A mátrix típusát sorainak és oszlopainak száma határozza meg. Tehát pl. egy 4 sorból és 3 oszlopból álló mátrix 4 3- as típusú.

1. Vektorok, lineáris algebra 1.1. Mátrixok 1.1.1. Fogalmak, tételek Definíció A mátrix elemek általában számok táblázata téglalap alakú elrendezésben. Nyomtatott nagybetűvel jelölik ezen felül nyomtatásban vastag betűvel. Szokás a táblázatot szögletes vagy kerek zárójelbe tenni. 2 1 3 0 4 8 Példa: A= 6 6 1 4 3 1 Mátrixot úgy szorzunk egyλszámmal, hogy minden elemét megszorozzukλ-val. Példa: Ha A= 2 1 3 0 4 8 6 6 1 4 3 1, akkor 3A= 6 3 9 0 12 24 18 18 3 12 9 3 A mátrix típusát sorainak és oszlopainak száma határozza meg. Tehát pl. egy 4 sorból és 3 oszlopból álló mátrix 4 3- as típusú. Jelölés: A 4 3 Készítette: Vajda István 1

Összeadni és kivonni csak azonos típusú mátrixokat lehet. (Tehát ugyanannyi sorból és ugyanannyi oszlopból kell állniuk.) A megfelelő helyen levő elemeket kell összeadni, illetve kivonni. Példa: Ha B= [ 3 2 6 1 2 3 ] és C= [ 1 0 7 3 4 2 ], akkor B+C= [ 4 2 13 4 6 5 Két mátrix adott sorrendben akkor szorozható össze, ha az első oszlopainak száma megegyezik a második sorainak számával. Pl. az A 2 3 mátrix (két sora és három oszlopa van), összeszorozható a B 3 4 mátrixszal ebben a sorrendben, fordított sorrendben azonban nem. (Tehát az AB szorzás elvégezhető, de a BA nem.) Ha két mátrixot összeszorzunk, akkor az eredménymátrixnak annyi sora lesz, mint az első mátrixnak és annyi oszlopa, mint a másodiknak. (A n p B p q = C n q ) ] Pl. ha egy A 2 3 mátrixot és egy B 3 5 mátrixot összeszorzunk, akkor az eredmény az (AB) 2 5 mátrix, amelynek 2 sora van (mint A-nak) és 5 oszlopa (mint B-nek). Tétel: Legyen az A és B mátrixok szorzata C. A C mátrix i-edik sorának j-edik elemét úgy számítjuk ki, hogy az A mátrix i-edik sorának elemeit rendre megszorozzuk a B mátrix j-edik oszlopának megfelelő elemével és az így kapott szorzatokat összeadjuk. Példa: [ 4 1 2 3 3 1 2 3 1 4 2 6 ][ 13 20 5 27 ] 20=4 ( 3)+1 4+( 2) 6 Készítette: Vajda István 2

A mátrixszorzás nem kommutatív, tehát ha a tényezőket felcseréljük, akkor az eredmény megváltozhat, sőt lehet, hogy a szorzás az egyik sorrendben elvégezhető, a másikban nem. Példa: [ 2 3 1 5 [ ][ 4 1 1 3 5 11 1 16 ] ], de [ 4 1 1 3 [ ] 2 3 1 5 ][ ] 9 17 1 12 Ha egy mátrixnak ugyanannyi sora van, mint ahány oszlopa, akkor négyzetes (kvadratikus) mátrixnak nevezzük. A négyzetes mátrix főátlóját azok az elemek alkotják, amelyek ugyanannyiadik sorban vannak, mint ahányadik oszlopban. Tehát az első sor első eleme, a második sor második eleme stb. 3 4 2 Példa: 1 5 0 6 2 3 A négyzetes mátrix másik (főátlótól különböző) átlóját mellékátlónak nevezzük. Példa: 3 4 2 1 5 0 6 2 3 A diagonális mátrix (diagonálmátrix) olyan négyzetes mátrix, amelynek minden főátlón kívüli eleme 0. Megjegyzés: Az nem kizárt, hogy a főátlóban is legyen 0. 2 0 0 3 0 0 0 0 0 Példák: A= 0 7 0 B= 0 0 0 C= 0 0 0 0 0 11 0 0 2 0 0 0 Készítette: Vajda István 3

Az olyan diagonális mátrixot, amelynek minden főátlóbeli eleme 1, egységmátrixnak nevezzük. Példák: A= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 B= 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Készítette: Vajda István 4

1.1.2. Feladatok 1. Adottak az A, B, C mátrixok: [ ] [ 2 4 3 0 2 7 A=, B= 1 5 4 1 3 4 ] és C= Számítsa ki az A+2B és a 3C 2B+A mátrixokat! 2. Írjuk fel a 2A B mátrixot. 2 1 3 0 4 2 A= B= 6 7 1 3 3 9 1 4 2 2 0 2 5 4 3 11 1 5 3. Szorozzuk össze az A és a B mátrixokat. [ ] [ ] 2 1 1 5 7 a) A= B= 8 5 2 3 1 [ ] 1 4 0 2 6 1 2 b) A= B= 3 2 1 3 1 3 7 9 3 4 6 c) A= [ 0 7 2 2 d) A= ] 2 1 2 0 3 1 2 5 2 B= 1 0 1 2 1 5 B= [ 3 1 1 1 1 2 2 1 3 2 0 2 1 0 2 1 2 5 ]. Készítette: Vajda István 5

1.1.3. Megoldások [ ] 2 8 17 1. A+2B= 1 1 4 2. 2A B= 3. a) d) 3 6 8 2 8 2 7 18 1 5 5 13 [ ] 4 7 15 2 55 51 11 8 4 1 6 4 6 5 5 8 12 11 b) 3C 2B+A= [ 15 32 7 3 53 19 31 31 [ 5 0 5 6 7 11 ] ] c) Nem végezhető el Készítette: Vajda István 6

