1 Az axonometrikus ábrázolás analitikus geometriai egyenleteinek másfajta levezetése Bevezetés Több korábbi dolgozatunkban is foglalkoztunk hasonló dolgokkal, vagyis az axonometri - kus ábrázolás alapfeladatának analitikus megoldásával. Most azért vesszük elő megint ezt, mert találtunk egy olyan forrást [ 1 ], melyben ízlésünknek megfelelő típusú, szemlé - letű számítások alapján állítják elő a megfelelő számítási képleteket, melyek ha jól sejt - jük az elterjedt számítógépes programok részét is képezik. Korábban általában tartottuk magunkat ahhoz, hogy az axonometrikus ábrázolás fő para - métereit a képsíkon fellelhető főképpen: látható mennyiségek közül válasszuk. Most egy más úton járunk, így itt az ábrázolás alapvető paraméterei a térben megadandó mennyiségek lesznek. A számítások elemi vektoralgebrai ismereteken kívül alig igényelnek valamit, így az itte - niek kezdők és haladóbbak számára egyaránt hasznosnak bizonyulhatnak. A ferde axonometria ábrázolási képleteinek másfajta levezetése A párhuzamos vetítés ( Parallelprojektion ) lényege, hogy a tér kiválasztott P i pontjait egymással párhuzamos vetítősugarakkal egy Π képsíkra vetítjük, azaz képezzük a P i pon - tokon átmenő vetítő egyenesek és a Π sík döféspontjait. Ezen döféspontok / képpontok pl. egyenes vonalakkal történő összekötése után kirajzolódik előttünk a P i pontokat tartalmazó ábrázolandó tárgy axonometrikus képe / vetülete. Most lássuk a geometriai lényeg megformulázását, azaz képletekbe öntését! Ehhez először megoldunk egy segédfeladatot 1. ábra. Itt azt láthatjuk, hogy egy Ox 1 x 2 x 3 térbeli derékszögű kordináta rendszer ( k. r. ) alkama - zásával írjuk le a geometriai feladatot. Adott a P ponton átmenő, v irányvektorú g egyenes, valamint az A ponton átmenő, n nor - málvektorú Π sík. Keresett: az S döféspont s vektora. A megoldáshoz felírjuk az egyenes és a sík egyenletét: ~ a g egyenes paraméteres egyenlete, amely egy tetszőleges Q futópontjának x g vektorát adja meg: ( 1 ) ~ Π sík egyenlete, amely azt fejezi ki, hogy a sík normálvektora merőleges a sík bármely egyenesére:
2 1. ábra: Egyenes és sík metszéspontjának meghatározásához Az S döféspont s vektora rajta van g egyenesen, így vektorára ( 1 ) szerint fennáll, hogy ( 3 ) ( 2 ) az S döféspont s vektora rajta van a Π síkon is, így ( 2 ) szerint fennáll, hogy Most ( 3 ) és ( 4 ) - ből meghatározzuk a t S paramétert: ( 4 ) ( 5 ) Majd ( 3 ) és ( 5 ) - tel: ( 6 )
3 A ( 6 ) vektoregyenlet adja meg a P ponton átmenő v irányvektorú egyenesnek az A ponton átmenő n normálvektorú síkkal való döféspontjának vektorát. Ez alapvető a későbbiekhez. Megjegyezzük, hogy ha nem teljesül az kikötés, akkor a sík normálvektora merőleges az egyenes irányvektorára, ekkor pedig a g vetítő egyenes ~ esetén párhuzamos a Π képsíkkal, így nem képződik metszéspontjuk, vagy ~ ekkor benne van a Π képsíkban, így minden pontja metszéspont, vagyis a ( 6 ) egyenlet ekkor nem alkalmas egy darab S döféspont s vektorának megha - tározására. A továbbiak miatt térjünk vissza a ( 2 ) egyenlethez: ( 7 ) de ( 8 ) ahol d a képsík távolsága a k. r. kezdőpontjától, így ( 7 ) és ( 8 ) - cal a képsík egyenlete más alakban: ( 9 ) Most megváltoztatjuk jelöléseinket, a továbbiak kényelmesebb leírása érdekében 2. ábra. 2. ábra: A vetületképzés vektoregyenletének felírásához
