7. modul: EGYENLETEK 9 I. Egyszerű egyenletek Módszertani megjegyzés: Csoportalakítás. Mindenkinek adunk egy kártyát, melyen azonos időtartamot meghatározó kifejezések vannak. Ez a kiosztás lehet véletlenszerű: például a tanulók maguk húznak egy-egy kártyát a tanári asztalról, lehet tudatos: figyelünk arra, hogy kinek melyik kártyát adjuk. Az azonos kifejezést jelentő kártyák tulajdonosai alkotnak egy csoportot. Ezen az órán ők dolgoznak együtt. 7. kártyakészlet alkalmazása 9 óra,5 óra 90 perc Másfél óra 6 óra 0,5 óra 5 perc Fertály óra 4 6 nap óra 60 perc 600 másodperc 4 6 óra 0,6 óra 6 perc Fél óra és 6 perc 5 9 óra 0,75 óra 45 perc Háromnegyed óra óra 0, óra perc 70 másodperc 5 óra nap 0 perc 600 másodperc 6 44 óra nap 0 perc 00 másodperc 7 Módszertani megjegyzés: A tanulók az előbb megalakult 4 fős csoportokban dolgoznak tovább. Kiosztjuk a feladatokat, differenciálva a tanulók képességei szerint. A csoport mindegyik tagja más-más feladatot kap, melyet önállóan old meg. A csoportok munkáját tartsuk figyelemmel, nyújtsunk segítséget az elakadóknak. Az önálló feladatmegoldás után a csoport megismerkedik minden feladattal. Minden tanuló ismerteti saját megoldását a csoporton belül, ezt közösen megvitatják. Húzzunk egy feladatszámot és egy csoportjelet. A feladat megoldását az ismerteti a táblánál, akinek a csoport jelét és feladatszámát kihúzza a tanár. A többi csoport véleményezi, hogy jó megoldást hallottak-e. Hozzáfűzhetik, ha ők esetleg másképpen gondolkodtak, megbeszélhetik, melyik megoldás az egyszerűbb.
0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató Mintapélda Egy könyvszekrény felső polcán háromszor annyi és még 6 könyv van, mint az alsó polcon. Dani a felső polcról 8 könyvet áttesz az alsó polcra, így ott a felső polcon található könyvek felénél -mal több könyv lesz. Hány darab könyv van most az alsó, ill. a felső polcon? Hány könyve van Daninak összesen? Jelöljük az alsó polcon található könyvek számát -szel. Ekkor a felső polcon: 6 darab könyv van. 6 8 8 6 6 4 Daninak jelenleg az alsó polcon: 8 4 8, a felső polcon: 4 6 8 70 darab könyve van, így összesen 0 darab könyve van. Ellenőrzés: 70 fele: 5 tényleg -mal több a -nél. Mintapélda Egy 6 éves anyának 6 éves fia van. Hány év múlva lesz az anya háromszor annyi idős, mint a fia? Anya Fia Most 6 6 év múlva 6 6 6 ( 6 ) 8 9 9 év múlva lesz az anya háromszor annyi idős, mint a fia. Ellenőrzés: 9 év múlva az anya 45 éves, a fia 5 éves lesz és 5 45. Egyenletek megoldásakor fontos szerepe van annak, hogy mi az alaphalmaz. Ismételjük át közösen, hogy milyen halmazokat ismerünk, és ezeket hogyan jelöljük. Módszertani megjegyzés: A tanulók csoportokban dolgozva, próbálják átgondolni, hogy milyen számhalmazokat ismernek. Egy lehetséges módszer, hogy akinek a csoport jelét, és számát kihúzza a tanár, az ír egy halmazt a táblára, majd választ egy tanulót, akitől azt kéri, hogy írja fel a jelét az általa felírt halmazhoz.