1.2. Determinánsok 1.2.1. Fogalmak, tételek Egy 2 2-es mátrix determinánsának értéke a főátlóbeli és a mellékátlóbeli elemek szorzatának különbsége. Jelölés: Az A (négyzetes) mátrix determinánsát det A-val jelöljük. Ha a mátrix elemeivel akarjuk felírni a mátrix determinánsát, akkor a mátrix elemeit két függőleges vonal közé tesszük. Példa: Ha A= [ 2 1 3 5 ], akkor det A= 2 1 3 5 = 2 5 1 3=7 Az n n-es determinánst, n-edrendű determinánsnak is nevezzük. Tehát a 2 2-es determináns másodrendű, a 3 3-as harmadrendű, stb. Sakktáblaszabály: A determináns elemeihez +, illetve előjeleket rendelünk, amelyek úgy váltakoznak, mint a világos és sötét mezők a sakktáblán. Az első sor első eleméhez + előjel tartozik. + + + + + Az n-edrendű determináns egy adott eleméhez tartozó (előjeles) aldeterminánsát úgy kapjuk, hogy elhagyjuk a szóbanforgó elem sorát és oszlopát, és a megmaradó elemek által alkotott determinánst változatlanul hagyjuk, vagy megszorozzuk 1-gyel aszerint, hogy az adott elemhez a saktáblaszabály szerint+, vagy tartozik. Készítette: Vajda István 7

1 2 3 Példa: Az 3 4 5 determináns első sorának második eleméhez tartozó (előjeles) aldetermináns: ( 1) 1 5. 1 3 5 3 5 Ugyanezen a determináns a második sorának második eleméhez tartozó (előjeles) aldeter- 1 3 mináns: 1 5. A magasabbrendű determinánsok kiszámítását, visszavezethetjük alacsonyabbrendűek kiszámítására a kifejtési tétel segítségével: Kiválasztjuk a determináns egy tetszőleges sorát, vagy oszlopát és ennek elemeit rendre megszorozzuk a hozzájuk tartozó (előjeles) aldeterminánssal, végül az így kapott szorzatokat összeadjuk. Példa: Fejtsük ki a 2 1 1 3 0 2 = 2 4 2 1 2 1 1 3 0 2 4 2 1 0 2 2 1 determinánst az első sora szerint! 1 3 2 ( 1) 4 1 + 3 0 4 2 = = 2 (0 ( 4)) (3 8) ( 6 0)=19 Fejtsük ki ugyanezt a determinánst a második sora szerint is! 2 1 1 3 0 2 1 1 = 3 2 4 2 1 2 1 2 1 4 2 = 3 (1 2) 2 ( 4 4)=19 Természetesen mint a példában is mindegy, hogy a determinánst melyik sora vagy oszlopa szerint fejtjük ki, ez a determináns értékét nem befolyásolja. Az elvégzendő számolás mennyisége azonban jelentősen különböző lehet választásunktól függően. A fenti példában pl. kevesebbet kellett számolnunk a második esetben, mert a második sorban az egyik elem 0, ezért a hozzá tartozó aldeterminánst nem kellett kiszámolni. A kifejtési tétel mindig alkalmazható a magasabbrendű determinánsok kiszámítására, de minél magasabbrendű determinánsról van szó, annál számolásigényesebb. Készítette: Vajda István 8

Harmadrendű determinánsok kiszámítására alkalmazható a Sarrus-szabály is: A determináns első és második oszlopát mégegyszer leírjuk a determináns mögé, így összesen öt oszlopot kapunk. A determináns értéke a főátló irányában öszszeköthető elemhármasok szorzatösszegének és a mellékátló irányában összeköthető elemhármasok szorzatösszegének a különbsége. 2 1 1 Példa: Számítsuk ki az 3 0 2 determináns értékét Sarrus-szabállyal! 4 2 1 2 1 1 2 1 3 0 2 3 0 = 2 0 1+1 2 4+( 1) 3 ( 2) ( 1) 0 4 2 2 ( 2) 1 3 1=19 4 2 1 4 2 A determináns értéke nem változik, ha egy sorát (vagy annak számszorosát) hozzádjuk egy másik sorához. (A tétel oszlopokra is érvényes.) Példa: 2 1 1 3 0 2 4 2 1 = 2 1 1 3 0 2 8 0 1 = ( 1) 3 2 8 1 = 19 Itt a determináns kiszámítása során először hozzáadtuk az első sor kétszeresét a harmadik sorhoz. Ezután a determinánst a második oszlopa szerint fejtettük ki, mert abban csak egy 0-tól különböző elem maradt, tehát csak egy aldeterminánst kellett kiszámítanunk. Készítette: Vajda István 9

1.2.2. Feladatok 1. Számítsa ki a következő determinánsok értékét: 3 5 a) 1 2 2 4 b) 5 1 2 4 c) 2 6 d) 1 2 3 3 4 5 1 3 5 e) 2 0 2 3 1 5 4 1 0 Készítette: Vajda István 10

1.2.3. Megoldások 3 5 1. a) 2 4 = 3 4 5 2=2 b) 1 2 2 4 = 0 c) 5 1 2 6 = 28 1 2 3 d) 3 4 5 4 5 = 1 2 1 3 5 3 5 3 5 3 1 5 + 3 4 1 3 = 1 5 2 10+3 5=0 e) Első megoldás: 2 0 2 3 1 5 = 2 4 1 0 1 5 1 0 ( 2) + 3 1 4 1 = 2 5+( 2) ( 7)=24 Második megoldás: Először a második sort hozzáadjuk a harmadikhoz, majd a determinánst kifejtjük a középső oszlopa szerint: 2 0 2 3 1 5 2 0 2 = 3 1 5 2 2 4 1 0 = 7 0 5 7 5 = 10 ( 14)=24 Készítette: Vajda István 11

