Oktatási Hiatal A 215/216. tanéi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló FIZIKA II. KATEGÓRIA Jaítási-értékelési útmutató 1. feladat. Az ábrán látható ék tömege M = 3 kg, a rá helyezett korongé m = 2 kg. Az ék és a talaj közötti súrlódás együtthatója =,4. Az éken jelzett szög = 3. A korongot abban a pillanatban engedjük el, amikor az ékre ízszintese irányú, állandó nagyságú erőt kezdünk kifejteni. a) Mekkora erőel kell az ékre hatnunk, hogy az ék és a korong az indítás után bármely időpillanatig azonos utat tegyen meg? b) Mekkora az ék és a korong elmozdulása t =,4 s alatt, ha A = 15 m/s 2 állandó gyorsulással toljuk az éket? (A korong nem csúszik meg.) Az a) kérdéshez A b) kérdéshez Megoldás: a) Akkor tesz meg ugyanakkora utat az ék és a korong, ha teljesen együtt mozognak, agyis a korong nem fordul el az éken, olyan a mozgása, mintha oda lenne ragaszta. Ekkor a rendszer gyorsulása: Ugyanekkora a korong gyorsulása is. Miel a korong nem fordul el, így a korongra nem hat súrlódási erő, a korongra csupán a nehézségi erő és a kényszererő hat, de ezek hatásonala átmegy a korong tömegközéppontján, tehát ezek nem forgatnak. A nehézségi erő és a lejtőre merőleges kényszererő eredője eredményezi a korong gyorsulását. OKTV 215/216 2. forduló
Az ábrán látható erők alapján az eredő erőre ezt írhatjuk fel: agyis a korong gyorsulása:. Ha ezt a gyorsulást egyenlőé tesszük a korábban kiszámolt gyorsulással, akkor az egyenletből kifejezhetjük az F erőt: Az adatok behelyettesítése után g = 1 m/s 2 -tel számola F = 48,87 N égeredményt kapunk, míg g = 9,81 m/s 2 -tel számola F = 47,94 N égeredményre jutunk. Megjegyzés: A rendszerrel együtt mozgó gyorsuló onatkoztatási rendszert használa is megoldhatjuk a feladatot. Ekkor a korong áll, a rá ható erők (beleérte a ma tehetetlenségi erőt is) nulla eredőt adnak (lásd az ábrát). Erről az ábráról leolashatjuk: agyis a korong gyorsulása az inercia-rendszerben. Azt is megállapíthatjuk, hogy a gyorsuló rendszerben a korong és az ék együttese is áll, tehát az erőegyensúlyra a köetkező összefüggést írhatjuk fel (nem elfelejte most a (m+m)a fiktí tehetetlenségi erőt: amiből a korábban kiszámított gyorsulást kaphatjuk meg. Ettől kezde a megoldás formailag teljesen megegyezik az inercia rendszert használó számítással. b) Ebben az esetben a gyorsuló ék a korong alá csúszik, agy más szóal a korong felgördül az ékre. Vizsgáljuk meg a korongra ható erőket, melyek az ábrán láthatók. A (tapadási) súrlódási erő forgatja a korongot: ahol R a korong sugara, β pedig a szöggyorsulása. Ebből az egyenletből érdemes kifejezni az OKTV 215/216 2 2. forduló
kerületi gyorsulást, mert ennek fontos szerepe an a tisztán gördülő korong mozgásának kényszerfeltételében, amit a köetkező ábráról olashatunk le. Kapcsolatot találhatunk az ék A gyorsulása, az Rβ kerületi (az ékhez iszonyított) gyorsulás, alamint a korong középpontja gyorsulásának a x ízszintes és a y függőleges összeteője között: A korong tömegközéppontjának ízszintes és függőleges gyorsulását leíró dinamikai egyenletek a köetkezők: Ebbe a két egyenletbe helyettesítsük be a gyorsulás komponenseket, és rendezzük az egyenleteket: Az alsó egyenletből fejezzük ki a K kényszererőt: és helyettesítsük be a felső egyenletbe, amiből így az S súrlódási erő megkapható: A súrlódási erő segítségéel kiszámíthatjuk a korong ízszintes és függőleges gyorsulás összeteőit: A korong eredő gyorsulása: és ennek alapján a korong elmozdulása t =,4 s alatt: Az ék elmozdulása: OKTV 215/216 3 2. forduló
