eredő ellenállása. A második esetben: A potenciálkülönbség mindhárom ellenálláson azonos, így U

Átírás

1 . Az R, R, R ellenállásokat az alábbi ábra alaján elsőként sorosan majd árhuzamosan kötjük. Adja meg mindkét esetben az eredő ellenállásra onatkozó ormulát! ad ab + bc + cd R + R + R miel az áramerősség ugyanaz minden ellenállásra onatkozóan. -el oszta: ad R + R + R agy R e R + R + R, ugyanis ad deiníció szerint a kacsolás R e eredő ellenállása. A második esetben: A otenciálkülönbség mindhárom ellenálláson azonos, így ab ab ab,, R R R Miel a őág áramerőssége a mellékágak összegeként kaható meg, így ab ab ab R R R ezt eloszta ab R ab + + R -el. R, agy R e R + R + R. Határozza meg az eredő ellenállást az alábbi három árhuzamosan kacsolt ellenállás esetén: R Ω, R Ω, R 6Ω! Az eredő ellenállás R e R R e Ω Ω 6Ω Ω tehát Ω R e Ω. 4 + R + R. Határozza meg az ábrán látható ellenállás-hálózat eredő ellenállását az A és B ontokra néze! R 5Ω A kört az alábbi módon átrajzola könnyen számítható a bejelölt két eredő ellenállás értéke. Először a két első árhuzamosan kacsolt ellenállás eredőjét számítjuk ki: R 5Ω agy 5Ω 5Ω R Ω R R 5 + 5Ω + 5Ω 5 5

2 Az alsó ellenállás esetén: R 5Ω 6,6& Ω + + agy R 5Ω 5Ω 5Ω 5Ω RR R 5Ω 5Ω 5Ω R 6,6& R Ω RR + R 5Ω + 5Ω 75Ω És a égeredő: ( 5Ω + 6,6 Ω ) 5Ω 4,6 Ω Ω R & 5 Eredő, 77Ω 5Ω + 6,6 Ω + 5Ω 9,6& Ω.4 Határozza meg az ábrán látható ellenállás-hálózat eredő ellenállását az A és B ontokra néze! Jól látható, hogy a két 5Ω -os ellenállás árhuzamosan an köte. llete a 4 Ω és a 6Ω -os ellenállások árhuzamos eredője is számítható: 5Ω 5Ω R 55,5Ω 5Ω + 5Ω 4Ω 6Ω R 46,4Ω 4Ω + 6Ω Az R 55 és az R 46 sorosan an köte és ele árhuzamosan an egy Ω -os:,5ω +,4Ω ) Ω 49Ω R ( Eredő,886 Ω,5Ω +,4Ω + Ω 4,9Ω.5 Határozza meg az ábrán látható ellenállás-hálózat eredő ellenállását az A és B ontokra néze! A Ω -os és a 4Ω -os árhuzamosan an köte és az eredőjükkel sorba an a 4Ω -os és ezekkel árhuzamosan an a,5ω -os és a 4,5Ω -os eredője. R 4,,4,6 Ω 4Ω ( + 4Ω )(,5Ω + 4,5Ω ) Ω Ω 7Ω + 4 4Ω Ω 4Ω + 4Ω +,5Ω + 4,5Ω 8Ω Ω + 4Ω A 4Ω -os eredőel an sorosan köte az 5Ω -os és elük árhuzamosan an a 8Ω -os és ezekkel sorosan an egy 4Ω -os. ( 5Ω + 4Ω ) 8Ω R 4,5,8,4 + 4Ω Ω 5Ω + 4Ω + 8Ω Ezzel a Ω -al árhuzamosan an köte az 5Ω -os és a 5Ω -os soros eredője. Az összes eredője égül az Ω -os és Ω -os soros kacsolásáal kaható meg. ( 5Ω + 5Ω ) Ω R Eredő + Ω 5Ω 5Ω + 5Ω + Ω

3 .6 alamely áramkör táláló eszültsége 5. Ha 5Ω -al megnöeljük a kör ellenállását, az áram A-el csökken. Mekkora az eredeti ellenállás és áramerősség? Az alábbi két egyenlet írható el a eremeltételek alaján: 5 5 és a R eredeti Rere det i + 5Ω tehát: agy 5 + 5Ω Rere det i Reredeti + 5Ω 5 R 5 5 R ( )( + 5Ω ) 5 R R 5 ( 5 R )(R + 5) / R + 5 5R + 5 R 5R 5R R 5R + 5 R + 5R 5 A kaott egyenletre alkalmaza a másodokú egyenlet megoldó kéletét: b ± b 4ac ± + 8 b ± b 4ac 5 ± , R, a a 5A 5 ± 5 R Ω 4A R 5Ω A kaott két megoldás közül csak a ozití kézelhető el. Ez alaján számítható az eredeti ellenállás. 5 5 Rere det i Ω 5A 5A Ω.7 Mekkora az eredő ellenállás az alábbi ábra szerinti kacsolásban az A és a B ontok között? együk igyelembe, hogy a első ezeték eszültsége égig megegyezik az A ont eszültségéel. A 6Ω -os és a 4Ω -os árhuzamosan an kacsola és az eredőjükkel sorba an a 6Ω -os és ezekkel árhuzamosan an a 6Ω -os. 6Ω 4Ω + 6Ω ( 6Ω ) 6Ω 4Ω R + 4,6,6,6 4Ω 6Ω 4Ω + 6Ω + 6Ω 6Ω + 4Ω A 4Ω -os eredőel an sorosan köte az 6Ω -os és elük árhuzamosan an a Ω -os. Ezek eredője miel két egyorma ellenállás an árhuzamosan köte 5 Ω. ( 4Ω + 6Ω ) Ω R Eredő 5Ω 4Ω + 6Ω + Ω

4 .8 Mekkora az eredő ellenállás az alábbi ábra szerinti kacsolásban az A és a B ontok között? A Ω -os és a Ω -os sorosan an köte elük árhuzamosan an kacsola az 5Ω - os és ezekkel sorosan an az Ω -os. Ω + Ω ) 5Ω R (,,5, + Ω,5Ω Ω + Ω + 5Ω Ezen eredőel sorosan an kacsola a 4Ω - os és 6Ω -os árhuzamos eredője. Ezzel az egésszel an mér árhuzamosan egy 7Ω -os. 4Ω 6Ω (,5Ω + ) 7Ω R 4Ω + 6Ω Eredő,5Ω 4Ω 6Ω,5Ω + + 7Ω 4Ω + 6Ω.9 ét árhuzamosan kacsolt anódtele adatai és. A teleek belső ellenállásai R Ω és R Ω. Számítsa ki az egyes teleek áramát és az k kaocseszültséget. a.,) A esetén b.,) ma esetén a, üresjárás esetén:. ( R + R ) ( Ω ) ( Ω ),A A kaocseszültség üresjárás esetén: R + Ω,A + 6,6& k b, ma terhelőáram esetén. A eladatot a irchho egyenletrendszer elírásáal tudjuk ormálisan megoldani a eladatot:. R R. R +, R t, A. Az ismert értékeket behelyettesíte és rendeze a köetkezőket kajuk:. +., Rt A., +, A második egyenlet alaján:. ( +,) A +, +,,A A kaocseszültség ma terhelés esetén: R + Ω A + k 4

5 . Mekkora áramot esz el a hálózatból egy 44 és egy P 7kW melynek a hatásoka η 84%? -os egyenáramú motor, P 7W P ideális 5,99 A 44 De miel an a készüléknek hatásoka is ezért a égeredményt ez alaján számíthatjuk: ideális 5,999 A 8,99 A η,84. Számítsuk ki az R ellenállás ontos értékét olt-ameres ellenállás mérésnél az a., ábra alaján, ha a oltmérő által mért eszültség 8, és az amermérő által mutatott áramerősség A. A oltmérő ellenállása R Ω és az amermérő ellenállása R,Ω. A a., b., Hány oltot jelez a oltmérő, a b., ábra szerinti kacsolásban, ha az amermérőn ismét A -t állítunk be? a., esetben ismert, hogy a oltmérőn mekkora eszültség esik és mekkora a belső ellenállása, így számítható a rajta olyó áram: 8 F,9A 9mA R Ω Tehát így ismert a oltmérő elé elolyó áram értéke amit leona a beállított A -es értékből megkajuk az ellenállásra jutó áramot. Miel a keresett ellenállásra ugyanaz a eszültség jut mint ami a oltmérő mutat, így Ohm törény alaján számítható az ellenállás értéke. 8 R 94,48Ω F A,9A A eladat nem kérdezi, de könnyen kiszámítható a mérésre kacsolt eszültség nagysága is: Elsőként számítható az árammérőn eső eszültség: A RA,Ω A, m Ehhez hozzáada a oltmérő eszültségét megkahatjuk a kaocseszültséget: +, + 8 8, k A b, esetben ismert az amermérő belső ellenállásán és a terhelésen átolyó áram. Ami eszültséget ejt a két elemen, amik összege a keresett mutatott eszültség. ( R + R ) ( 94,48Ω +,Ω ) A 88,567 b A 5

6 . Soros R-L-C kört tálálunk 6 eszültséggel 5Hz -es szinuszos eszültségorrásról. R,5kΩ, L H, C,5 µ F. Határozza meg a orrásból elett áramot és a teljesítménytényezőt! Rajzoljon minőségileg helyes azorábrát. Számítsa ki az áramkör rezonancia rekenciáját és a rezonanciában olyó áramot. A körrekencia értéke: rad ω π 4,5 s Az induktí reaktancia: rad X L ω L 4,5 H 68, Ω s A kaacití reaktancia: X C 7,77Ω ω C rad 6 4,5,5 F s Miel soros körről an szó az egyes tagokat csak össze kell adni. Z R + jx jx 5Ω + j68,ω j7,77ω ( 5 j644,977 ) Ω e L C 6, 78,6 Ω 6 6 e (,758 + j,45)a,67,6 A Z (5 j644,977 ) Ω 6, 78,6 Ω e Miel a eszültséghez iszonyítunk (tehát az º-os), és a teljesítménytényező a kaocseszültség és a terhelő áram közti szög értékeként ogjuk megkani. cos(,6 ),99 A azorábra ontos megrajzolásához szükség an az egyes eszültségesések értékére. R (,76 + j,45)a 5Ω ( 56,77 + j7, 7 ) 55,,6 R e L e jx L (,76 + j,45)a j68,ω ( 9, + j,),6,6 C ( jx ) (,76 + j,45)a ( j7,77 ) Ω (7,9 j498, 7 ) Ω e 467,9 66, 74 C 6

7 A kör akkor rezonál, ha a kaacitás és az induktiitás eszültsége egyorma abszolút értékű (csak ellentétes értelmű). Ebben az esetben a kör csak tisztán ohmos jellegű lesz. Ez alaján számítható a keresett rekencia: X L X C π L π C 6 4 π L C 4 π H,5 F A kör árama csak ohmos rezonancia esetén: 6 e,4a Z 5Ω e 7,76 Hz. Mekkora eszültséget kell az alábbi hálózatra kacsolni, hogy az, A legyen. Z 5Ω Z ( + Z 5Ω j5 )Ω Az egyes ág árama áramosztóal számítható: Z,A Z + Z,( Z + Z ), ( j5 ) (,6 + j,4 )A,4 7, A Z 5 Ha kiszámítjuk a kör eredő imedanciáját megszoroza a kiszámított árammal megkajuk a keresett eszültséget. Z Z ( + j5 ) j875 5 j5 Z Z + Z + j j5 5 j5 85 j875 + j (76,9 + j,5)ω Z e 5Ω + (76,9 + j,5) Ω (6,9 + j,5 ) Ω Z (,6 + j,4 )A(6,9 + j,5) Ω e 45,69 + j,58 + j,465 7,9 ( 8,4 + A ektorábra megrajzolásához az alábbi ektorokra an még szükség: + Z,5 7, Z 6 56,,88 56, A j4,999 ) 56,9 47,55 7

8 . Az alábbi három árhuzamos ágat tartalmazó áramkörre a köetkező eszültséget kacsoljuk: u( t ) 5 sin( 4 t ). A kacsolásban szerelő elemek a köetkezők: R Ω, R Ω, L,H, C 9µ F. Határozza meg, az áramkör i ( t ), i ( t ), i ( t ), i ( t ) ágáramainak időüggényeit! A eszültség időüggényéből látható a körrekencia és a eszültség eektí értéke. rad ω ω π 4, tehát a rekencia: 5Hz s π ) 5 e,4 rad X L ω L 4,H, 4Ω s X C 5,8Ω ω C rad F s Az áramok meghatározásához az ohm törényt használhatjuk. A R Ω ( j,4) (,58 j6,5) A 6,76 75 A R + jx ( + j,4) Ω ( j,4) L j5,8 j6,5a 6,5 9 A jx j5,8ω j5,8 C e + + A + 6,76 75 A + 6,5 9 A,6, 8 A 8

9 .4 Számítsa ki az eredő imedanciát, a kacsolás különböző ontjaiból néze: a.,) A-C ontok elől! b.,) B-C ontok elől! c.,) D-B ontok elől! a.,) esetben három árhuzamos ágat kaunk aminek az eredője a köetkező lesz: ( R + R ) ( R ) Ω 5Ω Z5,, 4Ω R + R + R Ω + Ω + 5Ω Z AC Z Z 5,, 5,, + ( jx jx L L jx C jx C ) 4Ω ( jω j5ω ) j 4 4Ω + jω j5ω 4 + j5 4 j5 + j8 j (,49 + j,95 ) Ω,4 8,6 Ω b.,) esetben a két R -es ellenállás sorosan an köte és ele árhuzamosan an az R -es ellenállás, és elük sorosan an az X L induktiitás. Ezen eredőel an árhuzamosan köte a kaacitás ( R + R ) R jx + Ω 5Ω C ( jx L ) j5ω ( + jω ) R + R + R Ω ( j6 + ) Ω Z 5 BC ( R + R ) R jx + + jx j5ω + 4Ω + jω 4 + j5 C L R + R + R (,95 j4,44 ) Ω 47, 77 6,6 Ω c.,) esetben az eredő számításhoz delta-csillag átalakítást használhatunk: Z R R Ω R 4Ω R 5Ω, Z Ω R + R + R 5 R + R + R 5 ( Z Z + jx + jx ) ( Z + Z jx jx ) + Z L C Z DB L C ( 4,87 j6,97 ) Ω 5,9 46 Ω ( + j ) Ω ( j5 ) Ω + 4Ω + j + j5ω 9