4 Itt azt láthatjuk, hogy az 1. ábrához képest következő átjelöléseket alkalmaztuk: Ezekkel a 2. ábra szerint is írhatjuk, hogy A λ skalár paraméter értéke ( 5 ), ( 8 ) és ( 10 ) szerint: ( 10 ) ( 11 ) ( 12 ) így ( 11 ) és ( 12 ) - vel: ( 13 ) A ( 13 ) vektoregyenlet adja meg az X térbeli pont X α térbeli képpontjának helyvektorát. Átírjuk ( 13 ) - at: ( 14 ) Részletezve a vektorokat az egységvektorokkal is: ( 15 ) ( 16 ) ( 17 ) ( 18 ) Bevezetve a ( 19 ) új jelölést is, ( 14 ) újabb alakja:
5 ( 20 ) Az egységvektorok együtthatóinak összehasonlításából: ( 21 / 1 ) ( 21 / 2 ) ( 21 / 3 ) Átalakításokkal: ( 22 / 1 ) ( 22 / 2 ) ( 22 / 3 ) Ezzel előttünk állnak a képpont - koordináták kifejezései a tárgypont - koordináták függ - vényében. Ezek már közvetlenül alkalmasak számítások végzésére, ha megadjuk a benne szereplő c, d skalár - és az r, n vektor - állandók értékét. Ezután foglakozzunk a vetítés r irányvektorával ld. 3. ábra! 3. ábra: A vetítés irányvektorának megadásához
6 Az r irányvektort ( r, λ, β ) gömbi polárkoordinátáival jellemezzük: ahol: Ha r egységvektor, akkor r = 1, így a továbbiakban ezzel dolgozva: Most ( 23 ) és ( 24 ) szerint: A képsík n normális egységvektorát teljesen hasonlóan adhatjuk meg, helyettesítésekkel: Majd ( 19 ), ( 25 ) és ( 26 ) - tal: ( 23 ) ( 23 / 1 ) ( 23 / 2 ) ( 23 / 3 ) ( 24 / 1 ) ( 24 / 2 ) ( 24 / 3 ) ( 25 ) ( 26 ) ( 27 ) Ha valamiért szükséges, hogy d 0 legyen, akkor d > 0 értéke tetszőlegesen felvehető. Az eddigiekkel leírtuk a ferde axonometria ábrázolási képleteit, hiszen ha r és n nem párhuzamosak, akkor ferde axonometriával dolgozunk. Most két fontos speciális esetet vizsgálunk meg, szintén [ 1 ] alapján. S1.: A Π képsík megegyezik a K 2 koordinátasíkkal Ekkor ( 28 ) ( 29 )
7 majd ( 27 ) és ( 29 ) szerint: ezután ( 24 ) - gyel: ( 30 / 1 ) ( 30 / 2 ) ( 30 / 3 ) Most a ( 22 ), ( 28 ), (30) képletekkel is: tehát: ( 31 ) Folytatva: tehát: ( 32 ) Hasonlóképpen: tehát: ( 33 ) A ( 31 ), ( 32 ), ( 33 ) képletek adják az S 1 eset megoldását. Az eredmények szemléltetésére megrajzoltuk a 4. ábrát.
8 Az ábráról közvetlenül leolvasható, hogy 4. ábra: Az S1 speciális eset összefüggéseihez egyezésben a fentiekkel. S2.: Merőleges vetület általánosabb helyzetű síkon merőleges axonometria Ekkor: ~ a képsík menjen át az O ponton, azaz: ( 34 ) ~ a vetítőegyenes irányvektora megegyezik a képsík normálvektorával, ( 25 ) - tel is: ( 35 )
9 ~ most ( 19 ) - ből, egységvektorokról lévén szó: ahol ( 35 ) szerint is: Ezután a ( 22 ), ( 34 ), ( 35 ), ( 36 ) képletekkel: ( 36 ) ( 37 / 1 ) ( 37 / 2 ) ( 37 / 3 ) ( 38 / 1 ) ( 38 / 2 ) ( 38 / 3 ) A vetítési / számítási rendszer az 5. ábrán forrása: [ 1 ] szemlélhető. 5. ábra: Az S2 speciális eset összefüggéseihez Itt az eddigieken kívül bevezettünk egy újabb Oξηζ k. r. - t is; ezt képsík ~ k. r. - nek is nevezzük. Cél: a képpont koordinátáinak előállítása a képsík k. r. - ében. Az ábrán nincsenek feltüntetve a k. r. - ek egységvektorai: ~ az Ox 1 x 2 x 3 k. r. egységvektorai: e 1, e 2, e 3 ; ~ az Oξηζ k. r. egységvektorai: f 1, f 2, f 3 = r. Kezdjük utóbbiak meghatározásával!
