9.o Mozaikos könyvvel felkészülési útmutató pótvizsgára és gyakorló feladatsor megoldással Felkészülési útmutató: A 8 hetes nyárra szerezzetek magatok mellé egy magántanárt. Hetente egyszer kétórás foglalkozás kb 000-4000 forint, egész nyárra 8x000-4000=000-000, ezt diákmunkával te magad max két hét alatt meg tudod keresni, ha anyagi gondokkal küszködtök. Ha a tanár segítségével végiggyakorlod ezt a dokumentumot, akkor az augusztus végi pótvizsga feladataihoz nagyon hasonló feladatokat csinálsz meg, és biztosan sikerülni fog! De ne felejtsd el: a magántanár csak abban segít, hogy elmagyarázza a dolgokat, hogy megértsed az anyagot. A HETI EGY DUPLA MATEKÓRA TANÁRRAL NEM LESZ ELÉG A SIKERES VIZSGÁHOZ!!! MINDEN NAP LEGALÁBB 0 PERCET EGYEDÜL KELL VELE FOGLALKOZNOD, MINDEN NAP TANULNOD KELL ÖNÁLLÓAN, HOGY SIKERÜLJÖN! DE HA EZT MEGTESZED, BIZTOSAN MEGLESZ!!! Használati útmutató ehhez a word dokumentumhoz: először a könyvből az elméletet - definíciók, tételek tanuld a könyvbeli és az itt leírt kidolgozott feladatok segítségével kell megértened a témát azután gyakorolj a itt leírt feladatokból a könyvben. A könyv feladatainak megoldásait az interneten itt találod: http://moldan.hu/mozaik-sokszinu-matematika-tankonyvekben-kituzott-feladatokmegoldasai/ Az inernet keresőjébe beírod a témakört, és nagyon sok további feladatot találsz megoldással, oktató videókat: egy a sok közül https://zanza.tv/matematika digitális tananyagokat is találhatsz, ezek közül egy: http://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-9-osztaly A pirossal írt tananyagok címei a Mozaikos könyvekben a kiadási év dátumától függetlenül ugyanazok. A zárójelben írt oldalszámokat a 0-os kiadásból írtam ki, másik évben kiadott könyvekben ez eltérhet! Halmazok Könyvben elméletet tanulni: Halmazűveletek (-8.o)és Halmazok elemszáma, logikai szita (-4.o) Halmazűveletek anyag első kidolgozott feladata (.o) Halmazok elemszáma, logikai szita anyag első kettő kidolgozott feladata (.o).) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B = {;;;4;;;7;8;9} és B \ A = {;;4;7}. Elemeinek felsorolásával adja meg az A halmazt! A halmazos feladatoknál a Vend-diagramnak hívott ábra felrajzolása nagyon sokat segít: A = {; ; ; 8; 9}.) Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az A, B, és A B halmaz elemeit! A = {4; ; ; 7; 8; 9} B = {; ; ; 7; 9; ; ; ; 7; 9} A B = {; 7; 9}.) Egy évfolyam 0 tanulója közül 8-an felvételiznek matekból, -en angolból, 7-en matekból is és angolból is. Hányan nem felvételiznek egyik említett tárgyból sem? csak matek, matek és angol 7, csak angol 8, +7+8= angol vagy matek, 0-=4 sem angol sem matek
4.) Egy középiskolába 40 tanuló jár. Az iskola diákbizottsága az iskolanapra három kiadványt jelentetett meg: I. Diákok Hangja II. Iskolaélet III. Miénk a suli! Később felmérték, hogy milyen volt az olvasottság az iskola tanulóinak körében. A Diákok Hangját 0 tanuló, az Iskolaéletet 8, a Miénk a suli! c. kiadványt pedig 89 olvasta. Az első két kiadványt 4, az első és harmadik kiadványt 84, a másodikat és harmadikat 0, mindhármat pedig a tanulók %-a olvasta. a) Hányan olvasták mindhárom kiadványt? 40 0,0 b) Írja be egy halmazábra mindegyik tartományába az oda tartozó tanulók számát! c) Hányan olvasták legalább az egyik kiadványt? A halmazábrában szereplők együtt: +4+++84+= fő olvasta Halmazműveletek anyag végén (0.o),,,7 Halmazok elemszáma, logikai szita anyag végén (4.o) Algebra és számelmélet Hatványozás Könyvben elméletet tanulni: Hatványozás (48-49.o) és Hatványozás egész kitevőre (.o) Hatványozás anyagrész (48-49.o),,,4. Hatványozás egész kitevőre anyagrész (.o),. 