1.3. Lineáris egyenletrendszerek 1.3.1. Fogalmak, tételek Egy (algebrai) egyenletrendszert lineárisnak nevezünk, ha csak elsőfokú és konstans tagok szerepelnek benne. Példák: 4x +2y 7z=12 x+11y 2z= 9 egy lineáris egyenletrendszer. x 2y+2z= 8 7x 1 +3x 2 7x 3 +x 4 = 12 2x 1 +8x 2 +33x 3 4x 4 = 19 szintén egy lineáris egyenletrendszer. 3x 1 2x 2 +8x 3 +9x 4 = 7 4x+3y 2 7z=12 nem lineáris egyenletrendszer, mert van benne egy másodfokú tag (3y 2 ). x+11y 2z= 9 x 2y+2z= 8 4x +2y 7z=12 szintén nem lineáris egyenletrendszer, mert van benne egy xy+11y 2z= 9 másodfokú tag (xy). x 2y+2z= 8 { 4 ln x +2y=12 x+11y= 9 nem is algebrai egyenletrendszer (az ln x tag miatt). Ha egy lineáris egyenletrendszerben az ismeretlenek száma megegyezik az egyenletek számával, akkor az egyenletrendszer fődeterminánsa az ismeretlenek együtthatóiból alkotott determináns. Példák: 4x +2y = 12 Az x+11y 2z= 9 x 2y+2z= 8 egyenletrendszer fődeterminánsa 4 2 0 1 11 2 1 2 2 Mint a példában is látszik, ha valamelyik egyenletben az egyik ismeretlen nem szerepel, akkor a determináns megfelelő eleme 0, ha pedig nem írjuk ki az ismeretlen együtthatóját, az azt jelenti, hogy az együttható 1.. Készítette: Vajda István 12

7x 1 +3x 2 7x 3 +x 4 = 12 Az 2x 1 +8x 2 +33x 3 4x 4 = 19 3x 1 2x 2 +8x 3 +9x 4 = 7 egyenletrendszer esetén nem beszélhetünk fődeterminánsról, mert az ismeretlenek száma nem egyezik meg az egyenletek számával. Ha egy lineáris egyenletrendszerben az ismeretlenek száma megegyezik az egyenletek számával, akkor az egyenletrendszer minden ismeretlenéhez tartozik egy módosított determináns, amit úgy kapunk, hogy a fődeterminánsban a megfelelő ismeretlen együtthatóit kicseréljük az egyenlőségjelek jobboldalán álló konstans tagokra. Példák: 4x +2y = 12 Az x+11y 2z= 9 egyenletrendszer módosított determinánsai: x 2y+2z= 8 12 2 0 D x = 9 11 2 4 12 0 D y = 1 9 2 4 2 12 8 2 2 D z = 1 11 9 1 8 2 1 2 8 7x 1 +3x 2 7x 3 = 12 Az 2x 1 +8x 2 +33x 3 = 19 egyenletrendszer módosított determinánsai: 3x 1 2x 2 +8x 3 = 7 12 3 7 D 1 = 19 8 33 7 12 7 D 2 = 2 19 33 7 3 12 7 2 8 D 3 = 2 8 19 3 7 8 3 2 7 Cramer-szabály: Ha a lineáris egyenletrendszerben az ismeretlenek száma megegyezik az egyenletek számával, és az egyenletrendszer fődeterminánsa nem 0, akkor az egyenletrendszernek egyértelmű megoldása van és az egyes ismeretleneket úgy számíthatjuk ki, hogy a megfelelő módosított determinánst elosztjuk a fődeterminánssal. 7x 1 +3x 2 7x 3 = 12 Példa: Az 2x 1 +8x 2 +33x 3 = 19 3x 1 2x 2 +8x 3 = 7 egyenletrendszer megoldása: x 1 = D 1 D = 2455 1395 1,76 x 2= D 2 D = 1324 1395 0,95 x 3= D 3 D = 631 1395 0,45 Készítette: Vajda István 13

Ha a lineáris egyenletrendszer fődeterminánsa 0, akkor az két dolgot jelenthet: az egyenletrendszer ellentmondó (azaz nincs megoldása) vagy összefüggő (végtelen sok megoldása van). Az egyenletrendszer mátrixán az ismeretlenek együtthatóiból alkotott mátrixot értjük. Példa: 7x 1 +3x 2 7x 3 +3x 4 = 12 Az 2x 1 +8x 2 +33x 3 = 19 x 1 +8x 3 +2x 4 = 7 egyenletrendszer mátrixa: 7 3 7 3 2 8 33 0 1 0 8 2 Ha az egyenletrendszer mátrixát kiegészítjük még egy oszloppal, amelynek elemei az egyenletrenszer jobboldalán álló konstansok, akor az egyenletrendszer kibővített mátrixát kapjuk. Példa: 7x 1 +3x 2 7x 3 +3x 4 = 12 Az 2x 1 +8x 2 +33x 3 = 19 x 1 +8x 3 +2x 4 = 7 7 3 7 3 12 2 8 33 0 19 1 0 8 2 7 egyenletrendszer kibővített mátrixa: Megjegyzés: Az egyenletrendszer kibővített mátrixa tulajdonképpen az egyenletrendszer rövidített írásmódja, hiszen nem kell kiírni az ismeretleneket és az egyenlőségjeleket, mégis minden együtthatóról tudjuk, hogy melyik ismeretlenhez tartozik a helye alapján. Készítette: Vajda István 14

