Javító és majdnem javító utak

Javító és majdnem javító utak deficites Hall-tétel alapján elméletileg meghatározhatjuk, hogy egy G = (, ; E) páros gráfban mekkora a legnagyobb párosítás mérete. Ehhez azonban első ránézésre az összes X részhalmaz deficitjét meg kéne határozni, ami már = 20 csúcs esetén is 2 20 1000000 részhalmaz vizsgálatát jelentené. Ráadásul még ekkor sem volna konkrétan a kezünkben egy maximális párosítás. Ennél azonban ügyesebben is nekifoghatunk egy egyszerű, de hasznos észrevétel segítségével, amely ráadásul nem csak páros gráfokban használható. Definíció. Legyen G = (V ;E) egy tetszőleges gráf és P E egy párosítás. Egy út javító út P-re nézve, ha két P által fedetlen csúcsot köt össze, és minden második éle P-ben van. Megjegyzés. minden második éle P-ben van helyett azt is mondhattuk volna, hogy az élei felváltva P-n kívüliek, illetve P-beliek. Ugyanis ha minden második éle P-ben van, a köztes élek nem lehetnek P-ben, hiszen P párosítás. Állítás. Legyen G = (V ; E) egy tetszőleges gráf és P E egy párosítás. Ha van javító út P-re nézve, akkor van P-nél nagyobb párosítás. izonyítás. Módosítsuk P-t úgy, hogy a javító út P-beli elemeit kivesszük belőle, a P-n kívüli éleit pedig bevesszük P-be. z így kapott P élhalmaz párosítás lesz, hiszen egyik csúcsnál sem lehet két éle: a javító úton kívül nyilván nem, mert ott P és P megegyezik; a javító út két végpontját P nem fedte le, így nem romolhattak el; a javító út belső pontjaira pedig mind P-nek, mind P -nek egy-egy éle illeszkedik. Mivel a javító út P-n kívüli éllel indul és végződik, P = P + 1. 1 Párosítás növelése javító úttal egy páros gráfban. 1 1 2 2 2 C C C 4 D 4 D 4 D 5 E 5 E 5 E 6 F 6 F 6 Egy párosítás páros gráfban, egy javító út (1-C-4-E--) és a javítás eredménye. F Hamarosan látunk módszert arra, hogy hogyan lehet javító utakat keresni, és ezáltal növelni a párosításunk méretét. De vajon így biztosan találunk egy lehető legnagyobb párosítást? Vagy kifulladhat a módszer hamarabb is? következő tétel adja a megnyugtató választ. 1

2 Tétel. Legyen G = (V ; E) egy tetszőleges gráf és P E egy párosítás. Ha nincs javító út P-re nézve, akkor P egy legnagyobb párosítás. izonyítás. Legyen P egy tetszőleges párosítás. Jelölje S a P és P élhalmazok (súlyozott) unióját, melyben P P éleit kétszer vesszük be (mint párhuzamos éleket). zt fogjuk belátni, hogy P-nek legalább annyi éle van S-ben, mint P -nek, vagyis P P ; ez igazolja, hogy nincs P-nél nagyobb párosítás. z S élei által alkotott G S = (V ;S) gráfban minden csúcs foka legfeljebb kettő (miért is?), és a kettő fokú csúcsok egyik éle P-beli, a másik P -beli. G S összefüggőségi komponensei tehát párhuzamos élek, körök vagy utak (az esetleges izolált csúcsokat nulla hosszúságú utaknak tekintjük). körökben a P-beli és P -beli élek száma megegyezik, hiszen azok felváltva követik egymást; ugyanez fennáll a párhuzamos élek alkotta komponensekre is. z utakban nem lehet több P -beli él, mint P-beli, hiszen egy ilyen út javító út volna P-re nézve, ami a feltevésünk szerint lehetetlen. Ezzel az állítást beláttuk. P P élei körök utak 1. ábra. P és P élei, Megjegyzés. Minden, amit eddig javító utakról mondtunk, páros és nem páros gráfokra egyaránt igaz. Innentől viszont csak páros gráfokkal foglalkozunk, mert az alább ismertetendő eljárásban kihasználjuk a gráf páros voltát. Nem páros gráfokban is lehet hatékonyan legnagyobb párosítást keresésni, ezt azonban mi nem tárgyaljuk. Javító utak keresése páros gráfokban szélességi kereséssel dott a G = (, ;E) páros gráf, ebben kell keresnünk egy legnagyobb párosítást. Ezt úgy tesszük, hogy mohón keresünk egy P kiindulási párosítást, amit majd addig növelünk, amíg egy legnagyobb párosítást nem kapunk. z alább részletezett eljárást először szemléletesen, kis példákon kézzel alkalmazható módon tárgyaljuk, a fejezet végén vázoljuk, hogy nagyobb példákon hogyan lehet kivitelezni az eljárást számítógép segítségével. Előkészületek: z eljárásnál az elején el kell dönteni, melyik osztály felől indulunk. Most például a párosítást felől fogjuk keresni. z eljárás során fontos, hogy -ből -ba csak párosításon kívüli, -ból -be pedig csak párosításbeli élen léphetünk. Ezt úgy biztosítjuk, hogy megirányítjuk G éleit: a párosítás élei mindig -ból -be mutassanak, a többi -ből -ba. míg nincs párosításunk (P = ), minden él -ből -ba mutat. (Természetesen, ha felől keresnénk párosítást, fordítva irányítottuk volna G éleit.) z eljárás során az aktuális párosítást az élek irányítása jelzi, melyet időnként változtatni fogunk. z aktuális párosítást mindig P-nek fogjuk hívni. Kis példákon persze az irányítás helyett az élek vékony / vastag rajzolásával is jelezhetjük, hogy mely élek vannak a párosításban.

Első lépés: mohón keresünk egy párosítást. Sorra vesszük csúcsait, és megvizsgáljuk az éppen aktuális v csúcs szomszédait. Ha van közöttük olyan u csúcs, ami még nem szerepel a párosításban (azaz u-nak nincs szomszédja -ban (az irányítást figyelembe véve!)), belevesszük; magyarán a vu él irányítását megfordítjuk. Ha az utolsó csúcsot is megvizsgáltuk -ben, egy új él bevételével nem bővíthető (de nem feltétlenül egy lehető legnagyobb) párosítást kaptunk (az -ból -be irányított élek ezek). Második lépés: Javító utakat keresünk. z irányítás miatt minden út felváltva lép P-n kívüli és P-beli éleken, így nekünk egy b fedetlen csúcsot egy a fedetlen csúccsal összekötő utat kell keresnünk; az automatikusan javító út lesz. Javító út keresésének lépései: Készítünk egy kétsoros táblázatot. fölső sor az elérési lista, az alsó a honnan lista. (1) Felírjuk az elérési listába fedetlen csúcsait (az összeset). z elérési listában szereplő csúcsokat listázottnak hívjuk; ezeket fogjuk sorban átvizsgálni. lattuk üres a honnan lista. (2) Legyen v az elérési lista első nem átvizsgált eleme. Írjuk az elérési lista végére v eddig nem listázott szomszédait (innentől ezek is listázottak), és mindegyik alá (a honnan listába) írjuk föl v nevét. v csúcsot ezután átvizsgáltnak hívjuk. Ezt a folyamatot nevezzük a v csúcs átvizsgálásának. () Ismételjük az előző lépést addig, míg 1) fedetlen -beli csúcsot veszünk föl az elérési listába, vagy 2) az elérési lista összes csúcsát át nem vizsgáljuk. 1)-es eset: fedetlen -beli csúcsot vettünk az elérési listába. Hívjuk ezt a csúcsot v 1 -nek. honnan lista alapján tudjuk, hogy v 1 -et melyik csúcsból értük el; legyen ez v 2. Persze v 2 szerepel v 1 előtt az elérési listában, a honnan listából látjuk, hogy őt v -ból értük el stb., így a feljegyzések alapján visszaérünk egy -beli fedetlen csúcsba. Ezen csúcsok sorozata egy irányított út, mely két fedetlen csúcsot köt össze, azaz a fenti megjegyzés szerint javító út P-re nézve. javító út éleinek irányítását megfordítva (azaz felcserélve a P-beli és az azon kívüli éleit) kapunk egy P-nél nagyobb párosítást; ezután a fenti eljárással újra kereshetünk javító utat az új, nagyobb párosításra nézve. Mivel a fedetlen csúcsok száma minden lépésben csökken, előbb-utóbb véget ér az eljárás azzal, hogy előáll a 2)-es eset. 2)-es eset: az elérési lista összes elemét átvizsgáltuk, de nem értünk el fedetlen csúcsba. Ekkor az alábbi tétel szerint megtaláltuk a lehető legnagyobb párosítást, ráadásul bizonyítékot is kapunk erre: Tétel. Tegyük föl, hogy a fenti eljárás során előáll a 2)-es eset. Legyen rendre X, illetve Y az elérési listában szereplő -beli, illetve -beli csúcsok halmaza. Ekkor N(X) = Y, és X deficite éppen P, azaz nincs a P-nél nagyobb párosítás. izonyítás. Legyen F X a -beli fedetlen csúcsok halmaza. Ekkor persze P pontosan F csúcs híján fedi -t, azaz P = F. Legyen v X egy tetszőleges csúcs, u pedig a v egy tetszőleges szomszédja G-ben (tehát az eredeti, irányítatlan gráfban). N(X) = Y igazolásához be kell látnunk, hogy u Y. Ha vu P, akkor v nem fedetlen, tehát a honnan listában szerepel alatta egy csúcs. Mivel felé csak P-beli élen léphettünk és v-t csak egy P-beli él fedheti, ez a csúcs az u; emiatt u is szerepel az elérési listában, tehát u Y. Ha vu / P, akkor v

4 átvizsgálása során u-t bevettük az elérési listába (vagy már eleve ott volt), tehát ismét u Y. Ezzel azt láttuk be, hogy N(X) Y. Mivel minden Y -beli csúcsot egy X-beli csúcs (nevezetesen a honnan listában alatta szereplő) szomszédjaként vettünk az elérési listába, N(X) = Y. Már csak azt kell megmutatni, hogy X deficite éppen F, vagyis hogy X N(X) = X Y = F. Ehhez azt gondoljuk meg, hogy P egy teljes párosítás Y és X \F között. Először lássuk be, hogy Y minden elemének van P-beli párja X \ F-ben. Legyen u Y. 2)-es eset szerint P lefedi u-t; legyen tehát v az u P-beli szomszédja. Ekkor v az u átvizsgálása során bekerült az elérési listába 1, tehát v X \ F. Másodszor lássuk be, hogy X \ F minden elemének van P-beli párja Y -ban. Ha v X \ F, akkor v-nek persze van P-beli párja, és N(X) = Y miatt az Y -beli. Példa: Lássuk az eljárás megvalósítását az alábbi képen látható gráffal illusztrálva. C D E F G H 1 2 4 5 6 7 8 C D E F G H 1 2 4 5 6 7 8 2. ábra. Fölül látjuk a gráfot magát; alatta a mohón talált párosítással és az annak megfelelő irányítással. Végezzük el ezen a gráfon és a kiindulási párosításon az eljárás lépéseit! Elérési lista: 6 7 8 D E 4 2 5 F Honnan: 6 6 7 D E 2 lépéseket jelek választják el egymástól. 4. lépésben a 8 nevű csúcsot vizsgáljuk át, ahonnan azonban egy új csúcsot sem érünk el, ezért az elért csúcsok listája nem bővül. Hasonló a helyzet a 8. lépésben. Mivel F fedetlen -beli csúcs, a táblázatból kiolvasható F 2 6 út javító út lesz. Elvégezve a javítást az alábbi párosítást kapjuk: 1 Vagy esetleg már u átvizsgálása előtt is ott volt. Előfordulhat ez?

5 C D E F G H 1 2 4 5 6 7 8. ábra. növelt párosítás. Erre újra elvégezve az eljárás lépéseit, a következő táblázat adódik: Elérési lista: 7 8 D E 4 5 Honnan: 7 7 D E z eljárás úgy ér véget, hogy átvizsgáltuk az összes listázott csúcsot, és nem tudunk több csúcsot listázni. Ekkor a Tétel szerint az X = {7; 8; 4; 5} = {4; 5; 7; 8} csúcshalmaz szomszédsága N(X) = Y = {D; E} (ezt ellenőrizhetjük is az eredeti gráfon). z X halmaz deficite tehát kettő, és az aktuális párosításunk kettő híján minden csúcsot fed -ben; összevetve kapjuk, hogy ő egy legnagyobb párosítás. Számítógépes implementálás Kis gráfok esetében még át tudjuk tekinteni a fenti eljáráshoz szükséges információkat a táblázat és a gráf ábrája segítségével. zonban nagy gráfok esetében, melyeknél már a vizuális megjelenítés sem célszerű, természetes a kérdés, hogy számítógéppel hogyan lehet a fenti eljárást kivitelezni, a szükséges adatokat tárolni. gráfokat többféleképpen lehet és szokás kezelni, a legalkalmasabb adattárolási struktúra kiválasztása függ a gráf és a feladat jellegétől is. Mi most csak egy változatot mutatunk be. Gráf tárolása: csúcsokat sorszámozzuk 1-től n-ig (n a gráf csúcsszáma); majd készítünk egy listát, melyben minden sorszámhoz (azaz csúcshoz) egy újabb listát rendelünk, amely az ő szomszédjait tartalmazza (az aktuális irányítást figyelembe véve). Ez a SZOMSZ lista; egy v csúcsra tehát SZOMSZ(v) egy, a v szomszédait tartalmazó lista. Érdemes bevezetni egy FEDETT listát, ami minden csúcsról eltárolja, hogy fedi-e P. Például ha az uv irányított él, u, v, szerepel a gráfban, de nem szerepel a párosításban, akkor ő -ből felé van irányítva, tehát SZOMSZ(v) tartalmazza u-t, de SZOMSZ(u) nem tartalmazza v-t. Ha ezt az élt bevesszük a párosításba, azt úgy adminisztráljuk, hogy a v szomszédai közül kivesszük u-t, és az u szomszédai közé bevesszük v-t, valamint alkalmasan módosítjuk a FEDETT értékeket is. Elérési lista (ELERESI): z eljárás szerinti sorrendben írjuk bele az elért csúcsokat (azok sorszámát). Honnan lista (HONNN): z eljárás szerinti sorrendben írjuk bele a honnan értéket (a megfelelő csúcs sorszámát); az elérési lista elején szereplő, fedetlen -beli csúcsoknál üres értéket (vagy megfelelő jelölőt) használunk. Csúcsok állapotlistája (LLPOT): készítünk egy n elemű tömböt, és minden elem háromféle lehet a csúcsok háromféle állapotának megfelelően, amit most számokkal

6 jelölünk: 0: még nem listázott csúcsok; 1: listázott, de még nem átvizsgált csúcsok; 2: átvizsgált csúcsok. Kezdetben minden 1 i n számra LLPOT(i) = 0. csúcsok állapotát az eljárás lépéseinek megfelelően módosítjuk: amikor listába kerül, 1-re, amikor átvizsgáljuk, 2-re. z eljárás során az ELERESI lista soron következő i elémenek szomszédait kell áttekinteni, azaz végig kell mennünk a SZOMSZ(i) elemein. Ezek közül azon j csúcsokat, melyeknél LLPOT(j) = 0, beteszzük az ELERESI lista végére, LLPOT(j)-t 1- re változtatjuk, a HONNN lista megfelelő elemét i-re módosítjuk, majd ha végigvettük SZOMSZ(i) elemeit, LLPOT(i)-t 2-re állítjuk. csúcsok listázásánál a FEDETT lista segítségével ellenőrizzük, hogy P fedi-e az adott csúcsot. fenti példa tárolása és az eljárás első lépése valahogy így néz ki. számítógép persze a betűvel jelölt csúcsokat is sorszámként tárolná (9, 10,..., 16). gráf tárolása (csúcsok és szomszédaik; helytakarékossági okokból a csúcsok alá írjuk azok szomszédait): Csúcs: 1 2 4 5 6 7 8 C D E F G H Szomszédok F G D D E 1 2 4 5 listája: E Állapotlista csúcsai: 1 2 4 5 6 7 8 C D E 2 G H 1. lépés: 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2. lépés: 0 0 0 0 0 2 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0. lépés: 0 0 0 0 0 2 2 1 0 1 0 1 1 0 0 0 4. lépés: 0 0 0 0 0 2 2 2 0 1 0 1 1 0 0 0 5. lépés: 0 0 0 1 0 2 2 2 0 1 0 2 1 0 0 0 6. lépés: 0 1 0 1 0 2 2 2 0 2 0 2 1 0 0 0 7. lépés: 0 1 0 1 1 2 2 2 0 2 0 2 2 0 0 0 8. lépés: 0 1 0 2 1 2 2 2 0 2 0 2 2 0 0 0 9. lépés: 0 2 0 2 1 2 2 2 0 2 0 2 2 1 0 0