7.) Számítsd ki: 7 7 7 7 7.) Melyik nagyobb: 7 vagy 4 4 7 4 9 4 4 4 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 0 0 7 4? 8 4 9 8 8 7 vagy 7 9 4 és 7 7 Hatványozás anyagrész végén (.o),,. és Hatványozás egész kitevőre anyagrész végén (4.o),,4 7 4 Nevezetes szorzatok.) Alakítsd összeggé a szorzatokat (a nevezetes szorzatok segítségével tudod ezt megtenni): Könyvben elméletet tanulni: Nevezetes szorzatok Kéttagú összeg négyzete, Különbség négyzete (0.o), Két tag összegének és különbségének szorzata (.o) a Nevezetes szorzatok Kéttagú összeg négyzete, Különbség négyzete (0.o), Két tag összegének és különbségének szorzata (.o) szabály utáni -4 kidolgozott feladat. c a b a ab b " a" c " b " c c c 0c a szükséges nevezetes szorzat a példában szereplő "a" és "b" behelyettesítés a nevezetes szorzatba kiszámolás
4x a a b a ab b a szükséges nevezetes szorzat " a" 4x a példában szereplő " b" a "a" és 4x 4xa a x 40xa a "b" behelyettesítés a nevezetes szorzatba kiszámolás a 7b a 7b a ba b a b " a" a " b" 7b a szükséges nevezetes szorzat a példában szereplő " a Nevezetes szorzatok anyagrész végén (4-.o), 4, b,e. "a és " a 7b 4 9 a 49 "b behelyettesítés a nevezetes szorzatba kiszámolás.) Alakítsd szorzattá az összegeket: Könyvben elméletet tanulni: A szorzattá alakítás módszerei (.o) A szorzattá alakítás módszerei (.o) anyagrészben minden módszer után több kidolgozott feladat található a 9b a b a ba b a b " a" a a szükséges nevezetes szorzat összeg átalakítása a példában szereplő " b" b "a" és a b a b "b" behelyettesítés a szorzatba 49a 84a a ab b a b 7a 7a " a" 7a " b " 7a a szükséges nevezetes szorzat összeg átalakítása a példában szereplő "a" és "b" behelyettesítés a szorzatba 7 7c 7 7c 7 c a b a ba b c " a " " b" c szorzattá alakítás kiemeléssel a szükséges nevezetes szorzat összeg átalakítása a példában szereplő c c 7 behelyettesítés a szorzatba A szorzattá alakítás módszerei anyagrész végén (7.o),..) Végezd el a műveleteket (alakíts szorzattá, majd egyszerűsíts): Könyvben elméletet tanulni: Műveletek algebrai törtekkel (8-7.o) Műveletek algebrai törtekkel Algebrai törtek egyszerűsítése anyagrész. és. feladata (8.o) ab ab ab b a a 9 a a ab a ab a b b a Műveletek algebrai törtekkel anyagrész után (7.o). feladat a 9 a "a" és a a a "b" 4 b
Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös Könyvben elméletet tanulni: Oszthatóság anyagrésznél a,,4,,,8,9-el való oszthatósági szabályok (7.o) prímszám, összetett szám definíciója (77.o) Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös (80-8.o) Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös anyagrésznél (80-8.o) az összes,,,4. feladat.) Számold ki 7 7 7 és 40 legnagyobb közös osztóját! 40 7;40 8.) Számold ki 7 és 40 7 ; 40 7 8900.) Egyszerűsítsd: 40 7 legkisebb közös többszörösét! 7 7 4.) Mindenhol írd le az oszthatósági szabályt, majd szövegesen indokold meg, hogy osztható-e vagy sem! 94 NEM, 4 9 IGEN, 94 NEM, 94 4 IGEN, 9 IGEN Oszthatóság anyagrész után (79.o) 4. feladat Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös anyagrész után (8.o) az összes,,,8. feladat Függvények A lineáris függvény Könyvben elméletet tanulni: Lineáris függvények (9.o) Lineáris függvények anyagrésznél (9.o). feladat és (94.o) 4. feladat.) Rajzold meg a négyzetrácsos lapon az x x 4 f függvény grafikonját: f x mxb a lineáris függvény általános alakja. b az a pont, ahol az egyenes metszi az y tengelyt. m az egyenes meredeksége. a grafikon megrajzolása: f x x 4 b 4 B 0; 4 -nél metszi az y tengelyt. m az y tengely metszéspontjából 0 ; 4 Lineáris függvények anyagrész után (9.o). és. feladat - a nevezőben levő számmal () mindig jobbra lépünk - a számláló, ha pozitív (+) akkor felfele, ha negatív pontba jutunk. akkor lefele lépünk, A ; Az A ; és 0 ; 4 B tengelymetszet f x x függvény grafikonja. pontokat összekötő egyenes lesz a 4
Az abszolútérték függvény Könyvben elméletet tanulni: Az abszolútérték-függvény (9.o) Az abszolútérték-függvény anyagrésznél (9.o),,. feladat.) Ábrázold, majd csinálj függvényvizsgálatot: y x grafikon Teljes függvényvizsgálat vagy jellemzés menete:. Értelmezési tartomány (ÉT) megmutatja, hogy mely számokat írhatjuk be az x helyére a függvénybe.. Érték készlet (ÉK) megmutatja, hogy az értelmezési tartomány x-eit beírva milyen függvény értékeket = y - okat kapunk. Könyvben (9.o). Zérushely (zh) megmutatja, hogy a függvény grafikonja hol érinti vagy metszi az x tengelyt. Könyvben (9.o) 4. Szélsőérték hely és érték (min/max) megmutaja a függvény legkisebb (minimum) vagy legnagyobb (maximum) pontjának helyét, ami a pont első x koordinátája és értékét, ami a második y koordinátája. Könyvben (98.o). Meredekségi viszonyok (monotonitás), ami megmutatja, hogy a függvény grafikonjára az x -nél felállva balról jobbra irányában sétálva lefelé haladok (szigorúan monoton csökken), vízszintesen megyek (monoton), vagy felfele haladok (szigorúan monoton nő).. Paritás, periodikusság: Egy függvény páros, ha grafikonja az y tengelyre tengelyesen tükrös (ha a papírt az y tengelynél félbehajtjuk, akkor a grafikon két oldala fedi egymást, ilyen például az abszolútérték függvény x V betű alakú grafikonja). Könyvben (0.o) Egy függvény páratlan, ha grafikonja az origóra középpontosan tükrös (ha a papírt az origó körül 80 -al elforgatva önmagába megy át, ilyen például az x függvény hiperbolája). Könyvben (0.o) Egy függvény periodikus, ha grafikonja ismétlődő szakaszokból áll (ilyen például a szinusz görbe). A y x piros függvény jellemzése/teljes függvényvizsgálata az előbb leírt szempontok alapján:. ÉT x. ÉK y y 0;. zérushely x 4. minimumának helye x maximuma nincs minimumának értéke y 0. Szigorúan monoton csökkenő az x ; intervallumon szigorúan monoton növekvő az x ; intervallumon. nem páros függvény (mert nem szimmetrikus az y tengelyre) nem páratlan függvény (mert nem szimmetrikus az origóra) Az abszolútérték-függvény anyagrész után (0.o). feladat Könyvben tanulni: A függvénytranszformációk rendszerezése (4.o) - alap függvény x V betű lerajzolása zöld grafikon - Könyv (.o alul) a zárójelen belüli szám az x tengelyen való ellentétes irányú vízszintes eltolást jelöl x itt jobbra -vel. kék grafikon (-Könyv (4.o () felül) a zárójelen kívüli szám az y tengelyen való azonos irányú függőleges eltolást jelent, x ilyen szám nincs.) - Könyv (.o () felül) a zárójel előtti számmal szorzás a grafikon x tengelyen levő pontjai helyben hagyja, a többi az x tengelytől lefelé és felfelé nyúlik, - Könyv (4.o () alul) negatív számmal szorzásnál a grafikon az x tengelyre tükröződik, azaz fejjel lefelé fordul. x itt a talppont helyben marad, a többi -szorosára nyúlik. piros
A másodfokú függvény Könyvben elméletet tanulni: A másodfokú függvény (0.o) A másodfokú függvény anyagrésznél (0.o),. feladat.) Ábrázold, majd csinálj függvényvizsgálatot: x x - alap függvény x parabola lerajzolása zöld grafikon (- a zárójelen belüli szám az x tengelyen való ellentétes irányú x vízszintes eltolást jelöl, itt ilyen szám nincs.) - a zárójel előtti számmal szorzás a grafikon x tengelyen levő pontjait helyben hagyja, a többi az x tengelytől lefelé és felfelé nyúlik, - negatív számmal szorzásnál a grafikon az x tengelyre tükröződik, azaz