A Gauss-módszer a lineáris egyenletrendszerek megoldásának egy módszere akárcsak a Cramer-szabály. Előnye, hogy minden esetben alkalmazható. A megoldás során az egyenletrendszer kibővített mátrixából indulunk ki és ezt a mátrixot ún. elemi sorműveletek segítségével módosítjuk. Minden módosított mátrix egy az eredetivel ekvivalens egyenletrendszernek felel meg. Az elemi sorműveletek: A mátrix két sorát megcserélhetjük. A mátrix bármelyik sorát megszorozhatjuk vagy eloszthatjuk egy 0-tól különböző számmal. A mátrix egy sorát vagy annak valahányszorosát hozzáadhatjuk egy másik sorához, illetve levonhatjuk belőle. Megjegyzés: Az elemi sorműveletek az egyenletrendszerek megoldásának középiskolából jól ismert lépései. A mátrix két sorának cseréje megfelel két egyenlet felcserélésének, ami nyilván ugyanazt az egyenletrendszert eredményezi. Ha a mátrix egy sorát megszorozzuk egy 0-tól különböző számmal, az a megfelelő egyenlet ugyanezen számmal való szorzásának felel meg stb. A Gauss-módszer alkalmazása során arra törekszünk, hogy kialakítsuk az ún. lépcsős alakot, ami azt jelenti, hogy a mátrix bal alsó sarkában egy 0-kból álló háromszög esetleg trapéz alakú rész alakítunk ki. Ez megkönnyíti a megoldás felírását. Példák: Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: x +y +z=9 2x+4y 3z=1 3x+6y 5z=0 Készítette: Vajda István 15

1 1 1 2 4 3 3 6 5 1 1 1 0 2 5 0 3 8 1 1 1 0 1 3 0 2 5 1 1 1 0 1 3 0 0 1 9 1 0 2 + 9 17 27 9 10 17 9 10 3 3 + 1 + 2 + Adjuk hozzá az első sor 2-szeresét a második, 3-szorosát a harmadik sorhoz! Így elemi sorműveletek segítségével elérjük, hogy az első oszlopban a legfelső elem kivételével minden elem 0 legyen. Most vonjuk le a második sort a harmadik sorból és cseréljük meg a második és a harmadik sort! Végül vonjuk le a második sor kétszeresét a harmadik sorból! Ezáltal a második oszlop legalsó eleme is 0 lesz, eljutottunk a lépcsős alakhoz kialakult a 0-kból álló háromszög a bal alsó sarokban. Az így kialakult eredetivel ekvivalens egyenletrendszer utolsó egyenlete z=3, ami megadja a harmadik ismeretlen értékét. A második egyenlet y 3z = 10, amit átrendezve megkapjuk y értékét is: y=3z 10=3 3 10= 1. Végül az első egyenletből megkapjuk x értékét: x+ y+z= 9 x=9 y z=9 ( 1) 3=7. Tehát az egyenletrendszer egyetlen megoldása az x = 7, y = 1, z = 3 számhármas. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: 2x 2z=6 +y +z=1 2x+y z=7 3y+3z=0 2 0 2 6 Adjuk hozzá a második sor 3-szorosát a negyedik sor- 0 1 1 1 3 hoz! Az utolsó sorban minden ismertelen együtthatója 0 2 1 1 7 lesz, míg a jobboldalon álló konstans tag értéke 3. Ez a 0 3 3 0 + 0 x+0 y+0 z= 3 egyenletnek felel meg, amelynek nincs megoldása, hiszen az egyenlet baloldala az x, y, z 6 változók bármely értéke esetén 0, ami nem egyezik meg a 2 0 2 0 1 1 1 2 1 1 jobboldallal. Ha az egyenletrendszer megoldása során ilyen 7 0 0 0 ellentmondó egyenlet adódik, akkor az egyenletrendszernek 3 nincs megoldása. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: x y +z=1 3x +z=3 5x 2y+3z=5 Hajtsuk végre az elemi sorműveleteket a szokott módon: 1 1 1 1 3 5 1 1 1 3 0 1 3 5 2 3 1 + 0 3 2 0 1 5 + 0 3 2 0 + 1 1 1 0 3 2 0 0 0 Az utolsó egyenlet 0 x+0 y+0 z=0 az x, y, z ismeretlenek bármely értéke esetén teljesül, ezért az ismeretlenekre nézve semmilyen információt nem hordoz semmitmondó. Ezért ezt a továbbiakban figyelmen kívül hagyhatjuk. Így viszont csak két egyenletünk maradt kevesebb, 1 0 0 Készítette: Vajda István 16

mint az ismeretlenek száma. Ha az egyik ismeretlent, pl. z-t paraméternek választjuk, akkor vele a másik két ismeretlen kifejezhető. A második egyenletből y= 2 z és x=1+ y z= 3 = 1+ 2 3 z z=1 1 z, ahol z tetszőleges valós szám. 3 Tehát a megoldás: x=1 1 3 z, y= 2 z, z R 3 Ez végtelen sok megoldás, hiszen z-t végtelen sokféleképpen választhatjuk. Írjuk fel a végtelen sok megoldás közül kettőt! Pl. ha z=0, akkor x=1, y=0, z=0, ha z=3, akkor x=0, y=2, z=3. Behelyettesítéssel meggyőződhetünk róla, hogy ezek a megoldások kielégítik az eredeti egyenletrendszert. Készítette: Vajda István 17

1.3.2. Feladatok 1. Oldja meg a következő egyenletrendszereket: 2x 3y+6z=14 a) x+4y z= 6 4x y+2z= 8 5x +2y 6z= 2 b) 2x +4y+10z= 8 9x+10y+14z=18 7x+2y 3z=2 c) 2x+4y 5z=0 17x 2y +z=5 Készítette: Vajda István 18