10 Annak érdekében, hogy a képsík - k. r. a szokásos elhelyezésű legyen, vagyis az Oξ ten - gely balról jobbra, az Oη tengely pedig alulról felfelé mutasson, úgy választunk, hogy legyen! ( 39 ) itt e 3 α az e 3 egységvektor képe a képsíkon. Minthogy így ( 38 ) és ( 40 ) - nel: ( 40 ) ( 41 ) Most ( 37 ), ( 39 ) és ( 41 ) - gyel: Minthogy egységvektor, így ( 42 ) ( 43 ) így ( 42 ) és ( 43 ) alapján: ( 44 ) mert Most ( 42 ) és ( 44 ) szerint: Az f 1 egységvektorra fennáll, hogy ( 45 ) ( 46 ) ( 47 )
11 Most elvégezzük a kijelölt műveletet, ( 35 ), ( 46 ) és ( 47 ) - tel: tehát: Ezután kiszámítjuk az X( x 1, x 2, x 3 ) tárgypont koordinátáit az Oξηζ k. r. - ben. Ennek képletei: ( 48 ) ( 49 ) ( 50 ) ( 51 ) Most ( 16 ), ( 48 ) és ( 49 ) - cel: innen: ( 52 ) Majd ( 16 ), ( 46 ) és ( 50 ) - nel:
12 tehát: ( 53 ) Ezután ( 16 ), ( 35 ) és ( 51 ) - gyel: tehát: ( 54 ) Az X tárgyponthoz tartozó X α képpont képsík ~ k. r. - beli koordinátái 5. ábra : ( 55 / 1 ) ( 55 / 2 ) ( 55 / 3 ) Az ( 54 ) egyenletet a láthatóság eldöntésére használhatjuk fel 6. ábra. 6. ábra: A láthatóság eldöntéséhez Itt azt szemlélhetjük, hogy ha az s = r** nézési irányvektorral adott irányból nézzük az ugyanazon vetítő egyenesen elhelyezkedő X A és X B térbeli pontokat, akkor azok egybeeső X α A,B képpontja alapján nem tudjuk eldönteni, hogy a térben melyik pont van hozzánk
13 közelebb, tehát melyik takarja a másikat. A szemlélet alapján is mondható, hogy ζ B > ζ A miatt az X B pont van hozzánk közelebb, tehát az X B pont X α B képe fedi el az X A pont X α A képét, vagyis a vetületi ábrán / merőleges axonometrikus képen az X B pont képe látható. Megjegyzések: M1. A 3. és 5. ábrán megnevezett polárszögek változtatásával sokféle beállítású képet nyerhetünk. Például a specializációval nyerjük ( 31 ), ( 32 ), ( 33 ) - ból az elölnézeti képnek megfelelő képpont - koordinátákat. M2. A valóságos rajzi megjelenítéshez szokás egy L léptéktényezőt választani, amivel pl.: M3. Említettük, hogy itt az ábrázolás paramétereit nem a képsíkon, hanem a térben fellelhető adatok közül választjuk. Valóban, a ferde axonometria általánosabb esetében a vetítő egyenesek közös r irányvektora ( Richtungsvektor ), a képsík normálisának n normálvektora, valamint a képsíknak az origótól mért d távolsága mind szabadon vá - lasztható térbeli paraméterek. M4. Minthogy eléggé fontos szempont a számítások gyorsasága, ezért is igyekeznek a számítógépi grafikai programok fejlesztői a lehető legegyszerűbb alakú képleteket alkal - mazni. Ez éppen egybeesik a d = 0 és az n = r választással, amely a merőleges axono - metria egy esetének felel meg. M5. Nem csak a számítások gyorsítása, de képies képek nyerése céljából is sokszor sze - rencsésebb a merőleges axonometriát választani, hacsak lehetséges ez. Irodalom: [ 1 ] Gert Baer: Geometrie 2. Auflage, B. G. Teubner GmbH, Stuttgart ~ Leipzig ~ Wiesbaden, 2001. Sződliget, 2015. augusztus 15. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár