MECHANIKAI HULLÁMOK Deormáió terjedése rugalmas közegben A tér egy adott helyén történt zavarkeltés eredménye a tőle r távolságra lévő pontban idő múlva jelenik meg: a zavar terjedéséhez időre van szükség: A hullám leírása x a zavar terjedési sebessége anyagi jellemző Az x=0 helyen periodikus zavart keltünk, az eredmény haladó hullám lesz. X=0 x x y t 0, Asin t T Ez a rezgésállapot terjed a kötél mentén sebességgel. Az x helyen t időpillanatban az x=0 helyen lesz: y t x, Asin t időponttal korábbi rezgési állapot t x x y x, t Asin x, Asin t T T T y t
Pillanatkép a hullámról y Hullámhossz: azonos ázisban rezgő pontok legrövidebb távolsága T 1 T A hullámorrás rekveniája a közegbeli terjedési sebesség x A hullámhossz nagyságát a hullám közegbeli terjedési sebességének és a hullámorrás rekveniájának hányadosa határozza meg. t x y x, t Asin T x, Asin t x T y t y t x, Asin t kx A hullám térben és időben periodikus jelenség Térbeli periodiitás: hullámhossz Időbeni periodiitás: T periódus idő k hullámszám A hullámüggvény különböző alakjai
Hullám terjedése a hullámront mozgása Hullámront: azonos ázisú pontok mértani helye, merőleges a terjedési sebességre Hullámok osztályozása Dimenzió szerint: 1D vonal menti hullámok : pl. hullám pontsoron D elületi hullámok : pl: körhullám : pl. vízbe ejtett kő 3D Térbeli hullámok: gömbhullámok: pl, hang, elektromágneses hullámok Irány szerint: a részeskék sebességének és a hullámterjedés sebességének iránya: Longitudinális hullám A két sebesség párhuzamos Sűrűsödések és ritkulások Nem polarizálható Transzverzális hullám A két sebesség merőleges nyíróerők működnek polarizálható pl: a hang pl: elületi vízhullám Polarizáió: transzverzális hullám esetén a rezgési sík polarizátorral kiszűrhető Példa: hullám rugalmas kötél mentén
F Terjedési sebességek a közeg szerint: 1.Szilárd anyagban: a. Transzverzális hullám: nyíróerők jelenléte v húr tr F eszítettség F tr A A keresztmetszet sűrűség Pl: Hangszerek húrjai F b. Longitudinális hullám: v l E E Young modulus Pl: öldrengés l. Folyadékban a. Belül: sak longitudinális hullám van, nins nyíróerő b. Felületen: transzverzális hullámok: elületi eszültség+gravitáiós erő irányítja elületi g A vízi molnárkák a víz elületén a elületi hullámok segítségével tájékozódnak
3. gázokban: Csak longitudinális hullámok vannak g p p v Pl: hang A ajhők hányadosa Longitudinális hullám jellemzői Transzverzális hullám jellemzői A részeskék a terjedési iránnyal párhuzamosan rezegnek Sűrűsödések és ritkulások terjednek a közegben A részeskék a terjedési irányra merőlegesen rezegnek
INTERFERENCIA: HULLÁMTALÁLKOZÁS Erősítés-kioltás: mintázatképződés: példa Két hullámorrás azonos amplitúdóval, rekveniával hullámokat bosát ki, melyek a tér egy pontján (C) az ábra szerint találkoznak. Az addig megtett út: és x1 x A két hullámüggvény: y y 1 t x Asin T t x Asin T 1 Az eredő hullám a két szinusz üggvény szuperpozíiója: y y 1 y Fáziskülönbség a két hullám között: útkülönbség a két hullám között: x x1 s s x x 1 Az eredő hullám amplitúdója és ázisa a két hullám áziskülönbségétől ügg Feltétel:a áziskülönbség nulla: 0 n Az útkülönbség ekkor: s n n Feltétel: a áziskülönbség: Az útkülönbség ekkor: ( n 1) s (n 1)