fejjel lefelé fordul. kék grafikon - a zárójelen kívüli szám az y tengelyen való azonos irányú függőleges eltolást jelent, itt piros grafikon x x felfele -el Az x x piros függvény jellemzése/teljes függvényvizsgálata az előbb leírt szempontok alapján: ÉT. ÉK y y ;. x. zérushely x x 4. max hely 0 x, max értéke. szig mon nő ;0 y minimuma nincs x szig mon csökk x 0;. páros függvény, és nem páratlan függvény A másodfokú függvény anyagrész után (0.o),. feladat Háromszögek, négyszögek, sokszögek Könyvben elméletet tanulni: Ebben a oldalban sok kis definíció, tétel szerepel, ideírom oldalszám szerint a legfontosabbakat: Forgásszög, Szögfajták (9.o) Nevezetes szögpárok, Távolság (0.o) A háromszögek szögei, A háromszög-egyenlőtlenség, Összefüggés a háromszög oldalai és szögei között, Öszefüggés a derékszögű háromszög oldalai között = Pitagorasz tétel (-.o) A négyszögekről (9-40.o) A sokszögekről (4.o) Szakaszfelező merőleges, Szögfelező, Körös definíciók (4-47.o) A háromszög beírt köre (49.o) A háromszög köré írt kör (.o) Thálesz tétel (-4.o) Öszefüggés a derékszögű háromszög oldalai között = Pitagorasz tétel anyagrész. példa (7.o) A négyszögekről anyagrész,,. példa (40-4.o) A sokszögekről anyagrész,. példa (4.o) Thálesz tétel anyagrész.példa (4.o) 90 80.) Hány fokos a tompaszög?.) Mondd ki a háromszög-egyenlőtlenség tételét: Bármely háromszög bármely két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál..) Mit értünk két párhuzamos egyenes távolságán? (rajz vagy szöveg): Két párhuzamos egyenes távolsága az egyik egyenes bármely pontjának a másik egyenestől mért távolsága, vagy az egyeneseket összekötő rájuk merőleges szakasz hossza.
4.) Folytasd a tétel kimondását: A háromszög külső szögeinek összege.) Mondd ki a Pitagorasz-tételt (szövegesen): Derékszögű háromszögben a befogók hosszának négyzet összege egyenlő az átfogó hosszának négyzetével. Öszefüggés a derékszögű háromszög oldalai között = Pitagorasz tétel anyagrész után (8.o),,7..) Rajzold le a rombuszok, trapézok és paralelogrammák halmazát egy közös halmazábrában úgy, hogy mindegyikben legyen pontos szemléltető rajzocska (szögek nagysága, oldalak hossza)! 7.) Rajzold le a téglalapok és paralelogrammák halmazát egy közös halmazábrában úgy, hogy mindegyikben legyen pontos szemléltető rajzocska (szögek nagysága, oldalak hossza)! 0..) feladat ábrája 7.) feladat ábrája 84 és. c 8.) Egy háromszög három oldalára teljesül, hogy a b c, két belső szögének nagysága pedig a, b, közül melyik oldal fekszik a harmadik belső szöggel szemben? Készíts rajzot a szögek és oldalak beírásával, válaszodat indokold meg a tanult tételek, definíciók leírásával! Megoldás indoklással: A háromszög belső szögeinek összege 80 84 Bármely háromszögben a hosszabb oldallal szemben nagyobb belső szög áll ha a b c rendre 0 84 a harmadik 0 belső szöggel szemben b oldal fekszik. a harmadik szög 0. a velük szemben levő belső szögek 9.) Mekkorák a trapéz belső és külső szögei, ha belső szögeinek aránya : 4:: 8? Készíts rajzot a szögek beírásával, válaszaidat minden esetben indokold meg a tanult tételek, definíciók leírásával! 0 0 e 4e e 8e, e 8 Megoldás indoklással: Bármely négyszög belső szögeinek összege A trapéz belső szögei, 7, 08, 44, az ezekhez tartozó külső szögek rendre 44, 08, 7,. A trapéz azonos száron fekvő szögei kiegészítő szögek a helyes belső szögsorrend a rajzon pozitív irányban, 7, 08, 44. A négyszögekről anyagrész után (4.o) 4,,7,9. A sokszögekről anyagrész után (44.o),,4,. A háromszög beírt köre anyagrész után (0.o). A háromszög köré írt kör anyagrész után (.o). Thálesz tétel (.o),8.
Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek Az egyenlet, azonosság fogalma Könyvben elméletet tanulni: Az egyenlet, azonosság fogalma anyagrész (0-.o közepe) az egyenletek fogalma már nem kell! Kidolgozott feladat a könyvben: Az egyenlet, azonosság fogalma anyagrésznél (.o). feladat Egyenlet megoldása szorzattá alakítással Kidolgozott feladat a könyvben: Egyenlet megoldása szorzattá alakítással anyagrésznél (9.o). feladat.) Oldd meg:, x x x 0 x x 0 x 0 x x x xn 0 DE összevetve az alaphalmazzal x x, x nem természetes szám, összevetve az alaphalmazzal összevetve az alaphalmazzal x természetes szám ezért a nem megoldás nem természetes szám, ezért a megoldás ezért a nem megoldás Egyenlet megoldása szorzattá alakítással anyagrész után (7.o),abcd x, Megoldás lebontogatással, mérlegelvvel Kidolgozott feladat a könyvben: Megoldás lebontogatással, mérlegelvvel anyagrésznél (74.o),. feladat.) Oldd meg, majd ellenőrizz: ellenőrzés: x x R,0,, x 4x x x x x zárójel felbontása 7x 7 x 7 összevonás 0 4x x-ek és számok egy oldalra rendezése 0 x 4-el leosztás,0 0 x R része az alaphalmaznak, ezért x 8x összevetés az alaphalmazzal 0 megoldás lehet 0 x behelyettesítése az egyenlet bal oldalába: 0 4 0 4 0 x behelyettesítése az egyenlet jobb oldalába: 0 0 0 7 balo = jobbo, ezért 0 x jó megoldás 7 Megoldás lebontogatással, mérlegelvvel anyagrész után (7.o). Egyenlőtlenségek Könyvben elméletet tanulni: Egyenlőtlenség (78.o alul) két zöld keretes szabály Az egyenlőtlenség megoldásánál, ha mindkét oldalt negatív számmal szorozzuk vagy osztjuk, akkor a relációs jel megfordul. Kidolgozott feladat a könyvben: Egyenlőtlenségek anyagrésznél (78.o). feladat x x x.) Oldd meg, majd számegyenesen ábrázold a megoldást: x R, x 0 x x közös nevezőre hozás 0 0 0 0 8x 0 x 0x zárójel felbontása 8x 4 x 0 összevonás x 84 x-ek és számok egy oldalra rendezése 84 x,4 -al leosztás 84 összevetés az alaphalmazzal x R, ezért x, 4 megoldás lehet Egyenlőtlenségek anyagrész után (8.o),. feladat
Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek Kidolgozott feladat a könyvben: Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek anyagrésznél (8.o). feladat 4.).) x xn ) ellenőrizz! x ) x x x összevetés az alaphalmazzal összevetés az alaphalmazzal, ezért megoldás lehet x N nem lehet megoldás x N ellenőrzés xr 4 ) x x 4 a megoldásokat ábrázold közös számegyenesen! x összevetés az alaphalmazzal és ) xr x 4 x 7, ezért megoldások lehetnek.) xr ) x 4 x 4 a megoldásokat ábrázold közös számegyenesen! x 9 összevetés az alaphalmazzal és ) x 4 x x R, ezért megoldások lehetnek Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek anyagrész után (87.o). feladat 7.) Írd le az abszolútérték definícióját: a, ha a 0 a a, ha a 0 Kidolgozott feladat a könyvben: Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek anyagrésznél (8.o).a) feladat 8.) x R, x x ellenőrizz! rendezve úgy, hogy az egyik oldalon csak az abszolútérték álljon x x ) ha x 0, akkor az abszolútérték jel elhagyása után az egyenlet x x kikötés x megoldás x megoldás összevetése a kikötéssel: ) ha 0 x nem teljesül x nem lehet megoldás x, akkor az abszolútérték jel elhagyása után az egyenlet x x kikötés x zárójel felbontás x x rendezés x megoldás x megoldás összevetése a kikötéssel: x teljesül x megoldás lehet ellenőrzés: visszahelyettesítés az eredeti egyenlet bal oldalába x visszahelyettesítés az eredeti egyenlet jobb oldalába 7 osztás 7 x balo = jobbo x Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek anyagrész után (87.o). feladat 7 9 jó megoldás