1.3.3. Megoldások 1. a) A 2x 3y +6z=14 x + 4y z= 6 4x y +2z= 8 egyenletrendszer megoldása Cramer-szabállyal. Az egyenletrendszer fődeterminánsa 2 3 6 D= 1 4 1 = 70. 4 1 2 Az y-hoz tartozó módosított determináns 2 14 6 D y = 1 6 1 = 140, 4 8 2 így y= D y = 2. Hasonlóan számolható x értéke: x=1. Az utolsó ismeretlent D érdemesebb úgy meghatározni, hogy az egyenletek valamelyikébe behelyettesítjük a már meghatározott ismeretleneket és a kapott egyismeretlenes egyenletből meghatározzuk z értékét (z=3). A megoldás x=1, y=2, z=3. Készítette: Vajda István 19

1. a) A 2x 3y+6z=14 x+4y z= 6 4x y+2z= 8 egyenletrendszer megoldása Gauss-módszerrel: 2 3 6 14 2 1 4 1 1 4 1 6 2 3 6 4 1 2 8 + 0 5 10 6 14 20 2 + 1 4 1 6 1 4 1 0 11 8 2 0 5 10 6 + ( 1) 0 1 12 38 5 20 2 0 5 10 20 + 1 4 1 6 1 4 1 0 1 12 6 38 0 0 70 ) 0 1 12 210 ( 1 38 0 0 1 3 70 A redukált egyenletrendszer leolvasható az utolsó mátrixból: x+4y z = 6 y 2z = 4 z = 3 Ha a z=3-at visszahelyettesítjük a második egyenletbe y=2-t kapunk, majd z-t és y-t visszahelyettesítve az első egyenletbe x=1 adódik. A megoldás x=1, y=2, z=3. Készítette: Vajda István 20

2. A 5x +2y 6z= 2 2x +4y+10z= 8 9x+10y+14z=18 egyenletrendszer megoldása Gauss-módszerrel: 5 2 6 2 1 2 4 10 8 2 9 10 14 18 + + 1 6 26 2 4 10 0 0 0 14 8 0 2 + 1 2 5 2 6 2 4 10 0 0 0 2 8 0 1 6 26 0 8 31 0 0 0 + 2 14 18 0 Az utolsó előtti mátrix harmadik sora a 0 x+0 y+0 z=0 egyenletnek felel meg, ami nem hordoz információt, mert minden ( x, y, z ) hármas kielégíti. Ezt az egyenletet tehát elhagyhatjuk, így a redukált egyenletrendszer két egyenletből áll. Mivel eggyel több ismeretlenünk van, mint egyenletünk ezért egy ismeretlent paraméternek választunk. Legyen ez pl. z. A megoldás: x= 1 2 + 11 4 z, y= 9 4 31 z, z R. 8 3. A 7x+2y 3z=2 2x+4y 5z=0 17x 2y +z=5 egyenletrendszer megoldása Gauss-módszerrel: A redukált egyenletrendszer 1 10 12 2 0 24 29 4 0 0 0 1 az utolsó egyenlet tehát 0 x+0 y+0 z=1, ami nem teljesülhet semmilyen ( x, y, z ) hármas esetén. Az egyenletrendszernek nincs megoldása., Készítette: Vajda István 21

1.4. Vektorok 1.4.1. Fogalmak, tételek A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az irányát. #» Jelölés: Felírhatjuk a vektort a kezdő és végpontja segítségével: PQ vagy jelölhetjük egy kisbetűvel is. Az utóbbi esetben a vektort jelölő betűt írásban aláhúzzuk, nyomtatásban vastagon szedjük: v vagy v. Két vektor egyenlő, ha nagyságuk (hosszuk) is és irányuk is megegyezik. Példa: Az ABCD paralelogramma AB #» és DC #» oldalvektorai megegyeznek, mert nagyságuk és irányuk is egyenlő. Írhatjuk tehát, hogy AB= #» DC. #» Az AB #» és CD #» vektorok azonban nem egyeznek meg, mert irányuk nem egyezik meg (hanem ellentétes). Tehát AB #» CD #» D C D C A B A B A vektor hosszát a vektor abszolút értékének is nevezzük. Jelölés: #» PQ, p, r A vektor abszolút értéke csak nemnegatív (valós) szám lehet. Azt a vektort, amelynek abszolút értéke 0, nullvektornak nevezzük. Ennek iránya tetszőleges, ezét pl. minden más vektorral párhuzamos, de minden más vektorra merőleges is. Jelölés: 0, illetve 0. (Különbözik a 0 számtól!). Készítette: Vajda István 22

Ha egy vektor abszolút értéke 1, akor egységvektornak nevezzük. Megjegyzés: Míg 0 vektor csak egy van, addig egységvektor végtelen sok. Két vektor összegén egy harmadik vektort értünk, amelyet meghatározhatunk paralelogramma-módszer, vagy öszszefűzés (háromszög-módszer, sokszög-módszer) segítségével. b a+b a+b b a a Megjegyzés: Párhuzamos vektorok összegzése esetén csak az összefűzés módszerét alkalmazhatjuk. A vektorösszeadás kommutatív és asszociatív (a számok összeadásához hasonlóan), azaz a, b esetén a+b=b+a a, b, c esetén (a+b)+c=a+(b+c). Az a és b vektorok a b különbségén azt a c vektort értjük, amelyre b+c=a. b a b (= c) Megjegyzések: a Két vektor különbségét megkaphatjuk úgy, hogy közös kezdőpontba toljuk őket, mert ekkor a különbségvektor a végpontjaikat összekötő vektor lesz, a kisebbítendő felé irányítva. A vektorok összeadása, illetve kivonása során az eredmény esetleg a 0 is lehet. Készítette: Vajda István 23

