47

48 több energiatartalom an, mint egy liter benzinében. (Fűtőérték kilogrammra számola: dizelolaj 4, benzin 4, agy egy literre számola: dizel 6, benzin 0 ). A MJ MJ MJ MJ kg kg alóságos összhatásfok természetesen a termikus, mechanikai és egyéb eszteségek miatt mindkét motornál az elméletinél lényegesen kisebb. A alóságos Diesel-körfolyamat p-v diagramban (indikátor diagram) 4.7 ábra Valóságos dízelmotorok esetében a p-v diagram hasonlít a benzinmotorok esetében kapott görbéhez, de nincs rajta kiugró csúcs, keésbé szögletes. Diezel-motorok esetében a kompresszió iszony :6 :, a kompresszió égnyomása 0-55 bar, az égési csúcsnyomás bar, az égési csúcshőmérséklet C. A motorok tényleges hatásfoka -4%. A dízelmotorok jobb hatásfokának egyik fő oka, hogy a dízelmotorokban sokkal nagyobb kompresszió érhető el. 4.. A Siegler-Sabathé-körfolyamat Mind az Ottó mind a Diesel elméleti ciklus bizonyos közelítésekkel adja csak meg a alóságos körfolyamatot. A közelítés jaítására Seiliger Sabathé-ciklust, agy más néen keert ciklust, kettős ciklust ajánlották a szerzők. A folyamat során az égés egyrészt állandó térfogaton, másrészt állandó nyomáson zajlik le. Ennek köszönhetően ez a ciklus modellezi legjobban az Otto-motorokban és a Diesel-motorokban lejátszódó állapotáltozásokat. 48

49 - izentropikus kompresszió. - állandó térfogatú (izochor) állapotáltozás (égés első része) - 4 állandó nyomású (izobár) állapotáltozás (égés második része) 4-5 izentropikus expanzió 5 - állandó térfogatú (izochor) hőelonás Az elméleti hatásfok kifejezése leezetés nélkül a köetkező:. A korábban már definiált, a kifejezésben szereplő iszonyszámok jelentése: a kompresszió iszony, az égés égénél és kezdeténél érényes fajtérfogat hányadosa, és p nyomásiszony, az égés égnyomásának és kezdeti nyomásának hányadosa. p A Siegler-Sabathé elméleti körfolyamat p- és T-s diagramban 4.8 ábra Gőz körfolyamat és gőzdiagramok A korábbi fejezetekben a körfolyamatokban a kontinuum minden állapotáltozás közben gáz, sőt ideális gáz halmazállapotban olt. A számítások ezért könnyen elégezhetőek, mert a közegről feltételeztük, hogy többé-keésbé megfelel az ideális gáztörénynek. Szembe kellett azonban néznünk a gázok azon kedezőtlen tulajdonságáal, hogy mind a hőközlés, mind a hőelonás során hőmérsékletük áltozik. A jobb hatásfok elérése érdekében olyan közegeket alkalmazunk a kalorikus gépeinkben, melyek áltoztatják a halmazállapotukat, ugyanis a halmazállapot-áltozás közben a hőmérséklet nem áltozik, tehát adott az eli lehetőség a Carnot-körfolyamat bizonyos mértékű megközelítésére. Mindez azt jelenti, hogy a körfolyamatot át kell helyezni arra a területre, ahol a halmazállapot-áltozás határait jelző ún. határgörbék találhatók. A gyakorlatban a izet használták elsőként ilyen célokra. A gőzgép megalkotásánál is 49

50 kihasználták a fázisátalakulás előnyeit. Az. fejezetben már foglalkoztunk a íz egyensúlyi diagramjáal. Az egyik leggyakrabban alkalmazott fázisátalakulást tartalmazó körfolyamat a Claisius-Rankine- ízgőz körfolyamat A Rankine-Clausius körfolyamat Mielőtt a körfolyamatról beszélnénk, ejtsünk néhány szót a íz T-s diagramjáról, amit a 4.9 ábrán láthatunk, alós adatokkal. A íz még gőz halmazállapotban sem iselkedik ideális gázként, ezért a gőz fázisban is táblázatok, illete diagramok szolgáltatják az állapotjelzőket. Hasonlóan az ideális gázokhoz, a többfázisú rendszerek esetében is célszerű azoknak a T s diagramját megadni. A kétfázisú rendszerek T s diagramjában a szokásos termikus és kalorikus állapotjelzők értékén kíül fel szokás tüntetni a fázisok összetételére onatkozó arányszámot, a fajlagos gőztartalmat (x) is. Ezek az állandó összetétel onalak. A gyakorlatban legtöbbet alkalmazott íz-ízgőz közegre onatkozó T s diagramoban gőzmezőben, a határgörbétől táoloda a hűzokhoz hasonló jellegúek a görbék. Ahogyan az ideális gáz iselkedését a közeg tulajdonságai megközelítik, a p és állandó onalak (állandó fajhőknél) exponenciálissá, a h, emtalpia állandó onalak pedig ízszintessé álnak. A hőmérséklet-entrópia diagramban a íz és a ízgőz adatait ábrázolták, egységnyi tömegre onatkoztata. A függőleges tengelyen a hőmérséklet Celsius fokban a ízszintes tengelyen az egységnyi tömegre onatkoztatott entrópiát láthatjuk. A kékkel jelölt határgörbe (haranggörbe) alatt íz+gőz egyes fázis található, a görbétől balra íz, jobbra pedig gőz. A diagram jobb oldali skáláján az entalpia látható, a diagram belsejében az entalpia onalak pirossal annak jelöle. A túlheített gőz mezőben közelítenek a ízszinteshez, a nedes mezőben erősen felfelé hajlanak. A diagram felső részén a nyomás skálát láthatjuk. A mezőben ezeket fekete onalak jelzik. A nedes mezőben ízszintesen haladnak, mint az állandó hőmérsékletű onalak, a túlheített gőz mezőben erősen emelkednek, hasonlóan az ideális gázok T-s diagramjához. Az állandó fajtérfogat onalakat zölddel jelölték a diagramban, ezek meredekebben haladnak, mint az állandó nyomású onalak. A nedes mezőben léő szaggatott onalak a nedes mezőben a gőztartalmat jelzik. Balról jobbra a baloldali határgörbén 0%, agyis még nincs gőz csak íz. Az első szaggatott onala 0% gőzt (tömegszázalékot), a második 0%-t jelöl és így toább. A jobb oldali határgörbén 00% gőz an, a íz teljesen elpárolgott. A haranggörbe legfelső pontja a kritikus pont, ami íz esetében tkritikus 74C, pkritikus bar. A kritikus pont felett már nem lehet a gőzt és a izet megkülönböztetni, nincsen fázisátalakulás. A ízgőz állapotjelzőinek kiszámítására nagyon sok számítógépes programot is készítettek, amelyekből igen pontosan meg lehet határozni az állapotjelzőket. Ezek után izsgáljuk meg a körfolyamatot. A Rankine-körfolyamat a Carnot-ciklus gyakorlatban is megalósítható áltozata. A fő különbség abban an, hogy a folyékony íz nyomásának nöelésére itt sziattyút használnak. Ez körülbelül százszor keesebb energiát igényel, mintha gázt sűrítenének kompresszorral, mint ahogy a Carnot-körfolyamatnál történik. (De ezért a Rankine-körfolyamat hatásfoka nem jobb, hanem rosszabb egy azonos hőfokhatárok között működő Carnot-körfolyamaténál.) A Rankine-körfolyamat hatásfokát általában a munkaközeg fizikai jellemzői határolják be. Annak érdekében, hogy a nyomás a kritikus értéket el ne érje, a hőmérséklethatárok korlátozottak íz esetében. A turbinába aló belépés előtt a gőz hőmérséklete általában 565 C (ez az a hőmérséklet, melynél a rozsdamentes acélok tartós folyása még nem köetkezik be) és a gőz hőmérséklete a kondenzátorban mintegy 0 C. Emellett az elméletileg legjobb Carnot-körfolyamat hatásfoka körülbelül 6%, míg egy korszerű széntüzelésű hőerőmű hatásfoka mintegy 4%. A iszonylag alacsony gőzhőmérséklet miatt gyakran építenek kombinált ciklusú erőműeket, 50

51 g ő z t ú l h e i t é s i h ő 4 í z f o r r a l á s i h ő q 4 q í z h e í t é s i h ő q t u r b i n a m u n k á j a sz iattyú munkája 6 q el 5 g ő z k o n d e n z á c i ó s h ő j e A Rankine-Clausius gőzturbina körfolyamat T-s diagramban 4.9 ábra melyeknél a magasabb hőmérsékleteken gázturbina, az alacsonyabb hőmérsékleten Rankinekörfolyamat üzemel együtt. A hőközlési folyamat a folyadék mezőben indul, a ponttól. Itt a folyadék telítetlen állapotban an, azaz hőmérséklete alacsonyabb, mint a nyomásához tartozó telítési hőmérséklet. A folyadék melegedése során (állandó nyomás mellett) eléri a nyomásához tartozó telítési hőmérsékletet, megkezdődik a forrás. Az - görbeszakasz alatti terület a folyadék melegítéséhez szükséges hőmennyiséggel arányos. A - görbeszakasz a íz halmazállapot áltozását jelöli, itt forr fel a íz és gőz lesz belőle. A folyamat állandó nyomáson és állandó hőmérsékleten zajlik le. A görbeszakasz alatti terület a forrás közben felett rejtett agy idegen szóal latens hőel arányos. A -4 görbeszakasz, melynek hasonló a gázok exponenciális görbéjére a keletkezett gőz túlheítését jelzi. A görbeszakasz alatti terület a túlheítési hő. A hőközlés során felett hő tehát a három az -4 görbeszakaszok alatti terület. A 4 ponttól indul a magas hőmérsékletű (túlheített) gőz adiabatikusnak feltételezett expanziója, mely a felső határgörbe alá nyúlik egy kicsi, az 5 pontig. A hőelonás a munkát égzett közeg kondenzálódásának (gőzből ismét íz halmazállapotba történő átmenet) megfelelő állandó nyomású és hőmérsékletű állapotáltozás. Az 5-6 egyenes alatti terület adja a kondenzáció során elont rejtett hőt. Végezetül a munkát égzett és lekondenzálódott, tehát ismételten folyadék halmazállapotba került közeget át kell sziattyúzni a hőközlés nyomására. 6- szakasz. Miel a folyadék gyakorlatilag összenyomhatatlan (a folyadékmezőben az állandó nyomású görbék egymás közetlen közelében futnak!), az ehhez szükséges munka mennyisége gyakorlatilag elhanyagolható az expanzió során nyert munkához képest. Az ábrán bemutatott körfolyamatot a XIX. század égén William John 5

52 Túlheítő 4 Turbina Kazán 5 Generátor 4 5 Sziattyú 6 Kondenzátor 6 A Rankine-Clausius gőzturbina körfolyamat blokkázlata [9] 4.0 ábra Macquorn Rankine skót mérnök és fizikus írta le először és emlékére Rankinekörfolyamatnak (a szakirodalomban helyenként Rankine-Clausius körfolyamatnak) neezik. Valójában az eredeti Rankine-körfolyamat a túlheítést nem tartalmazta Clausius-Rankine körfolymat T-s diagramban Adatok: p 65bar ; 5C Egy alósághoz közeli Rankine-Clausios körfolyamat adatait olassuk ki a ízgőz t-s diagramjából 4.9 ábrán. t ; 0C ; 545C ; 0C ; p 5 0,05bar t t 4 t 5 Kérdések: a./ Határozzuk meg az diagram egyes pontjaiban az állapotjelzőket! b./ Határozzuk meg az egy kilogramm gőzbe beitt hő, elitt hő és a turbina által termelt és a sziattyú által felett munka nagyságát! c./ Határozzuk meg a körfolyamat eli hatásfokát! Megoldás: A diagram alapján elileg kiolasható minden egyes ponthoz a köetkező adatsor, amit táblázatban közöltünk. (A pontosság érdekében számítógépes programból adtuk meg az adatokat) a./ pont pont pont 4 pont 5 pont 6 pont p [bar] ,05 t [C] h [kj/kg] s [kj/kg K] 0,5,55 5,44 6,59 6,59 0,5 A fenti táblázat alapján ki tudjuk számítani az egyes hőmennyiségeket és munkákat. Használjuk fel a hőtan II. törényének nyitott rendszerre onatkozó alakját.0. egyenlet H Q WT, pontosabban ennek az egységnyi tömegre onatkozó alakját: h q wt 4. b./ Ezek alapján a kj h h kg kj h h kg q q 5

53 kj q4 h4 h kg Mind a három állapotáltozásban a technikai munka nulla, mert nincs nyomásáltozás, ezért a beitt hő egyenlő az entalpiaáltozással. A körfolyamatba beitt hő nagysága a három hőbeitel összege: kj qbe q q q kg A turbina által égzett munka a 4-5 szakaszon adiabatikus expanzió, eközben nincs hőközlés, így az entalpia áltozás egyenlő a turbina munkájáal. w 5 45 h4 h Az 5-6 szakaszon a kondenzátorban elont hő nagysága kj qel h5 h kg kj q4 h4 h kg A sziattyú által felett munka a 6- szakaszon szintén adiabatikus áltozás, de ez kompresszió. kj w6 h h kg c./ A körfolyamat hatásfokát a.0. egyenlet alapján adhatjuk meg: QF Q Q F A Qbe Q Q be el kj kg ,476 4,76% 97 A turbinán számított munka w 45 gyakorlatilag megegyezik a QF QA hőmennyiség különbségéel. Ez eltérést a sziattyú által felett munka okozza w 6. De ezt legtöbbször el lehet hanyagolni a többi mennyiség mellett. kj w 45 w kg kj QF QA kg (A két mennyiség azonos, az eltérés oka kerekítési hiba!) A alóságos körfolyamat hatásfoka kisebb az elméletinél a különböző eszteségek miatt Vízgőz h-s diagramja A ízgőz állapotjelzőit nem csak T-s, hanem h-s diagramban is gyakran ábrázolják. A 4. ábrán egy ilyen diagramot látunk. A haranggörbe kissé elfordul a T-s diagramhoz képest. A benne található onalrendszer ugyanazokat az állapotjelzőket tartalmazza mint a T-s diagram. Itt jól láthatók az állandó nyomású (kék) és állandó fajtérfogatú (piros) onalak menete. Itt be annak jelöle az x, gőztartalom onalak is (fekete). 5

54 A ízgőz h-s diagramja 4. ábra 54

55 5. Hűtőgépek és hősziattyúk A. fejezetben már tárgyaltuk a fordított Carnot-körfolyamatot. A 4. fejezetben tárgyalt erőgépi körfolyamatok a beezetett hő egy részét munkáá alakították. Ha ezeknek a körfolyamatoknak az irányát megfordítjuk, akkor munkabefektetés réén hőt tudunk létrehozni. Az ilyen típusú körfolyamatok legfontosabb alkalmazási területe a hűtés, amikor is a környezet hőmérsékleténél alacsonyabb hőmérsékletű rendszert kell létrehoznunk és fenntartanunk. Miel e körfolyamatok esetében az a célunk, hogy a lehető legkisebb munkabefektetés árán a lehető legnagyobb hőtranszportot (inhomogenitást) hozzuk létre, ezért e körfolyamatok energetikai jóságának megítélésére nem a termikus hatásfokot, hanem a hűtőkörfolyamat hatásosságának neezett tényezőt ezetjük be. Ennek értelmezése az 5.. ábra jelöléseinek felhasználásáal: Qel Qel. W W W net A 5. ábrán feltüntettük az egyes berendezések elneezését. A folyamat, melynek T s diagramja a köetkező állapotáltozások sorozatából épül fel: K T Meleg közeg T hőmérsékleten M Turbina 4 W T Q le T Kondenzátor W K Elpárologtató T H Kompr. TM TH T [K] 4 Q M W =W - W K T Q A Q el Hideg közeg T H hőmérsékleten S S A fordított Carnot-körfolyamat eli felépítése 5. ábra S [J/K] : a munkaközeg adiabatikus kompressziója, : izotermikus hőleadás, a munkaközeg kondenzációja, 4: a munkaközeg adiabatikus expanziója, 4: izotermikus hőfelétel, a munkaközeg elpárolgása. A fordított Carnot-körfolyamat szerinti hűtőgép a alóságban nem alósítható meg. A gyakorlatban a már korábban megismert gőz- agy gáz körfolyamatoknak megfelelő fordított körfolyamatok szerinti hűtőgépek üzemelnek. A fordított Brayton-körfolyamat szerinti hűtőgép eli felépítését az 5. ábra mutatja és T s diagramban szintén az 5. ábra mutatja. Ha a hőleadás és a hőfelétel hőmérsékletkülönbség nélkül megy égbe, akkor a hűtött tér legkisebb hőmérséklete T H, míg a környezet hőmérséklete legfeljebb T 0 lehet. 55

56 Meleg környezet kondenzátor hőcserélő q le T p = áll. 4 T K w net w T w K hőcserélő T 0 T H 4 q le w net q el p = áll. q el Hűtött tér elpárologtató A fordított Brayton-körfolyamat eli felépítése és T-s diagramja 5. ábra s A gyakorlatban legelterjedtebb hűtőkörfolyamatok munkaközege gőz. A gőz körfolyamat hűtőgép eli kapcsolási ázlatát és T s diagramját az Hiba! A hiatkozási forrás nem található.. ábra mutatja. A munkaközeg a köetkező állapotáltozásokon megy keresztül: : izotermikus hőfelétel, a munkaközeg elpárolgása, : a munkaközeg adiabatikus kompressziója, 4: izotermikus hőleadás, a munkaközeg kondenzációja, 4: a munkaközeg adiabatikus expanziója. Meleg környezet T Kondenzátor Q lea Telített folyadék 4 Fojtószelep Elpárologtató Hűtött tér Q el. Kompresszor W komp 4* 4 fo j tá s e n ta l p i a á l l a n d ó g ö rb e q lea. q el. Telített gőz A kompresszoros hűtőgép ázlat és körfolyamata T-s diagramban 5. ábra w komp. s A gőz munkaközegű hűtőkörfolyamatok esetében a turbinát, a egyes kétfázisú közeg expanziójának nehéz megalósíthatósága miatt az expanziót fojtással helyettesítik, minek köetkeztében az adiabatikus reerzibilis expanzióhoz (4*), a nyomáscsökkenés utáni állapot a (4) pontba kerül. A hűtőkörfolyamat hatásossága az állapotdiagramból leolasható entalpiaértékekkel kifejeze: h h4 h h 56

57 5. Kompresszoros hűtőgép A hűtőgép és hősziattyú olyan hőerőgép, amelynek működése során a hűtőközeggel olyan folyamatokat égeztetünk, hogy hőt szállítunk alacsonyabb hőmérsékletű helyről magasabb hőmérsékletű helyre. Az egykomponensű kétfázisú munkaközeg alkalmazása azzal jár, hogy ebben az esetben a hőleadás közel izotermikus, a hőfelétel pedig izotermikus lesz. Az ezt megalósító berendezés eli kapcsolását az 5.4 ábra mutatja. A munkafolyamat a köetkező lépésekből áll: az elpárologtatóban megfelelően alacsony hőmérsékletszinten a munkaközeg elpárolog és hőt on el a hűtendő térből. Az elpárologtatóból kilépő gőzt a kompresszor az igényelt megfelelő magas hőmérsékletszintnek megfelelő nyomásra komprimálja, így juttata azt a kondenzátorba, ahol a munkaközeg cseppfolyósodik. A környezetnek átadja a hőt. A folyadék halmazállapotú hűtőközeg a fojtószelepen keresztül jut az elpárologtatóba. A hűtőkörfolyamatot T s diagramjában az 5.5 ábra mutatja, ahol bejelöltük a kapcsolási ázlaton megadott pontokat, alamint a körfolyamat irreerzibilitásait. A kompresszoros hűtőkörfolyamatokat általában log p h diagramban szokás ábrázolni, mert ebben a diagramban a fajlagos felett és leadott hők, alamint a befektetendő mechanikai munka szemléletesen, szakaszokkal ábrázolhatók, ahogy azt az 5.6 ábra is mutatja. magas hőmérsékletű közeg hőleadás q lea. Fojtás Kondenzátor Hajtás P H Elpárologtató Kompresszor 4 hőfelétel q el. alacsony hőmérsékletű közeg A kompresszoros hűtőgép ázlat 5.4 ábra A kompresszoros hűtőgép körfolyamat energiamérlegét a köetkező egyenletek fejezik ki. A hűtőközeg az elpárologtatóban fajlagosan q el. h 4 h 5. hőt esz fel, a kondenzátorban fajlagosan q h lea. h 5. hőt ad le, míg a kompresszió fajlagosan 57

58 w komp. h h 5. munkát igényel. log p izoterma izentropikus kompresszió T * * 4 alóságos kompresszió 4 qfel. w komp. fojtás okozta irreezibilitás a kompresszió irreerzibilitásai s q lea. h Kompressziós hűtőgép körfolyamat T-s és log p-h diagramja 5.5 ábra A kompresszoros hűtőgépeken kíül alkalmaznak még abszorpció hűtőgépeket is. Ezek részleteiel itt nem foglalkozunk. Ezekről a [] irodalomban találni részleteket. 5. A hősziattyúk A hősziattyú olyan berendezés, kalorikus gép, amelyik arra szolgál, hogy az alacsonyabb hőmérsékletű környezetből hőt onjon ki és azt magasabb hőmérsékletű helyre szállítsa. Ele teljesen hasonló a hűtőgépekhez. Használatának célja a hőenergiáal aló gazdálkodás, melynek során hűtési energiát fűtésben (pl. melegíz-készítésben) fel lehet használni, illete környezeti hőt lehet hasznosítani. A hősziattyú elileg olyan hűtőgép, melynél nem a hideg oldalon elont, hanem a meleg oldalon leadott hőt hasznosítják. Minden olyan fizikai el alapján készülnek hősziattyúk, melyeket a hűtőgépeknél is használnak. Leggyakoribbak a gőz-kompressziós elen működő berendezések, de léteznek abszorpciós hősziattyúk is. 58

59 l o g p e n ta l p i a Egy hősziattyús rendszer log p-h diagramja 5.6 ábra Az 5.6 ábrán egy hősziattyú körfolyamatot látunk log p-h diagramban. A hőmérsékleteket a bal oldali határgörbén láthatjuk barna feliratokkal jelöle. Az alsó hőfok 0 0 C, a felső hőfok 60 0 C hőmérsékletű. A pont jelenti a tökéletesen adiabatikus kompresszió onalát, a -es pont pedig a alóságos kompresszió onalát. A hősziattyúk fordított üzemmódban is működhetnek, ekkor a melegebb hely hűtésére is használhatók. A hősziattyúk energiamérlegüket tekinte fordított üzemmódban működtetett hőerőgépnek, erő-hő gépeknek is felfoghatók. [] Talajkollektoros rendszer esetében több száz méter hosszú speciális kemény PVC köpennyel ellátott rézcsöeket, agy polietilén csöeket fektetnek le - méter mélyen. Hátránya, hogy nagy felületen (a fűtött alapterület,5--szorosan) kell megbontani a telket a csöek lefektetésekor, ezért leginkább új építésű házak esetén jöhet szóba. (ld. 5.7 ábra) Felszín alatti talajkollektoros hősziattyú 5.7 ábra 59

60 Talajíz: A talajíz-kútból búársziattyúal nyert íz hőjének elonása után a izet agy egy másik kútba, agy felszíni ízbe (patak, tó, folyó) ezetik, agy elsziárogtatják földbe fektetett dréncsöeken át. A talajíz közel állandó hőmérséklete (7 C) és jó hőezetőképessége réén ideális hőforrás. Leegő: A külső leegőt entilátor(ok) szíják be, és a hősziattyú hűti le. Előnye a könnyű telepíthetőség, hátránya iszont a külső leegőtől aló függés, aminek a hőmérséklete nem állandó. Ezért a rendszer hatékonysága és hőteljesítménye előnytelenül áltozó. Toábbi problémát jelenthet a entilátor(ok) által keltett zaj. A leegő forrású hősziattyú COP-je (Coefficience of Operation Proces) a.4 egyenlet szerint kinyert hőmennyiség és a befektetett kompresszor munka aránya. Vagy az 5. ábra szerint a kinyert hő iszonyíta a befektetett munkához. Q COP W M 5.4 A hősziattyú annál gazdaságosabb, minél nagyobb ez a szám. Jelentése pedig az, hogy a fűtésre felhasználható hő hányszorosa a folyamat fenntartásához szükséges munkának. Ez praktikusan annyit jelent, hogy kwh befektetett illamos energiáal hány kwh fűtési energiát állítunk elő. Általában akkor gazdaságos egy rendszer, ha legalább három agy annál nagyobb ez az érték. Az 5.8 ábrán azt látjuk, hogy a külső leegő hőmérsékletétől hogyan függ a COP egy hősziattyús rendszernél. Az egyes görbéken a paraméter a fűtési rendszerben keringő fűtőíz hőmérsékletét jelenti. Alacsony fűtőíz hőmérsékletnél gazdaságosabb a rendszer, iszont nagyobb radiátorok szükségesek a jó működéshez. A másik, ami a görbékből látszik, hogy a külső hőmérséklet csökkenése erősen csökkenti a leegős hősziattyús rendszer gazdaságosságát. Leegő kollektoros hősziattyús fűtés 5.8 ábra Hulladékhő: Számításba jöhet hőforrásként a szennyíz, az elhasznált termálíz, hűtendő elektromos berendezések és ipari eszközök. Szezonális tároló: A nyári északban a hűtésből származó hőt a talajnak adják át, a tárolás magában az erre kialakított jelentős térfogatú rétegben történik, majd télen a fűtési üzemben ebből a rétegből, tárolóból eszik a hőt. Hőforrás a hűtőházak, a hűtőládák és a nyári klimatizálás hulladékhője. A nyári meleget "elteszik télire". 60

61 5. Hűtőközegek Az első megalósított hűtőgépek ammóniát (NH ) használtak, ez a hűtőközeg ma is elterjedt nagy hűtőrendszerekben. Később alkalmaztak propánt (C H 8 ), metilkloridot (CH Cl) kéndioxidot (SO ), és több más együletet. A Freon együletcsalád a halogénezett szénhidrogének kereskedelmi nee, melyet a DuPont cég kezdett gyártani majd általánosan elterjedt a hűtőgépiparban kiáló tulajdonságai miatt. Ilyenek többek között a Freon- difluor-diklór-metán (CF Cl ), a Freon- trifluor-klór-metán (CF Cl), agy a Freon- Fluordiklór-metán (CHFCl ). A freonokat (agy CFC-ket) széles körben használták kiáló stabilitásuk és biztonságos használhatóságuk miatt: nem gyúlékonyak, keésbé mérgezőek mint azok a hűtőközegek, amelyeket feláltottak. Később derült ki, hogy egy tulajdonságuk igen eszélyessé ált: ha a freon megszökött, a felső atmoszférába juta klórtartalmuk erősen rombolta az ózonréteget, mely a Nap erős ibolyántúli sugárzásától édi a föld felszínét. A klóratomok katalizátorként elősegítik az ózon lebomlását. A klór mindaddig aktí katalizátor marad, amíg egy másik atommal kötésbe nem lép és stabil molekulát nem alkot. A CFC hűtőközegek ma is gyakoriak hűtőgépekben, de egyre csökken mennyiségük. Újabb és keésbé környezetszennyező hűtőközegek a hidrokloro-fluorokarbonok (HCFC), ilyen például az R-, melyet a legtöbb mai háztartási hűtőszekrényben használnak és a HFC-k (például az R4a) amelyek a gépkocsikban terjedtek el; ezek feláltották a korábbi CFC-ket. A montreali egyezmény a HCFC-ket is a fokozatosan kionandó anyagok listájára helyezi, ezeket HFC-kel (hidrofluor-karbon) fogják helyettesíteni, például R-40A-al, mely már nem tartalmaz klórt. Napjainkban a szub- és szuperkritikus széndioxid is egyre inkább elterjedőben an hűtőközegként, melyet R-744-gyel jelölnek. 6

62 6. Ideális gázkeerékek törényei 6. Nedes leegő állapotjelzői Az elegyek egyértelmű megadásához, mint minden többalkotós rendszer esetében, ismerni kell az egyes összeteők mennyiségét. Az alkotók mennyiségének megadására kétféle módszer terjedt el, amik iszonyítási alapjukban különböznek egymástól: tömeg (kg) agy anyagmennyiség (mol). A toábbiakban csak a tömegalapú onatkoztatási rendszerrel fogunk behatóan megismerkedni. Az ideális gázelegy iselkedését a Dalton- és Amagat-törények írják le. A gázelegy fontosabb jellemzői (tömegarány, mólarány) közötti kapcsolatokat taglaljuk. Bemutatjuk a kiemelt fontosságú gázelegy, a nedes leegő iselkedését, jellemzőit és állapotáltozásait, alamint ezek kezeléséhez szükséges összefüggéseket és állapotdiagramokat. m = m Tehát a keerék tömege: m= + m + m +.+ mi +.+ mn N m i i 6. Tekintsük az alábbi rendszert. A rendszerben, mint látjuk N db gázkeerék an egy álaszfalakkal ellátott tartályba zára. Azonos a nyomásuk és a hőmérsékletük is. A álaszfalak felhúzásáal a gázkeerék egyes komponensei keeredni kezdenek egymással, és tömegük összeadódik. A gázkeerék térfogata nyílán az egyes komponensek térfogatának összege N V=V i. 6. i A tömeg és egyéb jellemzők hasonlóan számolhatók. Az egyes átlagos anyagjellemzők (gázállandó, fajhő stb.) a tömegaránnyal súlyoza számíthatók ki. A parciális nyomás nem más, mint egy adott komponens résznyomása a keerékben. Tehát az i-edik komponens parciális nyomását úgy kell elképzelni, hogy egy komponens mekkora nyomást hozna létre a teljes térfogatban, ha a többi komponenst eltáolítanánk. Vagyis az össznyomás hányad részét hozza létre az adott komponens. Tehát a keerék nyomása előállítható az egyes komponensek parciális nyomásainak összegeként. p = p + p + p +.+ pi +.+ pn 6. 6

63 6. Nedes leegő Az ideális gázkeerék 6. ábra A több összeteőből álló leegőt a gyakorlatban sokszor ízgőzből és száraz leegőből álló kétkomponensű keeréknek szokás tekinteni, és ebben az esetben nedes leegőnek neezzük. A leegőben léő H O mennyiségének, annak az egyes állapotáltozások során aló megáltozásának ismerete fontos a technikai gyakorlatban. A klímatizálás egyik igen fontos elme a hőmérséklet mellett a megfelelő légnedesség biztosítása. A megfelelő komfort (emberek, állatok, nöények részére) megteremtése nem csupán a megfelelő hőmérséklet biztosítását jelenti, hanem a megfelelő légnedességet is. Másik fontos alkalmazás az ipari szárítás, ami a íznek különböző anyagokból (pl. festékek, élelmiszerek stb.) aló eltáolítását jelenti, ez számos iparág fontos folyamata. 6. A nedes leegő h x diagramja A nedes leegő állapotáltozásainak köetésére a gyakorlatban a h x agy (i-x) diagramot használjuk. A nedes leegő x-el jelölt abszolút nedességtartalma az adott légtömegben léő nedességnek (m ) és a száraz leegő ( m ) tömegének az aránya. m x 6.4 m Az kg száraz leegőt és x kg izet tartalmazó keerék h +x entalpiája egyenlő a száraz leegő entalpiájának (fajhő hőmérséklet) és az x kg íz entalpiájának az összege. Ez utóbbi entalpia a párolgáshőből (r 0 ) és a gáz/gőz halmazállapotú íz entalpiájának (fajhő, hőmérséklet) az összegéből áll, azaz: h x cp t x r0 c t (A gyakorlatban előforduló nyomásokon és hőmérsékleteken mindkét összeteő és a keerék maga is ideális gáznak tekinthető.) A h +x ily módon aló felírásáal a t=0 C-hoz a h +x =0 kj/kg értéket rendeljük hozzá. A leegő (c p = kj/kg K) és a ízgőz (c pg =,86 kj/kg K) fajhő értékeinek alamint a (r 0 =50 kj/kg) párolgáshőnek az értékét behelyettesíte kapjuk a köetkező kifejezést: p g 6.5 h x t x 50,86 t 6.6 6

64 Az állandó hőmérséklet görbék meredeksége egy h +x x diagramban ebben az esetben h x 50,86 t x, azaz a hőmérséklet nöekedéséel arányosan széttartó táll. egyenesek, amint azt a 6. ábra mutatja. Vegyük észre, hogy az izotermák meredekségének értékéhez képest magának a hőmérsékletáltozás által okozott meredekség áltozás nagyon kicsi, az r 0 és a c pg nagyságrendi iszonyainak megfelelően. Így a 0 C-hoz tartozó meredekség 50, míg ugyanez az érték t=00 C esetében 687. Ami azt jelenti, hogy a számunkra hasznos tartomány két kis meredekség-különbségű egyenes között an, ami egy adott léptékű diagramon használhatatlanul kis területet jelent. A probléma megoldása a Mollier által jaasolt koordináta transzformáció, azaz az x tengelynek az szöggel aló elforgatása. (Az szög a diagramon alkalmazott léptékek függénye.) Az így eredményül kapott ferdeszögű koordináta rendszerben természetesen az entalpia állandó onalak az elforgatott x tengellyel lesznek párhuzamosak. A hőmérséklet állandó onalak közül a 0C-os izoterma ízszintessé álik, a hőmérséklet nöekedéséel pedig enyhén széttartó egyeneseket kapunk eredményül, ahogy a 6. ábra mutatja. A használatos diagramokon azután a megszokott derékszögű koordináta rendszert látjuk, melynek skáláját az elforgatott x tengelytől származtatjuk. A diagram az így csak az izotermákat adja meg, a nedességre onatkozóan még nem tudunk semmit. Ez toábbi megfontolást jelent. A nedes leegő össznyomása, a nedességtartalom és a leegőben léő gőz nyomása közötti összefüggés felírásához a komponensekre felírt ideális gáz állapotegyenleteket írjuk fel, illete azok hányadosát: m T Vk p M 6.7 V p k g mg T M ahol: az unierzális gázállandó (8,4 J/mol. K) M a leegő mol tömege M g a ízgőz mol tömege g miel így kapjuk, hogy p p p g g mg M 9 x,6 x, m M 8 p x p g p x p g, x 0,6 x

65 h h =x,86t=a =t=b =x,86t=a =t=b =50x x x x =50x x Az entalpia tengely transzformációja Mollier-diagramban 6. ábra A nedességtartalom nöekedése tehát a 6.9 egyenlet szerinti gőznyomás nöekedést eredményez. Az adott hőmérsékleten a hőmérséklethez tartozó telítési nyomásnál nagyobb nyomású gőz nem fordulhat elő, így a leegőben a nedességtartalom egy adott hőmérsékleten addig nöekedhet, míg a gőz résznyomása az adott hőmérséklethez tartozó telítési nyomást el nem éri. Azaz minden hőmérséklethez tartozik egy adott a p +x -től függő nedességtartalom (x s ), amikor a gőz résznyomása az adott hőmérséklethez tartozó telítési nyomást eléri, így az x s értékének meghatározására a köetkező kifejezést kapjuk: ps xs 0, p x ps A keerékhez adott minden toábbi nedesség már csak folyadék halmazállapotban lehet jelen. (A keerékben egyenletesen szétoszlott, lebegő folyadékfázis: a köd.) Az entalpia ebben az esetben a köetkező h c t x r c t x x c 6. x ahol a c p a íz folyadék állapotbeli fajhője. p s t 0 p g p A hőmérséklet állandó onalak meredeksége pedig a h x x. táll. 4,7 t s cp kj 4,7 helyettesítéssel: kg K A hőmérséklet állandó onalak menete, összefoglala az eddigieket, tehát a köetkező: A nulla nedesség tartalomnál az entalpia egyenlő a hőmérséklet és az össznyomáson mért kj száraz leegő izobár fajhőjének szorzatáal ( bar esetén c p ). kg K A nedességtartalom nöekedéséel az izoterma a ízszintessel kis szöget bezáró egyenes, a telítési nedességtartalmat elére az izoterma meredeksége ugrásszerűen megáltozik és csaknem az entalpia állandó onalakkal álik párhuzamossá. Vezessük be a telítési fokot

66 x x s A nedességtartalmat jellemezhetjük a meteorológiai gyakorlatban szokásos relatí nedességgel is. pg 6.4 ps Ami azt fejezi ki, hogy a leegőben léő gőz parciális nyomása hány százaléka az adott léghőmérséklethez tartozó telítési nyomásnak. A relatí nedességtartalom és a telítési fok közötti kapcsolat a köetkező. x p x 0,6 x x 0,6 xs 0,6 x s, x p s xs0,6 x 0,6 x x 0,6 xs illete a nyomások felhasználásáal a kapcsolat pg 0,6 p x pg p x p s p 0,6 s p x pg p x ps formában írható fel. Amíg a keerék hőmérséklete jóal kisebb, mint az össznyomáshoz tartozó telítési hőmérséklet, az x és x s <<, illete pg p x és ps p x így a gyakorlatban a. Az izotermákon a telített állapot (=) és a teljesen száraz (=0) leegő közötti tartományban a különböző telítettségi állapotokat (=0,; 0,;...) leíró görbéket is ábrázolhatjuk. Az telítési értékekhez tartozó izoterma töréspontokat összekötő görbét telítési görbének neezzük. A telítési görbe helyzetét a nedes leegő összenyomásának értéke befolyásolja. A nagyobb össznyomások esetén a 6.0 egyenlet szerint a telítési állapothoz tartozó nedességtartalom kisebb, így a telítési görbe balra tolódik el. A telítési görbe alatti tartományt az egyenletesen szétoszlott folyadékfázis jellegzetes alakjáról ködmezőnek neezzük. 66

67 Mollier h-x leegő nedesség diagramja 6. ábra 6.4 Légállapot izsgálat fűtés során Egy klímatizálási probléma során a külső leegő állapota t e /φ e =+0 ºC/50%. A leegőt t i =5 ºC-ra kell felmelegíteni. Kérdések: a./ Rajzoljuk be a légállapot áltozást h-x diagramba és olassa le az abszolút nedességtartalom és hőtartalom értékeit! b./ Ezután a leegőt egy légmosóban nedesítjük φ=00%-os relatí nedességtartalomig. Milyen értékek olashatók le ekkor t, φ, x és h-ra? c./ Nedesítés után utófűtőben a leegőt fűtsük fel t 4 = ºC-ra. Milyen értékeket kapunk akkor a h-x diagramban? Megoldás: A diagram alapján elileg kiolasható minden egyes ponthoz a légállapot. a./ Az előfűtésnél a leegőt melegítjük. Az abszolút nedessége (x) nem áltozik, így egy függőleges onal mentén halad felfelé az állapotáltozás. Az és pontokban érényes 67

68 hőmérsékleteket, entalpiákat és relatí nedességeket és az ábrára beírtuk. A melegítéssel nöekedett a keerék entalpiája és csökkent a relatí nedessége. Előfűtés diagramban 6.4 ábra b./ A légnedesítés során az állapotáltozás iránya alapétően a íz hőmérsékletétől függ. Az ábrán feltüntetett nedesítés közelítőleg állandó entalpia mentén történt. Ekkor a bepermetezett íz hőmérséklete megegyezik a leegő hőmérsékletéel. A lehűlést a íz elpárolgása okozza. A latens hő csökkenti a keerék hőmérsékletét. Az és pontokban érényes hőmérsékleteket, entalpiákat és relatí nedességeket az ábrára beírtuk. A nedesítéssel áltozatlan maradt a keerék entalpiája és csökkent a hőmérséklete és 00%-ra nőt a relatí nedessége. A leegő abszolút nedessége is nöekedett, ez a célja a nedesítésnek. c./ Az utófűtésnél hasonló állapotáltozás megy égbe, mint az előfűtésnél, a leegőt melegítjük. Az abszolút nedessége (x) nem áltozik, így egy függőleges onal mentén halad felfelé az állapotáltozás. Az és 4 pontokban érényes hőmérsékleteket, entalpiákat és relatí nedességeket és a 6.5 ábrába beírtuk. A melegítéssel a megnőt a keerék entalpiája és csökkent a relatí nedessége. A nedesítést és az utófűtést egy lépésben is el lehet égezni, ebben az esetben gőzzel nedesítjük a leegőt. Ez is egy szokásos eljárás a klímatizálásban. Elektromos gőzfejlesztőből nyert, kisnyomású gőz esetén az állapotáltozás onala kis eltéréssel egyezik a t=áll. onallal. Egyszerűség kedéért a szerkesztéseket így égezzük. 68

69 Légnedesítés és utófűtés a diagramban 6.5 ábra 6.5 Légállapot izsgálat hűtés során Gyakori klímatechnikai feladat nyáron a leegő hűtése. A hűtés során gyakran kicsapódik a légnedesség, mert a harmatpontig lehűtjük a leegőt. Egy klímatizálási feladat során a külső leegő állapota t e /φ e =+ ºC/40%. A leegőt t i =4 ºC-ra kell lehűteni telítési állapotra. Kérdések: a./ Rajzoljuk be a légállapot áltozást h-x diagramba és olassa le az abszolút nedességtartalom és hőtartalom értékeit! b./ Ha a hűtőberendezés óránként leegőből óránként? c./ Mekkora a berendezés hűtőteljesítménye? d./ Mekkora a rejtett és az érzékelhető hűtőteljesítménye? kg m le leegőt szállít, mennyi íz csapódik ki a h Megoldás: A diagram alapján elileg kiolasható minden egyes ponthoz. a./ A hűtés során először azonos abszolút légnedesség mellett csökken a hőmérséklet és nő a relatí nedesség. A hűtés során elére a telítési állapotot, ami kb. t * =7 C hőmérsékletnél köetkezik be, megkezdődik a íz kiálása a leegőből. Toább hűte a leegőt, egyre több íz csapódik ki és a telítési görbén halada hűl egészen az előírt t =4C hőmérsékletig. A ízkicsapódás és a hűlés köetkeztében entalpiája lecsökken. g b./ Egy kilogramm leegőből xe x,8 9,9,9 íz csapódik ki. A diagramban kg ábrázolt kg-ra onatkozó áltozást a hűtés során alkalmazott teljes légmennyiségen el kell égezni. Így kiszámíthatjuk az óránként kicsapódó íz mennyiségét. 69

70 míz mleegő e kg h g kg g h kg h x x (,8 9,9) , Tetemes mennyiségű íz keletkezik a hűtés során. c./ A hűtőberendezésnek biztosítania kell a leegő entalpiájának csökkenését, amit a köetkezőképpen számíthatunk: kg kj Qhüt mleegő e h kg kj h kj Q hüt ,6 0,6kW h 600 s s kj h h h (6, 9) 8400 d./ Egy hűtőberendezés hűtőteljesítménye általában két részre osztható: az egyik része csökkenti a leegő hőmérsékletét, ez az érezhető hűtőteljesítmény, a másik része arra fordítódik, hogy a kicsapódó íz rejtett hőjét elezesse, ez a rejtett hűtőteljesítmény. Q hüt Q érezhető Q rejtett kg kj kj mleegő h* h h kg h kj kj h kj ,6 06,6kW h h 600 s s Qrejett Q rejett Q érezhető kw06,6kw 04kW Q Q 0,6. hüt rejtett 70

71 Hűtés folyamata a diagramban 6.6 ábra 7

72 7. Hőterjedés A hőenergia a hőmérséklet-különbség köetkeztében történő térbeli terjedése általában igen összetett folyamatok eredménye. A hő terjedésének mennyiségi leírásához a köetkező három elemi folyamatot különböztetjük meg. Hőezetés (kondukció) - az energia terjedésének az a módja, amikor a hő egy közeg egyik - magasabb hőmérsékletű - részéből annak másik része felé történő "áramlása" során a közeget alkotó részecskék elmozdulása nem számotteő illete rendezetlen. (Például az egyik égén melegített rúd másik ége is felmelegszik, az energia a rúd melegebb égétől hőezetéssel jut a másik égéhez.) Hőszállítás (konekció) - az energia terjedésének az a formája, amikor a közeget alkotó részecskék rendezett elmozdulásának (áramlásának) köetkeztében alósul meg. Az energia az anyaggal együtt áramlik. Hősugárzás az energia térbeli terjedésének elektromágneses hullámok formájában megalósuló folyamata, ami közetítő közeg szükségessége nélküli mechanizmus. Az energia áramlásának a három formája gyakran egyszerre jelentkezik. Azt a formát szoktuk kiragadni a tárgyalásból, amelyik domináns az energia áramlás szempontjából. Hőterjedés különböző formái 7. ábra 7. A hőezetés A hőezetés konkrét mechanizmusa a különböző közegek esetében azonban lényegesen különbözik egymástól. Gázokban az atomok, molekulák rendezetlen mozgása miatti ütközéseknek (és a diffúzió) köetkeztében terjed az energia. A fémekben a hő két párhuzamos, majdnem független mechanizmus réén terjed, egyrészt a kristályrácsot alkotó atomok rezgése által, másrészt a szabad elektronok diffúziója réén. A nem fémes anyagok és folyadékok esetén az energia terjedése rugalmas elemi hullámok réén alósul meg. 7

