I.5. LOLKA ÉS BOLKA Tárgy, téma Kombinatorika, skatulya-elv, számelmélet. Előzmények A feladatsor jellemzői A skatulya-elv alapszintű bevezetése, osztási maradékok ismerete, a prímszám fogalmának ismerete. Cél A skatulya-elvvel kapcsolatos matematikai ismeretek elmélyítése. Ezzel kapcsolatos öszszefüggések felismerése, alkalmazása gyakorlati feladatokban. Egyszerű kombinatorikai problémák felismerésének fejlesztése. A skatulya-elvvel kapcsolatos néhány téves gondolat tisztázása. A modellalkotás és a szövegértés fejlesztése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben Problémakezelés és -megoldás + Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban + Alkotás és kreativitás + Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet + Együttműködés + Emlékezés + Motiváltság + Gondolkodás + Önismeret, önértékelés Ismeretek rendszerezése + A matematika épülésének elvei Ismerethordozók használata Felhasználási útmutató Érdemes a feladatokat szóban ismertetni, szabad, mesélős stílusban, ezzel is kedvet csinálva a gondolkozáshoz. Javasoljuk, hogy az osztályokban használjanak ténylegesen pénzérméket, az ezekkel végzett próbálkozások segítik a feladatok megoldását. A feladatok megoldásához a páros munkaformát ajánljuk. Ha az első feladatot a többség megoldotta, érdemes közös megbeszélést tartani. Ez után minden pár haladhat a saját tempójában, mikor megoldottak egy feladatot, kapják a következőt. Fontos, hogy a skatulya-elv bevezetésénél megértsék a gyerekek, hogy nem a legrosszabb esetek kereséséről szól ez a téma. Ez a félreértés az ilyen feladatok esetében rendszeresen előfordul. Ennek megfelelően az első feladat három alkérdését érdemes nagyon alaposan megbeszélni. A hibás megoldás, mint oly sok matematikai feladat esetén, itt is sok mindenből eredhet. Érdemes kideríteni, hogy melyik tanulónál keletkezett a hiba figyelmetlenségből, és melyiknél azért, mert mechanikusan gondolkodva próbálta a feladatokat megoldani, és nem értette meg a lényeget. I. Halmazok, logikai műveletek I.5. Lolka és Bolka 1.oldal/5
LOLKA ÉS BOLKA Feladat sor VAN APRÓD? Lolka és Bolka csokit szeretnének venni egy automatából, és ehhez édesapjuktól kérnek pénzt. Mivel nem árulják el, hogy mire is kell valójában az apró, ezért apjuk úgy dönt, hogy csak egy-egy pénzérmét ad fiainak. Arra viszont ügyelni akar, hogy az érmek értéke egyforma legyen. Pénztárcájában 3 db 200 Ft-os, 5 db 100 Ft-os, 8-8 db 50 Ft-os és 20 Ft-os, 12 db 10 Ft-os és 6 db 5 Ft-os van. (Az apa minden esetben véletlenszerűen veszi ki az érméket a tárcájából.) 1. a) Legalább hány darab pénzérmét kell kivennie Lolka és Bolka édesapjának a pénztárcájából, hogy biztosan legyen köztük két egyforma érme? b) Mi a helyzet, ha 2-2, illetve ha 3-3 egyforma érmét szeretne fiainak adni? (Ez másképpen fogalmazva azt jelenti, hogy legalább hány darab pénzérmét kell kivennie ahhoz, hogy biztosan legyen közte négy, illetve hat egyforma érme.) c) A fiúknak nem volt szerencséje, mert egy-egy 5 Ft-os érmét kaptak a kezükbe. Ezzel nem tudtak mit kezdeni (hiszen a csoki drágább volt), ezért visszaadták a pénzt, és apjuk vissza is tette ezeket a többihez. De most már kíváncsiak lettek, hogy milyen fajta érmék vannak a pénztárcában. Hány darab pénzérmét kell az édesapjuknak látatlanban kivennie a pénztárcából, ha az összes különböző fajtát meg szeretné mutatni a fiainak? (Persze ő tudja, hogy milyen érmék vannak a tárcában.) d) Lolka és Bolka látta, hogy a pénzérmékből telne az áhított csokira, ami 70 Ft-ba kerül. Ezért elárulták, mit is szeretnének venni valójában, és kértek 3 db 20 és 1 db 10 Ft-ost. Most legalább hány darab érmét kell az édesapjuknak kivennie látatlanban a pénztárcából, hogy ezek biztosan közte legyenek? MÁS TÉSZTA Lolka és Bolka az iskolában megfigyelték, hogy hétfőnként mindig tésztát kapnak ebédre. Ezek a következő fajták lehetnek: mákos, diós, grízes, krumplis vagy káposztás tészta. Hétről hétre ezek egymásutánjában azonban nem találtak szabályszerűséget, vagyis előfordulhat az is, hogy akár több egymást követő hétfőn azonos ízesítésű tésztát kapnak, de az is, hogy valamelyik tésztafajta sokáig nem kerül az asztalra. Tehát véletlenszerűnek tekinthető, hogy mikor melyik ízesítésű tésztát főzik. 2. a) Hány hétnek kell eltelnie ahhoz, hogy biztosak legyenek abban, hogy már három hétfőn is előfordult ugyanaz az étel? b) Mind a kettőjüknek a grízes tészta a kedvence. Hány hétből áll az az időtartam, amelynek letelte után már biztosan kijelenthetik: háromszor is a kedvenc tésztánkat kaptuk ebédre? I. Halmazok, logikai műveletek I.5. Lolka és Bolka 2.oldal/5