10 .5 Az alábbi áramkör adatai a köetkezők:, 5Hz, L,66 H, R 5Ω, C 59µ F. a.,) Mekkora az eredő áram és a wattmérőre jutó eszültség? b.,) Mennyit mutat az ábrán berajzolt wattmérő? c.,) Rajzoljon létékhelyes ektorábrát! Elsőként a két ág admittanciáinak az értékét kell meghatározni. Majd miel mindkét ágra ugyan az a eszültség jut számíthatóak az ágáramok. rad ω π 4,5 s rad X L ω L 4,5,66 H s 9,98Ω Ω X C Ω ω C rad 6 4,5 59 F s L j A 9 A jx jω RC ( 4,8 + L R jx C ( 5 j ) Ω j6,4 )A 8 5,4 A e L + RC 9 A + 8 5, A 4,8 j,6 6 6,86 A R RC R 8 5, A 5 Ω 5,4 A teljesítmény, miel nem ektor mennyiség ezért a benne szerelő áram és eszültség értékeket is skalárként (a ektor hosszát) kell behelyettesítenünk. A cos üggénybe beírandó szög a teljesítménymérőre kacsolt áram és eszültség közti szög P cosϕ 6 A cos( 5,4 ( 6,86 )) W e.6 Egy áltakozó áramú generátor, cos( ϕ ), 8 teljesítménytényező mellett P kw hatásos teljesítményt szolgáltat. Mekkora a látszólagos és meddő teljesítmény? P P W cos(ϕ ), 8 S 5kA S cos( ϕ ),8 S P W 5kA cos( ϕ ),8 Q S P 5 75kAr

11 Theenin - tétel: A tetszőleges bonyolultságú hálózatot helyettesíthetjük egy ideális eszgenerátorral, melynek orráseszültsége az eredeti kétólus üresjárási eszültségéel egyenlő, és egy soros belső ellenállással, melynek értéke a kétólus kacsai közt mérhető ellenállással egyezik meg, ha a eszültséggenerátorokat röidzárnak, az áramgenerátorokat szakadásnak esszük.. Helyettesítsük az ábrán adott hálózat A-B ontjai között léő összetett kétólust egy olyan legegyszerűbb kétólussal, amely az R t külső terhelés szemontjából egyenértékű az összetett kétólussal! Az R t ellenállás áramát a Theenin tételéel számola: Az üresjárási eszültség az A-B ontok között (a hálózat legkülső ágaiban összegeze a részeszültségeket): A elíráshoz szükség an a Ω ellenállás áramára. Ezt hurok törény segítségéel 8 határozhatjuk meg: A Ω + Ω R A Ω 4 AB A hálózat belső ellenállása az A-B ontok között: Ω Ω R AB ( Ω + ) 4Ω Ω + Ω Az R terhelő ellenállás árama Theenin kéletéel: t AB t RAB + R t

12 . Határozza meg az ábrán látható kacsolás A-B ágában olyó áramot a Theenin tétel segítségéel! Z Z Z Z Z 4 5 ( + j ) Ω ( j ) Ω ( + ( + ( 5 j ) Ω j ) Ω j5 ) Ω Az áramkörben az AB ontok között üresjárást biztosíta számítható az ( Z Z ) + Z Z AB 4 5 ( + j ) Ω ( + j ) Ω + ( 5 j5 ) Ω ( + j ) Ω + ( + j ) Ω jω + ( 5 j5 ) Ω Ω ( + j ) Ω Ezen ábra alaján látható, hogy egy zárt hurokban a -os eszültség orrás két azonos imedanciáal terhelődik. Így a keresett Theenin eszültség a teljes eszültség ele. A kérdéses áram a Theenin helyettesítő ké alaján számítható: 55 AB Z + Z ( j ) Ω + Ω ( AB 55 (,75 + j ) Ω j,75 )A,94 45 A R AB belső ellenállás.. Helyettesítsük az ábrán adott hálózat A-B ontjai között léő összetett kétólust egy olyan legegyszerűbb kétólussal, amely az R t külső terhelés szemontjából egyenértékű az összetett kétólussal (Theenin és Norton tétele alaján)!

13 Az R t ellenállás áramát a Theenin tételéel számola: Az üresjárási eszültség az A-B ontok között (a hálózat legkülső ágaiban összegeze a részeszültségeket): A elíráshoz szükség an a Ω ellenállás áramára. Ezt hurok törény segítségéel 5 határozhatjuk meg: 5 + Ω + Ω Ω + Ω 5 AB + Ω Ω + 5 +, ( + ) Ω A hálózat belső ellenállása az A-B ontok között: Ω Ω R AB ( 5Ω + ) ( 5Ω +,Ω ) 6, Ω Ω + Ω Az R terhelő ellenállás árama Theenin kéletéel: t AB t RAB + R t Norton - tétel: A tetszőleges bonyolultságú hálózatot helyettesíthetjük egy ideális áramgenerátorral, mely orrásárama egyenlő a kétólus röidzárási áramáal, és egy árhuzamosan kacsolódó ezetéssel, mely értéke megegyezik a kétólus kacsai közt mérhető ezetéssel, ha a eszültséggenerátorokat röidzárnak, az áramgenerátorokat szakadásnak esszük. Az R t ellenállás eszültségét Norton tételéel számola: A röidzárási áram az A-B ontok között hurok áramok módszeréel számola: ( + ) Ω + ( ) Ω ( 5 ) ( ) Ω + ( 5 + ) Ω 5 5 D 4 9, D 6, 8 D 6,96 A Z D A hálózat belső admittanciája az A-B ontok között: YAB,6S R 6,Ω AB Az Y t terhelési admittancia eszültsége Norton kéletéel: Z t Y + Y t AB Máskéen: Z R AB AB, 6,Ω,958 A

14 Szuerozíció tétele: Ha egy hálózat több generátort tartalmaz, akkor mindegyik generátor a hálózat bármely ágában a többitől üggetlenül hozza létre a maga részáramát. Minden generátor hatását külön-külön izsgáljuk, majd ezeket előjelesen összegezzük. A részáramok számításánál a többi generátort belső ellenállásáal helyettesítjük (áramgenerátorokat megszakítjuk, eszültség generátorokat röidrezárjuk)..4 A szuerozíció tételének elhasználásáal határozza meg az ábrán bejelölt áramot, ha R 4Ω, R 8Ω, R Ω! a.,) Csak a eszültség generátor hatását számola: 8Ω 4Ω Re R R + R + Ω,6& Ω 8Ω + 4Ω e, 789 A R,6 & Ω e ' R, 789 A e,6a R + R b.,) Csak az áram generátor hatását számola: 4 Ω '' R R 5A 4 R R R 4 + Ω + 8Ω 4,57 A Az eredmény a két részáram előjeles összegeként adódik: ' '' +,6A +,57 A,5788 A 4

15 .5 Határozzuk meg egy az ábrán elrajzolt hálózat A-B ágában olyó áramot és az AB ontok között elléő eszültséget! A Theenin tétel szerint kiszámítjuk az AB ont elöl az ellenállás értékét és az üresjárási Ω Ω eszültség nagyságát: R AB,6& Ω Ω + Ω Hurok egyenlet: Ω AB + Az áram meghatározására a rajzon bejelölt körüljárási iránnyal az alábbi egyenlet írható el: ( Ω + Ω ) +,6& A Ω issza helyettesíte az előbb elírt hurok egyenletbe:,6& A Ω +,6& AB A helyettesítő ké alaján kajuk a keresett áram és eszültség értékeket:,6 & AB AB,88 A RAB + 5Ω 5,6 & Ω R,6 &,88,6 & Ω 9,4 AB AB AB AB.6 Határozza meg az ábrán bejelölt áram nagyságát! A szuerozíció tételéel célszerű dolgozni ilyen áramkör esetén. Miel a röidrezárt eszültség generátor söntöli a ele árhuzamos ellenállást is, így azon sem esik eszültség: ' A megegyező irányú Ω '' A ellentétes irányú Ω ''' A ellentétes irányú Ω Tehát az eredő: szerint. A a bejelölt irány 5

16 .7 Határozza meg az ábrán látható hídkacsolás R t 5Ω -os belső ellenállású galanométerének az áramát Theenin tételéel! A Theenin tétel szerint ki kell számolni az AB ontokra a kacsolás imedanciáját, és az üresjárási eszültséget az alábbiak szerint: Ω Ω Ω 4Ω R AB + 6,6& Ω Ω 6Ω A eszültség mind a két ágban : arányban osztódik el a két ellenállás között. 4Ω 4, & Ω és,6& 6Ω Ω Tehát az eredő:,6 &, &,6 & AB 4 És égül a kérdéses áram: AB,6 & AB R + R Ω + 5Ω AB t 4,8mA 6

17 .8 Határozza mag a kéen látható hálózatban a C 4 kondenzátor áramának és eszültségének időüggényét! i 7,7 sin( 4t )A u L R R C 4 4,sin( 4t + π 4 ) 7, Ω Ω mh 6µ F iszámíta az induktí és kaacití reaktanciák értékeit: X L ω L 4 7, H 4Ω X C Ω 6 ω C 4 6 F A baloldali generátort átalakíta eszültség generátorrá az alábbiakat kajuk: R 5AΩ 5 Az eredeti áram iránnyal ellentétes a esz. iránya! Szuerozíció tételét alkalmaza: Az átszámítás után kaott generátort működtete másikat (ami most az összes többi) röidrezárjuk. 5 ',8 5 A Ω ( jω ) + ( + j4 ) Ω ( j ) Ω ' ' Ω,55,5 A ( j ) Ω A jobboldali generátort működtete: '' ( + j4 ) Ω ( j ) Ω ( j9 + ) Ω ( j ) + Ω + Ω ( + j4 ) Ω jω ( + j ) Ω ( j ) ,67 84,68 A ( 6 j j7 9 ) + Ω 7, + j,9 6, 9.68 Ω + '' '' ( + j4 ) Ω,58 9,8 A ( + j4 j ) Ω A két részeredményt előjelhelyesen összeada: ' '' +,55,5 A +,58 9,8 A,8 86,4 A i,8 sin( 4t + 86,4 )A Z,8 86,4 A( j ) Ω 8,46,6 C u 8,46 sin( 4t,6 ) 7

18 .9 Az ábrán látható kacsolásra, ( t ) sin( t ) eszültséget kacsolunk. Határozza meg, az i ( t ), i ( t ), u 4 ( t ) értékeinek nagyságát! u g Z Z + j,6 6, 6 Ω j,44 45 Ω Z 4Ω Z 4 Z T j5 j j4 4 9 Ω Z Z + Z ( Z + Z4 ) ( j)( 4 + j4 ), , j + + j + + Z + Z j j4 5,8 + j +,7 S + j +,8 g, 5, A Z,9 5, Ω T 4 j, 77,8 + j,9,9 5, Ω i ( t ), sin( t 5, )A Az áramból az áram, áramosztóal számítható: Z + Z4 ( 4 + j4 ) Ω 5,657 45, 5, A, 5, A,4 8 7, Z + Z + Z ( 5 + j ) Ω 5,8 4 i ( t ),4 sin( t + 8 7, )A Z ( j) Ω,44 45, 5, A, 5, A, 76 8, A Z + Z + Z4 ( 5 + j ) Ω 5,8 Az 4 eszültség az Ohm törény alaján számítható: Z, 76 8, A4 9,4 8 7, 4 4 u 4 ( t ),4 sin( t + 8 7, ) A 8

19 4. Egy háromázisú csillag kacsolású motor teljesítménytábláján a köetkező adatok találhatóak: 8, A, cos ϕ, 75, η 85%. Mekkora a motor hasznos teljesítménye, ázis eszültsége és ázis árama? A motor hasznos teljesítménye számítható a onali agy a ázis értékek alaján egyaránt: P cosϕ η cosϕ η 8 A, 75,85 8W Tudjuk, hogy csillag kacsolás esetén a ázis és onali áramok megegyeznek: 8 A ázis eszültség edig -a a onali értéknek: 4. Egy háromázisú delta kacsolású motor teljesítménytábláján a köetkező adatok találhatóak:, A, cos ϕ, 8, P,5kW. Mekkora a motor ázis eszültsége és ázis árama, és a hatásoka? A Tudjuk, hogy delta kacsolás esetén a ázis és onali eszültségek azonosak: A A ázis áram edig -a a onali értéknek: 6,5A A motor hasznos teljesítményének kéletéből tudjuk a hatásokot kiejezni: P P 5W η,894 % % cosϕ cosϕ A,8 η 89,4 9

20 4. Egy háromázisú delta kacsolású szimmetrikus ogyasztó elett teljesítménye 9 kw. A onali eszültség 8, a ogyasztó teljesítmény tényezője cos ϕ, 8. Mekkora a onaliáram, ázisáram, áziseszültség, ázisteljesítmény és az egy ázisban léő imedancia (annak ellenállása és reaktanciája soros kacsolás esetén)? Tudjuk, hogy delta kacsolás esetén a ázis és onali eszültségek azonosak: A motor hasznos teljesítményéből tudjuk a onali áramot kiejezni: P cosϕ 9W 8,8 7,A 8 P cosϕ 7,A A ázis áram edig -a a onali értéknek: 9,868 A A motor hasznos teljesítménye számítható a onali agy a ázis értékek alaján egyaránt: P 9W P W kw Az imedancia háromszög hasonló a teljesítmény háromszöghöz: P cosϕ,8 ϕ 6, 86 S 8 Z 8,5Ω 9,868 A R Z cosϕ 8,5Ω,8, 88Ω és X L Z sinϕ 8,5Ω,6, Ω

21 4.4 Egy háromázisú szimmetrikus csillag kacsolású ogyasztó elett látszólagos teljesítménye 9 ka. A onali eszültség 8, a ogyasztó teljesítmény tényezője cos ϕ, 8. Mekkora a áziseszültség, ázisáram, ázisteljesítmény (hatásos) és a onaliáram. Meghatározandó, azaz ellenállás és reaktancia értéke, amelyeket árhuzamosan kacsola, eredőként a kérdéses imedanciát kajuk! Tudjuk, hogy csillag kacsolás esetén a ázis és onali áramok azonosak: 8 A ázis eszültség edig -a a onali értéknek: A motor hasznos teljesítménye számítható a onali agy a ázis értékek alaján egyaránt: S S 9A,66 A P S cosϕ 9A,8 P,66 A,4kW A ázis imedancia abszolút értéke a ázis eszültség és áram hányadosakén számítható. Z 6,Ω,64 A Ez a imedancia ektor abszolút értéke amelynek a két komonensét a teljesítmény háromszöghöz aló hasonlóság alaján számíthatjuk. R Z cosϕ 6,Ω,8, 94Ω soros X L,soros Z sinϕ 6,Ω,6 9, 678Ω Miel a eladat árhuzamosan kacsolt elemeket kér ezért a recirok értékekkel kell számolnunk: Y (,4 j,7 )s Z + (,9 + j9,678 ) Ω R X L, Ezek alaján a árhuzamos eredők értéke: R,6 Ω, és X L, 6,88Ω,4,7