73 Két egymással párhuzamos sík felülettel határolt szilárd testen át történő hőezetésre a francia fizikus és matematikus, Jean Baptiste, Joseph Fourier állított fel egy tapasztalati összefüggést a XIX. század elején. Megfigyeléseik szerint a ezetés útján időegység alatt terjedő hőáram (Q) mennyisége egyenesen arányos a hőmérsékletkülönbséggel (t -t ), a felületek nagyságáal (A) és fordítottan arányos a felületek táolságáal (Δx )és arányos a szilárd test anyagára jellemző (λ) ún. hőezetési tényezőel. A mínusz előjel mutatja, hogy a hőáram a csökkenő hőmérséklet felé áramlik. Hőezetés szilárd testben 7. ábra (t t) Q A W 8. x Beezete a hőáramsűrűséget, amely egységnyi felületen átáramló hőáram (differenciális formába alamint ektorosan felíra): dt q dx q grad t A Fourier-féle hőezetési egyenletben szerepel egy anyagjellemző, a hőezetési tényező A hőezetési tényező (λ) A hőezetési tényezőt kifejeze a Fourier-egyenletből megkapjuk annak mértékegységét is. Jelentése, hogy egy méter hosszon egy Kelin hőmérséklet különbség hatására mekkora hőáram indul meg az anyagban. q grad t W m K A hőezetési tényező legtöbbször nem állandó, hanem a hőmérséklet függényében áltozik. Ez a áltozás kisebb hőmérsékletkülönbségek esetében elhanyagolható. Nagyobb hőmérsékletkülönbségek esetében köszönhetően annak, hogy a hőezetési tényező többnyire a hőmérséklet lineáris függénye, a közepes hőmérsékletnek megfelelő átlagértékkel lehet számolni. A hőezetési tényezőel ill. a hőezetési tulajdonság és az elektromos ezetőképesség között is fennáll az analógia. Az elektromosan ezető anyagok (fémek) hőezetési tényezője jó. Ezzel ellentétben a nem fémes anyagok hőezetési tényezője lényegesen rosszabb, ezek hőszigetelő tulajdonságúak. Mindennek alapető magyarázata, hogy a fémekben sok a szabad elektron, melyek elektromos feszültségkülönbség hatására történő áramlása az elektromos áram, és ezek szerint a hőáramlásban is szerepet játszik a mozgásuk. A köetkező táblázatban néhány anyag hőezetési tényezőjét tüntettük fel: 7

74 7. táblázat Anyagok hőezetési tényezője Anyag Hőezetési tényező λ [W/mK] Anyag Hőezetési tényező λ [W/mK] Anyag Fémek Egyéb anyagok Gázok Hőezetési tényező λ [W/mK] Alumínium 0 Alumínium 0 Leegő 0,06 Sárgaréz 85 Sárgaréz 85 Széndioxid 0,07 Réz 86 Réz 86 Nitrogén 0,05 Arany 9 Arany 9 Oxigén 0,07 Vas 7 Vas 7 Ólom 5 Ólom 5 Platina 70 Platina 70 Ezüst 408 Ezüst 408 Acél 48 Üegszál 0,04 Folyadékok Gránit, Aceton 0,0 Jég, Benzin 0,6 Lenászon 0,088 Etilalkohol 0,7 Papír 0, Higany 8,7 Puha gumi 0,4 Motorolaj 0,5 Száraz homok 0,9 Vazelin 0,8 Selyem 0,04 Víz 0,58 Tömör hó 0, Száraz talaj 0,4 Fa 0, A táblázat szerint a fémek jól ezetik a hőt. A fémek közül a réz és az alumínium jő hőezető, ezért előszeretettel alkalmazzák hőcserélők gyártására. A folyadékok hőezetése nagyságrenddel rosszabb és a gázok kifejezetten jó hőszigetelők. (Feltée, hogy nem indul meg bennük áramlás, mert akkor már konekcióal toábbítják a hőt.) Az állatok szőrzete és tollazata a beléjük zárt leegőnek köszönheti jó hőszigetelő tulajdonságait. 7.. Stacioner hőezetés szilárd testekben A köetkezőkben nemutatjuk a hőezetés differenciál egyenletének főbb gyakorlati eseteit. A sík falakban, csöekben és gömbfelületekben kialakuló hőfokmegoszlást. Sík falakon keresztül történő hőezetés, stacioner esetben egyszerű lineáris hőfokmegoszlást eredményez. Ezt később, a hőátbocsájtásnál tárgyaljuk. Vastag falú csöekben a hőfokmegoszlás már ennél bonyolultabban alakul. Hőezetés stacioner esetben, astag csőfalban. 74

75 A csőezeték belsejében egy meleg közeg áramlik. Ennek hatására a csőfalon keresztül megindul a hő áramlása a hidegebb külső térbe. Stacioner áramlást feltételeze a cső minden egyes r sugarú hengerpalástján azonos hőáram áramlik át. Ennek nagysága Q. dt dt Q A r L dr dr Hőezetés csőfalban 7. ábra Fejezzük ki a hőmérséklet-függényt: Fejezzük ki az egyenletből a hőmérséklet áltozását a sugár mentén. Nyílán a belső, kisebb paláston gyorsabban áltozik a hőmérséklet, mint a külső nagyobb paláston. Válasszuk szét a differenciál-egyenletet. dr Q Ldt, r majd integráljuk a belső és egy futó sugár között: r dr Q L dt. r r t r Q ln L r Q r t t ln L r A kapott hőmérséklet a belső felületen a legnagyobb, majd logaritmikusan csökken kifelé halada. Jellegét a 7. ábra mutatja. A hőáramot kifejezhetjük a hőmérséklet különbséggel és az anyag és geometriai jellemzőkkel. t t t r Q ln r L t t t t Q L r ln r W 8.4 Hőezetés stacioner esetben, gömbhéjban Egy gömb alakú tartály belsejében egy meleg közeg an. Ennek hatására a gömb falán keresztül megindul a hő áramlása a hidegebb külső térbe. Stacioner esetben gömb minden egyes r sugarú gömbpalástján azonos hőáram áramlik át. Ennek nagysága Q. dt dt Q A 4r dr dr Fejezzük ki az egyenletből a hőmérséklet áltozását a sugár mentén. Nyílán a belső, kisebb gömbhájon gyorsabban áltozik a hőmérséklet, mint a külső nagyobb héjon. Válasszuk szét a differenciál-egyenletet. dr Q 4 dt r, majd integráljuk a belső és egy futó sugár között. 75

76 76 t t r r dt 4 r dr Q r r t t 4 r r Q Fejezzük ki a hőmérséklet-függényt: r r 4 Q t t A kapott hőmérséklet a belső felületen a legnagyobb, majd hiperbolikusan csökken kifelé halada. Jellegét a 7.4 ábra mutatja. A hőáramot kifejezhetjük a hőmérséklet különbséggel és az anyag és geometriai jellemzőkkel. r r t t r r 4 r r t t 4 Q Összefoglalhatjuk a különböző geometriai falakon keresztül létrejöő hőáramokat. Hőezetés gömbhéjban 7.4 ábra 8.5 A hőezetés különböző falgeometriák esetében [5] 7.5 ábra

77 7.. A hőellenállás A fémeknél a hőezetés és az elektromos ezetés analóg. A jó hőezető fémek jó elektromos ezetők is. Az analógia felhasználásáal hőellenállást is lehet definiálni, az elektromos ellenállás analógiájára. A hőezetés síkfalra onatkozó egyenletét úgy rendezzük át, hogy a hőmérsékletek különbsége maradjon a jobb oldalon, az eredmény (használjuk a -Δx=δ jelölést). (t t) Q A W Alakítsuk át az egyenletet olyan alakra, hogy az egyik oldalon a hőmérséklet különbség, a másik oldalon a hőáram szerepeljen. t t Q 8.6 A Az R h kifejezés un. termikus-. hőellenállás beezetéséel Fourier és az Ohm A törény analógiája nyilánaló: t t Rh Q U RI Az egyszerű geometriájú, állandó hőezetési tényezőjű testek hőellenállásának számítási összefüggésit szintén tartalmazza a 7.5 ábra az egy- és többrétegű szerkezetekre is. A réteges szerkezetekre a táblázatbeli értékek csak abban az esetben érényesek, ha az egyes rétegek ideálisan kapcsolódnak egymáshoz, azaz a közöttük léő kontaktus a hőáram számára nem jelent ellenállást Instacioner hőáramlás Anyagok melegítése illete hűtése nagyon gyakori jelenség. Gondoljunk csak a főzésresütésre, de ha a gépészet területét nézzük, akkor az anyagok meleg megmunkálása, acélok edzése is ilyen folyamat. Ezekben a folyamatokban melegítjük, hűtjük az anyagokat, és gyakran nagyon gyorsan égezzük ezt a műeletet. Ilyenkor számolnunk kell a hő időbeli terjedéséel is. Ezt írja le a hőezetés differenciálegyenlete általános alakban. T c T q t x i x i ahol (sűrűség), c,(fajhő) λ (hőezetési tényező) és q (térfogati hőforrás) a helytől (esetleg időtől is) (x,y,z koordinátáktól) és a T hőmérséklettől is függő hőtechnikai paraméterek. A hőezetés differenciál egyenlete állandó λ hőezetési tényező esetén: T T T T q 8.7 t c p x y z cp Definiáljuk az a hőmérsékletezetési tényező agy hőfokezetési tényező fogalmát. a c p 77

78 A fenti differenciál egyenlet megoldása igen bonyolult. Bizonyos esetekben létezik analitikus megoldása is. Fontos még, hogy a megoldás egyértelműségéhez nagyon fontos a kezdeti- és a peremfeltételek pontos megadása is. Manapság sok szofter áll rendelkezésre, amelyekkel az egyenlet megoldása nagyon jól előállítható. A megoldást szemléletes módon hőfénykép formájában is képesek ezek a szofterek megjeleníteni, amelyek közetlen összehasonlíthatók hőkameráal készült mérésekkel is. 7. Hőátadás radiátorhiba ház hőesztesége Hőkamerás felételek 7.6 ábra [ A szilárd testekben lejátszódó hőezetési folyamatokat a legtöbb esetben az okozza, hogy azok a felszíni hőmérsékletüktől eltérő hőmérsékletű folyadékkal (gázzal) érintkeznek. A szilárd felszín és a folyadék határon át aló hőterjedés a hőátadás. Amely általában egy hőezetés és egy konekció együttes hatásaként jön létre. Hőátadás fal melletti áramlásban 7.7 ábra A hőátadás alapegyenlete Newton által felírt alakja: Q A t t W foly w 8.8 ahol: Q a szilárd test felszínén fellépő hőáram, [W] A a folyadékkal érintkező felület, [m ] t w a test felszínének hőmérséklete, [ C], agy [K.] 78

79 t foly a folyadék hőmérséklete, [ C], agy [K] W α a hőátadási tényező m K A test felszíne és a folyadék közötti hőáram fenti felírásakor feltételeztük, hogy a teljes felszín hőmérséklete azonos (izotermikus), és a folyadék egyetlen hőmérséklettel jellemezhető. A hőátadási tényező ilyen módon történő beezetéséel egy összetett folyamat két leglényegesebb paraméterét, a hőmérséklet-különbséget és a felületet kiemele, alamennyi egyéb fizikai hatást (áramlás jellege, sebesség, stb.) a hőátadási tényező magában foglal. Ezeknek a hatásoknak az eredőjét a számértékéel fejezi ki. A hőátadási tényező számítása igen bonyolult összefüggésekkel lehetséges, későbbiekben még tárgyaljuk. A szerkezet megneezése és térbeli, illete a hőáramhoz iszonyított helyzete α külső [W/m K] α belső [W/m K Külső fal és nyílászáró 4 8 Belső fal és nyílászáró 8 8 Lapostető és felülilágító 4 0 Belső födém (felfelé hűlő), padlásfödém 0 Belső födém (lefelé hűlő), pincefödém 8 6 Árkád feletti födém Hőátitel 7. táblázat Építészetben alkalmazott hőátadási tényezők A mérnöki gyakorlatban sűrűn előforduló feladat, hogy a rendszerben léő közeggel hőt kell közölni, agy belőle hőt kell elonni a rendszer szilárd falán át és a hő a környezetből érkezik agy oda kell átadni. Ez a folyamat, mely tehát egy hőátadásból (a rendszerben léő folyadék és a rendszer fala között), egy hőezetésből (a rendszer falán át történik) és egy toábbi hőátadásból (a rendszer fala és a környezet között) zajlik. Ezt röiden hőátitelnek neezzük. Ilyen hőátitel megy égbe az épületek belső tere és a környezet között is. Manapság ezt a hőátitelt igyekeznek az építészek minél kisebbre csökkenteni. Az épületek hűtése és fűtése igen tetemes energiaráfordítással jár. Az energiafelhasználás csökkentésének ez egy igen hatékony módszere. Példáinkat is e témakörből esszük. A gépészetben gyakran ennek az ellenkezője a feladat, agyis minél hatékonyabb, gyorsabb hőátitel a cél. Gondoljunk például motorok hűtési problémájára. 79

80 Hőátitel sík falon 7.8 ábra [ Elsőként izsgáljunk egy sík falon keresztül történő hőátitelt. Épületek esetében ez a leggyakoribb eset. Az 7.8 ábrán bemutatott három hőmérsékletkülönbségre a megfelelő összefüggéseket írhatjuk fel. A fal bal oldalán egy melegebb közeg átadja a hőjét hőátadással a falnak. A falon keresztül hőezetéssel jut át a hő, majd a jobb oldalon léő közeg ismét hőátadással eszi fel a hőt. Feltételezzük, hogy a jelenség stacioner. Ez annyit jelent, hogy időben nem áltoznak a hőmérsékletek és hőáramok. Az a hőáram, amit a bal oldali melegebb közeg lead, teljes mértékben eljut a jobb oldali hidegebb közegbe. Vagyis a hőáram mindkét közegben és a falban is egyforma. Elsőként írjuk fel a Newton-féle lehűlési törénnyel a bal oldali közeg által leadott hőáramot ( Q ). Q A t tf W 8.9 Majd a falon hőezetéssel átmenő hőáramot a Fourier-törénnyel, t t Q A f f 8.0 W és égül ismét a Newton-féle lehűlési törénnyel 8. Q A tf t W. Fejezzük ki mindhárom összefüggésből a hőmérséklet különbségeket: Q Q Q t tf tf tf t A A f t, A ezután pedig adjuk össze a három egyenletet. A bal oldalon a meleg és a hideg közeg átlagos hőmérséklete marad t t. t t Q 8. A Írjuk át az egyenletet a Newton-féle lehűlési törényhez hasonló alakra Q A t t 8. 80

81 Q Ak t t 8.4 Vezessük be a k tényezőt, amit hőátiteli-tényezőnek (hőátbocsájtási-tényező) neezünk. A hőátadási tényezőkkel és a fal hőezetéséel és annak astagságáal kifejeze a k -t a köetkezőt kapjuk: k 8.5 Az összefüggés szerkezetéből adódik, hogy adott falastagság és hőezetési tényező esetén a hőátiteli-tényező mindenképpen kisebb, mint a két közeg oldalán jelentkező hőátadási tényezők bármelyike. Ennek természetes köetkezménye, hogy adott fal esetén a hőátiteli tényező nöelése agy csökkentése a leghatékonyabban minden esetben a rosszabbik hőátadási tényező áltoztatásáal érhető el. Szokásos a képletet a hőellenállásokkal is felírni. Ez az egyes egyenletek rendre: t tf R Q tf tf R Q tf t R Q ahol: R R A A R A Összeada a felső három egyenletet, kapjuk: t t R R RQ 8.6 A képletből jól látható, hogy a hőellenállások összeadódnak. Az eredő a részek összege. Egy sorba kapcsolt rendszernek felel meg. Tehát bármelyik ellenállásnál nagyobb lesz az eredő ellenállás. Összeete a hőátiteli-tényezőel látható, hogy a hőellenállásban a felület nagysága is szerepel. Nöekő felülettel csökken a hőellenállás, és nöekő hőátitelitényező is csökkenti a hőellenállást. Tehát, ha az épületeknél nöelni akarjuk a hőellenállást, akkor agy a felületet csökkentjük agy a hőátiteli tényezőt csökkentjük. Az építészek ez utóbbin fáradoznak főként a hőszigetelés nöeléséel. R k A R R k Többrétegű falaknál a hőezetéssel átitt hőnek minden egyes rétegen át kell jutnia. A számításban a 7.5 ábra összefüggéseit kell alkalmazni ilyen esetben. 7.4 Hőátitel többrétegű falon Egy építészeti példán keresztül izsgáljuk meg a számítás részleteit, és egyben azt is, hogy milyen energetikai előnyökkel jár a falszerkezet hőszigetelése. Indulunk ki egy hagyományos téglaépület 8-as falának szigeteléséből. A 8- as fal 8 cm astag, hagyományos téglából, malterral összeépített falszerkezet 8

82 az alábbi paraméterekkel. Ismerjük a fal teljes hőátiteli tényezőjét, k-t. Építészetben U-al szokták jelölni. Első kérdésként a fal hőezetési tényezőjét kell meghatározni. Majd a falat kíülről hőszigeteljük különböző astagságú hőszigetelő anyaggal, és megizsgáljuk, milyen hatása an a fal belső hőmérsékletére és a hőeszteségre. Adatok: W W W t b 0C ; t k C ; k 0 ; b 8 m K ; k (U),5 m K m K Kérdések: a./ Mekkora a fal hőezetési tényezője, ha astagsága 8 cm? b./ Mekkora a fal belső felületének hőmérséklete? c./ Milyen astag sz 0,04 [W / mk] hőezetési tényezőjű szigetelésre an szükség, hogy a falszerkezet hőátbocsájtási tényezője a felére csökkenjen? d./ Mekkora ebben az esetben a fal belső hőmérséklete? e./ Milyen astag hőszigetelés kell, hogy az új előírásokat teljesítse a falszerkezet? (7/008.(V.4.) TNM rendelet), f./ Mekkora ebben az esetben belső hőmérséklete? Megoldás: a./ A 8 cm fal hőezetési tényezőjét a hőátbocsájtási tényező kifejezéséből kapjuk 8.5 egyenlet: k b k Fejezzük ki belőle a falra onatkozó adatokat, és helyettesítsük be a hőátadási tényezőket: A falszerkezet és a hőmérséklet adatok 7.9 ábra k b k, ,5 Majd a keresett hőezetési tényező: 0,8m W 0,7 0,5 m K mk 0,5 W K W m

83 Ez a falszerkezetnek egy átlagos (tégla és malter) hőezetési tényezője. b./ A belső fal hőmérséklete A köetkező kérdésben a fal belső hőmérsékletét határozzuk meg. Ehhez elsőként a falon átjutó hőáram sűrűséget kell kiszámítanunk. Q k A tb tk [W], kifejezésből az egységnyi felületre jutó hőáram kifejezése q k behelyettesíte az adatokat, kapjuk t t [W / m ] b k t t,5 0 ( ) 49,5 [W / m ] q k. b k A hőáramsűrűség ugyanakkora az egyes részekre is, tehát q t t [W / m ] b b bf, amiből a keresett belső fali hőmérséklet: q 49,5 tbf tb 0,8 C 8.8 b 8 Télen egy ilyen hideg fal elég rossz közérzetet okoz a lakáson belül, mégpedig a sugárzás réén hidegérzetet kelt. 8.7 c./ A szükséges hőszigetelés astagsága, hogy a k felére csökkenjen Fel kell írnunk a hőszigeteléssel ellátott fal (két réteg) hőátbocsájtási tényezőjét, amit az eredeti felére kell csökkenteni. k,5 k' 0,75 sz b sz k Fejezzük ki a hőszigetelő anyag jellemzőit, és írjuk be a képletbe az adatokat: sz 0,8 0,689 k' 0,75 8 0,7 4 sz b k A hőszigetelő anyag hőezetési tényezőjét ismere, meghatározzuk annak astagságát: m K W sz 0,699sz 0,689 0,04 0,06 m,6cm W m K Tehát már,6 cm astagságú hőszigetelő anyaggal felére lehet csökkenteni a hőátbocsájtási tényezőt, ami azt is jelenti, hogy a hőeszteséget is a felére lecsökkentettük! Ez a 8.7 egyenletből egyenesen köetkezik. q 49,5 W q ' 4,75 m d./ Mennyiel áltozik meg fal belső hőmérséklete aa hőszigetelés hatására? Ugyan az a megoldás menete, mint a b/ kérdésben. A 8.8 egyenletet értelemszerűen alkalmaza: 8

84 q' 4,75 t' bf tb 0 6,9 C. b 8 Vegyük észre, hogy a szoba hőmérsékletéhez képesti hőmérséklet különbség is a felére csökkent 6,ºC-ról, º C-ra. e./ A 7/008.(V.4.) TNM rendelet előírásainak megfelelő mértékben csökkenjen a fal hőátbocsátási tényezője. A kérdés megálaszolásához nézzük az idézett előírást. A mellékelt táblázat tartalmazza az előírt értékeket. 7. táblázat A rétegrendi hőátbocsátási tényező értékei W A táblázat szerint a külső fal hőátbocsátásának k(u) 0,45 m C A megoldás a c./ pontban ismertetett módon hajtható égre. Vagyis a megköetelt hőátbocsátási tényezőel kiszámítjuk az hőszigetelő réteg astagságát. k'' 0,45 sz b sz k sz sz k'' b k 0,45 8 0,8 0,7 4,58 84

85 m K W sz,580,04,58 0,04 0,06 m 6, [cm] W m K Megjegyzés: Pont ilyen astagságú hőszigetelés nem kapható, hanem ehhez legközelebb eső méret 0 cm. f./ A belső fal hőmérséklete mennyiel áltozik meg az új, astagabb hőszigetelés hatására? q'' k'' t t 0,450 ( ) 4,85 [W / m ] b k t' ' bf t b q' ' b 4,85 0 8,4C 8 Az új hőszigeteléssel fal belső hőmérséklete 70%-os hőeszteség-csökkenést értünk el!!!! t bf,8 C -fokról kb. 4 fokot melegedett és kb. Megjegyzés: Egy épület hőszigetelésének jaításakor nem elegendő a falakat szigetelni, hanem a nyílászárókat is jobb hőszigetelőre kell cserélni! A lakás hőeszteségének nagyobb része ugyanis a nyílászárókon keresztül történik. 85

86 8. A hőátadás, hőátadási tényező számítása A gépészeti gyakorlatban nagyon sok hőátadási feladatot kell elégezni. A különböző hőcserélők számításaiban szerteágazó hőátadási iszonyok jöhetnek létre. A hőátadás a hőterjedésnek az a módja, amikor az áramló kontinuum hőt ad le agy esz fel alamilyen szilárd felületre ill. felületről. A hőterjedésnek erre az esetére más törények érényesek, mint a hőezetésre. Az anyagi jellemzői hőezetési tényezője mellett, meghatározó jelentőségű az, hogy a kontinuum áramlása milyen (lamináris agy turbulens). A hőátadáskor létrejön-e fázisátalakulás (forrás, lecsapódás). Lamináris áramlás esete közelebb áll a hőezetéshez, míg az intenzí keeredéssel együtt járó turbulens áramlás esete. A hőátadási tényező tehát nem anyagi jellemző. E fejezetben bemutatunk néhány számítást a teljesség igénye nélkül. Meghatározása döntően modellkísérletek alapján felállított, hasonlósági kritériumokat (hasonlósági számokat) tartalmazó ún. kritérium egyenletek segítségéel történik. A hőátadási folyamatok modellezésénél a Re-szám által kifejezett hasonlóság mellett toábbi hasonlósági feltételek teljesülése szükséges. Ezeket a hasonlósági feltételeket kifejező mértékegység nélküli (dimenziótlan) hasonlósági számok általában a köetkezők: L Nu Nusselt-szám L a jellemző hossz c Pr Prandtl-szám, ahol ν a kinematikai iszkozitás a μ a dinamikai iszkozitás a a hőfokezetési tényező c (ld.8.7 egyenlet) L L Re Reynolds-szám A számítások célja az Nu=f(Re, Pr) függény megadása, amiből az α hőátadási tényező már kiszámítható. Nézzük például a síklap menti Nu-szám számítását. A sík lap párhuzamos az áramlással. A lap elején az áramlás lamináris. A fő áramlás és a lap között kialakul egy határréteg. Ebben a rétegben a lap feletti, táol léő sebesség lecsökken zérusra. Ez a réteg folyamatosan astagodik, ahogy haladunk előre a lap mentén. Majd bizonyos táolságban a határréteg megastagszik, és a belső, fal közeli rétege toábbra is lamináris marad, a külső rétege pedig 5 turbulenssé álik. A turbulens határréteg megjelenése kb. Re 0 felett alakul ki. Itt a VL Re módon számítandó, L a lap elejétől mért táolság. (Vigyázat! Csőbeli áramlásoknál a jellemző hossz legtöbbször a cső átmérője!) 86

87 Sík lap menti hőátadási tényező számítása 8. ábra A Nusselt-számot ilyen esetben a köetkezőképpen kell számolni: 5 Re 0 (lamináris szakasz) Nu lam 0,664 Re Pr 5 Re 0 Nu turb (turbulens szakasz) 0,07Re,44Re 0, 0,8 Pr Pr 0,66. A 8. ábrán látjuk az α hőátadási tényező áltozását. Érdemes felfigyelni arra, hogy a borda elején nagyon jó (nagy) a hőátadási tényező! Ha egy nagy borda helyett több apró bordát alkalmazunk, amelyiken mindegyiken újra kezdődik a határréteg, akkor ugyanakkora felület, sokkal nagyobb hőátadást tud produkálni. Ez az ele a Forgó- féle apróbordás hőcserélőnek. Lásd később Heller-Forgó-féle hűtőrendszer. Számítások ki egy sík lapalakú hűtőborda hőátadási tényezőjét és számítsuk ki, hogy mekkora az átadott hőáram m széles lap mentén! A sík lap mentén (hűtőborda) leegő áramlik. Adatok: m kg 6 ;, ; 70 Pas ; s m W k 0 m K ; t 0C ; t borda 50C W 0.06 ; L 0cm ; mk c p J 008 ; kg K Megoldás: Elsőként ki kell számítanunk a Reynolds-számot, hogy eldöntsük az áramlás típusát. L L 0,, Re Tehát lamináris a határréteg, mert Re<0 5. Köetkező lépésként a Prandtl-számot kell meghatároznunk: 6 c Pr 0,66 a 0,06 Majd alkalmazhatjuk az ide onatkozó összefüggést: 87

88 Nu 0,664 Re Pr 0, lam 0,66 68,8 A hőátadási tényező ezek után a Nusselt-szám definíciójából számítható: 0,06 W Nu 68,8 7,7 L 0, m. K Itt emlékezzünk arra. hogy az épület hőeszteségének számításánál ebben a nagyságrendben W W adtuk meg a hőátadási tényezőt az épületen belül ( 8 m ) és az épületen kíül ( 4 K m ) K értéknek. És égül a Newton-féle kifejezéssel tudjuk kiszámítani a leadott hőáramot: t t 0, 7, ,6W Q A borda Q 5,6 q 5,6 W A 0, Összehasonlíta az épület hőleadásáal, láthatóan itt majdnem két nagyságrenddel nagyobb a leadott hőáramsűrűség. A hűtőborda célja éppen a jó hőleadás. 8. Hőátadás kényszeráramlásban A kör keresztmetszetű csöekben történő kényszerített áramlás esetén a hőátadási tényező nagysága legerőteljesebben az áramlás jellegétől függ, miel az áramlás jellege a csőfal mellett kialakuló határréteg fizikai paramétereit döntően befolyásolja, a hőátadás mértékét is elsősorban meghatározza. Az áramlás jellegében az un. kritikus sebesség elérésekor Reynolds eredményei alapján - a áltás hirtelen köetkezik be, amikor is a kisebb sebesség esetén fennálló lamináris (réteges) áramlás turbulenssé (gomolygóá) álik. Csöekben áramló közegek esetén az átmenethez a Re 0 érték tartozik. A sebesség a cső keresztmetszetben a sugár függényében áltozik, a Re-számban szereplő sebesség a közeg átlagsebessége, ami az időegységenként átáramlott térfogat (térfogatáram Q) és az áramlási keresztmetszet (A) hányadosa =Q/A. Csőben történő áramlásnál a D a cső belső átmérője és a neezőben a kinematikai iszkozitás szerepel. A D átmérő helyett a jellemző méret lehet a csőhossz, agy a cső külső átmérője is. D Re 88

89 Hűtőrendszer kényszerített áramlása 8. ábra Hűtőborda A hőátadás jaítására gyakran alkalmazzák a gépészeti szerkezetekben a felület bordázását. A 8. ábrán is láthatunk ilyen megoldást, például a hűtőn. Azokat a felületeket, melyek mentén a kialakuló hőátadási tényező túlzottan kicsi, bordázattal látják el, a felület nagyságának és így a hőáram nagyságának nöelése érdekében. Az ilyen módon megnöelt felület azonban teljes nagyságában nem ehető figyelembe, ugyanis a bordák mentén a bordatőtől táoloda a hőmérséklet csökken. Ez a hőmérsékletcsökkenés a borda kialakításának függénye és az ún. bordahatásfokkal eszik figyelembe. tbordaközepes t borda t t bordatő Hűtőborda hatásfoka 8. ábra 8. Hőátadás szabad áramlásban A hőátadáskor gyakran előfordul, hogy a hőátadás során felmelegedő közeg a sűrűségkülönbség miatt kezd áramlásba. Ekkor szabad áramlásról beszélünk. A Gr-szám a felhajtóerő és a súrlódási erő (Franz Grashof) iszonyszáma. Ebből köetkezően a Gr-szám is az áramlásra jellemző, mint a Re-szám, de az olyan áramlásokra, amikor az áramlás nem 89

90 kényszerített, hanem azt a hőmérsékletkülönbség hatására kialakuló sűrűségkülönbség generálja. Leegő szabad áramlása ábra g t Gr Az összefüggésben β a közeg köbös hőtágulási tényezője, az áramlásra jellemző lineáris méret (pl. egy függőleges csődarab esetében a cső hossza, de egy ízszintes csődarab esetében annak átmérője). A neezőben a kinematikai iszkozitás szerepel. A Δt hőmérsékletkülönbség az áramló közegre jellemző hőmérséklet és a fal jellemző hőmérséklete közötti különbség. A különböző anyagi jellemzőket az említett két hőmérséklet számtani közepének megfelelő hőmérsékleten kell enni! Szabad áramlás hűtőtornyokban (nedes hűtőtornyok) ábra A Heller-Forgó-féle hűtőrendszer, a hűtőtorony belseje ábra 90

91 A hőtani tanulmányainkból nagyon sok mindent alkalmaz a Heller-Forgó-féle hűtési rendszer, amely két magyar mérnök zseniális találmánya. A köetkezőkben idézem a Wikipédián található erre onatkozó leírást: A Heller Forgó-féle hűtőberendezés két Kossuth-díjas magyar mérnök találmánya. Ez egy olyan közetett léghűtéses rendszer, melyben a kondenzátor íz hűtőközegének isszahűtése zárt rendszerben, ízeszteségektől mentesen, leegőel történik. A rendszer két fő eleme a keerő kondenzátor és a hűtőíz isszahűtését égző apróbordás hőcserélő. Jelentőségét a jászberényi Fémnyomó- és Lemezárugyár - a LEHEL Hűtőgépgyár jogelődje ezetői Gorjanc Ignác és László Károly felismerték s a gyártás megteremtéséel ált igazán ilághíressé a ilágszabadalom. A hűtőberendezés az a termék - a hűtőszekrény mellett - amelyre a Lehel Hűtőgépgyár büszke lehet. Két magyar mérnök, Heller László és Forgó László olyan lég-kondenzációs berendezés tereit alkotta meg, amely megoldja a hőerőműek eddigi nagy ízszükségletének a problémáját. A Heller Forgó-féle hűtőelem így terjedt el a népszerű elneezése nagy jelentőségű találmány, amelyre a ilág több pontján is felfigyeltek. Az el és a keerő kondenzátor alkalmazása Heller László neéhez fűződik, a isszahűtést égző apróbordás hőcserélőt Forgó László szerkesztette. Találmányuk lényege az olt, hogy az erőmű gőzturbinájából kilépő fáradt gőzt, ákuum-gőzt hideg íz befecskendezéséel kondenzálták, cseppfolyósították. A még meleg íz az apróbordás hőcserélőbe kerül, ott lehűl és zárt hűtőkörben elpárolgás nélkül újból hasznosíthatóá álik a folyamat ismétlődésekor. Egykorú sajtóközlemény, így méltatja a találmány lényegét: A hőerőműek roppant ízszükséglete abból származik, hogy a széntüzelésű hőerőműeknél a tüzelőanyagban léő hő kb. 50%-át kell ízhűtés útján elonni. Ezért egy közepes hőerőmű napi ízszükséglete megfelel Budapest teljes napi ízfogyasztásának. Az as éek folyamán terjedt el szélesebb körökben ezen igen jelentős magyar találmány híre. Első esetben az 957. éi Budapesti Nemzetközi Vásáron mutatta be a Heller Forgó-féle hűtőelem itt gyártott prototípusát. A találmány 958 májusában elnyerte a Brüsszeli Világkiállítás nagydíját és hamarosan elindult a ilágsiker útján. Elsőként a legnagyobb angol illamossági cég, az English Electric Company kötött erre igen magas összegű szabadalmi szerződést és 958-ban Kína is megrendelte a Heller-Forgó-féle berendezést. A Lehel gyár kollektíája jól számított, amikor a hűtőelemek gyártásában kiáló exportlehetőséget látott. 959 nyarán megindult a hűtőelemek gyártása és é égén már a dunaújárosi hűtőtoronyba építettek be az első hűtőelemeket. Majd 959 szeptemberében kezdték el az angliai megrendelés teljesítését. Majd az akkori Nyugat-Németországban (NSZK) 967-ben Ibbenbüren-ben létesült hűtőtorony a jászberényiek munkája nyomán. A gyöngyös isontai erőmű is Heller Forgó-féle hűtéssel épült. Iránban 985-ben épült erőmű, ahol szintén magyar szerelőcsapat dolgozott a hűtőtornyok szerelésén. A Hűtőgépgyár több hazai és még több külföldi berendezésekhez szállított hűtőelemeket jelentős mennyiségben. Az exportszállításokat kezdetben a KOMPLEX, majd a TRANSELEKTRO Magyar Villamossági külkereskedelmi Vállalat bonyolította. 99-ben az Electrolux megásárolta a Hűtőgépgyárat, a hűtőelem gyártás nem illett az Electrolux group cég profiljába, így nem tartott rá igényt. 99-ben az EGI megásárolta a gépeket és eszközöket, a gyártás jogát és bérbe ette az üzemcsarnokot. 99-ben a GEA megásárolta az EGI-t, majd létrehozta GEA EGI Energiagazdálkodási Zrt-t és az új üzemcsarnokot épített a Hűtőgépgyár mellett. 9

92 9

93 9. A hősugárzás Ha egy anyaggal energiát közlünk, belső energiája megnöekszik, molekuláinak és atomjainak mozgásállapota megáltozik: pl. a molekulákban az atomok egymás körüli forgása (rotációja), az atomok rezgése (ibrációja), az atomokon belül az elektronok pályája áltozik, a molekulák, ill. atomok energiaszintje magasabb lesz. Ezek a szintek csak meghatározott értékűek lehetnek, annak megfelelően, hogy a részecskék csak meghatározott energiamennyiséget tudnak felenni. Ha az energiaközlés megszűnik, agy egy egyensúlyi szint alá csökken a testek kisebb energiaszintre törekszenek isszajutni. Ennek során fotonokat bocsájtanak ki, elektromágneses hullámokat emittálnak. Különféle testek különbözően sugároznak. A kisugárzott elektromágneses hullám színképét folytonosnak neezzük, ha sugárzás spektrális intenzitásának sűrűsége, hullámhosszának folytonos függénye, és széles hullámhossz-tartományban különbözik a nullától. Ilyen sugárzást mutatnak az izzó testek és a folyadékok. Az izzó gázok atomjai onalas színképet mutatnak, ahol a sugárzás spektrális intenzitássűrűsége csak kis hullámhossz-tartományban, hossz-tartományban különbözik a nullától: ebben egy-egy színképonal látható. A 9. ábra mutat néhány onalas gázspektrumot. Gázok onalas spektruma 9. ábra Toábbiakban folytonos spektrumokkal foglalkozunk. Mindegyik test bocsát ki elektromágneses sugárzást. Alacsony hőmérsékleteken (kb. a szobahőmérsékletig) az így kibocsátott energia gyakorlatilag elhanyagolható, míg a magas hőmérsékletek tartományában jelentőssé álik. Az energiának elektromágneses hullámok formájában aló térbeli terjedésének és más energiaformáá átalakulásának pontos mennyiségi leírásához szükséges matematikai apparátus bonyolultsága miatt egyszerűsítő leíró modellt használunk a műszaki gyakorlat hőáram számításaihoz szükséges összefüggések meghatározására. Közetítő anyag illete közeg nélküli hőterjedési jelenség. (elektromágneses sugárzás). Elektromágneses sugárzás: az elektromos és a mágneses térerősség időbeni áltozásának toaterjedése. Az elektromos térerősség, a mágneses térerősség és a terjedési irány jobbsodrású, derékszögű ektorrendszert alkot. Az elektromágneses sugárzás hullámhossz szerinti felosztását láthatjuk a 9. ábrán. 9

94 Az elektromágneses sugárzás felosztása 9. ábra A kis frekenciás rádióhullámoktól a látható fény tartományán keresztül a gammasugarakig mutatja az ábra az elektromágneses sugarakat. A látható fény hullámhossza a nm tartományban an a öröstől az ibolya tartományig (a nano 0 -es szorzót jelent). Elektromágneses hullámokat egy test részben átengedi (diatermicitás tényező d), isszaeri (reflexiós tényező r), elnyeli (abszorpciós, elnyelési tényező a). a + r + d = A fekete test hőmérséklettől függő sugárzási görbéi alapján, először empirikus úton jutott el a megfelelő összefüggéshez. Később, az atomokat olyan ω frekencián rezgő harmonikus oszcillátoroknak kezele, amelyek egyszerre csak hω, (azaz éges mennyiségű) energiát ehetnek fel. A sugárzásra onatkozó összefüggésének leezetését is megadta és ezt 9 Planck-törény 9. ábra 94

95 tekinthetjük az első, helyesen leezetett kantummechanikai összefüggésnek. A Planck törény szerint a fekete test diffúz sugárzó, és a kibocsátott energia nagymértékben függ a test abszolút hőmérsékletétől. A teljes féltérbe kibocsátott sugárzás erősséget (intenzitást) a hőmérséklet és hullámhossz függényében 9. ábra mutatja. Az ábrán látható, hogy a hőmérséklet nöekedéséel a sugárzás intenzitása nő, és a maximális intenzitásokhoz tartozó hullámhosszak balra, az egyre kisebb értékek felé tolódnak el. A hősugárzás alapösszefüggése a Joseph Stefan szloén és Ludwig Eduard Boltzmann osztrák fizikus által a XIX. Század égén felállított és emlékükre ma Stefan-Boltzmann törény, mely a felületegység által időegység alatt kisugárzott hőáram-sűrűséget adja meg 4 W q 0 T m 8 W ahol m K a Stefan-Bolzmann állandó. Valamennyi test hősugárzását az abszolút fekete testéhez iszonyítjuk, ezt fejezi ki az relatí feketeségi fok. Azokat a testeket melyek emissziós tényezője nem független λ-tól, színes testnek neezzük. Amennyiben az emissziós tényező a hullámhossztól is független, a hősugárzás szempontjából szürke testről an szó. A szürke testek tehát olyan diffúz sugárzók, melyek minden hullámhosszúságon a fekete test energiájának állandó hányadát sugározzák ki, így a szürke testek által kisugárzott energia a Stefan-Boltzmann-törény alapján: 4 W q 0 T m. A toábbiakban csak szürke testekkel foglalkozunk. Az emissziós és abszorpciós képesség közötti kapcsolatot a KIRCHHOFF törény írja le, mely szerint a testeknek az adott irányú és hullámhosszúságú sugárzásra onatkozó elnyelési (abszorpciós) és kibocsátási (emissziós) képessége azonos érték. Ebből a törényszerűségből köetkezik, hogy a fekete testre = a =, ami azt jelenti, hogy a fekete test nem csak a maximális elnyelő képességű test, hanem a maximális energia kibocsátó is. Miel ez utóbbihoz iszonyítjuk a többi test sugárzását, az emissziós tényezőre fennáll, hogy. Pusztán kényelmi okokból a Stefan-Boltzmann törényt szokták olyan módon is felírni, hogy a Boltzmann-állandó nagyságrendjét az abszolút hőmérséklet osztójába írják, így kisebb számokkal, kényelmesebben lehet számolni T W q 5,67 00 m A sugárzó testek közötti hőcsere a Stefan-Boltzmann törény alapján a két hőmérséklet negyedik hatányai közötti különbséggel arányos 4 4 T T W q red 5, m Az összefüggésben ε r a két felület feketeségi fokából meghatározható ún. redukált feketeségi fok, φ pedig a két felület méreteiből és egymáshoz iszonyított helyzetéből (a normálisok egymáshoz képesti elhelyezkedése) meghatározható ún. besugárzási tényező. A hőáram összefüggésében a redukált feketeségi fok és a besugárzási tényező meghatározása általában igen bonyolult geometriai számításokat igényel. Ezért itt, a leezetések 4 95

96 mellőzéséel, a redukált feketeségi fok összefüggését csak két olyan esetre adjuk meg, amikor a besugárzás tökéletes agy közel tökéletes (φ, =), a két felület párhuzamos, egymáshoz közel áll és kb. azonos méretű, az egyik felülettel határolt test ( ) a másik test által alkotott zárt felületen ( ) belül helyezkedik el. A hőkamerás mérés az utóbbi étizedekben nagyon sokat fejlődött. Manapság szinte köznapiá ált a sugárzásmérésen alapuló hőmérsékletmérés is. A hőkamerás mérés részleteit, elét, diagnosztikai felhasználását későbbi tantárgyakban részletesen oktatjuk. Itt csupán néhány részletet illantunk fel a lehetőségekből. A 9.4 ábrán egy illanymotor melegedését és egy áramköri elem melegedését mérték hőkameráal. Hőkamerás felétel illanymotorról és áramkörről ábra A köetkező fejezetekben az áramlástechnika különböző fejezeteiel fogunk foglalkozni. Eddigi hőtani tárgyalásunkhoz nagyon sok pontban fog kapcsolódni a fejezetek témája. 96

97 0. Nyugó folyadék egyensúlya A köetkező fejezetek nagy része a [6] és [7] jegyzetek alapján készült. Ahol, azt külön nem jeleztem ott ezeknek a jegyzeteknek az ábráit és szöegeit használtam fel. A jegyezet első fejezetében már tárgyaltuk a közeg, kontinuum kifejezéseket. Az Áramlástechnika tárgya a folyadékok mechanikája. Ebben beleértjük a nyugó és a mozgó folyadékokat is. Az előző fejezetekben, ha nem is hangsúlyoztuk, az úgyneezett kázi statikus állapotáltozásokat izsgáltuk. Ezek iszonylag lassú folyamatok. A tömegerők nem játszanak döntő szerepet a folyamat lefolyásában. Az áramlástechnikának is an egy fejezete, ahol a mozgásnak nincs szerepe, sőt csak nyugó folyadékokkal foglalkozik, ez a hidrosztatika. 0. A nyomás fogalma Nyugó folyadékokban alapető jellemző a bennük uralkodó nyomás. A nyomás az egységnyi felületre eső, a felületre merőleges nyomóerő, agy másként fogalmaza, a merőleges nyomóerő és a felület hányadosa: F p 0. A Két fontos alapelet fogalmazott meg Blaise Pascal, (6-66) francia matematikus és filozófus a nyomással kapcsolatban (a nyomás SI alapegysége róla kapta neét): - Egy adott pontban a nyomás azonos minden irányban, ezt szemlélteti a 0. ábra. - A folyadékot határoló szilárd falra a nyomás, ill. a nyomásból származó erő merőlegesen hat. Ezeket a megállapításokat gyakran Pascal törényeknek is híják. A nyomás hatása egy pontban 0. ábra A nyugó folyadékokban csúsztató feszültségek csak igen ritkán lépnek fel, newtoni folyadékok esetében pedig soha. Nyugó folyadékban csak nyomásból származó feszültségek fordulnak elő. A nyomás skalár mennyiség, amely általánosan a hely és az idő függénye, tehát a p = p(r, t) skalár térrel, azaz a p p(x,y,z, t) négyáltozós függénnyel írható le, amelyet skalár-ektor térnek neezünk. (A független áltozó skalár, a függő áltozó pedig ektor, a későbbiekben ektor-ektor terekkel is foglalkozunk, ahol a független áltozó is és a függő áltozó is ektor. Például a sebességtér ektor-ektor térrel jellemezhető.) Hasonlóan skalártérrel írható le a T T(x, y,z, t) hőmérséklet megoszlás, agy a sűrűségeloszlás a légtérben. A skalártereket szintfelületekkel (szintonalakkal) jellemezzük, amelyek a tér (ill. sík) azon pontjait kötik össze, amelyekben a fizikai áltozó értéke azonos. (Pl. az izotermák az állandó hőmérsékletű pontok a térben.) 97

98 A skalárterek hely szerinti áltozásának jellemzésére egy ektormennyiséget használunk, amelynek "x, y és z" komponensei a leírt fizikai mennyiség "x, y és z" irányú áltozásának nagyságáal arányosak: p p p p gradp p i j k, ahol x y z r i x j y. A gradiens ektor tulajdonságai: - a skalártér legrohamosabb nöekedésének irányába mutat, - hossza arányos a áltozás nagyságáal és - merőleges a szintfelületre (szintonalra). A 0. ábra egy térbeli nyomásmegoszlást, ill. annak három szintfelületét, mutatja. A nyomás lefelé nöekszik. p p p. Válasszunk ki két közeli szintfelületen két közel léő "A" és "B" pontot. A s ektor köti össze őket, amelynek talppontja az "A" pontban an. A "p" skalártér "p" áltozását a "B" és "A" pontok között lineáris közelítésben a p p p p p p gradp s x y z skalárszorzat adja meg. A x y z z A p p p s grad p A B grad p x Gradiens ektor 0. ábra C y C k z Ha képezzük a p hányadost és " s " nagysága tart a s zérushoz, akkor az adott irányhoz tartozó iránymenti deriáltat kapjuk meg, amely egyenlő a dp s gradp gradp e ds A s s kifejezéssel. (ld. két ektor skaláris szorzatát a.6 ábrán). Az " e " a kijelölt irányba mutató egységektor. (Az iránymenti deriált fogalmára a sebességektor szubsztanciális, agy teljes deriáltja kapcsán még isszatérünk a. fejezetben.) Ha az " e " egységektor párhuzamos a gradiens ektorral, akkor az iránymenti deriált éppen a legnagyobb áltozás nagyságát adja meg az adott pontban. A "C" pontból induló gradiens ektor abszolút értéke nagyobb, mint az "A" pontból indulóé, mert a "C" pont környezetében röidebb táolságon áltozik a nyomás ugyanakkora értéket, mint az "A" pont környezetében. Itt is a nyomás áltozása p p p, iszont röidebb úton alósul meg, mert a két pont "B" és "C" táolsága kisebb mint előzőleg A nyomóerő számítása a nyomásból A nyomásból származó nyomóerőt legáltalánosabb esetben a F p da A 0. kifejezéssel adhatjuk meg. "A" felületi normális "da" a felületből kifelé mutat, a nyomóerő pedig csak nyomni tudja a felületet, tehát a felületre merőlegesen befelé irányul, ezért kell a negatí előjel az integráljel elé. Bizonyos esetekben a folyadék súlyából eredő 98

