Geomtk Köleméek VI A D é D NEMLINEÁRIS HASONLÓSÁGI (HELMERT TRANSFORMÁCIÓK MEGOLDÁSÁNAK ÚJ LEVEETÉSE áot Jóe * New tretmet o the oluto o D d D o-ler mlrt (Helmert trormto - The lw o ture geerl d the relto d lw geode prtulr e epreed mot e o-ler equto whh re geerll oled trormg them to ler orm d pplg terto The proe o rgg the equto to ler orm mple egleto d ppromto I ert e t pole to ot et orret oluto or o-ler prolem I the preet work we trodue prmeter to the rotto mtr d ug th we dere oluto or the D d D mlrt trormto Th method ole o terto d t doe ot requre the trormto o the equto to ler orm The le prmeter determed olg poloml equto o eod degree Th oluto lred kow ut our derto worth oderto eue o t mple ture Keword D 7-prmeter dtum trormto olute oretto A terméete íg geodéá eálló öeüggéek töréek töégüke emleár egeletekre eetek meleket áltlá lerál teráól oká megold A lerálá elee elhgolát köelítét eredmée Boo eeteke lehetőég ílk rr hog emleár prolémákr egkt korrekt megoldát kpjuk A tulmá orgtá mátr prmetráláál megduk eg leeetét D é D holóág trormáók emleár eldták megoldáár A móder em em tertí em em köetel meg meggelé egeletek leráláát A méretrá prméteréek meghtároáár máodokú polomegeletet dódk Mg megoldá mert krodlom e leeeté egerűégéel még gelmet érdemel Kulk D 7 prmétere dátum trormáó olút tájékoá Beeeté A koordát-rederek köött áttéré orá kemelkedő jeletőégű D 7 prmétere Helmertéle trormáó lklmá e legelterjedte móder GPS rederek köött átámítáok elégéée A gkorlt köelítő teráó megoldáokt hálk A ámítógéppel támogtott lger rederek elterjedééel megjeletek egkt ltku megoldát dó modellek Eekek modellekek gkorlt háltát kdálo hog átámítáho hált köö potok ámák öekedééel komtorku roá lép el eldt ámítátehk m állá mellett em oldhtó meg ló dőe A prolém okoldlú tárglá Grred é Krumm (995 Grred é Kmpm (996 é Grred é Sh (997 tulmáok megtlálhtó kéő Awge et l ( tulmá őít eldt megoldá lehetőéget áot (999 mukáj L ormá oldott meg eldtot A dátum trormáók ámítógépe lger rederekkel törtéő tárgláá Awge é Grred ( éeke megjelet tulmá tekthetők kdulá lpk Mgr ele áot (5 tulmá módoítáokt jolt mtemtk modellhe A áot é Jó (6 tulmá lerálár új módert dott Btth é áot (9 9 kkek pedg kterjetették lklmá területeket A otogrmmetr külő tájékoá eetére áot é Frth ( tulmá trtlm új eredméeket A olút tájékoá prolém kterókkl törtéő megoldáát Hor (987 tulmá trtlmt elők köött * MTA CSFK GGI 9 Sopro Ctk u 6-8 E-ml ot@ggkhu
8 ÁVOTI J Ee tulmá ol mtemtk megoldát duk mel kküööl komtorku roá prolémáját é egé umerku ehéégek mellőhetők E kk lpják áot ( tulmá tekthető é telje leeetéét dj D 7-prmétere emleár holóág trormáó elem eköökkel törtéő tárgláák A D holóág (Helmert trormáó lpormulá A prmétere D (Helmert holóág trormáó áot (999 tulmá lpjá lá egelettel dhtó meg R ( ( hol { } é { } ( ugo potok koordátá két koordát redere meretle méretrá téeő meretle eltolá értékek R orgtá mátr A elorgtá α ögéel R orgtá mátrot köetkeőképp írhtjuk el oα α R ( α oα A R elorgtá mátr előállíthtó eg erdé mmetrku S mátr elháláál hol I kétdmeó egégmátr é ( I S ( I S R ( Mel S ( I (5 ( S eért et R orgtá mátrot eplt kejehetjük lá módo R (6 A erdé mmetrku mátr egítégéel orgtá mátr elemeek elháláál orgtá ög ögüggéere kpjuk α oα tgα (7 A (7 öeüggéek utoló tgj mtt ± kkötét kell te A ( öeüggé lpjá írhtjuk ( I ( S I S ( (8 Geomtk Köleméek VI