22 4.5 Egy háromázisú, 8 onali eszültségű, négyezetős hálózatra a az ábra szerinti ogyasztókat kacsolunk. Állaítsuk meg a ektorábra segítségéel, hogy mekkora teljesítményt mutat a wattmérő! Tudjuk, hogy csillag kacsolás esetén a ázis és onali áramok azonosak: 8 Z j9ω,578 9 A 9 9 Ω Z j9ω,578 A 9 9 Ω A Z Ω N + +,578 9 A +,578 A +,A

23 4.6 A ábrán látható háromázisú ogyasztó rendszer adatai: 4, R Ω, X L Ω, X C Ω. Mekkorák a ázisáramok? Rajzoljon létékhelyes ektorábrát, és ez alaján határozza meg a onali áramok nagyságát! Tudjuk, hogy delta kacsolás esetén a ázis és onali eszültségek azonosak: 4 7,9 A Z Ω 4 A Z 9 Ω 4 A Z 9 Ω 7,9 A A 9 A A 7,9 A 9 A A A 9 A

24 4.7 A ábrán látható áramkör adatai: 8, R 4Ω, X L 4Ω, X C 4Ω. Mekkorák a onaliáramok? Mekkora a háromázisú meddő teljesítmény? Mennyit mutat az ábra szerint berajzolt wattmérő? Tudjuk, hogy delta kacsolás esetén a ázis és onali eszültségek azonosak: 8 8 6, 7 45 A ( 4, 75 + Z ( 4 j4 ) Ω 56, Ω j4, 75 )A 8 8 6, 7 75 A (, 76 + j6,48 )A Z ( 4 + j4 ) Ω 56, Ω 8 8 6, 7 65 A ( 6,48 j, 76 )A Z ( 4 + j4 ) Ω 56, Ω ( 6,48 j, 76 )A (, 76 + j6,48 )A ( 8,6 j8,6 )A,6 5 ( 4, 75 + j4, 75 )A ( 6,48 j, 76 )A (, + j6,486 )A,96 A (, 76 + j6,48 ) ( 4, 75 + j4, 75 ) (,47 cos + j,47 sin ),47 5 A * S 8 A6, 7 45 A (8 j8 )A * S 8 A6, 7 75 A ( 8 j8 )A S + * 8 A6, 7 65 A ( 8 + j8 )A A wattmérő eszültség tekercsére az ellenálláson eső eszültség jut. R 4Ω 6, 7 45 A 68,4 45 W PW W cosϕ W 68,4 6, 7A cos(75 45 ) Q Q + Q + Q Ar 56, 74W A 4

25 5. Mekkora keresztmetszetű asmagra an szükség annál az egyázisú transzormátornál, amelynek rimer tekercsét -os, 5Hz -es eriódusú hálózatra kacsoljuk? A tekercs menetszáma N és az erőonal sűrűség B m s m. π Tudjuk, hogy: i Bmax N A 4,44 Bmax N A nnen kiejeze a keresztmetszetet: A,54m 5,4cm 4,44 B N 4,44 5Hz s m m 5. Egy 5 eriódusú, háromázisú Dy kacsolású transzormátor ázisonkénti menetszáma N 7, N 49. A asmag keresztmetszete 4 cm. Az indukció csúcsértéke,s m. A rimer ezető keresztmetszete 5,5mm, az áramsűrűség A mm. Határozza meg a transzormátor rimer és szekunder indukált néleges eszültségét, a onali eszültségek áttételét, a teljesítményét. Rajzolja meg a kacsolást és állaítsa meg hány órás a transzormátor! di dφ Tudjuk, hogy: i L φ Φ max sinωt dt dt dφ d( Φ max sinωt ) Tehát: i Φ max ω cosωt dt dt Az indukált eszültség maximuma tehát: Φ ω Φ N A i max i B N A π i max max π Bmax N A 4,44 Bmax N A 4,44 B N A 4,44 5Hz 7 4 i max 4 m,s m max B max 66, i 4,44 Bmax N A 4,44 5Hz 49 4 m,s m 44,8 Miel a transzormátor rimer köre deltába an kacsola ezért a ázis és a onali eszültségek megegyeznek, de a szekunder csillagba an kacsola így ott a eszültség értéke i n i 66 in i. 44, , 77 b,.) A eladat ezen részét más módon is megoldhatjuk, a meneteszültség kiszámításáal: in N az egy menetre jutó eszültség edig: m 4,44 Φ max m 4 m 4,44 Φ max 4,44 Bmax A 4,44 5Hz,s m 4 m 9,576 N 9, in m in m N 9, ,77 77 i n 66 A onali eszültségek áttételére az alábbi értéket kajuk: a 8, in 5

26 Miel a eladat cos ϕ értékéről nem adott elilágosítást ezért a teljesítmény a látszólagos teljesítményre onatkozhat csak is, ehhez is iszont ismernünk kell a ázisáram nagyságát. A J 5,5mm A mm,a S 66,A kA a + b A ektorábrából leolasható, hogy a transzormátor 7órás. 5. Háromázisú Yy kacsolású transzormátor adatai a köetkezők: k, 4. Néleges teljesítménye S n ka, a dro ε z,8%, rimer tekercseszteség teljes terhelésnél P t, kw, szekunder tekercseszteség teljes terhelésnél P t, kw, a aseszteség P,6 kw. A k -os oldalról tálála a transzormátort az üresjárási árama,88 A. Rajzolja el ezen transzormátor helyettesítő kacsolási rajzát a k -os oldalra onatkoztata! A rimer és szekunder induktí ellenállások arányát, az ohmos ellenállások arányáal egye egyenlőnek. Sn A S 5, 77 A. Miel tudjuk, hogy a rimer és a szekunder kör is csillagba an kacsola ezért a ázis és onaliáram értéke ugyan az lesz: Pt W P t R R, Ω hasonlóan eljárhatunk, ha elhanyagoljuk a 5, 77 mágnesező áramot és az üresjárási áramot: ' ' ' ' Pt W P t R R,Ω : ' 5, 77 ( ) P R R R 476,kΩ ( ázisra onatkozik) R P 6W R ( ) 58, 7kΩ P 6W ab 6

27 P R R R R 587Ω,6A +,88,6,86 A R X X X R,kΩ,86 A X X,8 ε ε 9,4 ' ( R + R ) 5, 77 (, +,),8 Z Z R Z X Z Z 9,4,8 8,8 X S Z 8,8 X,68Ω toábbá tudjuk, hogy 5, 77 A X X + X. Miel a eladat megadta, hogy a rimer és szekunder induktí ellenállások arányát, az ohmos X S R X ellenállások arányáal együk egyenlőnek, ezért írhatjuk: ' ' agy S R X S R X S R R, Ω X S R X S X S,68 Ω 6,59Ω ' ' R + R, Ω X R + R X ' ' R,Ω X S X S X X S,68 Ω 5,8 Ω ' ' R + R, Ω R R R ' S S S S ' S S 7

28 5.4 A ka -es / -os 5 eriódusú, háromázisú transzormátor asesztesége P W. A kiseszültségű oldalt röidrezára, a nagyeszültségű oldalon 6 A-es áramerősség mellett a tekercseszteség P t 5W. Határozza meg a transzormátor hatásokát 5 %, 5 % és % -os terhelés mellett, ha: a.,) cos ϕ b.,) cos ϕ, 8. Mely látszólagos teljesítménynél lesz a hatások maximális és mekkora a lehetséges legnagyobb hatások? P + Ptn η S cosϕ S n n n Sn A n n n 5, 77 A. n 5, 77 A Ptn Pt 5W 87,W,8kW 6 A A kéletbe minden értéket kw-ba helyettesíte be cos ϕ esetén: P + Ptn, +,8,5 η 5%, ,85% S cosϕ,5 n, +,8,5, +,8 η 5%,969 96,9% η %,974 97,4%,5 b, P + Ptn, +,8,5 η 5%,956 9,56% S cosϕ,5,8 n, +,8,5, +,8 η 5%,964 96,4% η %, , 77%,5,8,8 A maximális hatások esetén a hatások üggény első deriáltja nulla tehát az alábbiakat ' Sn cosϕ ( P + Ptn ) írhatjuk el: η max Sn cos ϕ ' Ptn ( Sn cosϕ ) ( P + Ptn )( Sn cosϕ ) η S cosϕ ( ) max Mindkét oldalt szoroza ( ) S n n n ' cosϕ, majd oszta S n cosϕ -el kajuk: P P P,,9 Sη max Sn,9 9kA P,8 tn ', +,8,9 η 9%,974 97,4%,9 özelítő ormula használata esetén is hasonló eredményt kaunk: ' P P tn,,5 9 η max% S,975 97,5% cos + + S S ϕ n 9 tn 8

29 6.5 Az ábrán ázolt transzormátor néleges eszültsége n / n 66 / 44, a teljesítménye S n 7kA. A transzormátoron röidzárási mérést égzünk: * z 5, * z A, P * z 6W. (Egyszerűsített helyettesítő kacsolás alaján oldja meg a eladatot!) Határozza meg: a.,) a áziseszültségek áttételét b.,) a transzormátor belső imedanciáját a rimerre onatkoztata c.,) a transzormátor hatásos ellenállását a rimerre onatkoztata d.,) a transzormátor reaktanciáját a rimerre onatkoztata e.,) a droot és külön a hatásos és meddő komonensét.,) állaítsa meg a transzormátor kacsolási csoortját n 66 a.,) a 8, b.,) n * * z z 5 A, Ω agy * A Z * z Z * z z 5 A,Ω * c.,) cos Pz 6W ϕ Z, 645 * * 5 A z R Z cosϕz, Ω,645, 47Ω d.,) X Z sinϕz, Ω,9644, 65Ω * z e.,) Z * z Sn n z Z n 7A 66 * z 5 4,87 A A n Z * z ε 4,87 A 7,95 Z 7,95 % % 5,% 66 ε R ε cosϕ Z 5,,645 ε X ε sinϕ Z 5,,9644.,) Yd 5 órás,5% 4,94% 9

30 6.6 Egy /55 eszültségű, ka teljesítményű, háromázisú, háromszög/csillag kacsolású transzormátoron üresjárási és röidzárási mérést égzünk. A mérések eredményei: Üresjárásban: 55 6,5 A P,65 kw Röidzárásban: 95 5A P z,8kw Az üresjárási mérést a szekunder, a röidzárási mérést a rimeroldalról égeztük. Ezenkíül ellenállásmérésből ismert R 7,5Ω. iszámítandó: a.,) a néleges áramerősségek ( n, n, n, n ), b.,) R szekunder ohmos ellenállás, c.,) X és X induktí ellenállások. Azt eltételeze, hogy arányuk az ohmos ellenállások arányáal egyenlő oldja meg a eladatot. d.,) röidzárási eszültség százalékos értéke (dro). a.,) a néleges rimer onali-áram: Sn A 5 7, A n A néleges rimer ázisáram, miel a rimer oldal deltába an kacsola: 5 7, A 9,A A néleges szekunder onali-áram: Sn A 6 A n 55 A néleges szekunder ázisáram, miel a szekunder oldal csillagba an köte: 6 A n b.,) A röidzárásban mért teljesítmény a aseszteségek elhanyagolható kis mértéke olytán a tekercseszteségek összegéel egyenlő: ' P ( R + R ) ( R + R ) R Z Miel 5A 8,65A Pz 8W R 4,6Ω ( ) 5 A ' R R 4,6 7,5 7,Ω R R kiszámításához szükség an az áttétel ismeretére (rimer deltába an a szekunder edig csillagba):. a 4 7, a 5 55 Emlékeztető: ' ' ' R 7,Ω a R,589 Ω a a 5 ' R a R X a X S

31 c.,) A teljesítménytényező röidzárásban: Pz 8 cosϕ z, 95 5A sinϕ z,9478 A transzormátor Z + R X imedanciája ázisonként Z 45, 6Ω 5 A 8,65A X Z sinϕ z 45,6,9478 4, Ω Az induktí ellenállás az ohmos ellenállások arányában oszlik meg a rimer és a szekunder oldal között: ' ' X R X ' ', agyis R X és R X R X R X R tehát: R X 7,5Ω 4,Ω X,Ω R 4,6 Ω X ' R X 7,Ω 4,Ω R 4,6 Ω ' X Ω,74 Ω a 5 ' X d.,) Röidzárási eszültség: Z 9, 45,6 45 z Ω z,45 ε,78, 78% n A röidzárási eszültség ohmos és induktí komonense: n R ε R ε cosϕ z,% ε n n X ε sinϕ z X n,57% A transzormátor ázisorgatása tehát az ábra alaján: Dy5órás.