99 nyomásáltozás elhanyagolható a folyadék belsejében uralkodó nyomáshoz képest. Gondolatban határoljunk el a folyadék belsejében egy henger alakú részt. A henger helyzete tetszőleges. Vizsgáljuk a henger tengelye irányába eső nyomóerők eredőjét. Az alsó és felső lapon ható erők ellentétes p irányúak, de az egyensúly miatt egyenlő nagyságúak, azaz p A p A p. Könnyen belátható, hogy a p p feltételnek F kell teljesülnie. Miután a henger helyzete és magassága tetszés szerinti olt, így súlytalan összefüggő nyugó folyadéktérben a nyomás mindenütt ugyanakkora. A Ezt hasznosítják a hidraulikus sajtók és emelők. A szerkezetük lényege, egy kis és egy nagy Nyomás súlytalan folyadékban keresztmetszetű dugattyú, mely közös 0. ábra folyadéktérbe nyúlik. A folyadék nyomása minden pontban ugyanakkora, így a kis dugattyúra ható erőt a szerkezet a dugattyúk arányában megnöeli. Ezen elen kis szerkezettel 00-szoros, agy akár 000-szeres erőnöekedés is könnyen elérhető. A nyomás egyenletes eloszlását használják ki a légnyomásos gumiabroncsok is. Ezek benyomódásánál a nyomás gyakorlatilag nem nöekszik, a támasztó erő a felfekő felülettel arányosan nő. Kisebb nyomású abroncsnak nagyobb felfekő felületre an szüksége, ezért jobban belapul. 0. Hidrosztatika alapegyenlete Amennyiben a folyadék súlyát nem hanyagolhatjuk el a benne uralkodó nyomás mellett, akkor a nyomás eloszlása a folyadékban nem lesz állandó. A nyugalomban léő íz esetében általában ez az eset áll elő. Vizsgáljuk az előbbi folyadék-hengerünket a nehézségi erőtérben az alábbi 0.4 ábra szerint. A folyadék sűrűsége " " a nehézségi gyorsulás "g", amely a lefelé mutató "z" tengellyel egy irányba mutat. Felíra a hengerre ható függőleges erőket, a köetkező egyenletet kapjuk: p A z A g p p A 0 A nyomóerőkön kíül a hengerbe zárt folyadék súlyát is figyelembe kellett ennünk, amely a második tag. Egyszerűsíte és rendeze kapjuk, hogy p g. Amennyiben z 0, akkor a z p dp g z dz limz 0 kifejezést kapjuk. Könnyen belátható, hogy általános helyzetű koordináta-rendszer, agy általános helyzetű térerő ektor esetén a fenti kifejezés átírható a grad p ektoregyenletté, amelyet a hidrosztatika alapegyenletének neezünk. g

100 A 0.4 hidrosztatika alapegyenlete kimondja, hogy a - nyomás legnagyobb áltozása a térerő ektor irányába mutat, - a áltozás nagysága arányos a térerő ektor és a sűrűség szorzatáal. 0.. Hidrosztatika alapegyenlete nehézségi erőtérben p p+ p z A z Fizikából ismert, hogy ha egy erőtér konzeratí, akkor létezik potenciálja "U", amely a köetkező kapcsolatban áll a térerő ektorral (a negatí előjel megállapodás eredménye): 00 g gradu Mint tudjuk a konzeratí erőtérben egy zárt görbén ett integrálja a térerő-ektornak zérus eredményt ad. Az egységnyi tömegen, bármely zárt görbén ( ) égzett munka zérus, matematikai kifejezéssel g ds 0 Ezzel egyenértékű matematikai feltétele a potenciál létezésének, hogy rotg A rotáció matematikai és fizikai jelentését a sebességtér kapcsán a 4.4 fejezetben részletesen tárgyaljuk. Hidrosztatikai egyensúly csak konzeratí erőterekben képzelhető el. (Többek között a földi légkör azért an állandó mozgásban, mert létezik a Föld forgása köetkeztében a Coriolis-erőtér, amely nem örénymentes.) 0 Helyettesítsük a 0.5 egyenletet a 0.4 egyenletbe, ekkor gradp gradu z Egyensúly nyugó folyadékban 0.4 ábra g kifejezést kapjuk. Belátható, hogy az állandó potenciálú felületek egybeesnek az állandó nyomású felületekkel. (A bizonyítást mellőzzük, de a [] irodalomban megtalálható.) Ha a const., agyis a sűrűség állandó, abban az esetben a sűrűséggel eloszta és beíra a gradiens jel mögé, majd átrendeze a p grad grad U 0 összefüggésre jutunk. Hozzuk közös gradiens jel mögé a skalár értékeket, így kapjuk a p grad U 0 kifejezést. Valamely skalár mennyiség áltozása akkor lehet nulla, ha maga a mennyiség mindenütt a térben állandó, tehát p U állandó

101 A folyadéktér bármely két tetszőleges két pontja között is fennáll az összefüggés, tehát pl. a 0.4 ábrán a felszínen léő pont és a henger felső lapján léő pontok között is felírható, behelyettesíte kapjuk a p p U U 0.7 kifejezést. Gyakran ez utóbbi egyenletet is neezik a hidrosztatika alapegyenletének. Természetesen csak állandó sűrűségű közegre alkalmazható a folyadéktér két olyan pontja között, amelyeket egy folytonos onallal össze lehet kötni. Más megfogalmazásban a p U állandó, ami annyit jelent, hogy egy folyadéktérben, ha a potenciál nő, akkor a nyomás csökken, és ha a potenciál csökken, akkor a nyomásnak nőnie kell. Mint tudjuk a nehézségi erőterében a potenciál a térerő ellenében egységnyi tömegen égzett munka. Tehát ha felfelé haladunk, akkor a potenciál nő, ha lefelé haladunk, akkor csökken. A 0.4 ábrán lefelé mutató koordináta-rendszer esetén a potenciált a U gz 0 U 0 kifejezés adja meg. Válasszuk az U 0 =0 értéket, amit minden toábbi nélkül megtehetünk, mert az egyenletben amúgy is csak potenciál különbségekkel fogunk számolni. Behelyettesíte a 0.7 egyenletbe és felhasznála, hogy az pontban a "z" koordináta zérus, a köetkezőt kapjuk: p p 0 g z, amelyből az a jól ismert kifejezés adódik, hogy a nyomás a folyadék felszínétől lefelé halada lineárisan nő: p p g z Hidrosztatikai feladat megoldásáról általában A hidrosztatikai feladatokat iszonylag jól meghatározott lépések szerint lehet megoldani:. Elsőként megfelelő koordináta-rendszert álasztunk, amelyben a potenciál függényt fel tudjuk írni.. Alkalmas pontokat (legalább kettő) kiálasztunk. Az egyik pont amelyben ismerjük az adatokat, a másik amelyben keressük pl. a nyomást.. A potenciál függény felírása a köetkező lépés. p p 4. U U egyenlet alkalmazása, ha a sűrűség állandó, agy a gradp grad U egyenlet használata, ha a sűrűség áltozik. Ez utóbbi esetben a sűrűség áltozására egyéb, kiegészítő egyenlet, agy egyenletek is szükségesek. 0.4 Nyomás áltozása az atmoszférában Az atmoszférában a Föld felszíntől felfelé halada a leegő nyomása, hőmérséklete, sűrűsége áltozik. A leegő hőmérsékletének áltozását a 0.6 ábra mutatja. A troposzférában a hőmérséklet eloszlása közel lineáris. A troposzféra, agy felhőöezet, az időjárás áltozások

102 legfőbb színtere. Ez kb. km astag rétege a Föld légkörének. A felszín közeli hőmérséklet mind térben mind időben nagymértékben áltozik. Egy nemzetközi megegyezés alapján a felszíni átlagos hőmérsékletet, alamint a hőmérséklet csökkenést szabányosították ez az INA (Intenational Standard Atmosphere), így a leegő hőmérséklet-áltozását a T T0 a z kifejezéssel közelíthetjük. A "z" a földfelszínről induló, felfelé mutató koordináta. Az "a" értéke a hőmérséklet csökkenés mértékét adja meg méterenként, a standard érték a=0,00648 ºC/m, azaz kb. 6,5 ºC hőmérséklet csökkenés ezer méterenként. A Föld és légköre 0.5 ábra Magasság z, km 60 Mezoszféra 50 Sztratopauza 40 Sztratoszféra 0 0 Tropopauza 0 Troposzféra Hőmérséklet, C o Normal atmoszféra 0.6 ábra A leegőt ideális gáznak tekinthetjük, gázállandója Kérdések: a./ Határozzuk meg a nyomás áltozását a troposzférában! b./ Igazolja, hogy az adott hőmérséklet-eloszlással jellemzett atmoszférában a nyomás és a sűrűség között politrópikus állapotáltozás áll fenn! A politrópikus állapotáltozást a p n const. z kifejezéssel lehet jellemezni, ahol "n" a politrópikus kiteő, általában egy és az adiabatikus kiteő " " közé esik. Hogyan függ az "n" és az "a" értéke egymástól?.7 egyenlet 0 c./ Hogyan függ a magasságtól a nyomás, ha a hőmérséklet nem áltozik, (izentrópikus atmoszféra) azaz "a"=0? Mekkora ebben az esetben az "n" kiteő? d./ 0 km magasságban mekkora n ; n. 4 p és n. 4 (szabányos atmoszféra) esetén a arány, 5 ºC talajnál léő hőmérsékletnél? J R 87. kg K Megoldás: A fenti kérdések megálaszolásához célszerű meghatározni a nyomás magasságtól aló függését. a./ Az atmoszférában a leegőt statikus egyensúlyi állapotúnak tételezzük fel (nem fúj a szél). A leegő sűrűsége felfelé halada áltozik, így a statika alaptörényét csak differenciális alakban használhatjuk, amely a köetkező (0.4 egyenlet): p p p grad p i j k g x y z A fenti egyenletet az adott esetre alkalmaza csak a felfelé mutató "z" irányban an áltozás, ezért a gradiens kifejezése csak a "z" szerinti deriáltra egyszerűsödik, toábbá a g -nek is csak a skalárértékét figyelembe ée "-g" írható, miel a felfelé mutató "z" tengellyel ellentétes annak iránya, így 0.9 p 0 0

103 dp g dz. A p p( z) függény kiszámításához a sűrűség nyomástól aló függését is meg kell adni, ehhez felhasználjuk, hogy a leegő ideális gáznak tekinthető, azaz p R T egyenlettel írható le, amelyből fejezzük ki a sűrűséget, p R T. Végül felhasználjuk a hőmérséklet szabányosított lineáris függényét is: T T0 a z képletet. A 0.0 és a 0. egyenleteket a 0.9-be helyettesíte, a nyomásáltozásra a dp p dz R T a z g 0 differenciál egyenletet kapjuk. Szétálaszta a áltozókat, egy egyszerűen megoldható diff. egyenlethez jutunk: dp g dz p R T a z Peremfeltétel: z=0-nál p=p 0 Integrála z=0-tól egy tetszőleges "z"-ig, kapjuk a p g T 0 a z ln ln p0 R a T0 függényt, melyet átalakíta, a nyomásáltozásra, a köetkező exponenciális kifejezést p p 0 T 0 nyerjük: a z T 0 A függény grafikonja a 0.7 ábrán látható különböző paraméterek esetén, a nyomás felfelé halada exponenciálisan csökken. b./ A politrópikus állapotáltozás és az előbb leezetett kifejezés kapcsolatát határozzuk meg a köetkező részfeladatban. A politrópikus állapotáltozást az.0 egyenlet írja le, ami a köetkező: p p 0 n n, T n T n amit toább alakíta a megkapjuk a nyomás és a hőmérséklet közötti kapcsolatot: 0 g Ra

104 p p T 0 T 0 Az 0. egyenletet is ehhez hasonló alakra hozhatjuk, ha felhasználjuk, hogy így leezetett nyomás-megoszlásból kapjuk: p p T 0 T 0 n n g Ra.. T T0 a z, A két utóbbi egyenlet azonossága bizonyítja, hogy politrópikus állapotáltozás áll fenn a nyomás és a sűrűség, illete itt a nyomás és a hőmérséklet között. Az összeetésből kapjuk, hogy n g, n R a amelyből n g a agy n n R R a. 0.4 g A szabányos légköri állapot esetén a=0,0065 ºC/m, az ennek megfelelő politrópikus kiteő n=,4. c./ Ha a hőmérséklet nem áltozik, " a=0", akkor 0.4 kifejezésekből látható, hogy n= értéket kapunk, amely az izotermikus állapotáltozásra jellemző kiteő. A nyomás áltozását az 0. kifejezéssel nem tudjuk leírni, mert a=0-nál a függény nem értelmezhető. Ebben az esetben a kifejezés határértékét kell enni a 0esetén, a Bernoulli- L'Hospital szabály alkalmazásáal. Ezt a megoldást hasznos gyakorlatként az olasóra bízzuk. A másik lehetőség, hogy a 0.9 és 0.0 egyenletekből kiindula határozzuk meg a nyomásfüggényt. A hőmérséklet állandó, így T=T 0. A 0.9 egyenletbe helyettesítsük a 0.0-ből kifejezett ρ-t, ekkor dp p dz R T diff. egyenletet kapjuk. dp g Átrendeze, majd felhasznála, hogy z=0-nál p=p 0 és integrála z=0-tól, p R T 0 egy tetszőleges "z" magasságig, a nyomás áltozására a 0 g g z R T p p e 0 exponenciális függényt kapjuk. Ezt a függényt is a 0.7 ábrán rajzoltuk fel (a=0) d./ 0 km magasságban a 0. és a 0.5 kifejezésekkel számítjuk ki a nyomás-arány értékeit T 0 =88 K esetében. d./ n= esetén a=0, agyis az izotermikus atmoszféra, ekkor a 0.5 összefüggéssel kell számolni, tehát 04

105 d./ n=.4 esetén a n n p p 0 g R e g z RT0 e kifejezésből kiszámítjuk az "a" értékét n g C a , n R.4 87 m majd a 0. összefüggéssel a keresett nyomás-arány d./ g 9.8 p T a z Ra p 0 T 0 88 n g n=.4 esetén a kifejezésből kiszámítjuk az "a" értékét n R n g C a , n R.4 87 m majd a 0. összefüggéssel a keresett nyomás-arány g 9.8 p 0 Ra p 0 T a z T Légnyomás áltozása a troposzférában 0.7 ábra d./4 Amennyiben a talajnál mérhető sűrűséget állandónak tekintenénk, akkor a p g z p 0 0 kifejezéssel számíthatjuk a nyomást adott magasságban, akárcsak a ízben kapott nyomásáltozás, csak itt ellentétes koordináta iránnyal. Ezzel a felteéssel már a Mt. Eerest (8848 m) tetején is elfogyna a leegő, holott tudjuk, hogy már légzőkészülék nélkül is többen megmászták, bár nagy nehézségek árán, hisz ebben a magasságban egy leegőétellel a tengerszinten beszíott leegő tömegének kb. /-át kapja csak az emberi szerezet. Hasonlítsuk össze a különböző modellekből nyert eredmények grafikonjait. A 0.7 ábrán a különböző hőmérsékletgradiensű nyomásáltozásokat ábrázoltuk. Az állandó sűrűség esetén láthatóan kb. 8.6 km magasságban a nyomás nulláá álik, tehát ez a modell semmiképpen nem jó közelítése a alóságnak. A többi modell eltérése az INA modelltől nem nagyobb 0%-nál. Megjegyzés: 05

106 A alóságban az atmoszféra hőmérséklete rétegenként más és más, de a megadott átlagos érték körül mozog. Az átlagos állapotot szabányosították. A nyomásáltozási diagramot magasságmérésre is használják a repülésben. A magasságmérést nyomásmérésre ezetik issza. 0.5 Hidrosztatikai nyomásból származó erő számítása, Hooer-gát A Colorado folyón 96-ban épült a Hooer-gát. Az alsó és a felső ízszint között "H" a szintkülönbség. A gát "Z" szélességű. A gát mögött felduzzasztott íz térfogatát közelítsük egy "H*Z" téglalap alapú és "L" magasságú gúláal. A gát mögötti mesterséges tározóban V=5 km íz szabálytalan alakú mederben 84 km hosszon terül el. Legnagyobb szélessége km. Az "L" méret tehát nagymértékben eltér a alódi hossztól, de mint látni fogjuk a tárolt L felíz F H V alíz Hooer-gátra ható nyomóerő ábra energia becslésére alkalmas. A gát a felíz irányában domború héjszerkezet. A felíz oldali kontúr sem függőleges, hanem, kihasználja a felette léő íz súlyának stabilizáló hatását is. (A geometria egyszerűsített és az adatok közelítőek, így az eredmények is csak nagyságrendi becslésre alkalmasak.) Adatok: H 00m ; L 80km ; Z 80m ; Z 80m Kérdések: a./ Mekkora a gátfalra ható ízszintes nyomóerő és milyen magasságban an a támadáspontja? b./ Mekkora a gátfalra ható függőleges nyomóerő? c./ Körülbelül mekkora a gát mögötti íztömegben tárolt helyzeti energia? Az alízszint felszínét tekintse onatkoztatási szintnek. Megoldás: a./ A gátra ható túlnyomás lineárisan nöekszik a "H" mélységig, lefelé lineárisan nöekő megoszló erőrendszer eredője hat, ezért az ebből származó erő támadáspontja /H mélységben ébred, s nagysága: H 00 9 F g H Z N 06

107 b./ A gáttestre ható függőleges erő "F" szintén egyszerűen kiszámítható, mert a gáttest fölött léő íz súlyáal egyenlő. A gáttest fölött léő íz közelítőleg egy háromszög alapú hasábban foglal helyet, melyben a háromszög egyik oldala "l", a másik "H", a hasáb magassága pedig "Z", így 6 N F H g m Megjegyzés: A gátnak ez a kialakítása egy a ízszintestől kb. 7,5º-al lefelé ható erőt eredményez, így stabilabbá teszi a gátat, mert kisebb forgatónyomatékot ad át az alapzatnak, mintha csak a ízszintes "V" erő hatna. c./ Az ábrán a íztömeg egy azonos "x" magasságú rétegét tüntettük fel, amely legyen "dx" magasságú. Egy ilyen trapéz alakú réteg területe: L Z H x o x Z L H x Z L H A réteg súlyát megszoroza az alízszínttől mért magassággal és integrála kapjuk az összes helyzeti energiát: H Z L H x Z L Z L H 5 E g x dx g H 0 H 8 A égképletben megjelent a gát mögött tárolt íz térfogata, V E V g H Ws.9TWh 8 8 Az 5/8-os szorzó nyilán a felett gúla alak köetkezménye, a alóságban ez a szorzó áltozhat, de a kapott eredmény nagyságrendi becslésre alkalmas. 0.6 Nyomásmérés és nyomásmérő eszközök A nyomásmérés az áramlástanban éppolyan alapető fontosságú, mint az elektromosságtanban a feszültség és az áramerősség mérése. A legtöbb esetben nem abszolút nyomásértéket (ákuumtól számított értéket), hanem nyomáskülönbséget mérünk. A nyomáskülönbség mérésére a köetkező két legfontosabb alapelet használjuk: a./ a nyomással egyensúlyt tartó folyadékoszlop magasságából a hidrosztatika törénye alapján, b./ a nyomás hatására alakját rugalmasan áltoztató szilárd test alakáltozásának méréséből határozzuk meg a nyomás nagyságát. Elsőként izsgáljuk meg, hogy mi az. 07

108 0.6. Abszolút és túlnyomás kpa 00 részleges ákuum 0 abszolút ákuum Abszolút nyomás 00 kpa 0.9 ábra 00 pozití túlnyomás 0 negati túlnyomás -00 abszolút ákuum Túlnyomás Ha számolunk agy mérünk nyomás értékekkel tudnunk kell, hogy a számításban, agy a méréskor mi olt a nyomás referencia értéke. Legtöbb esetben a referencia nyomás az atmoszférikus nyomás és a mért agy számított nyomás értéke "túlnyomás". Az abszolút ákuumhoz képest mért nyomást "abszolút nyomásnak" híjuk. Minden esetben fontos tudni a nyomás értékről, hogy abszolút, agy túlnyomás. A kétféle nyomás között igen egyszerű kapcsolat áll fenn: p abs p túl. p atm 0.6. Az abszolút ákuum a lehetséges legkisebb nyomás, ezért az abszolút nyomás mindig pozití.. A túlnyomás lehet negatí is, ha az atmoszféra alatti a nyomás, ezt ákuumnak is híják.. Az atmoszférikus nyomás áltozik a hely az idő és az időjárási iszonyok függényében, nem egy állandó érték. 4. Az atmoszférikus nyomás áltozása a földfelszín közelében 95 kpa (abs) és 05 kpa (abs) között áltozik. A normál atmoszférikus nyomás 0. kpa (abs) Higanyos barométer Súlyánál foga a légkör a benne leő testekre nyomást fejt ki. Az előző alkalmazási példában a nyomás áltozását határoztuk meg. A légköri nyomás mérésére a legegyszerűbb eszköz a higanyos barométer. A légnyomást ezzel az eszközzel először Eangelist Torricelli (608-47) olasz fizikus mérte meg 64-ban. Kb. m hosszú, egyik égén zárt üegcsöet színültig töltünk higannyal, majd a cső égét befoga lefelé fordíta higanyt tartalmazó edénybe állítjuk. Ha a befogott éget szabaddá tesszük, a higany csak részben folyik ki. A higany a csőben kb. 760 mm-el magasabban áll meg, mint a külső edényben léő higany felszíne (ld. 0.0 ábra). z o Higany p 0 0 Vákuum h Higanyos barométer 0.0 ábra Alkalmazzuk a 0.7 egyenletet az adott feladatra. Az ábrán látható "0" az edényben léő higany felszínén és a zárt csőben léő "" pontok között. A "z" koordinátát együk felfelé pozitínak és az alsó higanyfelszínen legyen az origó. Az "" pontban a higany telített gőzének a nyomása uralkodik (0.6 Pa, 0 º C), amit gyakorlatilag abszolút ákuumnak lehet tekinteni. Így az egyenlet szerint p0 0 0 g h. Átrendeze Hg Hg 08

109 p0 Hg g h adódik, amelyből a "h" magasság kifejezhető, p0 h g. Hg kg m A tenger szintjén a normál légköri nyomás p 0 =050 Pa, Hg 600 és g 9.8, m s így a barométerben a higanyszál magassága h=0.76 m agy 76 mm. (Egy izes manométer 0.5 m-t mutatna. Azért használnak higanyt mert ez a legnehezebb könnyen hozzáférhető folyadék.) A nyomás egységeként a "torr" is használatos Torricelli emlékére, bár az SI mértékrendszernek ez nem alapegysége. torr Hgmm Pa A érnyomást a mai napig is "torr"-ban adják meg, pl.: 0/80 torr alakinek a érnyomása U cső, mint manométer A legegyszerűbb folyadékoszlopos nyomásmérő eszköz az U-cső. Működése a hidrosztatikai egyensúly elén alapszik. A 0. ábrán látható két tartály közötti nyomáskülönbséget kell meghatározni, p -p -t. A tartályokban léő közeg (íz) sűrűsége "ρ". Ez teljesen kitölti az U- csőben léő mérőfolyadék fölötti teret és a mérőezetéket. A "ρ m " sűrűségű mérőfolyadék nem keeredik a "ρ" sűrűségűel, ezért az érintkezési helyen határozott felszín álasztja el azokat egymástól. Ha a mérőfolyadék két felszínére ugyanakkora nyomás hat és a két felszínen a felületi feszültség hatása azonos, akkor a két felszín a ízszintes alapfelszínben an. Ha a manométer két bekötésére különböző nyomást ezetünk, akkor az "U"-csőben léő mérőfolyadék kitér. Az "U"-csőre a hidrosztatika alaptörényét kell alkalmazni p U állandó Alkalmasan álasztott pontok között kell az egyenletet felírnunk. A folyadékok határfelületein keresztül nem szabad az egyenletet alkalmazni, hiszen akkor a sűrűség ugrásszerűen megáltozik, tehát nem állandó. A határfelületeken segédpontokat kell felenni és a nyomások azonosságát kell feltételezni. Az 0. ábrán látható két tartályban különböző magasságban áll a íz és különböző a tartályokban a íz felett léő leegő nyomása is. A tartályok aljáról nyomásezetékeken egy higanyos "U"-csöes manométerhez ezetjük a nyomást. A nyomásezetékek és az "U"-cső higany feletti része teljes mértékben ízzel telített. Adatok: kg íz 0 ; m kg 5 Hg.6 0 ; p 0 Pa 0 m Kérdések: a./ Mekkora a két tartályban uralkodó nyomások különbsége? 09

110 Megoldás: A megoldáshoz az állandó sűrűség esetében használatos p U áll. összefüggést kell alkalmazni. Figyelembe ée, hogy az összefüggés csak egy közegen belül érényes. A közeghatáron csak a nyomások azonosságát szabad feltételezni. Az U potenciálfüggény egyszerűen felírható egy olyan koordináta-rendszerben, amelynek tengelye függőlegesen felfelé mutat és origója az "U"-cső aljáal egy magasságban található, ekkor h=0.5 m o z A alapszint p p légtelenítő B U-cső 0. ábra D C 0 mm Higany U g z áll. a./ Alkalmazzuk a statika alaptörényét a köetkező pontok között: p p íz -A pontok között ízben pa gz g A íz A-B pontok között higanyban pb g za g zb z A Hg Hg B- pontok között ízben pb p g zb g z íz íz A "z" koordináták a nulla szinttől mért magasságokat jelölik. Fejezzük ki a fenti egyenletekből a nyomáskülönbségeket, ekkor p p g z p p A íz A z A B p p B g g íz Hg majd adjuk össze a három egyenletet, így a keresett nyomáskülönbséget kapjuk: p p g z z g z z g z z z A z z B B iz A B Hg A B iz z Behelyettesíte a példa adatait, az eredmény a köetkező: p p kPa Célszerűbb a pozití nyomáskülönbséget megadni, ami p p 9.97kPa.. 0

111 0.6.4 Mikromanométerek A mikromanométerek az "U"-cső elén a leolasási hossz nöelése útján pl. a ferdecsöes, agy görbecsöes mikromanométerek segítségéel oldják meg a nyomásmérés pontosságának nöelését. A 0. ábra a ferdecsöes mikromanométer eli ázlatát mutatja. Adott p p nyomáskülönbség esetén az "α" szög áltoztatásáal a leolasási hossz nöelhető és ezen keresztül a nyomásmérés pontossága is fokozható. A leolasás pontosságát optikai eszközökkel lehet p nöelni. Ezt az elet alósítja meg a Betz-féle l mikromanométer. (Részleteket az "Áramlástani P Mérések [7]" laboratóriumi segédletben találhatunk.) Ferdecsőes mikromanométer 0. ábra Rugós nyomásmérő műszerek Bourdon-cső Talán a legelterjedtebb nyomásmérő műszer a Bourdon-csöes nyomásmérő (ld. 0. ábra). Neét Eugéne Bourdon ( ) francia mechanikusról, feltalálójáról kapta. A köríre, agy spirálra hajlított cső egyik égét behegesztik, és egy mutatóhoz csatlakoztatják. A másik ége kapcsolódik a nyomásmérési helyhez. A cső belsejébe erőátitel mutató Bourdon csöes nyomásmérő 0. ábra jutó nyomás kiegyenesíteni igyekszik a csöet. A cső szabad égét egy szerkezet felnagyíta juttatja a mutatóhoz, amelyet elmozdít. A mutató alatti skálát megfelelően kalibrálják. A műszer széleskörű elterjedését egyszerű szerkezete és könnyű kezelhetősége magyarázza Nyomástáadók Az elektromos kimenetet adó eszközök elterjedése egyre szélesebb körben jelentkezik az ipari, laboratóriumi felhasználásban. Ennek oka a számítógépes adatfeldolgozás, irányítás és ezérlés rohamos terjedése. Az elektromos kimeneti jellel rendelkező nyomásmérő eszközök különböző elen működhetnek. Az egyik fajtájuk az, amelynél az előző fejezetben ismertetett folyadékos mikromanométerek folyadék-szint érzékelését elektromos jellé alakítják, és ezt lehet azután megfelelő átalakítással felhasználni. Az elektronikus nyomásmérők egy toábbi csoportja az, amelynél a nyomás hatására egy rugalmas elem deformálódik és a létrejött deformáció érzékeléséel kapott elektromos feszültség, agy áram szolgál kimenőjelként. Leggyakrabban deformálódó elemnek membránt használnak kis nyomások érzékelésére. A membrán anyagától, geometriai méreteitől függ a nyomásmérő érzékenysége, pontossága. A membrán anyaga nagyban befolyásolja a mérés pontosságát, a nyomásmérő nullhibáját, karakterisztikájának linearitását. Léteznek még piezoelektromos elen, mágneses elen működő nyomásmérő eszközök is, ezeket itt nem ismertetjük.

112 A nyomásmérő műszerek tárgyalását köetően térjünk issza a hidrosztatika alapegyenletének alkalmazásához. 0.7 Folyadék egyenletesen gyorsuló rendszerben Ha egy folyadékot tartalmazó tartály áll, agy egyenletes sebességgel egyenes onalban mozog, a benne léő íz a tartályhoz képest nyugalomban marad. A folyadék szabad felszíne toábbra is ízszintes marad, merőleges a térerő-ektorra. Ha azonban a tartályt egyenletesen gyorsítjuk, akkor a folyadék felszíne a ízszintestől kitér, majd relatí nyugalomba jut a tartályhoz képest, de a felszíne a gyorsulás irányától függően megáltozik az eredeti állapothoz iszonyíta. Nézzük példaként a ízszintesen gyorsuló, felül nyitott tartálykocsit, amelyet a 0.4 ábra mutat gyorsulás közben. A gyorsuló rendszerből izsgála a jelenségeket, a nehézségi erőn kíül fellép egy inercia erő is. Az inercia erő által keltett hatás olyan, mintha egy tömeg a gyorsulással éppen ellentétes irányba onzaná a rendszerben léő tömegpontokat. A " g "-al jelzett térerő-ektor teljesen hasonlóan kezelhető mint a Föld nehézsége erőtér ektora. A két térerő-ektor eredője lép a hidrosztatika alapegyenletében az erőtér szerepébe. Tehát a folyadékfelszín az eredő térerőektorra lesz merőleges, a legnagyobb nyomásáltozás is az eredő térerő irányába mutat. A hidrosztatikai feladat megoldásához szükséges az eredő erőtér potenciáljának felírása. A potenciál függényt elő lehet állítani az egyes erőterek potenciáljainak összegeként. A koordináta-rendszert célszerű egy ízszintes "x" és egy függőleges "z" tengellyel felenni, alamint az origóját az egyik kiálasztott pontba helyezni. Jelen esetben legyen ez az "A" pont. Könnyű belátni, hogy az eredő potenciálfüggény a köetkező: a U gz a x U (A potenciál értékét az x = 0 és a z = 0 helyen zérusnak álaszta U 0 =0 adódik.) A függény első tagja a nehézségi erő potenciálja, a második tagja a gyorsuló erőtér potenciálja. A potenciálok előjelét úgy tudjuk meghatározni, hogy a gyorsulás irányába kell nőnie. Arra felé nöekszik, amerre nehezebben tud menni az ember, ha beleképzeli magát a rendszerbe, jelen esetben felfelé és jobbra. Amennyiben a gyorsulás és a nehézségi erőtér nem merőlegesek egymásra, alamelyiket fel kell bontani a másikkal párhuzamos és arra merőleges komponensekre.(ld. Áramlástan Példatár [8]) Egy tartálykocsi, amelyben íz an és ízszintesen gyorsul a= m/s gyorsulással. A kocsi m hosszú és a íz mélysége a kocsiban.5 m, amikor a kocsi nyugalomban an. Kérdések: a./ Mekkora az " " hajlásszöge a ízfelszínnek a ízszinteshez iszonyíta? b./ Mekkora a maximális nyomás a fenéken? c./ Mekkora a minimális nyomás a fenéken?

113 Megoldás: a./ Elsőként a felszín hajlásszögét határozzuk meg a ektorábrából: ga tan 0.06 g 9.8 ahonnan 7. A gyorsulás hatására a ízszint emelkedése " h " szintén az ábrából olasható ki: g h tan h m. b./ A nyomáskülönbségek kiszámításához ismerjük a felszín elhelyezkedésének alakját a "0" az "A" és a "C" pontok koordinátáit a felett rendszerben. A potenciál függény az előzőek alapján a 0.7 egyenlet szerint: U g z a x Köetkező lépésként alkalmazhatjuk a statika alaptörényét, először a "0" és az "A" pontok között: p0 pa g h 0 h a 0 g 0 a 0 Ebből kifejeze a nyomáskülönbséget: p A p 0 g h h kPa 0 O h h 0 z g r g a g g eredeti ízfelszín A B C = m Vízszintesen gyorsuló kocsi 0.4 ábra a gyorsulás x c./ A minimális nyomás a "C" pontban ébred a fenéken. Hasonlóan az előzőekhez a "0" és a "C" pontok között a statika alaptörényét alkalmaza kapjuk a p0 pc g h 0 h a kifejezést, amelyből kifejeze és behelyettesíte a nyomáskülönbség értéke: p C 0 p 0 0. kpa g h 0 h a Ugyanerre az eredményre jutunk, ha a "C" pont felett léő ízoszlop hidrosztatikai nyomását számítjuk ki a "C" pontban. 0.8 Folyadék forgó rendszerben Függőleges tengely körül forgó tartályban léő folyadék a ele együtt forgó koordinátarendszerből szemléle szintén állni látszik. A gyorsuló rendszerben a nehézségi erőn kíül fellép egy inercia erő is. Az inercia erő által keltett hatás olyan, mintha egy tömeg a gyorsulással éppen ellentétes irányba onzaná a rendszerben léő tömegpontokat. A forgó rendszerben a centripetális

114 gyorsulás tartja körpályán a rendszerben léő tömegpontokat, amely a középpont felé mutat. A centripetális gyorsulással ellentétes térerő-ektort kell felennünk, amely a középponttól kifelé mutat. A "g a "-al jelzett térerő ektor teljesen hasonlóan kezelhető, mint a Föld nehézségi erőtér-ektora, a nagysága a jól ismert centripetális gyorsulással egyenlő. g r r A forgó térben azonban a sugártól függ az erőtérektor, így a potenciál függényt a sugár menti integráljából kapjuk. h 0 p 0 nyugalmifelszín R r U r dr const. 0.8 Az előjelre itt is érényes, hogy a potenciálnak abba az irányba kell nőni, amerre "nehezebb" menni, ha az ember beleképzeli magát a rendszerbe, jelen esetben a középpont felé nehezebb menni. A csökkenő sugárhoz tartozik nöekő potenciál. A felszín itt is merőleges a mindenkori eredő térerő-ektorra. A Folyadék forgó edényben 0.5 ábra A 0.5 ábra egy ízzel töltött centrifuga forgatás előtti állapotát mutatja. A ízfelszín és a tartály fedele közötti táolságban ( h 0 ) leegő tölti ki az edényt. Az edényt függőleges tengely körül " " szögsebességgel megforgatjuk. Adatok: H 00mm ; h 0 0mm ; R 00mm Kérdések: a./ Mekkora szögsebességnél éri el az edény tetejét a íz? b./ Hogyan függ a felszín lesüllyedése " "-tól, ha az edény tetejét elérte a íz? c./ Legyen 0 szögsebesség. Mekkora a pa p s 0 nyomáskülönbség? d./ Mekkora erőel emeli az edény fedelét a folyadék? ( 0 ) s e./ Mekkora erőel nyomja az edény alját a folyadék? ( 0 ) s 4

115 h 0 A z r R O C 0.6 ábra b z 0 z Megoldás: A feladat megoldásakor itt is, mint az előző, gyorsuló kocsi esetében, a megfelelő koordinátarendszer álasztásáal és a potenciál felírásáal kell kezdeni. Feltételeze, hogy a forgatás hatására a ízfelszín középen lesüllyed, (pl.: mint a pohárban keert káé esetén) a tengelyen léő legalsó pontot álasztjuk origónak. Felfelé mutató "z" és egy ízszintes "r" tengelyekkel rendelkező henger-koordinátarendszerben dolgozunk. a./ A 0.6 ábrán feltüntettünk egy olyan állapotot, amikor a íz még nem érte el az edény tetejét, és egy másikat, amelynél már elérte. Az első eset tárgyalásáal kezdjünk. A tengelyen léő origó és a felszín felső pontja között "z 0 " a magasságkülönbség. A felszín minden pontjában p 0 a nyomás, tehát a statika alaptörénye szerint a potenciál is minden pontban állandó. A potenciál függényt egyszerűen a nehézségi erőtér és a forgásból származó erőtér összegeként adhatjuk meg, tehát r U g z. 0.9 Miel az origóban mind az "r", mind a "z" nulla, ezért a ízfelszín minden pontjában zérus a potenciál, így a fenti egyenlet a köetkezőképp írható fel: r z g A kapott kifejezés egy parabola egyenlete, így a ízfelszín egy forgási paraboloid. Alkalmazzuk a függényt a "R" sugáron, ekkor kapjuk a "z 0 " értékét. 0.0 R z0 g A " z 0 " emelkedés a szögsebesség függénye tehát, ha meg akarjuk határozni azt az " "-t, amelynél eléri a felszín az edény tetejét, akkor kell tudnunk az eredeti, nyugalmi felszínhez képesti süllyedést, ill. emelkedést. Ezt a forgatás előtti és a forgatás utáni térfogatok egyenlőségéből tudjuk meghatározni. Matematikából tudjuk, hogy egy másodfokú forgási paraboloid térfogatát úgy számíthatjuk ki, hogy a ele azonos alapterületű és magasságú henger térfogatának esszük a felét (ld. Példatár leezetést 0. feladat). Jelöljük a parabola emelkedését a nyugalmi felszínhez képest "b"-el. Az R alapterületű és " b " magasságú hengerben a forgatás előtt elhelyezkedő leegő a forgatás után a " z 0 " magasságú paraboloidba kerül, hisz sem az alatta leő íz, sem a felette leő leegő térfogata nem áltozik. Jelen feladatunkban a paraboloidban léő leegő térfogata: Vp R z0 Így a két térfogatot egyenlőé tée 5

116 R b R kapjuk, hogy z0 R b, 4 g agyis a parabola ugyanannyit süllyed, mint amennyit emelkedik a nyugalmi felszínhez képest. Amikor az edény tetejét eléri a íz, akkor ez a helyzet megáltozik, de éppen az eléréskor még igaz, tehát ha "b" helyére h 0 -t helyettesíte, megkapjuk a keresett forgási szögsebességet, -et. amiből h 0 R b, 4 g h0 g R 0. s b./ Ha eléri a ízfelszín a fedőt, akkor a szaggatott onallal jelzett felszín alakul ki. A paraboloid toábbra is rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy rajta a potenciál állandó, hisz a nyomás is állandó, p 0. A felszín egyenletét toábbra is a 0.9 kifejezés írja le. A alkalmazzuk az ábra jelöléseit, így r z. g Sem a " z ", sem az "r " nem ismertek, ezért toábbi összefüggésre is szükségünk lesz. Az előző esetben is alkalmazott térfogat egyenlőséget írjuk fel most is. A forgás előtt a íz feletti hengerben léő leegő térfogata megegyezik a forgás után a paraboloidban léő leegő térfogatáal, tehát R h0 r z Az előbbi egyenletből kifejeze r -t és behelyettesíte az utóbbiba, kapjuk, hogy z h0 R. g z 0 Ha a íz elérte az edény tetejét, akkor a lesüllyedés és a szögsebesség lineáris kapcsolatban annak egymással. Ez a kapcsolat mindaddig fennáll, ameddig a parabola el nem éri az edény alját. Ezt a tulajdonságot régen fel is használták fordulatszám mérésére. Üegből készült, olajjal részben feltöltött, kíül skáláal ellátott edényt használtak bányagépek fordulatszámának mérésére. c./ A megadott 0 szögsebesség nagyobb, mint az a./ esetben kapott érték, tehát a s ízfelszín már belemetsz az edény fedelébe, de remélhetőleg az alját még nem éri el. Ezt nagyon egyszerűen ellenőrizhetjük, mert csak az előző, "z "-re kapott képletbe kell behelyettesíteni, és ha az edény magasságánál kisebb értéket kapunk, akkor ez áll fenn. h0 0.0 z R m 90mm g 9.8 6

117 A kapott lesüllyedés kisebb az edény magasságánál, így nincs alsó bemetszés. A nyomáskülönbséget a p0 pa 0 UA összefüggésből számíthatjuk ki. Az "A" pont potenciálját a megadott adatok alapján számíthatjuk ki, figyelembe ée, hogy pl. a "z A " koordináta negatí előjelű. R UA (H z) g Beíra a fenti egyenletbe és rendeze, megkapjuk a keresett nyomáskülönbséget: R 0. 0 pa p0 (H z) g 000 ( ) Pa. d./ Az edény fedelét a forgás során keletkező túlnyomásból származó erő emeli. Az "r " és a "R" sugár között a nyomás áltozik, mégpedig a köetkezők szerint: 0 r r p p Amit szintén a statika alaptörényének alkalmazásából kaptunk. Csak integrálással határozható meg az erő nagysága. Jelöljük az erőt " F f "-el, ami nyilán felfelé mutat. Tehát R 4 r r r r r r dr, Ff r 4 egyszerűsíte és összeona, majd behelyettesíte, az erő nagysága: F f R r R r 0N. Előzőleg az "r " értékét ki kellett számítani pl. a 0.0 egyenletbe behelyettesíte "z "-et. ebből adódik. z r, g gz r 0.066m 66mm 0 e./ Az edény aljára ható nyomóerőt teljesen hasonlóan számíthatjuk ki. Elsőként az edény alján léő "C" pontban számítsuk ki a nyomást, ez egyszerűen p g H z Pa pc 0 0. Miel a "C" és az "A" pontok között a nyomás áltozik, mégpedig a köetkezők szerint (analóg módon a fedőnél), csak itt "r c " sugár zérus, tehát p pc r. 7

118 A fenékre ható erő ezek után a köetkező: F R a c 0 0 p p R r r dr p p F a c R 4 r 4 96.N. Megjegyzés: Az edényben léő íz súlyánál ez az erő nagyobb, mégpedig éppen a fedelet emelő erőel. A íz súlya ugyanis: H h N Fa Ff gr 0 A hidrosztatika alaptörényeinek tárgyalása után térjünk rá a folyadékok másik érdekes tulajdonságának ismertetésére, a felületi feszültségre. R 0 8

119 . Kinematika és a folytonosság tétele.. A folyadékmozgás leírása Szilárd testek mozgásának leírására elegendő a súlypontjának helyzetét, alamint a súlyponton átmenő három egymásra merőleges tengely körüli elfordulását megadni. A test többi pontjának helyzetét ezek ismeretében bármely helyen és időben meg tudjuk kapni, hiszen a test mozgás közben az alakját nem áltoztatja meg. A folyadékban az egyes részecskék egymáshoz képest szabadon elmozdulhatnak, minden egyes részecske mozgását külön kell figyelemmel kísérni. A rendszer szabadságfoka égtelen. A Lagrange-féle leírási mód lényegében a szilárd testeknél alkalmazott módszerrel egyezik meg (Joseph-Louis Lagrange (76-8) francia fizikus). A folyadék elemi részeit elhatárola képzeljük el, és az egyes részek mozgását külön-külön izsgáljuk. A folyadékrészeket azonban meg kell különböztetnünk egymástól, mintegy neet kell adnunk nekik. Ez úgy történik, hogy egy adott (kezdeti) időpillanatban minden folyadékrészt jellemzünk egy r 0 helyektorral, agy annak koordinátáial. Egy későbbi időpontban "r " ektorral jelöljük meg a részecskék helyzetét, amelyet az "r 0 " helyektor és a "t" időpont határoz meg: r r,t r 0 A folyadékrész sebességét és gyorsulását az "r" idő szerinti első és második differenciálhányadosa adja meg rögzített "r 0 " mellett: r t s r,a t Az "s" index azt jelenti, hogy a differenciálást állandó "s" mellet ugyanazon részecskére onatkozóan kell elégezni, egy részecske pályája mentén. Ezt a módszert csak bizonyos speciális esetekben célszerű használni. Nehézkessége miatt általánosan a folyadékok mozgásának leírására nem használják. s Euler-féle leírási mód, amely a térben rögzített pontban uralkodó sebességet, gyorsulást stb. írja le az idő függényében, tehát a szilárd testek leírási módjától lényegesen különbözik. A toábbiakban ezt a módszert alkalmazzuk (Leonhard Euler (70-78) sájci tudós, aki munkássága nagyrészét Szentpéteráron töltötte.), amely a folyadékrészek sebességét adja meg a hely "r" és az idő "t" függényében: r,t, agy komponensekre bonta derékszögű koordináta-renszerben: (r,t) x (x, y,z,t) i y (x, y,z,t) j z (x, y,z,t) k 9

120 A sebesség függény ektor-ektor függénnyel írható le. Mind a függő-, mind a független áltozó ektor. A sebességfüggény legtöbb esetben a tér és az idő folytonos, sőt folytonosan deriálható függénye. Ez a leírási mód legtöbbször feltételezi a sebesség folytonos térbeli és időbeli áltozását, amely összhangban an a folyadék kontinuumként történő modellezéséel. A Lagrange-féle leírási módnál ez a kikötés, a diszkréten kezelt részecskék miatt, csak közetett módon teljesül. (Numerikus számításoknál előfordulhat, hogy két részecske a tér ugyanazon pontjában tartózkodik egyazon időpillanatban, ha a számítás numerikus hibák miatt nem elég 5 pontos, ami természetesen a alóságban nem lehetséges.) Ha az áramlás stacionárius, akkor a 0 sebességektor csak a hely függénye, amely a leírást toább egyszerűsíti Síkbeli áramkép Forrás: Vad J.and Bencze F.: Secondary Flow in Axial Flow Fans of Non-Free Vortex Operation. ábra A. ábrán egy még "egyszerűbb" áramkép látható, amely kétdimenziós síkáramlás és időtől független, stacioner áramlás. Az egyes pontokban léő ektorok a sebesség irányát és nagyságát mutatják. Láthatóan az igen bonyolult áramlást célszerű alamilyen módon szemléletesebbé tenni, erre szolgál az áramlás láthatóá tétele... Áramonal, pálya, nyomonal, stacioner áramlás A térben és időben áltozó sebességtér szemléltetésére a folyadéktérben a köetkező görbéket használják. A pálya egy kiszemelt pontszerű folyadékrész által befutott út. Pályák pl. a hosszú exponálási időel készült éjszakai felételeken látható autók helyzetjelzői által létrehozott fényes onalak, agy a magasban szálló repülőgép kondenzcsíkja. Az áramonal olyan görbe, amelyet egy adott pillanatban a sebességektor minden pontjában érint: Gömbsüeg körül kialakuló nyomonal rendszer. ábra ds 0, ahol ds az áramonal elemi hosszúságú darabját jellemző ektor. Az áramonal egy adott pillanatban a sebességektorok burkoló görbéje, így általában időben áltozó görbe. (A. ábrán feltüntettünk néhány áramonalat.) A nyomonal a tér egy pontján egymás után áthaladó folyadékrészeket egy adott pillanatban összekötő görbe. (Ilyen nyomonal pl. a hamutartóra tett cigarettáról felszálló füstcsík, agy a. ábra látható gömbsüeg körüli áramkép megjelenítésére használt színes folyadék által megjelenített nyomonalrendszer. A jegyzetborító lapján repülőgép körül kialakuló, nyomjelző löedékekkel létrehozott nyomonalrendszert figyelhetünk meg.) Az áramlások igen fontos sajátossága időfüggésük, 0

121 azaz, hogy jellemzőik (sebesség, nyomás, sűrűség) függnek-e az időtől. Stacioner, időálló az áramlás, ha jellemzői nem függnek az időtől. Ha a sebesség a tér bármely pontjában az időtől független, a fenti három onal egybe esik, mert ezeknél egy részecske mindig az időben állandó áramonal érintője irányában halad, és így egy ponton áthaladó részecskék mind ugyanazon áramonalon sorakoznak. Az ilyen áramlást tehát r, időálló, agy stacioner áramlásnak neezzük. Stacioner áramlásban pontszerű forrásokban bejuttatott füsttel, festett ízzel stb.-el a nyomonalak segítségéel az áramonalak is láthatóá tehetők. Az áramlás időállósága általában nem független a koordináta-rendszer álasztásától. Például a folyóban léő hídpillér a hídról néze stacioner, az ennek megfelelő áramonalakat a. ábra alsó részén láthatjuk. A folyóhoz rögzített koordináta-rendszerből néze nem stacioner, mert a folyónak a pillértől táolabb léő részei a folyóhoz rögzített koordináta-rendszerhez iszonyíta nyugalomban annak, míg a pillér közelében léő részek elmozdulnak (kitérnek a pillér elöl), majd helyükre isszatére ismét nyugalomba jutnak. Ennek megfelelő áramonalakat a. ábra felső részén láthatjuk. Ez az áramkép a folyóhoz iszonyíta, a pillérrel együtt halad.. A folytonosság tétele A toábbiakban csak olyan áramlásokkal foglalkozunk, amelyekben a folyadék nem tűnik el és nem keletkezik. Ezt a tulajdonságot a folyadék folytonosságának neezzük. Áramlásban előforduló kémiai reakcióknál, fázis-átalakulásoknál (pl. forrás, lecsapódás) a folyadék egy része eltűnhet, agy keletkezhet. Ha pl. gőz áramlik egy csőezetékben, akkor a ezeték falára kicsapódó ízpára a gőzfázisból eltűnik. Ilyen típusú áramlásokkal jelen Áramlás a hídpillér körül jegyzetben nem foglalkozunk. Forrás: Gruber J.-Blahó M. Folyadékok mechanikája. ábra.. Folytonosság tétele stacioner áramlásra Elsőként izsgáljunk egy időálló, stacioner áramlást. Egy sík felületdarab kerülete mentén megrajzoljuk az áramonalakat, amikből egy áramcsöet kapunk. Az áramcső palástját áramonalak alkotják, így azon keresztül nem tud a folyadék átlépni, hiszen a sebesség mindenütt érintője a falat alkotó áramonalaknak. Az "" felületen belépő tömegáramot a q da. m A kifejezésből kapjuk. Amennyiben a sűrűség és sebesség közel állandó az "A " felület mentén, alamint a felületre merőleges a sebesség, abban az esetben a tömegáramot egyszerűbben számíthatjuk, mégpedig a három mennyiség egyszerű szorzatából:

122 q m A Az "A " felületen ugyanekkora tömegáramnak ki is kell áramlani, mert a folyadék nem tűnhet el, ill. nem keletkezhet a csőben. Tehát a kontinuitás tétele kimondja, hogy a belépő és a kilépő tömegáram azonos, így: kg A A s. Áramcső Amennyiben a sűrűség állandó, akkor a kontinuitás tétele.4 ábra áramcsőre toább egyszerűsíthető, mégpedig a térfogatáramok egyenlőségét kell csak felírni a két keresztmetszet között, mert a sűrűséggel egyszerűsíthetünk, tehát a belépő és a kilépő térfogatáram azonossága áll fenn: m A A s.4 Csőezetékek esetében használjuk a. és.4 kifejezéseket, stacioner áramlásokra... A folytonosság tétele instacioner áramlásra z A.5 ábrán egy térbeli áramlásba helyezett, a folyadék számára szabadon átjárható, dx, dy és dz élhosszúságú elemi téglatestet láthatunk. Írjuk fel x ( x ) x + dx a téglatestbe időegység alatt be- és kiáramló x y tömeg mennyiségét. Az egyszerűség kedéért dz először csak az "x" irányba áramló tömegáramot dy x izsgáljuk. dx A téglatest bal oldali " dy dz " területű lapján csak.5 ábra a sebesség " x " összeteőjéel tud a közeg beáramlani, miel a " " és " " sebességek a lappal párhuzamosak, így a lapon másodpercenként beáramló tömeg: y z x dy dz A jobb oldali lapon a közeg kiáramlik, de közben sebessége és sűrűsége is megáltozik. A áltozást a "dx" táolságon együk lineárisnak, így a Taylor-sor első két tagjáal közelítsük a megáltozott sűrűséget és sebességet. A jobb oldali lapon így a x x dx x sebességgel és sűrűséggel áramlik ki a közeg. A felülettel aló szorzás után kapjuk a jobb oldali lapon másodpercenként kiáramló tömeg mennyiségét: x x dx dy dz x Az "x" irányban, ha a beáramlást negatínak és a kiáramlást pozitínak esszük, akkor a be- és kiáramló tömeg különbsége: x dx dy dz x..5

123 Hasonlóképpen el lehet égezni a számítást "y" és "z" irányban is. A be- és kiáramló tömeg különbsége: y dx dy dz y "y" irányban és z dx dy dz z "z" irányban. Ha feltételezzük, hogy tömeg nem ész el és nem keletkezik, akkor szükséges, hogy a három irányban kiáramló többlet összege a téglatestben léő tömeg csökkenéséel legyen egyenlő. A tömeg csökkenését megkapjuk a sűrűség-áltozás és a térfogat szorzatából, tehát a tömeg időbeli áltozása: dx dy dz t "" a téglatestben az átlag sűrűség, amelyet azért deriáltunk parciálisan, mert a helynek is lehet függénye.) A három irányú tömeg kiáramlás összege egyenlő a térfogatban a tömeg időbeli csökkenéséel, tehát y x x y z z dx dy dz dx dy dz t. Végigoszta az elemi térfogattal és egy oldalra rendeze a tagokat, megkapjuk a x y z 0 t x y z kontinuitás tétel differenciál egyenletes alakját. Az egyenletben a ektoranalízisből ismert diergencia jelent meg. Ezt felhasznála a kontinuitás tétel differenciális alakban instacioner áramlásra a köetkező: di( ) 0.7 t Amennyiben az áramlás stacionárius a sűrűség egy adott pontban nem függ az időtől, tehát t 0, ebben az esetben a folytonosság tétele leegyszerűsödik a di( ) 0.8 alakra. A diergencia fizikai jelentése térfogati forrás erősség, amennyiben ennek értéke mindenütt zérus, az annyit jelent, a ektortér forrásmentes. A diergencia egy skalár-ektor függény akárcsak a nyomás eloszlás, agy a hőmérséklet eloszlás a térben. Ha egyszerűsítjük a feladatot és a sűrűséget állandónak esszük, akkor az kiihető a diergencia mögül és egyszerűsíteni lehet ele, így di() 0.9 adódik, amely instacioner esetre is érényes állandó sűrűségű közegre..6 Az állandó sűrűségű közeg mindig forrásmentes.

124 A.8 egyenlet mindkét oldalának ehetjük a térfogati integrálját. di( ) dv 0, V toábbá alkalmazhatjuk a Gauss-Osztrogradszkij-tételt, amely szerint a diergencia térfogati integrálja átalakítható egy zárt felületi integrállá a köetkező képpen: di( ) dv da. V A (Karl Friedrich Gauss kiemelkedő jelentőségű német matematikus, fizikus, csillagász, a Göttingeni Egyetem tanára. Mihail Vasziljeics Osztogradszkij orosz matematikus, a Szentpéterári Akadémia tagja.) Ha.0 kifejezés teljesül, akkor a. egyenlet szerint igaz az is, hogy da 0. A Az integrál kifejezi, hogy stacioner áramlásban, egy zárt felületből ki- és beáramló folyadék összege zérus minden időpillanatban. Alkalmazzuk a. egyenletet a.4 ábrán látható áramcsőre. A da 0 kifejezésben az "A" zárt felületet bontsuk fel három különböző felület A összegére. Skalár szorzat.6 ábra A A A Ap 4, az "" indexű felület, ahol a közeg belép az áramcsőbe, a "" indexű felület, ahol a közeg kilép az áramcsőből és a palást ahol a közeg biztosan nem lép át. A "da" felületelem megállapodás szerint mindig kifelé mutat a felületből és merőleges a felületre. Az integráljel mögött képezni kell minden egyes pontban a felületelem és a sebességektor skaláris szorzatát. Mint tudjuk két ektor skaláris szorzata a köetkezőt jelenti: da da cos A.6 ábra jelöléseiel. Ha az "" szög hegyesszög, akkor a szorzat pozití, ha az "" tompaszög akkor negatí, és ha az "" derékszög akkor a skaláris szorzat zérus. A da da A da da A Ap da 0 Az " A " felületen a közeg belép a felületbe, így a két ektor tompa szöget zár be, tehát szorzatuk negatí, az " A " felületen kilép a közeg ott a közbezárt szög hegyesszög, tehát a szorzat pozití. A paláston mindenütt merőleges a két ektor, hisz áramonalakon agyunk, tehát a szorzat ott zérus. Ha az áramcső két églapján a sűrűség és a sebesség közel állandó és közel a lapokra merőleges sebességgel lép be, ill. ki a közeg, akkor az " A " és " A " felületeket csak egyszerűen meg kell szorozni az ott érényes sűrűséggel és sebességgel, hogy megkapjuk az integrál értékét. Igy a fenti kifejezés a köetkező egyszerű alakot ölti: A A 0 0 Melyet átrendeze, megkapjuk a már leezetett. kifejezést:.0

125 A A.. Kontinuitás tetőablakon Toábbi példaként a.7 ábrán látható tetőablakon beáramló leegő térfogatáramát határozzuk meg. A rácson "" sebességgel leegő áramlik keresztül, a sebességektor " " szöget zár be a rács felületi normálisáal. A rajzon látható szellőzőrács rajzra merőleges mérete m. Adatok: m ; H m ; 60 s o o o o o o Kérdés: beáramló térfogatáram. Tetőablak.7 ábra Megoldás: Az átáramló térfogatáram az átáramlott felület és a felületre merőleges sebességkomponens szorzata. Általános esetben a térfogatáram számítása a sebességektor felületi integrálásáal történik: 0 m q da cos da n cos H cos 60 A A s..4 Kontinuitás kompresszorban A.8 ábrán ázolt kompresszor szíócsöén " " sebességgel leegő áramlik be. A beáramló illete kiáramló gáz nyomását és hőfokát megmérjük: p,t,p,. t Adatok: p bar ; p bar ; t 0C ; t 70C ; d 50mm ; d 5mm ; m J 0. A leegő specifikus gázállandója R 87. s kgk Kérdések: d p t Kompresszor.8 ábra p d t =? a./ Határozzuk meg a komprimált leegő sebességét ( )! b./ Az első fejezetben tanult gáz-állapotáltozások ismétlésére határozzuk meg, hogy milyen politrópikus kiteő érényes a szíó és a nyomócsonk közötti állapotáltozásra? Megoldás: a./ A kontinuitás törénye szerint a kompresszorba állandósult állapotban beáramló és kiáramló tömegáramok megegyeznek: d d 4 4 A sűrűségek kiszámításához fel kell használnunk az ideális gázok állapotegyenletét: 5

126 p RT kg.89 m 7 0, p RT kg.0 m 7 70 Ezek ismeretében az áramlási sebesség a nyomócsőben már kiszámítható: d d m.89 s b./ Alkalmaza az. fejezetből az politrópikus állapotáltozásra jellemző kifejezést (ld..9 egyenlet) a szíó és a nyomócsonk állapotjelzői között: p p n n Célszerű a nyomásokat és a sűrűségeket egy oldalra rendezni és enni az egyenlet mindkét oldalának logaritmusát, majd kifejezni "n"-t, amely behelyettesítés után a köetkező: p log p log n.9.0 log log.89 A kapott politrópikus kiteő kisebb, mint a leegő adiabatikus kiteője ( =.4), ez annyit jelent, hogy a kompresszort alamilyen mértékben hűtik, agy a környezeti leegőtől magától hűl..4 Örényesség, cirkuláció Az időjárás alakulásában fontos szerepet játszanak a ciklonok és anticiklonok. Műhold felételeken jól látható, hogy a felhőrendszerek örénylő mozgást égeznek a Föld felszíne felett (ld. 0.5 ábra). Folyók felszínén is jól megfigyelhetők az örények. Az áramlások leírásánál fontos szerepet játszik az örényesség. Az örénymentes, forgásmentes, agy rotációmentes áramlások matematikai leírása sokkal egyszerűbb feladat, mint az örényes, agy forgásos, rotációs áramlásoké. Annak érdekében, hogy a különbséget meg tudjuk ítélni a kétfajta áramlás között, magát az örényességet célszerű elsőként megérteni, mind fizikai, mind matematikai onatkozásban..4. Az örényesség síkáramlásban Képzeljünk el egy síkáramlást pl. egy folyó felszínét. Helyezzünk a íz felszínére két egymásra merőlegesen elhelyezkedő pálcikát, amelyek középen egymáshoz csatlakoznak egy csappal, amely megengedi az egymáshoz képesti szögelfordulást. A pálcikakereszt a íz felszínén az áramló ízzel együtt sodródik, a pálcika pontjai együtt mozognak a ízfelszín pontjaial. (Ha kellően kicsiny a pálcikakereszt, akkor ez a feltétel jó közelítéssel teljesül.) A.9 ábrán feltüntetett pillanatban a pálcikák éppen merőlegesek egymásra és párhuzamos a "dx" hosszúságú szár az "x", a "dy" hosszúságú szár az "y" tengellyel. 6

127 A pálcikák találkozási pontjában léő "A" pontban szeretnénk megadni a forgási szögsebességet, agy másként fogalmaza a két pálcika átlagos forgási szögsebességét, y dy y A dx x + x y dy x y + y x dx Örényjelző síkáramlásban.9 ábra legyen ez " A ". A feladat megoldásához külön kiszámítjuk a "dx" és "dy" hosszúságú pálcika szögsebességét az "A" ponton áthaladó, a rajz síkjára merőleges tengely körül, ami megfelel a "z", a harmadik koordináta tengely körüli forgásnak. A "dx" hosszúságú pálcika "A" pont körüli szögsebességét úgy kapjuk, ha a két égpontjában a rá merőleges sebességek különbségét osztjuk a pálcika hosszáal. A merőleges sebességek "y" irányúak. A baloldali égpontban " y ", a jobb oldali égpontban ettől kissé különböző. A íz sebességének ismeretében ez pontosan megadható olna. Jelen esetben közelítsük lineáris függénnyel a " y "-t, amely a Taylor-sor első két tagjának felírását jelenti az "x" függényében, jelen esetben y y dx. x A "dx" pálcika szögsebessége a köetkező: y y dx y x dx dx x x A "dy" hosszúságú pálcika szögsebességet hasonlóan számíthatjuk ki. A pálcikára merőleges, égpontokban érényes sebességek különbségét eloszta a pálcika hosszáal megkapjuk a szögsebességét. A merőleges sebességek itt "x" irányúak és a Taylor-sorba fejtést "y" szerint kell elégezni. Toábbi eltérés, hogy az ábra szerint a "dy" pálcika óramutató járásáal azonos irányba forog, iszont egy jobb sodrású koordináta-rendszerben az óramutató járásáal ellentétes forgatást esszük pozitínak, ezért a kifejezés elé egy negatí előjelet kell tenni, eszerint x x dy x y x dy.4 dy y Az "A" pontban a "z" tengely körüli szögsebesség a két pálcika szögsebességének számtani átlagából kapjuk a: y. za y x x y 7 rot A matematikában a "" ektortér rotációjának, pontosabban a rotáció "z" irányú komponensének neezik a zárójelben léő kifejezést. Amennyiben nem egy síkbeli, hanem egy térbeli áramlásról an szó, akkor a két pálcika nem csak a "z" tengely körül foroghat, hanem az "x" és "y" tengely körül is. Hasonló módon leezethető a szögsebesség, ill. a rotáció másik két koordinátairányú komponense is, amelyek a köetkezők: za..5.6

128 ya xa x z z y y z z x rot rot ya A kifejezés a tér bármely pontjára igaz, így ektorosan felíra rot, komponensekkel felíra, agy a nabla ektor felhasználásáal a rotáció ektort: x i x y z j k x y z z rot y y x i z z z x xa y j x x k y A rotáció egy ektor, amely a tér különböző pontjaiban más-más értéket ehet fel, sőt az időben is áltozhat a tér egy adott pontjában, ez utóbbi esetben az áramlás instacionárius. A rotáció ektor-ektor függény, a folyadékrészecskék saját tengelye körüli forgási szögsebességét fejezi ki, pontosabban annak kétszeresét..4. Cirkuláció, Stokes-tétel Az örényes áramlások toábbi jellemzésére ezették be a cirkulációt, amely a sebességtér zárt görbe menti integrálját jelenti. Matematikai kifejezéssel felíra: y dy 4 y A dx x + x y dy x Cirkuláció.0 ábra y + y x dx x ds g.0 A "g" zárt görbe mentén a "ds" útelemet minden egyes helyen meg kell skalárisan szorozni az aktuális sebességgel és az így kapott értékeket, melyek skalár számok (pozití és negatí egyaránt), összegezni kell az egész zárt görbe hossza mentén. Végezzük el a cirkuláció számítását a.0 ábrán látható ---4 zárt görbére. Induljunk ki az "" pontból. Az "-" szakaszon a "ds" útelem megegyezik a "dy-al". A sebességnek a "dy" irányába eső komponense éppen a y y x dx. (Az útszakasz mentén létezik "x" irányú sebesség is, de az a skaláris szorzat során nem játszik szerepet ld..6 ábra). A "-" szakaszon a "ds" útelem a "dx"-el esik egybe, csak az irányítása ellentétes azzal. A sebesség pedig x x y dy. A sebesség és az útelem irányítása ellentétes ezért az összegzésben negatí előjellel szerepel majd ez a tag. A "g" görbe másik két szakaszán "-" és "-4" szakaszokon teljesen hasonlóan járunk el, így a cirkuláció egyenlete: 8

129 majd egyszerűsíte: d y y x szakasz dx dy - x x y d y x 4 4 x dx dy y dy dx y dy x dx, A kapott kifejezés egy elemi zárt görbén ett cirkuláció értéke. Érdemes arra felfigyelni, hogy a zárójelben léő kifejezés nem más, mint a rotáció "z" irányú komponense ld..9 egyenlet. A másik, amire érdemes felfigyelni, hogy a zárójelen kíül léő szorzó éppen a felületelem területéel egyenlő, azaz da dx dy Tehát írható, hogy az elemi zárt görbén a sebesség integrálja azonos a rotáció "z" irányú komponensének és a felületelemnek a szorzatáal, agyis d rotz da. y. ábra x Bármely zárt görbe által határolt terület elemi négyszögekre bontható, a határgörbe, pedig azok oldalaial, lépcsős görbéel helyettesíthető. Az elemi négyszögek kerületén számított cirkulációk összegzésénél a közös oldalak mentén adódó tagok kiesnek, ha minden egyes négyszögben azonos körüljárással számoljuk a cirkulációt. Csak a "g" görbét közelítő oldalakon számított onalintegrál marad a cirkuláció kifejezésében. Másrészről az egyes elemi felületeket megszoroza a rajtuk érényes rotációal és azokat összegeze szintén a cirkulációt kapjuk meg. Tehát g ds rot A z da. Igazolható, hogy a kifejezés jobb oldala nem csak a "g" görbe által bezárt sík felületre érényes, hanem bármely olyan felületre, amely a "g" görbére illeszkedik és a síkból ki is léphet, mint egy drótkeretre feszített lepkeháló, agy szappanhártya, amelyet egyik oldalról enyhén megfújunk. Ez esetben a felületelem és a rotáció ektor skaláris szorzatát kell az integráláskor képezni. Vegyünk fel egy egyszeresen összefüggő "A" felületet az előbbiek szerint, amely a "g" zárt görbére illeszkedik ("g" irányítása pozití az "A" felület felöl néze.) A rot ektortér "A" felület mentén ett integrálja és a egyértelmű és egyszer folytonosan differenciálható sebességtér "g" görbe menti integrálja, a cirkuláció közötti kapcsolatot a ds g 9 A rotda. kifejezés adja meg, amelyet Stokes-tételnek neezünk. (Georg Gabriel Stokes 89-90, angol fizikus, matematikus, a Royal Society titkára, a ektoranalízis egyik kidolgozója, a fenti tétel felfedezője.) A cirkuláció fogalmát a későbbiekben fogjuk alkalmazni, pl. a szárnyelmélet keretében, a Zsukoszkij-tétel leezetésekor.

130 .4. Potenciálos áramlás, potenciálos örény Amennyiben a rot (r) az egész, egyszeresen összefüggő tartományban zérus, akkor létezik (r) ektortérnek egy potenciál függénye, (r) amely egy skalár függény a térben. Így sokkal egyszerűbben kezelhető, mint egy ektor függény miel egy pontban három áltozó helyett csak egy áltozót kell figyelemmel kísérni. A sebességi potenciál: r r dr r r0 Vagy mindkét oldal gradiensét képeze grad 0 r Az erőterek esetében (ld. 0. fejezet) szokásos konenció, hogy az erőtér potenciáljának negatí gradiense a térerősség ektor: g r gradu r A sebességi potenciálnál a negatí előjel nem szükséges. Potenciálos áramlásokat szokták még örénymentes, forgásmentes áramlásoknak is neezni. Magát a sebességi potenciált nem fogjuk használni, csupán a teljesség kedéért említettük meg. Viszont örénymentes áramlásokat fogunk izsgálni, mindjárt a köetkező fejezetrészben. A potenciálos örény A természetben sok helyen előfordul örényes áramlás. Pl. a Föld légkörében kialakuló ciklonok (A 0.5 ábrán több felhőörényt láthatunk), agy a fürdőkádból a lefolyón kiáramló íz is örényt hoz létre. Az ilyen jellegű örények sebességtere jól közelíthető az úgyneezett potenciálos örény sebességteréel. A potenciálos örényben a folyadék részecskéi koncentrikus kör áramonalak mentén mozognak. Egy körön a sebesség abszolút értéke nem áltozik, csak a sebesség iránya. A sebesség abszolút értéke a sugár függényében csökken, mégpedig egy hiperbola szerint.4 r, ahol egy célszerűen álasztott állandó, "r" pedig a középponttól mért táolság. Amennyiben a sebességteret szeretnénk leírni, célszerű egy henger-koordináta-rendszert álasztani, amely az "r,, z" koordinátákból áll. A " " irányban, amely a kerület irányába mutató szög koordináta, nincs áltozása a sebességtérnek, hengerszimmetrikus az áramlás. A "z" irányban (a rajz síkjára merőleges irány) szintén nem áltozik az áramlás, mert minden egyes "z-nél" ugyanazt az áramképet látjuk, síkáramlásról beszélünk ilyen esetben. A potenciálos örény sebességterét és az áramonalakat a. ábra mutatja. Kísérlettel igazolható, hogy a potenciálos örénybe helyezett örényjelző (ld.. ábra) a saját tengelye körül nem égez forgást. Ez annyit jelent, hogy a szögsebesség és így a rotáció is zérus, mint azt a.9 ábrán láttuk. Próbáljuk ezt belátni matematikai eszközökkel is. Ehhez célszerű a rotáció kifejezését henger-koordináta-rendszerben felírni: z r r z r z rot. z r r r z r r r. 0

131 örényjelzõ r r Tekintettel arra, hogy síkáramlás esetén r z 0, 0, toábbá a z fenti képlet a 0 rot 0 d r r dr alakra egyszerűsödik, amelynek csak "z" irányú komponense an. = r A szorzat deriálását elégeze kapjuk, hogy: d rotz.5 r dr A fenti képletből a sebesség megadott r függényének felhasználásáal a rotáció értéke Potenciálos örény zérus, ha a sugár nem zérus (ott nincs. ábra értelmeze a kifejezés): rotz 0 r r Az örényjelző, tehát azért nem forog a saját tengelye körül, mert az áramlás örénymentes. r r D A C r B Cirkuláció a potenciálos örényben. ábra r Amennyiben az áramlás örénymentes, akkor az egyszeresen összefüggő tartományban a zárt görbén ett integrálja a sebességtérnek, azaz a "" zérus kell legyen a Stokes-tétel (. egyenlet) szerint, hiszen a jobb oldalon egy azonosan nulla függény integrálja áll, amely éges felületen nullát ad eredményül. Számítsuk ki a cirkuláció értékét a. ábrán léő "ABCD" sugarakból és köríekből álló görbén, hogy a sebesség érintő irányú és állandó egy kör mentén, alamint a sebesség merőleges a sugarakra: ABCD ABCD ds AB ds BC ds CD ds r ds 0 r DA r 0 r 0 Számítsuk ki a cirkulációt az " r " sugarú kör mentén is. Az "r " sugarú körön a sebesség abszolút értéke égig állandó, így a körön a cirkuláció nem zérus, értéke éppen a sebesség függényben szereplő állandó értékéel egyenlő. (Ezért szerepel a sebesség függényben a értéke.) A kör kerülete megszoroza az aktuális sebességgel, adja a cirkulációt:

132 O r r Vajon miért nem zérus a cirkuláció értéke a középpontot körbefogó körön, amikor a rotációra zérus értéket kaptunk? A Stokes-tétel ugyanis egyszeresen összefüggő tartományra igaz. A mi esetünkben az origóban a sebességtér nem értelmezett, agyis az értelmezési tartományon egy lyuk an, így nem egyszeresen összefüggő az értelmezési tartomány. Könnyen igazolható, hogy mindazokon a zárt görbéken, amelyek nem eszik körbe az origót, a cirkuláció zérus, és azokon a zárt görbéken, amelyek körbefogják az origót a cirkuláció értéke "". (Az elektromosságtanban a égtelen hosszú egyenes ezető által keltett mágneses tér teljesen hasonló természetű, mint a potenciálos örény.).5 A folyadékrészecske gyorsulása Egy részecske gyorsulását a sebesség idő szerinti megáltozásából tudjuk meghatározni, a sebesség idő szerinti deriáltja a gyorsulás. A folyadékrészecske gyorsulásának megértéséhez elsőként izsgáljunk egy kétáltozós függényt f x, y, amelynek független áltozói "x" és "y", ennek grafikonja egy felületdarab az "x, y, z" koordináta-rendszerben. Az "65" sík merőleges az "xy" síkra, alamint párhuzamos az "y" tengellyel és a "6" onalban metszi az f(x,y) függényt. A "4" sík merőleges az "xy" síkra, alamint párhuzamos az "x" tengellyel és a "" onalban metszi az f(x,y) függényt. Képezzük az f(x,y) függény teljes megáltozását, ami a köetkező: f f df dx dy.6 x y A "dx" és "dy" infinitézimálisan kis mennyiségek arányától függően a "df" a függény megáltozását adja. y 6 5 dy f(x.y) 7 s 8 dx Iránymenti deriált.4 ábra z 4 x Amikor például dy 0, akkor df f f, ha pedig dx 0, akkor df f 6 f. Ha "dx" és "dy" között fennáll egy bizonyos arány, pl. az ábrán látható "s" egyenes mentén haladunk, akkor a két független áltozó között fennáll, hogy dy tg dx. Igy a függény megáltozása: f f df f8 f dx tg dx x y Ebben az esetben lehet értelmezni az f(x,y) függény "s" irányba eső deriáltját is, amely az iránymenti deriált: df f f f f dy tg dx x y x y dx s s

133 0 értéknél az iránymenti deriált megegyezik az "x" irányú parciális deriálttal, 90 0 nál az iránymenti deriált éppen az "y" szerinti parciális deriáltat adja, de ekkor az iránymenti deriált másik átrendezett alakját kell használni, ami a köetkező: df f f f dy x tg y y s Az Euler-féle leírási módban a sebességtér legáltalánosabb esetben és "x, y,z" koordinátarendszerben a köetkező ektor-ektor függény: t,r t,x, y,z i t,x, y,z j t,x, y,z k x y Négy független áltozótól függ a sebességektor három komponense. Az egyszerűbb tárgyalás érdekében csak egy sebesség komponenst izsgáljunk pl. x -et. Írjuk fel a sebesség teljes megáltozását a.6 egyenlet analógiájára, csak itt már négy független áltozóra: d x t x x x x dt dx dy x y z A dt, dx, dy és dz független áltozók közötti kapcsolatot a folyadék részecske által befutott elemi úthossz adja meg, amelynek a koordináta tengelyek irányába eső etületei rendre a köetkezők: dx x dt dy dt, y, dz z dt A fenti összefüggés felel meg a független áltozók közti kapcsolatnak, amelyet a részecske pályája, "s" jelöl ki. Behelyettesíte a.7 kifejezésbe és formálisan égigoszta "dt" időel kapjuk az "s" irányú deriáltat d dt x s t x x x x x y y z dz z Miel a részecske jelöli ki a deriálás irányát anyagi, szubsztanciális, agy teljes deriáltnak is szokták neezni a fenti kifejezést, és az indexet el szokták hagyni, tehát: dx x x x x x y z.8 dt t x y z "y" és "z" irányokban hasonlóan írható fel a sebesség komponensek teljes megáltozása: dy y y y y x y.9 z dt t x y z d dt z z t z x x z y y z z z x z.7.0 Vezessük be a deriált tenzor fogalmát, amely három sebességektor, három helykoordináta szerinti deriáltjait, tehát kilenc elemet tartalmazó háromszor hármas mátrix:

134 x x x y y y D x y z z x y x z y z z z Ezt felhasznála a.8,.9 és.0 egy ektor egyenletbe írhatók: d D dt t. A folyadékrész gyorsulása tehát két részből áll, a lokális gyorsulásból és a D konektí t gyorsulásból. A lokális gyorsulás kifejezi, hogy a tér egy pontjában időben áltozik-e a sebesség, agy sem. A konektí gyorsulás megmutatja, hogy a tér egy pontjából kissé elmozdula, mekkorát áltozik a folyadék sebessége. A lokális gyorsulás csak instacioner áramlásban nem zérus. Vagyis stacioner áramlásban mindig nulla. A konektí gyorsulás nincs kapcsolatban az áramlás időfüggéséel, értéke stacionárius és instacionárius áramlás esetén egyaránt lehet zérustól eltérő. Konektí gyorsulás akkor lép fel, ha a folyadéktér sebességének nagysága és iránya, agy mindkettő a folyadékrész mozgásának irányában (azaz az áramlás irányában) áltozik. A lokális és konektí gyorsulás jobb megértése érdekében nézzük a köetkező példát..5. Gyorsulás konfúzorban A.5 ábrán ázolt "D " és "D " átmérőjű csőezetéket konfúzor köti össze. A csőezetékben az áramlás instacionárius, a folyadéksűrűség állandó. Egy-egy keresztmetszeten belül izsgála az áramlási sebesség a sugár mentén állandónak ehető. m Adatok: L 00mm ; D 400mm ; D 00mm ; t 8t s Kérdés: Határozzuk meg a kijelölt "A" ponton áthaladó folyadékrészecske gyorsulását a t s pillanatban! Megoldás: Egy folyadékrész teljes agy más néen szubsztanciális gyorsulása - Euler-féle leírási mód esetén - konektí és lokális gyorsulási tagból teődik össze: a a a szubsz d D dt t A konektí gyorsulást koordinátás alakban felíra lok kon 4

135 L / L D x y z x A Gyorsulás konfúzorban.5 ábra D x x x x x y z x y y y a kon D y x y z z z z z x y z azt látjuk, hogy miután 0, toábbá 0, ezért a konektí gyorsulás az "x" tengellyel párhuzamos, nagysága pedig: x a kon x x A konfúzor szimmetriatengelyében a lokális gyorsulásnak szintén csak tengelyirányú összeteője an, amelynek nagysága: x a lok t A folyadékrész teljes gyorsulása: x x aszubsz x t x Az áramlási sebesség a "t" időnek és az "x" helykoordinátának függénye x t,x. Tekintettel arra, hogy a folyadék sűrűsége állandó, a térfogatáram az -jelű keresztmetszetben megegyezik a konfúzor bármely más keresztmetszetén átáramló térfogatárammal, így a kontinuitási egyenlet a köetkező egyszerű alakban írható fel: D D x t x t, x. 4 4 A fenti alakja, csöekben áramló, összenyomhatatlan közegek esetén, instacionárius áramlásra is érényes (ld..4 egyenlet), amelyből az áramlási sebességet kifejeze: D D x t, x t 8 t Dx Dx.. A fenti képletben szerepel az átmérő hely szerinti függése, amely kúpos konfúzor esetén lineáris függény: D D Dx D x.4 L A folyadékrész teljes gyorsulását a láncszabály alkalmazásáal a köetkező alakban kapjuk: x x dd aszubsz x.5 t D dx A.5 egyenlet egyes részeit külön-külön felíra, majd konkretizála az "A" pontra: D D Dx D x m L 0. y z 5

136 a lok x 8 t D D 8 D x s D D x dd D D dx L 8 m s D D 0.4 m x t, x t 8 t Dx Dx s A részeredményeket a.5 egyenletbe helyettesíte, megkapjuk a rég árt eredményt: x x dd m aszubs x t D dx s A példa után térjünk issza a gyorsulás általános felírásához. A folyadék részecske gyorsulását más alakban is fel lehet írni. Bontsuk két részre a folyadékrészecske konektí gyorsulását * * a D D D D kon Hozzá is adtunk és le is ontunk egy D * tagot az egyenlethez. A D * a deriált tenzor transzponáltját jelöli. Matematikai átalakításokkal belátható, hogy * D grad és D D * rot rot. Ezeket felhasznála a teljes, agy szubsztanciális gyorsulás a köetkezőel egyenlő: d grad rot dt t.6 A gyorsulásnak ezt az alakját, a köetkező fejezetben, az Euler- és a Bernoulli-egyenletek leezetésénél fogjuk alkalmazni. 6

137 . Euler-egyenlet. Euler- és Bernoulli-egyenlet A folyadékok dinamikája már nem csak a folyadékmozgás leírásáal foglalkozik, hanem izsgálja azt is, hogy milyen összefüggés an a mozgást létrehozó okok (erők) és a mozgás áltozása között. Az erők és a mozgásmennyiség megáltozásának kapcsolatát Newton II. (Isaac Newton igen jelentős angol természettudós) törénye írja le: dm F. dt Alkalmazható egy körülhatárolt, éges folyadékrészre. A körülhatárolt folyadék tömeg mozgásmennyiségének idő szerinti megáltozását és rá ható erőket írjuk az egyenletbe. A folyadékrészekre általában két fajta erő hat: a tömegre ható térerő (pl. a súlyerő) és a folyadékrész felületén ható felületi erő (nyomásból származó erők, agy súrlódóerők). Ha a közeg súrlódásmentes, a felületi erőnek nincsen felülettel párhuzamos komponense (a csúsztatófeszültség zérus), csak a felületre merőleges, nyomásból származó erők hatnak. Tekintsük a közeget súrlódásmentesnek. Vizsgáljuk a. ábrán látható elemi henger alakú kiragadott folyadékelemet. A henger tengelye egybe esik az "x" tengellyel. A hátsó lapjára ható nyomóerő pozití, ez első lapjára ható nyomóerő negatí. A két erő eredője negatí "x" irányába mutat és értéke: p dx da x A térerő "x" irányú összeteője g x, így a térfogati erők "x" irányban a g x dx da z p y erőt szolgáltatják. Több erő hatását nem is esszük figyelembe, ill. da p elhanyagolhatónak tételezzük fel az előző két erő mellett. Az p+ x dx eredő okozza a hengerben léő folyadék impulzusának dx x megáltozását, most már felírható a mozgásegyenlet "x" irányban: dx p Folyadékrészre ható erők dx da gx dx da dx da. ábra dt x Oszta a henger térfogatáal és a sűrűséggel, a köetkezőt kapjuk: dx p g x dt x Az "y" és "z" irányokban teljesen hasonló módon leezethető az összefüggés, amely d y p g y dt y d dt z g z p z A három egyenletet összeona egy ektoregyenletté...4 7

138 d d x y dz i j dt dt dt kapjuk, agy más írásmódban: k g d dt x i g y j g g gradp z p p p k i j k x y z A folyadékmozgás leírására szolgáló egyenletet, megalkotójáról Euler-egyenletnek neezzük. A 4.8, 4.9, 4.0 egyenletek figyelembe ételéel felírhatjuk a totális gyorsulásokat. Behelyettesítés után az Euler-egyenlet "x, y és z" irányú komponens-egyenletei a köetkezők: x x x x p x y z g x.6 t x y z x.5 y t x y x y y y z y z g y p y t z x z x y z y z z z g z p z Az előző fejezet égén a lokális és konektí gyorsulás átalakítását felhasznála, a bal oldal átalakítását itt is megtehetjük a.6 egyenlet felhasználásáal: grad t rot g gradp Az Euler-egyenlet ebben a formájában súrlódásmentes közegre használható, a sűrűség állandósága nem köetelmény, tehát összenyomható közeg mozgásának leírására is alkalmas. A 9. gázdinamika fejezetben fogjuk alkalmazni áltozó sűrűségű közegre. Az Euler-egyenlet differenciálegyenlet, amelyet a kontinuitással együtt (.6 egyenlet) adott perem- és kezdeti feltételek mellett meg lehet oldani. A megoldás azonban nagyon bonyolult matematikai módszereket igényel. Analitikus megoldása csak kiételes, egyszerű esetekben lehetséges. Numerikus megoldása a számítógépek kapacitásának nöekedéséel egyre több feladatra már lehetséges. A toábbiakban egyszerű feladatokban használjuk az Euleregyenletet.. Euler-egyenlet természetes koordinátarendszerben.7 Vizsgáljunk súrlódásmentes, stacioner áramlást. Amennyiben az áramlás stacioner, az áramonal, pálya és a nyomonal egybeesnek. Így a. ábrán látható áramonal egyben a részecske pályája is. A természetes koordináta-rendszert többféle módon lehet elképzelni. Az első szemlélet szerint a pályához rögzítettek a tengelyek, ebben az esetben a részecske mozog a koordinátarendszerben. De ehetünk egy olyan koordináta-rendszert is, amely hozzá an köte egy folyadékrészecskéhez és azzal együtt mozog a pálya mentén, ez esetben a D'Alembert-féle elet alkalmazzuk. [Jean Le Ronald D'Alembert (77-78) francia tudós.] A pálya érintője, miel ez egyben áramonal is a részecske sebességéel egy irányba mutat. Vizsgáljuk a pálya egy adott pontját, P-t. A pálya általában térgörbe, amelyhez meg tudjuk rajzolni a simuló síkot és abban a síkban a pályát másodrendben érintő simulókört. A simulókör sugarának meghosszabbítása a "P" ponton keresztül kijelöli a kísérő koordináta- 8

139 rendszer "n" tengelyét, amelyet normális iránynak neeznek. A pálya érintője a sebesség irányában kijelöli az érintő irányú koordinátát, "s"-t. A simulósíkra merőleges és az "s" és "n" simuló kör tengelyekkel jobb rendszert alkot a binormális irány, "b". Az egyik lehetőség hidrosztatikai feladatként megközelíteni a problémát, a 0.6 fejezetben az egyenletesen gyorsuló és a 0.7 fejezetben a forgó rendszerben megismert eleket alkalmaza (D'Alembert-el felhasználásáal). Az egyenletesen gyorsuló és a forgó rendszerben a folyadék relatí nyugalomban an, iszont a koordináta-rendszer gyorsulása miatt, a gyorsulásokkal azonos nagyságú, de ellentétes értelmű inercia erőtereket kell a relatí egyensúlyhoz figyelembe enni. A folyadékrészecskéel együtt mozgó koordináta-rendszer a pálya mentén gyorsul, egyrészt a pálya érintője irányába a sebesség abszolút értéke áltozik, másrészt a pálya íe mentén a sebesség iránya áltozik. Ez utóbbit lehet egy körmozgással helyettesíteni, a körpálya adatait a simulókör adja. A binormális irányban nincs görbülete a pályának, így abban az irányban nincs gyorsulás. Vizsgáljuk meg a koordináta-rendszer gyorsulásait az "s" és az "n" irányokban. Az érintő irányában csak a sebesség abszolút értékének áltozását kell izsgálni. Az áramonal "A" és "B" pontja között a "" sebességről "+d"-re áltozik a "ds" úthosszon. Az úthossz megtételéhez szükséges idő: a gyorsulás pedig r b P s n A ds áramonal simuló sík + d Természetes koordináta-rendszer. ábra B a s ds dt d dt, d dt d ds Az "a s " a pálya érintője irányába mutat. A normális irányban a koordináta-rendszer körpályán mozog egy pillanatig, amelynek kerületi sebessége "" és a pálya sugara "r". A körpályán tartáshoz szükséges centripetális gyorsulás: a cp r A mínusz előjel azért szükséges, mert a felett koordináta iránnyal ellentétes a gyorsulás. Térjünk issza a részecskéhez, amely a gyorsuló koordináta-rendszerhez képest áll, iszont fellépnek az imént kiszámított gyorsulásokkal azonos nagyságú, de ellentétes értelmű inercia erők, pontosabban erőterek. A részecske egyensúlyát megadhatjuk a természetes koordináta-rendszerben, mint egy hidrosztatikai feladatban. Alkalmazzuk a 0.4 egyenletet, amely a köetkező: grad p g Osszuk égig az egyenletet a sűrűséggel és rendezzük nullára, ekkor kapjuk, hogy 0 gradp g 9

140 A nyomás-gradiens ektor az "s, n és b" koordináta-rendszerben:, amelyben jelöljük az egységektorokat rendre es, en és eb-el, a köetkező: p p p grad p es en eb s n b A térerő-ektor két részből teődik össze. Az egyik rész a ténylegesen működő erőterek eredője, jelöljük ennek komponenseit rendre gs, gn és gb-el, pl. ez lehet a nehézségi erőtér. A másik a komponens az inercia erőkből fakadó rész, az elöbb leezetett a s és a cp -el azonos nagyságú, de ellentétes értelmű inercia erőtér, az "s" és az "n" irányokban. Mindezeket felhasznála felírhatjuk a folyadékrészecske egyensúlyát a ele együtt mozgó természetes koordináta-rendszer három irányában. Ez a köetkező: p d 0 g Érintő irány s s ds Normális irány Binormális irány 0 p g n n p 0 g b A fenti leezetés abból a felteésből indult ki, hogy a koordinátarendszer mozog és a részecske a rendszerhez képest nyugalomban an. A nullára rendezett alak azt fejezi ki, hogy a részecske gyorsulása mindhárom irányban zérus. Amennyiben áttérünk egy álló koordináta-rendszerre, mely az adott pontban egybeesik az előbb tárgyalt mozgóal, akkor a részecske gyorsul a rendszerhez képest, így az inercia erők helyett gyorsulások szerepelnek az egyenletekben. Ez a koordináta transzformáció a fenti egyenletek átrendezését jelenti a szokásos alakjukra, amikor a gyorsulásos tagok a bal oldalon szerepelnek, így az Euler-egyenlet a természetes koordináta-rendszerben a köetkező: r b Érintő d ds p g s s.8 Normális Binormális r p g n p 0 g b A térerősség sokszor elhanyagolható a nyomásból származó erő mellett. Ilyen esetben az áramképből a nyomásmegoszlásra, agy a nyomásmegoszlásból az áramképre köetkeztethetünk. Igen jól lehet alkalmazni a természetes koordináta-rendszerben felírt Euler-egyenlet normális irányú komponensét a nyomásáltozás megítélésére. A térerő elhagyása után az.9 egyenlet a köetkező alakot ölti: p. r n Az egyenlet bal oldalán léő kifejezés minden esetben egy nem negatí szám, ezért a jobb oldalnak is pozití, agy zérus értékűnek kell lennie. A görbületi középponttól kifelé halada a nyomásnak mindig nőnie kell, ha pedig az áramonalak párhuzamos egyenesek (nincs n b

141 görbületük), akkor a rájuk merőleges irányban, az áramlásban a nyomás nem áltozik, pl. kialakult csőáramlásban, agy fal melletti párhuzamos áramlásban. Egy szemléletes példát mutat be Lajos Tamás "Az Áramlástan Alapjai" című munkájában []: A. ábrán látható személyautó karosszériáján kialakuló nyomásmegoszlás jellegét a fenti meggondolásokkal meg lehet határozni. A "+" és + Görbült áramonalak személyautó körül. ábra - "-" jelek a zaartalan áramláshoz tartozó nyomáshoz képesti túlnyomást, ill. depressziót (külsőhöz képest kisebb nyomást) jelölik. Például motorháztető és a szélédő találkozásánál az áramonalak görbületéből láthatóan túlnyomás lép fel, ezért itt ezetik be a szellőző leegőt. Az Euler-egyenlet természetes koordinátarendszerben felírt normális irányú komponense igen jól használható síkáramlásban kör áramonalak (örények) esetében. Nézzük erre onatkozóan a köetkező feladatot... Szilárd testként forgó folyadék Az.4 ábrán látható kör áramonalakkal jellemezhető síkáramlás sebességtere a r függénnyel írható le. A íz úgy forog, mint egy szilárd test. A 0.7 fejezetben tárgyalt forgó edény (ld..5 ábra) egy ízszintes metszete látható az.4 ábrán. A mostani feladatban egy álló koordináta-rendszerből izsgáljuk a jelenséget, nem pedig statikai feladatként tárgyaljuk. Adatok: r A 00 mm ; kg 0 ; m 0 s Kérdések: a./ Mekkora a nyomáskülönbség a "A" és az "C" pontok között? Használjuk fel a feladatot a rotáció és a cirkuláció átismétlésére is. b./ Számítsuk ki az "A" pontban rot értékét! c./ Számítsuk ki az "ra" sugarú körön a cirkuláció értékét! C r A = r Szilárd testként forgó folyadék.4 ábra A r Megoldás: a./ Az Euler-egyenlet természetes koordináta-rendszerben felírt, normális irányú komponenséből,. egyenletből számola a nyomásáltozás dp dr 4 r r r 400 r A nyomáskülönbséget az "A" és a "C" pontok között ennek integrálásáal kapjuk:

142 p A p C 0. 0 dp dr dr r dr r Pa. A 0.7 fejezetben pontosan ugyanezt az eredményt számítottuk ki: p p p (p p ) Pa pa C A 0 C 0 b./ A rotáció kiszámításához a.5 egyenletet használjuk, ami a rotáció kiszámítását adja kör áramonalak esetén d 0 r rotz 0 40 r dr r s A rotáció nem függ a helytől értéke, tehát az adott "A" helyen is 40, ami éppen a statikai s feladatban adott ""-nak a kétszerese, mint azt az előző fejezetben láttuk. c./ Egy kör mentén a sebesség állandó, így a cirkulációt a.0 egyenlet felhasználásáal könnyen fel tudjuk írni, mert a kör kerületét egyszerűen meg kell csak szorozni a rajta érényes sebességgel: ds r A A r A 0 r A m s Figyeljünk fel arra, hogy bármilyen sebességmegoszlás esetén a középpontból kifelé halada nő a nyomás, miel a nyomás minimuma.. A Bernoulli-egyenlet kifejezés mindig pozití. Az örény középpontjában an a r Az előző feladatban az Euler-egyenletből számítottuk ki a nyomáskülönbséget két adott pont között. Az Euler-egyenletet általános esetben is lehet integrálni a folyadéktér két adott pontja között egy onal mentén, a sebességfüggény konkrét ismerete nélkül is. Néhány egyszerűsítő feltétel mellett a megoldása meglepően egyszerű összefüggésre ezet. Induljunk ki az Euler-egyenlet.7 alakjából grad t rot g gradp Képezzük az áramlási tér két, a térben rögzített pontja között az egyenlet onalintegrálját. (A hidrosztatika alapegyenletének leezetésénél, 0.. fejezetben már megkaptuk a onalintegrált az egyenlet jobb oldalán léő két tagra, állandó sűrűség és potenciálos erőterek esetén, amelynek eredménye a.7 egyenlet.). ds t grad ds rot ds gds gradpds. I. II. 4 III. A fenti egyenletet, megalkotójáról, Bernoulli-egyenletnek neezzük. (Daniel Bernoulli sájci tudós) (A történelmi hitelességhez hozzátartozik, hogy Bernoulli az Euler- IV. V.

143 egyenlet megszületése előtt írta fel a róla elneezett egyenletet, és nem az. alakját, hanem az. alakját, mégpedig energetikai megfontolások alapján.) Vizsgáljuk meg, hogy a legáltalánosabb Bernoulli-egyenlet, milyen feltételek teljesülése esetén hozható egyszerűbb alakra!./ A térerősség ektor rendelkezzen potenciálfüggénnyel, tehát: g gradu Matematikából tudjuk, hogy az gradiens képzés és a onal menti integrálás inerz műeletek, így a IV. tagot a köetkező egyszerű alakra hozhatjuk:./ Legyen a közeg sűrűsége állandó. grad U ds 4 U Ebben az esetben az V. tagban a sűrűség beihető a gradiens jel mögé, miel állandó, és a potenciál függényhez hasonlóan egyszerűsíthető: p p grad ds a II. jelű tag minden toábbi nélkül az előbbiek szerint egyszerűsíthető. grad ds./ A III. tag xrot ds 0 zérus, a köetkezőkben felsoroltak alamelyike miatt: a sebesség zérus, ez a hidrosztatika esete; a rot=0, azaz az áramlás potenciálos; a ds a és rot ektorok egy síkba esnek, a három ektor biztosan egy síkba esik, ha kettő közülük párhuzamos, így a köetkező esetekben a ds, azaz áramonalon integrálunk; a ds rot, azaz örényonalon integrálunk; az örényonal örényektorok burkoló görbéje, hasonlóan mint az áramonal: a sebességektorok burkoló görbéje; rot, ezt Beltrami-áramlásnak híják. 4./ Az áramlás stacionárius, ebben az esetben az I. tagja zérus, 0. t Ezeket az egyszerűsítéseket betée a. egyenletbe a köetkezőt kapjuk: p U Az azonos indexű mennyiségeket egy oldalra rendeze, előttünk áll a Bernoulli-egyenlet szokásos alakja:

144 p U p U Az alkalmazhatóságának feltételei összefoglala a köetkezők: - az áramlás stacionárius, - a rotációs tag zérus, - örénymentes az áramlás, agy áramonalon integrálunk, stb. - az erőtér potenciálos (legtöbbször a Föld nehézségi erőtere hat) - a sűrűség állandó, - és természetesen a súrlódás elhanyagolható. A Bernoulli-egyenlet alkalmazásait egy külön fejezeteben, a. fejezetben tárgyaljuk.. 44

145 . A Bernoulli-egyenlet alkalmazásai A Bernoulli-egyenlet alkalmazásakor a köetkező szempontokat célszerű betartani:./ Elsőként el kell dönteni, hogy az alkalmazás feltételei megannak-e. A feltételek összefoglalását megismételjük: az áramlás stacionárius, a rotációs tag zérus, örénymentes az áramlás, agy áramonalon integrálunk, stb., az erőtér potenciálos (legtöbbször a Föld nehézségi erőtere hat), a sűrűség állandó és a súrlódás elhanyagolható../ A köetkező lépésben alkalmas koordináta-rendszert kell álasztani, amelyben egyrészt az áramlás jól leírható, pl. az áramlás stacionárius, másrészt az erőtér potenciálja egyszerűen felírható./ A folyadéktérben alkalmas pontokat kell álasztani, legalább kettőt, de bizonyos esetekben, pl. ha többfajta folyadék található a rendszerben, akkor kettőnél több pontot. A pontok kiálasztásánál a köetkezőket célszerű szem előtt tartani: Az egyik pontban lehetőleg minden mennyiséget ismerjünk, a másik pontban pedig csak egy ismeretlen, a keresett mennyiség legyen. A célszerű pontok: szabad felszínen, nagy térben, kiömlő sugárban, két folyadék határfelületén stb. De a kontinuitás tétel használatakor lehet két ismeretlen is. 4. Az erőtér potenciál felírása után alkalmazzuk a Bernoulli-egyenlet megfelelő alakját.. Örény a ízfelszínen Az előző fejezetben a potenciálos örény sebességterét izsgáltuk. A sebesség a középponttól mért táolsággal fordítottan arányos. Ez annyit jelentene, hogy a nagyon kis sugarakon a sebesség nagyon nagy értékeket enne fel. A alóságos örények középpontjában kialakul egy mag, amely szilárd testként forog. Az. ábrán egy ízfelszínen kialakult örény hosszmetszetét és felülnézetét látjuk. A szilárd testként forgó magban a szögsebesség.55 állandó ; r m 0.5m. s A forgatagban a sebességáltozás a potenciálos örény sebességterének felel meg, tehát r Kérdések: a./ Adjuk meg a ízfelszín alakját leíró függényt! b./ Mekkora a cirkuláció a magot körülzáró körön? c./ Számítsuk ki a középpont lesüllyedését! d./ Mutassuk ki, hogy a mag és a forgatag határán nincs törése a ízfelszínnek! Megoldás: a./ A magban a r, a forgatag részében a függény írja le a sebesség r abszolút értékének áltozását a sugár függényében. Az áramonalak mindenütt koncentrikus 45

146 körök, amelyek a "z" tengelyre merőleges síkokban fekszenek. A rotáció értékét az ilyen típusú (hengerszimmetrikus, kör áramonalak és a sebesség abszolút értéke csak az "r" d koordináta függénye) áramlásoknál a rotz dr r kifejezéssel számolhatjuk ki. Alkalmaza a mag és a forgatag sebesség függényére, a magban rot z, a forgatagban pedig rot z 0 adódik, mint azt az előző fejezetekben láttuk. A forgatagban álló koordináta-rendszerben minden toábbi nélkül alkalmazhatjuk a Bernoulli-egyenletet, mert az áramlás örénymentes, a magban azonban nem tudjuk azt alkalmazni. A magban, mint egy hidrosztatikai feladatnál, együttforgó koordináta-rendszerben határozhatjuk meg a felszín alakját. a/ Alkalmazzuk a forgatagban álló koordináta-rendszerben az "'' és "" pontok r között a Bernoulli-egyenletet. A "" pont a "z=0" helyen, de a égtelen sugarú pontban an, ahol a sebesség zérus. A "" pont "r" és r "z" koordinátákkal jellemzett futó pont a o z forgatagban. Az erőtér potenciál függényének felírásakor 4 figyelembe kell enni, hogy a "z" tengely lefelé mutat, de a potenciálnak felfelé kell nőnie. Így a potenciálfüggény az álló koordinátarendszerben íz r m U g z z Átrendeze és kifejeze a felszín lesüllyedését "z"-t: mag =r forgatag = r Örény a íz felszínén. ábra z 8 g r A téedések elkerülése égett írjuk fel a Bernoulli-egyenlet teljes alakját, 5. egyenletet 46 p U p U Mindkét pontunk a ízfelszínen található, ahol a nyomás a környezeti p 0 nyomás. A sebességet a függény írja le r mind a két pontban. A "" pontban az "r" égtelen nagy tehát a sebesség zérus. ha r r m 0 r p0 0 p g z a/ A magban együttforgó koordináta-rendszerben alkalmazzuk a Bernoulli-egyenletet a legmélyebb pont, "" és egy r r m "4" futó pont között. Az együtt forgó rendszerben, a forgó tér potenciálját is fel kell írnunk a 0.5 fejezetben leírtak szerint a potenciálfüggény r U g z 0.

147 A folyadék sebessége mindenütt zérus a magban, ha együtt forgunk a folyadékkal. A Bernoulli-egyenlet leegyszerűsödik a statika alapegyenletére: p p U U. Behelyettesíte a köetkezőt kapjuk: (z 0 a felszín legmélyebb pontja) r z0 g z g, melyből kifejeze z-t ( a jobb oldal második tagja nem sebességből, hanem a forgótér potenciáljából adódó tag) z z r 0 aholr rm g A fenti. és. összefüggések együttesen írják le a felszín alakját. Tekintettel arra, hogy a "z 0 " és az "" ismeretlenek, ezeket toábbi két kifejezésből kapjuk: Az első. azt fejezi ki, hogy a mag és a forgatag határán a sebesség azonos, tehát: r m r A második összefüggés pedig, hogy a mag és a forgatag határán a "z" lesüllyedés azonos a. és a. képletekből számola, agyis: rm z0.. 8 g r g m Rendeze az egyenleteket " z 0 "-ra és ""-ra, majd beíra azok értékeit az. és. összefüggésekbe, a köetkező függényt kapjuk a felszín leírására: rm r rm rm z har rm agy z ha r rm g r.4 m g r b./ A mag körüli cirkuláció kiszámításához a. összefüggést felhasznála könnyen kifejezhetjük -t. r m 0.5 m m.55 4 s c./ A felszínt leíró egyenletből látható, hogy az örény középpontjának lesüllyedése z 0 a köetkező: r m z0 0.65m g 9.8 d./ A két felszín törésmentes csatlakozását az r m helyen a függények r szerinti deriált függényei helyettesítési értékeinek azonosságáal lehet igazolni. Deriáljuk a.4 függényeket, ekkor 4 dz dz rm r har rm agy ha r r m dr dr r Látható, hogy r rm helyen a két érték azonos, tehát törésmentesen csatlakozik a mag ízfelszíne a forgatagéhoz. 47

148 . Forgószél Amennyiben az örény légnemű közegben alakul ki, pl. forgószél, tornádó, agy ciklon formájában, akkor a nyomás áltozását adják meg teljesen hasonló módon a fenti függények. p p A nyomás függényt a z 0 g helyettesítéssel kapjuk meg, így a nyomás a forgó légörényben. p p rm r rm rm 0 ha r rm agy p p0 ha r rm r m r Látható, hogy minden "r" értéknél depresszió adódik a légörény belsejében és a legkisebb nyomás a középpontban keletkezik. A. ábra egy hurrikánban zajló légmozgást szemlélteti. (A alóságban az ilyen légörények több száz kilométer átmérőjűek.) A felszín közeli páradús leegő () minden irányból a hurrikán középpontja felé áramlik, majd a forgószél "szeme" () körül nagy sebességgel felfelé áramlik és itt már igen nagy a depresszió. A fölszálló leegő nagy magasságban lép ki a légörényből. Hurrikánban lezajló áramlás Forrás: Természet ABC-je, Reader's Digest. ábra A hurrikán szemében (), amely átlagban 0 km, a leegő sebessége kicsi, szinte áll a környező nagy sebességű zónához képest, ez felel meg az örény magjának. A () zóna a mag és a forgatag határa, itt a legnagyobb a szélsebesség km/óra. Természetesen a hurrikánban jelentős felfelé áramlás is fellép, így csak közelítőleg azonos a sebességtér az örénnyel. A Bernoulli-egyenlet toábbi, fontos alkalmazása.. Kiömlés tartályból A tartály keresztmetszete a kifolyó nyíláshoz képest égtelen nagynak ehető, így a felszín süllyedési sebessége elhanyagolható. A izsgálat ideje alatt a jelenség stacionáriusnak tekinthető. Adatok: p bar(absz.) ; p 0 bar ; h 5m Kérdések: a./ Mekkora a kifolyás sebessége, ha p bar ( absz.)? b./ Mekkora a kifolyás sebessége, ha p p, agyis nyitott a tartály? 0 48

149 Megoldás: Az áramlás nyugó térből indul és gyakorlatilag eszteségmentesen áramlik a kifolyónyílásig. Az "" pont a nyugalomban léő folyadék felszínén helyezkedik el, a "" pont a kifolyás O z h p a./ Behelyettesíte az értékeket: Leegõ helyén. A kifolyó sugárban a környezeti nyomás uralkodik. A potenciál számítása szempontjából célszerű a "" pont magasságában megálasztanunk a koordináta-rendszer kezdő pontját és egy felfelé mutató "z" tengelyt felenni. Ekkor az erőtér potenciálja Alkalmaza a Bernoulli-egyenletet: 49 U g z 0 p p0 g h 0 Ebből kifejezhetjük a keresett sebességet: p p g h g m. s b./ Amikor a tartályban a túlnyomást megszüntetjük, akkor a kifolyás sebessége a g h kifejezésből számítható. A kifejezést Torricelli-formulának is szokták neezni felfedezőjéről, Torricelliről. A kifolyási sebesség ebben az esetben éppen akkora, mintha a folyadék "h" magasságból szabadon esett olna. Helyzeti energiája teljes mértékben mozgási energiáá alakul..4 Sziornya Kiömlés tartályból. ábra p 0 A.4 ábra egy sziornyát mutat, amellyel egy medencéből a izet kiszíják. A medence felszíne sokkal nagyobb a cső keresztmetszeténél. A geometriai adatok az ábrán láthatók. Az áramlási eszteségek a csőben elhanyagolhatók. Kérdések: a./ Mekkora a kifolyás sebessége? b./ Rajzoljuk fel a nyomás áltozását a cső hossza mentén!. m.8 m. m O B C D.6 m A 45 0 Sziornya.4 ábra Csõ átmérõ 40 mm E F.5 Megoldás: A kifolyó, állandósult sebességét az "O" és az "F" pontok között felírt Bernoulli-egyenletből határozhatjuk meg. a./ Miel mindkét pontban légköri nyomás uralkodik, így a sebességet a Torricelliformuláal számíthatjuk ki.

150 m F s b./ Az ábrába berajzolt pontokban a Bernoulli-egyenlet felhasználásáal számíthatjuk ki a nyomásokat. Alkalmazzuk sorra a megadott pontokban. A potenciál függény megadásához megint csak felfelé mutató "z" koordinátát célszerű felenni, az origót pedig a íz felszínén álaszthatjuk meg. Mindjárt az "A" pontban probléma adódik, csőbe történő beáramlás helyén bonyolult térbeli áramlás alakul ki a nyomás és a sebesség nagyon röid szakaszon igen gyorsan áltozik, ezért csőbe történő beáramlásnál kerülni kell pont kijelölését a Bernoulli-egyenlet alkalmazásához. A problémát úgy tudjuk megoldani, hogy két pontot eszünk fel, egyet közetlen a cső szája előtt "A " és egyet a csőben a belépés után "A ". A két pont táolsága az ábrán elhanyagolhatóan kicsi, iszont az "A " pontban a közegnek még nincs sebessége, az "A ".pontban pedig már a csőben érényes sebesség lép fel. O-A pontok között: p g kPa pa 0 O-A pontok között: pa p0 g.6 E kPa O-B pontok között. A két pont azonos magasságban an, nyomáskülönbséget csak a sebességkülönbség okoz 000 pb p0 E kPa O-C pontok között: pc p0 g. E A "D" pontban ugyanakkora a nyomás, mint a "B" pontban p 9.4kPa O-E pontok között: p E p 0 g pd 0 E kPa 0kPa Az "E" és "F" pontokban a sebesség a magasság azonos, tehát a nyomásnak is azonosnak kell lennie, így az "E" pontban számítás nélkül megkaphattuk olna a nyomást. A nyomás lefutását a cső kiterített hossza mentén a.5 ábra mutatja. Az "A " és "A " pontok között a közeg nulla sebességről felgyorsul a csőbeli sebességre, így a nyomás ennek megfelelő értékkel hirtelen lecsökken. 50

151 0 kpa O A A B E C Nyomásáltozás a sziornya hossza mentén m Nyomásfüggény a sziornyában.5 ábra D A másik fontos jelenség, amely a diagramból látható, hogy a "C" pontban a nyomás erősen a légköri nyomás alá csökken. Ha az "O" és az "F" pontok között a táolság nő, azaz a cső kilépő ége mélyebbre kerül, a kilépő sebesség egyre nagyobb lesz és a "C" pontban a nyomás toább csökken. Ha a "C" pont nyomása eléri az adott hőmérsékleten érényes telített gőz nyomását, akkor a csőben léő folyadékszál elszakad és gőzbuborékok keletkeznek, amelyek később összeroppannak, amint nagyobb nyomású helyre kerülnek. A folyamatos áramlás megszűnik. Szakaszos, lüktető áramlás jön létre és a rendszerben kaitáció lép fel (ld.. fejezet). E F.6 Kiömlés tartályból instacioner esetben A. példában egy égtelen nagy tartályból történő kiömlést izsgáltunk. A tartályhoz csatlakoztassunk egy iszonylag hosszú csöet (a cső hossza több nagyságrenddel nagyobb, mint az átmérője), amelynek égén egy csap található. A csapot nagyon gyorsan ki lehet nyitni, mint pl. egy golyós csapot. Lezárt csőég esetén a íz áll a csőben, a nyomás pedig a cső mentén állandó és megegyezik a tartályban léő ízoszlop nyomásának és a tartályban léő túlnyomásnak az összegéel. A csap hirtelen nyitásakor a nyomás a csap mögött leesik a légköri nyomásra, majd a csökkenő nyomás egy hullám formájában beterjed a cső többi keresztmetszetébe. A csőben léő folyadékrészecskékre a nyomás csökkenése folytán gyorsító erő hat, amely megindítja a folyadékoszlopot. A kinyitás pillanatában azonban a folyadék a csőben még áll. A folyadék sebessége a csőben fokozatosan nő, majd elér egy maximális értéket, mégpedig a. példában kiszámított stacioner sebességet, amennyiben nincs súrlódás a rendszerben. Adatok: p bar(absz.) ; p 0 bar ; h 5m ; 5m O z p h Leegõ a./ Stacioner megoldás A p 0 Instacioner kiömlés tartályból.6 ábra Kérdések: a./ Határozzuk meg a kiömlés sebességét állandósult állapotban. b./ Határozzuk meg a folyadék sebességét és gyorsulását az idő függényében a csőben. c./ Kb. mennyi idő alatt áll be a stacioner sebesség a fent megadott adatokkal? d./ Rajzoljuk fel a nyomás megoszlását a cső mentén t értéknél! 5

152 Viszonylag hosszú idő elteltéel a csőben a sebesség eléri a stacionárius, agy állandósult sebességet (a tartályban a ízfelszín süllyedése még ekkor is elhanyagolható). A csőben elhanyagolható a súrlódási eszteség, így a. példában kapott eredmény itt is alkalmazható. Veszteségmentes esetben ugyanis egy ízszintes, állandó keresztmetszetű csőben, stacioner esetben a nyomás nem áltozik, tehát a cső égén uralkodó nyomás a tartályig állandó. A légköri nyomás a tartály kiömlő keresztmetszetében is megjelenik, hasonlóan a. feladathoz. Igy a cső égén a stacionárius sebesség a.5 egyenlet szerint (jelöljük st -el): 5 p p0 0 m g h 9.8 st 5..6 g s Fejezzük ki a sebesség négyzetét az egyenletből, mert a toábbi megoldáshoz szükségünk lesz rá: p p0 g h.7 st g b./ Instacioner megoldás A példában mindazok a feltételek teljesülnek, amely a stacioner tartályból aló kifolyás esetében, kiée, hogy itt a jelenség a csőben instacioner. Ezért a Bernoulli-egyenletnek azt a formáját kell álasztanunk, amelyben még nem kötöttük ki az időállóság feltételét. Felíra az 5. egyenletet: I. II. III. IV. V. A II.-től V. tagig mind az előző fejezetben leírtak szerint egyszerűsíthető. Az első tagot áltozatlanul felíra ds t grad ds rot ds 5 gds gradp ds. Az egyenlet első tagja a lokális gyorsulás onalintegrálja egy adott időpillanatban az"" és "" pontok közt felett út mentén. Az ábrába berajzolt útonal egyben áramonal is minden egyes időpillanatban, így a haladási út és a gyorsulás egyirányúak, egyszerű skalár számok szorzatáal helyettesíthető az integranduszban léő skaláris szorzat. A gyorsulás onalintegrálját az alábbi megfontolások alapján fejezzük ki. Ha a tartály elegendően nagy, akkor benne a sebesség elhanyagolható, de akkor a gyorsulás is jó közelítéssel zérus. Ezért az integrálási útonalat két részre osztjuk: "-A" és "A-" szakaszra: A ds ds ds t t t A jobb oldal első tagja 0, mert a égtelen nagynak tekintett tartályban a közeg gyorsulását elhanyagolhatjuk. Az integrálunk köetkező egyszerűbb alakot ölti: p ds t ds t A U ds t Az integrál elégzéséhez a lokális gyorsulás áltozását kell ismerni a cső hossza mentén. Ha áll., a kontinuitásból köetkezik, hogy a cső bármely keresztmetszetében egy adott pillanatban A p U.8.9

153 azonosnak kell lennie a térfogatáramnak, mert ellenkező esetben a folyadék agy összenyomódna, agy szétszakadna: A A Feltétel az is, hogy a cső keresztmetszete nem tágul, ill. nem szűkül össze. A fenti egyenletet idő szerint deriála csak a sebességek függhetnek az időtől, így: A A t t Jelöljük a sebességek idő szerinti deriáltjait "a"-al, ekkor a A a A Ebből köetkezik, hogy állandó sűrűségű közeg lokális gyorsulása állandó keresztmetszetű csőben nem áltozik a cső hossza mentén. Ezért a.9 összefüggés az alábbiak szerint alakítható át: ds ads a t A Írjuk fel ezek után a Bernoulli-egyenlet.8 egyenlet többi tagját is az "" és a "" pontok között. a Vezessük be a köetkező jelöléseket p0 p g h és a d dt.0... Azért használhatunk idő szerinti teljes deriáltat, mert a sebesség a csőben csak az időtől függ a helytől nem. Rendezzük át az egyenletet: d p p0 g h. dt Vegyük észre, hogy az egyenlet jobb oldala éppen a " st" stacioner sebesség négyzete (.7 egyenlet). Ezt behelyettesíte és szétálaszta a köetkező differenciálegyenletet kapjuk: d dt st A stacioner sebességgel dimenziótlaníta és kijelöle az integrált:.4 st a a = tanh t st a a = 0 cosh t st 0 d st st st t 0 dt t A sebesség és a gyorsulás függények.7 ábra 5

154 Integrálás után az st artanh st t st összefüggés adódik, pl. integrál táblázatból. Vezessük be a időt, ahol -t a rendszer saját idejének is neezhetjük. A sebességfüggényt ezek után úgy kapjuk, hogy mindkét oldalnak esszük a "tangens hiperbolikusz" függényét. p p 0 kpa A A t= t= t= m A nyomáslefutás a cső hossza mentén.8 ábra t st tanh.6 A gyorsulás függény a sebesség függénynek az idő szerinti deriáltja a 0 a, t cosh st ahol a 0 a kezdeti időpillanatban érényes gyorsulás. (a "cosh" függény pedig a koszinusz hiperbolikisz függény). t c./ A.7 ábrából látható, hogy kb. esetén már a stacioner sebességgel áramlik a csőben a közeg. A konkrét idő kiszámításához a "" saját időt kell először meghatározni 5.4s. A három saját idő értéke 4 s, amikor st st t d./ A esetén mind a sebességet, mind a gyorsulást meg tudjuk határozni a.7 ábrából. Például a diagramból kiolashatjuk az értékeket. m A sebesség: 0.78 st , s. st A gyorsulás: a 0.4 a a A gyorsulást más módon is meg lehet határozni. Írjuk fel a. egyenletet és fejezzük ki belőle a gyorsulást: a p p0 a g h p0 st 54 p g h, m 6.5 s m 6.6 s Az eltérés a leolasás pontatlansága miatt adódott. A nyomásfüggény meghatározásához alkalmazzuk az instacioner Bernoulli-egyenletet (.8 egyenlet) az "A" pont és a "" pontok között. Az "A" pont elhelyezkedésére ugyanaz

155 érényes, mint a sziornya belépő keresztmetszetében, agyis a beáramlás helyén léő bonyolult áramlás miatt itt is a sebesség nagyon röid szakaszon igen gyorsan áltozik. Az "A " pontot most is a csőben a belépés után helyezzük el, az "A " pedig a belépés előtt legyen. A ds t p U A p Az integrál megint helyettesíthető a gyorsulás és a hossz szorzatáal, a két sebesség és a két potenciál pedig azonos, így p 0 p a A adódik, amelyből a nyomáskülönbség p a A U kPa pa 0 A nyomás lefutását a.8 ábra mutatja a t időpillanatban, a cső mentén lineárisan áltozik. Az ábrában feltüntettük a t 0 (piros) és a t (zöld), amely megfelel a égtelen idő eltelte után érényes állapotnak..7 Ventilátorok, Euler-turbinaegyenlet A entilátorok a leegőt, agy más légnemű közeget kisebb nyomású helyről nagyobb nyomású helyre szállítják. A entilátor a hajtására fordított teljesítmény árán egyrészt nyomáskülönbség ellenében égez munkát, másrészt megnöeli a szállított leegő mozgási energiáját. A entilátor hasznos teljesítményének kiszámításakor a szállított leegő sűrűségét állandónak tekintjük. Ezt mindaddig megtehetjük, ameddig a sűrűségáltozás kb. 0% alatt marad. Ventilátorok esetében ez mindig fennáll. (Ekkor híják ugyanis entilátornak.) Az áramló leegőben írjuk fel egy áramonal mentén a Bernoulli-egyenletet (. egyenlet) p U p Leegő áramlásánál a helyzeti energia megáltozása két pont között elhanyagolható, ugyanis egy adott tömegű leegőre ható nehézségi erő és a környező leegő által keltett felhajtóerő egyenlő, ha a leegő nyomása és hőmérséklete nem tér el nagymértékben a környezetétől. Így adott tömegű leegő felemelésekor nem kell munkát befektetni, tehát potenciális energia sem keletkezik. A fenti egyenletből U 0 feltételt felhasznála és beszoroza a sűrűséggel a köetkező egyenletet kapjuk: U U p p Képzeljünk el egy leegő sugarat, amellyel egy sík falra fújunk, ld. pl. 4.6 ábra (köetkező fejezet). A fal felé közeledő sugárban a sebesség legyen " " a nyomás pedig "p ". A fal és a sugár tengelyének metszéspontjában léő "ö" pontban a leegő sebessége zérus. Ezt a pontot torlópontnak neezzük. Az itt kialakuló nyomást pedig össznyomásnak híjuk, amely nagyobb mint a szabad sugárban léő nyomás. p pš Az egyenlet bal oldalán léő 55

156 " " tagot dinamikus nyomásnak, a "p" tagot pedig statikus nyomásnak, "p ö ", ami az előző kettő összege, azt össznyomásnak híjuk. Egy entilátor hasznos teljesítménye, amit adott nyomáskülönbség legyőzésekor teljesít: Pp q p ny psz, -ahol p sz a szíóoldali, p ny a nyomóoldali, a keresztmetszeten belül állandónak feltételezett statikus nyomás és "q " leegő-térfogatárama. A légmennyiség mozgási energiájának nöelésére fordított hasznos teljesítmény, pedig: P q ny sz, -ahol " sz " a szíóoldali, " ny " a nyomóoldali, a keresztmetszeten belül állandónak feltételezett sebesség. A hasznos teljesítmény a kettő összege P P P Behelyettesíte az előző kifejezéseket, a hasznos teljesítmény: Ph q pny ny psz sz q p illete P h q h p š p nyö p szö.7.8 ahol "p ö " az össznyomás nöekedés. A.9 ábra egy radiális entilátor ázlatát mutatja. A leegő az (sz) jelű szíócsonkon jut be a gépbe, egy álló konfúzor (k) ezeti a forgó járókerékhez (j), amely az (m) motor (t) tengelyére an rögzíte. A közeg radiális irányba fordul és áthalad a járókerék (l) lapátjai között. A motor (M) nyomatékot fejt ki az ( ) szögsebességgel forgó járókerékre. E nyomaték hatására a járókeréken áthaladó közeg forgás irányában eltérül. Bejut a (cs) jelű csigaházba, majd a (ny) nyomócsonkon keresztül hagyja el a gépet. A motor felöl érkező energia a entilátor járókerekén adódik át az áramló közegnek. A entilátor működésének megértéséhez a járókerékben lejátszódó folyamatokat kell elsősorban megérteni. A.0 ábra radiális hátrahajló lapátozású entilátor járókereket mutat. A. ábra egy radiális hátrahajló lapátozású sziattyú járókereket mutat. A sziattyúk és a entilátorok járókerekeinek eli felépítése nem különbözik egymástól. A sziattyúk járókerekei a nagyobb erőhatások és jobb hatásfok érdekében általában öntött kiitelben és profilos lapátokkal készülnek. Ideális, eszteségmentes esetben a Bernoulli-egyenletettel is meg lehet határozni az össznyomás nöekedését. Vizsgáljuk meg közelebbről egy radiális entilátor járókerekét. Sémáját a. ábrán láthatjuk. Válasszunk ki egy lapátot a járókerékből. Tételezzük fel, hogy a járókerékben olyan sok lapátot építették be, hogy az áramlás teljesen hengerszimmetrikusnak ehető. A lapátokkal párhuzamosan tud a közeg áramlani, így a lapát is tekinthető egy áramonalnak. 56

157 ny Radiális entilátor.9 ábra u r u r, (Az ábrán csak nyolc lapátot tüntettünk fel.) Az "" pont a lapátok előtt, a belépésnél a "" pont a lapátok után a kilépésnél található. A "" abszolút, "w" relatí és "u" szállító (kerületi) sebesség ektorokat felrajzoltuk egy lapát belépő és kilépő élénél. A felrajzoláskor ügyelni kell arra, hogy fennálljon a köetkező összefüggés a kerületi sebességek között amely a szilárd testként történő forgás feltétele, alamint arra is kell ügyelni, hogy a megfelelő kerületi sebességek merőlegesek legyenek az adott ponthoz tartozó sugárra. Írjuk fel a Bernoulli-egyenletet a belépésnél léő "" és a kilépésnél léő "" pontok között a kerékkel együttforgó rendszerben. Az áramlás stacionárius, de nem örénymentes. l Induljunk ki Bernoulli-egyenlet teljesen általános alakjából (. egyenlet). A sebesség helyére, most a relatí sebességet, "w"-t kell behelyettesíteni. w ds t w grad ds.9 w rotw ds gds w u Radiális entilátorjárókerék.0 ábra Radiális sziattyú járókerék. ábra I. II. III. IV. 57

158 Az I. integrál zérus, miután a w relatí sebesség stacionárius. A II. tag a definícióból w w köetkezően. A III. integrál is zérus, mert "" és "" pontok ugyanazon az p p áramonalon találhatók, tehát áramonalon integrálunk. Az V. tag áll. köetkeztében w u < 900 w u alakra hozhatjuk. A IV. integrál kifejtése némi megfontolást igényel. Miután a koordináta-rendszerünk forog, fellép a centrifugális erőtér. A Föld nehézségi erőterét elhanyagolhatjuk a sokkal nagyobb centrifugális erőtér mellett. Ha forgó rendszerben egy tömegpont relatí mozgást égez a rendszerhez képest, akkor fellép a Coriolis-erő, amely egységnyi tömegre néze a g Cor w.0 Sebességi háromszögek. ábra a IV. integrál az alábbi alakra egyszerűsíthető: r r gds összefüggéssel írható fel, ahol a koordináta-rendszer szögsebessége, és megegyezik a kerék szögsebességéel. (G. G. Coriolis francia fizikus) Figyelembe r ée, hogy a centrifugális erőtér potenciálja U, w ds A. egyenletből látható, hogy a Coriolis-erőtér onal menti integrálja zérus, ha az áramonalon integrálunk, mert w ds. Bizonyítás nélkül megjegyezzük, hogy ha nem áramonalon integrálunk, de az abszolút áramlás örénymentes, akkor a Coriolis-erőteret tartalmazó tag a Bernoulli-egyenlet III. integráljáal együtt kiesik. A Bernoulli-egyenlet az egyszerűsítéseket figyelembe ée, a köetkező: w p r w p r Íjuk fel a relatí sebességet az abszolút és a szállító sebesség ektorok különbségeként (ld.. ábra) w u, amiből köetkezik, négyzetre emelés után, hogy w u u. Helyettesítsük ezt a kifejezést "" és "" indexekkel a. egyenletbe: u r p u r p u u.4 Tudjuk, hogy u r és u r a fenti egyenletbe helyettesíte és egyszerűsíte, alamint a sűrűséggel beszoroza, a köetkezőt kapjuk: p u p u

159 A.7 egyenlet szerint p pš a statikus és dinamikus nyomás összege az össznyomás az abszolút rendszerben. Toábbá ezessük be a köetkező jelölést u u u, ahol u a ektornak a kerületi sebesség irányába eső etülete. Beíra az egyenletbe p p u u u u.6 kifejezést kapjuk. Ekkor az Euler-turbinaegyenlet entilátorokra, a köetkező alakban írható fel: p š id (u u u u), amely kimondja, hogy az össznyomás nöekedése egyenlő az egyenlet jobb oldalán látható kifejezéssel. A jobb oldal átalakítható p ö id (u r u r ) n, ahol "" járókerék által keltett cirkuláció, agy más néen perdület, "n" pedig a kerék fordulatszáma. A járókerék a cirkuláció nöelése réén hoz létre nyomásnöekedést. A u r a járókerék külső kerületén elégzett cirkuláció számítás eredménye. Például a.4 fejezetben a cirkuláció kiszámítása egy potenciálos örényben egy kör áramonal mentén. A belépésnél legtöbbször nincs kerület irányú sebessége a közegnek, ekkor u 0. Ekkor u r. Az Euler-turbinaegyenlet nemcsak radiális, de axiális átömlésű áramlástechnikai gépekre is érényes. Sziattyúk esetében a szíó és nyomócsonk között is felírható és ekkor a Föld nehézségi erőterét is figyelembe szokták enni, alamint a.6 egyenlet bal oldalára a magasságokat is beírják, toábbá a sziattyúk esetében nyomások helyett magasságokat szíesebben alkalmaznak, ekkor az egyenletet "g"-el égigosztják, így az Euler-turbinaegyenlet sziattyúkra a köetkező: p p u u u u z z Htid.8 g g g g g Az egyenlet bal oldalán léő mennyiséget teljes ideális emelő-magasságnak is neezik és H tid -al jelölik (teljes ideális, agy total ideal). Visszatére a entilátorokra, ha a entilátor előtt a leegő nem forog a csőben, agy a entilátor szabadból szí, akkor a lapátokat a belépésnél pontosan sugár irányból éri el a leegő abszolút rendszerből néze. A. ábra éppen ilyen állapotot mutat. Most nincsen a belépő abszolút sebességnek kerület irányú komponense, tehát a.7 egyenlet egyszerűsíthető p u.9 ö id u.7 59

160 .8 Radiális entilátorok elméleti és alóságos jelleggörbéi.8. A radiális entilátorok ideális jelleggörbéi Jelöljük a járókerék szélességét "b "-el és "b "-el (a rajz síkjára merőleges méret). A sugár irányú sebesség az "" és "" helyeken rendre " r " és " r ". Használjuk a kontinuitás tételt a belépő és a kilépő keresztmetszetekre: q q r r r b r b A kilépő sebességi háromszögből u u w cos és w sin r, így a kilépő sebesség kerület irányú komponense: p öid u A B w u A < 900 B w u p öid u A B A B w w u = 90 0 u q Hátrahajló lapátozású járókerék ideális jelleggörbéje. ábra q Radiális lapátozású járókerék ideális jelleggörbéje.4 ábra p öid u A B q B A w w > 90 0 u u Előrehajló lapátozású járókerék ideális jelleggörbéje.5 ábra u u r ctg u q ctg r b Ezt a kifejezést a.9 egyenletbe helyettesíte és átrendeze adódik az ideális jelleggörbe számítására alkalmas kifejezés: u p ö id u cog.0 q r b Eszerint az ideális nyomásnöekedés lineáris függénye a szállított térfogatáramnak. Amennyiben a kilépés szöge kisebb mint kilencen fok, ctg 0, akkor hátrahajló lapátozású entilátorról beszélünk. A hátrahajló lapátozású entilátor ideális jelleggörbéjét a. ábra mutatja. Amennyiben a kilépés szöge kilencen fok, ctg 0, akkor radiális lapátozású entilátornak neezzük A radiális lapátozású entilátor ideális jelleggörbéjét a.4 ábra mutatja. A jelleggörbe ízszintes egyenes. És égül, ha a kilépés szöge nagyobb kilencen foknál, ctg 0, akkor előrehajló lapátozású entilátornak híjuk. Az előrehajló lapátozású entilátor ideális jelleggörbéjét a.5 ábra mutatja. Nöekő térfogatárammal a nyomásnöekedés is nő. 60

161 .8. A entilátorok alóságos jelleggörbéi p st Pa m/s q m /h Hátrahajló lapátozású radiális entilátor és alóságos jelleggörbéi különböző fordulatszámokon.6 ábra p st Pa q m /h Előrehajló lapátozású radiális entilátor és alóságos jelleggörbéi különböző fordulatszámokon.7 ábra A alóságos jelleggörbe nagymértékben eltér az ideális jelleggörbétől, a járókerékben és a csigaházban fellépő áramlási eszteségek miatt. A.6 és a.7 ábrákon katalógusból ett entilátorokat és azok mért jelleggörbéit láthatjuk. Az össznyomás nöekedés helyett az úgyneezett statikus nyomásnöekedést ( pst ) tünteti fel a katalógus, amely a létesített össnyomás nöekedésből leonja a nyomóoldali dinamikus nyomás. Az össznyomás kifejezésének behelyettesítéséel kapjuk: p st pö p p p p Azaz a statikus nyomásnöekedés a nyomóoldali statikus nyomás és a szíóoldali össznyomás különbsége. A entilátor felhasználóját legtöbb esetben ez a nyomáskülönbség érdekli. A zérus térfogatáramnál léő nyomásnöekedés kb %-a az ideális esetben adódó értéknek. A hátrahajló lapátozású entilátorok jelleggörbéjének tendenciája hasonlít az ideális jelleggörbéhez, mert nöekő térfogatáramhoz csökkenő nyomás tartozik. A hátrahajló lapátozású entilátor hatásfoka jobb az előrehajló és a radiális típusúnál. Az előrehajló lapátozású entilátor jelleggörbéjének már a tendenciája is eltér az ideálistól, nemcsak a számértéke. Általában csak nagyon kis szakaszon emelkedik, majd utána szintén nöekő térfogatáramhoz csökkenő nyomásnöekedés tartozik. A hatásfoka általában 6

162 rosszabb a hátrahajló típushoz iszonyíta. Viszont nagy előnye, hogy ugyanazokat a paramétereket kisebb méretben lehet megalósítani, mint hátrahajló áltozatban. Előrehajló lapátozású sziattyúkat nem gyártanak, a rossz hatásfok és a iszonylag instabil munkapont miatt..9 Forgó "S" alakú cső, mint egyszerű sziattyú A.8 ábrán látható "S" alakú csöet függőleges tengely körül állandó "" szögsebességgel forgatjuk. A cső ebben az esetben egyszerű sziattyúként működik. Adatok: H m ; R 0.5m ; D 0.m ; 0 s Kérdések: a./ Mekkora a cső égén kiáramló térfogatáram? b./ Mekkora a cső forgatásához szükséges teljesítmény? I. Megoldás: a./ Az áramlás beindításához fel kell töltenünk a csöet, majd ezután kezdhetjük el forgatni. Miel álló rendszerből szemléle a jelenség instacionárius, ezért - legalábbis a forgó csöön belül - forgó koordináta-rendszert kell alkalmaznunk. Ha a Földhöz képest álló koordináta-rendszerben örénymentes áramlást feltételezünk, R akkor a forgó rendszerben felíra a Bernoulli-egyenletet a - - Coriolis-erőtér és a rotációs tag kiejtik egymást Figyelembe kell ennünk a centrifugális erőtér potenciálját is: íz íz D Egyszerű sziattyú.8 ábra z R D.9 ábra 0 H H r p w r gz 0 0 Forgó rendszerből szemléle a nyugó ízfelszín tetszőleges "0" indexű pontját, azt látjuk, hogy " r 0 " kerületi sebességgel forog. Behelyettesíte a "0-ás" és "-es" indexű pontok áramlási jellemzőit a fenti egyenletbe, kapjuk: p0 r0 r0 p0 w R gh A megoldás az " r 0 " pont felételétől láthatóan nem függ, mert a baloldal második és harmadik tagja kiejtik egymást Ebből kifejeze az ismeretlen "w "-t: R w g H értéket kapunk. Amelyből a térfogatáram: q D w m s m 8.96 s 6

163 b./ Az energia-befektetést álló rendszerben kell izsgálnunk. A forgó cső (a súrlódási munkától eltekinte) a folyadék mozgási és helyzeti energiáját nöeli. Egységnyi tömegű folyadék mozgási és helyzeti energiájának megáltozása: w R gh a "0" indexű pontban az abszolút sebesség zérus, a "-es" pontbeli abszolút sebesség két egymásra merőleges, " w " és "R" komponenssel írható fel. A teljesítményt az egységnyi tömegű folyadék energiájának megáltozása és a tömegáram szorzataként kapjuk. P q w R g H kW II. Megoldás: Csak az a./ megoldása áltozik. A Bernoulli-egyenletet 0- pontok között álló koordináta-rendszerben írjuk fel, mert az áramlás itt stacionárius, majd az --ig forgó rendszert alkalmazunk. Miel az pontot speciálisan a tengelyen ettük fel, ezért a forgó rendszerben, ebben a pontban eltűnik mind a forgótér potenciál, mind pedig a szállító sebesség. A Bernoulli-egyenlet 0--ig álló rendszerben: p0 p gz. A Bernoulli-egyenlet --ig forgó rendszerben: p p0 w R gz gh A két egyenletet összeada az ismeretlen -es indexű tagok kiesnek és " w " kifejezhető. III. Megoldás: a./ Használjuk az Euler-turbinaegyenlet sziattyúra érényes formáját: (ld..8 egyenlet) p p u u u u H z g g g g g Az "" pontban a sebesség zérus, alamint a. egyenletből az ""-es pontbeli nyomás és magasság a légköri nyomással megadható, így az egyenletünk. p 0 p0 u u H g g g g A kilépő abszolút sebesség kerület irányú komponense éppen a kerületi sebesség a cső felső égén. (A cső olyan mint egy radiális lapátozású járókerék). Behelyettesíte és egyszerűsíte: u H. g g Használjuk fel, hogy a ""-es pontban a relatí sebesség merőleges a kerületi sebességre, így a relatí sebesség Pitagorasz-tételéel számítható. 6

164 w u Helyettesítsük ezt a. egyenletbe és fejezzük ki w -t. u w g H Amely megegyezik az előző két esetben kapott megoldással. b./ Az energia-befektetést a.8 egyenlet szerint számíthatjuk, amely a köetkező: Ph q p šid, ahol a térfogatáramot az előzőekhez hasonlóan számíthatjuk, az ideális össznyomás nöekedést pedig a.9 egyenletből, agyis az Euler-turbinaegyenletből ehetjük p u š id A kilépő abszolút sebesség kerület irányú komponense éppen u, így a hasznos teljesítmény: P q u u kW 64

165 4. Impulzustétel és alkalmazásai Ebben a fejezetben szintén a folyadékmozgás dinamikai alapegyenletét alkalmazzuk, akárcsak az ötödik fejezetben. Ott a mozgásegyenletet differenciális alakban írtuk fel, amely az Euleregyenletet eredményezte. Az impulzustétel ugyancsak Newton II. törényének folyadékokra történő alkalmazása, de integrál egyenlet formájában. Az erők és a mozgásmennyiség megáltozásának kapcsolatát Newton II. törénye írja le: dm F 4. dt Alkalmazható folyadékokra is, amennyiben elhatárolunk egy folyadékrészt egy ellenőrző felülettel, amely mozgás mennyiségének idő szerinti megáltozását és az arra ható erőket írjuk az egyenletbe. Vizsgáljuk a 4. ábrán látható áramcső egy darabját. Legyen az áramlás stacionárius, tehát az áramcső térben és időben mindig ugyanazon a helyen marad, a belépő és kilépő sebesség időben nem áltozik. * da I 0 Impulzus áltozás * da Egy adott "t" időpillanatban az "" és "" felületek között az áramcső adott darabjában léő folyadék rendelkezik egy adott impulzussal. "dt" idő elteltéel a folyadék az "*" és "*" keresztmetszetekkel határolt részbe kerül, ahol szintén rendelkezik egy bizonyos impulzussal. A két állapot közötti impulzusáltozást szeretnénk meghatározni. Miel az áramlás stacionárius, az "*" és 4. ábra "" keresztmetszetek között léő folyadék impulzusa ugyanaz a "t" és a "t+dt" időpillanatokban is, bár a tér egyes pontjaiba más-más folyadékrészek kerültek. Jelöljük az ebben a térrészben léő folyadék impulzusát I 0 -al. A "t" időpillanatban a izsgált folyadékrész ""-"" keresztmetszetek között léő folyadék impulzusa dm I 0. A "t+dt" időben a "*-* " keresztmetszetek között léő folyadék impulzusa: I 0 dm. Az ellenőrző felület bal oldalán ugyanannyi tömeg áramlik be, mint amennyi a jobb oldalon kiáramló tömeg. Fejezzük ki a beáramló tömeget a sebességektorral és a felületelem ektorral, alamint a sűrűséggel. dm da dt A mínusz előjel azért szükséges, mert a sebesség és a felület irányítása ellentétes, így a skalár szorzatuk negatí. Írjuk fel a "" keresztmetszetben a kiáramló tömeget: dm da dt A mozgásmennyiség "dt" idő alatt beköetkezett megáltozása a "t+dt" időben érényes impulzusból leona a "t" időben érényes impulzust. Az I 0 kiesik a kionáskor, ezek után: d(m ) dm dm da dt da dt A "dt" időel oszta megkapjuk az impulzus megáltozását, ami a köetkező: 65

166 d m dt da da da da da da Impulzus áltozás ektorok 4. ábra Az impulzusáltozással a kijelölt ellenőrző felületre ható erők tartanak egyensúlyt. Az erőket az elemi elmozdulás alatt állandónak tekintjük. A folyadékrészekre általában kétfajta erő hat: a tömegre ható térerő (pl. a súlyerő) és a folyadékrész felületén ható felületi erők (nyomásból származó erők, agy súrlódóerők). Ha a közeg súrlódásmentes, a felületi erőnek nincsen felülettel párhuzamos komponense (a csúsztatófeszültség zérus), csak a felületre merőleges, nyomásból származó erő hat. Hanyagoljuk el a súrlódó erőket a többi erő mellett. A izsgált folyadékrészre ható súlyerőt jelöljük dg-el. A nyomásból származó erőket általában három részből számítjuk: az egyik rész azokra a felületekre ható nyomóerők eredője, amelyeken a folyadék átlép, a másik rész az áramcső fala mentén ébredő nyomóerők eredője, a harmadik rész pedig a szilárd fallal érintkező felületekre ható nyomóerők eredője, amelyet külön fejezetrészben tárgyalunk, amikor a szilárd test benyúlik az ellenőrző felületbe. Az áramcső falán fellépő nyomásból származó erők eredőjét (amely származhat részben szilárd faltól is, amely azonban az ellenőrző felületen kíül helyezkedik el) jelöljük dp F -el. A nyomásból származó összes erő eredője: dp F p da p da ahol a negatí előjelek azt fejezik ki, hogy az erők a felületből kifelé mutató felületi normálissal ellentétesen mutatnak. Egyenlőé tée az impulzusáltozást az erőkkel, a köetkezőt kapjuk: da da dg dpf p da p d A Az összegzést a 4. ábrán megjelölt irányok szerint kell elégezni. A df r jelenti a külön a bal- és a jobboldalon léő ektorok eredőjét, amely természetesen ugyanakkora. Tetszés szerinti felülettel határolt da folyadékrészt elemi áramcső darabokból pda össze lehet rakni. Az elemi áramcsöek dg közös felületén fellépő erők és impulzus da df r áltozás ektorok az akció reakció ele da dg alapján kiejtik egymást. pda p d A Így tetszés szerinti "A" ellenőrző felületre da p d dp A F az impulzustételt a köetkező alakban írhatjuk fel: Impulzus áltozás ektorok 4. ábra A, da gdv V A pda 4. 66

167 da da A V da 4.4 ábra da Az egyenlet súrlódásmentes, stacioner áramlásra érényes. Az impulzustétel nagy előnye a többi áramlástani egyenlettel szemben, hogy ektoregyenlet. Az erők nagyságán kíül azok irányát is megadja. A teljesség kedéért felírjuk az impulzustételt instacioner, súrlódásos áramlásra is, amely a köetkező: gdv da gdv 4. pda t V A V A A ds Az impulzustételt legtöbbszőr olyan esetekben alkalmazzuk, amikor a folyadék szilárd resttel érintkezik, sőt az ellenőrző felületbe benyúlik részben agy egészen. A fenti meggondolásaink szerint az ellenőrző felületben folyadéknak kell lenni, szilárd test jelenlétét nem feltételeztük a felületben, csak a felület határán. 4. Szilárd test az ellenőrző felületben A köetkezőkben együnk egy ellenőrző felületet, amelyen belül szilárd test helyezkedik el. Az áramlás stacionárius és súrlódásmentes. A 4.5 ábrán egy gömb körüli áramlást láthatunk. A gömbre az áramlás ízszintes erőel hat. Hogy stacioner állapotot tudjunk létrehozni, a gömböt a helyén kell tartani az áramlással szemben. Ezt egy rúd segítségéel tudjuk biztosítani, amely az ábra jobb oldalán látható. (A gömb súlya és a rúdban ébredő függőleges erők kiegyenlítik egymást, ezeket nem A b A k tartó rúd A ö Szilárd test az ellenőrző felületben 4.5 ábra R rajzoltunk az ábrába.) Az áramlásból, a folyadékról a szilárd testre átadódó erőt a rúdban ébredő ízszintes erő, "-R" egyensúlyozza ki. Vegyük fel az ellenőrző felületet úgy, hogy az " A b " "belső" felülettel zárjuk ki a szilárd testet a "V" térfogatból, ami ezek után az A " és " A " közötti térfogat marad. Az " k b " A k " felület egy henger, ízszintes tengellyel, az "A b " pedig gömb. Kössük össze őket, hogy eleget tegyünk a zárt felület köetelményének, az "A ö " felülettel, amely a tartó rudat körbefogó henger. Ezzel átfúrjuk a két felület között léő térfogatot. A zárt felület normálisa, megegyezés szerint mindig kifelé mutat a felületből. Ennek úgy tudunk eleget tenni, ha a " A k " felületből kifelé mutatnak a felületelem-ektorok, a "A b " felületnél pedig a gömb középpontja felé mutatnak. Az " A " hengerfelületnél pedig annak belseje felé mutatnak a felületi normális ektorok. Így a külső felületről pl. az " A š " felső felületén, de a cső belsejében, be tudunk jutni a belső felületre, majd az " A š " felületen issza tudunk térni, szintén a csőben a külső felületre és eközben midig a felületből kifelé mutató felületelem-ektorok között, azokat kerülgete haladunk. š 67

168 Írjuk fel az impulzustétel 4. egyenletet szerinti formáját a megrajzolt ellenőrző felületre. Ezt most megtehetjük, mert a kissé komplikált zárt felületből kizártuk a szilárd testeket, a gömböt és az azt tartó rudat. Az egyenletben szereplő zárt felületi integrált három felületből állíthatjuk össze: az "A k " és a "A b " felületeken égzett integrálok összegére, alamint az "A ö " felületen égzett integrálra. Így az egyenlet a köetkező: Ak da da da Ab A š VF g dv Ak p da Ab p da A š p da külső felület belső felület összekötő felületfoly. térf. külső belső összekötő A bal oldal második és harmadik integrálja zérus, mert a szilárd test felületén, és így az ellenőrző felületen keresztül nincsen átáramlás, így a da szorzat zérus. A jobb oldal utolsó integrálja, agyis a tartó rúdon ébredő, a nyomásból származó erők eredője szintén zérus, ha feltételezzük, hogy az áramlás hengerszimmetrikus, akkor a rúd szemben léő felületein ébredő erők kiejtik egymást. A jobb oldal harmadik tagja a gömb felületén a folyadékra ható, nyomásból származó erőt összegzi, a gömb középpontja felé mutató felületi normálissal ellentétesen hatnak az elemi nyomóerők, amelyek a folyadékot nyomják. Az integrálás eredményeként adódó erő a szilárd fal által a folyadéknak átadott erő, amely ugyanolyan nagyságú, de ellentétes irányú, mint a folyadékról a szilárd testre ható erő, amit R ektorral jelölünk. Az "R" tehát a folyadék által a szilárd testre gyakorolt erő. Ezt az erőt kell kiegyensúlyoznunk a rúddal, "-R"-el. A fenti egyenletet egyszerűsíte kapjuk a köetkezőt: da gdv pda 4.4 Ak R VF Az egyenlet szerint elegendő a külső felületet úgy kezelni, mint ellenőrző felületet, a szilárd test kizárásáal nem kell foglakozni, iszont egy -R erőt figyelembe kell enni az egyenlet felírásakor. A fenti egyenlethez egy másik gondolatmenettel is eljuthatunk. Amennyiben az "A k " felület átlátszatlan, agy egy fekete dobozként kezeljük, akkor a belső felületet nem látjuk, a belső felület nagyságát, alakját nem is kell ismernünk, de az impulzustételt mégis alkalmazhatjuk. A bent léő szilárd test hatását egy koncentrált erő helyettesíti, ami a rúdon keresztül hat. A rudat átágjuk az "A k " felülettel. Az átágás felületén, amely a rúd keresztmetszete, a nyomás megfelel rúdban kialakuló nyomófeszültségnek. A rúd keresztmetszetét égtelen kicsinek is tekinthetjük, amelyen égtelen nagy nyomás ébred, de a kettő szorzata éppen a "-R "-et adja. Ez a mechanikából jól ismert koncentrált erő fogalma. (A 4.4 egyenlet egészen pontosan csak ilyen feltétellel teljesül, ugyanis csak ekkor tehető zárttá az "A k " felület.) Az impulzustétel tehát a köetkező formát ölti, ha stacionárius, súrlódásmentes az áramlás és az ellenőrző felületen belül szilárd test helyezkedik el: da gdv pda 4.5 A Ak R V Az "A" felületnek, most az "A k " felület felel meg. Az R ektor előtti negatí előjelre azért an szükség, mert az impulzustételben a szilárd testről a folyadékra ható erőt kell szerepeltetni. A jobb oldal első tagja a térfogatban léő folyadék és a szilárd test együttes súlyát jelenti a 4.5 egyenletben, ellentétben a 4.4 egyenlettel, ahol szilárd test által elfoglalt térfogatot kirekesztettük az integrál felírása során. A 68

169 Természetesen a súly számítását külön lehet álasztani, csak a folyadék, ill. csak a szilárd test súlyának számítására. Ez a probléma feladatok megoldásánál általában nem jelentkezik, mert a felületbe zárt folyadék súlyát az egyéb erők mellett el szoktuk hanyagolni. 4. Sík lapra ható erő Érjen egy ízszintes, "A" keresztmetszetű, "" abszolút sebességgel rendelkező szabad sugár egy függőleges sík lapot. A sík lap elegendően nagy ahhoz, hogy a sugarat eredeti irányra merőlegesen elterelje. A sík lap "u" sebességgel mozog ízszintes irányban. Mekkora és milyen irányú erőel hat a ízsugár a lapra? A feladatot az impulzustétel felhasználásáal lehet könnyen megoldani. Az impulzustétellel az áramlás részleteinek ismerete nélkül megálaszolható a kérdés. Vizsgáljuk azt az esetet, amikor a lap "u" sebességgel halad. Ekkor a lapra érkező ízsugár sebessége a laphoz képest w u, a laphoz kötött koordináta-rendszerben. I. Elsőként határozzuk meg a Bernoulli-egyenletből kiindula a lapot elhagyó ízsugarak relatí sebességét a laphoz kötött koordináta-rendszerben "w, w " sebességeket: p w g z p w g z p w p w g z g z Amennyiben elhanyagoljuk a lap kis környezetében a nehézségi erőteret, akkor z z z feltételezéssel élhetünk. Mindegyik folyadéksugár atmoszférikus nyomású térben halad, ezért p p p p0. E két körülmény figyelembe ételéel azt kapjuk, hogy a belépő és a kilépő sugarakban azonos a folyadék relatí sebességének a nagysága: w w w ezzel az egyszerűsítéssel hengerszimmetrikusnak tekinthető. Az impulzustétel alkalmazásakor sokszor élünk ezzel a közelítéssel. Laphoz kötött ellenõrzõ felület w. A jelenség II. Második lépésként együnk fel egy ellenőrző felületet, amelyet célszerű úgy megrajzolni, hogy a jelenség stacioner legyen az ellenőrző felületben (pl. a szilárd test ne menjen ki a felületből), ha szilárd testre ható erőt keresünk, akkor a testet együk bele az ellenőrző felületbe, ahol áramlás an, ott az ellenőrző felület legyen merőleges az áramlási sebességre, agy legyen azzal párhuzamos, alamint az ellenőrző felülettel minden toábbi nélkül kiléphetünk az áramló folyadékból, ha az egyszerűsíti a feladatot. III. Harmadik lépésként írjuk fel az impulzustételt u R w w Mozgó sík lapra ható ízsugár 4.6 ábra ö z z 69

170 A da gdv pda R V (4.5 egyenlet) és állapítsuk meg, hogy mely tagjait kell az adott feladat megoldásánál figyelembe enni. Miel a laphoz kötött koordináta-rendszert használunk, a "" abszolút sebesség helyébe a "w" relatí sebesség kerül. Elee csak stacioner és súrlódásmentes áramlást feltételezünk. Ha a lap áll, az áramlás stacioner, hiszen a ízsugár iránya, sebessége időben nem áltozik. Ha a lap mozog, az áramlás az álló rendszerben instacionárius: A tér egy adott pontjában a mozgó lap helyzetétől függ a sebesség. Ha iszont a koordináta-rendszerünket, és az ellenőrző felületet is, a mozgó laphoz rögzítjük, akkor az áramlás stacionáriussá álik. A jobb oldal első tagját, agyis a súlyerőt elhanyagoljuk, így az egyenletünk: w wda pda 4.6 A A R A A baloldalon szereplő integrál argumentuma csak az "A" felület azon darabjain lesz zérustól különböző, ahol a folyadék a felületen át kiáramlik, agy beáramlik. Ezeket a részintegrálokat jelöljük rendre I, I,..., I n, ektorokkal. I, I,..., I n az "A" felületen időegység alatt átáramló folyadékimpulzust fejezik ki, ezért ezeket a toábbiakban impulzusáram ektoroknak, agy egyszerűen impulzus ektoroknak neezzük. Ezzel a jelöléssel az egyenlet baloldalán szereplő integrál, amely a folyadék mozgásmennyiségének megáltozását fejezi ki, felírható az impulzusáramok összegeként: n I I... In I w w da i Hasonló módon a nyomásból származó erők számítását is a részintegrálok összegzéséel égezhetjük el: P p da 4.8 A Ezekkel a jelölésekkel az impulzustétel fenti alakja: I P R 4.9 azaz a bonyolult felületi integrálok helyett ektorok összeadása szerepel. Az ábrán szereplő ellenőrző felületre mindenütt a légköri nyomás hat, így a nyomóerők eredője zérus. A folyadéksugarakon kíül eső részen ez természetes. A folyadéksugarakban, mint azt korábban láttuk, (Euler-egyenlet természetes koordináta-rendszerben), a párhuzamos, egyenes áramonalakra merőlegesen a nyomás nem áltozik, azaz egy szabad sugárban állandó a nyomás, és megegyezik a külső nyomással. Az előző meggondolásokkal a 4.9 egyenlet toább egyszerűsödik: I R 4.0 IV. Negyedik lépésként a teljes, zárt "A" ellenőrző felületre onatkozó integrált több felületrészen számolt integrál összegeként határozzuk meg. I w w da tehát a ektor nagysága I w A és miel w A A ellentétes értelmű da-al I az ellenőrző felületből kifelé mutat. Általános esetben is az impulzusáram ektorok az ellenőrző felületből kifelé mutatnak, és mindig a sebességgel párhuzamosak. A lapról körkörösen leáramló folyadék elemi impulzusektorai eredőben zérus ektort eredményeznek, így több impulzusektor jelen feladatunkban nincs

171 A nyomásból származó erők eredője zérus, mert minden pontjában környezeti nyomás, p 0 hat. A súrlódás elhanyagolása miatt, csak a lapra merőleges erők ébredhetnek, tehát az R iránya is csak ilyen lehet. V. Ötödik lépésként agy ektorábrát készítünk a 4.9 egyenlet alapján, mint az a 4. ábrán látható, agy feleszünk egy koordináta-rendszert és koordináta-irányonként írjuk fel az erők egyensúlyát. Figyelembe ée, hogy a ektor megegyező, agy ellentétes irányítású az "x" tengely pozití irányításáal, az egyes ektorok (esetünkben az I ektor) abszolút értékeit agy pozití, agy negatí előjellel kell beírnunk a 4.0 egyenlet megfelelő oldalára: "x" irányú egyensúly: I R x azaz w A R x R azaz az álló lapra ható a folyadékról átadódó erő az képletből számolható. Felhasznála a u kifejezést: w R w A R u A Ha a lap a sugárral szemben mozog, akkor a relatí sebesség akkor az "u" sebesség kiesik a kifejezésből. 4. Pelton-turbina 4. u, amennyiben a lap áll 880-ban az egyesült államokbeli mérnök, Lester Pelton feltalálta az akciós, agy szabadsugár-rendszerű ízturbinát, amely Pelton-turbina néen ált ismertté. Különösen a nagy magasságból alázuhanó íz energiájának felhasználására alkalmas. Kisméretű Pelton-turbinákat alkalmaznak pl. cséélhető öntözőberendezéseknél a cséélődob mozgatására. A 4.6 ábrán egy Pelton-turbina járókerekét látjuk. A Pelton-turbina a nagy sebességgel rálöelt ízsugár mozgási energiáját alakítja mechanikai teljesítménnyé. Nyomásáltozás a lapát előtt és után nincs a sugárban (akciós ízturbina). A számítás során közelítésként feltesszük, hogy azok a lapátok, melyek a ízsugárral érintkeznek, mindig merőlegesen állnak a ízsugárral szemben. (A alóságban a lapátok elfordulása kissé csökkenti a kerületi erőt.) A turbina "D" átmérőjű járókereke " " szögsebességgel forog. Pelton-turbina 4.6 ábra Adatok: A 0cm D 00mm ; 50 ; s 0 80 ; m 0 ; s Kérdések: a./ Határozzuk meg a turbina egy lapátjára ható erőt! b./ Határozzuk meg a turbinára ható átlagos kerület irányú erőt! c./ Határozzuk meg a kerületi sebesség irányába eső turbinalapátok száma z=8! 7 R kx erő időbeli áltozását, ha a

172 d./ Mekkora a turbina teljesítménye az adott üzemállapotban, és hogyan függ a teljesítmény a kerületi sebesség áltozásától? Megoldást a köetkező négy fejezetekben mutatjuk be. 4.. Egy lapátra ható erő a./ Egy darab "u" sebességgel mozgó turbinalapátra ható erő az impulzustétel alapján határozható meg. A megoldás teljesen hasonlóan történik, mint a mozgó sík lap esetében. A különbség csupán annyi, hogy a lapátról lelépő ízsugárnak is an hatása. A lapáttal együtt mozgó koordináta-rendszerben, az "x" tengely felfelé mutat, felrajzoljuk az ellenőrző felületet, amely körbe eszi a lapátot merőlegesen metsze a ízsugarakat. Az ellenőrző felület mentén mindenütt légköri nyomás uralkodik, így a nyomásból származó erők kiesnek. A jelenség stacionárius a lapáthoz kötött koordináta-rendszerben, és a súlyerőt elhanyagoljuk. Igy a 4.6 egyenletből a köetkező tagok maradnak: A w wda R Az egyenlet bal oldalán három impulzusektor marad, amelyeket a 4.7 ábrán láthatunk: ' ' '' I I I R Az "x" irányú összeteők: w x u ' I I' I'' Egy lapátra ható erő 4.7 ábra ' ' I ' I sin x ' R I, ahol az impulzus ektorok a relatí rendszerben ' w I A és ' '' I I Aw. Behelyettesíte az "x" irányú egyenletbe kapjuk, hogy az egy lapátra ható erő: sin Rx Aw 0 sin N 7

173 4.. Kerékre ható átlagos erő I I x x A kerékre ható erő 4.8 ábra b./ A járókerékre ható átlagos erő kiszámításához az egész kereket foglaljuk be egy ellenőrző felületbe. Az ellenőrző felületbe nagy sebességgel belépő ízsugár sebessége, keresztmetszete ugyanakkora, mint az egy lapát számításánál használt adatok. A lapátokról lelépő ízsugár sebessége időben és térben kissé áltozik, attól függően, hogy a lapátot éppen milyen pozícióban hagyta el. Az ingadozás a lápátok áltásának idejéel periodikusan áltozik. A 4.8 ábrán az ellenőrző felületből kilépő ízsugár átlagos "x" irányú sebességét és az ebből számítható átlagos impulzust rajzoltuk be. A kilépő ízsugár abszolút sebessége jóal kisebb, mint a belépő sebesség, így a ízsugár keresztmetszete iszont sokkal nagyobb a belépő keresztmetszetnél. (A graitáció által okozott sugárelhajlástól eltekintettünk.) Az impulzustétel "x" irányú egyenlete nagyon egyszerűen adódik, ha az impulzus ektorokat már ismerjük: x u w w u u u ( - u) cos ( - u) sin 4.9 ábra 7 I Ix R kx Az impulzus ektorok az abszolút rendszerben: I A 4.4 A zárójelben léő mennyiség az egységnyi idő alatt a kerékre áramló tömeg mennyisége. A kilépő impulzus "x" irányú komponensét úgy kaphatjuk meg, hogy az időegység alatt kilépő tömeg mennyiségét, (ami ugyanannyi, mint a belépő tömeg) megszorozzuk a kilépő sugár abszolút sebességéel, pontosabban annak "x" irányú komponenséel " x "-el. Tehát Ix A x A " " sebesség meghatározásához rajzoljuk fel a turbina forgástengelye alatt tartózkodó lapátra érkező és a lapátot elhagyó folyadéksugarak sebességi háromszögeit (ld. 4.9 ábra). Számítsuk ki elsőként a kerületi sebességet: D. m u s A lapátra érkező és a lapátot elhagyó relatí sebességek abszolút értéke azonos: m w w u s A kilépő sebességi háromszög alapján a kilépő abszolút sebesség "x" irányú etülete: 0 m u sin u 0 4. sin(80 ) x x s Feltételezzük, hogy az egy lapátról lelépő abszolút sebesség nem különbözik nagymértékben a kerékből kilépő átlagos abszolút sebesség "x" irányú komponensétől. Amennyiben a különbség számotteő, akkor egy csökkentő faktorral lehet ezt figyelembe enni a köetkező egyenletben. Behelyettesíte a 4. egyenletbe kapjuk az eredményt:

174 A A x R kx A N R kx x 4.7 A kerékre ható átlagos erő nem egyezik meg az egy lapátra ható erőel, ugyanis a ízsugár egyidejűleg több lapátra is hathat. 4.. A kerületi erő áltozása c./ Átlagos kerületi erő és az egy lapátra ható erő aránya: R kx Rx 706 Az egy időben működő lapátok száma több mint egy. Ez azt jelenti, hogy hol "", hol "" lapátra hat erő, a jelenség fordulatonként 8-szor ismétlődik. Azokban a pillanatokban, amikor egy újabb lapát bemetsz a ízsugárba a működő lapátok száma eggyel megnő -ről - re. Két lapát egyidejű működésének időtartamát jelöljük " t -el", egy lapát tartózkodási ideje "t ". Számítsuk ki " t " és " t " időket az egy lapátra R x R kx R x t t Kerületi erő áltozása 4.0 ábra.56 R x t ható és az átlagos kerületi erők alapján: Rx t Rx t Rkx t t, alamint t t T. T 4.44ms z 508 R kx t T ms R, x t.95ms 4..4 A teljesítmény kiszámítása d./ d/ megoldás A turbina teljesítményét a kerületi erőből és a kerületi sebességből kaphatjuk meg: P R u kW e kx A teljesítmény függését a kerületi sebességtől felírhatjuk, ha a 4.8 egyenletbe behelyettesítjük a 4.7 egyenletet P e R kx u A x u A kapott kifejezésben a x függ a kerületi sebességtől, amit a 4.6 egyenletből kapunk R u A usin u u Pe kx A sin u u Pe

175 A kapott kifejezésből könnyen belátható, hogy ha u 0 és ha u, akkor a teljesítmény zérus. A teljesítmény parabolikusan áltozik és a maximuma u maximális teljesítmény: P max sin A értéknél adódik. A Amennyiben a sin, akkor a maximális teljesítménynél a ízben rejlő összes mozgási energiát felhasználja a turbina. A szélsőérték ellenőrzését hasznos gyakorlatként az olasóra bízzuk. d/ megoldás: Feltételeztük, hogy nincsenek eszteségek az áramlásban, ezért a íz által elesztett mozgási energia a kerék hajtására fordítódik. Az előző fejezetben a forgó "S" alakú csőnél alkalmazott meggondolást használjuk itt is. Az egységnyi tömegű íz által elesztett mozgási energia: ahol " " a belépő, " " a kilépő ízsugár abszolút sebessége. A " " sebesség meghatározásához felhasználjuk a x kifejezését a 4.6 egyenletből alamint a " " ízszintes komponensét a 4.9 ábra alapján adhatjuk meg u sin u x y és ucos. A kilépő abszolút sebesség négyzete ezek alapján: u u usin u sin80, A tömegáram: kg qm A 0 s Így a turbina elméleti teljesítménye: Pe q m kw Természetesen a számok behelyettesítése nélkül, a " " behelyettesítéséel a 4.0 egyenlet alakjára lehet hozni ezt a kifejezést is. Ezt hasznos gyakorlatként szintén az olasóra bízzuk. d/ megoldás: Az Euler-turbinaegyenletet is felhasználhatjuk a teljesítmény kiszámítására ugyanúgy, mint a forgó "S" alakú cső esetében. m s 75

176 Az egyenlet használatánál arra kell igyáznunk, hogy az "" és "" indexű pontok helyetcserélnek, miel turbináról és nem sziattyúról an szó. A turbinában a közeg energiaesztesége réén hajtja a turbinát. A 6.8 egyenlet felcserélt indexekkel a köetkező: p p u u u u He z z g g g g g Az "" indexű pont a belépő, a "" indexű a kilépő sugárban an. A H e -t elméleti esésmagasságnak, agy idegen szóal diszponibilis esésnek neezik (sziattyúknál ez az elméleti szállítómagasság). A nyomás mindenütt légköri, a magasságok azonosak, a kerületi sebességek azonosak (u), így a turbina elméleti esésmagassága: H e g g Az egyenlet jobb oldalán léő mennyiségeket a 4.9 ábrából könnyen kiolashatjuk u és u x A második kifejezésben azért szerepel negatí előjel, mert az "u" sebességgel ellentétesen mutat a " " sebesség. u u u usin u u u sin u He g g g u Az elméleti teljesítményt a köetkezők szerint számíthatjuk: u P q g H A g e A kapott kifejezés megegyezik a 4.0 egyenlettel. e g u u sin g u 4.4 Csőezeték hirtelen zárása A.6 fejezetben egy tartályból kiinduló, iszonylag hosszú csöön keresztül kiáramló folyadék sebességének és gyorsulásának időbeli lefutását izsgáltuk a cső égén léő csap hirtelen kinyitásakor. A mostani példánkban azt elemezzük, hogy mi történik abban az esetben, ha hirtelen lezárjuk a folyadék útját a cső égén léő csappal. Ha az elzárás alóban égtelen röid idő alatt történne, és sem a csőfalnak, sem a folyadéknak nem olna rugalmassága, akkor elileg égtelen nagy nyomás keletkezne az elzárás helyén. Ez nem lehetséges, így a jelen példában nem hanyagolhatjuk el a íz összenyomhatóságát és a csőfal rugalmasságát. 76 a./ b./ c./ d./ p 0 p 0 p 0 p 0 + c c + - l + p - p + p c c - p - Csőezeték hirtelen zárásának fázisai 4. ábra

177 4.4. A hirtelen záráskor fellépő nyomáslengések A hirtelen záráskor egy nyomásnöekedési hullám indul el a zárás helyétől "c" sebességgel. A nyomásnöekedés nagysága és haladási sebessége a cső anyagától, geometriai méretétől és az áramló folyadék sebességétől és anyagától függ. A lezárás helyétől kiindula egyre több folyadékrészecske megáll, és a cső fala kitágul, alamint a folyadék összenyomódik. A íz eddigi mozgási energiája felhalmozódik egy potenciális energia formájában (ld. 4./a ábra). A köetkező fázisban a égtelen nagynak tekinthető tartályról a hullám ellenfázisban isszaerődik. A felfúódott csőfalban és a folyadékban felhalmozott energia a izet igyekszik isszalökni a tartályba (ld. 4./b ábra). A fázis égén az egész csőben a folyadék "" sebességgel a tartályba áramlik. A harmadik fázisban a lezárás helyén ismét megállnak a folyadékrészecskék és egy depresszió hullám indul el a lezárt égről. A kifelé áramló folyadékdugó megszíja a csöet (ld. 4./c ábra). A negyedik fázisban a depresszió alatt léő cső magába szíja a folyadékot a tartályból, (ld. 4./d ábra), majd a folyamat elindul az első fázistól. A folyadékban léő belső súrlódás a jelenséget csillapítja, anélkül a folyamat nem állna le. D h 0 4. ábra C h _ 0 h D h _ 0 h h Vizsgáljuk meg részletesebben az első fázisból a hullámfront környékét (ld. 4. ábra). A jelenség elméletét Alliei olasz tudós dolgozta ki. Az 4. ábra bal oldalán a még zaartalanul "" sebességgel áramlik a íz, a jobb oldalon a íz sebessége hirtelen zérusra esik issza, a nyomás megnöekszik " p " értékkel. A íz kissé összenyomódik, és a csőfal kitágul A ízoszlop röidülése A zaartalan áramlásban álasszunk ki egy " h 0 " hosszúságú ízoszlopot. A nagyobb nyomású helyen a cső tágulása miatt, és az összenyomódás miatt a ízoszlop csak egy "h0 h " hosszat foglal el. Tételezzük fel, hogy a folyadék összenyomódás miatti "h " és a csőfal kitágulása miatti " h " röidülések egymástól függetlenül kiszámíthatók. A szilárdságtanból jól ismert Hooke-törény felhasználásáal a íz összenyomódását E nagyon egyszerűen adhatjuk meg: 77

178 p D= R F p F p h h 0 p E A rugalmas csőfal tágulása miatti ízoszlop röidülés legyen "h ". Igy a röidülés miatti térfogat a megnöekedett gyűrűkeresztmetszetben foglal helyet, agyis, D D D D h h 0 h. 4 4 Beszoroza a jobb oldalon és egyszerűsíte: D D D h D D h0 A zárójelekben a "D" mellett elhanyagolható a " D ", így a csőtágulás miatti folyadékoszlop relatí röidülése A nyomásból származó erőt és a feszültségből származó erőket felíra: p Ds t s Amiből a csőfalban ébredő többletfeszültség: p D s F Csőfalban ébredő feszültség 4. ábra h D 4. h0 D A csőfalban ébredő feszültséget a 4. ábra alapján adhatjuk meg. A cső egy "s" szélességű darabját izsgáljuk. A csöet hossztengelye mentén elága felírhatjuk. Írjuk fel az egyensúlyát: F F p t. (A kapott kifejezés ékony falú csöekre érényes és kazánformulának neezik.) Igy a csőfal és a ele arányos átmérő fajlagos megnyúlása, megint csak a Hooke-törényt alkalmaza megadható: D t p D 4.4 D E E cs Ezt behelyettesíte a 4. egyenletbe, megkapjuk a csőfal tágulása miatti relatí röidülést. h p h Ecs D A ízoszlop fajlagos röidülése, a íz összenyomódása és a csőfal tágulásának összege: h h h p p p h0 h0 E 4.6 E E r cs D Az "E r ", az úgyneezett "redukált" rugalmassági modulus, melynek értéke a fenti egyenletből: cs 4. 78

179 Rugalmassági modulus 4. táblázat Víz. 0 9 Pa Acél 0 Öntött as 0 Pa Pa E r E E D A gyakorlatban legtöbbszőr előforduló anyagok rugalmassági modulus értékei 4. táblázatban találhatók. cs A nyomásnöekedés kiszámítása x h 0 A 4./a ábrán a nyomáshullám "c" I sebességgel terjed jobbról balra. Ha együtt I D mozgunk a hullámmal, akkor a 4.4 ábrának megfelelően felehetünk egy ellenőrző felületet, c+ amin a jelenséget izsgála stacioner áramlást h _ c 0 h látunk. =0 Írjuk fel a kontinuitás tételét az ellenőrző felület 4.4 ábra bal és jobb oldali keresztmetszetére. Alkalmazzuk a 4. ábra méreteit. A baloldali keresztmetszeten "c+" sebességgel, "D" átmérőn " " sűrűséggel érkezik a íz. A jobb oldali keresztmetszeten pedig "c" sebességgel " D D " átmérőn és " " sűrűséggel táozik. c D 4 D D c 4 Az impulzustételt alkalmaza a 4.4 ábrába berajzolt ellenőrző felületre, amely közetlenül a csőfal mellett halad. D 4 c c D D c 4 D D D D D 4 p 4 c p 4.8 A nyomásból származó erők felírásakor csak a p 0 -hoz képesti túlnyomásból származó erőket ettük figyelembe. Ez nagyon sok feladat megoldásánál igen hasznosnak bizonyul. A jobb oldal első tagja a megnöekedett gyűrűfelületen ébredő nyomóerő. A bal oldal második tagjába helyettesítsük a tömegáramot a kontinuitásból, alamint a jobb oldalon égezzük el a műeleteket és egyszerűsítsünk, így 79

180 c D c c D c D p Végigoszta az átmérő négyzetéel és kifejeze a nyomásnöekedést, a köetkezőt kapjuk: p c 4.9 A folyadék áramlási sebessége több nagyságrenddel kisebb mint "c", a hullám terjedési sebessége, ezért a nyomásnöekedésre: p c 4.0 kifejezést szokták alkalmazni A hullámterjedés sebessége A 4.4 ábrán léő ellenőrző felületbe " t " idő alatt "c+" sebességgel "h 0 " hosszúságú folyadékoszlop lép be. Ugyanezen " t " idő alatt "c" sebességgel csak "h0 h " hosszúságú folyadékoszlop lép ki. Felíra a " t " időt mindkét oldalra kapjuk: h0 h0 h c c Fejezzük ki h h 0 értékét a fenti egyenletből: c h c 0 h h 0 h h c 0 Hasonlítsuk össze a kapott kifejezést a 4.6 egyenlettel: h p h 0 E r c h c c h A " p " helyére írjuk a 4.9 kifejezést ekkor a köetkezőt kapjuk: c c, amelyből kifejeze a sebesség "+" hullámsebesség értékét c E r E r 0 0 h h A hullámsebesség mellett általában elhanyagolható az áramlási sebesség, így a szokásos felírása a hullámterjedés sebességének c E r íz. Egy ízezetékrendszerben 00 m hosszú egyenes szakasz égén egy gyors zárásra alkalmas tolózárat építettek be. Mekkora nyomásnöekedés jön létre az öntöttasból készült ezetékben hirtelen záráskor. A ezeték átmérője m D 50mm, falastagsága 0mm. A íz áramlási sebessége.8. s 80 4.

181 Megoldás: Elsőként számítsuk ki a redukált rugalmassági modulust a 4.7 egyenletből, az adatokat a 4. táblázatból ettük: E E 9 r. 0 0 Pa E cs 0 D 50 E r.77 0 Látható, hogy az eredő rugalmassági modulus mind a cső, mind a íz rugalmassági modulusánál kisebb. A 4. egyenletből a hullámsebesség c E r íz és égül a nyomásnöekedés 4.0 egyenlet szerint: p c 0 Pa 9 m 7 s Pa.bar 5 A hirtelen záráskor fellépő nyomásnöekedés jelentős, hisz a ízezeték rendszerben léő kb. 0 bar alapnyomáshoz képest annak majdnem a duplája adódik még hozzá az alapnyomáshoz. Hirtelen zárásnak minősül a zárás, ha annak helyétől kiinduló hullám isszaérkezése előtt lezárjuk teljesen a szerelényt. Jelen esetben a hullám oda és isszaerődése: 00 t 0.4s c 7 Ha a tolózárat ennél az időnél röidebb idő alatt zárjuk le, akkor hirtelen zárásnak minősül, ennél lassúbb zárásnál pedig nem. A lassúbb záráskor a nyomásnöekedés mértéke kisebb a fent kiszámítottnál. A normál tolózárakat perces nagyságrendű idő alatt lehet csak lezárni. Viszont pl. a golyóscsapokkal a háztartási ízezetékrendszerben könnyen elő lehet állítani hirtelen zárast és nyitást. Hirtelen nyitáskor hasonló jelenség játszódik le a rendszerben, mint záráskor. A hirtelen zárás és nyitás az emberi érrendszerben minden szídobbanáskor beköetkezik. A szíből lüktetésszerűen kiáramló ér hoz létre hasonló lökéshullámokat. Az érfal rugalmassági modulusa több nagyságrenddel kisebb mint a izé, agy éré. Így az eredő rugalmassági modulus, és ezen keresztül a hullámsebesség és a nyomásnöekedés is sokkal kisebb, mint az előző példában. A hullámsebességet mindenki saját magán is megmérheti, például a nyaki és a bokán léő erőereken a pulzust egyszerre kitapinta, a bokán kb s-al később érzékeljük a dobbanást. Ebből köetkeztetni lehet, hogy az érrendszerben m 0 5 a hullám terjedési sebessége. s 4.5 Szárnyrács számítása Az áramlástechnikai gépek méretezésének alapja Zsukoszkij szárnyelmélete, ill. ennek egyik toábbi kiterjesztése, a szárnyrácsok elmélete. (Nyikolaj Jegoroics Zsukoszkij orosz tudós) A entilátorokban, agy turbinákban léő körrácsokat égtelen síkbeli rácsokra képezhetjük le. Az itt égzett számításokat alkalmazhatjuk a forgó rácsokban is. A 4.5 ábrán egy égtelen szárnyrács részletét látjuk. Az áramlás síkáramlásnak tekinthető. A "z" irányban egységnyi hosszú szárnyakat izsgálunk. 8

182 Adatok: m ; 40 ; 5 ; t 0.m ; s kg. m Kérdések: a./ Mekkora az egy lapátra ható R erő, mint ektor? b./ Bizonyítsa be, hogy az R! c./ Mekkora a lapátcirkuláció és hogyan értelmezhető t esetében? Megoldás: Az 4.5 ábrán berajzolt ellenőrző felületet alkalmazzuk a megoldáshoz. Alulról és felülről ugyanaz a "t" osztással eltolt áramonal határolja. A két áramonal mentén a nyomás és a sebesség azonos módon áltozik. Jobbról és balról egy-egy függőleges "t" magasságú onal zárja le a felületet.. Vezessük be a köetkező jelöléseket: x cos ; y sin ; x cos ; y sin x y R "x" irány: x "y" irányban: R y R x t x = x Szárnyrács 4.5 ábra t y + + y y x = x A kontinuitás tétel szerint: x t x t, tehát x x Írjuk fel a Bernoulli-egyenletet az egyik áramonal két égpontja között: p p Fejezzük ki a nyomáskülönbséget és alkalmazzuk a sebességekre a Pitagorasz-tételt: p p x y x y y y p p y y Írjuk fel az impulzustételt a megadott koordinátarendszerben: 0 p p t R x t y x t y R y ahol a " x t " kifejezi a be- és kiáramló tömegáramot egyaránt. A két áramonalon ébredő, nyomásból származó erők kiejtik egymást. (Bár nyomatékot létrehoznak, de ezzel most nem foglalkozunk. Repülőgépeknél a nyomatékoknak is fontos szerepe an a repülőgép stabilitása szempontjából.) Rendezzük a két erőkomponensre az előző kifejezést és helyettesítsük be az egyéb egyenletekből a nyomást, így a két erőkomponens a köetkező: y y R x y y t 8

183 Vezessünk be a köetkező jelölést: R y y y t x y y x A, a és a ektorok számtani átlaga. Ennek fizikai jelentése is an: messze a rács előtt és után a sebességnek ez az iránya és nagysága. A t a berajzolt zárt görbén a óramutató járásáal azonos, pozití értelmű y y cirkuláció, a két áramonalon ugyanazt a sebességmezőt kell integrálni ellentétes előjellel, ezért kiesnek az integrálás során. (A cirkuláció, mint ismeretes, a sebesség zárt görbén ett integrálja ds. Eddig a pozití körüljárást az óramutató járásáal ellentétesen ettük, Zsukoszkij nyomán tértünk át, és csak itt, az ellentétes előjelre.) Behelyettesíte az erők kifejezésébe: y y R x R. Tehát: y x y y R Ez a Zsukoszkij-tétel, amely egyedülálló szárnyakra is érényes. 8 x a./ Az adott feladatban elsőként az " " sebességet számítjuk ki a kontinuitás felhasználásáal: 0 cos 0 cos 40 m 5.5 cos 0 cos 5 s A kilépő sebesség kisebb, mint a belépő, az áramlás lassul, ezért az ilyen típusú szárnyrácsot lassító rácsnak neezzük. A sebesség csökkenéséel a nyomás nöekszik, ami előnyös pl. bizonyos típusú entilátorok agy sziattyúk járókerekének kialakításakor. A megadott adatokkal: 0 0 t sin sin t 0 sin sin 5 0. y y m.57 s 0 0 y y 0 0 sin sin 5 x 0 cos 40 És égül az erő nagysága: R N Az erő iránya: R cos R y x 0 cos m 7.44 s 4.4