Intererenia Az intererenia akkor észlelhető, ha a találkozó hullámok koherensek: áziskülönbségük időben állandó. Hullámtalálkozás két dimenzióban: Koherens hullámok találkozásakor mintázat alakul ki a elületen. Maximális erősítés: Kioltás: r r1 r r1 n (n 1) Két adott ponttól mért távolságok különbsége állandó: mértani hely: hiperbola Két hiperbola sereg: egyik a maximális erősítések, másik pedig a kioltások helye. r 1 r1 r 1 r r r n=1, 3
L ÁLLÓHULLÁMOK ázisugrás x P l-x Zárt vég esetén L hosszúságú kötél egyik végén elindítunk egy hullámot, amely zárt végről visszaverődik. Bizonyos rekveniáknál a haladó és a visszavert hullámok interereniájának eredményeként állóhullámok alakulnak ki. A haladó hullám üggvénye: Asin( t kx ) y1 1 y A sin( t kx A visszaverődő hullám üggvénye: ) Az eredő hullám: Állóhullám jellemzői: y y 1 y x 1 x x l ( l x a kötél pontjai azonos rekveniájú, de különböző amplitúdójú rezgőmozgást végeznek. A somópontok két oldalán a mozgás iránya ellentétes. Feltétel: a húr hossza a él hullámhossz egész számú többszöröse legyen. Ha a húr hossza és anyaga állandó, akkor a megelelő hullámhossz a rekvenia hangolásával érhető el. A hullám terjedési sebessége a húr anyagától ügg. )
A L hosszúságú húr sajátrezgései : a terjedési sebesség Egész számú többszöröse a húr hossza n: a él hullámhosszak száma L n=1 n= n=3 L L Transzverzális hullám terjedési sebessége: 1 n n n L L A sajátrekveniák értéke F A 3 L tr A sajátrekveniák értékei: 1 3 F A az L húr hosszával sökken, a hang mélyül : hegedű, brása, gordonka L L 3 L Hangmagasság: rekvenia üggvénye alaphang elharmonikusok Hangszín: hány elharmonikus szólal meg az alaphang mellett Az A keresztmetszet nagyságával ordítottan arányos: hegedűhúrok a húr F eszítettségével nő:hegedűhúrok hangolása n n L
Hangtani ismeretek A hangmagasság növekedését a ül nem lineárisan, hanem exponeniálisan érzékeli. Lineáris rekvenia-növekedés (1*, *, 3*, stb.) esetén a hanogk közötti intervallum egyre kisebb lesz. A hangközökben az egyes rekveniák arányait érzékeljük. A kétszeres növekedés (=oktáv) a rezgésszám megkétszerezését jelenti. Mivel a hangkeltő eszközök (húr, rezgő légoszlop) hosszviszonyainak változása megelel a rekvenia változásainak, kezdetleges mérési eszközökkel már régen is meg lehetett határozni a hangközök arányát. Így hamarosan ismertté váltak a hangközök arányai: Az egyes hangközök arányai: prím 1:1 oktáv :1 kvint 3: kvart 4:3 nagyter 5:4 kister 6:5 nagy szekund 9:8 kis szekund 16:15 nagy szext 5:3 kis szext 8:5 nagy szeptim 15:8 kis szeptim 16:9
Hangképzés-hallás A tüdőből kiáramló levegő megrezegteti a hangszálakat, a rezgés átterjed egy másik, a hangszállal érintkező közegbe, a levegőbe. A hullám orrása most a rezgő hangszál. A hullámok rekveniája nem változik, ha új közegbe kerülnek, így a levegőben terjedő hullám ugyanazzal a rekveniával rezeg, amivel a hangszál. A longitudinális hanghullámok a ülünkbe érkezve megrezegtetik a lévő dobhártyát. A dobhártya rezgései az agyunkban hangérzetet váltanak ki. Mivel a hullámok rekveniája nem változik, így ülünk a hangszálak által keltett rekveniát érzékeli.