Bármely a vektor esetén a+0=a és a 0=a. Egy a vektor és egyλszám szorzata egy vektor, amelynek hossza λa = λ a, párhuzamos a-val ésλ>0 esetén egyirányú,λ<0esetén ellentétes irányú a-val. a 2a 2a 3a A Vektorok számmal való szorzására érvényesek a következő műveleti szabályok: λ,µ a eseténλ ( µa ) = ( λµ ) a (kvázi asszociativ) λ a, b eseténλ (a+b)=λa+λb (disztributív) λ,µ a esetén ( λ+µ ) a=λa+µa (kvázi disztributív) Példák: 2 (3a)=6a 5 (u+v)=5u+5v (2+7) w=9w Készítette: Vajda István 24

A térben való eligazodáshoz leggyakrabban ún. Descartes-féle koordinátarendszert használunk. Ennek kezdőpontja a koordinátatengelyek közös pontja (origo), a tengelyek páronként merőlegesek egymásra. A továbbiakban tegyük fel, hogy az x, y és z tengely ebben a sorrendben jobbrendszert alkot. (z pozitív oldala felől ránézve az xy síkra az x-tengelyt pozitív, azaz óramutató járásával ellentétes 180 -nál kisebb forgás viszi az y tengelybe.) Mindhárom tengelyen felveszünk egy a tengely pozitív irányába mutató egységvektort (i, j, k), melyeket bázisvektornak nevezünk. z y k j i x A tér bármely v vektora egyértelműen feírható a bázisvektorok lineáris kombinációjaként, azaz v = xi+ yj+zk alakban, ahol x, y, z valós számok. Megjegyzés: Az egyértelmű felírhatóság két dolgot jelent: Minden v vektorhoz található olyan x, y, z számhármas, amelyre v=xi+ yj+zk Minden v vektorhoz pontosan egy ilyen hármas található, tehát v nem írható fel többféleképpen az i, j, k vektorok lineáris kombinációjaként. A v vektor v = xi+yj+zk lineáris kombinációjában szereplő x, y, z számokat a v vektor koordinátáinak nevezzük. Példa: Ha v=2i 3j+k, akkor v (2, 3, 1), azaz v első koordinátája 2, második koordinátája 3, harmadik koordinátája 1. Megjegyzés: Az első koordinátára használatos az abszcissza a másodikra az ordináta, a harmadikra a kóta elnevezés is. Két vektor összegének koordinátái az eredeti vektorok megfelelő koordinátáinak összegével egyenlők. Készítette: Vajda István 25

Példa: Ha a(2, 7, 3), b(4, 1, 5), és c=a+b, akkor c(6, 6, 2). Két vektor különbségének koordinátái az eredeti vektorok megfelelő koordinátáinak különbségével egyenlők. Példa: Ha a(4, 1, 3), b(5, 1, 6), és c=a b, akkor c( 1, 2, 9). Ha egy vektort egyλszámmal szorzunk, akkor az így kapott vektor minden koordinátája a eredeti vektor megfelelő koordinátájánakλ-szorosa lesz. Példa: Ha a(3, 1, 5) és b = 4a, akkor b(12, 4, 20). Tekintsük az AB #» vektort, melynek kezdőpontja A(a 1, a 2, a 3 ), végpontja B(b 1, b 2, b 3 ). Ekkor az AB #» vektor koordinátái a B és A pont megfelelő koordinátáinak különbségével egyenlők, azaz AB #» (b 1 a 1, b 2 a 2, b 3 a 3 ). Példa: Ha A(2, 1, 2) és B(4, 5, 1), akkor #» AB (2, 6, 3). Megjegyzés: Figyeljük meg, hogy a végpont koordinátáiból kell a kezdőpont koordinátáit levonni! Készítette: Vajda István 26

1.4.2. Feladatok Abszolút érték, lineáris kombináció 1. Számítsa ki a következő vektorok abszolútértékét: a) a(2, 1, 2) b) b(4, 1, 8) c) c(6, 1, 18) d) d(2, 3, 6) 2. Adottak az a(2, 9, 7) és a b( 3, 0, 6) vektorok. Számítsa ki a következő vektorok koordinátáit: a) 3a+2b b) a+3b c) 2a 5b d) 7a+ 3 2 b 3. Párhuzamosak-e az alábbi vektorpárok? a) a(2, 9, 7), b(12, 8, 6) b) c(3, 4, 2), d(9, 12, 6) c) u( 1, 5, 3), v( 3 15,, 9) 4 4 4 4. Írja fel a megadott vektor irányába mutató egységvektort: a) a(4, 3, 12) b) b( 4, 6, 12) c) c(8, 2, 16) 5. Írja fel az A és a B pontokat összekötő #» AB vektort és számítsa ki a hosszát: a) A(11, 4, 7), B(17, 2, 10) b) A(1, 6, 9), B( 3, 8, 5) c) A( 1, 5, 4), B(2, 11, 9) Készítette: Vajda István 27

Skaláris és vektoriális szorzat 1. Adott az ABC háromszög. Számítsa ki a háromszög oldalait, kerületét és szögeit. a) A(3, 0, 4), B(5, 9, 7), C( 1, 4, 3) b) A( 3, 1, 4), B(2, 7, 3), C( 2, 0, 0) c) A(5, 2, 2), B(2, 7, 3), C( 2, 0, 0) 2. Számítsa ki a következő vektorok skaláris és vektoriális szorzatát: a) a(4, 1, 1), b(7, 4, 3) b) a( 3, 2, 1), b( 5, 2, 4) c) a(4, 5, 1), b(5, 2, 10) 3. Válassza meg a hiányzó koordinátát úgy, hogy a két vektor merőleges, illetve párhuzamos legyen egymással: a) a(4, 3, 6) b(x, 1, 3) b) a( 8, 12, x), b(4, 6, 5) c) a(x, 2, 8), b( 6, y, 9) 4. Számítsa ki az ABC háromszög területét: a) A(6, 3, 4), B( 2, 0, 4), C(3, 6, 4) b) A(1, 1, 1), B(2, 3, 5), C(4, 0, 3) c) A(2, 1, 1), B(3, 0, 7), C(11, 2, 3) Készítette: Vajda István 28

