1/f ZAJ GENERÁLÁSA A BROWN-MOZGÁS SKÁLÁZÁSA ALAPJÁN DOKTORI ÉRTEKEZÉS GINGL ZOLTÁN

Átírás

1 1/f ZAJ GENERÁLÁSA A BROWN-MOZGÁS SKÁLÁZÁSA ALAPJÁN DOKTORI ÉRTEKEZÉS GINGL ZOLTÁN Témavezető:Dr Kiss László Béla egyetemi adjunktus JÓZSEF ATTILA TUDOMÁNYEGYETEM, SZEGED 1992

2 1. Bevezetés A zajok matematikai leírása A statisztikus jellemzők leírása Véletlen folyamatok időbeli tulajdonságainak leírása A mintavételi tétel, diszkrét Fouriertranszformáció Néhány jellegzetes zajtípus Sörétzaj Termikus zaj Brown-mozgás Diffúziós zaj Az 1/f zaj tulajdonságai /f-zaj előállítási módszerek Meade módszere Keshner módszere /f-zaj származtatása a Brown-mozgás skálázásával A rekurziós módszer vizsgálata A skálázás definíciója A spektrumok kiszámítása A skálázó- és spektrumkitevő kapcsolata A statisztikai paraméterek kiszámítása A skálázási módszeren alapuló 1/f κ zajgenerátorok D/A konverteres zajgenerátor A Brown-mozgás diszkrét modellje D/A konverter illesztése C-64 és IBM-PC számítógépekhez A spektrumok mérése A generátor felhasználásának korlátai Analóg számítógépes 1/f κ zajgenerátor elve Diffúziós zaj és a skálázási modell kapcsolata A kapcsolási idők statisztikájának

3 kiszámítása Egydimenziós diffúziós zaj modellezése analóg áramkörökkel Az elektronikai modell elve és megvalósítása A spektrumok és kapcsolási idők eloszlásának mérése Összefoglalás Irodalomjegyzék Függelék Köszönetnyilvánítás

4 1 1. Bevezetés A természet egyik legalapvetőbb sajátossága a véletlenszerűség, ami a mai modern tudományágakban is tükröződik. Sok olyan folyamatot ismerünk, melynek a jövőbeli viselkedését előre nem tudjuk meghatározni, ezeket véletlenszerűeknek nevezzük. A véletlenszerűségről elterjedt az az elképzelés is, hogy csak azokat a folyamatokat soroljuk ebbe a kategóriába, melyek viselkedését nem ok-okozati összefüggések határozzák meg (nem kauzális folyamatok). Ebben az értelemben nem az számít, hogy nem tudjuk előre megadni a jövőbeli viselkedést, hanem az, hogy ezekben az esetekben nem is létezik kiváltó ok. A fizikai folyamatok vizsgálatában a XX. század elejéig szinte kizárólag az első elképzelés volt a domináns. Ha egy mennyiség időbeli viselkedését nem tudták megadni, akkor azt az egyenletek megoldhatalanságával, vagy az ismeretek hiányával hozták összefüggésbe. Jó példa erre a gázok viselkedésének statisztikus leírása, ahol az "egzakt" leírás a rengeteg számú egyenlet miatt lehetetlen. Ezzel kapcsolatos, és jellemzi a kor szellemét Laplace egyik állítása is, amely szerint megfelelő egyenletek és kezdeti feltételek birtokában elvileg minden előre kiszámítható, mivel minden eseménynek létezik kiváltó oka, és létezik az okozat létrejöttének törvényszerűsége is. A kvantummechanika volt az az új tudományág, melyben először jelent meg a Laplaceféle felfogás cáfolata. Az elemi részek fizikája alapvetően

5 2 nem kauzális, a véletlen jellegből indul ki, aminek a Heisenberg-féle határozatlansági reláció az egyik megjelenési formája. A mai tudomány keretein belül bizonyított, hogy nem az okok és törvények ismeretének a hiányából ered az elemi részecskék egyedi viselkedésének véletlen jellege. Neumann János volt az, aki elsőként mutatta meg, hogy ilyen "rejtett paraméterek" nem léteznek[1]. Hogy ez a tézis mekkora vitát váltott ki a tudósok körében, azt jól érzékelteti, hogy még Einstein és más kiváló kutatók sem voltak hajlandók elfogadni a kvantummechanika átütő sikereinek ellenére sem. A sztochasztikus jelleg alapvető szerepű a méréselméletben is. A mért fizikai mennyiség időbeli ingadozását figyelhetjuk meg. A legtöbb estben ezt az ingadozást az információszerzés korlátozó tényezőjeként tartják számon, és a statisztikai módszereket a fluktuáció csökkentése érdekében használják. A fentiek értelmében azonban a fluktuáció is a vizsgált rendszer sajátja, ezért elemzése a rendszerről információt szolgáltat. A fluktuációk vizsgálatának sok más előnye is van. A mérések során a vizsgált rendszert gerjeszteni kell, hogy a mérés során információt kapjunk. Sok esetben ezt nem tehetjük meg, mert nincs rá lehetőség, vagy mert ezáltal beavatkozunk a rendszer viselkedésébe, esetleg magát a rendszert is megváltoztatjuk. Ebben az esetben hasznos, ha a rendszer fluktuációját, zaját mérjük. Példaként hozhatjuk az atomreaktorokban zajló folyamatok fluktuációinak neutrondetektorokkal való mérését, ahol a zajmérés a

6 3 rendszer működésébe való beavatkozás nélkül ad információkat[2,3]. Az integrált áramkörök megbízhatóságának vizsgálatát is sokszor célszerű ilyen módszerekkel mérni[4]. A modern digitális technika és számítási módszerek léte meggyorsította a sztochasztikus jelek elemzésének elterjedését. A fluktuációkból méréséből csak akkor tudunk információt nyerni, ha megfelelő fizikai és matematikai modell áll rendelkezésünkre. Ezért fontos, hogy a különböző típusú fluktuációkat minél jobban megismerjük. Az egyik legfontosabb zajtípus az 1/f zaj, amelynek elnevezése abból ered, hogy ennek a zajnak a teljesítménysűrűség-spektruma a frekvenciával fordítottan arányos. Az 1/f zaj rendkívül széles körben fordul elő. Megtaláljuk a félvezetők és más anyagok vezetőképességének fluktuációjában[5,6], szupravezetőkben[7], lézerekben[8], biológiai rendszerekben - például idegsejtek működésében[9] -, a folyók vízszintjének ingadozásaiban [10], és más, nem természeti jelenségekben is, mint például a zenében - a hangmagasság és intenzitás váltakozásaiban [11]-, a közlekedésben[12], gazdasági adatokban[13], stb. Az 1/f zaj más szempontok szerint is érdekes. Sok olyan tulajdonsága van, ami kiemeli az egyéb zajok közül. Az 1/f zaj határeset a stacionárius és nem-stacionárius folyamatok között. A szórása igen gyengén, logaritmikusan divergens. Másik érdekes tulajdonság, hogy a zaj érzéketlen az idő- illetve frekvenciaegység megválasztására, amit úgy lehetne szemléltetni például, hogy egy 1/f zajú jelet

7 4 magnetofonnal rögzítünk, és aztán különböző sebességgel lejátszunk. Azt tapasztaljuk, hogy a hang a lejátszási sebességtől független. A fizikában előforduló egyenletek sok zajtípus megértését teszik lehetővé. Például a lineáris differenciál-egyenletek alkalmasak arra, hogy zajtípusok között kapcsolatot találjunk, ezáltal többféle zajt tudunk visszavazetni egy ismert típusra, mint a Brown-mozgás esetében is. Az 1/f zaj modellek körül azonban sok probléma adódik. Eddig még nem sikerült olyan modellt adni, amely kielégítően megmagyarázza az 1/f zaj általánosságát és speciális tulajdonságait. Sok olyan elmélet született, ami bizonyos folyamatokra megmagyarázza az 1/f spektrumot. A modellek általában speciális, sokszor nehezen indokolható feltételekhez kötődnek, szűk frekvenciatartományokra korlátozódnak, ami ellentmond a mérési adatoknak. Több sikertelen próbálkozásról is tudunk. Ilyen például a Handel-féle kvantummechanikai számításokon alapuló 1/f zaj modell[14] és az önszervező kritikus rendszerek Bak-Tang-Wiesenfeld modellje[15]. Az első modell inkorrekt[16], míg a második nem alkalmas az 1/f zaj általános feltételek közötti generálására [17]. Általában megállapítható, hogy még ma sincs megfelelő általános elmélet ami kielégítően magyarázná az 1/f zajok okait. A kutatásban kétféle koncepció alakult ki[18]. Sokan úgy vélik, hogy nincs szükség általános, átfogó modellre, mert minden egyes jelenségnél mások a zaj kialakulásához

8 5 vezető okok. A másik nézet szerint az 1/f zaj általános előfordulása és tulajdonságai indokolják, hogy létezzen egy alapvető elv, ami hozzásegít az 1/f zaj kialakulásának megértéséhez. A dolgozat célja, hogy egy jól ismert véletlen folyamat, az 1 dimenziós Brown-mozgás (random-walk) és az 1/f zaj között próbáljon meg kapcsolatot találni. A Brownmozgás elemi és egyszerű folyamat, fizikai rendszerekben igen gyaran előfordul. Ha egyszerű kapcsolatot találunk az 1/f zajjal, akkor elképzelhető, hogy mind az általános, mind a speciális modellek területén előbbre jutunk. A dolgozat bemutatja a zajok vizsgálatában leggyakrabban használt matematikai eszközöket, tárgyalja a legalapvetőbb zajok fizikai okait és tulajdonságait. Ezek után kerül sor a modell részletezésére és a számítási eredmények ismertetésére is. A következő fejezet a modell felhasználásán alapuló számítógéppel vezérelt zajgenerátor elvét és realizációját mutatja be. Az utolsó rész a modell egy reális fizikai folyamatra, az úgynevezett diffúziós zajra való alkalmazását ismerteti.

9 6 2. A zajok matematikai leírása 2.1. A statisztikus jellemzők leírása A véletlen folyamatok statisztikus jellemzőinek matematikai leírására a valószínűségszámítást használhatjuk. A kérdéses folyamathoz egy, vagy több változót rendelhetünk hozzá, amelyek fizikai mennyiségeknek felelnek meg a valóságban. Ezek után vizsgáljuk meg ezeknek az úgynevezett valószínűségi változóknak a tulajdonságait. Tegyük fel, hogy egy U feszültséget mérünk digitalizált formában, amely véletlenszerű ingadozást mutat egy adott U o érték körül. Felmerülhet a kérdés, hogy hogyan jellemezhető az U valószínűségi változó[19]? Ha csak az U o átlagértéket ismerjük, az elég kevés információt jelent a folyamatról, hiszen ekkor még nem tudjuk például, hogy milyen más értékeket vehet fel az U feszültség, milyen szélsőértékek határolják. Lényegesen többet mondhatunk, ha meg tudjuk határozni, hogy egy adott U érték mekkora valószínűségű, jelöljük ezt a valószínűséget p k -val. A p k értéke tehát egy 0 és 1 közé eső szám, k pedig egy pozitív egész szám, és annyi értéket vehet fel, ahány különböző értéket vehet fel az U feszültség. Ekkor igaz a p k valószínűségekre az alábbi összefüggés : (1)

10 7 ahol az összegzést k minden lehetséges értékére kell elvégezni. A p k valószínűségek segítségével megadható a folyamat M(U) várható értéke is: (2) Milyen kapcsolatban van az M(U) várható érték a mérésekből kapható középértékkel? Az U középértéket a következőképpen kaphatjuk meg : (3) ahol N jelenti a különböző feszültségértékek számát, és n k pedig azt a számot, amely megadja, hogy egy U k feszültségértéket hányszor kaptunk. Mivel a p k valószínűségek az n/n hányados határértékeiként adódnak N esetén, ezért látható, hogy (4) A p k értékek számot adnak a folyamat ingadozásának nagyságáról is. Ha csak néhány szomszédos U feszültség valószínűsége különbözik lényegesen nullától, akkor azt mondhatjuk, hogy az U feszültség kevéssé ingadozik. Természetesen más a helyzet, ha az M(U)-tól távolabbi értékek is jelentősek. Hogy elkerüljük azt, hogy az ingadozás mértékét a összes p értékkel jellemezzük,

11 8 célszerűnek látszik bevezetni egy újabb mennyiséget az úgynevezett szórást, amit jelöljünk D(U)-val: (5) Ez a mennyiség valóban egy számmal jellemzi, hogy az U mennyiség mennyire korlátozódik szűk tartományra. Természetesen a várható érték és szórás lényegesen kevesebbet mond, mint a p valószínűségek, de a gyakorlatban sokszor elegendő ezeket a paramétereket vizsgálnunk. Eddig feltételeztük, hogy az U feszültség csak bizonyos diszkrét értékeket vehet fel. Ez ugyan praktikus feltevés, mivel a mérőműszerek pontatlansága határt szab a mérési adatok értékeinek, mégis szükség van a folytonos értékek esetének kezelésére is, amikor nem korlátozzuk a mennyiségek értékeit. Hogyan adhatjuk meg a folytonos értékkészletű feszültség valószínűségi leírását? Egy megadott U érték előfordulásának valószínűsége nullával lesz egyenlő, amit könnyen beláthatunk, ha a valószínűségek összegére vonatkozó feltételt figyelembe vesszük, és így, a felbontást finomítva közelítjük a folytonos esetet. Ekkor egyre több p értékünk lesz, az összegük viszont rögzített. A problémát úgy oldhatjuk meg, hogy egy olyan p(u) függvényt keresünk meg, melyre a p(u)du mennyiség azt adja meg, hogy mekkora valószínűséggel esik a feszültség az U érték körüli kicsiny du nagyságú intervallumba. A p(u) függvényt valószínűségi sűrűségfüggvénynek nevezik, és a

12 9 diszkrét valószínűségértékek folytonos megfelelőjének tekinthetjük. A valószínűségek összegére vonatkozó (1) kifejezés most a következő alakú : (6) Az összegzésről integrálásra áttérve kaphatjuk meg a várható érték, a szórás és az eloszlásfüggvény definícióját is : (7) (8) (9) Gyakran előfordul, hogy nem egy, hanem több folyamat van vizsgálataink középpontjában. Szükségünk lehet egy olyan fizikai mennyiség leírására, ami maga is több mennyiségből tevődik össze. Ilyen esetekben elsősorban azt kell eldöntenünk, hogy a vizsgált mennyiségek függetlenek-e egymástól, az egyik mennyiség adott értéke befolyásolja-e a másik valószínűségi sűrűségfüggvényét. A valószínűségelmélet szerint az X,Y valószínűségi változók