Kidolgozott feladat a könyvben: Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek anyagrésznél (8.o).b) feladat 9.), x x xr rendezve úgy, hogy az egyik oldalon csak az abszolútérték álljon x x ) ha x 0 x x, akkor az abszolútérték jel elhagyása után az egyenlőtlenség kikötés x megoldás x megoldás összevetése a kikötéssel lesz a x ) ha x 0 x x, akkor az abszolútérték jel elhagyása után az egyenlőtlenség kikötés x x x zárójel felbontás rendezés megoldás x x osztás összevetés a kikötéssel a x Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek anyagrész után (87.o). feladat Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek Könyvben elméletet tanulni: Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek (00.o) A behelyettesítő módszer zöld keretes szabálya Kidolgozott feladat a könyvben: A behelyettesítő módszer anyagrész (99.o közepétől). feladat 0.) Oldd meg behelyettesítős módszerrel az egyenletrendszert: a b a, b ha az egyik egyenletből az egyik ismeretlen előtt álló szám vagy -, akkor ez az ismeretlen 4a b 7 könnyen kifejezhető belőle, ekkor a behelyettesítős módszert alkalmazzuk. Íme, a módszer alkalmazásának leírása: ) az első egyenletből könnyen kifejezhető a b ) a b 4 b b 48 4b b 7 b b, b -t visszahelyettesítjük az első egyenletből kifejezett a b -t behelyettesítjük a másik egyenletbe 7 ) a megkapott, -ba a, a 4) ellenőrzés: mindig mindkettő eredeti egyenlet bal és jobb oldalába visszahelyettesítve kell első egyenlet bal oldala, jobb oldala balo = jobbo és, jó megoldások második egyenlet bal oldala 4, 7 jobb oldala 7 balo = jobbo és, jó megoldások A behelyettesítő módszert alkalmazva (0.o),,. feladat Könyvben tanulni: Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek (0.o) Az egyenlő együtthatók módszerének zöld keretes szabálya Kidolgozott feladat a könyvben: Az egyenlő együtthatók módszere anyagrész (0.o) 4. feladat, (0.o). feladat.) Oldd meg az egyenlő együtthatók módszerével az egyenletrendszert: Az egyenlő együtthatók módszerének leírása: I x 4y 4 x, y R II x y 8 ) a két egyenletet mindkét oldalát úgy szorozzuk meg, hogy az egyik ismeretlen előtti szám a szorzások után előjeltől függetlenül megegyezzen, ekkor I x 8y 8 x 8 y II 4
) a két egyenlet összeadjuk vagy kivonjuk, ezzel az egyenlő együtthatós ismeretlen kiesik, a másikat kiszámoljuk I II x 8y x 8y 84 y y ) a megkapott eredményt bármelyik egyenletbe visszahelyettesítve kiszámoljuk a másik ismeretlent. beírom y et I be x 4 4 x 8 x 4) ellenőrzés: mindig mindkettő eredeti egyenlet bal és jobb oldalába visszahelyettesítve kell Ell: 4 4 8 Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazva (0.o),,. feladat I : 8 4 II :