7. modul: EGYENLETEK Természetes számok halmaza N, Egész számok halmaza Z, Racionális számok halmaza Q, Valós számok halmaza R, Irracionális számok halmaza Q* Minden egyenlethez tartozik egy alaphalmaz, amelyben a megoldásokat keressük. Ha a feladat szövege nem adja meg előre, akkor a valós számok halmazát tekintjük alaphalmaznak. Az alaphalmaznak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen az egyenletben szereplő összes kifejezés értelmezhető, az egyenlet értelmezési tartományának nevezzük. Az egyenlet megoldásakor meg kell keresnünk azokat a számokat az értelmezési tartományból, amelyek kielégítik az egyenletet. Ezeket a számokat hívjuk az egyenlet megoldásainak vagy az egyenlet gyökeinek, és ezek a számok alkotják az egyenlet megoldáshalmazát. Amennyiben nincs olyan szám, amelyik igazzá teszi az egyenletet, akkor az egyenletnek nincsen megoldása, azaz a megoldáshalmaz az üres halmaz. Az egyenlet megoldása során olyan átalakításokat végzünk, amelynek során egyre egyszerűbb egyenlethez jutunk. Célunk, hogy végül az egyenlet egyik oldalán csak az ismeretlen álljon, a másik oldalon egy konkrét szám. Ehhez a következő átalakításokat végezhetjük: Az egyenlet mindkét oldalához hozzáadhatjuk, illetve mindkét oldalából kivonhatjuk ugyanazt a számot. Az egyenlet mindkét oldalát szorozhatjuk, illetve oszthatjuk ugyanazzal a nullától különböző számmal. Ismeretlent tartalmazó kifejezéseket is hozzáadhatunk, illetve kivonhatunk az egyenlet mindkét oldalából. Ha ismeretlent tartalmazó kifejezéssel szorzunk, vagy az egyenletet négyzetre emeljük, akkor hamis gyököket kaphatunk. Ha ismeretlent tartalmazó kifejezéssel osztunk, akkor gyököket veszíthetünk. Ennek elkerülésére általában esetszétválasztást végzünk: egyik esetben megvizsgáljuk azt, amikor a kifejezés értéke nulla: ad-e megoldást, vagy sem. A másik esetben pedig az ismeretlent tartalmazó kifejezésről feltesszük, hogy nem 0, és elvégezve a kritikus műveletet, oldjuk tovább az egyenletet.
MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató Feladatok. Oldd meg a 7 egyenletet a racionális számok halmazán! Ellenőrzés: 7 9 Hívjuk fel a figyelmet az ellenőrzés fontosságára. A mindennapi életünkben is fontos szerepet játszik az ellenőrzés. Például, ha a piacon nem ellenőrizzük, hogy az eladó jól adott-e vissza, könnyen pórul járhatunk. Bal oldal: 9 7 8 7 ; jobb oldal:. A 9 eleme az egyenlet alaphalmazának, és az ellenőrzésnél a két oldal helyettesítési értéke egyenlő, ezért az 9 valóban megoldás. Mindig fogalmaztassuk meg a tanulókkal, hogy mi a megoldás (ne legyen elég kétszer aláhúzni). M 9. Megoldáshalmaz: { }. Oldd meg a ( 4 7) 6 egyenletet az egész számok halmazán! Figyeljünk a zárójelek helyes felbontására (disztributivitás). Gyakori hiba, hogy csak a zárójelen belüli első tagot szorozzák meg a zárójel előtt álló számmal. 4 7 6 ( ) 0 9 A 9 0 nem eleme az egyenlet alaphalmazának, így az egyenletnek nincs megoldása. Megoldáshalmaz: M.. Egy bankjegykiadó automata készlete az ünnepek előtt szinte teljesen kifogyott. Összesen 6000 Ft maradt benne 000-es és 5000-es címletekben. Hány darab 000-es és 5000-es maradt az automatában, ha egy híján kétszer annyi 000-es van, mint 5000-es. Jelöljük az ötezresek számát -szel. Hívjuk fel a figyelmet az egy híján kétszer annyi kifejezésre, nem biztos, hogy mindenki pontosan érti. Próbáljuk őket rávezetni. Ekkor a kétezresek száma:. ( ) 000 5000 6000 7 Az automatában db kétezres és 7 darab ötezres maradt.
7. modul: EGYENLETEK Két ismeretlennel is megoldható a feladat, például ha az ötezresek számát -szel, a kétezresek számát y-nal jelöljük. 4. Meg tudja-e venni Tibor a 600 Ft-os feltöltőkártyát, ha pénzének harmada 400 Ft-tal kevesebb, mint a feltöltőkártya árának a fele? Jelöljük Tibor pénzét -szel. 400 600 A helyes egyenlet felírásában segíthet, ha relációs jelekkel szemléltetjük, melyik a 600 több és melyik a kevesebb. <. 400 Tibornak 400 Ft-ja van, ezért fel tudja tölteni a telefonját. Figyeljünk arra, hogy szöveges feladatra mindig adjunk szöveges választ. 5. Tudjuk, hogy egy dobozban ötször annyi szög van, mint egy másikban. Az egyikből átraktunk a másikba db szöget, így mindkét dobozban ugyanannyi szög lett. Mennyi szög volt a dobozokban eredetileg és a pakolás után? Legyen az egyik dobozban eredetileg darab szög, ekkor a másikban 5 darab szög van. 5 6 Így az egyik dobozban 6, a másik dobozban 80 darab szög van. 6. Enikőnek kétszer annyi gyűrűje van, mint Szandinak, Vikinek azonban -gyel kevesebb van, mint Szandinak és 4-gyel több, mint Anettnek. Ha összeszámolnánk Szandi, Viki és Anett gyűrűit, az pontosan annyi lenne mint amennyi Enikőnek van. Hány gyűrűje van külön-külön a lányoknak? Jelöljük Szandi gyűrűinek a számát -szel. 5 6 Enikőnek, Szandinak 6, Vikinek 5 és Anettnek gyűrűje van. Házi feladat javaslat: 5. és 6. feladat
4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató II. Törtegyütthatós egyenletek Módszertani megjegyzés: Memóriajáték: Minden csoport kap 0 darab kártyát. Feladatuk először felfelé fordítva összepárosítani az azonos értékűeket. Majd összekeverik a kártyákat, mindegyiket lefordítják és kiraknak belőle egy 65-ös téglalapot. Az első tanuló felfordít két kártyát, ha azonos kifejezések szerepelnek rajta, akkor az övé mind a két kártya, és még egyszer ő fordít, ha nem, akkor visszafordítja a kártyákat és jön a következő. Addig próbálkoznak, amíg az összes kártya el nem fogy. Az nyer, akihez a legtöbb kártya került. Ez a játék azon túl, hogy gyakoroltatja a szöveges feladatokban sokszor előforduló kifejezéseket fejszámolási és emlékezeterősítő gyakorlat is. 7. kártyakészlet alkalmazása 5 háromszorosánál - mal kevesebb 6 harmada és legkisebb közös többszöröse 0 negyedénél -gyel több 4 duplájának a negyede 4 hatoda 6 és 05 legnagyobb közös osztója nyolcadánál eggyel kevesebb Feleannyi, mint 48 Háromszor annyi, mint 8 Kétszerannyi, mint 5 Hatszor annyi, mint 5 6 duplája és még a nek a -a 7-nek a 5%-a 5%-a 4-nek a 5 -e és 5 legkisebb közös többszöröse 60 negyede duplája és még a 5%-a 8-nak a 5 -e Egy híján 0 4 felénél kettővel kevesebb 4 másfélszerese 8-nak a 4 -e és 7 legkisebb közös többszöröse 8-nak a 75%-a 4-nek a másfélszerese 84-nek a 4 -e 55 és 88 legnagyobb 56 nyolcadánál négy- Két és félszer annyi, 40 duplájának a ne- közös osztója gyel több mint 8 gyede
7. modul: EGYENLETEK 5 Mintapélda Zoli, Krisztián, Laci és István szeretnék megvenni a kedvenc Play Station játékukat. Zoli beleadott 50 Ft-ot, Krisztián feleannyit, Laci harmadannyit, István negyedannyit fizetett, mint a többiek összesen. Mennyibe került a játék? Jelöljük -szel a játék árát. Krisztián feleannyit fizetett, mint a többiek összesen, vagyis kifizette a harmadát. Laci harmadannyit fizetett, mint a többiek összesen, vagyis kifizette a negyedét. István negyed annyit fizetett, mint a többiek összesen, vagyis kifizette az ötödét. 50 4 5 95000 47 60 5000 A játék 5000 Ft-ba került. Ellenőrzés: a szöveg alapján. Mintapélda 4 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: Alaphalmaz: R. ( ) 5 ( 7) 5 ( 4 4) 9 0 5 5 4 4 48 4 0,5 Ellenőrzés: Bal oldal értéke: 7 5 7 4 4 5 5 4 4 ; jobb oldal értéke:. 5 5 5 Az eleme az egyenlet alaphalmazának, és az ellenőrzésnél a két oldal helyettesítési értéke egyenlő, ezért az Megoldáshalmaz: M. valóban megoldás.
6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató Feladatok 7. Egy osztály tanulóinak 6 -a jár gyalog az iskolába, -a jár valamilyen tömegközlekedési eszközzel, a többi 5 diákot kocsival hozzák. Hány tanulója van az osztálynak? Hányan jönnek gyalog, és hányan valamilyen járművel? (egyenlettel) Jelöljük az osztály létszámát -szel. 5 6 0 Az osztály létszáma 0. Ebből valamilyen járművel. (következtetéssel) 0 5 en járnak gyalog, 0 5 5-en járnak 6 Az osztály 6 -a jár gyalog és -a jár valamilyen tömegközlekedési eszközzel, ez az osztály 6 5 -a. A többi 6, azaz 5 gyerek kocsival érkezik. Tehát az osztálylétszám ennek 6 szorosa, azaz 0 fő. Közülük 5-en járnak gyalog, a többiek 5-en valamilyen járművel. 7 8. Oldd meg a egyenletet a pozitív számok halmazán! 4 Amikor az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a közös nevezővel, gyakran a tanulók a törtvonal eltűnésével elfelejtik kitenni a zárójelet. Hívjuk fel a figyelmet, hogy a törtvonal egyben zárójelet is jelent, és előbb írjuk fel a zárójeles, majd utána a felbontott alakot. 7 4 9 6 8 9 6 8 8 ( ) 0 Törtszámokkal nem nagyon szeretnek ellenőrizni a gyerekek, ez a törtekkel való nem magabiztos műveletvégzésre utal. Ezért ne sikkadjunk el az ellenőrzés megbeszélése felett, vegyük úgy, mint egy jó gyakorlást a törtekkel való számolásra. Ellenőrzés: Bal oldal értéke: 7 ; jobb oldal értéke: 7. 7 Megoldáshalmaz: M.
7. modul: EGYENLETEK 7 9. Lóri szülei elutaztak, ezért édesanyja főzött egy nagy fazék töltött káposztát. Hétfőn a barátjával megette a töltelékek felét és még 6 darabot. Kedden a maradék káposzta harmadát és még darabot, szerdán megette a maradék 7 tölteléket, így végre elfogyott a töltött káposzta Hány töltelék volt a fazékban hétfő reggel?. megoldás: (egyenlettel) Eredetileg töltelék volt a fazékban. 6 6 7 0 6 6 8 4 0 84 4 Ellenőrzés: Hétfőn 6 7 darabot ettek meg, maradt 5, kedden 5 8 darabot, maradt 7, szerdán 7-et evett meg, így tényleg elfogyott a káposzta. Hétfőn reggel 4 töltelék volt a fazékban.. megoldás: (következtetéssel). Visszafele számolva egyenlet nélkül adódik a megoldás: ( 7 ) 6 4 6 5 5 0. Oldd meg az egyenletet a racionális számok halmazán: 4 6 6 5 4 4 5 7 7 ( ) ( ) 6 8 5 4 0 4,5 Ellenőrzés: Bal oldal értéke:, 5; jobb oldal értéke:, 5. Megoldáshalmaz: 7 M. Egy törtegyütthatós egyenlet megoldásakor a kényes lépések: az alaphalmaz meghatározása, közös nevezőre hozás, beszorzásnál minden tagot meg kell szorozni, törtvonal, mint zárójel, zárójel felbontás, a megoldáshalmaz meghatározása, ellenőrzés stb.
8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató. Elutazás előtt zoknikat csomagolok. A fiókból kivettem három pár zoknit, majd a maradék egyharmadát. Később kivettem a fiókból még egyet, ekkor a zoknik fele maradt a fiókban. Hány pár zoknim van? Mennyit vittem magammal az utazásra? Jelöljük a zoknik számát -szel. 8 8 pár zoknim van, ennek a felét azaz 9-et vittem magammal az utazásra. Ellenőrzés a szöveg alapján.. Fejtsd meg Diophantosz, görög matematikus sírfeliratát! Vén Diophantoszt rejti e kő. Bár ő maga szunnyad, megtanította a sírt, mondja el élte sorát. Évei egy hatodát tölté ki a gyönge gyerekkor, még feleannyi lefolyt, s álla szakálla kinőtt. Egy heted eltelt még, és nászágy várta a férfit, elmúlt újra öt év, és fia megszületett. Ez feleannyi napig láthatta a fényt idefenn, mint atyja, mivel neki így szabta az isteni sors. Őt gyászolva a sír felé hajlott agg Diophantosz, négy évvel később ő is elérte a célt. Mondd, hány esztendőt élt hát meg gyászban, örömben, S itta az édes fényt, míg hona lett ez a sír? Jelöljük -szel Diophantosz életkorát. 6 5 4 6 7 84 Dipohantosz 84 évig élt. Ellenőrzés: Gyermekkor: 4 év ; ifjúkor: 7 év ; esküvőig: év 6 7 ; fia született: 5 év múlva; fia élt: 4 év ; fia halála után: 4 év. Összesen: 4 7 5 4 4 84. Házi feladat javaslat:. és. feladat
7. modul: EGYENLETEK 9 III. Algebrai törtes egyenletek A következő feladatok az eddig ismert egyenletektől abban különböznek, hogy ismeretlen szerepel a nevezőben. Ilyenkor arra kell figyelni, hogy a nevező helyettesítési értéke nem lehet nulla. Mintapélda 5 Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán: 8 5 6 5 4 4 Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a 4-től különböző egész számok halmaza. Röviden: Z \{ 4 }. Szorozzunk a közös nevezővel, ( 4) gyel! ( 8 5) ( 4) ( 6 5) 8 5 8 6 5 4,5 Ellenőrzés: 8,5 5 6,5 5 Bal oldal értéke: 8; jobb oldal értéke: 8.,5 4,5 4 Megoldáshalmaz: {,5} M. Mintapélda 6 4 6 Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a -tól különböző egész számok halmaza. Röviden: Z \{ }. Észrevétel: ( ) -nak a ( ) -szerese a ( ). 4 6 Szorozzunk a közös nevezővel, ( ) -mal!
0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató ( ) ( ) 4 8 6 6 4 6 4 Ellenőrzés: Bal oldal értéke: ( ) ( ) 7 6 7 6 4 4 4 4 4. Jobb oldal értéke: ( ) ( ) 7 6 7 4 7 4 6 4. Megoldáshalmaz: { } 4 M. Mintapélda 7 Oldjuk meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán: 9 9 7 Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a -tól és -tól különböző racionális számok halmaza. Röviden: Q \{ } ;. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 9 9 7 Szorozzunk a közös nevezővel, ( )( ) 9 -cel! ( )( ) ( )( ) 9 7 9 7 9 7 6 9 7 Azonosság. Az értelmezési tartomány minden eleme megoldás. Megoldáshalmaz: { }, : M Q. Feladatok. Oldd meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 7 Az értelmezési tartomány: R \{ } 0. 7 4 Megoldáshalmaz: M.
7. modul: EGYENLETEK 4. Oldd meg a következő egyenletet az egész számok halmazán: Az értelmezési tartomány: Z \{ 4 }. 5 Megoldáshalmaz: { 5} M. 4 4 5 9 5. Oldd meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: Az értelmezési tartomány: R \{ }. 5 9 ( ) 5 Megoldáshalmaz: { } M. Mintapélda 8 Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! 8 5 6 5 4 4 Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a 4-től különböző egész számok halmaza. Röviden: Z \{ 4 }. Szorozzunk a közös nevezővel, ( 4) -gyel! ( 8 5) ( 4) ( 6 5) 8 5 8 6 5 4,5 Ellenőrzés: 8,5 5 6,5 5 Bal oldal értéke: 8; jobb oldal értéke: 8.,5 4,5 4 Megoldáshalmaz: {,5} M.
MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató Mintapélda 9 Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! 4 6 Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a -tól különböző egész számok halmaza. Röviden: Z \{ }. Észrevétel: ( ) -nak a ( ) -szerese a ( ). 4 6 Szorozzunk a közös nevezővel, ( ) 4 8 4 ( ) ( 6) 4 6 6 Ellenőrzés: Bal oldal értéke: -mal! ( 4) 4 4 6 ( 4) 4 7 7 6. Jobb oldal értéke: ( 4 ) 6 4 ( 4) 7 7 7 Megoldáshalmaz: M { 4}. 6. Mintapélda 0 Oldjuk meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! 7 9 9 Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a -tól és -tól különböző racionális számok halmaza. Röviden: Q \{ ; }. ( )( ) ( )( ) 7 9 ( )( ) ( )( ) 9 Szorozzunk a közös nevezővel, ( )( ) 9 -cel!
7. modul: EGYENLETEK ( )( ) ( )( ) 7 9 7 9 7 9 6 7 9 Azonosság. Az értelmezési tartomány minden eleme megoldás. Megoldáshalmaz: M Q \{ ; }. Feladatok 6. Oldd meg a következő egyenletet az egész számok halmazán: 8 4 Az értelmezési tartomány Z \{ 4 }. ( ) ( 4) 0 8 40 0 4 A 4 nem eleme az egyenlet értelmezési tartományának, így az egyenletnek nincs megoldása. Megoldáshalmaz: M. Módszertani megjegyzés: Minden csoport kitalál egy algebrai törtes egyenletet és megad hozzá egy alaphalmazt, majd átadja egy másik csoportnak. Megoldják a kapott feladatokat, utána visszaküldik a feladónak, aki kijavítja és értékeli a megoldást. Felügyeljük a feladat írását, hogy ne adjanak egymásnak túl nehéz feladatokat, csak olyanokat, amelyeket ők is meg tudnak oldani. Megnézzük az elkészült megoldásokat, hogy van-e benne hiba, de ne szóljunk érte, hanem figyeljük meg, hogy a javító csoport megtalálja-e a hibát. 7 7. Oldd meg a következő egyenletet a negatív számok halmazán: 6 Az értelmezési tartomány: R \. 6 7 ( ) ( ) 0 8 7 5 5 Megoldáshalmaz: Házi feladat javaslat: 7. feladat 5 M. ( )
4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató Módszertani megjegyzés: Mindenkinek adunk egy kártyát az alábbiakból. Ez lehet véletlenszerű: például a tanulók maguk húznak egy-egy kártyát a tanári asztalról vagy tudatos: figyelünk arra, hogy kinek melyik kártyát adjuk. Az azonos kifejezést jelentő kártyák tulajdonosai alkotnak egy csoportot. Ezen az órán ők dolgoznak együtt. 7. kártyakészlet alkalmazása ( ) ( )( ) 4 4 ( ) ( )( ) 4 4 ( ) ( )( ) 6 9 ( )( ) 9 ( )( ) 4 ( ) ( )( ) 6 9 ( 4) ( 4)( 4) 8 6
7. modul: EGYENLETEK 5 ( ) 4 ( )( ) 4 4 6 8 Közösen oldjuk meg a feladatokat, a csoportok ötleteket adhatnak, hogy hogyan indulnának el. 8. Oldd meg a következő egyenletet az egész számok halmazán: 4 4 Az értelmezési tartomány: Z \{ } 4. ( ) ( )( ) 6 8 5 5 4 Megoldáshalmaz: { } M. 9. Oldd meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán: 5 9 6 7 Az értelmezési tartomány: Q \{ } ;. ( )( ) ( )( ) 0 0 8 5 5 6 5 5 6 7 5 6 7 Megoldáshalmaz: { } 0 M. Az előző feladatok alapján a csoportosan, vagy egyénileg megoldják az alábbi feladatokat.
6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató 0. Oldd meg a következő egyenletet a természetes számok halmazán: Az értelmezési tartomány: N \{ }. ( ) 5 ( )( 5 6) 9 8 0 5 Megoldáshalmaz: M. 5 5 6. Oldd meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán: Az értelmezési tartomány: Q \{ 4; 4}. ( 6)( 4) ( 4 ) ( 5)( 4) 4 6 4 4 0 0 6 4 4 6 5 4 0 5 4 Azonosság. Az értelmezési tartománynak minden eleme megoldás. Megoldáshalmaz: { : 4, 4} M Q.. Oldd meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán: 4 Az értelmezési tartomány: Q \{ 4; 4}. ( )( 4) ( )( 4) 4 4 6 4 4 4 Azonosság. Az értelmezési tartomány minden eleme megoldás. Megoldáshalmaz: { : 4, 4} M Q.
7. modul: EGYENLETEK 7. Oldd meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán: Az értelmezési tartomány: Q \{ ; }. 4 ( )( ) ( )( ) 4 4 6 7 Megoldáshalmaz: { 7} ( ) ( )( ) M. 4 0 5 4. Oldd meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 8 5 Az értelmezési tartomány: R \ { 5}. ( 5) ( 5) 8 5 4 9 Megoldáshalmaz: { 9} M. Házi feladat javaslat:. feladat
8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató IV. Egyenlőtlenségek Mintapélda Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget! A megoldáshalmazt ábrázoljuk számegyenesen! 7 < 0 Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a 0-tól különböző valós számok halmaza. Röviden: R \{ 0 }. Egy tört akkor és csak akkor negatív, ha a számlálója és a nevezője különböző előjelű. I. eset Ha a számláló pozitív és a nevező negatív. VAGY II. eset Ha a számláló negatív és a nevező pozitív. 7 > 0 > 7 ÉS < 0 7 < 0 < 7 ÉS > 0 7 7 > < A kettő együtt sohasem teljesül, A kettő együtt akkor teljesül, ha ebből az esetből nem kapunk megoldást. 7 7 > 0 és <, azaz 0 < <. A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a két esetet összevetve 7 azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M 0 < < más módon jelölve 7 M 0;.
7. modul: EGYENLETEK 9 Mintapélda Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán: > 0! A megoldáshalmazt ábrázoljuk számegyenesen! 6 Beszéljük meg mind a háromféle megoldási módot, (előfordulhat, hogy a csoportok is különbözőképpen gondolkodnak), majd mindenki maga döntse le, hogy neki melyik módszer a legszimpatikusabb.. megoldás: Készítsük el a következő ábrát, a megoldás rögtön leolvasható:. megoldás: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a valós számok halmaza. Röviden: R \. Szorozzuk meg az egyenlőtlenséget ( 6 ) -mal! -től különböző Hívjuk fel a figyelmet arra, hogy ha egy egyenlőtlenséget, ismeretlent tartalmazó kifejezéssel szorzunk, akkor figyelnünk kell arra, hogy ez a kifejezés pozitív vagy negatív. E szerint két esetet kell megvizsgálnunk. I. eset VAGY II. eset Ha 6 > 0, azaz > Ha pozitív számmal szorzunk, az egyenlőtlenség iránya változatlan marad. > 0 / > > / : Ez valóban a vizsgált tartományba esik, mert > >. Ha 6 < 0, azaz < Ha negatív számmal szorzunk, az egyenlőtlenség iránya megváltozik, megfordul a relációs jel. < 0 / < < / : Ennek csak egy része esik a vizsgált tartományba, ezért csak ezek a jó megoldások: < <.
0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a két esetet összevetve. megoldás: azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M < vagy >. Értelmezési tartomány: R \. Egy tört akkor és csak akkor pozitív, ha a számlálója és a nevezője azonos előjelű. I. eset Ha a számláló és a nevező is pozitív VAGY II. eset Ha a számláló és a nevező is negatív 6 > 0 ÉS > 0 6 < 0 ÉS < 0 6 > > 6 < < > > > < A kettő együtt akkor teljesül, ha A kettő együtt akkor teljesül, ha >. <. A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M < vagy >. Feladatok 5. Isi és Marcsi az esküvőjüket szervezik. Két zenekartól kaptak ajánlatot. Az egyik zenekar 5000 Ft-ot kér előre és utána óránként 500 Ft-ot, a másik 0000 Ft előleget kér, és óránként 000 Ft-ot. Mit tanácsolnál Isinek és Marcsinak, melyik zenekart válassza, ha mindkét zenekar ugyanolyan jól játszik. Válaszodat indokold, készíts ábrát!
7. modul: EGYENLETEK I. zenekar II. zenekar Előleg 5000 0000 Óradíj 500 000 óra ára 500 000 Összesen 5000 500 0000 000 5000 500 < 0000 000 500 < 5000 < 0 Ha 0 óránál kevesebbet játszik a zenekar, akkor az első zenekart, ha több mint 0 órát játszanak, akkor a második zenekart érdemes választani, ha pontosan 0 órát, akkor mindegy, hogy melyiket választják. 6. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! 7 7 9 Végtelen sok megoldást ellenőrizni nem tudunk, de a feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a megoldáshalmaz: { 9} M. 7. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! 7 4 7 7 ( 7) ( ) 6 ( 4) 5 59
MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a megoldáshalmaz: M 8. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget! A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! > 0 4 Egy tört akkor és csak akkor pozitív, ha a számlálója és a nevezője azonos előjelű. I. eset Ha a számláló és a nevező is pozitív VAGY II. eset Ha a számláló és a nevező is negatív > 0 > ÉS 4 > 0 > < 0 < ÉS 4 < 0 A kettő együtt akkor teljesül, ha A kettő együtt akkor teljesül, ha >. <. A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M < vagy >. <
7. modul: EGYENLETEK 9. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget! A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! 5 4 5 0 4 5 7 0 4 Egy tört akkor és csak akkor nem negatív, ha a számlálója és a nevezője azonos előjelű, illetve a számláló lehet 0 is. I. eset Ha a számláló nem negatív és a nevező pozitív. VAGY II. eset Ha a számláló nem pozitív és a nevező negatív. 5 7 0 5 7 7 5 ÉS 4 > 0 4 > 5 7 0 5 7 7 5 ÉS 4 < 0 4 < A kettő együtt akkor teljesül, ha A kettő együtt sohasem teljesül, ebből az esetből nem kapunk megol- 7 < 4. 5 dást. A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a két esetet összevetve 7 7 azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M < 4 vagy M 5 ; 4 5.
4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató 0. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget! A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! 7 5 ( ) 7 ( ) ( 5 ) 5 9 5 9 A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a megoldáshalmaz: M. Az egyenlőtlenségek megoldásakor a következő műveleteket végezhetjük: Az egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadhatjuk, illetve mindkét oldalából kivonhatjuk ugyanazt a számot. Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozhatjuk, illetve oszthatjuk ugyanazzal a pozitív számmal. Ismeretlent tartalmazó kifejezéseket is hozzáadhatunk, illetve kivonhatunk az egyenlőtlenség mindkét oldalából. Ha negatív számmal szorozzuk vagy osztjuk az egyenlőtlenséget, akkor megváltozik az egyenlőtlenség iránya. Ha ismeretlent tartalmazó kifejezéssel szorzunk vagy osztunk, akkor figyelnünk kell arra, hogy az lehet pozitív, negatív, illetve nulla is (esetszétválasztást végzünk). Házi feladat javaslat: 0. feladat
7. modul: EGYENLETEK 5 V. Abszolútértékes egyenletek Mintapélda Oldjuk meg a valós számok halmazán az 4 egyenletet!. megoldás (grafikus):. megoldás (algebrai): I. eset Feltétel: 0 Ha az abszolútérték jelen belül álló kifejezés nemnegatív, akkor a szám abszolútértéke önmaga, azaz elhagyhatjuk az abszolútérték jelet: 4 0 4 Ellentmondás. Ebben a tartományban nem kaptunk megoldást. VAGY Feltétel: < 0 II. eset Ha az abszolútérték jelen belül álló kifejezés negatív, akkor a szám abszolútértéke a szám ellentettje: 4 4 Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, mert < 0. Ellenőrzés: Bal oldal értéke: ; jobb oldal értéke: 4 ( ) A két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M { }..