13 10 akkor függetlenek egymástól, ha annak a valószínűsége, hogy X=X o és egyidőben Y=Y o, egyenlő az X=X o valószínűsége szorozva az Y=Y o valószínűségével[20]. Ezt felhasználhatjuk, ha például két mennyiség összegének sűrűségfüggvényét, várható értékét és a szórását szeretnénk meghatározni. Könnyen beláthatjuk, hogy ebben az esetben a várható értékek és a szórások négyzetei összegződnek, az eredő sűrűségfüggvény pedig a kiindulási sűrűségfüggvények konvolúciójával nyerhető[20]. Tehát ha Z=X+Y, akkor (10) (11) (12) Fontos kiemelni, hogy ezek a kifejezések csak sztochasztikusan független folyamatokra érvényesek. Egy makroszkópikus mennyiség fluktuációja általában igen sok elemi fluktuáció eredőjeként áll elő. Egyszerű példa erre az elektromos vezetőképesség ingadozása, amely az elemi töltéshordozók mozgásának és mennyiségének véletlenszerű változásaiból származik. A valószínűségszámítás egyik fontos tétele, a centrális határeloszlás tétel[20]. A tétel kimondja, hogy nagy számú, független valószínűségi változók összegének elászlása az úgynevezett normális vagy más néven Gauss eloszláshoz tart, amelynek sűrűségfüggvénye a

14 11 következő alakú: (13) A tétel elég általános feltételek mellett igaz. Mit mondhatunk a konvergencia sebességéről? Nyilván ez függ attól, milyenek az összetevő folyamatok sűrűségfüggvényei. Az 1. ábra olyan folyamatra mutatja be a konvergenciát, mely egyforma, adott intervallumon egyenletes eloszlású folyamatok összegeként áll elő. Az elemi sűrűségfüggvény tehát a következő alakú: (14) Látható, hogy a konvergencia ebben az esetben igen gyors, már három-négy elemi folyamat összege is nagyon közel van a határértékhez. leírása 2.2. Véletlen folyamatok időbeli tulajdonságainak Eddig nem vettük figyelembe azt, hogy egy folyamat tulajdonságai az időben változhatnak, pedig ez fontos lehet a reális folyamatok vizsgálata szempontjából. Általánosításként megtehetjük, hogy az időt mint új paraméter vezetjük be az eddig definiált mennyiségekben, tehát például a sűrűségfüggvény alakja p(x,t) lesz.

15 12 1.ábra A centrális határeloszlás tétel szemléltetése egyenletes eloszlású folyamat összegzésével Hallgatólagosan feltételeztük, hogy valami módon meg tudjuk határozni egy folyamat valószínűségi jellemzőit. Hogyan tehetnénk ezt meg? Ahhoz, hogy sok kisérlet elvégzése eredményeként kapjuk meg például a sűrűségfüggvényt, rengeteg azonos körülmények között levő egyforma rendszerre lenne szükség, ha az időfüggéstől nem tekinthetünk el. Erre általában nincs meg a lehetőségünk, ezért szükséges újabb mennyiségeket bevezetnünk, és meghatároznunk az eddig definiált jellemzőkkel való lehetséges összefüggéseket. Legegyszerűbb esetként vizsgáljuk meg a várható érték problémáját. Tekintsünk egy véletlenszerűen ingadozó U(t) feszültséget. Az <U(t)> középértéket méréssel úgy adjuk meg, hogy a mérés T idejére képezzük az U(t) jel

16 13 átlagértékét: (15) T esetén határértékként kapjuk az <U(t)> időátlagot. Milyen kapcsolatban van ez a mennyiség az M (U) várható értékkel? Ha az M (U) időfüggő, akkor általában nem fog a két érték megegyezni, ezért első megszorításként azt mondhatjuk, hogy a statisztikai jellemzőknek időfüggetlennek kell lenniük, hogy az időbeli és sokaságra vett átlagok azonosak legyenek. Az ilyen folyamatokat stacionáriusnak nevezzük[21]. Megjegyezzük, hogy többféle stacionáriussági feltétel lehetséges aszerint, hogy hányadrendű sűrűségfüggvényre írunk elő korlátozásokat. Ha megelégszünk az elsőrendű p(x,t) és másodrendű p(x 1,t,x 2,t+τ) sűrűségfüggvények időfüggetlenségével - ami gyakorlati szempontokból sokszor fontos -, akkor a folyamatot gyengén stacionáriusnak nevezzük. Ha minden statisztikai paraméter időfüggetlen, akkor a folyamatot erősen stacionáriusnak modjuk. A stacionaritás önmagában azonban még nem jelenti azt, hogy az időbeli és térbeli átlagok megegyeznek. Létezik a stacionárius folyamatoknak egy olyan osztálya, amelyre már teljesül a kétféle átlag ekvivalenciája, és ezeket a folyamatokat ergodikusnak nevezzük. A továbbiakban definiálunk néhány mennyiséget, ami a sztochasztikus folyamatok időbeli tulajdonságait írja le. Az első ilyen mennyiség az x(t) sztochasztikus jel

17 14 autokorreláció-függvénye: (16) Az autokorreláció-függvény azt jellemzi, hogy a jel τ idejű eltolásra mennyire "hasonlít" önmagára. Ez tulajdonképpen a jelforrás emlékező tulajdonságával, memóriájával van kapcsolatban. Ha egy jel esetén a t+τ idejű értékek függetlenek attól, hogy a jel milyen értéket vett fel a t időpillanatban, akkor a kérdéses folyamat korrelálatlan. Ebben az esetben az autokorreláció-függvény minden τ-ra nullával egyenlő, kivéve természetesen a τ=0 esetet, amikor az autokorreláció-függvény a jel négyzetének várható értékét szolgáltatja. Korrelált folyamatok autokorreláció-függvénye sokféle lehet. Ezek közül érdekes a periodikus függvények esete, melyekre a korrelációfüggvény is periodikus. Ez akkor lehet fontos, ha zajban eltemetett periodikus jeleket akarunk detektálni[22], ekkor, ha a zaj autokorreláció-függvénye lecsengő, akkor nagy τ értékekre már csak a periodikus tagból származó korreláció jelentős (2.ábra). Ergodikus jelek esetén az autokorreláció-függvényt a következő formulával is megadhatjuk: (17)

18 15 2.ábra Lecsengő korrelációjú zajjal fedett periodikus jel korrelációfüggvénye Mivel ekkor a folyamat stacionárius, ezért az autokorreláció-függvény nem függhet az időtől, ahogy ez a formulából is látszik. Teljesen hasonló módon vezetjük be a keresztkorreláció-függvényt, amely két jel közötti kapcsolatot jellemez: (18) illetve ergodikus jelekre: (19) A keresztkorreláció igen hasznos eszköze két sztochasztikus folyamat kapcsolata leírásának, sok gyakorlati méréstechnikai alkalmazása van. Segítségével megadható például, hogy két stochasztikus folyamat függ-e

19 16 egymástól, és az egyik folyamat másikra való hatása milyen időeltolódással jelentkezik. Igen gyakran hasznos, ha a sztochasztikus folyamatokat nem csak az idő-, hanem a frekvencia-tartományban is jellemezni tudjuk. Ez könnyen belátható, ha olyan rendszerekre gondolunk, melyeket lineáris differenciál-egyenletek írnak le. Ezenkívül minden olyan folyamat esetén is hasznos a Fourier-térbeli leírás, amelyek periodikus komponenseket is tartalmaznak. Az említett célokra az úgynevezett teljesítménysűrűségspektrumot használjuk, amely definíció szerint az autokorreláció-függvény Fourier-transzformáltja: (20) illetve inverz transzformációval: (21) Az autokorreláció-függvényben a lehetséges időfüggést azért hanyagoltuk el, mivel az időfüggés miatt matematikai nehézségek lépnének fel, ezért a teljesítménysűrűségspektrumot csak stacionárius jelekre szokták definiálni. A teljesítmény elnevezés onnan származik, hogy ha az időfüggő jel feszültség, akkor az S xx (f)df mennyiség azzal a teljesítménnyel azonos, ami az f,f+df frekvenciatartományba esik. A teljesítménysűrűségspektrumot megkaphatjuk a jel úgynevezett amplitúdó-

20 17 spektrumából is, melynek definíciója a következő: (22) A Wiener-Hincsin összefüggések szerint (23) * ahol a a komplex konjugálást jelöli. Tehát az autokorreláció-függvény ismerete nélkül is kiszámítható a teljesítménysűrűség-spektrum. Hasonló módon vezethetjük be két jel esetére a keresztteljesítménysűrűség-spektrumot (24) A teljesítménysűrűség-spektrumól megállapíthatjuk, hogy valós függvény, mivel az autokorreláció páros függvény. Ezzel szemben a keresztteljesítménysűrűségspektrum fázisinformációt is hordoz. Érvényes továbbá, hogy a jel négyzetének várható értéke megadható a teljesítménysűrűség-spektrum segítségével: (25) ami világos, ha meggondoljuk, hogy a jobboldalon álló mennyiség az összteljesítményt adja meg. A

21 18 teljesítménysűrűség-spektrum alakja a folyamat memóriáját is jellemzi. Ha például a spektrum széles frekvenciatartományban konstans, akkor ez azt jelenti, hogy a folyamatban sok nagyfrekvenciás tag van, tehát a jel kevéssé korrelált. 3.ábra Normális eloszlású 1/f és 1/f 2 spektrumú zajok jelrészletei 2.3. A mintavételi tétel, diszkrét Fouriertranszformáció Amint az eddigiekben láttuk, a statisztikai mennyiségek közelítő meghatározásához is jelentős számú minta szükséges. Ha egy jel ergodicitását is kihasználjuk, akkor szükség lehet a jel időfüggésének mérésére ahhoz, hogy spektrumokat, korrelációfüggvényeket, vagy sűrűségfüggvényeket mérjünk. Léteznek analóg módszerek is ezek meghatározására, de ma már a nagyobb pontosság és

22 19 hatékonyság miatt az alacsony-frekvenciás tartományban a digitális módszerek sokkal elterjedtebbek. A digitális jelanalízis rohamos fejlődését a számítástechnika fejlődése, gyors és pontos analóg-digitális konverterek megjelenése, és az információelmélet alapozták meg. Ha egy jel időfüggését digitális módszerrel mérjük, ez a kérdéses jel amplitúdóbeli és időbeli kvantálásának fele meg. Az amplitúdó kvantáltsága abból ered, hogy a mért analóg jelet az analóg-digitál konverter egész számokká alakítja. Ez természetesen a jel torzítását jelenti, de a pontosság mégis a legtöbb esetben kielégítő, általában meghaladja az analóg mérési módszerek pontosságát. Ma már hétköznapinak számítanak a bites konverterek, melyek pontossága körüli. Más jellegű probléma az időbeli kvantáltság. Ez azt jelenti, hogy az x(t) jelnek csak bizonyos t időpillanatbeli értékeit ismerjük. Ha lehetséges, célszerű a mintavételi időpontokat ekvidisztánsra választani, ekkor beszélünk periodikus mintavételezésről. A továbbiakban periodikus mintavételezést tételezünk fel. Az x(t) folytonos függvényt a következő mintavételezett függvénnyel helyettesítjük[21]: (26) ahol δ a Dirac-féle függvényt jelöli, t a két szomszédos mintavételi idő különbsége, x m (t) a mintavételezéssel kapott függvény. A t szorzó egyrészt dimenzionális okok miatt van függvény definíciójában, másrészt így a

23 20 mintavételezett jel energiája összemérhető az eredeti jel energiájával. Milyen feltételeket írjunk elő a mintavételi időre, ha minimális információveszteséggel szeretnénk megmérni a jelet, egyáltalán mikor szabad egy jelet mintavételezéssel mérni? Erre a kérdésre ad választ az információelmélet egyik igen fontos tétele, a mintavételi tétel[23]. Ha az x(t) jel Fourier felbontásában az f o -nál nagyobb frekvenciájú komponensek amplitúdója nulla, akkor a jelet teljes mértékben meghatározzák az 1/2f o időközönkénti mintái a következő formula szerint: (27) A tétel elég egyszerűen belátható. Az X(f) Fouriertranszformált a feltételek szerint a -f o,f o intervallumra korlátozódik, tehát létezik a következő Fourier sora : (28) ahol (29) Mivel azonban így C n =x(n/2f o )/2f o.ac n együtthatók teljesen meghatározzák

24 21 (30) az X(f) transzformáltat, ezáltal magát az x(t) jelet is, tehát a tételt igazoltuk. A mintavételi tételnek ellentmondó mintavétel meghamisítja a jelet. Könnyen ellenőrizhető, hogy ha a mintavételi frekvencia 2 f o, akkor minden f+2 n f o frekvenciájú szinuszos jelnek azonos mintavételezett függvény felel meg, n egész szám. Hasonló kijelentés igaz az f+(2 n+1) f o frekvenciájú periodikus jelekre is. Ez különösen a spektrum mérésében tükröződik, helytelen mintavételezés miatt a különböző frekvenciákhoz tartozó komponensek összeadódnak, ezáltal meghamisítják a spektrumot. A gyakorlatban előforduló jelek általában sávkorlátozottak, ami azt jelenti, hogy van alsó illetve felső határfrekvenciájuk. Ebben az esetben tehát teljesíthető a mintavételi tétel feltétele. De mi van abban az esetben, ha nem ismerjük a felső határfrekvenciát, vagy meghaladja a mérőműszer által biztosított tartományt? Ilyenkor aluláteresztő szűrőt kell a mérőrendszerbe iktatni, ami levágja a magas frekvenciákat. Ez természetesen a jel torzítását jelenti, de ez a torzítás nem befolyásolja például a spektrum mérését a kisebb frekvenciákon. Ha spektrális analízist végzünk, akkor mindig használnunk kell szűrőt. Az x(t) jel mintavételezése során a gyakorlatban egy véges számú adatsort kapunk, ami N számú x elemből áll. A

25 22 spektrum kiszámítására ekkor a mintavételezett függvény alakjának figyelembe vételével a következő formulát kapjuk: (31) Itt tehát x i az x(i δt) mennyiségnek felel meg, és F az úgynevezett diszkrét Fourier-transzformált, k=0..n-1. Látható, hogy maga a transzformált is diszkrét, mivel az időtartomány véges hosszúságú. Az F k =F(k δf) formula lényegében a spektrum mintavételezését jelenti, ahol δf=1/n δt. A diszkrét Fourier-transzformált kiszámítása igen időigényesnek tűnhet, mivel az összes F komponens meghatározásához a formula szerint N komplex szorzásra van szükség. A komplex exponenciális függvény tulajdonságait kihasználva azonban a feladat megoldható N log 2 Nművelettel is, ami rendkívül nagy különbséget jelent nagy N-ek esetén. Ezt az eljárást Cooley és Tukey fejlesztette ki, és gyors Fourier-transzformáció (FFT) néven ismert[24]. A gyors Fourier-transzformáció a számítógépes jelfeldolgozás egyik alapvető eszköze.

26 Néhány jellegzetes zajtípus Az előzőkben tárgyaltak szerint osztályozhatjuk a fizikai rendszerekben előforduló fluktuációkat, zajokat. Itt csak néhány alapvető zajtípust említünk meg Sörétzaj A sörétzaj olyan eszközökben fordul elő, amikor a töltéshordozó részecskéknek potenciálgátat kell leküzdeniük ahhoz, hogy a vezetéshez hozzájáruljanak[25]. Ilyen eszköz például a vákuumdióda, vagy egy félvezető pn átmenet. A vákuumdióda esetében az elektronoknak a katódból való kilépéshez kell kellő energiával rendelkezni. Mivel az energia az egyes elektronok között véletlenszerűen oszlik meg, ezért az elektronok kilépése is véletlenszerű lesz. Ha egy elektron energiája nagyobb a kilépési munkánál, akkor a kilépés után a külső elektromos tér hatására az anód felé halad egyenletes gyorsulással, és így hozzájárul az körben folyó áramhoz. Az áram tehát elemi, egymást véletlenszerűen követő áramimpulzusok összegeként fogható fel. Ha az impulzusokat Dirac-függvénnyel reprezentáljuk, és figyelembe vesszük, hogy az elektronok kilépése Poisson eloszlást követ, akkor az áram spektrumára a következő alakot kapjuk :

27 24 (32) ahol q az elemi töltés, I pedig az áram középértéke. Ha figyelembe vesszük, hogy az elemi impulzusok a valóságban többféle alakúak, akkor a formula módosul. A vákuumdióda esetében például az elektron egyenletes gyorsulása következtében az elemi impulzus a t r áthaladási időtartamban lineárisan növekvő függvény, a pn átmenet esetén pedig, a közel konstans sebesség miatt t r szélességű négyszögjellel adható meg. Mivel az eredő spektrumot az elemi impulzusok alakja határozza meg[26], pn átmenet esetében így az áram spektruma a (33) kifejezéssel adható meg. Ez azt jelenti, hogy a spektrum most csak kis frekvenciákon lesz közelítőleg konstans, amikor sin(πft r )/πft r Termikus zaj Az úgynevezett termikus zaj vezetők, félvezetők áramvezetésében lép fel[25]. Ideális kristályban a szilárdtestfizikai számítások szerint a töltéshordozók akadálytalanul haladhatnak. Minden kristályban vannak azonban hibahelyek, szennyező atomok. A periodicitást a kristálybeli atomok hőmozgása szintén zavarja. A

28 25 töltéshordozók ezekkel a hibahelyekkel ütköznek, ütközésük során energiájuk megváltozhat. Mivel ezek az ütkozések véletlenszerűen történnek, az eredő áram illetve feszütség fluktuációját okozzák. A termikus zajfeszültség teljesítménysűrűség-spektrumára az úgynevezett Nyquistformulát kapjuk[25]: (34) ahol k a Boltzmann állandó, R a minta ellenállása, T a hőmérséklet. A fluktuáció-disszipáció tétel[58] felhasználása alapján megadható a (34) formulának egy általánosabb alakja is, amely egy Z impedancián mérhető termikus zaj spektrumát irja le [27]: (35) ahol h a Planck-állandó Brown-mozgás A Brown-mozgás régóta ismert klasszikus probléma. A jelenség röviden jellemezve abból áll, hogy egy részecskét a környezetével való kölcsönhatása miatt véletlenszerű erő mozgat. Ezt a következő egyenlettel lehet leírni[28]:

29 26 (36) ahol m a részecske tömege, v a sebessége, γ a közegellenállási együttható, F(t) pedig a véletlenszerű erő, amit Gauss-eloszlásúnak, és korrelálatlannak tételezünk fel. Már ebből a képből is látszik, hogy ez a mozgás nem lesz korrelálatlan, hiszen a részecske adott időpillanatbeli helye függ attól, hogy az előző pillanatban hol volt. A Brown-mozgás egy Markov folyamat, ami azt jelenti, hogy a részecske adott helyzete csak az előző helyzettől függ statisztikusan, és az azt megelőző helyzetektől független. Megjegyezzük, hogy ilyen jellegű folyamat nem kötődik szükségszerűen egy részecske mozgásához, más fizikai mennyiség is lehet ilyen tulajdonságú. Erre jó példa egy kondenzátor feszültsége, melyet véletlenszerű feszültség tölt. A Brown-mozgás jellegzetessége, hogy teljesítménysűrűség-spektruma 1/f 2 -el arányos széles frekvenciatartományban. Másik érdekes tulajdonsága folyamatnak, hogy a szórásnégyzet az idővel arányosan növekszik, tehát a folyamat nem stacionárius Diffúziós zaj Tegyük fel, hogy egy minta ellenállása valamilyen diffundáló mennyiséggel, például részecskékkel vagy hőmérséklettel áll kapcsolatban. Az ellenállás fluktuációját ebben az esetben a diffundáló mennyiség fluktuációja okozza, és a fluktuáció jellege az ellenállás

30 27 és a diffundáló mennyiség kapcsolatától függ. Ilyen eset fordul elő a szemcsés vezető anyagok esetében, például egy szénmikrofonban vagy egy egyszerű kontaktusban is. Ez a kontaktus-zaj lényegesen különbözik a termikus zajtól. Jelöljük a mintában diffundáló mennyiséget c(r,t)-vel, az eredő ellenállást pedig R(t)-vel. Az R és c mennyiségek kapcsolatát a következő formulával adjuk meg[29]: (37) ahol r a helykoordináta. Ha feltételezzük, hogy az R és c mennyiségek csak kicsit változnak átlagértékeik körül, akkor lineáris közelítéssel az alábbi alakot kapjuk (38) Itt R 1 és c 1 az R és c átlagértéktől való eltérést repzezentálják. Ac 1 mennyiség kielégíti a diffúziós egyenletet, tehát (39) ahol D konstans, g(r,t) pedig a véletlenszerű gerjesztést írja le.

31 28 Az egyenletet Fourier-módszerrel megoldva az R 1 (t) teljesítménysűrűség-spektrumára a következőt kapjuk[29]: (40) ahol ν a tér dimenziószáma, γ a Boltzmann-állandó, f a frekvencia, részecskék esetére s =γ/c. A (40) formula által meghatározott spektrum az f(r) függvény alakjától függ. Ezt a függvényt célszerű a következő, ν dimenziós Gauss-függvény alakban felvenni: (41) Ezzel a formával R és c sok különböző kapcsolata leírható, ha a konkrét esetnek megfelelő b i és i paramétereket helyesen választjuk meg. Az egyik esetként, tekinthetjük, amikor egy nagy ellenállású minta az egyik irányban igen vékony, a másik két irányban kiterjedt. A diffundáló ionok koncentrációváltázása az eredő ellenállás fluktuációját okozza. Az eset a következő paramétereket feltételezi: (42)

32 29 Itt 1/t vizsgálandó frekvenciatartomány nagyságrendjébe esik. Ha ezt behelyettesítjük a (40) egyenletbe, akkor azt kapjuk, hogy a spektrum 1/f 1/2 --nel arányos. Hasonlóképpen felhasználható a formula más esetekre is, például diffúziós felülettel rendelkező kontaktus zajának meghatározására, egymással érinrtkező felületek kontaktuszajának kiszámítására, stb. A spektrum a különböző esetekben különböző lehet, tipikusan 1/f 1/2..1/f 3/2 alakú [29]. Az 1/f 3/2 alakú spektrum a diffúziós zajok univerzális tulajdonsága. Ez a spektrumnak olyan szakaszán fordul elő, amikor a frekvencia nagyobb, mint a mintán való átlagos átdiffundálási idő reciproka, függetlenül a dimenziótól [30] Az 1/f zaj tulajdonságai Az olyan fluktuációkat, amelyek teljesítménysűrűségspektruma (43) alakú, 1/f zajnak nevezzük. A κ kitevő értékének határaira nincs igazán egységes álláspont, elfogadható értéknek tekinthető például az 1.2, de a κ=1.5 vagy κ=0.5 esetet már nem tekintjük 1/f zajnak. Mint a bevezetőben említettük, az 1/f zaj igen

33 30 általánosan előforduló zajtípus, aminek még ma sincs igazán átfogó, egységes elmélete. Az 1/f zaj leírásánál, 1/f zaj modellek megalkotásánál alapvetően az 1/f zaj speciális tulajdonságai jelentik a problémát. A következőkben a legalapvetőbb tulajdonságokat foglaljuk össze, az ideális κ=1 esetet feltételezzük. i.) Logaritmikus divergencia, frekvencia skálától független variancia A variancia egy adott f 1,f 2 frekvenciasávban a következőképpen adható meg: (44) Látható, hogy f 1 0 vagy f 2 esetén az ideális 1/f zaj logaritmikusan divergens mind az alsó, mind a felső frekvenciahatáron. Mivel a kifejezés csak az f 2 /f 1 hányadostól függ, ezért a variancia független a frekvenciaegység megválasztásától. ii.) Nem ergodikus, esetleg nem stacionárius Ha az 1/f zajt egy adott véges T ideig mérjük, akkor az f<1/t frekvenciájú komponenseket a mérés nem tartalmazza. Mivel az 1/f zaj varianciája divergens bármely 1/T frekvencia alatt, ezért az 1/f zaj nem ergodikus bármely T időtartamra nézve. Ez azt jelenti, hogy a statisztikai paraméterek mások lesznek T időátlaggal meghatározva, mintha sokaságátlagból számítanánk ki. A zaj

34 31 divergens volta miatt többszöri mérésekor ezek a paraméterek mások lehetnek, ami nem feltétlen jelent nemstacionaritást, amit csak a sokaságátlag időfüggése bizonyíthatna. iii.) Az időátlagolás nem csökkenti a középérték hibáját Sok esetben növelhetjük a mérés pontosságát, ha a méréseket időben többször elvégezzük ugyanazon a mintán és ezután képezzük az időátlagot. 1/f zaj esetében ez a módszer nem csökkenti a hibát, a középérték hibája független az átlagolási időtől. A t időre vett U(t) átlagértéket az U(t) zajfeszültségből a (15) formula szerint időbeli integrálással kapjuk meg. A Fourier-transzformáció az integrálást 1/iω-val való szorzásba viszi át, ezért az időfüggő átlag spektruma α/f 3 alakú. A spektrummal az átlag varianciáját kifejezve (45) ahol T az átlagolási idő, f T =β/t a frekvencia minimális értéke - az ennél kisebb frekvenciájú komponenseket az idő korlátossága miatt nem mérjük -, α és β konstansok. Az integrálást elvégezve a következő alakot kapjuk: (46)

35 32 tehát látható, hogy a variancia nem függ a mérési időtől. iv.) Sávhatárolt 1/f zaj autokorreláció-függvénye A spektrum ismeretében az autokorreláció-függvényt a (21) formula felhasználásával számíthatjuk ki. Ha a teljes frekvenciatartományban 1/f függést feltételezünk, akkor az inverz Fourier-transzformáció divergenciája miatt nem tudjuk az autokorreláció-függvényt analitikusan megadni. A továbbiakban a sávkorlátozott zaj esetét vizsgáljuk. Ha a két határfrekvencia f 1 és f 2, akkor a spektrum alakja (47) Ebben az esetben a normált autokorreláció a 1/f 2 «τ«1/f 1 tartományban jól közelíthető az alábbi formulával [31]: (48) Az autokorreláció tehát igen lassan, logaritmikusan csökken, ami nagyon hosszú távú korrelációt jelent /f-zaj előállítási módszerek Nagy jelentősége lehet az 1/f-zaj megértése szempontjából, ha tanulmányozzuk a különböző 1/f-zaj generálási módszereket. Ezekben megkereshetjük a közös

36 33 pontokat, és a korlátaikat is. Az 1/f-zaj matematikai előállítása sokféle lehet, és eszerint a statisztikus tulajdonságok is különbözhetnek, annak ellenére, hogy a spektrum 1/f lefutású. Tulajdonképpen két módszerről már az előbbi 1/f-zaj modellek kapcsán szóltunk is. Ezek mellett említjük meg a következő két elvet Meade módszere Tekintsünk egy olyan Gauss-eloszlású valószínűségi változót, amely időfüggésére jellemző, hogy állapotát mindig egyenlő T idők eltelte után változtatja. Ez tehát azt jelenti, hogy négyszögjelet kapunk, ami az n T<t<(n+1) T időintervallumokban konstans - ahol n egész szám -, de az amplitúdója az egymás utáni ilyen intarvallumokban más és más a Gauss-eloszlásnak megfelelően. Ha több ilyen folyamatot összegzünk, amelyekre a T i kapcsolási idők rendre egy T o időből származnak az alábbi összefüggés szerint [32]: (49) akkor az eredő folyamat spektruma 1/f lefutású lesz, és a sűrűségfüggvény is Gauss-függvény lesz a centrális határeloszlás tételnek megfelelően. Az ilyen folyamat sávkorlátozott, mivel az S(f) 1/f összefüggés csak az 1/T o,1/t N intervallumban lesz igaz, ahol T N a legrövidebb kapcsolási idejű folyamatra jellemző.

37 Keshner módszere Egy másik lehetséges 1/f-zaj generálási elvet az elektronika területéről veszünk. Ezt az elvet jól használhatjuk a gyakorlatban 1/f-zaj generátor építésére is. Tegyük fel, hogy egy lineáris, kondenzátorokból és ellenállásokból álló hálózati elem átviteli függvénye a következő alakú: (50) Egy ilyen tulajdonságú elemet mutat be az alábbi ábra. 4.ábra Elemi szűrőtag 1/f κ zajok előállításához Sok különböző átviteli függvényt állíthatunk elő, ha több ilyen tagot egymás után sorba kapcsolunk[33]. Ha minden tag után elhelyezünk egy egyszeres erősítésű elválasztó erősítőt, akkor elkerülhetjük az impedanciák egymásra hatását, és ekkor az eredő átviteli függvény

38 35 egyszerűen az egyes tagok átviteli függvényeinek szorzata lesz: (51) ahol R 1k és R 2k a k-adik tagra jellemző ellenállásértékek. Nem szorítjuk meg az általánosságot, ha a C kapacitást minden tagra azonosnak választjuk. Ha egy ilyen rendszer bemenetére fehér-zajt vezetünk, akkor a kimeneten megjelenő zaj spektruma A(ω) 2 -tel lesz arányos. Ezzel a módszerrel többféle spektrum előállítható. A közelítés pontosságát és a frekvenciatartomány szélességét a tagok száma határozza meg.

39 /f-zaj származtatása a Brown-mozgás skálázásával Az 1/f-zaj egy olyan általánosan előforduló zajtípus, amelynek még ma sem létezik kielégítő magyarázata[34]. Sokféle 1/f zaj modell létezik, de sajnos igen sok hibás elmélet is előfordul az irodalomban. Általában az 1/f zajt független Lorentzi típusú zajok szuperpozíciójaként értelmezik[35]. Az 1/f-zaj általános előfordulása adhatja az ötletet, hogy keressünk olyan elemi folyamatokat, amelyeknek a spektruma eleve 1/f alakú. Az 1/f zaj időbeli szerkezetének megértéséhez talán éppen az elemi folyamatok vizsgálata vezet majd el. Az irodalomban vannak modellek 1/f spektrumú elemi folyamatokra[36], és ezek általában nemlineáris modellek. Kiss és Hajdú [37] egy olyan diffúziós folyamatot talált, amely lineáris, nemstacionárius sokrészecske modell. Az olyan fluktuációkat, amelyek teljesítménysűrűségspektruma páros hatványkitevőjű (f 0,f ±2,..), könnyen értelmezhetjük, ha az igen gyakori és jól megértett fehérzajból indulunk ki. Erre a zajra jellemző, hogy spektruma konstans. Egyszerű integrálással kaphatjuk meg belőle az 1/f 2 -zajt, mivel az integrálás a Fourier térben frekvenciával való osztást jelent. Legyen például x(t) egy fehér-zaj időfüggvénye, tehát (52) Ha y(t)= x(t)dt, akkor X(f)-el és Y(f)-el jelölve x(t)

40 37 és y(t) amplitúdóspektrumait, a Fourier-transzformáció tulajdonságait kihasználva: (53) Mivel (54) ezért (55) Hasonlóan kaphatjuk meg a többi páros hatványkitevőt is. Az 1/f-zaj és a páratlan hatványkitevőjű zajok kapcsolatára az előbbi egyszerű módszert nem használhatjuk. Ha az 1/f-zajt fehér-, vagy például 1/f 2 zajból akarjuk származtatni, akkor erre többféle módszert is használhatunk. Az egyik lehetőség egy olyan mozgásegyenlet megadása, amelynek megoldásaként kaphatnánk meg az 1/fzajt[38,39]. Egy másik, egyszerű lehetőség, ha a folyamatot Markov-folyamatként képzeljük el, ami azt jelenti, hogy a következő rekurziós formulát használhatjuk az időfüggés leírására: (56) ahol x(t) a zaj időbeli függését adja meg, τ egy pozitív időtartam, és f τ (x) a folyamatot meghatározó,

41 38 sztochasztikus függvény. Ezen a módon jellemezhetjük a bolyongást is, ahol az f τ (t) alakja a következő: (57) ahol w τ (t) Gauss-eloszlású fehér-zaj. A τ paramétert azért adtuk meg, mert a fehér zaj szórása függ tőle az adott folyamaton belül. Nyilvánvaló, hogy az f τ függvény megválasztása alapvetően meghatározza a teljesítménysűrűség-spektrumot is. Ha sikerül találni egy olyan f τ függvényt, amelyre az x folyamat spektruma 1/f lefutású akkor sikerült megadni egy elemi folyamatot, amely már önmagában is hordozza az 1/f-zajra jellemző tulajdonságokat, tehát nem épül több folyamat szuperpozíciójára. A spektrum kiszámítása általában nem egyszerű feladat, a legtöbb esetben csak numerikusan, számítógépes vagy analóg áramkörös modellezés segítségével végezhető el. Természetesen ezzel a módszerrel csak Markovi folyamatok írhatók le. A harmadik lehetőség a skálázás. Ez azt jelenti, hogy egy ismert x(t) folyamatból indulunk ki, és bevezetünk egy új y(t) mennyiséget, amely a kiindulási mennyiségtől az alábbi módon függ: (58) ahol g(x) a skálázó függvény, amely nem függ az időtől.

42 39 Egyszerű fizikai példákat lehet hozni ilyen típusú transzformációkra, a mozgási energia például négyzetes függvénye a sebességnek, stb. A skálázással megváltoznak az alapvető statisztikus jellemzők, a sűrűségfüggvény, a korreláció és ezzel együtt a spektrum is. A spektrum kiszámítása itt sem egyszerű feladat, csak az esetek kisebb részében adhatjuk meg analitikus formában. Megjegyezzük, hogy Richardson[29] valamint Fassett és Van Vliet [40] vizsgálták az (58) egyenlet által leírt folyamatokat abban az esetben, amikor x(t) egy 1,2 vagy 3 dimenziós vektor, egy diffundáló részecske koordinátája. A g(x) függvény fizikai jelentése a részecskének a minta elektromos ellenállására gyakorolt hatás (hely szerinti súlyfüggvény) A rekurziós módszer vizsgálata Először vizsgáljuk meg, milyen eredményt szolgáltathat a rekurziós eljárás. Tegyük fel, hogy van egy adott véletlen folyamat, amelynek spektruma 1/f lefutású. Ezt a folyamatot szeretnénk leírni az alábbi rekurziós formulával: (59) A folyamat p(x(t),x(t+τ)) másodrendű sűrűségfüggvényének mérésével meghatározhatjuk az f τ valószínűségi függvényt. Ha a kiindulási folyamat Markovfolyamat, akkor az (59) formula leírja a jel időbeli

43 40 tulajdonságait. A mérést elvégeztük egy számítógéppel generált 1/fzajra. A Gauss-eloszlású 1/f-zajt fehér zaj szűrésével állítottuk elő a következő algoritmus szerint (ld.függelék 1.): 1. Az x i értékeit egy Gauss-eloszlású véletlen számsorozat elemeivel adjuk meg, i=0..n-1, ahol az N egész szám kettőnek egész számú hatványa, 2. Az x i értékek diszkrét Fourier transzformáltját kiszámítjuk a gyors Fourier-transzformáció (FFT) segítségével. Igy kapjuk az F i komplex számokat, i=0..n- 1, 3. Az F i komplex számokat megszorozzuk 1/ ivel, azaz elvégezzük a következő műveleteket : (60) 4. Elvégezzük az inverz Fouriertranszformációt, és az így kapott számokat elhelyezzük az x i tömbbe, ezáltal megkapjuk a kívánt 1/f spektrumú, Gauss-eloszlású véletlen számokat. A modellezés eredményeképpen kapott p(x(t),x(t+τ))

44 41 másodrendű sűrűségfüggvény (5.ábra) a τ paraméter értékét egy elemi lépésnek választva a következő formulával írható jó közelítéssel: (61) ahol x 1 az x(t), x 2 az x(t+τ) mennyiségeknek felel meg, x 10,σ 1 és x 20,σ 2 a megfelelő várható értékek és szórások, amelyek függenek az x(t) és x(t+τ) értékektől, ρ pedig a korrelációs együttható. 5.ábra Normális eloszlású 1/f zaj p(x(t),x(t+τ)) másodrendű sűrűségfüggvénye Eredményeink szerint x(t+τ) várható értéke x 20 (x(t)) x(t) módón függ x(t)-től (6.ábra). Ezekből a következő alakot kapjuk az f τ függvényre:

45 42 (62) 6.ábra Az x(t+τ) mennyiség x τ várható értéke x(t) függvényében így a következő rekurziós összefüggést adhatjuk meg a diszkrét x i értékekre: (63) ahol w i Gaussi-eloszlású, konstans spektrumú véletlen számokat jelöl. Ha a folyamat Markovi, akkor a (63) formulával előállított véletlen számok is 1/f-zajt reprezentálnak. A (63) formula felhasználásával azonban nem 1/f-zajt, hanem Lorentzi zajt kapunk (7.ábra). Ez azt jelenti, hogy a kiindulási 1/f-zaj nem Markovi folyamat.

46 43 7.ábra Az x i+1 = x i +w i formula véletlen folyamat alapján előállított teljesítménysűrűségspektruma A skálázás definíciója Vizsgálataink szerint elemi 1/f-zaj generálásának problémája a skálázási módszer segítségével megoldható [41,42]. Válasszuk kiinduló folyamatként az egydimenziós Brown-mozgást. Ez a zajtípus gyakori a fizikában, és értelmezését is egyszerűen megadhatjuk. A fehér zaj nem megfelelő a skálázási módszer esetén, mert spektruma invariáns a legtöbb skálázási transzformációval szemben. Ez annak a következménye, hogy a fehér zaj esetén tetszőleges w(t 1 ) és w(t 2 ) érték statisztikusan független egymástól, ezért ez a g(w(t 1 )) és g(w(t 2 )) értékekre is igaz lesz, elég általános feltételek mellett. Jelöljük x(t)-vel a Brown-mozgás időfüggését. Tudjuk, hogy x(t) spektruma 1/f 2 -tel arányos, ami erős korrelációt

47 44 jelent. Ha az x(t) mennyiségből megfelelő skálázás útján állítunk elő egy új y(t) jelet, akkor ennek spektruma 1/f 2 - től eltérő lesz. Különböző skálázó g(x) függvényeket vizsgálva célszerűnek láttunk olyan függvényt keresni, amely esetén a sokféle skálázási lehtőséget egy paraméterrel tudjuk kézbentartani. Erre a célra az α kitevőjű hatványfüggvény tűnt a legalkalmasabbnak: (64) Ezzel a definícióval egy szimmetrikus függvényt adtunk meg, amely α paraméterének megválasztásával befolyásolni lehet az y(t)=g α (x(t)) mennyiség statisztikai tulajdonságait. 8.ábra A g α skálázófüggvény alakja különböző α paraméterértékek esetén

48 A spektrumok kiszámítása Az egydimenziós Brown-mozgás skálázásával előállított y(t) mennyiség spektrumát számítógépes modellezés segítségével határoztuk meg. A továbbiakban a modellezéshez felhasznált módszereket ismertetjük. A Brown mozgás modellezésére az alábbi rekurzív összefüggést használtuk[47]: (65) ahol x i a Brown-mozgást reprezentáló diszkrét számsorozat, w i pedig Gauss-eloszlású, konstans spektrumú véletlen számokat jelent. A w i számokat egy egyenletes eloszlású számokat adó véletlenszám-generátorral állítottuk elő. Az úgynevezett additív véletlenszám-generátor definíciója a következő[43]: (66) ahol r i jelenti a generált számokat, M pedig egy alkalmasan választott nagy szám, esetünkben M=2 32 a számítógép szóhosszának megfelelően. A Gauss-eloszlású w számokat az egyenletes eloszlású r számokból lehet képezni a következő algoritmus felhasználásával[44]: 1. Legyen u=r j /M, q=(8/e) ½ (r j+1-0.5)/u, v=q 2

49 46 9.ábra Az additív véletlenszám-generátor algoritmusa 10.ábra Normális eloszlású véletlenszámok előállításának algoritmusa 2. Vizsgáljuk meg, hogy v nagyobb-e mint -4 log(u), ha igen térjünk vissza az 1. pontra; ha v < -4 log(u), akkor a keresett véletlen szám q. Megjegyezzük, hogy Gauss-eloszlású véletlenszámokat

50 47 a centrális határeloszlás tétel felhasználásával is előállíthatunk, ha összegzünk független egyenletes eloszlású számokat[45]. A fenti algoritmus azonban kedvezőbb a számítási sebesség szempontjából. A skálázott zaj előállításának módszerét a 11.ábrán foglaltuk össze: 11.ábra A skálázott Brown-mozgás előállításának blokkdiagramja Az α=1 értékhez tartozó jel maga a kiindulási egydimenziós Brown-mozgás reprezentációja. Az α=0 esetben négyszögjelet kapunk, aminek előjelváltásai között eltelt időtartamok a Brown-mozgás nullmetszetei közötti időknek felelnek meg. 1/f zajt az α -0.4 paraméter válásztásával nyertünk. A 12. ábrán láthatunk három jelrészletet, amelyek az említett skálázási paraméterek mellett adódnak. A spektrumokat különböző α paraméterértékek mellett határoztuk meg. Numerikus számításaink szerint a spektrumok hatványfüggvénnyel írhatók le, azaz konst/f κ alakúak. A spektrumok kiszámításához 2 16 egység hosszúságú mintákat használtunk. Az említett paraméterekhez tartozó spektrumokat szemléltetik a ábrák. Az ábrákon

51 48 12.ábra Különböző α paraméterű skálázással előállított jelrészletek. α=1 a Brown-mozgást reprezentálja látható egyenes vonalak az ideális 1/f 2, 1/f 1.5 és 1/f spektrumokhoz tartoznak. Jól látható, hogy a modellezéssel kapott spektrumok közel vannak az egyenesekkel reprezentált zajtípusokhoz több mint 4 nagyságrendet átfogó frekvenciatartományban. 13.ábra A modellezett Brown-mozgás spektruma (α=1). Az egyenes 1/f 2 spektrumot reprezentál.

52 49 14.ábra α=0 paraméterű skálázással előállított jel spektruma. Az egyenes 1/f 1.5 spektrumot reprezentál. 15.ábra α=-0.4 paraméterű skálázással előállított jel spektruma. Az egyenes 1/f spektrumot reprezentál A skálázó- és spektrumkitevő kapcsolata A skálázó függvény α paramétere és a spektrum κ

53 50 kitevője között egyértelmű kapcsolat van. A κ kitevőt 1/f κ alakú görbék illesztésével határoztuk meg. I.táblázat A κ(α) függvény értékei α κ A κ(α) függvényt a modellezés korlátozott pontossággal szolgáltatja. Ez elsősorban az α<0 esetre vonatkozik, mivel a skálázott jel spektruma ekkor több nagyfrekvenciás komponenst tartalmaz. A modellezés során nem tudjuk garantálni a mintavételi tétel követelményeinek betartását, ami a spektrumok alakjának torzulását, a nagyobb frekvenciákhoz tartozó spektrumértékek valóságostól való

54 51 16.ábra A skálázófüggvény α és a hozzátartozó folyamat spektrumának κ kitevője közötti kapcsolat. eltérését okozza (lásd Függelék 2.). Ez a hiba a minták hosszának növelésével, vagy analóg áramkörös modellezéssel csökkenthető.

55 A statisztikai paraméterek kiszámítása A skálázás a kiindulási folyamat satisztikai jellemzőit, szórását és sűrűségfüggvényét is megváltoztatja. A skálázó g α (x) függvény ismeretében ezek a mennyiségek kiszámíthatók. Határozzuk meg most a transzformáció eredményeképpen kapott folyamat sűrűségfüggvényét. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a Brownmozgást végző részecske a t=0 időpillanatban az x=0 pozícióban volt. Ilyen feltételek esetén t idő eltelte után a folyamat sűrűségfüggvénye az alábbi formulával adható meg: (67) Az x(t) Brown-mozgást reprezentáló jel p(x,t) és az y(t)=g α (x(t)) skálázott folyamat q(y,t) sűrűségfüggvénye között egyszerű kapcsolatot írhatunk fel: (68) ahol a dx és dy mennyiségek infinitezimálisan kicsik. Átrendezve (68)-at kapjuk: (69)