Megjegyzések: 1. A feladat b) részét is meg lehet oldani gyorsuló koordinátarendszerben, amit célszerű az ékhez rögzíteni. Ekkor az ék áll, és rajta felgördül a korong. A köetkező ábra mutatja a korongra ható erőket, beleérte a gyorsuló rendszerben fellépő ma = 3 N nagyságú fiktí tehetetlenségi erőt is. A korong szöggyorsulására most is ugyanazt az egyenletet írhatjuk fel, mint korábban: amiből iszont meghatározhatjuk a korong tömegközéppontjának az ékhez iszonyított (felfelé pozití) gyorsulását: Ezek után a lejtőel párhuzamos erőösszeteők dinamikai egyenletét írjuk fel: és helyettesítsük be ide az ékhez képesti a gyorsulás korábbi kifejezését, majd fejezzük ki a súrlódási erőt: mely megegyezik az inercia-rendszerben számított súrlódás erőel. Így megkaphatjuk az ékhez képesti gyorsulás értékét is: Most issza kell térnünk az álló rendszerbe, hogy megkaphassuk abban is a korong gyorsulását: Visszakaptuk a korábban már kiszámított gyorsulásokat, és innen már a megoldás megegyezik az inercia-rendszerbeliel. 2. Adataink alapján a korongra ható S súrlódási erő 5,33 N, a K kényszererő pedig 32,3 N. Ennek alapján a korong tiszta gördülése akkor teljesül, ha a tapadási súrlódási együttható értéke nagyobb, mint.165. A feladat szöege ezt feltételezte. OKTV 215/216 4 2. forduló
2. feladat. Nagyon ékony huzalból készült gyűrű, amelynek átmérője d = 6 mm, fajlagos ellenállása = 2 1 8 m, sűrűsége = 9 1 3 kg/m 3, egyenesen átrepül egy mágnes pólusai között, miközben nem fordul el. Repülés közben a gyűrű sebességektora párhuzamos a gyűrű síkjáal. A gyűrű középpontja az x tengely mentén mozog. A mágneses indukcióektor gyűrűre merőleges komponense az x- tengely különböző pontjaiban az ábrán látható módon függ az x koordinátától, ahol T, a = 1 cm. Becsüljük meg a gyűrű árhatóan kicsiny sebességáltozását, ha a berepülés előtt = 2 m/s nagyságú sebessége olt! (Tekintsünk el a graitáció okozta sebességáltozástól). I. megoldás. Az elrendezés ázlatosan így néz ki: Vegyük észre, hogy a feladat megoldása szempontjából csak a mágneses mező gyűrűre merőleges komponensének an jelentősége. A mozgó gyűrűben a áltozó mágneses mező feszültséget indukál, így a gyűrűben áram folyik. A mozgó gyűrűre a mágneses mező Lenztörénye szerint fékező erőt gyakorol, tehát a sebessége csökkeni fog, miközben áthalad a mágneses mezőn. A pólusok közti repülés ideje alatt a gyűrűben Joule-hő keletkezik, amely egyenlő a gyűrű mozgási energiájának megáltozásáal. A mozgási energia addig áltozik, amíg a gyűrű a nem nulla indukciójú mágneses mezőben mozog. Tegyük fel, hogy a sebességáltozás nem túl nagy (ezt a égén tudjuk ellenőrizni, hogy teljesül-e). Toábbá, miel a gyűrű méretei kicsinyek a mező x irányú kiterjedéséhez képest, nem kell foglalkoznunk a mágneses mezőbe aló belépés és kilépés átmeneti effektusaial. Ezek alapján a gyűrűben indukálódó áram