SZÁMOLOK VELED 3. a) Bolka, a kisebbik fiú, nehéz házi feladatot kapott az iskolában. Sehogy sem boldogult vele, ezért bátyjához fordult segítségért. A feladat a következőképpen szólt: legalább hány számot kell véletlenszerűen felírni egy lapra, hogy biztosan legyen köztük kettő, amelyek különbsége osztható tízzel? b) Lolka az a) kérdésben feladott feladatot könnyedén megoldotta, és segített öccsének is rájönni a megoldásra. A megoldás közben azonban felmerült egy kérdés benne: vajon hány számot kell felírni akkor, ha azt szeretné elérni, hogy a két szám különbsége héttel osztható legyen? c) Miután megoldották ezt a feladatot is, Lolkának egy újabb ötlete támadt, mert ők éppen a prímszámokról tanultak az iskolában: vajon mi a helyzet akkor, ha csak tíznél nagyobb prímszámokat írhatnak a lapra? Legkevesebb hány számot kell most leírniuk ahhoz, hogy biztosan legyen kettő, amelyek különbsége osztható tízzel? I. Halmazok, logikai műveletek I.5. Lolka és Bolka 3.oldal/5
MEGOLDÁSOK 1. Összesítő táblázat az érmékről: Érték 200 100 50 20 10 5 darab 3 5 8 8 12 6 a) Tekintsünk hat nagy dobozt (mindegyikre ráírva a megfelelő névérték: 200, 100, 50 stb.), és képzeljük azt, hogy az apa által elővett érméket ezekbe osztjuk szét, persze az értéküknek megfelelően. (A dobozokat a később használatos terminológia miatt akár már itt is nevezhetjük skatulyáknak.) Vagyis hat dobozunk (skatulyánk) van, így hét érme esetén biztosan lesz két egyforma, hiszen ha minden dobozban legfeljebb egy érme lenne, akkor összesen legfeljebb hat érménk lenne. Fontos még, hogy ez a legkisebb szám, hiszen hat érme esetén elképzelhető, hogy minden érméből pontosan egy darab van minden egyes dobozban. b) Az első kérdés esetén a helyzet hasonló, mint az a) kérdésben, csak most négy egyforma érmére van szükség. Most is hat skatulya van. (Ugyanazok, mint az előbb.) Ha 19 érmét kiveszünk, akkor lesz olyan skatulya, amiben négy érme van, hisz ha mindben legfeljebb három lenne, akkor összesen 18 érme lenne a kivettek között. 18 érme pont ezért nem feltétlenül elég. (Ne érveljünk a legrosszabb eset fogalmával, mert nincs értelme. Illetve ha definiálni akarjuk, hogy egy eset rosszabb, mint a másik, akkor feleslegesen elbonyolítjuk a feladatot.) A második rész egy kicsit trükkösebb, ugyanis mechanikusan 31-et kapunk. (Hat skatulya, ha 31 érme van, akkor az egyikben biztosan van hat. Ez igaz is, de az adott feladatban nem ez a legkisebb szám, hisz a 200-asnak megfelelő skatulyában nem lehet öt darab érme, csak három, mert ebből a típusból nincs több érménk.) A helyes megoldás tehát 31-nél kettővel kevesebb, azaz 29. c) A válasz: 40. Ennyi érme esetén biztos, hogy mindből választottunk, hiszen akkor két érme maradt benn, de minden fajtából több van, mint kettő, így minden fajtából van már kinn. 39-nél még nem biztos, hogy mindent látunk, hiszen ha pont a 3 darab 200 Ft-os maradt benn, akkor azokat nem látjuk. d) A válasz 37. Ennyi biztos elég, hisz ekkor 5 érme marad benn. Világos, hogy ekkor kint van legalább 3 db 20-as és legalább 7 db 10-es. Márpedig ekkor lesz 3 darab 20-as és egy 10-es. 36 nem feltétlenül elég, hiszen ha épp 6 darab 20-as marad benn, akkor csak kettő lesz kinn. 2. a) Most öt skatulyánk van, nevezetesen a tésztafajták. Ezekbe kell dobálni a heteket. 11 hét esetén nyilván az egyikben legalább három lesz, hisz ha mindben legfeljebb kettő volna, akkor az legfeljebb tíz volna összesen. Ennél kevesebb esetén nem lehetünk biztosak a háromszori előfordulásban. I. Halmazok, logikai műveletek I.5. Lolka és Bolka 4.oldal/5
b) Beugratós kérdés!!! Nincs ilyen időtartam, hiszen az is előfordulhat, hogy egyáltalán nem kapnak grízes tésztát. 3. a) 11 elég, hisz a számok utolsó számjegye (10-es maradéka) alapján tíz skatulyánk van. Ha valamelyikbe kettő esik, akkor a különbség biztos osztható 10-zel. Ez 11 szám esetén nyilván fennáll, kevesebbnél pedig nem feltétlenül. b) Ez egy lényegesen nehezebb kérdés, hisz itt már a hetes maradékosztályok jelentik a kupacokat, nem adódik olyan természetesen az előző típusú gondolat. Ily módon nyilván 8 a megoldás az előző kérdésnek megfelelően. c) Mivel a tíznél nagyobb prímek utolsó jegye csak négyféle lehet (1, 3, 7, 9), és ezek mind lehetnek is, így öt számra van szükség. Indoklás, mint az előző két esetben. I. Halmazok, logikai műveletek I.5. Lolka és Bolka 5.oldal/5