6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató Mintapélda 4 Oldjuk meg a egyenletet! I. eset VAGY Feltétel: Ha az abszolútérték jelen belül álló kifejezés nem negatív, akkor a szám abszolútértéke önmaga, azaz elhagyhatjuk az abszolútérték jelet: Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, így az eredeti egyenletnek is gyöke. II. eset Feltétel: < Ha az abszolútérték jelen belül álló kifejezés negatív, akkor a szám abszolútértéke a szám ellentettje: 4 ( ) 5 4 5 Ez az érték nem felel meg az < feltételnek, így az eredeti egyenletnek sem lesz gyöke. Ellenőrzés: Bal oldal értéke: ; jobb oldal értéke:. A két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: { } M. Legyen a tetszőleges algebrai kifejezés. a abszolútértéke: a, ha a 0 a. a, ha a < 0 Feladatok. Jelöld számegyenesen azokat a számokat, a) amelyeknek 0-tól való távolsága kisebb 4-nél; b) amelyeknek -tól való távolsága nagyobb -nél; c) amelyeknek abszolútértéke nagyobb -nál; d) amelyeknek abszolútértéke kisebb 5-nél.
7. modul: EGYENLETEK 7 a) b) c) d). Melyik az a szám, amelynek az abszolútértéke?. Oldd meg az 5 egyenletet! Feltétel: 0 I. eset 5 5 5 VAGY Feltétel: < 0 II. eset 5 4 5 Ez az érték nem felel meg az 0 Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, így az eredeti egyen- feltételnek, így az eredeti egyenletnek sem lesz gyöke. letnek is gyöke. 5 A két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M. 4 5 4
8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató 4. Oldd meg a racionális számok halmazán a 4 egyenletet! I. eset Feltétel: 0, azaz ha 4 7 7,5 Ez a szám, a feltételben meghatározott tartományba esik, mert 7. VAGY A két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: II. eset Feltétel: < 0, azaz ha ( ) 4 4 < 0,5 Ez a szám, a feltételben meghatározott tartományba esik, mert <. 7 M,. 5. Oldd meg a 7 egyenletet! I. eset Feltétel: 0, azaz ha 7 4 4 Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, mert. VAGY II. eset Feltétel: < 0, azaz ha ( ) 7 0 0 0 7 < Ez a feltételben megadott tartományon kívül esik, ezért ebben a tartományban nem kaptunk megoldást. A két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: { } M.
7. modul: EGYENLETEK 9 6. Oldd meg az egész számok halmazán az 4 9 egyenletet! I. eset Feltétel: < 4 ( 4) ( ) 4 9 9 6 9 Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, mert 6 < 4. VAGY II. eset Feltétel: 4 < 4 5 9 ( ) 9 4 9 Ellentmondás. Ebben a tartományban nem kaptunk megoldást. VAGY Feltétel: III. eset 4 9 9 6 Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, mert. A három esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz { 6, } M. Mindenkinek adjunk egy kártyát, amelyen abszolútérték-jelet tartalmazó algebrai kifejezések 6 6 6 állnak. Írjuk a táblára a következő három kifejezést:,,, valamint 6 nyissunk egy egyik sem rovatot is. Minden tanuló feladata az, hogy elhelyezze a saját kártyáját az alá a kifejezés alá, amelyikkel egyenlő, vagy ha nem talál ilyet, akkor az egyik sem rovat alá. Közösen beszéljük meg, hogy minden kártya jó helyre került-e.
40 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató 7. 4 kártyakészlet alkalmazása 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 6 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
7. modul: EGYENLETEK 4 7. Oldd meg az 5 7 egyenletet! I. eset VAGY II. eset 7 7 Feltétel: Feltétel: < 5 5 5 7 ( 5 7) 5 5 5 7 5 9 Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, így az eredeti egyen- 9 5 letnek is gyöke. Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, így az eredeti egyenletnek is gyöke. 9 A két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M ;. 5 8. Oldd meg az 5 egyenletet! I. eset VAGY II. eset Feltétel: Feltétel: < 5 5 5 ( 5 ) 5 4 7 4 Ez a feltételben meghatározott tartományba 7 esik, így az eredeti egyen- letnek is gyöke. Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, így az eredeti egyenletnek is gyöke. 4 A két esetet összevetve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M ;. 7 Házi feladat javaslat: 7. és 8. feladat