1.4.3. Megoldások Abszolút érték, lineáris kombináció 1. a) a = 2 2 + 1 2 + 2 2 = 3 b) b =9 c) c =19 d) d =7 2. a) 3a+2b=27j 9k b) a+3b= 11i 9j+25k c) 2a 5b=i 18j 16k d) 7a+ 3 2 b= 19 2 i+63j 40k 3. a) a b, mert nincs olyan alkalmas szám szorzó, amellyel a-t megszorozva b-t kapjuk. (Pl. 12 2 8 9 ). b) c d, mert d=3c. c) u v, mert v= 3 4 v. 4. a) e a = a a = a ( 4 13 e a 13, 3 13, 12 ) 13 ( b) e b 2 7, 3 7, 6 ) 7 ( 4 c) e c 9, 1 9, 8 ) 9 5. a) AB(6, #» 2, 3), AB =7 #» b) AB( 4, #» 2, 14), AB =6 #» 6 14,7 c) AB(3, 16, #» 13), AB = #» 434 20,8 Készítette: Vajda István 29

Skaláris és vektoriális szorzat 1. a) #» AB(2, 9, 3), AB= #» AB = 94, BC= 221, AC= 33, k= 94+ 221+ 33 30, 3 #» AB AC #» cosα= AB #» AC #» = 47 0, 8439 94 33 α 147,55, β 11,97, γ 20,48 b) AB= 110, BC= 74, CA= 18, k= 110+ 74+ 18 23,33 α 52,64, β 23,08, γ 104,28 c) AB= 38, BC= 74, CA= 78, k= 38+ 74+ 78 23,6 α 67,31, β 71,9, γ 41,39 2. a) ab=4 7+1 4+( 1) 3=29 i j k a b= 4 1 1 1 1 = 7 4 3 4 3 i 4 1 7 3 a b(7, 19, 9) b) ab=15 a b(10, 7, 16) c) ab=0 a b( 48, 45, 33) j+ 4 1 7 4 k=7i 19j+9k 3. a) a és b akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha skaláris szorzatuk 0, azaz: 4x 3+18=0, tehát x= 15 4. A két vektor nem lehet párhuzamos, mert 3 1 6, azaz nincs olyan szám, amellyel 3 b-t megszorozva a-t kapnánk. b) a b akkor és csak akkor, ha x=20 4 5. A két vektor párhuzamos, ha x= 10. c) A két vektor merőleges, ha az y=36 3x összefüggés teljesül. (Tehát végtelen sok esetben, mert pl. x értékét tetszés szerint választva, ahhoz kiszámítható a megfelelő y.) a b, ha x= 48 9 és y= 9 4 4. a) #» AB( 8, 3, 0), b) #» AB(1, 4, 4), c) #» AB(1, 1, 6), #» AC( 3, 9, 0), #» AC(3, 1, 2), #» AC(9, 3, 4), #» AB AC= 63k, #» T= AB #» AC #» 2 #» AB #» = 31, 5 237 AC= 4i+10j+11k, T= 7, 7 2 3884 31, 16 2 #» AB AC #» = 22i+58j 6k, T = Készítette: Vajda István 30

1.5. Egyenes és sík 1.5.1. Fogalmak, tételek Az e egyenessel párhuzamos 0-tól különböző vektort e irányvektorának nevezzük. Megjegyzések: Minden egyenesnek végtelen sok irányvektora van. Párhuzamos egyenesek irányvektorai megegyeznek. Ha r 0 az e egyenes egy P 0 pontjának helyvektora és v az e irányvektora, akkor az r(t)=r 0 + tv (t R) egyenletet az e egyenes paraméteres vektoregyenletének nevezzük. v r 0 P 0 tv P e r Megjegyzések: O Ha t végigfut a valós számok halmazán akkor minden értékéhez olyan r vektor tartozik, amely az e egyenes egy pontjának helyvektora. A t paraméter különböző értékeihez különböző r vektorok tartoznak. Az e egyenes bármely pontjának helyvektora előáll t alkalmas megválasztásával. Készítette: Vajda István 31

Példa: Ha P 0 (2, 3, 1) az e egyenes egy pontja és v(5, 2, 7) az egyenes egyik irányvektora, akkor e paraméteres vektoregyenlete: r=(2+5t) i+(3 2t) j+(1+7t) k ( ) Ha P 0 x0, y 0, z 0 az e egyenes egy P0 pontja és v (v 1, v 2, v 3 ) az e irányvektora, akkor az x= x 0 +v 1 t y= y 0 +v 2 t (t R) z= z 0 +v 3 t egyenletrendszert az e egyenes paraméteres egyenletrendszerének nevezzük. Megjegyzés: A paraméteres egyenletrendszer ugyanazt az összefüggést fejezi ki, mint a paraméteres vektoregyenlet. Példa: Ha a P 0 (2, 1, 4) pont rajta van az e egyenesen és a v (3, 1, 2) vektor párhuzamos e-vel, akkor e patraméteres egyenletrendszere: x= 2+3t y= 1 t (t R) z= 4 2t Ha P 0 ( x0, y 0, z 0 ) az e egyenes egy P0 pontja és v (v 1, v 2, v 3 ) az e irányvektora, ahol v 1, v 2, v 3 egyike sem 0, akkor az x x 0 v 1 = y y 0 v 2 = z z 0 v 3 egyenletrendszert az e egyenes (paramétermentes) egyenletrendszerének nevezzük. Példa: Ha a P 0 (2, 1, 4) pont rajta van az e egyenesen és a v (3, 1, 2) vektor párhuzamos e-vel, akkor e egyenletrendszere: x 2 3 = y 1 1 = z 4 2 Készítette: Vajda István 32