nagysága felhasznála, hogy B lineárisan áltozik az x táolsággal, toábbá a sebességáltozás áramra gyakorolt hatását elhagya I = 1 Φ R t = 1 B A x 1 BA = = állandó, R a t R a x ahol A a gyűrű területe, és. (Az áram iránya félúton megfordul) t A repülés ideje a mágneses mezőben jó közelítéssel 2a t =. Ekkor a gyűrűben keletkezett Joule-hő ahol R a gyűrű ellenállása. W = I 2 Rt = OKTV 215/216 5 2. forduló 2 2 2BA, ar A keletkező Joule-hő miatt a gyűrű mozgási energiája csökken: 2 2 m m( W= ) m, 2 2 ahol m a gyűrű tömege és felhasználtuk, hogy <<. A Joule-hő és a mozgási energia megáltozásának összeetéséből kapjuk, hogy
2B 2 A 2 =. mar Szükség an még némi mellékszámításra, mert a gyűrű A területe, m tömege és R ellenállása nincs közetlenül megada, de az adatok segítségéel kifejezhetők: m = d S, ahol S a huzal d d keresztmetszete, R =, A=, és d = 6 mm a gyűrű átmérője. S 42 Behelyettesíte a sebességáltozásra a köetkező összefüggést kapjuk: = 2 2 B d 8 a Az adatok behelyettesítése után =,36 m/s adódik, tehát alóban teljesül, hogy a sebességáltozás kicsi az eredeti sebességhez képest, annak mindössze 1,8 %-a. II. megoldás. A feladat az erő kiszámításáal is megoldható. A gyűrűt tekinthetjük n oldalú szabályos sokszögnek, ahol n igen nagy természetes szám. A sokszög minden oldalának igen kicsiny hossza legyen l, melyre tejesül a köetkező feltétel:, ahol d a gyűrű átmérője. A gyűrűben (sokszögben) folyó áram természetesen megegyezik az első megoldásban kiszámított 1 1 B A x 1 BA I = = = = állandó R t R a t R a értékkel. Először tekintsünk egy olyan kicsiny téglalapot, melynek hosszabbik oldala éppen a gyűrű x tengellyel párhuzamos d átmérőjéel egyezik meg, és erre merőleges kisebbik oldala l hosszúságú (lásd az ábrát). A két kisebbik oldalra ható erő egymással ellentétes, mert az ott futó gyűrűdarabokban az áramok ellentétes irányúak. Az eredő erő: Vigyázzunk arra, hogy az erő és a mágneses indukció formulájában a zárójelek nem szorzást jelölnek, hanem azt mutatják, hogy a függényt melyik helyen értelmezzük. Vegyük észre, hogy az összefüggésben szereplő dl szorzat éppen a kiálasztott keskeny téglalap területéel egyezik meg, amit az eredő erő kiszámításához B I/a-al kell megszoroznunk. Ezek után tekintsünk általánosan egy szintén az x tengellyel párhuzamos keskeny trapézt, melynek két kicsiny oldala l hosszúságú, és ezekben a drótelemekben szintén I áram folyik egymással ellentétes irányban. A köetkező ábráról leolasható ezeknek az áramelemeknek az x irányú eredője (az x irányra merőleges erőjárulékok kiesnek, mert minden átmérő feletti trapéznak megan az átmérő alatti párja). OKTV 215/216 6 2. forduló
Vegyük észre, hogy az utolsó kifejezés első zárójelében a keskeny trapéz alaplapjának hosszúsága, míg a második zárójelben a trapéz magassága szerepel, tehát a két zárójeles kifejezés szorzata (jó közelítéssel) a trapéz területéel egyezik meg. Az erő formulájában ezt a területet megint B I/a-al kell megszoroznunk. Ha a gyűrűt közelítő sokszöget a fenti módon keskeny trapézokra bontjuk, akkor mindegyik esetében azt állapíthatjuk meg, hogy az egyes drótelem-párokra akkora fékezőerő hat, ami úgy adható meg, hogy a trapéz területét megszorozzuk