GEOGEBRA A FELSŐOKTATÁSBAN GEOGEBRA IN HIGHER EDUCATION Papp-Varga Zsuzsanna ELTE IK Média- és Oktatásinformatika Tanszék Összefoglaló A tanár szakos hallgatók képzéséből ma már szinte kihagyhatatlan a különböző oktatóprogramok bemutatása. Különösen igaz ez a matematika területén, ahol rengetek különböző szoftver közül lehet választani. A matematikai segédprogramok továbbá nagy segítséget nyújthatnak azon felsőfokú képzésben résztvevő hallgatók számára is, akiknek különböző matematikai ismereteket kell elsajátítaniuk képzésük során. A GeoGebra egy olyan dinamikus matematikai program, mely egyben egy computer algebrai rendszer és egy dinamikus geometriai is. Nagyszerűsége abban rejlik, hogy minden matematikai objektumnak (pontoknak, egyeneseknek, stb.) megadja mind a geometriai, mind pedig az algebrai reprezentációját. A cikkben bemutatásra kerülnek a GeoGebra felsőfokú matematikaoktatásban is jól alkalmazható funkciói, az oktatási folyamatba való beépítésének és a tanárképzésben való oktatásának kérdései. Kulcsszavak matematika, módszertan, dinamikus matematikai program, dinamikus geometriai rendszer, computer algebrai rendszer Abstract Today in teachers education we can not avoid the presentation of different tutorial programs. This is especially true in mathematics, where we have a lot of choices of different software products. The mathematical utilities may offer great help for students in higher education, who have to acquire different mathematical knowledge in their courses. On one hand GeoGebra is a Dynamic Geometry Software and on the other hand it is a Computer Algebra System, thus we can say GeoGebra is a Dynamic Mathematics Software. Its greatness is hidden in the fact that it provides two representations of each mathematical object (points, lines, etc.) in its algebra and graphics windows. This paper presents the GeoGebra functions which can be applied well in higher mathematics education, the questions of planting them into the educational process and teaching it in mathematics teachers education. Keywords mathematics, methodology, Dynamic Mathematics Software, Dynamic Geometry Software, Computer Algebra System 1
1. Matematikai segédprogramok a felsőoktatásban 1.1. Segédprogramok szerepe a tanárképzésben A tanárképzésben mindig is fontos célkitűzés volt, hogy a hallgatók minél több olyan eszközt és módszert ismerjenek meg, amit későbbi munkájuk során alkalmazhatnak. Minél sokoldalúbb egy oktató eszköztára, annál hatékonyabban tudja átadni tudását, könnyebben tudja diákjait motiválni, differenciálni. Ma már jogos elvárás minden pedagógustól, hogy képes legyen különböző IKT eszközök gyakorlatban való alkalmazására is. Ezen eszközök segítségével gyakran az oktató olyan lehetőségeket kap a kezébe, melyek más eszközökkel nem lehetségesek. A tanárok felkészítésének elsődleges helyszíne a felsőoktatás, ahol a diákoknak nem csak a szoftverek használatát kell megtanulniuk, hanem azok alkalmazásának módszertanát is. További fontos feladat az iskolákban jelenleg oktató pedagógusok továbbképzése, felkészítése is. (Fehér, 2004) 1.2. Segédprogramok szerepe a felsőoktatásban folyó matematikaoktatásban A különböző mérnöki, közgazdasági és természettudományi képzésekben a hallgatóknak rövid idő alatt kell magas szintű matematikai ismereteket elsajátítani. A diákok egyre nagyobb százalékának okoz nehézséget a fogalmak, tételek megértése és a feladatmegoldás. Sok intézményben használnak különböző programokat a matematika tárgyak oktatása során, melyek alkalmazásával segítséget tudnak nyújtani a gyengébb és átlagos képességű hallgatóknak, és eszközt tudnak adni a kiemelkedőbb diákok kezébe a kutatásokhoz. A legelterjedtebb szoftverek listája a teljesség igénye nélkül: Maple, Matlab, Mathematica, Derive, Cabri. Az oktatási folyamat több különböző fázisaiban is hatékonyan alkalmazhatók a segédprogramok: új ismeretek tanításakor (probléma felvetéskor, összefüggések, tételek megsejtésekor és bizonyításakor), valamint feladatmegoldáskor, gyakorlati alkalmazások bemutatásakor és egy-egy témakör összefoglalásakor, ismétlésekor. Minden esetben a célok és lehetőségek figyelembe vételével több módszer közül is választhat az oktató: frontális szemléltetés, egyéni, páros vagy kiscsoportos munka, órai vagy otthoni munka. 1.3. Tárgyi és személyi feltételek A segédprogramok használatának elengedhetetlen tárgyi feltétele maga a számítógép, mely alkalmas az adott program futtatására (Kis, 2006). Bizonyos esetekben elegendő egy tanári gép, amelynek képét kivetítve a hallgatók nyomon követhetik az oktató munkáját. Vannak azonban olyan helyzetek is, amelyekben a diákok egyéni vagy kis csoportos munkája a célravezető, ekkor több gépre van szükség. A másik kulcsfontosságú tárgyi feltétel maga a szoftver. Két fontos kérdés merül fel ezzel kapcsolatban: a beszerzés és a telepítés. A fizetős szoftverek esetén problémát okozhat, hogy az oktatási intézményben csak korlátozott példányban érhetőek el (Kis, 2006), valamint, hogy a hallgatók otthoni munka céljából nem juthatnak jogtisztán a programhoz. A telepítéssel kapcsolatban is sok gyakorlati kérdést kell megválaszolni, például milyen operációs rendszereken fut az adott szoftver, milyen beállításokkal érdemes telepíteni. A GeoGebra mivel ingyenesen letölthető, platform független, könnyen telepíthető vagy akár webről is indítható program ezért a felsoroltak nem jelentenek valós akadályt az alkalmazásában. 2
A személyi feltételek között elsőként kell megemlíteni az oktató adott szoftverről meglévő ismereteit. Kezdetben sok energia befektetést igényelhet, hogy a program kezelését elsajátítsa a pedagógus. A későbbiekben elképzelhető, hogy plusz munka szükséges, a segédanyagok készítéséhez, publikálásához (Kis, 2006). A befektetett munka minden esetben megtérül, de a GeoGebra esetében a felsoroltak ahogy a későbbiekben olvasható nem jelenteknek megoldhatatlan problémákat. 3
2. A GeoGebra program rövid bemutatása A GeoGebra egy dinamikus matematikai program, mely témájában kapcsolódik a geometriához, az algebrához és az analízishez. Használatának elsajátításhoz csak alapfokú számítógép kezelői ismeretek szükségesek. Középiskolai oktatási segédletként készítette 2001/2002-ben Markus Hohenwarter a Salzburgi Egyetemen diplomamunkájának részeként. A matematikaoktatással kapcsolatos doktori tanulmányaiban továbbfejlesztette a programot. A GeoGebrát az elmúlt évek során számos nemzetközi díjjal jutalmazták. Népszerűségét az is mutatja, hogy világszerte több mint 35 nyelvre fordították le, többek között magyarra is. A GeoGebra egyrészt egy dinamikus szerkesztő rendszer. A felhasználó tulajdonképpen egy virtuális szerkesztőkészletet kap a kezébe, aminek segítségével elkészítheti a középiskolai szerkesztések bármelyikét és több magasabb színtű matematikai ismeretet igénylő szerkesztést is. A papíron végzett szerkesztésektől eltérően viszont itt a kiinduló objektumok (pontok, egyenesek, stb.) szabadon mozgathatók, úgy hogy a tőlük függő objektumok velük együtt mozognak. Másrészt egy computer algebrai rendszer, amiben az objektumok algebrai úton adhatók meg (pontok koordinátáikkal, egyenesek egyenleteikkel, függvények képletükkel, stb.). Az objektumokkal különböző számításokat is lehet végezni, például kiszámítható a függvények deriváltja és integrálja, stb. A GeoGebra talán legfontosabb tulajdonsága, hogy egy kifejezés az algebra ablakban megfelel egy objektumnak a geometria ablakban, és viszont. Függetlenül attól, hogy az objektum milyen módon került rögzítésre, mindkét ablakban módosítható és a változás a másik ablakban is látható (Markus Hohenwarter, Judith Preiner, 2007). A GeoGebra egy nagyon jól dokumentált program, nem csak a szoftver érhető el különböző nyelveken, hanem a Help és a program weboldala is http://www.geogebra.org/cms/ ahol számtalan hasznos információ található. A honlapon elérhető Wiki oldalakról http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/main_page rengeteg GeoGebrával készített segédanyag tölthető le, amiket bárki igényei szerint átalakíthat és ingyenesen felhasználhat az oktatásban. A program több olyan funkcióval is rendelkezik, amelyek megkönnyítik a matematikai segédanyagok készítését és publikálását, ilyen például a rajzlap exportálása (képpé vagy PSTricks) és a dinamikus munkalap weblappá exportálása. 3. A GeoGebra alkalmazási lehetőségei a felsőfokú matematikaoktatásban Az alábbiakban azon funkciók, funkció csoportok gyűjteménye olvasható, melyeknek a felsőfokú matematikaoktatásban is van létjogosultsága. 1.4. Analízis Az analízis nagy részterületét jelentő függvénytan oktatásakor, tanulásakor nagy segítséget nyújthat a GeoGebra. 4
A program segítségével meghatározhatók polinom függvények gyökei, szélsőértékei és inflexiós pontjai. Tetszőleges bonyolult függvények ábrázolhatók és egy gyökük a Newton vagy a Regula Falsi módszerekkel meghatározható. Az integrálás és a deriválás fogalmának szemléltetésére, számítási feladatok elvégzésére is kitűnő eszköz. Az alkalmazás ki tudja számolni tetszőleges függvény n-edik deriváltját, meg tudja határozni függvények alsó és felső közelítő összegét, valamint határozott és határozatlan integrálját. A deriválás témakörében fontos lehet még, hogy bármely görbén felvehető pont, valamint megszerkeszthető a függvény adott pontbeli érintője és meghatározható annak meredeksége. Az 1. ábrán megtekinthető az előbbiekben felsorolt funkciók egy része. Látható az f (nem polinom) függvény deriváltja és határozatlan integrálja, valamint a derivált fogalmának szemléltetéséhez az m érték, amely a függvényen mozgatható P pontban húzott érintő meredeksége, az integrál fogalmának megértésében pedig segíthet az a, a b és az n - csúszkák segítségével változtatható - paraméterek függvényében dinamikusan változó grafikusan is megjelenő alsó és felső közelítő összegek, valamint határozott integrál. A gyakorlatban érdemes az alábbi példát részekre bontani és több alkalmazás segítségével bemutatni. 1. ábra - Analízis A program segítségével meghatározható tetszőleges függvény adott pont körüli n-edik Taylor polinomja (a TaylorPolinom[f,a,n] paranccsal), amely szintén a felsőfokú matematikai tanulmányok részét képzi egyes intézményekben. 5
1.5. Algebra Szinte minden főiskolán, egyetemen az algebrai tárgyak tematikájában szerepel a komplex számok témaköre. Sok hallgatónak okoz nehézséget a komplex számok ábrázolása a különböző műveletek elvégzése. Mivel a GeoGebrában felvehetők vektorok, és azokkal különböző műveletek is végezhetők, ezért könnyedén készíthetők a komplex számok tanításakor, tanulásakor felhasználható segédanyagok. A 2. ábrán a komplex számsíkkal, a komplex szám abszolút értékének és a konjugáltjának fogalmával kapcsolatos egyszerű alkalmazás látható. Az a és b paraméterek állíthatósága miatt - egyszerűsége ellenére is - sokat segíthet az említett fogalmak szemléltetésében és megértésében. 1.6. Geometria 2. ábra - Komplex számok A transzformáció mátrixok témaköre a geometria, az algebra és a grafika tantárgyak tematikájának is részét képezi. Minden esetben sokat segíthet a hallgatónak egy jó ábra, de még többet nyújthat egy dinamikus segédanyag. A 3. ábrán egy olyan példaalkalmazás látható, amelyben szabadon változtathatók a P, a Q és az R pontok koordinátái azok egérrel való mozgatásával - és a transzformáció mátrix együtthatói a bal felső sarokban elhelyezkedő csúszkák segítségével. 6