HULLÁMJELENSÉGEK Hullámjelenségek: Visszaverődés, törés, elhajlás, intererenia, polarizáió, Ha egy ismeretlen izikai jelenség a hullámjelenségekhez hasonló sajátságokat mutat, megállapítható, hogy hullám. (Pl. mehanikai hullámok, elektromágneses hullámok, anyaghullámok) Hullámront: azonos ázisban lévő pontok mértani helye Hullám terjedése: a hullámrontok mozgása: a terjedési sebesség merőleges a hullámrontra Hullámok leírása: Huygens elv: visszaverődés, törés leírására Huygens - Fresnel elv: elhajlás, mintázat kialakulása Huygens elv: (1678) 1. A hullámront minden pontja elemi hullámok kiindulópontja. Az új hullámelület ezen elemi hullámok burkolóelülete
Visszaverődés elületről A hullám rekveniája nem változik, ezt sak a hullámorrás határozza meg. A visszaverődés után a közeg ugyanaz marad: a terjedési sebesség sem változik. A hullámhossz is állandó marad. Amikor a erdén bejövő hullámront egyik része az A pontnál eléri a közeghatárt, ott új elemi hullám keletkezik. Az E ponthoz időkéséssel érkezik a bejövő hullám, ott az új elemi hullám időkéséssel indul. Azonos idő alatt a bejövő (piros), és a visszaverődő (zöld) hullám azonos utakat tesz meg, mivel a közeg ugyanaz: Így az egyenesen lévő két szög is megegyezik:
Törés közeghatáron Ha új közegbe jut át a hullám, terjedési sebessége megváltozik. Mivel a rekvenia ugyanaz marad, a hullámhossz is megváltozik. A két közegben azonos idő alatt megtett utak hossza: Az ábráról leolvadható: 1 sin sin sin sin 1 s1 s AB sin sin n 1 s t s 1 1 t n 1 Snellius-Deartes törvény : a -es közeg 1 közegre vonatkoztatott törésmutatója s A s 1 B A hullámhossz is megváltozik: 1 1 Gyakran a közeghatáron egyidejűleg törés és visszaverődés is történik.
Elhajlás: hullám az árnyéktérben A hullám bejut az árnyéktérbe, és mintázat alakul ki. Csak az intererenia ismeretében érthető meg- Fresnel Huygens-Fresnel elv (1819) 1. hullámront minden pontja elemi hullámok kiindulópontja. Az új hullámelületet ezen hullámok interereniája adja meg. A hullámjelenségek értelmezése a Huygens-Fresnel elv segítségével 1.Visszaverődés: ázisugrás lehet. Törés: közeghatáron: a terjedési sebesség változik 3. Intererenia: hullámok találkozása, koherenia, mintázat 4. Elhajlás: hullám az árnyéktérben 5. Polarizáió: sak transzverzális hullám esetén
Elhajlás résen: mintázat képződés A hullám az árnyéktérbe is bejut. Huygens-Fresnel elv (1819) A rés minden pontján elemi hullámok indulnak ki, melyek találkoznak egymással- intererenia Maximumok: s sin d irány Fresnel éle -es zónák A nyalábot zónákra osztjuk, a szomszédos zónák között az útkülönbség él hullámhossz. s d sin k 1 d s Elhajlási kép változása a résmérettel: Az erősítés irányában páratlan számú zóna van. Minél kisebb a rés mérete, annál nagyobb az elhajlás. szög: annál nagyobb mértékű az
Elhajlás ráson 1. Rás: több rés van egymás mellett, és a rések mérete elhanyagolható a távolságukhoz képest. Feltételezzük, hogy az egyedi résen való elhajlás elhanyagolható, sak a szomszédos résekből kiinduló hullámok interereniáját észleljük. d-rásállandó (a rések távolsága) A szomszédos rések elemi hullámai közötti útkülönbség α irányba: Az erősítés ( maximális amplitúdó)eltétele: az útkülönbség a hullámhossz egész számú többszöröse: Az erősítés irányában: s n dsin n Bragg egyenlet s A hullámhossz és a szög ismeretében a d rásállandó meghatározható. Minél kisebb a rásállandó, annál nagyobb az elhajlás mértéke. d sin Az elhajlás akkor jelentős, ha a hullámhossz és a rásállandó mérete összemérhető nagyságrendű.
Fény elhajlása ráson A dirakiós kép szimmetriája nem üggetlen a rásszerkezettől: ez a dirakiós szerkezet meghatározás alapja. Fény esetén a maximum helyek intenzitás eloszlása az energia sűrűség eloszlást követi. Egy dimenziós üggőleges elrendezésű rás Egy dimenziós vízszintes elrendezésű rás Kétdimenziós kokarás
A galambtoll, mint dirakiós rás A galambtoll énymikroszkópos elvételén két dolog látszik: egyrészt egy erde rás szerkezet, másrészt pedig kétéle ismétlődési távolság. Lézerrel megvilágítva látszik egy erde rás szerkezetű dirakiós maximum szerkezet, és egy sokkal kisebb periodiitású pontsorozat. A erde, elmosódott ráskép az oldalra erdén, kissé szabálytalanul lelógó szálak eredménye, a kis távolságú ismétlődések pedig a szilárdabb, egymástól távolabb lévő, a képen sötétnek látszó vázak dirakiós lenyomata.
Elektromágneses hullámok: ény Az elektromágneses hullámok is mutatnak hullámtulajdonságokat. Pl. ény Fény elhajlása ráson: lézer segítségével sin x L n x L Az ernyőn látható intenzitás eloszlása Fehér énnyel végzett kísérletek esetén az erősítések helyén színes sávokat látunk: a különböző hullámhosszúságú nyalábok erősítésének iránya kisit különböző. Vékonyréteg intererenia : állandó útkülönbséget vékony réteg interereniával is el lehet érni: ahol d az olajréteg vastagsága, n és pedig a törésmutató
Az intererenia erősítésének eltétele az, hogy az útkülönbség a hullámhossz egész számú többszöröse legyen. Az egyenletből látszik, hogy a eltétel a rétegvastagságtól és a beesés szögétől is ügg. A természetben színek gyakran vékonyréteg intererenia eredményei Egyenlő vastagság görbék: irizáló színek Ugyanolyan vastag a réteg, de más szögből más színűnek látszik, mivel más hullámhosszra teljesül az erősítés eltétele. Pl. olajolt a víz elszínén, gyöngykagylók színe, lepkeszárny gyöngykagyló Morpho lepke Eozin máz Az irizáló színek s természetben mindig intererenia következményei
Egyenlő beesés görbék Különböző vastagságú rétegeket nézünk azonos irányból: más rétegvastagság-más szín Példák: Szappanhártya, olajréteg víz elszínén, newton gyűrűk Olajolt a tengeren Szappanhártya színei Természetesen ezeknél a jelenségeknél is igaz az, hogy a rétegvastagságnak összemérhetőnek kell lennie a ény hullámhosszával.
Röntgen sugarak elhajlása ráson: Röntgen dirakiós szerkezet vizsgálat A röntgen sugarak hullámhossz tartománya: Kísérleti elrendezés Intenzitás eloszlás a szög üggvényében DNS kettős spirál Az intenzitás szögeloszlás ismeretében meghatározható: Watson és Krik, 1958 A vizsgált objektumok karakterisztikus mérete a röntgen sugár hullámhosszával összemérhető kell legyen! Kristályrások: rásparaméter, rásszerkezet, kristályhibák mérete, eloszlása, nagyobb molekulák esetén: a kötésszögek, kötéstávolságok,
Kvantummehanika: az anyag részeske-hullám kettős természete Fotoeektus: A ény, mint részeske - Einstein, Nobel díj A émek elületéről elektronok léphetnek ki,ha a émet megvilágító ényben az energiaadagok, vagyis a otonok energiája nagyobb vagy egyenlő a kilépési munkánál. Egy oton energiája: E h 1 h Wki mv Fotoella A kilépő elektronok energiája nem a megvilágítás erősségétől,hanem a megvilágítás színétől, vagyis a émre eső ény rekveniájától ügg. Ha ugyanolyan rekveniájú, de erősebb (nagyobb intenzitású) ényt használunk, akkor a émből kilépő elektronok energiája változatlan marad, sak az elektronok száma nő meg.
Anyaghullámok:az elektron mint hullám: elhajlása ráson Jönsson,1961 m tömegű, v sebességű elektron elhajlása ráson: m e 9,1 10 31 kg e impulzus: 1.610 19 C p m Hullámhossz: De Broglie :A v sebességű elektron hullámhosszának meghatározása: energia kiejezése a hullámtulajdonságokkal: (Plank) E h h 6,610 34 Js E m p energia kiejezése a részesketulajdonságokkal (Einstein) h p a kettő egyenlővé tételével: Az m tömegű, v sebességgel mozgó elektron de Broglie hullámhossza: h p A hullámhossz az elektron sebességével ordítottan arányos. h m e v e
Elektronmikroszkópia Az elektronmikroszkópban az elektront sztatikus elektromos tér segítségével megelelő sebességre kell elgyorsítani: A sebesség ismeretében a de Broglie hullámhossz kiszámítása: m e 9,1 10 h 6,610 e 1.610 31 34 19 kg Js C Dirakiós üzemmódban: : A direkt és az elhajlott nyalábokat is ráengedik az ernyőre:dirakiós kép: Elektron dirakiós képek egykristályon különböző irányból Rásparaméter émek esetén: d 0,1nm
Transzmissziós üzemmódban: az elektronmikroszkóp képernyőjére sak a direkt nyalábot engedik rá, a szórt nyalábot nem: ilyenkor a minta képét lehet látni A énymikroszkóphoz hasonlóan működik, sak sokkal nagyobb a elbontása. A énymikroszkóp és az elektronmikroszkóp leképezésének összehasonlítása