B I/a-al. Tehát a teljes gyűrűre (jó közelítéssel) akkora fékezőerő hat, ami megegyezik a gyűrű A területe és a B I/a kifejezés szorzatáal: ahol az IA szorzat éppen a gyűrű mágneses momentuma: 2 2 2 1 BA BA IA =, így F = 2. R a ar 2 2 F BA A lassulás mértéke = m 2, ahol m a gyűrű tömege. Így a sebességáltozás (ha a repülés ma R 2a idejét t = értékkel közelítjük): F 2B 2 A 2 = t =. m mar A kapott kifejezés azonos a munkatétel segítségéel kapott értékkel. Megjegyzés: A fenti számolásban többszörösen kihasználtuk, hogy a gyűrű kicsi a 2a táolsághoz képest. A fluxus kiszámításakor lényegében a gyűrű középpontjában fellépő B- el számoltunk, ami a mágneses indukció lineáris függése miatt megegyezik a tér átlagértékéel. A számolásban közelítésként jelenik meg az, hogy elhanyagoltuk a tér gradiensének előjeláltozását. Ugyanis amikor a nöekő mágneses indukció csökkenni kezd, akkor lesz egy olyan pillanat, amikor a fluxus-áltozás nulla, tehát ekkor a gyűrűben nem indukálódik áram, egy röid időre megszűnik a fékezés, de ez a teljes folyamathoz képest elhanyagolható. Megjegyzés: Érdekes, hogy a sebességáltozás nem függ a gyűrű kezdeti sebességétől, azonban az eredmény csak akkor elfogadható, ha a sebességáltozás sokkal kisebb a gyűrű haladási sebességénél. OKTV 215/216 7 2. forduló
3. feladat. Egy nyári napon egy hosszú, egyenes, ízszintes országút szélén árakozik egy rendőrautó napkelte óta nyitott ablakokkal. Az autóban ülő unatkozó rendőr őrmester ért alamicskét a fizikához, így tudja, hogy az úton a táolban látszó fényes folt nem az úton léő íz tükröződéséből származik, biztos abban, hogy az útfelület száraz. Az őrmester megfigyeli, hogy a reggel 8 órakor a tőle 25 méterre léő fényes folt egy óra alatt egy oszloppal jön közelebb, és tudja, hogy két útjelző oszlop között a táolság 5 méter. Autójának külső és belső hőmérőjét használa az őrmester megállapítja, hogy az útfelület feletti 1-2 cm astagságú átmeneti rétegtől eltekinte (ahol nem tud pontosan mérni) a leegő hőmérséklete állandó. Az átmeneti réteg felett reggel 8 órakor 15 C, illete 9 órakor 18 C a hőmérséklet. Az autóban üle a feje mindégig 1,2 méteres magasságban olt. Az őrmester eltöpreng azon, hogy ezekből a megfigyelésekből ajon megállapítható-e az országút felforrósodó felületének hőmérséklete. Saját maga számára reménytelennek látja a feladatot, különösen azért, mert az átmeneti rétegben a leegő függőleges irányú hőmérsékletfüggéséről tudja, hogy azt elméletileg nem igazán lehet meghatározni, azonban erről nincsenek részletes mérési adatai. Szomorkodását csodálkozás áltja fel, amikor észreeszi, hogy 1 órára a folt isszamászott a 8 órakor elfoglalt helyére. Annyira elámul, hogy elfelejti leolasni autója hőmérőinek az állását. Segítsünk az őrmesternek, és határozzuk meg, hogy mekkora olt az út felületi hőmérséklete reggel 8 és 9 órakor! Feltételezhetjük, hogy az útfelület hőmérséklete 9 és 1 óra között nem áltozott. Mekkora a leegő hőmérséklete az őrmester fejének magasságában 1 órakor? Útmutatás: Az útfelület közetlen közelében az út és a leegő hőmérséklete megegyezik. A leegő abszolút törésmutatója 15 C-on és 1 atmoszféra nyomáson n = 1,276. A légnyomás a megfigyelés