184 Az "y" tengelytől balra felfelé mutat " " szögben az "y" tengelyhez iszonyíta. b./ Az erő és a megfúási sebesség ektorok merőlegesek, ha a skalár szorzatuk zérus. Írjuk fel a két ektort és a skalár szorzatukat: y y y y R i x j és x i j y y y y R x x 0 c./ A t kifejezésben, ha t, akkor, de a szorzatuk állandó y y y y marad. Hasonlóan a potenciálos örényhez, ha a középpontot körüleő körön izsgáljuk a cirkulációt, akkor: r r a befoglaló körök sugarától függetlenül a cirkuláció állandó marad. A 4.4 tétel olyan esetekben is érényes, ha a " " cirkulációt nem szárny, hanem bármi más (pl. forgó henger, megpörgetett ping-pong, agy teniszlabda) hozza létre. Érdemes megjegyezni, hogy egy szárny körül kialakuló cirkulációt a szárny felületén ébredő súrlódás hozza létre. A szárnytól táolabb a súrlódásnak a hatása csökken, ezért használhattuk ott a Bernoulli-egyenletet. 4.6 Légcsaar sugárelmélete A légcsaar repülőgép, helikopter, agy egyéb jármű hajtására szolgál. A szükséges tolóerőt a leegőből, annak gyorsítása réén szolgáltatja. A szabad légtérben légcsaarral hajtott repülőgép halad " " sebességgel. A légcsaar a haladás irányáal ellentétes irányban toább gyorsítja a szembejöő leegőt, ezáltal szolgáltat onóerőt a repülő számára. A 4.6 ábra a légcsaaron áthaladó leegőt határoló áramcsöet mutatja a repülőgéphez kötött rendszerben. Határozzuk meg a légcsaarra ható erő nagyságát! Úgy tekinthetjük, hogy a légcsaar a rajta átáramló leegő nyomását ugrásszerűen megnöeli. A légcsaarhoz hozzááramló és a légcsaart elhagyó A leegő jó közelítéssel súrlódásmentesnek tekinthető l áramlással folyamatosan gyorsul. Az "" és "" pontok között közetlenül nem Légcsaar alkalmazhatjuk a Bernoulli-egyenletet, mert szilárd 4.6 ábra testen, a légcsaaron kellene áthaladnunk, ezért alkalmazzuk a Bernoulli-egyenletet a 4.7 ábrán látható "-e" és "u-" szakaszokon: p0 pe e pu p0 u 84

185 p 0 p e e pu u Nyomás áltozása a légcsaar közelében 4.7 ábra Az "e" és "u" pontokban az áramlási sebesség közelítőleg azonos és megegyezik a légcsaaron átáramló leegő sebességéel. Összeada a fenti két egyenletet a köetkezőt kapjuk: pu pe 4.5 Amelyből a onóerő meghatározható: F A pu pe A 4.6 A légcsaaron áthaladó leegő átlagsebességének meghatározásához az impulzustételt kell alkalmazni. Válasszuk az ellenőrző felületet egy olyan nagyméretű hengernek, amely mentén a nyomás már állandónak tekinthető. Mozogjon az ellenőrző felület a repülőgép sebességéel, így az áramlás stacionárius. A légcsaarra ható erő a ki- és belépő impulzusáram ektorok eredőjéből számítható: I I I I R A be p p A gy = A-A s A s R A l gy be s gy p Az ábrán megrajzoltuk annak az áramcsőnek a meridián metszetét amelyben a légcsaaron áthaladó leegő áramlik. Ebben az áramcsőben a leegő " " sebességről " " sebességre gyorsul fel, és " A s " sugárkeresztmetszetben hagyja el az ellenőrző felületet. A kontinuitás szerint az ellenőrző felületen be- és kiáramló tömegáramok összege zérus, ezért a paláston beáramló tömeg a köetkező összefüggéssel számítható: q A mp s 4.8 ábra A paláston áthaladó áramonalak igen kis szögben metszik az ellenőrző felületet, ezért az impulzusáram számításakor a helyi sebesség tengellyel párhuzamos összeteője jól közelíthető a " " sebességgel. Így Ip ppda pda q mp. A p A forgásszimmetria miatt a ektorok az "x" tengellyel párhuzamosak: I A, I A A I s be s gy A, Ip As A p A As As R R As A As s Tehát a onóerő negatí koordinátairányba mutat: F R Az áramcsőre alkalmazható kontinuitás szerint: A s A F A s A 4.7 Az impulzustételből és a korábban felírt Bernoulli-egyenletből kapott égeredményeket egyenlőé tée: 85

186 F A Ebből a légcsaaron átáramló leegő sebessége:, A A agyis a légcsaaron aló átáramlás átlagsebessége egyenlő a légcsaarsugárban messze a légcsaar előtt és messze a légcsaar mögött uralkodó sebességek számtani közepéel. A leezetésben a légcsaart idealizáltuk, a sebességeket mindenütt a tengellyel párhuzamosnak ettük és figyelmem kíül hagytuk, hogy a légcsaar meg is forgatja a leegősugarat, alamint azt sem ettük figyelembe, hogy a légsugár a környező leegőből magáal ragad bizonyos mennyiségű leegőt, ami a sebesség csökkenéséel és a mozgatott légmennyiség nöekedéséel jár. (Ez utóbbi azért nem okoz hibát, mert az impulzus nem áltozik. Belső erő a rendszer impulzusát nem áltoztatja meg.) A repülőgépre szerelt légcsaar " " sebességgel hasznos teljesítményt szolgáltat. Ph F 4.40 Az ideális légcsaar hajtásához szükséges teljesítményt megkaphatjuk akkor, ha a légcsaar által a leegőnek átadott teljesítményt meghatározzuk. Például oly módon, mint ahogy az Euler-turbinaegyenletnél tettük (.8 egyenlet): P q p A p p 4.4 öid ö Az össznyomás áltozása megegyezik a légcsaaron létrejött statikus nyomás nöekedéséel, hisz a sebességet azonosnak ettük az "e" és "u" pontokban. A A p u p e kifejezés éppen a légcsaarra ható onóerőel egyenlő, így P öid F Az ideális légcsaar úgyneezett propulziós hatásfoka a köetkezőt jelenti: Ph F pr Pšid F Kérdések: u A propulziós hatásfok ideális, eszteségmentes esetben adja meg a hajtás hatásfokát. m m kg Adatok: A m ; 90 ; 50 ;. s s m a./ Számítsuk ki az "A l " felületű légcsaarra ható onóerőt (agy hajócsaar esetén tolóerőt), ha a " " sebességgel mozgó repülőgéphez rögzített koordináta-rendszerben a légcsaart elhagyó leegő " " sebességre gyorsul fel! b./ Határozzuk meg a légcsaar ideális propulziós hatásfokát! e Megoldás: a./ A 4.6 egyenletből számíthatjuk ki a onóerőt F A N 86

187 b./ A 4.4 egyenletből számíthatjuk ki a propulziós hatásfokot: 4.7 Az ideális szélgenerátor pr P P h šid A szélmotor segítségéel a szél mozgási energiáját lehet átalakítani számunkra hasznos, energiáá, pl. illamos energiáá. A szél, mint megújuló energiaforrás, a Föld bizonyos helyein jól, és már ma is gazdaságosan felhasználható energiaforrás. Hollandiában például már észázadok óta szélmalmokat használnak íz sziattyúzására és egyéb célokra. A fényképen látható szélerőmű tengelye kb m magasságú és a szélkerék átmérője is eléri az 50 m-t. A néleges teljesítménye 450 kw. (Magyarországon folynak a szélenergia gazdaságos hasznosításának izsgálatai.) A szélkerék megfordított munkafolyamatú légcsaar. A szélgenerátor a leegő lelassítása árán munkát szolgáltat. A 4.9 ábrán egy szélgenerátort látunk, lapátokkal, generátorral és a szélirányba állító szerkezettel. Az ideális szélgenerátor elméletében a légcsaarnál leezetett összefüggéseket alkalmazhatjuk, csak figyelembe kell ennünk, hogy a szélkerék előtti sebesség nagyobb mint a szélkerék utáni. A szélgenerátoron áthaladó légsugarat a 4.0 ábrán látjuk. Határozzuk meg az ideális szélgenerátor által a szélből kiehető hasznos teljesítményt! A szélgenerátor felületén átáramló leegő tömegáramát a qm Asz kifejezés adja, ahol a "" sebesség a szélgenerátor síkjában érényes átlagos axiális sebesség. Kulcsi szélgenerátor ábra Ha figyelembe esszük, hogy ez a sebesség a szélgenerátor előtti és a szélgenerátor utáni sebesség számtani közepeként számítható, akkor a térfogatáram q m A sz 87

188 Az ideális szélgenerátor a leegő által leadott energiát teljes egészében hasznosítja. Jelen esetben az átalakított energia kiszámításához elegendő mozgási energia csökkenéséel számolni, mert a nyomás az "" és "" pontokban azonos, így az ideális teljesítmény: Pid qm Asz Adott " " szélsebességnél kérdéses, hogy mennyire kell lelassítanunk a szelet, hogy a legtöbb energiát nyerjük? A sz Az előző gondolatmenetet folytata, ha a szél által eleszített mozgási energiát hasznosítja a kerék, akkor a kerék mögött meg kell állítani a szelet. Csakhogy ebben az esetben a leegő a szélgenerátor mögül nem fog eltáozni. (El kell onnan "lapátolni".) Tehát a kilépő sugárban is kell mozgási energiát hagyni, a leegő eltáozására. Vizsgáljuk meg a fenti kifejezést a " " sebességet áltoztata, mikor kapunk maximális teljesítményt adott " " sebességnél. Tehát keressük a teljesítmény deriáltjának zérushelyét. A Pid Asz sz. 4 4 A zárójelben léő kifejezés zérushelyén an szélsőérték. Átrendeze a zárójelben léő kifejezést és nulláal egyenlőé tée: amelyből Szélgenerátor 4.0 ábra 4 4 Számunkra csak a pozití gyöknek an fizikai jelentése. Még meg kell izsgálnunk, hogy maximuma an-e a kifejezésnek, agy minimuma. Ezt a második deriált alapján tudjuk eldönteni, ha az adott értéknél a második deriált negatí, akkor alóban maximuma an a teljesítménynek. 0, 6 A 0 P id Asz sz 4 4 Az adott esetben ez fennáll. Nézzük ezek után, hogy mekkora a maximális teljesítmény, amikor a szélkerék az előtte uralkodó szél sebességét -ra fékezi le. Visszahelyettesíte a kilépő sebesség helyére a belépő sebesség -át, a maximális ideális teljesítmény: 88

189 P max A sz 6 A 7 A kifejezés szerint, az adott keresztmetszeten átáramló szélteljesítménynek ideális esetben is 6 csak a részét tudjuk hasznosítani. Ez a kifejezés a Betz-féle formula. A alóságos 7 szélgenerátor a különböző eszteségek miatt ennek a teljesítménynek mintegy 65-80% szolgáltatja. Példaként álasszunk egy kiskertben szokásosan felállított kb. m átmérőjű m szélkereket 0 szélsebességnél s 6 6. Pmax Asz 0 7W teljesítményt szolgáltat ideális esetben. Ez a kifejezés a Betz-féle formula. Megjegyzés: Magyarországon bizonyos területek szóbajöhetnek a szélenergia gazdaságos hasznosítására. A legtöbb esetben a szélsebesség néhány m/s értékben mérhető a szélkerék átlagos elhelyezésének magasságában, amely legalább 8-5 m kell legyen, hogy az épületek, fák zaaró hatását kizárjuk. A fényképen látható szélerőmű jóal nagyobb kb m magasságú és a szélkerék átmérője is eléri az 50 m-t. Egy ekkora szélerőműnek a fenti példa szerinti maximális ideális teljesítménye 698 kw. A néleges teljesítmény ennek 65-80%-a, figyelembe ée az áramlási és elektromos eszteségeket is, így kb. 450 kw néleges teljesítményt kapunk. sz 89

190 5. Súrlódásos folyadékok 5. Viszkozitás Az eddigi tárgyalásban elhanyagoltuk a folyadék belsejében ébredő súrlódást. Ez nagymértékben egyszerűsítette a mozgás matematikai leírását. A súrlódás elhanyagolásáal kapott eredmények a alóság jó közelítését adják kis belső súrlódású folyadékok esetében, és ha a sebesség az áramlás irányában nöekszik (konfúzoros áramlás). Nem hanyagolható el a súrlódás a nagy belső súrlódású folyadékokban, mint pl. olaj áramlása csapágyban. Kis belső súrlódású folyadékokban is megáltoztatja a súrlódás az áramlást olyankor, amikor a sebesség az áramlás irányában halada csökken (diffúzoros áramlás). Szilárd fal közelében minden súrlódásos folyadékban alapetően megáltozik az áramlás jellege. Az ideális folyadék közetlenül a fal mellett is éges nagyságú sebességgel rendelkezik, tehát csak a falra merőleges sebesség zérus. A iszkózus folyadék pedig hozzátapad a falhoz, így a szilárd falhoz iszonyíta sebessége mindig zérus. A faltól táolabb éri el a külső áramlás sebességét. Az áramlásnak ez a rétege a határréteg, amely nagy jelentőséggel bír az áramlás kialakításában. határréteg Ideális folyadék 5. ábra Valóságos folyadék A folyadéksúrlódás definíciója Newtontól származik. Vizsgáljunk két sík lap között áramló folyadékot. Az alsó sík lap áll, a felső pedig "U" sebességgel párhuzamosan halad az alsóal (ld. 5. ábra ). A folyadék hozzátapad mind az alsó, mind a felső laphoz, így a felül "U" sebességgel alul pedig zérus sebességgel áramlik a közeg. A lapok között, azokkal párhuzamos áramlás alakul ki, így csak "x" irányú sebességgel rendelkezik a folyadék. A két lap között a sebesség lineárisan áltozik. A sík lap mozgatásához bizonyos erőt kell kifejteni, ennek az erőnek az egységnyi felületre jutó mértéke a csúsztatófeszültség. d y =U x U Két sík lap közötti áramlás 5. ábra A sebesség áltozása és a csúsztatófeszültség közötti kapcsolatot Newton fedezte fel, amely kimondja, hogy d x. 5. dy A " " egy, a folyadék tulajdonságaitól függő arányossági tényező, a dinamikai iszkozitás, amelynek mértékegységét az egyenletből történő kifejezése után az alábbi módon adhatjuk meg: 90

191 dx dy m / s m kg ms. s Az áramlástani törényekben gyakran a használjuk a kinematikai iszkozitást is, ami a dinamikai iszkozitás és a sűrűség hányadosa: 5. kgm m kg m m [ ] m s kg s A iszkozitás néhány gyakran előforduló egyéb egységét, alamint a íz és a leegő dinamikai és kinematikai iszkozitását adtuk meg a 5. táblázatban. A dinamikai iszkozitás a hőmérséklettől függ, a nyomástól aló függése csekély. Csak a gázoknál tapasztalható kismértékű nyomástól aló függés. Különböző anyagok dinamikai iszkozitását a hőmérséklet függényében az. függelékben ábrázoltuk. Azokat a folyadékokat, amelyek a Newton-féle iszkozitási törény szerint iselkednek, (5. egyenlet) newtoni folyadékoknak neezzük. 5. táblázat Kinematikai és dinamikai iszkozitás egységei és értékei Dinamikai iszkozitás Kinematikai iszkozitás SI N s, m Pa s kg, agy m ms s cgs egység poise = dyn s = g stokes = cm cm cm s s centipoise=poise/00 centistokes = stokes/00 Víz 4 0 C 00 5 kg 0 6 m. m s s Leegő 0 0 C; bar kg m. m s s A Newtoni folyadékok a mérnöki gyakorlatban legtöbbször előforduló közegek: pl. a íz, a leegő, olajok, gázok. Számos olyan folyadék an azonban, amelyeknél a csúsztatófeszültség nem egyenesen arányos a deformáció sebességgel. Ezeket a folyadékokat nemnewtoni folyadékoknak neezzük. A nemnewtoni közegekkel a reológia tudománya foglalkozik.. 9

192 4 Látszólagos iszkozitás 4 sebesség gradiens d dy x Newtoni közeg Pszeudoplasztikus közeg sebesség gradiens Dilatáló közeg 4 Bingham közeg d dy x A 5.. ábra bal oldali diagramján néhány közeg reológiai görbéjét láthatjuk, amelyek a folyadékban keletkező " " csúsztatófeszültség és a d x, deformáció sebesség kapcsolatát dy mutatják. A jobboldali diagramon pedig a látszólagos iszkozitást rajzoltuk fel a különböző anyagokra. Ezek az anyagok, mind időtől független reológiai görbéel rendelkeznek. Az "" jelű görbe egy newtoni közegre onatkozik, ennek iszkozitása állandó. A "" és "" jelű görbék az ún. hatányfüggény közegekre onatkoznak, amelyeknél a csúsztatófeszültség és a deformáció sebesség közötti kapcsolatot egy hatányfüggény írja le: dx k. dx n esetén a "" pszeudoplasztikus közegről beszélünk, mert a görbe jellege hasonlít a "4" jelű közegéhez, amit plasztikus, agy Bingham-közegnek neeznek. Ezek a közegek általában hosszú láncú molekulákat tartalmaznak. E molekulák "elrendeződéséig" a deformáció sebesség adott nöekedéséhez nagy csúsztatófeszültség-áltozás tartozik, később kisebb. Ilyen anyagok például a érplazma, polietilén és ízzel keert agyag. Az n hatánykiteőel rendelkező "" jelű, ún. dilatáló közegekre jellemző, hogy kis sebességű deformációjához iszonylag kis csúsztatófeszültség tartozik, nöekő deformációsebességhez rohamosan nöekő csúsztatófeszültség párosul. Ilyen közegek pl. az ásányi porokat tartalmazó zagyok. Kis sebességnél a részecskék között léő folyadék az egymáson elmozduló szilárd részecskék között kenőanyagként szolgál. Nagyobb sebességnél a szilárd részecskék egyre gyakrabban egymáshoz ütköze nagyobb belső súrlódást produkálnak. A "4" jelű a Bingham-közeg, agy pszeudoplasztikus folyadékra, amelynél egy meghatározott " h " határ-csúsztató feszültség elérése után kezdenek egymáson elcsúszni a közeg rétegei. Ameddig a csúsztatófeszültség nem éri el a határfeszültséget, addig az anyag rugalmas, deformálható testként iselkedik, deformálódik, de a feszültség megszűnése után isszanyeri eredeti alakját. A határfeszültség felett az anyag megfolyik, a feszültség megszűnése után nem nyeri issza eredeti alakját. (Tulajdonképpen az acél is a folyáshatáron túl ilyen anyagként iselkedik.) d x h, dy, ahol " Különbözõ közegek reológiai görbéi 5. ábra " a közeg sajátosságaitól függő állandó. A plasztikus folyadékokra általában alamilyen térhálós szerkezet a jellemző, amelynek h hatására beköetkező összeomlása n 9

193 9 után kezd áramlani a közeg. Plasztikus közeg pl. az olajfesték, fogkrém, aszfalt, csokoládé, aj és zsírok. Bizonyos anyagoknál a látszólagos iszkozitás egyéb tényezőktől is függ, például az időtől, agy a megelőző deformáció sebességétől. Ide tartoznak az "emlékező", dilatáló stb. anyagok. A nylon, néhány gél, több polimer tartozik az anyagoknak ebbe a csoportjába. 5. Súrlódásos közeg mozgásegyenlete A folyadékmozgás leírásában eddig nem ettük figyelembe a belső súrlódás hatását. A mozgásegyenletekben: az Euler-egyenletben (ld..5 és.6 egyenletek) és az impulzustételben a körülhatárolt folyadékrészre ható erők közül csak a nyomásból származó erőket, mint a felületen ható erőt, és a súlyerőt, mint térfogati erőt ettük figyelembe. A súrlódás figyelembe étele a mozgásegyenletben bonyolult leezetés során lehetséges, amelyet jelen jegyzetben nem részletezünk. Newtoni közeget és állandó sűrűséget feltételeze a mozgásegyenletre a Naier-Stokes egyenletet kapjuk: (Claude-Louis Naier francia és George Gabriel Stokes egymástól függetlenül ezettek le.) z z z z z z z y z x z y y y y y z y y y x y x x x x x z x y x x x z y x z p g z y x t z y x y p g z y x t z y x x p g z y x t A négy ismeretlen ( z y x,, és p) meghatározásához szükséges negyedik egyenlet a folytonosság tétele, amely áll. esetén a 0 z y x z y x, alakban írható fel. A fenti bonyolult egyenletrendszert különböző egyszerűsített esetekben analitikusan is megoldották. A siklócsapágyak elméletében több csapágy típusra sikerült analitikus, agy félig analitikus megoldásokat találni stacionárius esetben. A határréteg elméletben egy egyszerűsített egyenletrendszert hoztak létre a Naier-Stokes-egyenletből, amely határréteg-egyenlet néen ismert az áramlástanban. Az utóbbi időben instacioner, turbulens, háromdimenziós áramlásokra is előállították a megoldását. Vektoros írásmódban a Naier-Stokes-egyenlet: gradp g rot grad t dt d Látható, hogy a Naier-Stokes-egyenlet a jobb oldal utolsó tagjában, a tagban különbözik a súrlódásmentes esetre leezetett Euler-egyenlettől (ld..6 egyenlet)

194 5. Naier-Stokes-egyenlet megoldása két sík lap között A 5. ábrán látható álló és mozgó sík lap között kialakuló áramlást, sebességmegoszlást határozzuk meg a N-S-egyenletből. Természetesen a megoldását már előre tudjuk, hisz az ábrába berajzolt lineáris sebességprofil az eredmény. A Naier-Stokes-egyenletek és a kontinuitás egyenletből a köetkező egyszerűsítéseket tehetjük a feladatban megadott esetre: stacioner áramlást izsgálunk legyen x u 0 ; alamint azok összes deriáltja is zérus y z alamint minden áltozó "z" és "x" irányú áltozása is legyen zérus, így síkáramlást feltételezünk, és minden "x" helyen azonos nyomást és sebességet feltételezünk. a nehézségi erőtér hatását elhanyagolhatjuk; gx gy gz 0 A fenti egyszerűsítések után a köetkezőket kapjuk (miel minden csak "y"-tól függ, ezért egyenes "d" használható a parciális deriált helyett): d u dy dp dy A második egyenlet szerint az áramonalakra merőlegesen a nyomás nem áltozik. Az első egyenletet " "-el oszta és kétszer integrála a köetkezőt kapjuk: u C y C Két peremfeltétel megadása szükséges az egyértelmű megoldáshoz, amik a tapadás törényéből y 0-nál u 0 y d -nél u U. Ezeket behelyettesíte kapjuk a sebesség áltozását egy álló és egy mozgó sík lap között: U u y d 5. Megoldás hengeres csőben A csőezetékekben eddig mindig csak átlagsebességekkel számoltunk, akár a kontinuitást akár a Bernoulli-egyenletet használtuk. A alóságos áramlásokban a csőezetékekben a R r p z p+ p r max Lamináris sebességprofil csõben 5.4 ábra z 94 r sebesség a cső sugara mentén áltozik. Hosszú egyenes csöekben a sebességprofil állandósul és a tengely mentén nem áltozik, hengerszimmetrikus és a cső tengelye körül nem forog, ezt kialakult csőáramlásnak neezzük. A köetkező fejezetben tárgyaljuk a lamináris és turbulens áramlásokat. A most köetkező példában lamináris áramlást

195 95 tételezzünk fel! A N-S-egyenletet fel kell írnunk hengerkoordinátás alakban (r,,z görbeonalú koordinátarendszerben). A henger-koordinátarendszerben a teljesen általános Naier-Stokesegyenlet és a kontinuitás a köetkezőképpen néz ki: r r z r r z p g z r r t r r z r r r r p r g r z r r t r r z r r r r r p g r z r r t z z z z z z z z z r z r r z r r r r r r r r z r r r r 0 r z r r r z r Az egyenletrendszer igen bonyolult, de röid néhány gondolat után barátságosabb formára egyszerűsíthető. Egyszerűsítő feltétel, hogy a 0 r, alamint hogy " " irányban nem áltozik semmi, azaz hengerszimmetrikus az áramlás, toábbá a nehézségi erőt hanyagoljuk el g g g r z 0. Ezek után már sokkal keesebb egyenlet, és azokban sokkal keesebb tag marad: r p 0 r r z r z p z z z z z z A felső egyenlet annyi információt ad számunkra, hogy a nyomás egy keresztmetszet mentén állandó. A második egyenletet toább egyszerűsíthetjük, ha tudjuk, hogy a sebesség a cső tengelye mentén nem áltozik, tehát csak a sugártól függő tagok maradnak az egyenletben. A nyomás pedig csak a "z" koordinátától függ, toábbá csak egy sebesség an, így a "z" index elhagyható. Ezek után az egyenlet: dr d r dr d dz dp 0 A nyomás csökkenése a cső hossza mentén állandó. Az egyenletet át lehet alakítani a köetkező alakra: dr dr d r d dz dp r Kétszer integrála az egyenletet, adódik: C dz dp r dr d A "C " konstans értéke nulla, mert a tengelyen r=0-nál a sebesség áltozása nulla kell legyen

196 r dp C 4 dz Ha r = R, azaz a csőfalon a sebesség 0, a folyadék odatapad a cső falához. Ezt a peremfeltételt behelyettesíte megkapjuk az integrálási állandót, majd ""-t kifejeze a dp R r 4 dz függényt kapjuk. A sebességmegoszlás másodfokú forgási paraboloid szerint áltozik, a nyomás "z" szerinti áltozására a köetkező gondolatmenet után isszatérünk. A sebességfüggény kiszámításához más gondolatmenet útján is eljuthatunk. Vegyünk fel egy, a cső tengelyéel koncentrikus "r" sugarú, " z" hosszúságú hengert, és írjuk fel az erre ható erők egyensúlyát (ld. 5.4 ábra). A folyadékhenger nem gyorsul, ezért a rá ható erőknek ki kell egyensúlyozniuk egymást. A hengerre az alap- és fedőlapján léő nyomások különbségéből származó erő és a paláston keletkező, csúsztatófeszültségből származó erő hat. r p r p p r 0 Behelyettesítés és egyszerűsítés után z r p adódik, amelyből a csúsztatófeszültség megoszlása: p r 5.4 z A Newton féle iszkozitási törény 5. egyenlet ebben az esetben egyszerűen átírható hengerszimmetrikus esetre (a másik két koordináta irányában nem ilyen egyszerűen az átírás): d 5.5 dz Egyenlőé tée a 5.4 és 5.5 egyenleteket a p d r x z dy adódik, amely a 5. egyenletnek teljes mértékben megfelel. A differenciálegyenletet a áltozók szétálasztásáal oldjuk meg: p d rdr z p r 4 z Ha r R, azaz a csőfalon a sebesség 0. Ezt a peremfeltételt behelyettesíte megkapjuk az integrálási állandót, majd ""-t kifejeze a p R r 4 z 5.8 Látható, hogy akkor egyezik meg az áramlás iránya a "z" tengely pozití irányításáal, ha p 0, azaz a nyomás nöekő "z" koordináták irányában csökken. (Áramlás irányában z csökkenő nyomásból származó erő mozgatja a közeget a súrlódó erőkkel szemben.) Vezessük be a " p " súrlódási eszteség fogalmát, ami itt a súrlódás köetkeztében beköetkező C

197 nyomáscsökkenés, amelyet általában pozití mennyiségként kezelnek, ezért írhatjuk, hogy: dp p p', ahol " " az a csőhossz, amelyen a p' nyomáscsökkenés beköetkezik. dz z Ezzel a 5.4 és a 5.8 kifejezések a köetkező alakban írhatók: p' r, 5.9 z p' 4 R r A 5.4 ábrán felrajzoltuk a csúsztatófeszültség és a sebesség sugár menti áltozását. Látható, hogy a " " negatí és abszolútértéke a sugár függényében nő. A maximális sebesség r 0 -nál adódik: R max max sebességmegoszlás. Így írható: p' R, 8 ill. a nyomáseszteséget kifejeze: 8 p'. A csúsztatófeszültség a 5.9 összefüggésből a falnál p' R 4. Másodfokú paraboloid alakú p' R fal értéket esz fel

198 6. Viszkózus folyadékok csőáramlása Ebben a fejezetben, a mérnöki gyakorlat számára igen fontos problémáal, a csőezetékekben kialakuló különböző típusú áramlásokkal foglalkozunk. Csőezeték, csőezeték-rendszer majdnem minden mérnöki alkotásban előfordul. A csöekben lejátszódó áramlási jelenségeket nagyon sokan izsgálták, elméleti és gyakorlati megközelítésben. A csőben áramló folyadék bizonyos feltételek mellett nyugodt, réteges, agy lamináris áramlást mutat, más feltételek esetén pedig az áramlás térben és időben ingadozó kaotikus áramlást mutat, idegen szóal turbulens az áramlás. 6.. Lamináris és turbulens áramlás A múlt század égén égezte alapető kísérleteit (Osborn Reynolds 84-9) a csőezetékben kialakuló áramlások sajátosságainak feltárására. A 6. ábrán egy nagyméretű tartályból induló kifolyócső látható. A kiáramló íz sebessége a csőben szabályozható. Az üegből készült kifolyócső tengelyébe egy másik, ékonyabb csöön keresztül megfestett folyadékot, pl. piros tintát ezetnek. A főáramlás kis sebességénél, a festett folyadékszál a cső tengelyében egy határozott, gyakorlatilag állandó keresztmetszetben áramlik, nem keeredik a főáramlással. A főáramlás jól elkülönülő rétegekben áramlik. Ezt a típusú áramlást lamináris agy réteges áramlásnak neezzük. A sebességektor a cső bármely pontján időben nem áltozik, Tinta áramlása Főáramlás a./ Lamináris áramlás Tinta áramlása Főáramlás b./ Turbulens áramlás 6.. ábra az áramlás stacionárius. A 6./a ábra lamináris áramlást mutat. Nöele a főáramlás sebességét, a festett folyadékszál időnkénti megzaarását tapasztalhatjuk, a festett folyadékszál elkezd hullámzó mozgást égezni, de a főáramlástól még jól elkülöníthető áramcsöet alkot. Toább nöele a főáramlás sebességét a kígyózó színes áramcső szétszakadozik és összekeeredik a főáramlással. Bizonyos táolságban már teljesen összekeeredik a két folyadék és a főáramlás egyenletesen pirossá álik (6./b ábra). Lamináris áramlás Átmenet áramlás Teljesen kialakult turbulencia a b c 6. ábra 98

199 A főáramlás egy pontjában izsgála a sebesség időbeli áltozását, a köetkezőket figyelhetjük meg: A lamináris áramlásban a sebesség időben nem áltozik 6./a ábra. Amikor a tintaszál hullámzó mozgást égez, akkor a főáramlás egy kiálasztott pontjában a sebesség időnként megáltozik, de utána isszatér a stacioner állapothoz 6./b ábra. Amint a sebesség olyan nagy a főáramlásban, hogy a tinta már az egész keresztmetszetben elkeeredik, akkor a főáramlás egy pontjában a sebesség teljesen sztohasztikusan áltozik. Semmiféle periodikusság nem fedezhető fel az időbeli áltozásban. Az áramlás instacionáriussá álik, ezt neezzük teljes, agy kialakult turbulenciának 6./c ábra. A sebességet izsgála a turbulens áramlásban nemcsak azt tapasztaljuk, hogy a sebesség időben, hanem térben is ingadozik, ami annyit jelent, hogy egy-egy pontban a cső tengelyére merőleges komponens is létrejön. Ez a merőleges komponens keeri a tintát a főáramlásba. Reynolds a kísérletei során arra az eredményre jutott, hogy a turbulens és lamináris áramlás létrejötte alapetően egy dimenziótlan számtól függ d Re 6., amelyet Reynolds-számnak neezünk, ahol "" a csőben mérhető átlagsebesség, "d" a cső átmérője, "" a közeg sűrűsége és "" a dinamikai iszkozitás. Ha a cső, ill. ezáltal az áramlás rezgéseknek, zaarásnak an kitée, akkor a lamináristurbulens átalakulás Re 00 körül megy égbe. Ha kellően zaarmentessé tesszük az áramlást és a cső belső fala tökéletesen sima, akkor, ennél lényegesen nagyobb Reynoldsszám értékek mellett is lamináris áramlást érhetünk el. Ez az állapot azonban nagyon instabil és a legkisebb megzaarás hatására azonnal turbulensbe csap át az áramlás. ' = +' p p' p=p+p' p Az ipari gyakorlatban legtöbb esetben turbulens áramlással találkozhatunk. Az ingadozás mértéke általában nem nagy, néhány százalék csupán, ezért a legtöbbször a sebesség, agy a nyomás időbeli átlaga jól jellemzi az áramlást. Az átlagértékek: t t A sebesség és a nyomás időbeli áltozása turbulens áramlásban 6. ábra T dt T 99 p T p dt A sebesség pillanatnyi értékét egy adott időben az átlagérték és az eltérés összegeként adhatjuk meg, tehát. T 6. 6.

200 ' p p p' Természetesen a sebesség és a nyomás ingadozására fennáll, hogy az időbeli átlaguk zérus. 0 ' dt 0 p' dt 6.4 T T T A "T" integrálási idő az ingadozás átlagos periódusidejéhez képest elegendően nagy kell, hogy legyen. A turbulencia-fok jellemzésére az ingadozás négyzetének időbeli átlagából képzett négyzetgyök értékét iszonyítjuk az átlagsebességhez. T Tu ' A turbulencia-fok tipikus értéke 0.-0%, turbulens mellékmozgások frekenciái Hz nagyságúak nagysebességű áramlásban. 6. Darcy-formula Az előző fejezetben izsgáltuk a Naier-Stokes-egyenlet megoldását kör keresztmetszetű csöekben. Arra a megállapításra jutottunk, hogy az áramlás irányában halada a nyomás csökken. Ez a nyomáscsökkenés hajtja előre a közeget a csőfalon ébredő súrlódás ellenében. A nyomáscsökkenést más oldalról is megközelíthetjük. A 6.4 ábrán látható ízszintes egyenes csőszakaszra alkalmazzuk a Bernoulli-egyenletet az "" és "" pontok d között. Az egyenlet az eddigi formájában nyilán nem lesz érényes, mert azonos sebesség, azonos magasság esetén, 6.4 ábra eszteségmentes áramlásban azonos nyomásnak is kellene lennie, ehelyett a "" pontban a nyomás kisebb mint az "" pontban. Az egyenlőség helyreállítása érdekében az áramlás irányába eső pontba, az egyenlet jobb oldalára a disszipációal arányos tagot kell figyelembe ennünk, amit p' -el jelölünk, és súrlódási eszteségnek neezzük: p U p U p' A 6.6 összefüggést eszteséges Bernoulli-egyenletnek híjuk. (Bár Bernoullinak a eszteséges taghoz semmi köze nem olt.). A p' nyomáseszteséget egyenes csöekre a p' 6.7 d kifejezésből számoljuk, ahol a "" dimenziótlan mennyiség és csősúrlódási tényezőnek neezzük. A 6.7 egyenlet Darcy-Weisbach-egyenletként onult be a szakirodalomba. (Julius Weisbach német professzor 850-ben publikálta az első modernnek számító hidrodinamika könyben.) Az előző fejezetben izsgáltuk a Naier-Stokes-egyenlet megoldásakor a csőbeni

201 áramlást. A második megoldásban az áramlásból kiragadott körhenger egyensúlyát izsgála a nyomásesésre a csúsztatófeszültségre kaptuk a 8. összefüggést. 8 p' 6.8 R A cső sugara helyett használjuk az átmérőt a kifejezésben, ekkor p' egyenletet kapjuk. Tegyük egyenlőé ezt a kifejezést a 6.7 egyenlettel, ekkor kapjuk: 6.9 d d. Rendezzük a kifejezést ""-ra: 64 d 64 Re Eredményül tehát azt kaptuk, hogy lamináris áramlásban a " " csősúrlódási tényező a Reynolds-számmal fordítottan arányosan áltozik. A lamináris-turbulens átmenet Re 00 érték körül megy égbe. Ezért a 6.0 összefüggés a Re 00 tartományra érényes. Hogyan függ a " " csősúrlódási tényező a Reynolds-számtól kör keresztmetszetű csöek és turbulens áramlás esetén? 6.. Turbulens megoldás A lamináris megoldás azt sugallja, hogy turbulens esetben is határozzuk meg az átlagsebesség és a nyomáseszteség közötti kapcsolatot a turbulens sebességprofilból, és megkapjuk a "" csősúrlódási tényezőt. A helyzet sajnos nem ilyen egyszerű, mert turbulens esetben a Naier- Stokes-egyenlet a turbulens mellékmozgások miatt instacionárius megoldást köetel, másrészt a cső érdessége is erősen befolyásolja a csősúrlódási tényezőt. Több elmélet és félempirikus elmélet született a csősúrlódási tényező meghatározására. Elsőként ismerkedjünk meg a fali érdesség és a lamináris alapréteg fogalmáal. A csőfal a gyártás és a korrózió köetkeztében nem sima, hanem rendelkezik egy érdes felülettel. Az k d átlagos érdesség és a belső csőátmérő iszonyát képeze megkapjuk a relatí érdességet, illete Érdes csőfal 6.5 ábra hasonlítani, ekkor k r. A kis értékeknél relatíe nagyobb az érdesség. d. 6.0 d ennek reciprokát szíesebben használják a k értékét, agy a cső sugaráal is össze szokták Turbulens áramlásban és sima (hidraulikailag) cső esetén, is létezik a fal közelében egy úgyneezett iszkózus, agy lamináris alapréteg. Ennek a astagságát jelöljük y -el. Az alapréteg astagsága és a csőátmérő iszonya a köetkező kifejezéssel határozható meg: y d Re, 0

202 amelyet a határréteg-elméletből lehet leezetni. Látható, hogy egyre nagyobb Reynoldsszámoknál a iszkózus alapréteg astagsága egyre kisebb. 6.. Nikuradse-diagram A csősúrlódási tényező áltozására Nikuradse, Prandtl tanítánya égzett kísérleteket (Ludwig Prandtl német fizikus). A fali érdességet úgy állította elő, hogy a ragasztóal bekent belső csőfalra homogén szemcseeloszlású homokot szórt. Így elért egy közel állandó érdességű belső felületet. A különböző Reynolds-számoknál egy-egy állandó relatí érdességnél mért eredményeit egy diagramban foglalta össze, amit a 6.6 ábrán láthatunk. Lamináris áramlás esetén az érdességnek nincsen hatása a csősúrlódási tényezőre. Turbulens áramlásban (Re>00) iszont az érdesség hatása jelentős: az r áll. görbék k nöekő Reynolds-számnál egy határ Reynolds-szám értékig azonos görbén futnak, ennél nagyobb Reynolds-számnál elálnak a görbétől és ízszintesbe mennek át. Ebben a Reynoldsszám tartományban " " csak az r függénye, ezt teljes érdesség tartományának neezik. Azt k a görbét, amelyből a különböző érdességű csöekhez tartozó görbék kiágaznak, az összefüggés írja le. turb lg Re 0. 8 turb r/k = log 0 Re Re Re Nikuradse-diagram 6.6 ábra Amíg az érdes cső "" görbéje együtt fut a sima cső görbéjéel 6. összefüggéssel leírt görbén találjuk, addig az érdességnek nincs hatása, ekkor hidraulikailag sima csőről beszélünk. A hidraulikailag sima csöek csősúrlódási tényezőjét a Reynolds-szám 4 Re 0

203 ismeretében a 6. összefüggésből, agy azt a 4000 Re 0 5 tartományban jól közelítő Blasius-képlettel határozhatjuk meg: 0.6 turb 6. 4 Re Az érdesség hatása a csősúrlódási tényezőre a köetkezőkkel magyarázató: Ha a 6. összefüggésből kiszámítható iszkózus alapréteg astagsága elfedi a csőfal érdességét, akkor az érdességnek nincs hatása a csősúrlódási tényezőre, iszont ha a iszkózus alapréteget az érdesség átdöfi, akkor a belső áramlásra már hatni tud. Nöekő Reynolds-számmal az érdesség egyre nagyobb része kiemelkedik iszkózus fali rétegből, majd egy adott Re-szám felett a iszkózus fali réteg simító szerepe teljesen eltűnik, ekkor jutunk a teljes érdesség tartományába, ahol a görbék már ízszintes egyenesek. 6.. A Moody-diagram A Nikuradse-diagram egyenletes homokszemcsékkel érdesített csöek felhasználásáal készült. Az iparban használt csöek érdességét nem homogén eloszlású kiemelkedések okozzák. A gyártáskor keletkező érdesség általában az anyag és a technológia függénye. A mérések azt mutatták, hogy általános érdesség esetén minden cső, kb Re 4000 értékig a sima csőnek megfelelően iselkedik. E fölött iszont hirtelen felnöekszik a csősúrlódási tényezője, majd fokozatosan csökkene eléri a teljes érdességre jellemző értékét. 99-ben C.F. Coolebrook ajánlotta a köetkező formulát, amely a sima és az érdes cső kifejezéseit egyesíti..5.0 log d.7 Re k Az implicit kifejezés nehézségeinek elkerülésére L. F. Moody 944-ben diagramot készített a 0. Teljesen érdes tartomány d k Re Lamináris áramlás Re Blasius formula Sima cső Moody-diagram 6.7 ábra 0 Re

204 képlet alapján, amit azóta Moody-diagramnak neeznek, és a 6.7 ábrán látható. Moody különböző mérések alapján összeállított egy táblázatot is, amelyben a szokásos csőanyagok érdességét felsorolta, ezt a 6. táblázatban találjuk. A Moody-diagram használata helyett több közelítő kifejezést is ajánlottak a turbulens tartomány leírására, amelyekből explicit ki lehet számítani adott Re-szám és relatí érdesség esetén a "" csősúrlódási tényezőt. Például Haaland ajánlotta a köetkező összefüggést:.8 log Re k d A szerző szerint a diagram és a képlet eltérése a turbulens tartományban kisebb, mint %. 6. táblázat Anyagok átlagos érdessége Anyag Szegecselt acélcső k [mm] Beton Fa csatorna Öntöttas Horganyzott acél Aszfaltozott öntöttas Acél, kissé rozsdás Szokányos acél Húzott acél Üeg Sima 6. Csőáramlási probléma három típusa A Moody-diagrammal, ill. az abban léő közelítő képletekkel, majdnem minden csőáramlási problémát meg lehet oldani, amelyben csak egyenes cső található. Sok feladatnál iterációt kell alkalmazni, a diagram, agy a hozzá kapcsolódó képletek használatakor, mert a "" kiszámításához ismerni kell a relatí érdességet és a Re-számot is. (A toábbiakban a csőezetékben kialakuló átlagsebességet csak egyszerűen ""-el fogjuk jelölni.) Háromféle alapfeladat lehetséges a csőeszteség számításánál: I. Adott a cső átmérője "d", hossza "l", és az átlagsebesség "", agy a térfogatáram "q ", alamint a közeg sűrűsége "ρ" és iszkozitása "ν", és ki kell számítania a nyomásesést "Δp"-t. II. Adott a cső átmérője "d", hossza "l", és a nyomáseszteség Δp', alamint a közeg sűrűsége "ρ" és iszkozitása "ν", és ki kell számítania a térfogatáramot "q "-t. III. Adott a cső hossza "l", a nyomáseszteség Δp', a térfogatáram "q ", alamint a közeg sűrűsége "ρ" és iszkozitása "ν", és ki kell számítania a cső átmérőjét, "d"-t. 6.. I. feladat: Számítsuk ki a nyomásesést! 04

205 Számítsuk ki a nyomáseszteséget egy aszfaltozott öntöttas ezetékben, amelyben íz áramlik. Adatok: 60m ; d 50mm ; m 0.5 s Kérdés: p' nyomásesés Megoldás: Elsőként a íz sűrűségét és dinamikai iszkozitását kell táblázatból kg meghatároznunk. A sűrűsége 0. A iszkozitást a 8. táblázatból ehetjük: m 6 m. 0. s A köetkező lépésben a Re-számot számítjuk ki a 6. egyenlet szerint: d d Re Az érdesség értékét 6. táblázatból ée, pl. az adatokból: d k k 0.mm értéknek, majd a relatí érdesség 50 Keressük meg a Moody-diagramban a d k 50 -es onalat és köessük, ameddig el nem metsszük a Re függőlegest. Kiolashatjuk, hogy 0. 08, agy a diagram helyett használhatjuk a 6.5 kifejezést is, miszerint:.. k 6.9 d log.8 log , Re amelyből De még akkor sem köetünk el nagy hibát, ha a Blasius-formulából a sima csőnek megfelelő képletből, számítjuk a csősúrlódási eszteséget Re Végül a 6.7 összefüggésből kiszámítjuk a nyomásesést: p Pa d 0.5 Moody rámutatott, hogy a számítás nem tartalmaz nagyobb hibát, mint kb 0 százalékot. 6.. II. feladat: Keressük meg az átlagsebességet! 05

206 Adatok: Miel a sebesség (agy a térfogatáram) megjelenik mind a ""-ban, mind a Re - számban, iterációal tudjuk csak a feladatot megoldani. Szerencsére az iteráció nagyon gyors, mert a "" lassan áltozik a Re-számmal. Számítsuk ki az átlagsebességet az aszfaltozott öntöttas ezetékben, amely izet szállít! 60m ; d 50mm ; 6 m.0 ; p' 5000 Pa s Kérdés: térfogatáram q A 6. táblázatból kikeressük az adott csőanyaghoz tartozó érdességet és meghatározzuk a d relatí érdességet, ami megfelel az előző probléma adatainak, így 50, de most nem k tudjuk a Re-szám értékét, miel az átlagsebesség ismeretlen. Így a -ra fel kell ennünk egy kiinduló értéket. Kezdjünk pl. = , agy a teljes érdességnek megfelelő csősúrlódási tényezőel, ami jelen esetben = 0.0. A 6.7 egyenletet felíra köetkező: p' o d o p' d amiből ki tudjuk rendezni az átlagsebességet. Ez a táblázat Természetesen a "" bent marad a kifejezésben. p' d Re d Az iteráció lépéseit a 6. táblázatban adtuk meg, a Moody-diagramot felhasznáa. A számítás nagyon gyorsan konergál. Természetesen, ha más kezdő "" értéket eszünk fel, a konergencia akkor is gyors lesz és a égeredmény pedig nem áltozik, csak az iterációs lépések száma nő, agy csökken. 6.. III. feladat: Számítsuk ki a csőátmérőt! Most a csőátmérő a kérdés. Miel az átmérőtől függ mind a "", mind a Reszám, mind pedig a d k relatí érdesség, ezért megint csak iterációal tudjuk a feladatot megoldani. Szerencsére az iteráció ez esetben is nagyon gyors. Fejezzük ki a sebességet a térfogatáram és az átmérő segítségéel a 4 q kontinuitásból,, majd tegyük ezt a p' egyenletbe. A köetkezőt d d kapjuk: 06

207 4q p' d C d 5 d. Ezt köetően fejezzük ki az átmérőt, amely természetesen a csősúrlódási tényező függénye is: d 5 4 q p' Ha tudnánk a "" értékét, akkor az átmérőt is ki tudnánk számítani. A számítást a köetkező feladatban adjuk meg. Számítsuk ki az aszfaltozott acélcső ezeték átmérőjét, amely izet szállít! Adatok: 60m ; Kérdés: átmérő d 6 m.0 ; p' 000 Pa, s 5 q = Nem ismerjük sem a relatí érdességet, d -t, sem a Re-számot. Miel az átmérőtől függ mind k a ", mind a Re-szám, mind pedig a relatí érdesség, ezért megint csak iterációal tudjuk megoldani a feladatot. feladat megoldásához egy szabányos, kereskedelemben kapható csőátmérőt, pl. a 6.. táblázatból. A csőátmérő kiálasztásakor, ha pl. ízezeték rendszer terezünk, akkor a ízsebesség ne haladja meg az - m/s sebességet. A álasztott csőátmérő az 4 in (colos) d=0, mm. Ezután a probléma az I. csőproblémához hasonlít. Elsőként kiszámítjuk az áramlási sebességet. 6. táblázat Gyártott csöek q 5,70 m,99 d / 4 0,0 / 4 s Láthatóan az első álasztott csőátmérő kicsinek bizonyult, mert túl nagy a sebesség. Választunk egy nagyobbat, a 6 in (colos) d=54, mm. q 5,70 m,76 d / 4 0,54 / 4 s Itt már megfelelő a sebesség, így számolhatunk toább, köetkező a Reszám. d,760,54000 Re 08764, 0 - m s Néleges átmérő Tényleges belső átmérő [in] [mm] , Az érdesség acélcső esetén legyen d 0,54 k 0,04 mm. Az érdességi szám 85. k 0,

208 Csősúrlódási tényező kiálasztása a Moody-diagramból 6.8 ábra A megadott értékekkel kiszámítjuk a nyomáseszteséget p' sz,76 0,07 05Pa d 0,54 Ha a kiszámított nyomáseszteség nagyobb, mint a megadott nyomáseszteség, akkor egy nagyobb csőátmérőt kell álasztanunk, és újra kell számolni a feladatot! Jelen megoldásban ez fennáll, így újabb, nagyobb átmérőt kell álasztanunk a jó megoldáshoz. Ezt a megoldást az olasóra bízom. Ha kisebb a kiszámított nyomáseszteség, akkor megfelelő a számításunk. De ha sokkal kisebb a számított, mint a megadott, akkor kisebb csőátmérőt kell álasztanunk, mert ekkor feleslegesen nagy lesz a cső, és annak az ára! A 6. táblázatban a kapható csőátmérő sorozatot láthatjuk. A 6.7 összefüggésből tudjuk, hogy a nyomáseszteség fordíta arányos az átmérő ötödik hatányáal. Így ha a csőátmérő 0%-al csökken, akkor a nyomáseszteség kb 50%-al megnő. Tehát a számításból kapott átmérőnél mindenképp nagyobb csőátmérőt kell álasztani. Áramlástani szempontból minél nagyobb átmérő álasztása célszerű, azonban minél nagyobb a csőátmérő, annál drágább a ezeték. Tehát a számítottnál csak egy lépcsőel nagyobb átmérőt álasszunk. A jó álasztás a 8 in néleges, 0.7 mm tényleges belső átmérőjű. Az egész ilágon tendencia, az SI (Nemzetközi Mértékrendszer) ellenére, hogy a csőezetékek néleges átmérőjét inch-ben (colban, col.54cm ) adják meg. 6.4 Nem körkeresztmetszetű ezetékek áramlási esztesége Gyakran használnak nem kör keresztmetszetű csőezetékeket, pl. az épületgépészeti szerkezetekben. A kialakult csőáramlásban a eszteség számítása sokkal komplikáltabb feladat a nem körkeresztmetszetű csöek esetében, mint olt az a lamináris kör 08

209 keresztmetszetű csöekben. Lamináris áramlásban használható a Naier-Stokes-egyenlet, de csak háromdimenziós áltozatában. Turbulens esetben a határréteg elméletből lehet itt is kiindulni. A gyakorlat számára azonban egy sokkal egyszerűbb és jól használható fogalom, az egyenértékű átmérő (agy hidraulikus sugár) beezetése teszi lehetőé az egyszerű eszteségszámítást. p l f f p p' b K Nem körkeresztmetszetű ezeték 6.9 ábra p' A f K, Vizsgáljuk a 6.9 ábrán látható téglalap keresztmetszetű ezeték egy "" hosszúságú darabját. A falon ébredő, a csúsztatófeszültségből származó erő és a nyomáscsökkenésből adódó erő egyensúlyban annak, hiszen a kiszemelt folyadékrész nem gyorsul. Írjuk fel a két erő egyensúlyát. ahol "K" az úgyneezett nedesített kerület (lehet olyan áramlás is, hogy a folyadék nem tölti ki teljesen a keresztmetszetet, pl nyílt felszínű csatornákban), "A" pedig a folyadékkal kitöltött keresztmetszet. Ebből kifejeze a nyomáseszteséget: p' f A K Vegyünk gondolatban egy körkeresztmetszetű csöet, amelyben ugyanekkora nyomásesés jön létre, ugyanilyen hosszon és ugyanakkora fali csúsztatófeszültség esetén. Keressük ennek a körnek az átmérőjét, amelyet egyenértékű átmérőnek neezünk. e d p' 4 Fejezzük ki itt is a nyomásesést: f d p' f d e 4 e 09 A 6.0 és a 6. egyenletek összeetéséből adódik, hogy: 4 A d e K A a A csősúrlódási eszteséget nem kör keresztmetszetű csöek esetén is a 6.7 összefüggéssel számoljuk, azzal a különbséggel, hogy a "d" csőátmérő helyébe a "d e " egyenértékű átmérő kerül: k p' d, ahol d Re, e d és Re e 6.4 e Fenti összefüggésekben " " a alóságos csőkeresztmetszettel számolt átlagsebesség. A Reynolds-szám ismeretében a " "csősúrlódási tényezőt a "Re" értékétől és az érdességtől függően a Moody-diagramból határozhatjuk meg. a Az egyenértékű átmérő csak ahol a b oldaliszonyú téglalap esetén és turbulens b áramlásra ad elfogadható pontosságú eredményt.