32 4 cm keresztmetszetű. A eszültségek 6.7 Egy háromázisú 5Hz-es transzormátor asmagja s / 55. A megengedhető indukció B max,. Hány menetet kell alkalmazni m ázisonként mindkét oldalon, ha a nagyeszültségű oldal csillagba a kiseszültségű oldal zegzugba an kacsola? Határozza meg: 4 m 4,44 Φ max 4,44 Bmax A 4,44 5Hz,s m 4 m,656 N N in,656 m in 55, menet m 4menet A ektorábra alaján belátható a transzormátor ázisorgatása agy óraszáma: Yz7órás

33 7. A háromázisú indukciós motor teljesítményelétele néleges terhelésnél 6kW, szlije edig,. A teljes állórész eszteség ekkor kw. Határozzuk meg néleges terhelésnél a orgórész ázisonkénti tekercseszteségét és a leadott mechanikai teljesítményt! P ( t P ), mech Adatok: P 6kW P á kw s, Pá Pt + P kw PL P Pá P ( Pt + P ) 6kW kw 59kW P P ( s ) 59kW(, ) 57,kW mech L t PL Pmech 59kW 57,kW t s PL, 59kW, 77kW P P, 77kW agy Pt 77W Pt 59W 7. Háromázisú, 6 ólusú, 5-os, 5Hz-es rekenciájú indukciós motor 95 min ordulatszám mellett kw teljesítményt szolgáltat. Teljesítménytényezője kekkor, 86, az állórész összes esztesége 5W, a surlódási eszteség edig kw. Határozzuk meg ennél a terhelésnél a szli értékét, a légrés teljesítményt és áramot, és a hatásokot! Adatok:, 5, 5Hz, P á 5W, P s kw n 95, P h kw, cos ϕ, 86 min 5Hz n 6 6 n n 95 s,5 n min 5% Pmech Ph + Ps kw + kw kw Pmech PL,kW ( s ),5 P P + P P + ( P + P ), +,5 L álló L t η Ph Ph kw,84 84% P P,6kW be,6 kw PL cosϕ cosϕ miel P,6kW,68 A cosϕ 5,86

34 7. Egy háromázisú, 6 ólusú indukciós motor 44-os, 5Hz-es rekenciájú hálózatra kacsolunk. Bizonyos terhelésnél a hálózatból 8kW teljesítményt esz el. Az állórész esztesége ekkor kw. A orgórész ázisonkénti árama 65A, a orgórész rekenciája edig. Mekkora ennél a terhelésnél a szli, a orgórész ordulatszáma, a leadott mechanikai min teljesítmény, a orgórész tekercsesztesége és a orgórész ázisonkénti ellenállása? Adatok:, 44, 5Hz, 65A,,66& Hz, P 8kW, min 6 s P álló kw,,66& Hz s,& 5Hz 5Hz n 6 6 n n s,& n n n s n min,& 966,6& min P P ( s) ( P P ) ( s) (8kW kw ) (,) & 77, mech L álló t PL Pmech P Pá Pmech 8kW kw 77,kW,664kW P Ezek alaján már számítható a orgórész ellenállása: P R t L Pt 664W 65 R,Ω kw 4

35 7.4 Egy háromázisú, ólusú szinkron generátor generátor indukciós motort tálál, amely néleges terhelésnél 5 ordulatszámmal orgatjuk. A min 44 ordulatszámmal min orog. Hány ólusú a motor, és mekkora a nélege szli? (a megoldások közül a gyakorlatilag legalószínűbbet álassza ki) Generátor adatai: ázisú 6 n 5 min Motor adata: n n 44 min n 6 a motoros üzem eltétele, hogy n n n Max 6 5Hz 6 6,8 n Max 44 min Ha a ólusárok száma: akkor a gé 4 ólusú. 5 n erc n eltétel igaz tehát ez egy lehetséges állaot. n n n 5 44 s,4 tehát a szli értéke s % 4%. n Mekkora ordulatszámmal orog a 8 ólusú indukciós motor, amelynél az állórész áramának rekenciája 5 a orgórészé edig,5? s s Adatok: 4 5Hz,5 Hz 5Hz Szinkron ordulatszám: n min A orgórészben indukált eszültség rekenciája a relatí ordulatszámtól ügg: n n n n ( n n ) és s n n n összeüggések alaján: ( n s ) s ezekből köetkezik: s,5hz n n 6 6 4,5 n n,5 75,5 77,5 min min 5

36 7.6 A háromázisú, 6 ólusú, 5-os, 5Hz-es rekenciájú indukciós motor bizonyos terhelésnél 975 ordulatszámmal orog. A motor ekkor a hálózatból 4kW teljesítményt min esz el, állórész eszteség kw,a surlódási eszteség edig kw. Határozzuk meg ennél a terhelésnél a szli értékét, a orgórész eszteségét, a hasznos teljesítményt, alamint a hatásokot! Adatok:, 5, 5Hz, n 975, P h 4kW, min P álló kw, P s kw 5Hz n 6 6 min n n 975 s,5,5% n PL P Pálló 4kW kw 9kW P s P,5 9kW,975kW t L 975W Ph PL ( Pt + Ps ) 9kW ( 975W + kw ) 65W Ph 65W η,9 9% P 4W 7.7 Egy 8-os, csillagkacsolású, 5Hz-es, 4 ólusú, aszinkron motor redukált orgórész ellenállása: R ',7 Ω, együttes szórási reaktanciája X X X ',5 + Ω. Ha a motort néleges nyomaték terheli, a ordulatszám 44. Mekkora a gé néleges nyomatéka? min Mekkora lesz a ordulatszám, ha a terhelőnyomaték a kétszeresére nő? (A számításnál az állórész ellenállását hanyagoljuk el!) A motor szinkron ordulatszáma: 5Hz n 8 A billenőnyomaték: M X ω n 5 X π,5ω π 6 6 s ' R,7 Ω Ehhez tartozó szli értéke: sb, X,5Ω min b ' ( ) Így a nyomaték tetszőleges szlinél: M ' R ω s ' ( ) R + X 5Nm R R + s ' + X 6

37 ' R M s Majd R ' elhanyagolásáal, kajuk: ω R R + + X s ' R ' s R ' M tt a maximális az energia kihozatal: s ' b R sb X ω R X + X s sb X s M ω s sb ω X b s X + X + s s sb M b X ω M b 6 M s sb + 5s + sb s 5s n n 5 44 sn s,4 4% n 5 M b 6 6 M 56 Nm s sb + 5s + 5, sb s 5s A második kérdés az előző terhelő nyomaték szeresére onatkozik: 6 56 Nm Nm 5s + 5s 6 5 s +,6 mindkét oldalt szoroza /5s-el 5s 5 s + s b ± b 4ac ± 69 s,96% s a 5 s 4,64% A 4,64% a motor labilis szakaszára esik így az kiesik. Tehát: n n( s ) 5(,96 ) Nem kérdés, de az adatok alaján még a elett teljesítmény is számítható: π,4 5Hz P el M ω M 56 Nm 7948,W 8kW P el cosϕ Pel cosϕ,54 A min 7

38 8. Egy háromázisú, ólusú csillagkacsolású szinkron generátort 6 ordulatszámmal min orgatunk. Az állórész ázistekercselésének a menetszáma 6, tekercselési tényező, 958. Határozza meg a rekenciát, a ázis- és onali eszültségeket üresjárásban. smert még a ólusonkénti luxus maximális értéke 5,6 s (az erőonal sűrűség szinuszos eloszlású) 6 5 n min 5Hz 6 6 4,44 Φ max N ξ 4,44 5Hz 5,6 s 6,958 95,6 95,6 8. Egy háromázisú csillag kacsolású szinkron generátor 8 kw hasznos teljesítményt szolgáltat. A generátor egy ázisának a reaktanciája Ω, hatásos ellenállása edig elhanyagolhatóan kis érték. A generátor a enti teljesítményt -os kaocseszültségű hálózatba tálálja bizonyos nagyságú gerjesztő áram mellett. gyanilyen gerjesztés mellett üresjárásban a generátor kaocseszültségét 5 -nak mértük. Mekkora az armatúra áram és a teljesítménytényező? P cosϕ 8W 8W cosϕ,94 A X cosϕ Ω,94 A a L c c P a 69,8 5 (69,8 ) 66, k c 66,,5 b x a + b 69,8 +,5 77, x 77,,9 A X Ω L,94 A 69,8 cos ϕ,988 agy cos ϕ, 988 ϕ 9, 4,9 A 77, 8

39 8. Egy háromázisú csillag kacsolású 5 -os szinkron generátornak a ázisonkénti szinkron reaktanciája Ω. (Az armatúra tekercsének hatásos ellenállását elhanyagoljuk.) A generátort 8 kw teljesítményű ogyasztóal terheljük. Határozza meg a ólus eszültséget, ha a.,) cos ϕ, 8 induktí b.,) cos ϕ c.,) cos ϕ, 8 kaacití 5 a.,) 78 P 8W 68,5A cosϕ 5,8 P ( (78,8 ) 64 k cosϕ ) + ( ) + ( P 98 A óluseszültség értéke tehát: P k sinϕ + X ) + (78,6 + 68,5A Ω ) 84, 6 b.,) P P 8W cosϕ 5 54,8 A ( k ) + ( X ) (78 ) + ( 54,8A Ω ) 6 6,56 P 798 P 798 8, 76 c.,) Miel a teljesítmény tényező ugyan annyi, csak más jellegű ezért az áram értéke megegyezik az a.,) részéel: 68,5 A ( cosϕ ) + ( sinϕ X ) P (78,8 ) 64 P 676 k + ( ) P ,66 k + (78,6 68,5A Ω ) , 9

40 8.4 Egy háromázisú csillag kacsolású -os szinkron motor 6 A áramot esz el. Az ellenállása elhanyagolható, a ázisonkénti szinkron reaktancia edig Ω. iszámítandó a motor elett teljesítménye, és a óluseszültség, ha a teljesítménytényező cos ϕ, 8 és a gé a.,) induktí, majd b.,) kaacití ogyasztó jellegű? k 65,85 P cosϕ 6A,8 94,5kW cos ϕ,8, sin ϕ, 6, ϕ 6, 86 cosϕ 65,85,8 58,8 k R k k X k sinϕ 65,85,6 X X Ω 6 A 8 8,6 a.,) ( ) + ( 8,6 8 ) + ( 58,8 ) 5464, 9464 k X X k R b.,) ( + ) + ( 8,6 + 8 ) + ( 58,8 ) 7569, X X R 4

41 8.5 5kA -es, 5 -os 5Hz -es, négyólusú, háromázisú, csillagkacsolású túlgerjesztett szinkron generátor néleges terheléssel, cos ϕ, 8 teljesítménytényezőel üzemel. A tekercs, és a aseszteség együttesen kw, a súrlódási eszteség 4 W. A gé szinkron reaktanciája,6 Ω. Meghatározandó a onali áram, a meddő teljesítmény, a hajtógé nyomatéka, a terhelési szög és a óluseszültség ázisértéke. A gerjesztés külső áramorrásból történik. A ektorábra megrajzolásánál az állórész hatásos ellenállása elhanyagolható. S S 5A 57, 75A 5 Q S sinϕ 5A,6 k ar P S cosϕ 5A,8 4kW P P + P + P 4W + W + 4W el t, s π,4 5Hz rad ω 57,79 s Pel 44W M 76,9Nm ω rad 57,79 s X 57, 75A,6 Ω 5, x 4,4kW X cosϕ 5,8 tgδ δ 7, 5 sin + 5 X ϕ k 5,6 + k k sinϕ + X + cosϕ agy ( 7, + 5, ) + (,9 ) 97, k + X sinϕ + X ϕ ( cos ) ( 88,67 + 5,,6 ) + (5, 8 ) 97, 4

42 9. Nyolcólusú egyenáramú generátor armatúráját 4 ordulatszámmal orgatjuk. min Mekkora a gé nyitott kacsain mérhető eszültség, ha az armatúrán 96 ezeték an, a árhuzamosan kacsolt ágak száma megegyezik a ólusszámmal, és a gé egy ólusán a luxus 4 s. 4( 8 ólusú ) n g 4 min Z 96 Φ 4 s a 4 smert az alábbi összeüggés, ahonnan a C konstans értékét a eladat szöege alaján meg tudjuk határozni: C Φ n ig 4 4 Z n 96 4 min ig Φ g 56 a 4 6 g 9. étólusú, egyenáramú generátor armatúráján 4 ezeték an. A generátort min ordulatszámmal orgatjuk. Ekkor a gé nyitott kacsain eszültséget mérhetünk. Mennyi a szükséges ólusonkénti luxus? Mekkora átlagos eszültség indukálódik a ólusok tekercseiben a gerjesztőkör kikacsolásakor, ha a tekercsek menetszáma egyenként, és a luxus,s alatt gyengül el teljesen. ( ólusú ) n min Z 4 Z Φ n i Φ i,s Z n min 4 6 dφ,s i N dt,s 4

43 9. A kaocseszültségű, kw -os egyenáramú söntgenerátor ordulattal jár. min kw illamos Ha a géet motorként használjuk, bizonyos terhelés mellett a hálózatból energiát esz el. Mennyi ekkor a motor ordulatszáma? Az armatúra ellenállása,5 Ω, a gerjesztőkör ellenállása edig 6 Ω. A keék mentén a eszültség esést. Az armatúra reakció hatását hanyagoljuk el. A generátort terhelő áram értéke:.w t 454,54 A A gerjesztő áram: g,66 A 6Ω Az armatúra áram: a 454,54 A +,66 A 458, A ig a Ra + k + kee 458, A,5 Ω + +,45 Motoros esetben: a.w m 45,45 A 45,45 A,66 A am m g im k kee a Ra kw -os teljesítmény elétel esetén: 4, 79 A im 4, 79 A,5 Ω 6,95 C Φ im C Φ nm ig n g ig im n n g m im 6,955 nm ng 78,8,45 min ig min 4

44 9.4 A 5 kaocseszültségű egyenáramú söntgenerátor 4 ordulattal orgata 5 kw min, Ω, a gerjesztőkör ellenállása hasznos teljesítményt szolgáltat. Az armatúra ellenállása edig 5 Ω. A keék mentén a eszültség esést. Számítsuk ki a gé ordultszámát, ha a 5 kaocseszültségre kacsola söntmotorként használjuk, és a hálózatból 5 kw energiát esz el.. Az armatúra reakció hatását hanyagoljuk el. A generátort terhelő áram: 5 A gerjesztő áram: g 5A 5Ω Az armatúra áram: a A + 5A 5.W t A 5 5A ig a Ra + k + kee 5 A, Ω , Motoros esetben: a 5.W h A 5 A 5A am h g im k kee a Ra kw -os teljesítmény elétel esetén: 95A im 5 95A,Ω 44, C Φ im C Φ nm ig n g ig n g im nm im n n 44, 4 56, min m g ig 8 min 44

45 9.5 A négyólusú, egyenáramú söntgenerátor armatúra ellenállása,ω, gerjesztő ellenállás 5 Ω. A kaocseszültségű generátor 6db -os 4W -os izzót tálál. Meghatározandó az armatúra áram és az indukált eszültség. A keék mentén létrejöő eszültségesést -nak ehetjük. A generátort terhelő áram értéke. 6 4W t 4A A gerjesztő áram. g A 5Ω Az armatúra áramnak tehát, a 4 A + A 6 A-nek kell lennie. i a Ra + k + kee 6 A,Ω + + 4,6 9.7 Egy egyenáramú soros motor teljes ellenállása Ω. A motort kaocseszültségre kacsoljuk. Bizonyos terhelésnél a motor 5A erősségű áramot esz el, ordulatszáma ekkor 8. Mekkora lesz a motor ordulatszáma, ha ugyanolyan kaocseszültség mellett 5Ω - min os ellenállást kacsolunk ele sorba, és a terhelést úgy áltoztatjuk meg, hogy az áramerősség toábbra is 5 A maradjon? im k a Rs 5 85 * * R 5A(+ 5 ) Ω im k a s * * im C Φ nm im C nm Φ * * i nm nm , 85 min i * i min i n n * m m 45

46 9.6 Az 5 -os egyenáramú sönt motor, 4 ordulatszámmal jár. Hatásoka 9 % és a min tengelyen 95 Nm nyomatékot ejt ki. Mekkora áramot esz el a hálózatból? 95Nm π 4 P M t ω t 6 A beezetett teljesítmény: Pt 868,4W Pbe 975W η,9 Pbe 975W be 8,5 A 5 min t 868,4W 9.8 A hatólusú, 5 kaocseszültségű egyenáramú söntmotor armatúra ellenállása,5ω, a gerjesztőkörének ellenállása 5 Ω, ólusonkéni luxusa s, ordulatszáma 49. min (Az armatúrareakció mezőgyengítő hatása elhanyagolható.) Mekkora a motor leadott teljesítménye, terhelő nyomatéka és hatásoka? Ha tudjuk hogy a motor A áramot esz el a hálózatból és a mechanikai és a aseszteség együttes értéke 9W. P h M ω. A hasznos teljesítmény elírásához a teljesítmény szalagot tudjuk elhasználni. A gerjesztőköri eszteség: P ( 5 ) g Rg 5Ω Pg W P g g Rg g A R 5Ω g W Az armatúra eszteség: Pa a Ra ( 8A ),5Ω A beezetett teljesítmény: P P + P + P + P be g a + s h a be g A A 8A 6W Ph Pbe Pg + Pa + P + s 5 A W 6W 9W 798W Ph 798W Ph Ph 6 798W 6 η 79,4% M 85Nm Pbe W ω π n π 49 min 46

47 . Egy -os eszültségű hálózatból egyenirányítón keresztül egy Ω -os ellenállású ogyasztót tálálunk FÜ diódás kacsolással a.,) Rajzolja el a kacsolást b.,) Ábrázolja az egyenirányított eszültséget, és áramot c.,) Számítsa ki az egyenirányított áram és eszültség lineáris közéértékét d.,) Számítsa ki az egyenirányított áram és eszültség eektí értékét e.,) Határozza meg a diódát terhelő eszültség és áram maximális értékét. c.,) e π sin( ωt )dωt π a élda szerint ( ütemszám):,, 8 π [ cos( ωt )] [ cos( ) cos( )] e π π π e,5 e,45a R Ω d.,) ee ee [ cos( ) cos( 8 )] [ + ],5 [ sin( ωt )] cos ωt sin ωt dωt dωt ωt π π π π sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) ee π a élda szerint:, ( ) rad, 8 ( π ) rad sin( 6 ) sin( ) ee 6,6 π π ee 6,6 ee, 769A R Ω e.,) 5, Z max Z R 5, Ω max Z max,4a 47

48 . Egy -os eszültségű hálózatból tirisztoron keresztül egy Ω -os ellenállású ogyasztót tálálunk FÜ tirisztoros kacsolással. A gyújtásszög 9. a.,) Rajzolja el a kacsolást b.,) Ábrázolja az egyenirányított eszültséget, és áramot c.,) Számítsa ki az egyenirányított áram és eszültség lineáris közéértékét d.,) Számítsa ki az egyenirányított áram és eszültség eektí értékét e.,) Határozza meg a diódát terhelő eszültség és áram maximális értékét. c.,) e π sin( ωt )dωt π π [ cos( ωt )] [ cos( ) cos( )] π a élda szerint ( ütemszám):, 9 ( ) rad, 8 ( π ) rad 4 e cos( 9 ) cos( 8 ) + 5, 768 π π π e 5, 768 e,5 A R Ω d.,) ee [ ] [ ] [ sin( ωt )] cos ωt sin ωt dωt dωt ωt π π π sin( ) sin( ) ee π π π a élda szerint:, 9 ( ) rad, 8 ( π ) rad π sin( 6 ) sin( 8 ) ee 5 π π ee 5 ee,5a R Ω e.,) 5, Z max Z R 5, Ω max Z max,4a sin( ) sin( ) 48

49 . Egy -os eszültségű háromázisú hálózatból egyenirányítókon keresztül egy Ω -os ellenállású ogyasztót tálálunk FÜ diódás kacsolással a.,) Rajzolja el a kacsolást b.,) Ábrázolja az egyenirányított eszültséget, és áramot c.,) Számítsa ki az egyenirányított áram és eszültség lineáris közéértékét d.,) Számítsa ki az egyenirányított áram és eszültség eektí értékét e.,) Határozza meg a diódát terhelő eszültség és áram maximális értékét. c.,) e π sin( ωt )dωt π π [ cos( ωt )] [ cos( ) cos( )] π 5π a élda szerint ( ütemszám):, ( rad ), 5 ( rad ) 6 6 e cos( ) cos( 5 ) + 69 π π π e 69 e,69 A R Ω d.,) ee [ ] [ sin( ωt )] cos ωt sin ωt dωt dωt ωt π π π sin( ) sin( ) ee π π π 5π a élda szerint:, ( rad ), 5 ( rad ) 6 6 sin( 5 π π sin( ) sin( 6 ) ee + 7,4 π π ee 7,4 ee,9 A R Ω emax e.,) Z max 6 56,4 Z max,4 A R Ω ) sin( ) 49

50 .4 Egy -os eszültségű háromázisú hálózatból tirisztorokon keresztül egy Ω -os ellenállású ogyasztót tálálunk FÜ tirisztoros kacsolással. A gyújtásszög 9. a.,) Rajzolja el a kacsolást b.,) Ábrázolja az egyenirányított eszültséget, és áramot c.,) Számítsa ki az egyenirányított áram és eszültség lineáris közéértékét d.,) Számítsa ki az egyenirányított áram és eszültség eektí értékét e.,) Határozza meg a diódát terhelő eszültség és áram maximális értékét. c.,) e π sin( ωt )dωt π π [ cos( ωt )] [ cos( ) cos( )] π a élda szerint ( ütemszám):, + 9 ( rad ), 8 ( πrad ) e π π 4 π e 77,65 e,76 A R Ω d.,) ee [ cos( ) cos( 8 )] + 77,65 [ sin( ωt )] cos ωt sin ωt dωt dωt ωt π π π sin( ) sin( ) ee π π π a élda szerint:, + 9 ( rad ), 8 ( πrad ) sin( π sin( 6 ) sin( 4 ) π ee 8,5 π π 4 ee 8,5 ee, 787 A R Ω emax e.,) Z max 6 56,4 Z max,4 A R Ω ) sin( ) 5

51 .5 Egy 4 -os eszültségű háromázisú hálózatból egyenirányítókon keresztül egy Ω -os ellenállású ogyasztót tálálunk F6Ü diódás kacsolással a.,) Rajzolja el a kacsolást b.,) Ábrázolja az egyenirányított eszültséget, és áramot c.,) Számítsa ki az egyenirányított áram és eszültség lineáris közéértékét d.,) Számítsa ki az egyenirányított áram és eszültség eektí értékét e.,) Határozza meg a diódát terhelő eszültség és áram maximális értékét. c.,) e π sin( ωt )dωt π π [ cos( ωt )] [ cos( ) cos( )] π π a élda szerint ( ütemszám): 6, 6 ( rad ), ( rad ) e 4 π π π e 54,8 e,4a R Ω d.,) ee [ cos( 6 ) cos( )] ,8 [ sin( ωt )] cos ωt sin ωt dωt dωt ωt π π π sin( ) sin( ) ee π π π π a élda szerint:, 6 ( rad ), ( rad ) sin( 6 π π sin( 4 ) sin( ) ee ,66 π π ee 54,66 ee,5a R Ω emax 4 e.,) Z max 6 56,4 Z max,459 A R Ω ) sin( ) 5

52 .6 Egy 4 -os eszültségű háromázisú hálózatból tirisztorokon keresztül egy Ω -os ellenállású ogyasztót tálálunk F6Ü tirisztoros kacsolással A gyújtásszög 9. a.,) Rajzolja el a kacsolást b.,) Ábrázolja az egyenirányított eszültséget, és áramot c.,) Számítsa ki az egyenirányított áram és eszültség lineáris közéértékét d.,) Számítsa ki az egyenirányított áram és eszültség eektí értékét e.,) Határozza meg a diódát terhelő eszültség és áram maximális értékét. c.,) e π sin( ωt )dωt π [ cos( ωt )] [ cos( ) cos( )] π 5π a élda szerint ( ütemszám): 6, ( rad ), 8 ( πrad ) e 4 [ cos( 5 ) cos( 8 )] + 7,7 π π e 7,7 e,4 A R Ω d.,) ee [ sin( ωt )] cos ωt sin ωt dωt dωt ωt π π π sin( ) sin( ) ee π π 5π a élda szerint: 6, ( rad ), 8 ( πrad ) 6 sin( 6 5π sin( 6 ) sin( ) 6 ee ,64 π π 6 8 π ee 7,64 ee,5a R Ω sin( 5 ) + sin( 5 ) e.,) Z max 44, Z max, A R ) sin( ) 5

53 .7 Egy -os áltakozó áramú eszültség orrást egy diódán keresztül egy 4Ω -os ellenállás terhel. Mekkora a eszültség és az áram lineáris közéértéke, és az egyenirányított eszültség csúcsértéke? Mekkora lenne a eszültség és az áram lineáris közéértéke kétutas egyenirányítás esetén? e π sin( ωt )dωt π a élda szerint ( ütemszám):,, 8 π [ cos( ωt )] [ cos( ) cos( )] e π π π e,5 e,7 A R 4Ω 4,4 Z max [ cos( ) cos( 8 )] [ + ],5 Z max 4,4 Z max,6 A R 4Ω Az utolsó kérdés FÜ egyenirányítás esetére kérdez rá: Ez esetben ( ütemszám):,, 8 e π π π e 7 e 6, 75A R 4Ω [ cos( ) cos( 8 )] [ + ] 7,9 5

54 54.8 Számítsa ki az egyázisú hídkacsolást terhelő R ellenállás értékét, ha az ellenállás sarkain a lágyasas oltmérő 4 -ot mutat és az egyik diódáal sorba kötött Derez amermérő ma 45 -t mért? A lágyasas oltmérő a eszültség négyzetes közéértékét méri. [ ] t sin t t d t cos t d ) t sin( ee ω ω π ω ω π ω ω π ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ee π π Ez esetben ( ütemszám):,, 8 4 ) 6 sin( ) sin( ee π π π π 4 ee Miel a Derez amermérő az áram lineáris közéértékét méri, ezért a eszültség lineáris közéértékéel eloszta megkajuk az ellenállás értékét. [ ] [ ] ) cos( ) cos( ) t cos( t )d t sin( e π ω π ω ω π a élda szerint ( ütemszám):,, 8 [ ] [ ] ) cos( 8 ) cos( 4 e + π π π 868,96Ω A 45 6 R e e

55 .9 Egy 4 / -os eszültségű háromázisú hálózatból tirisztorokon keresztül egy 5Ω - os ellenállású ogyasztót tálálunk FÜ tirisztoros kacsolással. A gyújtásszög 45. a.,) Rajzolja el a kacsolást b.,) Ábrázolja a ogyasztó áramának időbeni leolyását c.,) Számítsa ki a ogyasztó áramának lineáris közéértékét és eektí értékét e.,) Mekkora az egyes tirisztorokat terhelő eszültség maximális értékét. c.,) e π sin( ωt )dωt π π [ cos( ωt )] [ cos( ) cos( )] 5π a élda szerint ( ütemszám):, + 45 ( rad ), 8 ( πrad ) 6,588 e π π π e 95,49 R 5Ω d.,) e ee [ cos(75 ) cos( 8 )] [,588 + ] 95,49 7,89A [ sin( ωt )] cos ωt sin ωt dωt dωt ωt π π π sin( ) sin( ) ee π π π a élda szerint:, + 45 ( rad ), 8 ( πrad ) sin( ) sin( 5π sin( 6 ) sin( 5 ) π ee (,5 ) 8,9 π π 6 π 6 ee 8,9 ee,5 A R 5Ω e.,) emax 6 56,4 Z max,5 A R 5Ω Z max ) 55

56 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra ELETROTECHNA Áramkör számítási ismeretek a hallgatói elkészülés támogatására Összeállította: Dr. Radács László Géészmérnöki és normatikai ar illamosmérnöki ntézet MSOLC EGYETEM 4

57 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra TARTALOM A munkaüzet célja, területei, elsajátítható kometenciák... Áramkör számítási alaogalmak, alatörények.... Áramköri elemek, áramkörök részei, teljesítmények..... Aktí elemek..... Passzí elemek Teljesítmények Áramkörök részei irchho törényei Mintaélda Gyakorló eladatok Feszültség- és áramosztó összeüggések..... Mintaélda..... Gyakorló eladatok... Áramkör számítási tételek.... A szuerozíció ele..... Mintaélda Gyakorló eladatok Helyettesítő generátorok tételei... 7 Theenin tétel Mintaélda Gyakorló eladatok... 9 Norton tétel..... Mintaélda Gyakorló eladatok... 4 Háromázisú rendszerek Elméleti összeoglaló Mintaéldák Szimmetrikus csillag kacsolás Szimmetrikus delta kacsolás Aszimmetrikus csillag kacsolás Aszimmetrikus delta kacsolás Gyakorló eladatok... rodalom... öszönetnyilánítás...

58 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra A munkaüzet célja, területei, elsajátítható kometenciák Az elektrotechnika az elektromágneses jelenségek gyakorlati hasznosításának a tudománya, magában oglalja a illamos energia előállításáal, szállításáal és elhasználásáal kacsolatos ismereteket. A mindennajaink elkézelhetetlenek a illamos energia elhasználása, az elektromágneses eleken történő jel- és inormációátitel segítsége nélkül. Ebből kiindula megállaíthatjuk, hogy alamilyen mértékű elektrotechnikai ismerethalmazra minden műszaki szakembernek eltétlenül szüksége an. A tudományterület módszertanának lényeges eleme, hogy az egyes eszközök, géek, berendezések iselkedését, alaető tulajdonságait áramköri modellek (helyettesítő kacsolási ázlatok) segítségéel írja le, majd ezek alaján köetkeztethetünk a toábbi állaotokban mutatott iselkedésre. Ezért rendkíül ontos a különböző áramkörök számítási módszereinek, analizálásának elsajátítása. Ennek a munkaüzetnek a célja, az önálló hallgatói elkészülés elősegítése, az előadásokon és gyakorlatokon megszerzett ismeretek begyakoroltatása, készségszintűé tétele, az alaető illamos szemléletmód kialakítása, alamint hogy közelebb hozza a illamosságtan egyes témaköreit a nem illamosmérnöki szakos egyetemi hallgatókhoz, miel az itt alkalmazott elek, módszerek analógia alaján számos más területen is alkalmazhatóak. A munkaüzet elsősorban ajánlható alamennyi, a Miskolci Egyetemen Elektrotechnika, illete Elektrotechnika-Elektronika című tárgyat tanuló hallgató számára, a géészmérnöki, az energetikai mérnök, a mechatronikai mérnök, az iari termék- és ormaterező mérnök és a műszaki menedzser alaszakokon, de hasonlókéen a műszaki öldtudományi alaszak egyes szakirányain oktatott tárgyak elsajátításához. Az összeállított éldaanyag azonban hasznos lehet a illamosságtan. című tárgyat elett illamosmérnök szakos hallgatók számára is.

59 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra Áramkör számítási alaogalmak, alatörények Az áramkör az elektromágneses térnek olyan egyszerűsített leírása, amely csak az erőtér néhány jellemző mennyisége közötti kacsolatára onatkozik, ezek rendszerint az áram és a eszültség. Az áram a töltések illamos tér hatására beköetkező rendezett mozgása, amelynek megállaodás szerinti iránya a ozití töltések alóságos, agy látszólagos elmozdulási iránya. A eszültség az egységnyi töltés által égzett munka, amelynek megállaodás szerinti iránya a otenciál (munkaégző kéesség) csökkenésének az iránya.. ábra: A legegyszerűbb illamos áramkör. Áramköri elemek, áramkörök részei, teljesítmények.. Aktí elemek Az áramkörök (illamos hálózatok) aktí elemei a illamos energia más energiaormából történő előállítását szimbolizálják. Az aktí elemek többségében alamilyen külső energia (mechanikai, egyi, stb.) hatására megtörténik a különböző nemű töltések szétálasztása, aminek köetkeztében energiára tesznek szert és munkaégzésre lesznek kéesek. Ezek a eszültség generátorok. Az aktí elemek kisebb részében a külső energia hatására közetlenül töltések injektálódnak a hozzájuk kacsolódó áramkörbe, ezek az áramgenerátorok. Feszültség generátor Áramgenerátor k g R b g k R g. ábra: A alóságos generátorok áramköri jelölése és kaocsmennyiségei Ha a generátorok eszteségei elhanyagolhatóan kicsik az áramkör többi teljesítményéhez kéest, akkor ideális generátorokról beszélünk. Ez a modellekben azt jelenti, hogy eszültség generátornál Rb, azaz k g, áramgenerátornál edig Rb, azaz g. Az áramkörök számítási módszereinek matematikai eszközei a generátorok orrásmennyiségeinek időüggényétől üggenek.

60 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra Forrásmennyiség időüggénye szerint Egyenáramú áltakozó áramú (Periodikus, lineáris közéértéke) Állandó áltozó Szinuszos Egyéb (Pl. négyszög) Folyamatos Szaggatott. ábra: A generátorok orrásmennyiség időüggénye szerinti csoortosítása Az időben állandó egyenáramú hálózatok esetén a számítás a legegyszerűbb, alós számokkal dolgozhatunk. Amennyiben időben áltozó egyenáramú hálózattal an dolgunk, akkor rendszerint az egyenáramú szemontból egyenértékű közéértékeket használjuk, amit lineáris közéértéknek neezünk és szintén alós szám. Egy T eriódusidőel áltozó (t) üggény lineáris közéértékének matematikai deiníciója: F T lin T (t) dt A mindennajainkban leginkább használt szinuszosan áltakozó áramú mennyiségek időbeli áltozásának leírására éldául eszültségnél általános alakban az u(t) m sin(ωt+ρ) üggény alkalmas. Egy lineáris áramkörben, ha a generátor orrásmennyisége szinuszos, akkor az áramkör alamennyi mennyisége azonos ω körrekenciájú szinuszos mennyiség lesz, tehát a jellemzésükre elegendő adat: a nagyságra utaló jellemző és a izsgálat kezdetekor elett érték, a ρ kezdőázis. Miel a lineáris közéértékük nulla a négyzetes közéértéküket (eektí érték) adjuk meg: F négyz T T (t) dt Szinuszos mennyiségeknél a négyzetes közéérték (eektí érték) a maximális illanatérték -ed része. A szinuszos mennyiségek nagyságának és egymáshoz kéesti ázisiszonyainak leírására tökéletesen alkalmasak a komlex eektí értékek. Az u(t) m sin(ωt+ρ) alakú szinuszos eszültség komlex eektí értéke: 4

61 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra m jρ jρ e e cos ρ + j sin ρ A komlex eektí értékek használatáal a áltakozó áramú áramkörök számításánál ugyanazok az összeüggések és módszerek alkalmazhatók, mint az egyenáramú áramköröknél. A többi eriodikus, de nem szinuszos mennyiség matematikai leírását Fourier sorejtési tételének segítségéel ezetjük issza a szinuszos mennyiségek számítására, de jelen munkaüzetben ezt nem tárgyaljuk... Passzí elemek Energia ogyasztó: Ellenállás: a illamos energia más energiaormáá (hő, mechanikai, stb.) aló átalakulásának leírására. Energia tárolók: nduktiitás: a mágneses tér ormájában tárolt energia áramköri lekéezésére. aacitás: a illamos tér ormájában tárolt energia áramköri lekéezésére.. táblázat: Passzí áramköri elemek alaösszeüggései Ellenállás nduktiitás aacitás Áramköri jelölés Tetszőleges időüggényű mennyiségek esetén Állandó egyenáram esetén Szinuszos áltakozó áram esetén u R i u L di dt i C du dt R röidzár szakadás R jωl jωc.. Teljesítmények dőben állandó egyenáramú áramkörökben a illamos áram teljesítménye P [W] (watt). áltakozó áramú áramkörökben, miel a eszültség és az áram is szinuszosan áltozik, a szorzatuk, azaz a illanatnyi teljesítmény is szinuszosan áltozik (kétszeres rekenciáal). Ennek az időüggénynek a jellemzésére hároméle teljesítményt használunk. A üggény átlagértéke (lineáris közéérték) az időegység alatt égzett munkára jellemző, ezt híjuk hatásos teljesítménynek: P cos [W] (watt). Az összeüggésben és eektí értékek, a edig a két mennyiség közötti áziseltérés. 5

62 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra A nulla közéértékű, a termelő és a ogyasztó között lengő teljesítmény-komonenst a csúcsértékéel írjuk le, ezt meddő teljesítménynek neezzük és az áramkör tároló elemeihez, az induktí és kaacití reaktanciákhoz társítható: Q sin [ar] (olt-amer-reaktí) A enti deiníciók után megrajzolható egy derékszögű háromszög a teljesítményekre (4.ábra), 4. ábra: nduktí jellegű ogyasztó azorábrája és az ebből származtatható teljesítményháromszög A háromszög átogója is egy teljesítmény, amelynek kiejezésében nem szereel a ázisszög, és az egyenáramú teljesítményhez hasonlóan számítható az eektí értékekből, ez a látszólagos teljesítmény: S [A] (olt-amer) A gyakorlatban mindhárom teljesítménynek megan a maga szeree és jelentősége és amint entebb látható mértékegységükkel is megkülönböztetjük őket. A teljesítménytényező a hatásos és a látszólagos teljesítmény iszonya, azaz szinuszos áltakozó áram esetén: P S cos Amennyiben a eladat megoldását a eszültségek és áramok komlex eektí értékeiel égeztük el, akkor a teljesítményeket ezekből közetlenül is meghatározhatjuk. A komlex teljesítmény: S e j S e j S cos + j S sin P + j Q, tehát egy komlex alakban elégzett szorzással alamennyi teljesítmény meghatározható, de nyomatékosan elhínám a igyelmet arra, hogy helyes eredményt akkor kaunk, ha nem az áram komlex eektí értékéel, hanem annak a konjugáltjáal szorzunk...4 Áramkörök részei Csomóont: kettőnél több hálózati elem kacsolódási ontja. A csomóontokat általában nagy betűkkel jelöljük meg, az 5. ábrán l. A, B, C. Ha két csomóont között nulla ellenállású ezető (röidzár) található, akkor a két ont azonos otenciálú és nem számít új csomóontnak. Ág: két csomóont közötti hálózatrész, amelyen ugyanaz az áram olyik. gyanazon két csomóont között több ág is lehet, de a különböző áramok miatt külön ágnak kell tekinteni. Az 5. ábrán l. az A és C csomóontok között két ág található: az e-r eszültség generátor és az R ellenállás. Hurok: azon ágak és csomóontok összessége, amelyeken égighalada a kiindulási ontba jutunk anélkül, hogy bármely ágon többször haladtunk olna. Az 5. ábrán l. a. hurok az A-B-C-A útonalat jelenti, míg a. hurok a B-C-B útonalat. 6

63 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra 5. ábra: Az áramkörök részeinek bemutatása Megállaodás szerinti (alóságos) irányok: Áram: a ozití töltések alóságos agy látszólagos mozgásiránya. Feszültség: a otenciálcsökkenés iránya. onatkozási (reerencia, mérő) irányok: Az irányukkal meg nem adott áramok és eszültségek előre, az áramkör számítás számára önkényesen elett iránya. Ha a számítás eredménye ozití, akkor az általunk elett irány megegyezik a megállaodás szerinti iránnyal, ha negatí, akkor azzal ellentétes.. irchho törényei. Csomóonti törény: a töltés megmaradásának törényét ejezi ki. Egy csomóontba be- és kiolyó áramok onatkozási irány szerinti összege zérus. A csomóontba be-, illete az onnan kiolyó áramok előjelét különbözőre kell álasztani. n ik k i i + i + i4 i5 6. ábra: A csomóonti törény alkalmazása. Hurok törény: az energia megmaradásának törényét ejezi ki. Egy hurokban működő eszültségek onatkozási irány szerinti összege zérus. A hurok elett körüljárási irányáal megegyező, illete azzal ellentétes irányú eszültségek előjelét különbözőre kell álasztani. 7

64 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra n k u k ul + ur ug + uc ur +um + ug uc4 + ug4 ur4 7. ábra: A hurok törény alkalmazása.. Mintaélda Megjegyzés: Az áramkör számítási mintaéldákat az elek hangsúlyozása érdekében minden esetben egyenáramú áramkörök esetére mutatjuk be, a áltakozó áramú áramkörök ugyanazon elek alkalmazásáal számíthatók a komlex imedanciákkal és a mennyiségek komlex eektí értékeiel. Számítsa ki az alábbi áramkör alamennyi ágának áramát! A R R 4 R R 4 Megoldás: Miel az áramkörben a 4 ágáram ismeretlen, ezeknek meghatározásához 4 üggetlen irchho egyenletet kell elírnunk, az ágak eszültségét ha szükséges az ágegyenletek segítségéel már ki lehet számolni. Az áramkörben csomóont található, a üggetlen csomóonti egyenletek száma ennél mindig -gyel keesebb, esetünkben kettő. A megoldáshoz tehát még két hurokegyenletre an szükségünk. A csomóontra: B csomóontra: 4 +. hurokra: R + R. hurokra: R + 4R4 R Az adatok behelyettesítése után alamilyen több-ismeretlenes egyenletrendszer megoldására tanult matematikai módszerrel az ágáramok meghatározhatók. A részletes számítások mellőzéséel az eredmények:,4 A;,9 A;,7 A; 4 7,7 A. 8

65 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra Érdemes megjegyezni, egy ilyen, iszonylag egyszerű áramkör esetén is jelentős számítási munkát igényel a mennyiségek meghatározása, ezért a legritkább esetben használjuk a irchho egyenletek elírását igénylő módszert. Összetettebb áramkörök esetén a számítási munka sokszorozódik, így inkább alamilyen egyszerűsítő módszert használunk, amelyek természetesen a irchho egyenleteken alaulnak... Gyakorló eladatok. ét eltérő orráseszültségű és belső ellenállású generátor tálál árhuzamosan egy ogyasztót. Határozza meg az áramkör mindhárom ágának áramát és a közös kaocseszültséget! (Eredmények:,54 A,, A,, A,,47 ). Határozza meg az alábbi áramkör ellenállásainak az áramát! (Eredmények: A, A, A, 4,5 A, 5,5 A) 9

66 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra. Számítsa ki az ábra szerinti áramkör alamennyi ágának áramát! (Eredmények:,8 A,,97 A,,55 A, 4,5 A, 5,7 A). Feszültség- és áramosztó összeüggések Áramkör számítási eladatok során gyakran találkozunk olyan esettel, hogy csak egy generátor működik az áramkörben és csak egy ágnak a jellemzői érdekesek a számunkra. lyenkor elkerülhető a irchho törényekkel meghatározott több-ismeretlenes egyenletrendszer elírása, illete megoldása, helyette az ezekből (az Ohm-törény elhasználásáal) leezethető eszültség- és áramosztó összeüggések használata a célszerű. Soros elemek árama azonos, a eszültség az ellenállásokkal egyenes arányban oszlik meg, árhuzamos elemek eszültsége azonos, az áram az ellenállásokkal ordítottan arányos. R R R R R R R R R R R R Az összeüggések alkalmazása két elem esetén triiális, összetett áramköröknél a használatuk nehézségeket okozhat. Ennek elkerülésére az áramköröket mindig két részre bonta kell elkézelni, az egyik, ahol szeretnénk meghatározni az ismeretlen mennyiséget, a másik, ahol nem érdekel. lyenkor az összeüggésekbe az egyes áramköri részek eredőjét kell helyettesíteni. Többszörös soros, illete árhuzamos kacsolás esetén az összeüggéseket láncszerűen (a kérdéses ágra közelíte) lehet alkalmazni.

67 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra.. Mintaélda Határozza meg az ábrán látható hálózat eszültségét, alamint és 4 áramát! alamennyi ellenállás értéke 5 Ω, a generátor eszültsége 6. Megoldás: A generátor elől néze az R ellenállás sorba kacsolódik az áramkör többi ellenállásának az eredőjéel, amelyen keressük az eszültséget, tehát alkalmazható a eszültségosztó összeüggés: R (R + R 4 R 5 ) R + R (R + R 4 R 5 ) 6 5 ( ) ( ) 6 Az ismeretében a keresett áram Ohm törénye alaján számítható: R + R 4 R ,8 A meghatározása után az 4 áram az áramosztó összeüggéssel: 4 R 5 R 4 + R 5, ,4 A Amennyiben csak az 4 áram a kérdés, akkor a eszültségosztó láncszerű alkalmazásáal az R4 ellenállás eszültsége közetlenül elírható, majd az Ohm törény alaján az árama is. 4 R (R + R 4 R 5 ) R + R (R + R 4 R 5 ) R 4 R 5 6 R + R 4 R 5 R 4 8,5 7,5 5,4 A.. Gyakorló eladatok. Számítsa ki alamennyi ellenállás eszültségét a eszültségosztó összeüggés segítségéel a onatkozási irányok elétele után!

68 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra o R R R 4 R4 (Eredmények: 4,88, 5,,,9, 4,9 ; a eszültségek előjele a elett irányoktól ügg.). Számítsa ki alamennyi ellenállás áramát az áramosztó összeüggés segítségéel a onatkozási irányok elétele után! o 6 A R R R 4 R4 (Eredmények:, A,,6 A,,8 A, 4,6 A az áramok előjele a elett irányoktól ügg.). Határozza meg az áramkörben az 4 eszültséget! (Eredmény: 4,4 ) R,5 R 5 R,5 R 4 5 R 5 5 Ω 4. Határozza meg az áramkörben az 5 áramot! o 6 A R R R 4 R4 R5 (Eredmény: 5 A)

69 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra 5. Határozza meg alamennyi áramköri elem eszültségét, ha a szinuszos generátor eszültségének eektí értéke, rekenciája 5 Hz (ennek a kezdőázisát tekintse nullának)! R 6 R 8 Ω L 5,9 mh C 8 F (Eredmények: L / o, R 6,/9,7 o, R C 6,49/ 8,9 o ) 6. Határozza meg az alábbi áramkör alamennyi áramköri elemének áramát, ha a szinuszos generátor áramának eektí értéke 5 A, rekenciája 5 Hz (ennek a kezdőázisát tekintse nullának)! R R L 6,7 mh C 6 F (Eredmények: R,/7, o A, L,96/, o A, R,8/ 56, o A, C,8/,7 o A) Áramkör számítási tételek. A szuerozíció ele A szuerozíció ele lineáris hálózatok számításaihoz alkalmazható. Egy hálózat akkor lineáris, ha alamennyi eleme lineáris, agyis az elemek karakterisztikája, azaz az i (u) kacsolat egyenes. Akkor lehet és célszerű alkalmazni, ha a hálózatban több generátor működik. Több orrást tartalmazó lineáris, recirok hálózatokban a orrások együttes hatása meghatározható egyenkénti hatásaik összegzéséel. Az egyes orrások hatásának izsgálatakor a többit dezaktiizálni kell. (Feszültség generátornál g, áramgenerátornál g ).

70 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra.. Mintaélda Határozza meg az ábrán látható hálózat R ellenállásának áramát és eszültségét a szuerozíció elének elhasználásáal! Megoldás: A R R 4 R R 4. szuerozíciós léés az eszültség generátor működik, dezaktiizála R (R + R 4 ) (4 + ) R + R (R + R 4 ) + (4 + ) 5, 5, R,7 A. szuerozíciós léés az áramgenerátor működik, dezaktiizála R 4 R R 4 + R + R R R + R R,46 4,9. léés az egyes generátorok hatásainak összegzése + 5, + 4,9 9,5 +,7 +,46,7 A ,46 A 4

71 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra.. Gyakorló eladatok. Határozza meg az ábrán látható hálózatban az és 5 áram, alamint az és 5 eszültség értékét a szuerozíció el elhasználásáal! g 5 g R 5 R 5 R R 4 R 5 (Eredmények:,5, 6,5 A, 5 5, 5,5 A). Határozza meg az ábrán látható hálózat R 4 ellenállásának áramát és eszültségét a szuerozíció elének elhasználásáal! 6 (Eredmények: 4,57 A, 4,86 ) R,5 R 5 R,5 R 4 5 R 5 5. Számítsa ki az alábbi áramkör áramát a szuerozíció el segítségéel! 5 A R R 4 R R4 R5 6 (Eredmény:,57 A) 5

72 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra 4. Határozza meg az ábrán látható hálózat R ellenállásának áramát és eszültségét a szuerozíció elének elhasználásáal! g g A R 4 Ω R Ω R 6 Ω R4 6 Ω (Eredmények:,69 A, 5,7 ) 5. Határozza meg az ábrán látható hálózat A - B ágának áramát és eszültségét a szuerozíció el segítségéel! A R Ω R 5 Ω R Ω R4 Ω (Eredmények: AB 7,7 A, AB 55 ) 6. Határozza meg az ábrán látható áramkörben a C4 kaacitás áramának és eszültségének az időüggényét! io 7,7 sin 4t [A] uo 4, sin (4t + π/4) [] R Ω L,7 mh R Ω C4 6 µf (Eredmények: ic 4 sin (4t + 86 o π π 8 )) A, uc sin (4t 4o 8 ) ) Megjegyzés: az időüggények argumentumában a kezdőázist matematikailag helyesen radiánban kell szereeltetni, de gyakran eltekintünk az átáltástól és okban írjuk, miel így jobban tudjuk értelmezni a szögeket. 6

73 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra. Helyettesítő generátorok tételei Bármely lineáris, inariáns, aktí hálózat tetszőleges két ontja elől néze helyettesíthető egy alóságos generátorral. Alkalmazása akkor célszerű, ha az áramkörnek csak egy része áltozik, agy áltoztatható. lyenkor a áltozatlan hálózatrészt egy alóságos generátorral helyettesítjük, majd ennek a helyettesítő generátornak a különböző terhelési állaotait egyszerűen számolhatjuk. A alóságos generátor két aramétere a köetkező megontolások alaján határozható meg. Lineáris elemekből álló hálózat alamennyi egyenlete lineáris, tehát tetszőleges két ontja közötti eszültsége és árama közötti kacsolata is lineáris. és kacsolatát kizárólag a lezárás határozza meg. ( Matematikailag az egyenest két ontja meghatározza, tehát elegendő, ha az eredeti hálózat és a helyettesítő generátor két különböző terhelés esetén egyenértékű, akkor alamennyi terhelési állaotban azok lesznek. Theenin tétel 8. ábra: A helyettesítő generátorok tételének szemléltetése A Theenin tétel szerint a lineáris, inariáns, aktí hálózat helyettesíthető egy alóságos eszültség generátorral. Üresjárásban a izsgált ág két égontja közötti lezárást eltáolíta a helyettesítő eszültség generátor üresjárási eszültsége és az eredeti hálózat A - B ontjai között mért eszültség meg kell, hogy egyezzen, azaz g AB. gyancsak meg kell, hogy egyezzen az eredeti dezaktiizált hálózat A - B ontjai elől nézett eredő ellenállás a helyettesítő generátornál mérhetőel, azaz Rb RABer. A dezaktiizálás azt jelenti, hogy eltáolítjuk a orrásmennyiségeket: g, g és csak a generátorok belső ellenállása szereel az áramkörben.) 7

74 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra.. Mintaélda Alkossa meg az ábrán látható hálózat A - B ontokra onatkozó Theenin helyettesítő kéét, majd ennek segítségéel határozza meg a bejelölt áramot! R R 4 R R4 R5 5 Megoldás: Az R ellenállást eltáolíta az A - B ontok közül, eszültségosztóal meghatározzuk az üresjárási eszültséget, ez lesz a helyettesítő generátor orráseszültsége. Miel az R és R4 ellenállásokon nem olyik áram, a két ont között az R ellenállás eszültsége mérhető: g AB R R + R + 6 A helyettesítő generátor belső ellenállása a dezaktiizált áramkör A - B ontok elől nézett eredő ellenállása lesz: R b R ABer R R + R 4 R Ω A helyettesítő generátor aramétereinek ismeretében isszahelyezzük az R ellenállást, mint terhelést, majd kiszámítjuk a kérdéses áramot: g R b + R A Amennyiben az R áltozik, akkor már csak ez utóbbi összeüggést kell újra kiszámolni. 8

75 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra.. Gyakorló eladatok. Alkossa meg az ábrán látható hálózatnak először az R, majd R5 ellenállások égontjaira onatkozó Theenin helyettesítő modelljét, majd ezek segítségéel határozza meg a bejelölt és 5 eszültségeket! R R 6 R 45 R4 6 R5 4 Ω (Eredmények: g 75, Rb 8,75 Ω, 5,9, g5 4,5, Rb5 5,4 Ω, 5 5,4 ). Határozza meg az ábrán látható hálózat A - B ágában léő R4 ellenállás áramát és eszültségét a Theenin tétel elhasználásáal! R R R R4 8 R5 4 (Eredmények: g 4, Rb Ω, 4 A, 4 8 ). Határozza meg az ábrán látható hálózat A - B ágában léő R4 ellenállás áramát és eszültségét a Theenin tétel elhasználásáal! A R R R 5 R4 5 (Eredmények: g 46,7, Rb,67 Ω, 4 5,5 A, 4 8,5 ) 9

76 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra 4. Határozza meg az ábrán látható hálózat R ellenállásának áramát és eszültségét a Theenin tétel elhasználásáal! 6 A R 6 R 6 R R4 (Eredmények: g 4, Rb 4 Ω,,8 A,,8 ) 5. Határozza meg az ábra szerinti kacsolás A - B ontokra onatkozó Theenin helyettesítő kéét, majd ennek segítségéel határozza meg az R ellenállás áramának időüggényét, ha az A-B kacsokra u,9 sin 4t [] eszültséget kacsolunk! R 6 R 8 Ω L 5,9 mh C 8 F (Eredmények: g,6/ o, Z b 5,4/ o Ω, i, sin (4t 8,9 o ) A 6. Alkossa meg az ábrán látható hálózat A - B ontokra onatkozó Theenin helyettesítő kéét, majd ennek segítségéel határozza meg az R ellenállás áramának időüggényét! u(t) 8, sin 4t [] R 5 R R L 9,55 mh C 67 F (Eredmények: g 4,/ 45 o, Z b 4,/ 4 o Ω, i.9 sin (4t,7 o ) A Norton tétel A Norton tétel szerint a lineáris, inariáns, aktí hálózat helyettesíthető egy alóságos áramgenerátorral.

77 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra Röidzárásban a izsgált ág két égontját nulla ellenállású ezetőel összeköte a helyettesítő áramgenerátor röidzárási árama és az eredeti dezaktiizált hálózat A - B ontjai között mért röidzárási áram meg kell, hogy egyezzen, azaz g ABz. gyancsak meg kell, hogy egyezzen az eredeti hálózat A-B ontjai elől nézett eredő ellenállás a helyettesítő generátornál mérhetőel, azaz Rb RABer (természetesen a röidzár nélkül). Ha egy áramkör egyenértékűen helyettesíthető egy alóságos eszültség generátorral, agy egy alóságos áramgenerátorral, akkor a két generátor is egyenértékű lehet egymással. Ennek eltétele, hogy a két generátor belső ellenállása (Rb) megegyezzen és a orrásmennyiségek között ennálljon az g Rb g összeüggés. Ebből az is köetkezik, hogy egy eszültség generátor egyenértékűen átalakítható áramgenerátorrá és iszont... Mintaélda Oldjuk meg a Theenin tételnél kitűzött mintaéldát a Norton helyettesítő generátor segítségéel. Ezzel megtakarítjuk a belső ellenállás meghatározásának munkáját, hiszen ugyanúgy kell itt is meghatározni, tehát az értéke is ugyanaz lesz. Megoldás: Az A - B ontok közötti röidzáron olyó áramot meghatároza kajuk a helyettesítő generátor orrásáramát. ABz R + R R 4 R 5 R R + R 4 R ,75 A A helyettesítő generátor aramétereinek ismeretében isszahelyezzük az R ellenállást, mint terhelést, majd kiszámítjuk a kérdéses áramot: g R b R b +R, A A két helyettesítéssel kaott eredmény természetszerűen megegyezik és ellenőrizhetjük a két generátor orrásmennyiségei közötti grb g kacsolatot: 6 6*,75.

78 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra..4 Gyakorló eladatok. Határozza meg az ábrán látható hálózat R ellenállására onatkozó Norton helyettesítő kéet! A modell segítségéel számítsa ki az R ellenállás áramát és eszültségét! A R 4 Ω R 6 Ω R 4 Ω R4 Ω (Eredmények: g 6,67 A, Rb 6 Ω, 4 A, 96. Határozza meg az ábrán látható hálózat R ellenállására onatkozó Norton helyettesítő kéet! A modell segítségéel számítsa ki az R ellenállás áramát és eszültségét! (Eredmények: g 4 A, Rb 5 Ω,,4 A, 4 ) R Ω R 8 Ω R Ω R 4 Ω R 5 Ω. Határozza meg az alábbi áramkör R 4 ellenállásának áramát és eszültségét a Norton helyettesítő generátor segítségéel! (Eredmények: g 4, A, Rb 5 Ω, 4,4 A, R R R R 4 5 R Határozza meg az ábrán látható hálózat A B ágában léő R ellenállásra onatkozó Norton helyettesítő kéet! A modell segítségéel számítsa ki az R ellenállás áramát és eszültségét!

79 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra A R Ω R 5 Ω R Ω R4 Ω (Eredmények: g,6 A, Rb 8,89 Ω,,88 A, 77,7 5. Határozza meg a hálózat Z imedanciájára onatkozó Norton helyettesítő kéet, majd ez alaján számítsa ki az imedancia áramának komlex eektí értékét. Adja meg az áram időüggényét is, ha a generátor eszültségének rekenciája 6 Hz. g (alós) Z Z -j Z j6 Z j,4 (Eredmények: g 4/ o A, Z b,68/ 7 o Ω, 4/ 5 o A, i 5,66 sin (77t 5 o ) A 4 Háromázisú rendszerek 4. Elméleti összeoglaló A illamos energiatermelés, elosztás és elhasználás területén a legelterjedtebbek ilágszerte a háromázisú rendszerek. A széleskörű elhasználás az egyázisú rendszerekhez kéesti alábbi előnyökkel magyarázható: - egy- és háromázisú ogyasztók egyaránt elláthatók a rendszerről, - az egy ázisra jutó ezetékek száma keesebb, - az egyik kacsolási módnál két különböző nagyságú eszültségrendszer áll rendelkezésre, - egyszerű orgó mágneses teret létrehozni ele (a illamos orgógéek működésének alaja), - szimmetrikus rendszerben a három ázis együttes hatásos teljesítménye időben állandó.

80 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra Általános esetben a három eszültség időüggénye: ul Lm sin ( t + ρ) ul Lm sin ( t + ρ) ul Lm sin ( t + ρ) Szimmetrikus a háromázisú eszültségrendszer, ha a ázisok eszültségei egyenlő nagyok Lm Lm Lm m és egymáshoz kéest azonos szöggel annak eltola o π rad Így a három eszültség (az ul kezdőázisát nullának álaszta): ul m sin t ul m sin ( t π ) ul m sin ( t 4π ) m sin ( t + π ) 9. ábra: A szimmetrikus háromázisú rendszer eszültségeinek időüggénye A szimmetrikus eszültségrendszer komlex eektí értékei: L (alósnak álaszta) L e jo L e jo Ha a enti két eltétel közül alamelyik nem teljesül, akkor aszimmetrikus a rendszer. Megjegyzendő, hogy a szabányos L, L, L ázisjelölések helyett a gyakorlatban és az oktatásban is elterjedten használatosak az,, agy az R, S, T, alamint az A, B, C betűhármasok is. A háromázisú ogyasztó ázisainak kacsolási módjai Csillag (iszilon, Y) kacsolás, amely lehet agy 4 ezetékes, ebben az esetben a ázisok egyegy kiezetését közös ontba ogjuk össze, míg a maradék három kiezetés adja a rendszer ázisát (. ábra). Amennyiben a közös ontot is kiezetjük, akkor kajuk a 4 ezetékes rendszert. Csillag kacsolás esetén kétéle eszültségrendszer áll a rendelkezésünkre, a áziskiezetések és a csillagont között mérhető áziseszültségek rendszere, alamint a áziskiezetések között mérhető onali eszültségek rendszere. A negyedik (null-, nulla) ezető szokásos jelölése N agy. 4

81 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra. ábra: A csillag kacsolású rendszer eszültségei Szimmetrikus rendszer esetén ABC és ABBCCA. A két eszültség nagysága közötti kacsolat egy azorábra alaján belátható, hogy: A kacsolási módból köetkezően a onali és a ázis áramok azonosak: Delta (háromszög, ) kacsolásnál az egyes ázisok égeit a köetkező ázis kezdetéhez kacsoljuk, és ezekhez csatlakozunk. Így a rendszer csak ezetékes lehet, ezért a ázisegységeken és a kiezetések között mérhető eszültségek azonosak.. ábra: A delta kacsolású rendszer áramai Az áramokat tekinte kétéle áramrendszerről beszélhetünk: a két indexszel ellátott ázisáramokról, amelyek az egyes ázisegységekben olynak, és az egy indexes onali áramokról, amelyek a áziskiezetésekhez csatlakozó ezetőkben olynak (. ábra). Szimmetrikus rendszer esetén ABBCCA és ABC jelölésekkel, a két áram nagysága közötti kacsolat egy azorábra alaján belátható, hogy: Egy ogyasztó szimmetriájának a eltétele, hogy mindhárom ázisban, komlex alakban azonos legyen az imedancia: Csillag kacsolású ogyasztónál: Z A Z B Z C Z e j Delta kacsolású ogyasztónál: Z AB Z BC Z CA Z e j A szimmetrikus rendszerek számításai azzal az előnnyel járnak, hogy csak egy ázis jellemzőit szükséges kiszámolni, miel tudjuk, hogy a másik két ázis mennyiségei ugyanakkorák, de kezdőázisaik ± π -mal eltérnek. 5

82 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra Aszimmetrikus ogyasztó esetén a eszültségek és áramok számítását ázisonként, komlex alakban kell elégezni az Ohm-törény és a irchho-törények alaján. Egyszerűbb esetekben lehetséges a mennyiségek azorábrán történő ábrázolása után a nagyságok és ázisok geometriai úton aló meghatározása. A háromázisú teljesítmények számításakor szimmetrikus ogyasztónál elegendő egy ázis teljesítményét meghatározni, majd a háromszorosát enni, ami kiejezhető a onali mennyiségekkel is. P P cos cos Q Q sin sin S S A teljesítménytényező az egy ázisú esethez hasonlóan: P S cos Aszimmetrikus ogyasztó esetén a háromázisú hatásos és meddő teljesítmények az egyes ázisok teljesítményeinek összegzéséel nyerhetők. P PA + PB + PC A A cos A + B B cos B + C C cos C Q QA + QB + QC A A sin A + B B sin B + C C sin C A háromázisú látszólagos teljesítmény nem a ázisteljesítmények összegzéséel, hanem a Pitagorasz-tétel segítségéel számítható: S P + Q Ebben az esetben a háromázisú hatásos és látszólagos teljesítmények iszonyának nincs izikai tartalma. A háromázisú rendszerek és ogyasztók jellemzésére a gyakorlatban mindig a onali mennyiségeket és a háromázisú teljesítményeket használjuk. 4. Mintaéldák 4.. Szimmetrikus csillag kacsolás Egy háromázisú szimmetrikus csillag kacsolású ogyasztó elett látszólagos teljesítménye 6 ka. A onali eszültség 4, a ogyasztó teljesítmény tényezője cos,8 (induktí). Mekkora a áziseszültség, a hatásos és meddő teljesítmény, a ázisáram, a onali áram, egy ázis imedanciája? Meghatározandó annak az ellenállásnak és reaktanciának az értéke, amelyeket sorosan kacsola, eredőként a kérdéses imedanciát kajuk! Megoldás: A áziseszültség: 4 A hatásos teljesítmény: P S cos 6*,8 4,8 kw A meddő teljesítmény: Q S sin 6*,6,6 kar S A ázisáram: 6 8,7 A A onali áram: 8,7 A Egy ázis imedanciája: Z 6,4 8,7 Az ellenállás: Rs Z cos 6,4*,8, Ω A reaktancia: Xs Z sin 6,4*,6 5,9 Ω 6

83 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra 4.. Szimmetrikus delta kacsolás Egy háromázisú delta kacsolású szimmetrikus ogyasztó elett hatásos teljesítménye kw. A onali eszültség 4, a ogyasztó teljesítmény-tényezője cos,6. Mekkora a áziseszültség, a látszólagos és meddő teljesítmény, a ázisáram, a onali áram, egy ázis imedanciája? Meghatározandó annak az ellenállásnak és reaktanciának az értéke, amelyeket árhuzamosan kacsola, eredőként a kérdéses imedanciát kajuk! Megoldás: A áziseszültség: 4 P cos A látszólagos teljesítmény: S 5 ka,6 A meddő teljesítmény: Q S sin 5*,8 4 kar S A ázisáram: 5 4,7 A 4 A onali áram: * 4,7 7, A Egy ázis imedanciája: Z 4 95,9 4,7 Z Az ellenállás: R 95,9 6 cos,6 Z A reaktancia: X 95,9 sin,8 4.. Aszimmetrikus csillag kacsolás Egy háromázisú, onali eszültségű, négyezetős hálózatra az ábra szerinti ogyasztókat kacsoljuk. Számítsuk ki a ázisáramokat, majd a kacsolás azorábrája segítségéel, a nulla ezetőben olyó áramot! Adatok: R, XL, XC Megoldás: A áziseszültség: Az egyes ázisok árama: 57,7 A 57,7,9 A X L B 57,7,9 A X C C 57,7 5,77 A R A csillagontra elíra irchho csomóonti törényét: N A + B + C 7

84 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra A azorábra: Az ábra elkészítésének menete: - kiindulásként elesszük a áziseszültségek szimmetrikus rendszerét ( A, B, C), - berajzoljuk a ázisáramokat ( A 9 o -ot késik A-hoz kéest, B 9 o -ot siet B-hez kéest, Cázisban an C-el.) - ha a ázisáramok összegzését A + B-el kezdjük, akkor eredőjük egy egyenesbe esik az C-el, így algebrai különbségként számíthatjuk az N nagyságát. N C *A*cos o 5,77 *,9*,44 A 4..4 Aszimmetrikus delta kacsolás A ábrán látható háromázisú ogyasztó rendszer adatai: 4, R, XL 4, XC 4. Mekkorák a ázisáramok? Rajzoljon azorábrát, majd ez alaján határozza meg a onali áramok nagyságát! Megoldás: Az egyes ázisok árama: AB 4 7,4 A R BC 4 A X C 4 CA 4 A X L 4 8

85 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra A azorábra: Az ábra elkészítésének menete: - kiindulásként elesszük a onali eszültségek szimmetrikus rendszerét ( AB, BC, CA ), - berajzoljuk a ázisáramokat ( AB ázisban an AB -el, BC 9 o -ot siet BC -hez kéest, CA 9 o -ot késik CA -hoz kéest.) - a onali áramok a csomóonti törények alaján: A AB CA B BC AB C CA BC A ázisáramok nagysága és a ázishelyzetek alaján az A, B, C onali áramok szabályos háromszöget alkotnak, nagyságuk: A B C A A eladat megoldása a komlex számítási módszer alkalmazásáal: A áziseszültségek: AB 4 (alós) BC 4 e j π A ázisáramok: A onali áramok: CA 4 e +j π AB AB R 4 7, A BC BC X C CA CA X L π 4 e j 4 e jπ π 4 e+j 4 e +jπ e j π 6 A (8,66 j 5) A e +j π 6 A (8,66 + j 5) A A AB CA 7, 8,66 j5 8,66 j5 e j π 6 A B BC AB 8,66 j5 7, 8,66 j5 e j 5π 6 A C CA BC 8,66 + j5 8,66 + j5 j e j π A 9

86 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra 4. Gyakorló eladatok. Egy háromázisú, szimmetrikus, csillag kacsolású ogyasztó ázisonkénti imedanciája komlex alakban Z (6 + j) Ω. A hálózatból elett árama,5 A. Határozza meg a ogyasztó: a) ázisáramát, b) áziseszültségét, c) onali eszültségét, d) hatásos, meddő és látszólagos teljesítményét e) teljesítménytényezőjét. (Eredmények:,5 A,, 4, P 65 W, Q 476 ar, S 794 A, cos,8.). A 4 -os, háromázisú hálózatra kacsolt, szimmetrikus csillag kacsolású ogyasztó hatásos teljesítménye 8 kw, teljesítménytényezője,8 (induktí). a) Számítsa ki a ogyasztó látszólagos és meddő teljesítményét! b) Mekkora a ogyasztó áziseszültsége? c) Mekkora a ogyasztó ázisárama? d) Mekkora a onali áram? e) Határozza meg a ogyasztó egy ázisának ellenállását és induktí reaktanciáját soros összeteők eltételezéséel! (Eredmények: S ka, Q 6 kar,, 4,5 A, 4,5 A, R,7 Ω, XL 9,5 Ω.). Egy háromázisú, szimmetrikus, delta kacsolású ogyasztó ázisonkénti imedanciája Z (6 + j8) Ω. A ogyasztót 4 onali eszültségű hálózatra kacsoljuk. Számítsa ki a ogyasztó: a) áziseszültségét, b) ázisáramát, c) onali áramát, d) látszólagos, hatásos és meddő teljesítményét, e) teljesítménytényezőjét. (Eredmények: 4, 4 A, 6,9 A, S 4,8 ka, P,88 kw, Q,84 kar, cos,6.) 4. Egy háromázisú, szimmetrikus delta kacsolású ogyasztó látszólagos teljesítménye 9 ka, a hálózat onali eszültsége 4. A kaacití ogyasztó teljesítménytényezője cos,6. Mekkora: a) a onali áram, b) a ázisáram, c) a hatásos és a meddő teljesítmény, d) az egy ázisban léő imedancia? Meghatározandó az az ellenállás és reaktancia, amelyek árhuzamosan kacsola eredőül a kérdéses imedanciát adják! (Eredmények: A, 7,5 A, P 5,4 kw, Q 7, kar, Z 5, Ω, R 88,9 Ω, XC 66,7 Ω.)

87 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra A köetkező, aszimmetrikus háromázisú ogyasztóra onatkozó eladatok mindegyike megoldható mind a komlex leírásmód segítségéel, mind edig azorábrák segítségéel, az áramok nagyságának és ázishelyzetének rajz alaján történő meghatározásáal. 5. A 9 -os háromázisú, négyezetős rendszerre csatlakoztatjuk az ábra szerinti ogyasztót. Határozza meg az egyes ázisok, alamint a nulla ezető áramát. Adatok: XL Ω, XC Ω. (Eredmények: A,5 A, B C A, N,5 A.) 6. Az ábrán látható háromázisú ogyasztó adatai: 4, R XL XC Ω. a) Határozza meg a ázis és a onali áramokat. b) Mekkora a ogyasztó eredő meddő teljesítménye? (Eredmények: AB BC CA A, A,94 A, B,7 A, C,58 A, Q ar.) 7. Három darab W-os ellenállás csillag kacsolásban csatlakozik a 4 -os hálózatra. Mekkorák az egyes ezetőkben olyó áramok, ha az A ázis ezetője megszakad és (a) a csillagont össze an köte a nullezetőel, (b) nincs összeköte.

88 TÁMOP-4...F-/-- Eltérő utak a sikeres élethez! A Miskolci Egyetem társadalmi, gazdasági szereének ejlesztése, különös tekintettel a duális kézési tíusú megoldásokra (Eredmények: (a) A, B C N 4,8 A, (b) A A, B C,8 A) 8. A gyakorlatban sokszor szükséges a három ázis sorrendjének megállaítása, ennek az egyik lehetséges módja az otikai ázissorrend mutató, amely tulajdonkéen egy seciális aszimmetrikus terhelés. (Pozití a ázissorrend, ha az -hez kéest o -ot késik az és 4 o -ot az. Negatí sorrend esetén az -hez kéest az késik o - ot az és 4 o -ot.) össünk egy kondenzátort és két azonos nagyságú ellenállást három ezetékkel a hálózatra az ábrán látható kacsolásban. Alkossanak a hálózat,, áziseszültségei szimmetrikus rendszert, ahol a eszültségek nagysága, azonkíül a ogyasztóra teljesül az R XC eltétel. Miel a csillagontok nincsenek összeköte, azok között eszültségkülönbség lé el. Határozza meg az ogyasztó aszimmetrikus áziseszültségeit! (Eredmények: A,4 /-7 o,) B,5 /- o, C,4 /9 o ; a számítások során az eszültséget tekintettük alósnak. Az eredményekből látszik, hogy amennyiben az ellenállásokat - izzó kéiseli, akkor a B ázisban léő sokkal erősebben ilágít, mint a C ázisban léő. Az is belátható, hogy ordított ázissorrend esetén a C ázisban léő izzó og erősebben ilágítani, így a kacsolás alkalmas a ázissorrend indikálására.)