közben nem áltozott, mindégig 1 atmoszféra olt. A leegő n abszolút törésmutatója függ a leegő sűrűségétől, mégpedig úgy, hogy (n 1) jó közelítéssel egyenesen arányos a leegő sűrűségéel. Megoldás. A Snellius-Descartes törényből köetkezik, hogy egymással párhuzamos, különböző törésmutatójú rétegekben egy fénysugár úgy halad, hogy az aktuális abszolút törésmutató és a törési szög szinuszának szorzata állandó: sin 1 n2 sin 2 n3 sin 4 n3,,,... n1 sin 1 n2 sin 2 n3 sin 3... áll. sin n sin n sin n 2 1 3 2 3 4 Ez az összefüggés akkor is érényes, ha a közegben a törésmutató a beesési merőleges mentén folytonosan áltozik. OKTV 215/216 8 2. forduló
A fényes folt a teljes isszaerődés miatt jön létre, a felforrósodott útfelület úgy iselkedik, mint egy tökéletes tükör. A folt helyén az útfelületről kiinduló fénysugarak nem juthatnak el a szemünkbe. A folt határára (ahol már tükröző az útfelület) a beesési szög 9, tehát a köetkező egyenletet írhatjuk fel: ahol a leegő törésmutatója fejmagasságban, illete a törésmutató az út felszínéhez nagyon közel. A fényfolt széléről induló fénysugár hozzáetőleges útját a köetkező ábra szemlélteti: A 8 órás adat esetében = 1,276 adott, mert az őrmester feje körül a hőmérséklet ekkor T = 15 C olt. A leegő sűrűsége (állandó nyomás mellett) fordítottan arányos az abszolút hőmérsékletéel: Kihasznála, hogy a feladat szerint (n 1) jó közelítéssel egyenesen arányos a leegő sűrűségéel, a köetkező összefüggést írhatjuk fel: ahol az A állandó értékét a megadott törésmutatóból számíthatjuk ki: Az útfelület 8 órai hőmérsékletét tehát a köetkező összefüggésből kaphatjuk meg: ahol L 8 = 25 m, h = 1,2 m és = 1,276. A számítást elégeze = 3,7 K 27,6 C adódik. Teljesen hasonló módon járhatunk el a 9 órás útfelszín hőmérsékletének számításkor is: ahol most T = 291,15 K és L 9 = 2 m. Elégeze a számítást: = 311,7 K 38,5 C. A 1 órás kérdésnél is ugyanezt az egyenletet kell használnunk, de most a bal oldalon léő T hőmérséklet az ismeretlen: A behelyettesítés után T = 298,2 K 25,1 C adódik. OKTV 215/216 9 2. forduló
Pontozási útmutató 1. feladat a) A kíánt folyamat megalósulásának kinematikai és dinamikai feltételei A rendszer mozgásegyenletének helyes felírása A keresett erő meghatározása b) A dinamikai egyenletek felírása A kényszerfeltétel meghatározása A számítások elégzése 3 pont Az ék elmozdulásának meghatározása 1 pont A korong talajhoz iszonyított elmozdulásának meghatározása összesen: 2. feladat A gyűrűben indukált áram meghatározása A mágneses mezőn aló átrepülés ideje A tömeg, az ellenállás, a terület meghatározása Joule-hő megadása Kinetikus energia áltozása A sebességáltozásra onatkozó égső összefüggés A sebességáltozás numerikus értéke Összesen 3. feladat A teljes isszaerődés fontosságának felismerése: Az összefüggés felírása: A T 8 hőmérséklet kiszámítása: A T 9 hőmérséklet kiszámítása: A T hőmérséklet kiszámítása: Összesen: A megoldásban ázoltaktól eltérő számításokra, amelyek elileg helyesek és helyes égeredményre ezetnek, az alkérdésekre adható teljes pontszám jár. A nehézségi gyorsulás értékére 9,81 m/s 2 agy 1 m/s 2 egyaránt elfogadható, hacsak a feladat máshogy nem rendelkezik. OKTV 215/216 1 2. forduló