210 Pontosabb eredményt kapunk, ha a cső téglalap keresztmetszetű és az oldaliszonyra fennáll: a d 0.5, akkor a " " számításához a Reynolds-szám értékét a Re e b összefüggéssel számolt Reynolds-számmal határozzuk meg a szokott módon, ahol: a a 4 b b 6.5 Csőidomok és szerelények eszteségének számítása Vezetékrendszerbe természetesen nem csak egyenes csöeket, hanem íeket, szelepeket, szűkítőket, elágazásokat is beépítenek. Vegyük sorra a legfontosabb eszteségforrásokat. A nyomáseszteséget általában egy eszteségtényezőel szokták megadni, amely a nyomáseszteség és egy dinamikus nyomás hányadosa, legtöbb esetben a szerelény előtt fellépő dinamikus nyomás hányadosa, tehát p' 6.5. Borda-Carnot átmenetet Tekintsük a 6.0 ábrán látható hirtelen keresztmetszet nöekedést, amely Borda-Carnot átmenet néen onult be az áramlástan irodalmába. (Jean Charles Borda francia fizikus, a Francia akadémia tagja. Részt ett a méteres mértékrendszer kialakításában. Nikolas Leonard Sadi Carnot francia fizikus. A termodinamika második főtételének megalkotója. Egymástól függetlenül foglalkoztak az adott problémáal.) A berajzolt áramonalak a alóságos áramláshoz közelálló áramképet mutatják be. Legyen az áramlás stacionárius, az áramló közeg sűrűsége pedig állandó. Az "" és a "" keresztmetszetek között létrejön egy áramlási eszteség, így a Bernoulli-egyenlet eszteséges tag nélkül nem használható. Az impulzustétel iszont a alóságot igen jól megközelítő eredményt ad. Azt a felteést alkalmaza, hogy az ellenőrző felület bal oldalán mindenütt p a Borda-Carnot átmenet nyomás. 6.0 ábra Felhasznála a kontinuitást: A A; p p al. p p A A A 6.5 Tehát a "" helyen nagyobb a nyomás. Mégis áramlás irányába nyomáseszteség tapasztalható, mert a Bernoulli-egyenlet szerint: p pid A kettő különbsége a Borda-Carnot eszteség: p' BC p p id. p p al 6.6 A eszteségtényezőt a belépő dinamikus nyomással történő osztás után kapjuk, így: 0

211 BC p' BC Ha felhasználjuk a kontinuitást A A, és kör keresztmetszetű csöek csatlakozását feltételezzük, akkor BC A A D D kifejezést kapjuk. A 6. ábrán az átmérőiszony függényében ábrázoltuk a BC eszteségtényezőt. A Borda-Carnot eszteség egyik speciális 0.8 esete, amikor a "" keresztmetszet égtelen nagy, azaz egy csőezeték égtelen nagy 0.6 térhez csatlakozik. Ezt a eszteséget kilépési 0.4 eszteségnek neezzük. 0. A 6.6 kifejezésből adódik, hogy: 0 p' ki Átmérőiszony D /D A eszteségtényezője pedig láthatóan "". Borda-Carnot átmenet eszteségtényezője 6. ábra 6.5. Belépési eszteség Viszonylag nagy tartályból egy kisebb keresztmetszetű csőezetékbe lép a közeg, akkor a belépésnél kialakul egy leálás. Közetlen a belépés után az áramlás a cső keresztmetszeténél egy kisebb keresztmetszeten áramlik át (ld. 6. ábra) ezt a keresztmetszetet kontrahált keresztmetszetnek, agy szóal "ena contracta"-nak neezzük (A'). A közeg ugyanis nem tudja köetni a szilárd fal hirtelen irányáltozását. A belépés után összeszűkül az A' keresztmetszetre, ami kisebb, mint a csőkeresztmetszete A cs. A legszűkebb keresztmetszeten átáramló folyadék áramlása rendeződik egy bizonyos hossz megtétele után, és kitölti a cső teljes keresztmetszetét, de közben a Borda-Carnot eszteséghez hasonló eszteséget szened. Minél jobban belóg a cső a tartályba ("b" minél nagyobb) és minél ékonyabb a cső fala (t), annál nagyobb a kontrakció mértéke, és így a eszteség. Láthatóan a eszteségtényező legnagyobb értéke "" lehet. Ezt az esetet Borda-féle kifolyásnak neezzük. 6.7

212 A eszteségtényező alakulását a különböző paraméterek függényében a 6. ábrán láthatjuk. Veszteségtényező be b D > t b cs D A' A cs Belépési eszteség-tényező 6. ábra A eszteségtényező az eddigiektől eltérően nem az idomdarab előtti sebességre, hanem a csőben táol a belépéstől érényes sebességre onatkozik, tehát: p' be cs 6.5. Diffúzor Az áramlás irányában bőülő csőtoldatokat neezzük diffúzoroknak. A Borda-Carnot átmenetnél kisebb eszteséggel lehet az áramlási sebességet csökkenteni diffúzor segítségéel. A diffúzorban a folyadékrészecskéknek nyomásnöekedés irányába kell áramlaniuk. Az ehhez szükséges munkát a mozgási energiájuk csökkenése fedezi. A Bernoulli-egyenlet szerint ez a csökkenés éppen egyenlő a nyomás nöekedéséel. A alóságban a mozgási energia egy része a súrlódással szemben égzett munkára fordítódik. A súrlódás különösen a csőfal mentén érezteti hatását. Az itt haladó részecskék mozgási energiája - főleg hirtelen bőülő diffúzornál - keés annak a munkának a fedezésére, amelyet a cső közepén áramló közeg nyomásnöekedése igényelne. Ezért a fal mellett áramló részecskék megállnak, sőt issza is fordulnak. Ekkor a fal mellett erősen gomolygó réteg keletkezik. A beljebb áramló rétegek pedig nem köetik toább a csőfal táguló irányát, attól elálnak. Ezt a jelenséget neezik leálásnak, az általa okozott nyomáseszteséget leálási eszteségnek. Különböző áramképek diffúzorban 6. ábra

213 A 6. bal oldali ábráján egy teljesen hatástalan diffúzor, a középsőn az egyik oldalán leált, a jobbszélsőn pedig egy jól működő állapotot láthatunk. A leálás megszüntetésének számtalan módja ismert, a legegyszerűbb a diffúzor nyílásszögét csökkenteni, körszimmetrikus esetben az optimális szög kb. 8º. Az ennél kisebb szögű diffúzor nagyon hosszú és ezért a súrlódási eszteség felemészti a isszanyerhető nyomást. A leálás megszüntetésének toábbi módjai: a fal mellett nagy sebességű folyadékot juttatunk az áramlásba, agy az "elfáradt" fali réteget elszíják, ez utóbbit alkalmazták az ábrán látható esetben. A leálás és a súrlódás hatására a nyomás nem nöekszik olyan mértékben a diffúzorban, mint ahogy azt a Bernoulli-egyenlet szerint tehetné. Tehát a nyomás nöekszik ugyan a diffúzorban, de nem annyira, mint amennyire ideális esetben nőhetne. Hogyan határozhatjuk meg egy diffúzor jóságát? Definiálunk egy diffúzor hatásfokot, amely A megalósult nyomásnöekedést p p al., A D D iszonyítja a Bernoulli-egyenletből ideális keresztmetszetek között, kapjuk, hogy: Diffúzor 6.4 ábra esetben létrejöhető nyomásnöekedéshez, p. Ezt a hányadost diffúzor p id. hatásfoknak neezzük. Felíra a Bernoulli-egyenletet az "" és a "" p p id. Így tehát a diffúzor hatásfok: p pal. diff. 6.8 A másik jellemző, amely a diffúzort minősíti a diffúzor eszteségtényezője, amely a köetkező kifejezéssel adható meg: p' diff p pid. p pal. diff. 6.9 A diffúzorban létrejöő nyomáseszteséget iszonyítják a belépő dinamikus nyomáshoz. Természetesen a hatásfok és a eszteségtényező között szoros kapcsolat áll fenn, ami a köetkező: diff diff. diff 6.0 A diff. diff. A A kifejezés második részében alkalmaztuk a kontinuitást, mely szerint A A Láthatóan 5-0 -nál an a legjobb hatásfok, azután egy bizonyos szög felett a hatásfok már független a nyílásszögtől, csak a keresztmetszet-iszonytól függ. Az itt kapott állandó hatásfok megegyezik a Borda-Carnot-átmenet diffúzor-hatásfokáal. Láthatóan pl. a.5

214 keresztmetszet-iszonynál ez a hatásfok kb. 55%, amely nem is számít rossznak egy diffúzor esetén. Kis keresztmetszet nöekedésnél nem nagyon érdemes diffúzort készíteni, mert a hirtelen keresztmetszet nöekedés is megfelelő diffúzorként működik. A diffúzoros áramlással sok A/ A A kutatás foglalkozik, mert az diff négyzet 4 Diffúzor hatásfoka Forrás: Varga J.: Hidraulikus és pneumatikus gépek 6.5 ábra A Re D = 05 [0] áramlástechnikai gépek többségében nagy jelentősége an az áramlás irányában lassuló áramlásoknak. Például a. fejezetben ismertetett radiális entilátorban is diffúzoros áramlás alakul ki a járókerékben és a csigaházban is. A 6.5 ábrán a nyílásszög és a keresztmetszet függényében megadtuk a diffúzor hatásfokának a áltozását Szelepek, csapok, tolózárak A szelepek, tolózárak, csappantyúk esztesége is nagyrészt a Borda-Carnot eszteségre ezethető issza. Ezek elmozduló elemei leszűkítik az áramlási keresztmetszetet, ezáltal hirtelen keresztmetszet nöekedés jön létre a leszűkült keresztmetszet után. A szelepek, tolózárak áramlási eszteségét is sz eszteségtényezőel jellemezzük, amely a p' sz eszteség és alamely jellemző sebességgel, általában a szerelény előtti sebességgel számolt dinamikus nyomás hányadosa. p' sz sz 6. Iránytöréses szelep Tolózár 6.6 ábra 6.7 ábra 4

215 A 6.5 és 6. ábrák különböző típusú szerelényeket mutatnak. A eszteségtényező nagymértékben függ a gyártmánytól, és a szerelény elhasználódásától. A eszteségtényező átlagos értékeit a 6.4 táblázatban adtuk meg, de ettől, gyártmánytól függően, nagymértékű eltérések lehetnek. Sarokszelep Pillangószelep Visszacsapó szelep Golyós isszacsapó szelep 6.8 ábra 6.9 ábra 6.0 ábra 6. ábra A táblázatban szerepel az egyenértékű csőhossz fogalma. Az egyenes csöeknél az kifejezés felfogható egy eszteségtényezőnek is. A gondolatmenet fordíta is igaz: egy eszteségtényezőre, ""-ra is meg lehet adni, hogy az milyen hosszú egyenes csőnek felelne meg. Így e d d 6. amelyből az egyenértékű csőhossz, agy a csőátmérőhöz iszonyított relatí csőhossz megadható. Problémát csupán az okoz, hogy ha a relatí csőhosszból akarjuk a eszteségtényezőt meghatározni, akkor úgy tűnik, mintha szelep eszteségtényezője függne annak a csőnek a csősúrlódási tényezőjétől, amelybe beépítik a szelepet. Ez nyilán nem igaz így. Típus eszteség-tényező egyenértékű csőhossz e d Iránytöréses szelep teljesen Sarokszelep teljesen nyita.9 45 Tolózár teljesen nyita 0.6 /4 nyita / nyita. 60 /4 nyita Visszacsapó szelep.7 5 Golyós isszacsapó szelep. 50 Pillangószelep telj. nyita 0. 5 Szelepek ellenállás-tényezője és egyenértékű csőhossza 6.4 táblázat A táblázatban is feltételeztünk egy átlagos 0. 0 csősúrlódási tényezőt és az egyenértékű csőhossz erre onatkozik. A tapasztalat szerint adott szerelényhez, adott típusú csőezetéket 5

216 csatlakoztatnak, így a "" értéke elég szűk határok között áltozhat, tehát az egyenértékű csőhossz beezetése ilyen feltételek mellett megfelelő közelítés Könyökök, íek A csöekben áramló közegek irányáltozásainál, a csőíekben, könyökökben jelentős áramlási eszteségek keletkezhetnek, amelyeket ugyancsak " " eszteségtényezőel jellemeznek. A eszteségek okai között a fali csúsztatófeszültség általában alárendelt szerepet játszik. Nagyobb jelentősége an a szekunder áramlások és leálások miatti eszteségeknek. Az íek, könyökök eszteségét csökkenteni lehet az átmenetek lekerekítéséel ill. az "r/d" relatí görbület nöeléséel, agy terelőlapátok alkalmazásáal, amelyekkel nagyobb relatí görbületű rész-íeket ill. rész-könyököket hozhatunk létre. A 6. ábrán előre gyártott íeket és könyököket láthatunk. Ezeket menetes és karimás kiitelben e D r D belső átmérő Könyök 6. ábra Egyenértékű relatí csőhossz Csőkönyökök 6. ábra szokták gyártani a szabányosított egyenes csöekhez. De nemcsak előre gyártott íeket alkalmazhatunk, hanem a csőezeték szerelésekor, a helyszínen is készíthetünk csőíeket. A 6.4 ábrán egy 90 -os könyök egyenértékű csőhosszát tüntettük fel a relatí görbültség (r/d) függényében. Az egyenértékű csőhosszban benne an az irányáltoztatás miatti eszteség, plusz a cső hossza mentén kialakuló súrlódási eszteség. Látható, hogy a eszteségnek minimuma an kb..5- r/d értéknél. Az ábrában feltüntettük az íel azonos hosszúságú egyenes cső hosszát is. Nagyon hosszú íeknél a két függény közelít egymáshoz. Relatie görbület r/d 6.4 ábra Légtechnikai berendezések Az előző alfejezetben főként a ízezeték rendszerekben alkalmazott szerelényeket láthattunk. A teljesség igénye nélkül néhány légtechnikai berendezést is ázolunk. 6

217 A légszelepek zsaluk, iszonylag közismertek, hisz ezek a szellőzőrendszerek terembe csatlakozó elemei, amelyeket jól lehet látni a szellőztetett helyiség falán, mennyezetén. A szellőzés technikában alkalmaznak főként négyszögletes ezetékeket a helykihasználás és az egyszerűbb gyártás és szerelés érdekében. A 6.5 ábrán egy leegőszűrőt láthatunk (félig szétszerelt állapotban). A "V" alakban elhelyezett szűrőbetéteken keresztül áramlik a leegő. Az ilyen elrendezésnek fő előnye, hogy a szűrőszöeten átáramló leegő sebessége kicsi a iszonylag nagy felület miatt, és így a szűrő eredő légellenállása sokkal kisebb, mintha a keresztmetszetet egyetlen sík szűrőel látták olna el. A szűrő légellenállását meg lehetne adni egy ""-tényezőel (a görbéből kiszámítható, az ellenőrzést az olasóra bízzuk hasznos gyakorlatként, kg. közegsűrűség mellett.), de, hogy a felhasználó dolgát megkönnyítse a gyártó, m megadja a csőkeresztmetszetre onatkozó átlagsebesség függényében a légellenállást. A diagram egyben kijelöli azt a sebességtartományt is, amelyben célszerű használni a berendezést. Légtechnikában 0 m légsebesség fölé nem szoktak menni. Egy másik gyakran s alkalmazott elem a légfűtő berendezés. A 6.6 ábrán látható. A hőcserélőt 80 C/ 60 C ízzel fűtik. (Az első szám a bejöő, a második a kimenő íz hőmérsékletét jelenti.) A leegőoldali és a ízoldali ellenállást is megadja a katalógus, az ábrán csak a leegőoldali légellenállást tüntettük fel a WHR 00, WHR 5, WHR 60 típusokra. A betű jelzés utáni szám a csatlakozó csőátmérőt jelenti mm-ben. A katalógus itt nem a sebesség, hanem a leegő kg térfogatáramának függényében adja meg a nyomásesést,., leegő sűrűségre. m (Természetesen itt is számolható eszteségtényező, bár itt a leegő sűrűsége a hőcserélőn történő átáramláskor, a felmelegítés miatt jelentősen áltozhat, így a eszteségtényező számításánál félreezető lehet.) 00 p Pa =. kg/ m m/s 6.5 ábra A fentiekben áttekintettünk néhány fontosabb eszteségforrást. Egyéb elemek (pl. csőelágazások, zsaluk szűkítők stb.) eszteségtényezőit, agy közetlen a nyomáseszteséget szakkönyekből, katalógusokból, gyártmányismertetőkből lehet kienni. 7

218 A " " eszteségtényezők és a " " csősúrlódási tényező számolt, agy katalógusból, kiett értékei a alóságos alkalmazásoknál csak közelítően helyesek, hiszen a képletek, ill. mért értékek nem eszik figyelembe a súrlódási eszteségforrások egymásra hatását. Egyenes csőbe aló beáramlásnál pl. a kialakult csőáramlás csak a belépéstől 5-0d táolságban köetkezik be, addig a eszteség az áramlás átrendeződése miatt kicsit nagyobb, mint kialakult csőáramlásban. Ugyancsak nem közömbös egy könyök eszteségtényezőjének értéke szempontjából, hogy előtte egyenes cső, agy egy másik könyök helyezkedik-e el. Ez utóbbi esetben az is jelentősen befolyásolhatja a második csőí " " eszteségtényezőjének értékét, hogy a két í "U", "S" agy térben elcsaart helyzetű-e. Egy rendszerben a eszteségszámítást biztonsági faktorral kell elégezni, ill. alkalmazni p [Pa] WHR 00 =. kg/m WHR 5 WHR Légfűtő egység és a leegő oldali ellenállás-görbéje 6.6 ábra 600 q m /h 8

219 7. Csőezeték rendszerek számítása A 6. fejezetben a csőáramlás három tipikus esetét tárgyaltuk egyenes csőre korlátoza. A három alapfeladatot ki lehet terjeszteni olyan csőezeték rendszerekre, ahol az egyenes csöek mellett szerelények, csőidomok elágazások is előfordulnak a rendszerben. 7. Olajzó ezeték Az ábrán ázolt kenő berendezésben " " iszkozitású olaj áramlik, stacioner áramlással. p 0 be adatok: m; néleges csőátmérő; NA "; H.5m ; be 4. ; 4 m 0 s l d iránytöréses szelep teljesen nyita Olajozó ezeték 0. ábra Kérdések: a./ Számítsuk ki az olaj áramlási sebességét! A számítás során a cső egyenesnek tekinthető. b./ Mekkora hibát köetünk el a számításban, ha csak az egyenes cső eszteségét esszük figyelembe? Megoldás: A II. típusú feladatcsoportba sorolható a probléma, amikor a nyomáskülönbség adott és a térfogatáramot, agy az átlagsebességet szeretnénk meghatározni. Az ott (6.. fejezetben) alkalmazott iteráció helyett közetlen számítással tudjuk megadni a sebességet, miel lamináris lesz az áramlás. Amennyiben a súrlódásnak döntő szerepe an az áramlás kialakításában, akkor a 6.6 eszteséges Bernoulli-egyenletet kell a feladat megoldása során alkalmazni. a./ Írjuk fel az "" és "" pontok között: gz p gz p' p A eszteséges tagot, tagokat az áramlás irányába eső oldalhoz kell hozzáadni, jelen esetben ez a "" pont. Az adott feladatban tudjuk, hogy: p p p0, 0,, z 0, z H Ezek felhasználásáal a eszteséges Bernoulli-egyenlet a köetkező: g H p' 7. A nyomáseszteség jelen esetben a sebességprofil kialakulása során fellépő belépési eszteségből és a fali csúsztatófeszültség által okozott csősúrlódási eszteségből alamint az iránytöréses szelepen keletkező nyomáseszteségből teődik össze: p' be sz d 7. 9

220 Tekintettel az olaj nagy iszkozitására és a cső kis átmérőjére, feltételezhetjük, hogy az áramlás lamináris lesz. A számítás égén a Reynolds-szám meghatározásáal ellenőriznünk kell ennek a felteésnek a helyességét. Lamináris áramlás esetén a csősúrlódási tényező a 64, Re összefüggéssel számítható. Miel a csőezetéknek a néleges átmérője adott, így 7. táblázatból (e fejezet égén) ki kell keresni a tényleges belső átmérőt, ami: d 9. mm Mindezek figyelembe ételéel a 7. egyenlet a köetkező formában írható fel: 64 g H be sz d d A sebességre egy másodfokú egyenletet kapunk, ami a köetkező: 64 be sz g H 0 7. d A szelep eszteség-tényezőjére a feladat nem tartalmaz adatot, így a 9.5 táblázatból ehetünk közelítő eszteségtényezőt, amely sz 6.8. A másodfokú egyenlet: megoldásáal a sebességre (természetesen csak a pozití megoldás jöhet szóba) kapjuk: m s Ellenőrizzük le a Reynolds-szám értékét: d Re tehát alóban lamináris az áramlás, mert sokkal kisebb mint 00. b./ Amennyiben csak az egyenes csőben keletkező súrlódási eszteséget esszük figyelembe, akkor a 7. egyenletben a négyzetes tagot elhagyhatjuk, így a megoldandó egyenlet 64 g H 0 d Behelyettesíte az adatokat és kifejeze a sebességet a m s 0

221 eredményre jutunk. Láthatóan a két eredmény közötti eltérés elenyésző. Ez annyit jelent, hogy az egyenes cső esztesége sokkal nagyobb, mint a belépési eszteség és a szelep esztesége. A csősúrlódási tényező és a cső eszteségtényezője számszerűen a köetkező: és Re 4.46 d Az ezres nagyságrendű egyenes cső esztesége mellett az egyes nagyságrendű eszteség tényezők elhanyagolhatók. 7. Víztorony Egy íztorony tartályában a ízszint állandó "H" magasságú. A fogyasztást q be térfogatáram betáplálásáal pótoljuk. A fogyasztás egy félig nyitott tolózáron keresztül a szabadba történő öntözés. Ismert a térfogatáram és a csőezeték geometriája, a feladat pedig a nyomáskülönbség meghatározása. Így a 6.. fejezetben tárgyalt I. típusú feladatot kell megoldanunk, kibőíte szerelények eszteségeiel. adatok:. ; q 50m ; 0m ; 4 0m ; NA col ; NA col be m 4 0 ; s 6 m.0 ; s 0 kg m H d q be d = d tolózár félig nyita p 0 4 Víztorony 0. ábra Kérdések: a./ Számítsuk ki a betáplálási pontban szükséges túlnyomást, ha adottak az átáramlott idomok eszteségtényezői és a hálózat felépítése! b./ Mekkora a H ízmagasság? A csősúrlódási tényezőt a Moody-diagram segítségéel számítsuk. A hiányzó adatokat a jegyzetben léő diagramokból és táblázatokból ehetjük.

222 Megoldás: a./ Elsőként a csőezetékek tényleges átmérőjét határozzuk meg a 7. táblázatból esszük: NA NA d 5.5mm A.680 m 4 d 6.6mm A m Az egyenes csöek érdességét a 6. táblázatból: k 0.0mm értékre álasztjuk, feltételeze, hogy a rendszerben léő csöek már nem újak, és emiatt kissé rozsdásak. A félig nyitott tolózár eszteség tényezőjét a 6. táblázatból ée t. adódik. Számítsuk ki az áramlási sebességeket a "d " átmérőjű csöekben: a "d " átmérőjű csőben pedig: qbe 40 A.680 qbe 4 0 m 7.7 A s A betáplálás és a fogyasztás pontjai között alkalmazzuk a eszteséges Bernoulli-egyenletet: p p p' A "izes" szakmáal foglalkozó szakemberek többsége előszeretettel használja a Bernoulliegyenletnek magasságokkal kifejezett dimenziójú alakját, így használjuk mi is erre az esetre:.84 m s p h' p g g g g Az egyenletben szereplő eszteséges, méter dimenziójú mennyiséget eszteségmagasságnak neezzük. A eszteségmagasság: p' g p' 4 t 7.4 g g d g d A eszteségtényezők a Reynolds-szám és a relatí érdesség függényében a Moodydiagramból ée (6.7 ábra): d 5.5 d 65 és 6.6 0, k 0.0 k 0.0 d Re 7.40, a diagramból és.0 d Re.46 0, a diagramból Ezek felhasználásáal a nyomáseszteség számítása a köetkező: p' h' g h '

223 h' 56.6 m, ( p' h' g 5.50 Pa ) amelyből a túlnyomás a betáplálási pontban: h' g Pa p p0 b./ A H magasság megállapításához a betáplálási pont és a íztoronyban léő íz felszínén léő (legyen 0 pont) pontjai között alkalmazzuk a eszteséges Bernoulli-egyenletet: p0 H h ' 0 p g g g Fejezzük ki az egyenletből a keresett H értékét: p p0 H h' 0 g g A képlet jobb oldalán tulajdonképpen mindent ismerünk, hiszen a h ' 0 az előzőekben már kiszámítottuk a 7.4 egyenletben a eszteségtagokkal, tehát: 5 eszteségmagasságot sebességhez tartozó ' h m g d A nyomáskülönbséget pedig az előző kérdésre adott álaszban kaptuk meg, így a keresett ízmagasság: p p H g 0 h' g m Tartályból tartályba áramlás Az ábrán egy nyomás alatt léő tartályból egy nyitott tartályba íz áramlik. A jelenséget stacioner állapotnak ehetjük. Az összekötő cső szokányos, kissé rozsdás colos acélcső. p t p 0 6 m adatok:.0 s ; h 5 p0 0 Pa 5 t Pa ; d h q (abszolút nyomások) L 5m ; h.4m ; h 0.8m ; d 5.5mm tolózár nyita L Kérdés: Áramlás tartályból tartályba Mekkora a " q " térfogatáram az "L" 0. ábra hosszúságú csöön? A feladat jellege a II. típusú (ld. 6.. fejezet), amelyben adott geometria és nyomáskülönbség mellett keressük a térfogatáramot. I. megoldás: Alkalmazzuk a eszteséges Bernoulli-egyenletet az -es és a -es pontok között: pt p0 h h h'. g g.

224 Írjuk fel a eszteségeket: h' g be g L d g t g A eszteség első tagja a belépési eszteség, amelynek a eszteség tényezőjét a 6. ábra alapján be 0. 5 értékűnek, a második tag az egyenes cső esztesége. A harmadik tag a nyitott tolózáré, amely t 0. 6, a 6.5 táblázatból álaszta. A negyedik tag pedig a jobboldali tartályba aló beáramláskor kialakuló kilépési eszteség. A fenti kifejezésekben a sebességet nem ismerjük, ezért a " " kiszámításához szükséges Reszámot sem tudjuk megadni. A megoldáshoz célszerű iterációt alkalmazni. Ennek első lépéseként a fenti két egyenletből egy olyan kifejezést alakítunk ki, amelyben a sebességet megadjuk a " " és az egyéb ismert mennyiségek függényeként. Fejezzük ki a Bernoulliegyenletből is a h -t. ' pt p0 h' (h h ) g g Majd helyettesítsük a eszteség kifejezésébe, és fejezzük ki a "" sebességet és írjuk be a számértékeket is. pt p0 (h h ) g g (.4 0.8) g 9.8 L 5 be t d Az 7.5 kifejezés szolgál az iteráció alapjául. 7.5 A sebességre történő iterációs eljárás: A./ Első lépésként megálasztjuk a " " csősúrlódási tényezőt. A szokányos acélcső érdességét most is a 6. táblázatból álasztjuk, most k 0. 0 d 5.5 értéknek, így a relatí érdesség értéke: 750 k 0.0 A kezdő " "-t szabadon álaszthatjuk. Célszerű induló érték: , jelen esetben legyen B./ A köetkező lépésben az adott " "-hoz megkeressük a " 0 ", első közelítő sebesség értékét a 7.5 kifejezés segítségéel:.7.7 m s C./ Ezután a kapott " 0 " értékkel már tudunk Reynolds-számot számolni: 0 d Re D./ A Re-szám ismeretében, a Moody-diagramból, agy a diagramot jól közelítő, 9.5 Haaland által jaasolt kifejezést használjuk: 4

225 . k 6.9 d log 0.8 log 0 Re amelyből a csősúrlódási tényező második közelítő értéke: , E./ Ebben a lépésben összehasonlítjuk a most kapott " "-t a felett " 0 "-al, ha az eltérés egy kíánt értéknél, pl. %-nál kisebb, akkor a számítást befejezettnek tekintjük és az utolsó lépésben kapott átmérőt fogadjuk el égső eredménynek. Jelen esetben az eltérés H[%] % 0.09, amely még nagyobb mint a kitűzött hibakorlát, ezért isszamegyünk a B./ lépéshez és újabb iterációt égzünk. m ;Re.870 ; s Megizsgála az eltérést a köetkezőt kapjuk: H[%] % Így az utolsó lépésben kapott eredményeket églegesnek fogadjuk el. A térfogatáram ezek után: d m q s II. megoldás: Alkalmazzuk a eszteséges Bernoulli-egyenletet a az "-es" és a "-as" pontok között. pt pt g h h h' g g g A jobb oldal első tagja azt fejezi ki, hogy a nyitott tartályba belépő közeg magasságában a nyomás nagyobb mint a légköri. A sebességtag most a Bernoulli-egyenlet része, nem pedig kilépési eszteség. A eszteség a belépési, az egyenes csőben kialakuló, és a tolózáron fellépő eszteségekből adódik: L h' be t g g d g A megoldás toábbi lépései megegyeznek az előző megoldással. A III. típusú feladat, amelynél csőátmérő az ismeretlen, és nemcsak egyenes csöeket, hanem egyéb eszteségforrásokat is tartalmaz a rendszer, a direkt megoldás nagyon bonyolulttá álhat. Célszerűbb ilyen esetben isszaezetni az I, agy a II típusú problémák alamelyikére. Adott nyomáseséshez és térfogatáramhoz meg kell találni azt a csőezetéket, amely az igényeket tudja teljesíteni. A megoldáshoz kijelöljük a ezeték nyomonalát, iránytöréseket, szűkítéseket stb.-t, majd megálasztjuk a csőátmérőket és a ezeték egyéb jellemzőit. A feladatot isszaezethetjük a./ adott térfogatáram és a csőátmérőkkel az I. típusú feladatra, agy

226 b./ adott nyomáseséssel és a csőátmérőkkel a II. típusú feladatra. Az a./ esetben a kiszámított nyomásesésnek kisebbnek kell lenni, mint az igényként megadott értéknek, a b./ esetben pedig a kiszámított térfogatáramnak nagyobbnak kell lenni, mint az igényként megfogalmazott értéknek. A terezési feladatot annál jobban oldottuk meg, minél kisebb az eltérés az igény és a számított eredmények között. Ha nagy az eltérés, akkor indokolatlanul nagy csőátmérőket álasztottunk, így a ezeték beszerzési és telepítési költségei nagyobbak lesznek a szükségesnél. Amennyiben nem teljesülnek a fent említett feltételek, akkor új csőátmérőket kell álasztani. 6

227 . Testekre ható áramlási erők A körüláramlott testekre az áramlás legtöbb esetben alamilyen erőt gyakorol. A 4. fejezetben már foglalkoztunk a égtelen szárnyrácsokra ható erőel, majd az egyedülálló szárnyra ható erő nagyságát és irányát is meghatároztuk. Zsukoszkij tétele szerint a szárnyra ható felhajtóerő merőlegesen hat a szárnytól égtelen táol léő sebesség irányára. A sebességgel párhuzamos komponense ideális áramlásban az erőnek nincsen. A alóságos folyadék áramlásakor mindig fellép az áramlás irányáal szemben ható erő, az ellenállás erő. (Az ideális folyadékban is felléphet ellenállás erő, például, ha a test gyorsul a folyadékhoz képest.) A alóságos folyadékban fellépő ellenállást két részre oszthatjuk: a súrlódási- és nyomási-, agy alakellenállásra. A súrlódási ellenállás a test felülete és a folyadék Szárnyszelény 8. ábra között ébredő csúsztatófeszültségek eredménye. A nyomás-, agy alakellenállás abból származik, hogy a súrlódás köetkeztében a test mögött a nyomás kisebb, mint súrlódásmentes esetben lenne. Az áramonalas testek ellenállása kicsi. Például a 8. ábra egy NACA 64A05 szimmetrikus szárnyprofilt mutat, amely áramonalas. A körülötte kialakuló áramkép nagyon hasonlít az ideális áramláshoz, a szárnyon ébredő ellenálláserő igen kicsi. Az ellenállás ugrásszerűen megnő, ha a testről az áramlás leálik. A 8. ábra az előző szárnyszelényt mutatja egy nagy állásszögnél, amikor a szárny feletti áramlás leálik a felső szárnyfelületről. A nem áramonalas testeken majdnem mindig fellép az áramlás leálása, ezért ezek ellenállásának nagy részét az alakellenállás adja. Vannak olyan testek, melyeknek alakja a leálás helyét a Reynolds-számtól függetlenül eldönti. Ilyenek az éles szélekkel szögletekkel rendelkező testek (pl. kocka, asszerkezetek, szögletes épületek). Ilyen esetekben a súrlódási ellenállás Leálás a szárnyszelényen 8. ábra elhanyagolható az alaki ellenállás mellett, ezeket a testeket ellenállás szempontjából Reynoldsszámra érzéketlen testeknek neezzük. Ezzel szemben a görbült felületű testeket, melyeknél a leálás helye a Reynolds-számtól függ, Reynolds-számra érzékeny testeknek neezzük. Az előzőekben az ellenállás szempontjából osztottuk két csoportba a testeket. Pontosabban fogalmaza az ellenállás-tényező az amelyik függ, agy nem függ a Reynolds-számtól. Az ellenállás-tényező egyenlő az ellenállás erő (F e ) oszta a test egy jellemző felületéel (A) és a test előtt messze mérhető dinamikus nyomással c e F e A, tehát: 8. 7

228 A Reynolds-szám pedig a test előtt messze mérhető zaartalan áramlás sebessége ( ), szoroza a test egy jellemző méretéel, (pl. henger esetén ez a henger átmérője, d) és oszta a közeg kinematikai iszkozitásáal ( ), tehát: Re d 8. Mind az ellenállás-tényező, mind a Reynolds-szám dimenziótlan mennyiségek. 8. A henger és gömb körüli áramlás A henger és a gömb ellenállásának nagyrészét az alaki ellenállás teszi ki, a súrlódási ellenállás emellett elhanyagolható. A 8. ábrán egy égtelen hosszú körhenger körüli áramlást láthatunk különböző Reynolds-számoknál. Az ellenállás-tényezőt Reynolds-szám függényében a 8.4 ábrán láthatjuk. Megfigyelhető, hogy nöekő Reynolds-számnál egyre nagyobb lesz a leálási zóna a henger mögött. Kb. -nél kisebb Re-számoknál az ellenállástényező a sebességgel közel lineárisan csökken, tehát az ellenállás erő a sebességgel lineárisan nő. Ez a 8./a ábrának megfelelő áramkép. -nél nagyobb Re-számoknál a görbe fokozatosan átmegy ízszintesbe, az ekkor kialakuló áramképeket a 8./b és /c ábrákon láthatjuk. A henger mögött egyre nagyobb területen álik le az áramlás. Kb. Re=00-tól kezde a két oldalon leáló örények periodikusan köetik egymást. Az így kialakuló szabályos örénysort Kármán-féle örénysornak neezik, felfedezőjéről (ld. 8./d ábra). (Kármán Tódor magyar-amerikai gépészmérnök feltaláló). Az egyes Reynold-számokhoz tartozó ellenállás-tényezőket a 8.4 ábrán láthatjuk pontokkal jelöle. Kb Re tartományban az ellenállás-tényező közel állandó, agyis az ellenálláserő Henger körüli áramlás különböző Reynolds-számok esetén 8. ábra 8

229 (F e ) a sebesség négyzetéel lesz arányos. A leálás előtt a henger körül kialakuló határréteg ebben a tartományban lamináris marad. A periodikusan leáló örények a hengerre isszahatnak és bizonyos esetekben azt is rezgésbe hozzák. Ezt a jelenséget lehet pl. érezni, ha botot ízben bizonyos sebességgel mozgatunk, de ez okozza a magasban ezetett illanyezetékek rezgését, zizegését szeles időben. C e 00 0 henger gömb Re Henger és gömb ellenállás-tényezője a Reynolds-szám függényében 8.4 ábra feletti Reynolds-számnál a határréteg még a leálás előtt turbulenssé álik. A turbulens határrétegben a részecskék mozgási energiája nagyobb, mint a laminárisban, ezért a henger mögötti nagyobb nyomás ellenében toább tudják a henger alakját köetni, agyis a leálás később köetkezik be. Ebben az esetben a henger mögött kialakuló örénylő nyom keskenyebb lesz, mint kisebb Re-számoknál. Ezzel magyarázható, hogy kb. 50 Reszámnál az ellenállás-tényező hirtelen lecsökken. A görbe letöréséhez tartozó Re-számot kritikus Reynolds-számnak neezzük. A gömb ellenállás-tényezőjének alakulása egészen hasonló a hengeréhez, amelyet szintén a 8.4 ábrán láthatunk. Az olasóban önkéntelenül feletődik a kérdés, hogy ha a henger, agy a gömb körül kialakuló áramlásban a határréteget alamilyen módon turbulenssé tudjuk tenni, akkor az ellenállását már a kritikus Reynolds-szám alatt is csökkenthetjük. Az egyik ilyen módszert, a gömb után kialakuló nyom csökkentését, a 8.5 ábrán láthatjuk. Az 8.5 a./ ábrán a sima gömbön kb. Re=5000 értéknél láthatjuk a gömb mögötti leálási zónát. A leálás kezdete kb ra a megfúás irányától köetkezik be. A 8.5/b ábrán egy ékony drótkarikát helyeztek a megfújt oldalra, amely a határréteget turbulenssé tette és így a leálás kb ra tolódott el a megfúás irányához képest és a leálási zóna sokkal kisebbre zsugorodott. Természetesen az ellenállás-tényező is lecsökkent. A gömb körül kialakuló határréteg turbulenssé tételét szolgálja a golflabda felületén kialakított több száz kis "kráter"-szerű bemélyedés. A sima felületű golflabdához képest 0-40%-kal táolabb lehet ütni az érdesített felületű labdákkal, a légellenállás lecsökkenésének köszönhetően. A 8.6 ábrán egy éppen megütött, érdesített felületű golflabdát lehet látni. 9 5

230 Érdekes a felület kialakításán kíül az ábrán azt is megfigyelni, hogy az ütés hatására milyen nagymértékben deformálódik a gömbalakhoz képest, holott kemény műanyagból készült. a./ Nyom a sima gömb mögött b./ Nyom a gömb mögött turbulencia keltő drótkarikáal 8.5 ábra Érdesített golflabda golfütőel a megütés pillanatában 8.6 ábra 8. Különféle testek ellenállása Néhány testnek az ellenállás-tényezőjét a 8. és a 8. táblázatokban tüntettük fel. Az ellenállás-tényező mindegyik testnél a megfúási irányra merőleges legnagyobb keresztmetszet területe. A kétféle irányból megfújt fél gömbhéj ellenállás-tényezője eltérő, de a Reynolds-számtól nem függ. A kanalas sebességmérő műszer ezt a tényt használja fel a működéséhez. 0