Megjegyzések: Ha z egyenes paraméteres egyenletrendszeréből kiküszöböljük a t paramétert, akkor megkapjuk a paramétermentes egyenletrendszert. Ha az irányvektor valamelyik koordinátája 0, akkor az egyenes egyenletrendszere más formájú, de akkor is megkaphazó a paraméteres egyenletrendszerből t kiküszöbölésével. Példa: Ha a P 0 (2, 1, 4) pont rajta van az e egyenesen és a v (3, 0, 2) vektor párhuzamos e-vel, akkor e egyenletrendszere: x 2 3 = z 4 2 y = 1 Az S síkra merőleges 0-tól különböző vektort az s sík normálvektorának nevezzük. Megjegyzések: Egy síknak végtelen sok normálvektora van. Párhuzamos síkok normálvektorai megegyeznek. Ha r 0 az S sík egy P 0 pontjának helyvektora és n az S normálvektora, akkor az n (r r 0 )=0 egyenletet az S sík vektoregyenletének nevezzük. n r r 0 P S P 0 r 0 r O Megjegyzés: Az egyenletet azért nevezzük a sík vektoregyenletének, mert a sík minden pontjának helyvektora kielégíti, míg más pontok egyike sem. Készítette: Vajda István 33

Ha P 0 ( x0, y 0, z 0 ) az S sík egy pontja és n (A, B, C) az S normálvektora, akkor az A (x x 0 )+B ( y y 0 ) + C (z z0 )=0 egyenletet az S sík egyenletének nevezzük. Megjegyzés: Ez az egyenlet ekvivalens a sík vektoregyenletével. Példa: Ha P 0 (4, 1, 2) az S sík egy pontja, n (2, 3, 5) S egy normálvektora, akkor a sík egyenlete. 2 (x 4)+3 ( y+1 ) + 5 (z+2)=0 Készítette: Vajda István 34

1.5.2. Feladatok 1. Írja fel az egyenes vektoregyenletét, paraméteres egyenletrendszerét és paramétermentes egyenletrendszerét, ha adott egy pontja és egy irányvektora: a) P(2, 0, 7), v( 1, 2, 2) b) P( 3, 4, 9), v(3, 2, 0) c) P(0, 0, 0), v(2, 6, 1) 2. Írja fel az egyenes vektoregyenletét, paraméteres egyenletrendszerét és paramétermentes egyenletrendszerét, ha adott két pontja: a) P 1 (3, 6, 2), P 2 ( 1, 0, 4) b) P 1 ( 7, 3, 5), P 2 ( 2, 0, 6) c) P 1 (9, 11, 4), P 2 (8, 5, 3) 3. Párhuzamosak-e, illetve merőlegesek-e a következő egyenesek: x = 2+6t x = 4 3t a) e : y = 8+8t f : y = 4t b) e : z x y z = 1 10t = 1+2t = 6 4t = 3 t f : z = 2+5t x = 110 3t y = 7 4t z = 32+10t 4. Írja fel a P(2, 5, 3) pontra illeszkedő, az x=2 t, y= 6+2t, z=3 3t egyenesre merőleges sík egyenletét! 5. Adott az ABC háromszög: A(7, 4, 2), B(2, 2, 1), C(5, 2, 4). Írja fel a síkjának az egyenletét és az AB oldal felezőmerőlegesének paraméteres egyenletrendszerét! Készítette: Vajda István 35

1.5.3. Megoldások 1. a) r=2i+7k ti+2tj+2tk, x = 2 t y = 2t, 2 x= y z = 7+2t 2 = z 7 2 b) r= 3i 4j+9k+3ti 2tj, x = 3+3t x+3 y = 4 2t, z = 9 3 c) r=2ti 6tj+tk, x = 2t y = 6t, z = t x 2 = y 6 = z = y+4 2, z=9 2. a) v(2, 3, 3), r=3i+6j 2k+2ti+3tj 3tk, x = 3+2t x 3 y = 6+3t, = y 6 = z+2 z = 2 3t 2 3 3 b) v(5, 3, 1), r= 7i+3j+5k+5ti 3tj+tk, x = 7+5t y = 3 3t z = 5+t, x+7 5 = y 3 3 = z 5 c) v(1, 16, 7), r=9i+11j 4k+ti+16tj 7tk, x = 9+t y = 11+16t z = 4 7t, x 9= y 11 16 = z+4 7 3. a) e f mert v e (6, 8, 10) és v f ( 3, 4, 5), tehát az irányvektorok párhuzamosak, mert v e = 2v f. b) e f mert v e v f = 0, azaz v e v f. 4. A sík normálvektora megegyezik a megadott egyenes irányvektorával, azaz n( 1, 2, 3), a sík egyenlete x+2y 3z=( 1) 2+2 5+( 3) ( 3)=17. 5. A háromszög síkjának egy normálvektora pl. n= 1 #» AB AC=7i+6j+k, #» 2 a sík egyenlete: 7x+6y+z=27. ( 9 Az AB szakasz felezőpontja F 2 2), 1, 3, felezőmerőlegesének irányvektora merőleges Készítette: Vajda István 36

az AB #» vektorra és a sík normálvektorára is, így pl. v= 1 #» AB n(6, 1, 36). Az AB 2 x = 9 2 + 6t szakasz felezőmerőlegesének paraméteres egyenletrendszere: y = 1 t z = 3 2 36t Készítette: Vajda István 37