A D ÉS D NEMLINEÁRIS HASONLÓSÁGI (HELMERT TRANSFORMÁCIÓK Geomtk Köleméek VI 9 A ( I S mátrl lról orouk égg et egeletet ( (9 A D holóág (Helmert trormáó méretrá-téeőjéek meghtároá A úlpot koordátákr eeetjük köetkeők jelölét ( A úlpotok kelégítk lá egeleteket ( Vlme dott potpárr elírhtó (9 öeüggé íg eg túlhtároott egeletrederhe jutuk M ( A ( öeüggéel dott úlpot egeletek lklm koáál kküöölhetők eltolá prméterek M ( hol (
ÁVOTI J Vlme ( egeletől kejehető prméter ( /( ( ( H ( képlettel dott prmétert eheletteítjük ( egeleteke kpjuk ( ( (5 A (5 öeüggé kkor é k kkor teljeül h eáll lá öeüggé ( ( (6 A et egeletekől méretrá mtemtk jeletée lpjá prméterre köetkeő megoldát kpjuk (k potí gököt tektjük ( ( (7 A leár- é eltolá prméterek meghtároá A (7 képlettel megdott prméter meretée még háó prméter ( öeüggéekől legke égetek móderéek lklmáál meghtárohtó ( [ ( ( ] (8 A é eltolá prméterek úlpot koordátákól ( öeüggé lpjá ármtthtók (9 5 A D 7 prmétere holóág trormáó lpormulá A D 7-prmétere (Helmert térel túlhtároott holóág trormáó köetkeő mtemtk modellel dhtó meg trormáó elődlege (él ( é máodlgo (tárg ( koordát-rederek köött Eukldé tére dott potok köött lóít meg leképeét eltolá elorgtá é kálprméter üggéée ( ( hol [ ] T [ ] T R élpotok koordát értéke meretle eltolá ektor meretle méretrá-téeő Geomtk Köleméek VI
A D ÉS D NEMLINEÁRIS HASONLÓSÁGI (HELMERT TRANSFORMÁCIÓK R( α β γ orgtá mátr [ ] T tárgpotok koordát értéke A R orgá mátr három tegel körül elorgtál három üggetle meghtárodó α β é γ prméterrel írhtó le ( R ( β ( γ α R R R ( A R orgtá mátr leeetéét Crd-ögekkel k geodéá Awge ( lá módo dt meg oβ oγ oβ γ β R ( ( ( α R β R γ α β oγ oα γ α β γ oα oγ α oβ ( oα β oγ α γ oα β γ α oγ oα oβ (Terméetee eltérő orgtá orred g ellekeő ráú tegel körül orgtáok má-má eredmére eetetek - Lád pl otogrmmetrá Kru (996 áltl eeetett orgtá mátr A orgá ögek orgá mátr elemeől lá öeüggéel htárohtók meg r ( r α rt β r r γ rt ( r r hol r j érték R orgtá mátr -edk orák é j-edk olopák eleme A R orgtá mátrot S erdé mmetrku mátr eeetééel köetkeő módo írhtjuk el ( I S ( I S R ( hol I háromdmeó egégmátr é S mátrot é prméterekkel lá ormá djuk meg H ( öeüggé lpjá ( egeletet ( I S köetkeő lk dódk S (5 mátrl lról orouk kkor (6 6 A D 7 prmétere holóág trormáó méretrá-téeőjéek meghtároá Kömert hog úlpot koordáták eeetééel mód ílk eltolá prméterek elmáláár Ee módo teljee új leeeté dhtó D 7 prmétere Helmert-éle trormáó megoldáár A méretrá-téeő meghtároá utá eldt leárr redukálhtó é megdhtó leár prolém kegelítő ámítá modellje Ee módo tetőlegee ok egeletől (köö potól dódó álló egeletreder megoldhtó ormál mátr peál tuljdoágát khál orgtá prméterek meghtárohtók Geomtk Köleméek VI
ÁVOTI J Geomtk Köleméek VI A dott köö potok lpjá meghtárohtók két reder úlpotjk koordátá (7 A úlpotok kelégítk lá ktí egeleteket (8 A (6 ormulát mde dott potr elír köetkeő túlhtároott egeletrederhe jutuk 6 5 M (9 A et egeletekől é úlpot egeleteket redre ko eltáolíthtjuk eltolá prmétereket é egeleteke egúttl áttérük úlpot koordátákr 6 6 5 5 M ( hol ( ( A ( egeletekől prmétert llete prmétert kejee kpjuk lá ormulákt
A D ÉS D NEMLINEÁRIS HASONLÓSÁGI (HELMERT TRANSFORMÁCIÓK A ( ( /( ( /( egeletek köetkeő módo elírhtók ( ( ( ( ( ( A ( öeüggéel dott é prmétereket ( képlete heletteíte dódk lá egelet [ ( ] ( [ ( ] ( ( ( Néhá egerűíté é öeoá utá t tptljuk hog meretle prméter kek é prméterre eg meretlee máodokú túlhtároott egeletreder áll elő ( ( ( (Megjegeük hog Awge é Grred ( tulmáuk méretrá-téeőre eg egedokú egeletet eettek le A et egeletreder köetkeő lk elírhtó ( ( (5 Ee túlhtároott egeletreder megoldá orá méretrá-téeőre - ámukr k jeletéel író potí gök lpjá - lá Hor (987 tulmáá kterókkl leeetett öeüggé dódk ( ( (6 Tehát eetüke méretrá-téeő máodokú egeletekől egértelműe meghtárohtó krodlomól mert (Awge é Grred egedokú polom gökeek kéerű étáltá eljáráál elletéte 7 A leár- é eltolá prméterek meghtároá A méretrá-téeő meretée lme potr ( öeüggé elháláál lá ormá írhtjuk el köetítő egeleteket Geomtk Köleméek VI
ÁVOTI J Geomtk Köleméek VI ( ( ( ( ( ( ( ( ( (7 A Gu-Helmert modell lpjá kereük lá élőérték eldt megoldáát m (8 Néhá mátrrtmetk ooág lklmáál ormálegelet egütthtómátrár köetkeő lk eethető le ( ( [ ] ( ( ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( [ ] (9 A ormálegelet egütthtómátr mmetrku Holó módo dódk ormálegelet tttgják ektor ( ( ( ( A méretű ormál-egeletrederől é prméterek ámo eljárál meghtárohtók m gulár érték elotá (gulr lue deompoto SVD módert joljuk A még meretle é eltolá prmétereket ( öeüggé lpjá lá egeletől lehet meghtáro ( ( ( ( ( ( ( hol úlpotok két koordát-redere dott köö potok koordátáól ármk A D é D holóág trormáók mtemtk modelljéek lklmá orá potoág r é kor prméterek ámítá hgomáo módo törték
A D ÉS D NEMLINEÁRIS HASONLÓSÁGI (HELMERT TRANSFORMÁCIÓK 5 8 Öegé A tulmá D íkel holóág (Helmert trormáó modelljét gáltuk Bár krodlom töéle tárglá merete tlá em érdektele D 7 prmétere emleár holóág trormáó leeetééel ló egége öeeté A D 7 prmétere emleár holóág trormáó megoldááho áltluk megdott új mtemtk leeeté orgá mátr lklm prmétereéé lpul E móder em géel teráót é em ükége meggelé egeletek or ejtée lerálá em N megköté tegelkörül orgtáok gágredjére otkoó em A mtemtk modell leeetée orá D 7 prmétere dátum trormáó prolémáját eg máodokú polomegelet megoldáár eettük krodlom mert egedokú egelettel eme A kdolgoott mtemtk modell em krodlomól mert kterókt em Gröerát em Do- g Sleter reultát lklm hem elem mtemtk ekööket hál el Htkoáok Awge JL ( Gröer Be Multpoloml Reultt d the Gu-Jo Comtorl Algorthm- Adjutmet o Noler GPS/LPS Oerto Dertto Geodäthe Ittut der Uertät Stuttgrt Awge JL Grred EW ( Lered Let Squre d oler Gu-Jo omtorl lgorthm ppled to the 7 prmeter dtum trormto 7 ( prolem ethrt ür Vermeugwee 7 9-6 Awge JL Grred EW ( Cloed orm oluto o the oerdetermed oler 7 prmeter dtum trormtot Allgemee Vermeughrhte -9 Awge JL Grred EW ( Eplt Soluto o the Oerdetermed Three-Dmeol Reeto Prolem Jourl o Geode 76 65-66 Awge JL Grred EW ( Poloml Optmto o the 7-Prmeter Dtum Trormto Prolem whe Ol Three Stto Both Stem re Ge ethrt ür Vermeugwee 8 66-7 Awge JL Grred EW Fukud ( Et oluto o the oler 7-prmeter dtum trormto Groeer Bul d Geode e See A 67-7 Btth L áot J (9 Soluto o the tereto prolem the Sleter-reultt d ompro o two oluto o the D mlrt trormto At Geod Geoph Hug ( 9-8 Btth L áot J (9 A előmeté prolém é D holóág trormáó Geomtk köleméek 9-6 Grred EW Kmpm G (996 C ( The te prmeter oorml group dtum trormto threedmeol Eulde pe ethrt ür Vermeugwee 68-77 Grred EW Krumm F (995 Curler geodet dtum trormto ethrt ür Vermeugwee -5 Grred EW Sh J (997 Etmle qutte projete etwork ethrt ür Vermeugwee - Hor BKP (987 Cloed orm oluto o olute oretto ug ut qutero Jourl o the Optl Soet o Amer 69-6 áot J (999 A geodé korerű mtemtk módere Geomtk köleméek 9 áot J (5 A 7 prmétere D trormáó egkt megoldá Geomtk Köleméek 8 5-6 áot J Jó T (6 The oluto o the 7-prmeter dtum trormto prolem wth- d wthout the Gröer At Geod Geoph Hug ( 87- áot J Frth D ( A rt ttempt t ew lger oluto o the eteror oretto o photogrmmetr At Geod Geoph Hug 6 7-5 áot J ( A mple proo o the oluto o the Helmert- d the oerdetermed oler 7-prmeter dtum trormto At Geod Geoph Hug 7( 5-6 Függelék Numerku péld D 7 prmétere holóág trormáó megoldáár A móder gkorlt lklmáák emuttááho Awge é Grred ( tulmá köölt példát eük A köetle öeholítá orá potoág gáltok rr utlk Geomtk Köleméek VI
6 ÁVOTI J hog két móder ugrr eredmére eet Kemeljük áltluk emuttott eljárá egerűégét A (6 öeüggéel meghtárohtó méretrá-téeő A (9 é ( ormulákkl dott ormálegelet-rederől meghtárohtók é prméterek A ( képlet megdj é eltolá prmétereket A α β é γ orgtá ögek ( öeüggéekkel ámolhtók lá R orgtá mátról ( ( ( ( ( ( R ( Amt láthtó em ükége kedőértéket megd em kell egeleteket or ejte ükégtele terál é eljárá tetőlege ögelorduláok eeté hálhtó Terméetee eddg mert umerku eljáráokkl oo eredméeket olgáltt A két koordát redere WGS8 é eg lokál redere dott potok koordátá tálát dottk (A ámítáokt MATLAB- írt ját progrmml égetük tálát A él- é tárgkoordáták (m No 57877 6688678 77565 575 667897 779599 9699 688865785 77996588 96 68886 778688 755 696975 7585975 785 697 75897 777966 667 768899 77876 699765 76768 5 765959 67877 79595 79 67889 7985 6 698 666985 7899 6979 66695887 78859856 7 9756 777 786665 87599 76778 7855596 A tulmá mertetett lgortmul emleár eldt megoldáár lá eredméeket kpjuk tálát A umerku ámítáok eredmée Imeretle Nemleár móder 5585-66 -7 688 68655 698 A emleár móder Crd ögekre köetkeő értékeket dj α 99897679["] β 89695765[" ] γ 9987798[" ] Geomtk Köleméek VI