3. ábra - Transzformációk A geometriai transzformációk közül az inverzió a középiskolákban legfeljebb fakultáción vagy szakkörön kerül említésre, ezzel szemben a felsőfokú matematikaoktatásban több intézményben is része a tananyagnak. A program csak pont inverzét tudja meghatározni, de a mértani hely funkció segítségével meghatározható egy egyenesnek vagy egy körnek is az inverz képe. A 4. ábrán egy olyan alkalmazás látható, amelyben dinamikusan változtatható az inverzió pólusa, az inverzió alapkörének sugara és a transzformált egyenes is. 4. ábra - Inverzió 7
4. A GeoGebra oktatásának kérdései a tanárképzésben A program oktatásának a tanárképzésben két fő pillére kell legyen: a program használata és alkalmazásának módszertana. Az ELTE Informatikai Karán az általam oktatót Matematikai segédprogramok című tárgy tematikájának második éve része a GeoGebra. Tapasztalataim alapján a hallgatók pár óra alatt el tudják sajátítani az egyszerűbb segédanyagok készítéséhez szükséges ismereteket. Azok számára, akik már korábban dolgoztak más dinamikus geometria szoftverekkel, még kevesebb energia befektetést igényel a program használatának megtanulása. A GeoGebra alkalmazásának módszertanát főként a program funkcióinak bemutatása közben jól megválasztott példák segítségével valósítottam meg. A hallgatóknak a félév során GeoGebra segítségével kellett az általuk választott középiskolás matematikai témához segédanyagokat készíteni. A beadandó feladat lehetőséget adott számukra, hogy végiggondolják, elemezzék szükség esetén konzultációk segítségével-, hogy az általuk választott témát, hogyan lehet hatékonyabban oktatni GeoGebra segítségével. Az így elkészült munkák közül a jelesre értékeltek interneten is publikálásra kerültek, ezáltal nem csak a hallgatók használhatják fel későbbi munkájuk során, ha a tanári hivatást választják, hanem azon aktív tanárok, akik nyitottak a témában. Munkám során a Digitális taneszközök használata a matematika tantárgy oktatásában című tanfolyam keretein belül lehetőségem volt aktív pedagógusoknak is bemutatni a GeoGebrát. Számtalan előnye miatt Ők is hamar megkedvelték és többen ennek segítségével készítették el vizsgamunkájukat is. A GeoGebra magyarországi középiskolai matematikaoktatásba való beépülésének szükséges feltétele minél több tájékoztató előadás, továbbképzés és mindenki számára könnyen elérhető magyar segédanyagok. 5. Zárszó A cikkben a matematikai segédprogramok felsőfokú képzésben való szerepéről szóló bevezető után a GeoGebra program részletesebb ismertetésére kerül sor. A szoftver rövid bemutatását, azon funkciók példákkal illusztrált listája követi, melyek a felsőfokú matematikaoktatás témaköreivel is kapcsolatosak. Az utolsó fejezet a GeoGebra tanárképzésbe való integrálásának gyakorlati kérdéseit tárgyalja. Ezen cikk fő célja, hogy elősegítse Magyarország bekapcsolódását abba a nemzetközi tanárközösségbe, akik munkájukat hatékonyabbá tudják tenni a GeoGebra segítségével. Irodalomjegyzék [1] Fehér Péter (2004) Az IKT-eszközök iskolai alkalmazásának irányelvei és gyakorlata nemzetközi kitekintésben az IEA SITES kutatásai alapján. Új pedagógiai szemle, 2004/07-08. [2] Kis Piroska (2006) A matematikai programcsomagok alkalmazása, haszna és veszélyei. Informatika a Felsõoktatásban96, Debrecen. [3] Markus Hohenwarter, Judith Preiner (2007) Dynamic Mathematics with GeoGebra. The Journal of Online Mathematics and Its Applications, Volume 7. March 2007. Article ID 1448. 8
[4] Markus Hohenwarter, Judith Preiner (2008) GeoGebra Help 3.0. 9